Пример расчета статически неопределенной системы при кручении. Решение типовых задач по сопромату
Кручение стержня круглого сечения – условие задачи
К стальному валу постоянного поперечного сечения (рис. 3.8) приложены четыре внешних скручивающих момента: кН·м; кН·м; кН·м; кН·м. Длины участков стержня: м; м, м, м. Требуется: построить эпюру крутящих моментов, определить диаметр вала при кН/см2 и построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.
Кручение стержня круглого сечения – расчетная схема
Рис. 3.8
Решение задачи кручение стержня круглого сечения
Определяем реактивный момент, возникающий в жесткой заделке
Обозначим момент в заделке и направим его, например, против хода часовой стрелки (при взгляде навстречу оси z).
Запишем уравнение равновесия вала. При этом будем пользоваться следующим правилом знаков: внешние скручивающие моменты (активные моменты, а также реактивный момент в заделке), вращающие вал против хода часовой стрелки (при взгляде на него навстречу оси z), считаем положительными.
Знак «плюс» в полученном нами выражении говорит о том, что мы угадали направление реактивного момента , возникающего в заделке.
Строим эпюру крутящих моментов
Напомним, что внутренний крутящий момент , возникающий в некотором поперечном сечении стержня, равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к любой из рассматриваемых частей стержня (то есть действующих левее или правее сделанного сечения). При этом внешний скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня против хода часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), входит в эту алгебраическую сумму со знаком «плюс», а по ходу – со знаком «минус».
Соответственно, положительный внутренний крутящий момент, противодействующий внешним скручивающим моментам, направлен по ходу часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), а отрицательный – против ее хода.
Разбиваем длину стержня на четыре участка (рис. 3.8, а). Границами участков являются те сечения, в которых приложены внешние моменты.
Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из четырех участков стержня.
Cечение 1 – 1. Мысленно отбросим (или закроем листком бумаги) левую часть стержня. Чтобы уравновесить скручивающий момент кН·м, в поперечном сечении стержня должен возникнуть равный ему и противоположно направленный крутящий момент . С учетом упомянутого выше правила знаков
кН·м.
Сечения 2 – 2 и 3 – 3:
Сечение 4 – 4. Чтобы определить крутящий момент, в сечении 4 – 4 отбросим правую часть стержня. Тогда
кН·м.
Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим теперь не правую, а левую часть стержня. Получим
Для построения эпюры крутящих моментов проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.8, б). Вычисленные значения крутящих моментов в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой оси. В пределах каждого из участков стержня крутящий момент постоянен, поэтому мы как бы «заштриховываем» вертикальными линиями соответствующий участок. Напомним, что каждый отрезок «штриховки» (ордината эпюры) дает в принятом масштабе значение крутящего момента в соответствующем поперечном сечении стержня. Полученную эпюру обводим жирной линией.
Отметим, что в местах приложения внешних скручивающих моментов на эпюре мы получили скачкообразное изменение внутреннего крутящего момента на величину соответствующего внешнего момента.
Определяем диаметр вала из условия прочности
Условие прочности при кручении имеет вид
,
где 
– полярный момент сопротивления (момент сопротивления при кручении).
Наибольший по абсолютному значению крутящий момент возникает на втором участке вала: 
кН·см.
Тогда требуемый диаметр вала определяется по формуле
см.
Округляя полученное значение до стандартного, принимаем диаметр вала равным мм.
Определяем углы закручивания поперечных сечений A, B, C, D и E и строим эпюру углов закручивания
Сначала вычисляем крутильную жесткость стержня , где G – модуль сдвига, а 
– полярный момент инерции. Получим
Углы закручивания на отдельных участках стержня равны:
рад;
рад;
рад;
рад.
Угол закручивания в заделки равен нулю, то есть . Тогда
Эпюра углов закручивания показана на рис. 3.8, в. Отметим, что в пределах длины каждого из участков вала угол закручивания изменяется по линейному закону.
