Kot je razlika v kockah. CUBE CUBE IN RAZLIKE CUBES: Pravila za uporabo formul skrajšanih razmnoževalcev
Formule ali skrajšana untiplikacijska pravila se uporabljajo v aritmetičnih, ali pa - v algebri, za hitrejši proces izračuna velikih algebrskih izrazov. Formule sami so pridobljeni iz pravil, ki obstajajo v algebri, da množijo več polinomov.
Uporaba teh formul zagotavlja dokaj operativno rešitev različnih matematičnih nalog, prav tako pa pomaga poenostaviti izraze. Pravila algebrskih transformacij vam omogočajo, da izvedete nekatere manipulacije z izrazi, po katerih je mogoče v levem delu enakosti v levem delu enakosti pridobiti izraz na desni strani ali za pretvorbo desnega dela enakosti (za pridobitev izraz, ki stoji na levi strani po znaku enakosti).
To je priročno vedeti formule, ki se uporabljajo za skrajšane množenje, kot tudi, da se pogosto uporabljajo pri reševanju problemov in enačb. Spodaj so osnovne formule, vključene na ta seznam in njihovo ime.
Kvadratnega zneska
Da bi izračunali kvadrat zneska, je treba najti znesek, ki ga sestavljajo kvadrat prvega izraza, je podvojil izdelek prvega mandata na drugi in kvadrat drugega. V obliki izražanja je to pravilo napisano na naslednji način: (A + C) ² \u003d A² + 2as + C².
Kvadratna razlika
Za izračun kvadratnosti razlike je treba izračunati znesek, ki je sestavljen iz kvadrata prve številke dvakrat na prvo številko na drugo (vzeto z nasprotnim znakom) in kvadrat druge številke. V obliki izražanja je to pravilo naslednje: (a - c) ² \u003d a² - 2as + c².
Kvadratna razlika
Formula za razliko med dvema številkama, postavljena na kvadrat, je enaka količini vsote teh številk na njihovi razliki. V obliki izražanja je to pravilo naslednje: a² - C² \u003d (A + C) · (A - C).
Kocka
Da bi izračunali kocko vsote obeh komponent, je treba izračunati znesek, ki ga sestavlja kocka prvega izraza, potrojila delo kvadrat prvega mandata in drugega, potrojila proizvod prvega mandata in drugi na trgu, kot tudi kocka drugega mandata. V obliki izražanja je to pravilo naslednje: (A + C) ³ \u003d A³ + 3A² + 3AS² + C³.
Količino kock
Po formuli je enaka količini zneska pogojev sestavnih delov na njihovem nepopolnem kvadratu razlike. V obliki izražanja je to pravilo naslednje: A³ + C³ \u003d (A + C) · (A² - AC + C²).
Primer. Treba je izračunati volumen oblike, ki se oblikuje z dodajanjem dveh kockov. Znano je tudi le vrednote svojih strank.
Če so vrednosti strank majhne, \u200b\u200bnato izvedejo izračune preprosto.
Če je dolžina strank izražena v obsežnih številkah, potem je v tem primeru lažje uporabljati "količino kocke" formule, ki bo bistveno poenostavila izračune.
Cube razlika
Izraz za kubično razliko, kot je ta: kot vsota tretje stopnje prvega izraza, potrojila negativno delo kvadrat prvega člana na drugi, potrojila delo prvega člana na kvadrat druge in negativne kocka drugega mandata. V obliki matematičnega izraza je razlika kocke, kot je ta: (A - C) ³ \u003d A³ - 3A² + 3AS² - C³.
Kubične razlike
Fubeska razlika formula se razlikuje od količine kock le en znak. Tako je razlika kocke je formula, ki je enaka proizvodu razlike podatkov med nepopolno kvadratno vsoto. Razlika kockov je naslednja: A 3 - od 3 \u003d (A-C) (in 2 + AC + C2).
Primer. Treba je izračunati volumen slike, ki bo ostal po odštevanju prostornine modre kocke rumene osnutka rumene barve, ki je tudi kocka. Znana je le obseg strani majhne in velike kocke.
Če so vrednosti strank majhne, \u200b\u200bso izračuni precej preprosti. In če so dolžine strank izražene v pomembnih številkah, je treba uporabiti formulo z naslovom "Razlike kock" (ali "kocka razlike"), ki bo bistveno poenostavila izračune.
Kvadratna razlika
Pridobimo formulo za razliko v kvadratih $ a ^ 2-b ^ 2 $.
Za to se spomnite naslednjega pravila:
Če dodajo izraz enostranskega in odštejejo isto enkrat, bomo dobili zvesto identiteto.
Dodamo k našemu izrazu in odštejemo $ AB $ iz njega:
Skupaj dobimo:
To pomeni, da je razlika v kvadratih dveh homoralov enaka proizvodu njihove razlike za njihovo vsoto.
Primer 1.
Prisoten v obliki izdelka $ (4x) ^ 2-y ^ 2 $
[(4x) ^ 2-y ^ 2 \u003d ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \\ _ \\ t
[((2x)) ^ 2-y ^ 2 \u003d levo (2x-y desno) (2x + y) \\ _ \\ t
Količino kock
Pridobivamo formulo količine kocke $ a ^ 3 + B ^ $ 3.
