Zoologija. 

Celo urnik in liho. Funkcija paritete

Raziskovalna funkcija.

1) D (Y) - Področje depozita: veliko vseh teh vrednosti spremenljivke X. V katerih algebrskih izrazov f (x) in g (x) smiselno.

Če je funkcija določena s formulo, je površina opredelitve sestavljena iz vseh vrednosti neodvisne spremenljivke, v kateri je smiselna formula.

2) Lastnosti funkcije: Pariteta / čudnost, frekvenca:

Čudenin prodaja Imenovane funkcije, katerih grafi imajo simetrijo glede spremembe znaka argumenta.

    Čudno funkcijo - funkcija spreminjanja vrednosti na nasprotno pri spreminjanju znaka neodvisne spremenljivke (simetrično glede na središče koordinat).

    Funkcija vida - funkcija, ki ne spreminja svoje vrednosti pri spreminjanju znaka neodvisne spremenljivke (simetrično glede na osi).

    Ne nekaj intenzivnega (Funkcija splošne oblike) - Funkcija, ki nima simetrije. Ta kategorija vključuje funkcije, ki ne spadajo v prejšnje kategorije.

    Funkcije, ki ne pripadajo nobene kategorije zgoraj, se imenujejo niti (ali funkcije splošne oblike).

Trenutne funkcije

Čudna stopnja, kjer je samovoljno celo število.

Celo funkcije

Diploma, kjer - samovoljno celo število.

Periodična funkcija - funkcija, ki ponavlja svoje vrednosti prek rednega intervala argumenta, to je, ki ne spremeni svoje vrednosti pri dodajanju določene fiksne neničelne številke na argument ( obdobje Funkcije) v celotnem območju opredelitve.

3) Funkcije (korenine) ZEROS (korenine) - točke, kjer se spremeni v nič.

Iskanje presečišča urnega razporeda z osjo Oy.. Če želite to narediti, morate izračunati vrednost f.(0). Tudi križične točke urnika z osjo Vol.Kaj najti korenine enačbe f.(x.) \u003d 0 (ali se prepričajte, da ni korenin).

Točke, v katerih urnik prečka klic osi funkcija ZEROS.. Da bi našli ničle funkcij, da bi rešili enačbo, to je, da bi našli te pomene "x"v kateri se funkcija nanaša na nič.

4) Intervali znakov za nestabilnost, znaki v njih.

Vrzeli, kjer funkcija F (x) shrani znak.

Interval poravnave je interval, na vsaki točki katere Funkcija je pozitivna ali negativna.

Nad osi abscisa.

Pod osi.

5) Kontinuiteta (točka vrzenja, prekinitev, asimibilnost).

Neprekinjeno delovanje - Funkcija brez "skokov", to je tako, da majhne spremembe argumenta vodijo do majhnih sprememb vrednosti funkcije.

Točke za enkratno uporabo

Če je omejitev funkcije obstaja, vendar funkcija ni določena na tej točki, ali meja se ne ujema z vrednostjo funkcije na tej točki:

,

potem se imenuje točka ponudba odmora za enkratno uporabo Funkcije (v integrirani analizi posebne točke).

Če "popravite" funkcijo na počitku za enkratno uporabo in postavite , potem je funkcija neprekinjena na tej točki. Takšno delovanje na funkciji se imenuje opredeljena funkcija za neprekinjeno ali opredelitev funkcije kontinuiteteki upravičuje naslov točke, kot so točke za enkratno uporabo Valovanje.

Točke vrzeli prve in druge vrste

Če ima funkcija vrzel na tej točki (to je meja funkcije na tej točki manjka ali ne sovpada z vrednostjo funkcije na tej točki), nato za numerične funkcije obstajata dve možni možnosti, povezane z obstoj numeričnih funkcij. enostranske omejitve:

    Če obstajata obe enostranski meji in so končni, se taka točka imenuje bistvo razbijanja prve vrste. Točke vrzeli za enkratno uporabo so prve vrste točk odmora;

    Če obstaja vsaj ena od enostranskih meja ali ni končna velikost, potem se taka točka imenuje točko preloma druge vrste.