Пример задачи на кручение "круглого" стержня для самостоятельного решения
Условие задачи на кручение "круглого" стержня
Жестко защемленный одним концом стальной стержень (модуль сдвига кН/см2) круглого поперечного сечения скручивается четырьмя моментами (рис. 3.7).
Требуется:
· построить эпюру крутящих моментов;
· при заданном допускаемом касательном напряжении кН/см2 из условия прочности определить диаметр вала, округлив его до ближайшего из следующих значений 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200 мм;
· построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.
Варианты расчетных схем к задаче на кручение стержня круглого сечения для самостоятельного решения
Пример задачи на кручение круглого стержня – исходные условия для самостоятельного решения
| Номер схемы | ||||||||
|
При расчете на кручение прямых брусьев, жестко защемленных одним концом, а также при расчете валов (представляющих собой вращающиеся брусья, нагруженные взаимно уравновешенными скручивающими моментами) значения крутящих моментов в поперечных сечениях можно определить с помощью одних лишь уравнений равновесия (методом сечений). Следовательно, такие задачи являются статически определимыми.
Задачи расчета на кручение являются статически неопределимыми, если крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях скручиваемых стержней, нельзя определить с помощью только уравнений равновесия. Для решения этих задач дополнительно к уравнениям равновесия, составляемым для системы в целом или ее отсеченной части, необходимо составить также уравнения перемещений, основанные на рассмотрении характера деформации системы.
Рассмотрим для примера брус круглого сечения, жестко заделанный обоими концами и нагруженный моментом ЗЛ на расстоянии а от левого конца (рис. 23.6, а).
Для решения данной задачи можно составить лишь одно уравнение равновесия - в виде равенства нулю суммы моментов относительно оси бруса:
где и - реактивные скручивающие моменты, возникающие в заделках.
Дополнительное уравнение для решения рассматриваемой задачи можно получить следующим образом. Отбросим левое опорное закрепление бруса, но оставим правое (рис. 23.6, б).
Поворот левого конца полученного таким путем бруса должен быть равен нулю, т. е. так как в действительности этот конец жестко закреплен и не может поворачиваться.
На основании принципа независимости действия сил уравнение перемещений имеет вид
Здесь - угол поворота левого конца бруса от действия внешнего скручивающего момента (рис. 23.6, в); - угол поворота левого конца от действия внешнего момента (рис. 23.6, г).
По второй из формул (14.6), учитывая, что правый конец бруса не поворачивается (т. е. ), и по формуле (13.6) находим
Подставим эти значения в уравнение перемещений:
Из уравнения равновесия
После определения моментов и эпюру крутящих моментов можно построить обычным способом, т. е. как для статически определимого бруса (рис. 23.6, д). Для рассмотренной задачи эта эпюра представлена на рис. 23.6, е.
Наглядное представление об изменении углов поворота поперечных сечений бруса по его длине дает эпюра углов поворота (иногда ее называют эпюрой углов закручивания). Каждая ордината этой эпюры дает в принятом масштабе величину угла поворота соответствующего поперечного сечения бруса.
Построим такую эпюру для бруса по рис. 23.6, д, учитывая при этом, что значение уже найдено и эпюра крутящих моментов построена (см. рис. 23.6, е). Крайнее правое сечение А бруса неподвижно, т. е. Произвольное поперечное сечение, принадлежащее участку АС и отстоящее на расстояние от правого конца, повернется на угол [см. вторую из формул (14.6)]
Здесь - угол закручивания на участке длиной определяемый по формуле (13.6).
Таким образом, углы поворота изменяются по линейному закону в зависимости от расстояния Подставляя в полученное выражение найдем угол поворота сечения С:
Заметим, что всегда при нагружении бруса постоянного сечения сосредоточенными скручивающими моментами эпюра углов поворота поперечных сечений на каждом из участков бруса линейна.
Для построения эпюры на участке СВ вычислим угол поворота сечения В. На основании второй из формул (14.6) и формулы (13.6)
Этот результат подтверждает правильность решения задачи, так как по условию сечение В заделано жестко. Таким образом, кроме чисто иллюстративного значения, построение эпюры углов поворота поперечных сечений можно рассматривать как метод контроля решения некоторых статически неопределимых задач.