Izvedel bom splošne dejavnike za naramnice:
Prinesel bom $ levo za oklepaje (A + B) $:
Skupaj dobimo:
To pomeni, da je vsota kocke dveh homoralov enaka delu njihove vsote na nepopolnem trgu njihove razlike.
Primer 2.
Pošljite v obliki izdelka $ (8x) ^ 3 + Y ^ $ 3
Ta izraz je mogoče ponovno napisati v naslednjem obrazcu:
[(8x) ^ 3 + y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \\ _ \\ t
Uporaba formule kvadratne razlike, dobimo:
[((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \u003d levo (2x + y desnega) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \\ _ \\ t
Kubične razlike
Pripeljimo formulo razliko kocke $ a ^ 3-b ^ $ 3.
Za to bomo uporabili enako pravilo kot zgoraj.
Dodamo k našemu izrazu in odštejemo. $ A ^ 2b (AB) ^ $ 2:
Izvedel bom splošne dejavnike za naramnice:
Prenesel bom $ levo za oklepaje (A-B) $:
Skupaj dobimo:
To pomeni, da je razlika kocke dveh homoralov enaka izdelku njihove razlike na nepopolnem trgu njihove vsote.
Primer 3.
V obliki izdelka $ (8x) ^ 3-y ^ $ 3
Ta izraz je mogoče ponovno napisati v naslednjem obrazcu:
[(8x) ^ 3-y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \\ _ \\ t
Uporaba formule kvadratne razlike, dobimo:
[((2x)) ^ 3-y ^ 3 \u003d levo (2x-y desno) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \\ _ \\ t
Primer nalog za uporabo formul razlike kvadratov in količino in razlika kocke
Primer 4.
Razpade.
a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
c) $ -x ^ 3 + frac (1) (27) $
Sklep:
a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
[((((((((a + 5)) ^ 2-9 \u003d (A + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \\ _ \\ t
Uporaba formule razlike v kvadratov, dobimo:
[((((((A + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \u003d levo (A + 5-3 desno) levo (A + 5 + 3) \u003d levo (A + 2 \\ t +8) \\ t
Ta izraz pišemo v obliki:
Nanesite formulo kocke kocke:
c) $ -x ^ 3 + frac (1) (27) $
Ta izraz pišemo v obliki:
[- x ^ 3 + FRAC (1) (27) \u003d (levo (Frac (1) (3) Desno)) ^ 3-X ^ 3 \\ _ \\ t
Nanesite formulo kocke kocke:
[(Levo (LAC (1) (3) DESNO)) ^ 3-X ^ 3 \u003d left (Frac (1) (3) -X desno) levo (Frac (1) (\\ t 9) + Frac (x) (3) + x ^ 2 Desno) \\ t
V prejšnjih lekcijah smo pregledali dve metodi razgradnje polinoma do multiplikatorjev: splošni faktor za oklepaje in metodo združevanja.
V tej lekciji bomo razmislili o še en način razgradnje polinomov na multiplikatorje Uporaba formul skrajšanega množenja.
Priporočamo vsako formulo, da se registrira vsaj 12-krat. Za boljšo zaponko, zapišite vse formule skrajšane razmnoženosti sebe na majhno jaslico.
Spomnimo se, kako izgledajo razlika formula kock.
a 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)Formula Cubic Razlika ni zelo enostavna za zapomnitev, zato priporočamo uporabo posebnega načina, da ga zapomnimo.
Pomembno je razumeti, da je vsaka formula skrajšane razmnoževanja veljavna obratna stran .
(A - B) (A 2 + AB + B 2) \u003d A 3 - B 3Razmislite o primeru. Potrebno je razgraditi razliko v kockah na multiplikatorjih.
Ugotavljamo, da je "27A 3" "(3a) 3", to pomeni za formulo kubične razlike namesto "A" uporabljamo "3a".
S pomočjo formule CUBE razlika. V mestu "A 3" imamo "27A 3", na mestu "B 3", kot v formuli, je "B 3".
Uporaba razlike kock v nasprotni smeri
Razmislite o drugem primeru. Potrebno je pretvoriti produkt polinomov v razliko kocke, ki uporabljajo s formulo skrajšanih množenja.
Upoštevajte, da je produkt polinomov "(x - 1) (x 2 + x + 1)" podoben desni strani formule kocke "", samo namesto "a" stojala "X", in na spletnem mestu "B "Stroški" 1 ".
Uporabljamo za "(x - 1) (x 2 + x + 1)" formulo razlike kock v nasprotni smeri.
Razmislite o primeru težje. Poenostaviti je treba izdelek polinomov.
Če primerjate "(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)" s desnim delom formule kocke
« a 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)"Lahko se razume, da je na mestu" A "iz prvega nosilca" Y 2, na mestu "B" je "1".
Formule skrajšane razmnoženosti.