Asimptota. - ravno, ki ima lastnost, ki je razdalja od točke krivulje ravno Ona si prizadeva za nič, ko je točka odstranjena vzdolž vej zamaškov.

Navpično

Vertikalna asimptota - neposredna meja .

Praviloma se pri določanju vertikalnih asimptotov iščejo ne eno mejo, ampak dve enostranski (levo in desno). To je narejeno, da se ugotovi, kako se funkcija obnaša tako blizu navpičnih asimptotov z različnih strani. Na primer:

Vodoravno

Horizontalna asimptota - ravno Vrste, ki so predmet obstoja omejitev

.

Nagnjena

Nagnjena asimptota - ravno Vrste, ki so predmet obstoja omejitve

Opomba: Funkcija lahko nima več kot dva nagnjena (vodoravna) asimptota.

Opomba: Če vsaj ena od zgoraj navedenih dveh omejitev ne obstaja (ali enaka), potem ni nagnjenih asimptotov na (ali).

Če je v odstavku 2.), in meja je s formulo horizontalnih asimptotov, \\ t .

6) Iskanje intervalov monotonije.Poiščite funkcijo monotonskih intervalov f.(x.) (To je, povečanje in padajoče intervale). To storite s preučevanjem znaka derivata f.(x.). Za to najdemo derivat f.(x.) in reševanje neenakosti f.(x.) 0. V intervalih, kjer se izvede ta neenakost, funkcija f.(x.) se poveča. Kjer se izvaja nasprotna neenakost f.(x.) 0, funkcija f.(x.) zmanjšuje.

Lokalni ekstrem.Iskanje monotonskih intervalov, lahko takoj določimo točke lokalnega ekstrema, kjer se povečanje nadomesti s padajočim, lokalni Maxima se nahaja, in kjer se zmanjšanje nadomesti z naraščajočimi lokalnimi padci. Izračunajte vrednost funkcije na teh točkah. Če ima funkcija kritične točke, ki niso lokalne ekstremne točke, je koristno izračunati vrednost funkcije in na teh točkah.

Najti največje in najmanjše vrednosti funkcije y \u003d f (x) na segmentu(nadaljevano)

1. Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta: f.(x.).

2. Poiščite točke, v katerih je derivat nič: f.(x.)=0x. 1, x. 2 ,...

3. Določite pripadnost točk h. 1 , H. 2 , … segment [ a.; b.]: Naj bo x.1a.;b. , Ampak x.2a.;b. .

4. Poiščite vrednosti funkcije v izbranih točkah in na koncu segmenta: f.(x. 1), f.(x. 2),..., f.(x. a.),f.(x. b.),

5. Izbira največjih in najmanjših vrednosti funkcije.

Komentar. Če na segmentu [ a.; b.] Obstajajo točke vrzeli, nato pa je treba v njih izračunati enostranske omejitve, nato pa njihovi pomen razmisliti pri izbiri največjih in najmanjših funkcijskih vrednosti.

7) Iskanje intervalov izboklina in konkavnosti. To se opravi s preučevanjem znaka drugega derivata f.(x.). Poiščite blister točke na spojih intervalov izboklina in konkavni. Izračunajte vrednost funkcije na napakah. Če ima funkcija druge kontinuitne točke (razen za blazine), v katerih je drugi derivat 0 ali ne obstaja, potem pa na teh točkah je koristno tudi izračunati vrednost funkcije. Najdemo f.(x.) Rešimo neenakost f.(x.) 0. Na vsakem intervalih rešitve bo funkcija konferenčna. Reševanje povratne neenakosti f.(x.) 0, najdemo intervale, na katerih je funkcija konveksne navzgor (to je, joka). Opredelimo oklevalne točke, kot tistih, v katerih funkcija spremeni smer konveksnosti (in neprekinjeno).

TOČKA FUNKCIJE - To je točka, v kateri je funkcija neprekinjena in pri preklapljanju, s katerim funkcija spremeni smer konveksnosti.