Построенная по полученным значениям эпюра углов поворота представлена на рис. 23.6, ж.
При действии на брус нескольких внешних скручивающих моментов, а также для брусьев, имеющих на отдельных участках разные поперечные сечения, составление дополнительного уравнения производится способом, аналогичным показанному (см. пример 5.6).
При расчете цилиндрических пружин наряду со статически определимыми встречаются также и статически неопределимые задачи.
Если концы пружины не закреплены и могут свободно перемещаться вдоль оси пружины или если закреплен лишь один ее конец, то задача расчета такой пружины статически определима. Если же оба конца пружины неподвижно закреплены, то задача ее расчета статически неопределима. Для ее решения необходимо составить дополнительное уравнение перемещений. Составление этого уравнения аналогично составлению уравнения, применяемого при решении задач расчета прямого стержня, закрепленного обоими концами, на внешние нагрузки, действующие вдоль его оси. Составление дополнительных уравнений для такого типа задач рассмотрено выше в § 9.2 (см. также пример 3.6).
4.4. Статически неопределимые задачи кручения
Такие задачи обычно возникают, если перемещение вала ограничено в некоторых сечениях, например, (рис. 4.9), когда его концы защемлены. В
одно уравнение равновесия: : 
входят два неизвестных момента в опорах, поэтому задача является статически неопределимой. Для ее решения составим дополнительное уравнение перемещений. Рассмотрим перемещения (углы поворота) сечений, являющихся границами участков вала..gif" width="99" height="27 src=">.
https://pandia.ru/text/78/579/images/image007_54.gif" width="99 height=26" height="26">.
Так как сечение вала защемлено, то , откуда: https://pandia.ru/text/78/579/images/image011_42.gif" align="left" width="258" height="186">
Потенциальная деформация деформации участка вала длиной dz будет:
Так как при кручении τ = (МК / IР) r, то
Сокращая на IР, получим выражение для потенциальной энергии деформации при кручении
4.6 . Кручение стержней некруглого поперечного сечения
https://pandia.ru/text/78/579/images/image018_20.gif" align="left" width="324" height="237 src="> При кручении стержней (валов) не круглого и не - кольцевого поперечных сечений, не выполняются допущения, принятые при кручении круглых и кольцевых валов: плоские поперечные сечения стержня не остаются плоскими при кручении, а депланируют (искривляются); прямые радиусы, проведенные в плоских сечениях, искривляются; рассто-яние между сечениями изменяется (рис. 4Если стержень постоянного сечения по всей длине негде не защемлен и закручивающие моменты, расположены на его концах, то все сечения депланируют одинаково, и нормальные напряжения не возникают. Такое кручение называется свободным. Однако, с достаточной для практических целей точностью, для некруглых стержней можно пользоваться формулами, выведенными для круглого стержня, заменив и https://pandia.ru/text/78/579/images/image021_17.gif" width="23" height="27 src=">- момент инерции при кручении, и -момент сопротивления при кручении.
https://pandia.ru/text/78/579/images/image024_18.gif" width="90" height="49">, ,
Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.12)
https://pandia.ru/text/78/579/images/image027_17.gif" width="87" height="29 src=">.
Здесь и - зависят от отношения .
Коэффиценты. | Отношение большей стороны сечения к меньшей . |
||||||||
Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии тонкой пленки, натянутой на контур того же очертания, что и контур поперечного сечения стержня и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента - объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки. На рис. 4.13,а показано поведение пленки под давлением, на рис. 4.13,б приведено качественное распределение напряжений при кручении стержня сложного профиля. С помощью специального прибора и тарированной пленки можно получить и количественные результаты. Для этого, чтобы учесть жесткость пленки, такой же эксперимент проводят с круглым отверстием, откуда и получают необходимую жесткость пленки, так как решение в этом случае можно получить точно.
4.7. Свободное кручение тонкостенных стержней
Тонкостенными называют стержни, у которых один размер поперечного сечения - толщина профиля , меньше другого - длины контура поперечного сечения s. Стержни бывают открытого (рис. 4.14) и замкнутого (рис. 4.15) профилей. Используем мембранную аналогию. Характер поведения пленки и, соответственно, касательных напряжений в тонкостенных стержнях открытого и замкнутого профилей принципиально разный (рис. 4.16 и рис. 4Если стержень открытого профиля выпрямить в длинный прямоугольник, то форма пленки не изменится.
Тогда для прямоугольного сечения при , имеем: ,..gif" width="22" height="25"> прямоугольников, то
..gif" width="42" height="26">
.
ПРИ КРУЧЕНИИ (ЗАДАЧА № 11)
Условие задачи
Стальной вал круглого поперечного сечения состоит из трех участков с различными полярными моментами инерции (рис. 3.6, а ). Концы вала жестко закреплены от поворота относительно продольной оси вала. Заданы нагрузки: пары сил и , действующие в плоскости поперечного сечения вала; отношения полярных моментов инерции участков вала и ; длины участков , , .
Требуется:
1) построить эпюру крутящих моментов;
2) подобрать размеры поперечных сечений из условия прочности;
3) построить эпюру углов закручивания.
Решение
Ввиду наличия двух жестких опорных закреплений под действием нагрузки в каждом из них возникают реактивные пары и . Составив условие равновесия вала
убеждаемся в том, что записанное уравнение не может быть решено однозначно, поскольку содержит две неизвестные величины: и . Остальные уравнения равновесия при данной нагрузке выполняются тождественно. Следовательно, задача является один раз статически неопределимой.
Для раскрытия статической неопределимости составим условие совместности деформаций. Вследствие жесткости опорных закреплений концевые сечения вала не поворачиваются. Это равносильно тому, что полный угол закручивания вала на участке А–В
равен нулю: , или 
.
Последнее уравнение и есть условие совместности деформаций. Для его связи с уравнением равновесия запишем физические уравнения, связывающие крутящие моменты и углы закручивания (3.3) (закон Гука при кручении), для каждого участка стержня:
, 
, 
.
Подставив физические соотношения в условие совместности деформаций, находим реактивный момент , а затем из уравнения равновесия определяем . Эпюра крутящих моментов показана на рис. 3.6, б .
Для решения задачи о подборе сечения запишем формулы для определения максимальных касательных напряжений (3.5) на каждом участке вала:
; 
; 
.
Коэффициенты и , представляющие собой отношения полярных моментов сопротивления сечений второго и третьего участков вала к полярному моменту сопротивления сечения первого участка , определим через известные параметры и .
Полярный момент инерции может быть записан двояким образом:
; 
,
где , - радиусы первого и второго участков стержня. Отсюда выразим радиус через :
Тогда полярный момент сопротивления второго участка
,
то есть . Аналогично .
Теперь можно сравнить между собой максимальные касательные напряжения на отдельных участках и для наибольшего из них записать условие прочности (3.13). Из этого условия находим требуемый полярный момент сопротивления , и затем, используя формулу (3.8), радиусы вала на каждом участке.
; ; .
Для построения эпюры углов закручивания вычислим углы закручивания на каждом участке стержня по формуле (3.3). Ординаты эпюры получаются последовательным суммированием результатов для отдельных участков, начиная с одного из концов вала. Контролем правильности решения является равенство нулю угла закручивания на другом конце вала Вид эпюры углов закручивания показан на рис. 3.6, в .
Для конструкции, имеющей жесткий стержень, рациональным уравнением равновесия, в которое входит одно неизвестное усилие, является уравнение , где А – шарнир, вокруг которого поворачивается жесткий стержень.
Как видно из названия, этот способ применим к конструкциям, стержни которых выполнены из пластичного материала.
Очевидно, что связь между деформациями стержней будет такой же, как и в первой части задачи, поэтому уравнение совместности деформаций в третьей части задачи можно записать, используя ранее полученное уравнение, заменив в нем на .