Pogoji obstoja

Potreben pogoj za obstoj točke napolnjenosti: \\ t Če je funkcija dvakrat diferencialna v nekaterih barvah barve točke, potem ali .

Pariteta in nenavadnost funkcije sta ena od njegovih glavnih lastnosti, v pariteju pa zavzema impresiven del šolskega tečaja v matematiki. Določa naravo vedenja funkcije in močno olajša gradnjo ustreznega urnika.

Določiti pariteto funkcije. Na splošno se funkcija v študiji šteje, tudi če za nasprotne vrednosti neodvisne spremenljivke (X), ki so v območju definicije, ustrezne vrednosti Y (funkcije) enake.

Dali bomo strožjo definicijo. Razmislite o nekaterih funkcijah F (X), ki je nastavljena v regiji D. To bo celo, če je za katero koli točko X na področju opredelitve:

  • -x (nasprotna točka) leži tudi na tem področju opredelitve,
  • f (-x) \u003d f (x).

Iz dane definicije je sleden stanju, ki je potreben za določitev take funkcije, in sicer, simetrijo glede na točko začetka koordinat, saj če je določena točka B vsebovana na področju določanja celo funkcije, ustrezno točko je tudi na tem področju. Od zgoraj navedenega torej zaključek pomeni: celo funkcija je simetrična na osi (OY) osi.

Kako vaditi pariteto funkcije?

Pustiti je treba dati s formulo H (X) \u003d 11 ^ x + 11 ^ (- x). Po algoritmu, ki se pojavi neposredno iz opredelitve, preučimo predvsem njegovo definicijsko območje. Očitno je, da je definiran za vse vrednosti argumenta, to je prvi pogoj izpolnjen.

Naslednji korak je nadomestiti namesto argumenta (x) njegove nasprotne vrednosti (-X).
Dobimo:
h (-x) \u003d 11 ^ (- x) + 11 ^ x.
Ker dodatek izpolnjuje komentarski (prehodni) zakon, potem je očitno H (-X) \u003d H (X) in podana funkcionalna odvisnost je celo.

Preverite pariteto funkcije h (x) \u003d 11 ^ x-11 ^ (-x). Po istem algoritmu, smo dobili H (-X) \u003d 11 ^ (- X) -11 ^ x. Posledično bom naredil minus
h (-x) \u003d - (11 ^ x-11 ^ (-x)) \u003d - h (x). Posledično je H (x) liho.

Mimogrede, opozoriti, da obstajajo funkcije, ki jih ni mogoče razvrstiti v skladu s temi funkcijami, se imenujejo niti niti liho.

Tudi funkcije imajo številne zanimive lastnosti:

  • zaradi dodatka takšnih funkcij se pridobiva tudi;
  • kot rezultat, odštevanje takih funkcij prejme tudi;
  • Tudi, tudi;
  • zaradi pomnoževanja dveh takih funkcij se pridobiva tudi;
  • zaradi množenja lihih in celo funkcij je dobil liho;
  • kot posledica delitve čudnih in celo funkcij, prejmejo čudno;
  • derivat take funkcije je liho;
  • Če gradimo čudno funkcijo na trgu, dobimo celo.

Pripravljenost funkcije se lahko uporabi pri reševanju enačb.

Reševanje enačbe tipa G (X) \u003d 0, kjer je levi del enačbe je celo funkcija, bo dovolj, da najdete IT rešitve za ne-negativne vrednosti spremenljivke. Pridobljene korenine enačbe je treba kombinirati z nasprotnimi številkami. Eden od njih je predmet preverjanja.

To se uspešno uporablja za reševanje nestandardnih nalog s parametrom.

Na primer, ali obstaja vrednost parametra A, v kateri enačba 2x ^ 6-x ^ 4-AX ^ 2 \u003d 1 bo imela tri korenine?

Če menimo, da spremenljivka vstopi v enačbo v celoti, je jasno, da se zamenjava X določene enačbe ne bo spremenila. Iz tega sledi, da če je določena številka njegova koren, potem je tudi nasprotna številka. Zaključek je očiten: korenine enačbe, ki niso nič, so vključene v številne rezultate svojih "parov".