При решении этой задачи студенты заочной формы обучения выполняют только расчет по предельному пластическому состоянию. Остальные студенты решают задачу № 6 в соответствии с требованием преподавателя. Пункт 2, отмеченный значком *, не является обязательным и выполняется по желанию студента.
Современные нормы строительного проектирования предусматривают более сложный подход (введение отдельных коэффициентов запаса на нагрузку, свойства материала, условия работы конструкции). С этим студент познакомится при изучении курсов металлических, железобетонных и других конструкций.
Рассмотрим расчет статически неопределимой системы на кручение на конкретном примере.
Пример . Определить из расчета на прочность при допускаемое значение скручивающего момента для вала, жестко защемленного обоими концами и нагруженного, как показано на рис. 10.8, а.
Рис. 10.8. Схема статически неопределимого вала
В заделках возникают реактивные моменты m A и m B (рис. 10.8, а). Составим уравнение равновесия относительно продольной оси вала:
Таким образом, задача является один раз статически неопределимой – одно уравнение статики и два неизвестных реактивных момента. Для составления уравнения перемещений отбросим правую заделку, заменив ее действие на вал неизвестным реактивным моментом . Полученная таким образом статически определимая система (рис. 10.8, б) эквивалентна заданной, и, следовательно, угол поворота сечения B равен нулю:
Применяя принцип независимости действия сил, запишем уравнение перемещений для сечения B в виде
При действии только момента m 1 угол поворота сечения В равен углу закручивания участка АС , т. е.
Аналогично при действии только момента m 2:
При действии только момента m B = X имеем:
Для упрощения вычислений выразим
Подставляя значения углов поворота в уравнение совместности деформаций и учитывая последнее равенство, получаем:
Подставляя значение Х в уравнение равновесия, найдем:
После раскрытия статической неопределимости эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания строятся обычным способом. Эта эпюры представлена на рис. 10.8, в, г, д.
Опасными являются сечения участка ВЕ . Следует отметить, что сечения, в которых возникают наибольшие крутящие моменты (участок АС ), в данном случае менее опасны.
Запишем условие прочности:
Расчет цилиндрических винтовых пружин
С малым шагом витков
Во многих механизмах и машинах, например в рессорах вагонов и автомобилей, применяют винтовые пружины. Эти пружины навивают из проволоки круглого поперечного сечения, изготовленной из специальных марок стали. При проектировании таких пружин необходимо уметь вычислять наибольшие напряжения (для проверки на прочность) и определять деформацию пружины (ее удлинение или прогиб). Точный расчет винтовых пружин достаточно сложен, так как материал пружины испытывает одновременно кручение, сдвиг, изгиб и растяжение.
Пружина с малым шагом витков – это такая пружина, у которой угол между плоскостью, перпендикулярной к оси пружины, и плоскостью витка не превышает 14º.
Пусть винтовая пружина растягивается (или сжимается) силами F , имеет средний диаметр D = 2R и изготовлена из проволоки диаметром d (рис. 10.9, а). Для определения внутренних усилий в пружине применим метод сечений.
Рис. 10.9. Схема винтовой пружины с малым шагом витков
Верхняя часть пружины (рис. 10.9, б) будет находиться в равновесии под действием внешней силы F и внутренних усилий в проведенном сечении прутка, которые можно представить суммой силы F и крутящего момента М кр .
Считая, что угол наклона витка , можно пренебречь остальными силовыми факторами (продольной силой и изгибающим моментом). Материал пружины испытывает срез и кручение.
Сила вызывает в поперечном сечении касательные напряжения , которые определяются по формуле
Считаем, что касательные напряжения распределяются по сечению равномерно (рис. 10.9, г).
Максимальные касательные напряжения от кручения равны:
Распределение касательных напряжений от кручения показано на рис. 10.9, в.
Опасной точкой на контуре сечения является точка А , в которой направления касательных напряжений совпадают. Таким образом, максимальные касательные напряжения равны:
Так как и на практике то часто действием пренебрегают.
Условие прочности для пружин малой кривизны (приближенный расчет):
Условие прочности для пружин малой кривизны:
Из формул для определения следует, что увеличение диаметра пружины D уменьшает ее прочность, а увеличение диаметра проволоки d – увеличивает.
При определении деформации пружины будем учитывать только кручение витков.
Изменение длины пружины вдоль оси под действием внешней нагрузки называется осадкой пружины λ
где n – число витков;
G – модуль сдвига.
Зависимость осадки λ от осевой нагрузки F называется характеристикой пружины. Обычные пружины имеют линейную характеристику.
Усилие F , при котором перемещение λ равно единице (1 м), называется жесткостью пружины с , которая определяется по формуле
размерность жесткости кН/м.
Итак, увеличение числа витков n и диаметра пружины D уменьшает жесткость пружины, а увеличение диаметра проволоки d повышает жесткость пружины.
Пример расчета
Задача 1. Для заданной схемы (рис. 10.10, а) определить значение m и построить эпюру крутящих моментов.
Решение.
1. Методом сечений на каждом участке вала определяем значение крутящего момента.
Рис. 10.10. Схема вала для построения эпюры
крутящих моментов
1-й участок . Рассмотрим равновесие левой отсеченной части вала. Составим уравнение равновесия:
На 1-м участке имеет отрицательное значение, так как со стороны внешней нормали к отсеченной части вращается по часовой стрелке.
2-й участок:
3-й участок:
с другой стороны:
2. Эпюра с учетом знаков построена на рис. 10.10, б.
Задача 2. Вал круглого поперечного сечения диаметром d = 40 мм скручивается моментами m 1 = 0,6 кНм, m 2 = 1,2 кНм и m 3 = 0,8 кНм (рис. 10.11, а). Проверить прочность вала и определить абсолютный угол закручивания концевого сечения, если [τ ] = 80 МПа, G = = 8×10 4 МПа.
Рис. 10.11. Схема вала круглого поперечного сечения
Решение.
1. Методом сечений строим эпюру крутящих моментов (рис. 10.11, б).
2. Определим геометрические характеристики поперечного сечения вала:
3. Проверяем прочность вала:
4. Определяем абсолютный угол закручивания концевого сечения:
Задача 3. Построить эпюру углов закручивания для ступенчатого стального вала, нагруженного, как показано на рис. 10.12, а. G = = 8×10 4 МПа.
Решение.
1. Определим геометрические характеристики сечений каждой ступени вала:
Рис. 10.12. Схема ступенчатого вала
2. Построим эпюру крутящих моментов (рис. 10.12, б).
3. Определим углы закручивания в характерных сечениях вала по формуле
Изображена на рис. 10.12, в.
Задача 4. Определить внутренний и наружный диаметры полого стального вала, передающего мощность N = 100 кВт и вращающегося с угловой скоростью ω = 80 рад/с, если [τ ] = 60 МПа; α = d /D = 0,6, [θ ] = 45×10 –4 рад/м, G = 8×10 4 МПа.
Решение.
1. Определим крутящий момент на валу:
2. Из условия прочности определим момент сопротивления сечения вала:
3. Определим наружный диаметр вала из условия жесткости:
4. Принимаем D = 80 мм, d = 48 мм.
Задача 5. Вал диаметром 90 мм передает мощность N = 80 кВт. Определить предельное число оборотов вала, если [τ ] = 60 МПа.
Решение.
1. Определим момент сопротивления поперечного сечения вала:
2. Из условия прочности определим крутящий момент на валу:
3. Определим предельное число оборотов вала:
Задача 6.
Какую мощность может передать вал, вращающийся с угловой мощностью ω
= 20 рад/с, диаметром d
= 100 мм при допускаемом напряжении [τ
] = 60 МПа и допускаемом угле закручивания
[θ
] = 45 × 10 –4 рад/м. Модуль сдвига G
= 8 × 10 4 МПа.
Решение .