Jasno je, da številka 0 sama ni, to je, da je število korenin podobne enačbi lahko samo celo in, seveda, nobena od vrednosti parametrov ne more imeti treh korenin.

Toda število korenin enačbe 2 ^ x + 2 ^ (-x) \u003d AX ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 je lahko liho in za vsako vrednost parametra. Dejansko je enostavno preveriti, da niz korenin te enačbe vsebuje rešitve za "pare". Preverite, ali je 0 koren. Pri zamenjavi v enačbo dobimo 2 \u003d 2. Poleg tega je poleg "seznanjenega" 0, je tudi koren, ki dokazuje svoj čuden znesek.

Funkcija se imenuje enako (liho), če se za vsakogar izvede enakost

.

Celo funkcijski graf je simetričen glede osi
.

Razpored čudne funkcije je simetričen na začetku koordinat.

Primer 6.2. Raziščite pariteto ali izčrpanost funkcije

1)
; 2)
; 3)
.

Sklep.

1) Funkcija se določi, ko
. Najti
.

Ti.
. Torej je ta funkcija celo.

2) Funkcija je definirana, ko

Ti.
. Tako je ta funkcija liha.

3) Funkcija je definirana za, tj. za

,
. Zato funkcija ni niti niti liho. Kličemo ga skupno funkcijo tipa.

3. Preiskava funkcije na monotoniji.

Funkcija
v nekaterih intervalov se imenuje povečanje (zmanjševanje), če v tem intervalu vsaka večja vrednost argumenta ustreza večji (manjši) vrednosti funkcije.

Funkcije povečanja (zmanjševanja) se v nekaterih intervalu imenujejo monotono.

Če je funkcija
razlika v intervalu
in ima pozitiven (negativni) derivat
, nato funkcijo
povečanje (zmanjša) v tem intervalu.

Primer 6.3.. Poiščite intervale funkcij Monotonija

1)
; 3)
.

Sklep.

1) Ta funkcija se določi na celotni številski osi. Poiščite derivat.

Derivat je nič, če
in
. Območje opredelitve je numerična os, razdeljena po točkah
,
v intervalih. V vsakem intervalu določite znak derivata.

V intervalu
derivat je negativen, funkcija v tem intervalu se zmanjšuje.

V intervalu
derivat je pozitiven, zato se funkcija v tem intervalu poveča.

2) Ta funkcija je opredeljena, če
ali

.

V vsakem intervalu določite znak kvadratnih treh napak.

Tako je območje definicije polja

Poiščite derivat
,
, če
.
, Ampak
. Določite znak derivata v intervalih
.

V intervalu
derivat je zato negativen, zato se funkcija zmanjša na intervalu
. V intervalu
derivat je pozitiven, funkcija se poveča na interval
.

4. Študija funkcije za ekstremno.

Točka
imenovane najvišje točke (minimalne) funkcije
Če obstaja takšna sosedska točka to za vse
neenakost se izvaja iz te soseske

.

Najvišje točke in minimalne funkcije se imenujejo ekstremne točke.

Če je funkcija
na točki ima ekstrem, izvedena funkcija na tej točki je nič ali ne obstaja (potreben pogoj za obstoj ekstremnega).

Točke, v katerih je derivat enak nič ali se ne imenuje kritična.

5. Za zadostne pogoje za obstoj ekstrema.

Pravilo 1.. Če je med prehodom (od leve proti desni) skozi kritično točko derivat.
spremeni znak iz "+" na "-", nato pa na točki funkcija
ima največ; Če z "-" na "+", potem minimum; če
ne spremeni znaka, potem pa ekstrem ni.

Pravilo 2.. Naj v točki
prva derivata
enaka nič
in drugi derivat obstaja in se razlikuje od nič. Če
T. - Največja točka, če
T. - točka minimalne funkcije.

Primer 6.4 . Raziščite najvišjo in minimalno funkcijo:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Sklep.