1. Определим геометрические характеристики поперечного сечения вала:
2. Передаваемая валом мощность определяется по формуле
3. Из условия прочности имеем:
Из условия жесткости:
Принимаем
Задача 7.
d
= 6 мм, имеет n
= 10 витков. Диаметр пружины D
= 66 мм. Пружина растягивается осевыми силами F
= 300 Н. Проверить прочность пружины, если [τ
] = 240 МПа. Определить удлинение и жесткость пружины и накапливаемую потенциальную энергию.
G
= 8 × 10 4 МПа.
Решение.
1. Определим поправочный коэффициент:
2. Определим касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях прутка пружины:
3. Определим удлинение пружины под действием внешней нагрузки:
4. Определим жесткость пружины:
5. Определим потенциальную энергию деформации:
Задача 8. Стальная цилиндрическая пружина сжимается осевыми силами F (рис. 10.13). Пружина навита из проволоки диаметром d = 5 мм, с шагом t = 10 мм и имеет диаметр D = 30 мм. Определить значение сил F , при которых будет достигнута ее предельная осадка. G = 8 × 10 4 МПа.
Рис. 10.13. Схема пружины, сжатой осевыми силами
Решение.
1. Запишем условие жесткости пружины при сжатии:
2. Определим предельное значение сил F :
10.7. Задачи для самостоятельного решения
Задача 9. Для заданной схемы нагружения вала (рис. 10.14) построить эпюру крутящих моментов.
Рис. 10.14. Схема вала для построения эпюры крутящих моментов
Задача 10. Для заданного ступенчатого вала (рис. 10.15) построить эпюру крутящих моментов.
Рис. 10.15. Схема ступенчатого вала для построения эпюры
крутящих моментов
Задача 11. К валу постоянного сечения диаметром d = 50 мм (рис. 10.16) приложены моменты m 1 = 1 кНм, m 2 = 0,2 кНм, m 3 = 0,4 кНм и m 4 = 0,4 кНм. Проверить прочность вала, если [τ ] = 60 МПа. Определить полный угол закручивания, если G = 8 × 10 4 МПа.
Рис. 10.16. Схема вала постоянного сечения
Задача 12. Цилиндрическая пружина, изготовленная из стальной проволоки диаметром d = 5 мм, растягивается силами F = 400 Н. Диаметр пружины D = 30 мм. Проверить прочность пружины, если [τ ] = 500 МПа. Определить число витков пружины, при котором она удлиняется на 40 мм. G = 8 × 10 4 МПа.
Задача 13. Определить требуемый диаметр проволоки винтовой цилиндрической пружины для осевой нагрузки F = 1,2 кН, если D /d = 6 и [τ ] = 500 МПа.
Задача 14. Для заданной схемы нагружения (рис. 10.17) определить диаметры проволоки для обеих пружин, если D 1 /d 1 = D 2 /d 2 = 8 и [τ ] = = 600 МПа.
Рис. 10.17. Схема бруса, подвешенного на двух пружинах
10.8. Контрольные вопросы
1. Какой вид нагружения называется кручением?
2. Что называется валом? Что такое крутящий момент?
3. Какие деформации возникают при кручении?
4. Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении?
5. Вывести формулу для определения напряжений в поперечном сечении скручиваемого круглого вала.
6. Вывести формулы для определения относительного и полного углов закручивания круглого вала.
7. Что такое эпюра крутящего момента и как она строится?
8. Как распределяется касательное напряжение при кручении? Чему равно напряжение в центре круглого поперечного сечения?
9. Написать формулу для расчета напряжения на поверхности вала при кручении. Как изменится напряжение, если диаметр вала увеличится в два раза?
10. В чем заключается расчет на прочность при кручении?
11. В чем заключается расчет на жесткость при кручении?
12. Почему при одинаковой прочности и жесткости вал кольцевого поперечного сечения легче, чем вал сплошного круглого сечения?
13. Как вычислить потенциальную энергию деформации, накапливаемую валом при кручении?
14. Расчет статически неопределимых валов.
15. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом витков. Что такое осадка и жесткость пружины, как они определяются?
Сложное сопротивление