1) Funkcija je določena in neprekinjena na intervalu
.

Poiščite derivat
in reševanje enačbe
.
.Otyud.
- kritične točke.

Določite znak derivata v intervalih,
.

Ko se premaknete skozi točke
in
izvedeni finančni instrument spremeni znak iz "-" "na" + ", zato v skladu s pravilom 1
- Minimalne točke.

Pri prehodu skozi točko
izvedeni finančni instrument spremeni znak iz "+" na "-", torej
- Največja točka.

,
.

2) Funkcija je definirana in neprekinjena v intervalu
. Poiščite derivat
.

Odločanje enačbe
Najdemo
in
- kritične točke. Če je imenovalec
.
, derivat ne obstaja. Tako,
- Tretja kritična točka. Določite znak derivata v intervalih.

Posledično ima funkcija najmanj na točki
, največje točke
in
.

3) Funkcija je definirana in neprekinjena, če
. za
.

Poiščite derivat

.

Našli bomo kritične točke:

Soseske
ne pripadajo območju opredelitve, zato niso t. Ekstrem. Torej raziskujemo kritične točke
in
.

4) Funkcija je definirana in neprekinjena na intervalu
. Uporabljamo pravilo 2. Poiščite derivat
.

Našli bomo kritične točke:

Našli smo drugi derivat
in opredeli svoj znak na točkah

V točkah
funkcija ima najmanj.

V točkah
funkcija ima največ.

Ki vam je bilo v eni stopnji znano. Opazili smo tudi, da bi se stalež lastnosti funkcij postopoma dopolnila. O dveh novih lastnostih in bomo razpravljali v tem odstavku.

Opredelitev 1.

Funkcija y \u003d f (x), x є x, se imenuje tudi, če se enakost f (-x) \u003d f (x) izvede za vsako vrednost x iz niza X.

Opredelitev 2.

Funkcija Y \u003d F (X), X є x se imenuje liho, če se izvede enakost f (x) \u003d -f (x) za katero koli vrednost X iz niza X.

Dokaži, da je y \u003d x 4 enako delovanje.

Sklep. Imamo: f (x) \u003d x 4, f (s) \u003d (s) 4. Ampak (s) 4 \u003d x 4. Torej, za katero koli X, se izvede enakost f (s) \u003d f (x), t.j. Funkcija je celo.

Podobno je mogoče dokazati, da so funkcije Y-X2, Y \u003d X6, Y-X8 celo.

Dokaži, da y \u003d x 3 ~ čudna funkcija.

Sklep. Imamo: f (x) \u003d x 3, f (s) \u003d (s) 3. Ampak (S) 3 \u003d -KH3. Torej, za katero koli X, se izvede enakost f (S) \u003d -f (x), tj. Funkcija je liha.

Podobno je mogoče dokazati, da so funkcije y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 lihi.

Prepričani smo že, da so novi izrazi v matematiki najpogosteje "zemeljsko" poreklo, t.j. Nekako jih lahko razložijo. To velja za celo in z lihimi funkcijami. Glejte: Y - X3, Y \u003d X5, Y \u003d X 7 - Nedo funkcije, medtem ko Y \u003d X2, Y \u003d x 4, Y \u003d x 6 - celo funkcije. Na splošno, za vse funkcije tipa y \u003d x "(spodaj bomo posebej, bomo preučili te funkcije), kjer je n naravno število, lahko sklepamo: če je n liho število, potem funkcija y \u003d x "je čudno; Če je n celo število, potem je funkcija Y \u003d XN celo.

Obstajajo tudi funkcije, ki niso niti niti lihi. Takšna je, na primer, funkcija y \u003d 2x + 3. v resnici, f (1) \u003d 5, in f (-1) \u003d 1. Kot lahko vidite, to pomeni, da ni identitete f (-x) \u003d f (x), niti identiteta f (s) \u003d -f (x).

Torej, funkcija je lahko celo, čudno, kot tudi tako niti drugo.

Preučevanje vprašanja, ali je dana funkcija celo ali nenavadna, običajno se nanaša na študijo funkcij za pariteto.

V definicijah 1 in 2 govorimo o vrednostih funkcije na točkah X in -X. Predvideva se, da je funkcija definirana tudi na točki X, in na točki. To pomeni, da točka -H pripada na področju določanja funkcije hkrati s točko X. Če je numerični komplet X skupaj z vsakim elementom X vsebuje nasprotni element, se x imenuje simetrični komplet. Recimo (-2, 2), [-5, 5], (-OO, + OO) - simetrične komplete, medtem ko Ker Y \u003d SQRT (1 + x ^ (2)) neq 1 za katero koli X v [-1; 1].

Omejeno To je običajno, da pokličete funkcijo y \u003d f (x), x v x, ko je taka številka K\u003e 0, za katero se izvede neenakost F (x) Pravica | Neq K za katero koli X \\ t

Primer omejene funkcije: Y \u003d Sin X je omejen na celotno številčno os, od takrat Levo | Sin X \\ t Neq 1..

Povečanje in zmanjševanje funkcije

O funkciji, ki se povečuje na obravnavanem intervalu, je običajno govoriti povečanje funkcije Potem, ko večja vrednost X ustreza večji vrednosti funkcije y \u003d f (x). Od tu se izkaže, da jemlje dve poljubni vrednosti argumenta X_ (1) in X_ (2) iz obravnavanega intervala, z X_ (1)\u003e X_ (2), bo Y (X_ (1) )\u003e Y (x_ (2)).

Funkcija, ki se zmanjšuje na obravnavanem intervalu, se imenuje zmanjševanje funkcije Potem, ko večja vrednost X ustreza manjši vrednosti funkcije Y (X). Od tu se izkaže, da sta dve poljubni vrednosti argumenta X_ (1) in X_ (2), z X_ (1)\u003e X_ (2), bo Y (X_ (2), bo iz tega< y(x_{2}) .

Funkcija korenin To je običajno, da pokličete točke, v katerih funkcija F \u003d Y (X) prečka osi abscisa (dobijo kot posledica reševanja enačbe Y (X) \u003d 0).

a) Če je na X\u003e 0, se celo funkcija poveča, potem se zmanjšuje z x< 0

b) Kdaj z x\u003e 0 deluje celo funkcija, nato pa se poveča z x< 0

c) Ko se z X\u003e 0 poveča liho funkcijo, se poveča z x< 0

d) Ko se bo zmanjšala čudna funkcija z X\u003e 0, se bo zmanjšala z x< 0

Ekstremna funkcija

Najmanjša funkcija Y \u003d f (x) Običajno je, da pokličete to točko x \u003d x_ (0), v kateri bo njena soseska imela druge točke (razen točke X \u003d x_ (0)), in neenakosti f (x)\u003e f bo izveden (x_ (0)). y_ (min) - funkcija označevanja na min točki.

Točka največje funkcije Y \u003d f (x) Običajno je, da pokličete tako točko X \u003d x_ (0), v kateri bo njena soseska imela druge točke (razen točke X \u003d x_ (0)), nato pa neenakost f (x) bo izveden< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Predpogoji

Po navedbah kmetije Therem: F "(x) \u003d 0 Ko je funkcija F (X), ki se diferencira na točki X_ (0), se ekstrem prikaže na tej točki.

Zadostno stanje

  1. Ko se izvedena vrednost spremeni iz plus na minus, bo X_ (0) minimalna točka;
  2. x_ (0) - To bo največja točka le, če se derivat spremeni znak iz minus plus, ko preklapljate skozi stacionarno točko X_ (0).

Največja in najmanjša vrednost funkcije na intervalu

Računalniški koraki:

  1. Išče je izpeljan f "(x);
  2. Obstajajo stacionarne in kritične točke funkcije in izberite segment, ki pripada;
  3. Obstajajo vrednosti funkcije F (x) v stacionarnih in kritičnih točkah in segmentih. Manj od dobljenih rezultatov najmanjša vrednost funkcijein več - super.