Študija formula skrajšanega množenja: kvadrat vsote in kvadrat razlika dveh izrazov; Kvadratne razlike dveh izrazov; Cuba Sums in Cube Razlika dveh izrazov; Količine in razlike na kocke dveh izrazov.
Uporaba formul skrajšanega množenja pri reševanju primerov.
Poenostaviti izraze, razgradnjo polinomov na multiplikatorjih, ki prinašajo polinome standard. Uporabljajo se formule skrajšanega množenja. Kratkotrajne multiplikacijske formule morajo biti znane.
Naj A, B r. Nato:
1. Kvadrat vsote dveh izrazov je enak Trg prvega izraza plus zvit izdelek prvega izraza na drugi plus kvadrat drugega izraza.
(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2
2. Kvadrat razlika dveh izrazov je enak Trg prvega izraza minus dvakrat izdelek prvega izraza na drugi plus kvadrat drugega izraza.
(A - B) 2 \u003d A 2 - 2ab + B 2
3. Kvadratna razlikadva izraza sta enaka produktu teh izrazov in njihove vsote.
a 2 - B2 \u003d (A-L) (A + B)
4. Kockadva izraza sta enaka kubi prvega izraza, skupaj pa se potrojili produkt prvega izraza na drugi plus tropni produkt prvega izraza na trgu druge plus kocke drugega izraza.
(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
5. Cube razlikadva izraza sta enaka kubi prvega izraza minus trojčeno delo kvadrat prvega izraza na drugi plus potrojila delo prvega izraza na kvadratu druge minus kocke drugega izraza.
(A - B) 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
6. Količino kockdva izraza sta enaka kolini vsote prvega in drugega izraza na nepopolnem kvadratu razlike teh izrazov.
a 3 + B 3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2)
7. Kubične razlike Dva izraza sta enaka proizvodu prvega in drugega izraza na nepopolnem kvadratu vsote teh izrazov.
a 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)
Uporaba formul skrajšanega množenja pri reševanju primerov.
Primer 1.
Izračunajte
a) Uporaba vsote vsote dveh izrazov, imamo
(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681
b) Uporaba formule kvadratnosti razlike dveh izrazov, dobimo
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 \u003d 1000 - 400 + 4 \u003d 9604
Primer 2.
Izračunajte
Uporaba formule velikosti kvadratov dveh izrazov, dobimo
Primer 3.
Poenostavite izraz
(x - y) 2 + (x + y) 2
Uporabljamo kvadratne formule vsote in kvadratnosti razlike dveh izrazov
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2H + v 2 + x 2 + 2H + y 2 \u003d 2x 2 + 2Y 2
Formule skrajšane množenje v eni tabeli:
(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2
(A - B) 2 \u003d A 2 - 2ab + B 2
A 2 - B 2 \u003d (A-B) (A + B)
(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
(A - B) 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
A 3 + B 3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2)
A 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)
Formule okrajšanega množenja (FSU) se uporabljajo za postavitev številk in izrazov do stopnje in množenja številk. Pogosto te formule omogočajo izračune bolj kompaktne in hitro.
V tem članku navajamo osnovne formule skrajšanih razmnoževalcev, jih razvrstimo v tabelo, razmislite o primerih uporabe teh formul in se osredotočite tudi na načela dokazov o formulih skrajšanega množenja.
Prvič, tema FSU se obravnava v okviru programa "Algebra" za 7. razred. Dajmo pod 7 glavnih formul.
Formule skrajšane razmnoženosti
- količina kvadratne formule: A + B 2 \u003d A 2 + 2 A B + B 2
- formula kvadratnosti razlika: A - B 2 \u003d A 2 - 2 A B + B 2
- kuba Formula Sum: A + B 3 \u003d A 3 + 3 A 2 B + 3 A B 2 + B 3
- razlika formule CUBA: A - B 3 \u003d A 3 - 3 A 2 B + 3 A B 2 - B 3
- square Razlika Formula: A 2 - B 2 \u003d A-B A + B
- formula kocke: A 3 + B 3 \u003d A + B A 2 - A B + B 2
- cubic Razlika Formula: A 3 - B 3 \u003d A - B A 2 + A B + B 2
Črke A, B, C v teh izrazi so lahko vse številke, spremenljivke ali izraze. Za enostavnost uporabe je bolje, da se naučite sedem osnovnih formul po srcu. Minimiziramo jih v mizi in podajamo pod krogotokom.
Prve štiri formule omogočajo izračun kvadrata ali kocke ali razlike dveh izrazov.
Peta formula izračuna razlikovanje kvadratov izrazov po proizvodu njihove vsote in razlike.
Šesti in sedmi formule so pomnožene znesku in razlika izrazov na nepopolnem trgu razlike in nepopolne kvadratne vsote.
Formula skrajšane razmnoževanja se včasih imenuje identitete skrajšane razmnoževanja. To ni presenetljivo, saj je vsaka enakost identiteta.
Pri reševanju praktičnih primerov se pogosto uporabljajo formule skrajšane razmnoževanja s preurajočami mesti, desnimi deli. To je še posebej priročno, ko je razgradnja polinoma do multiplikatorjev.
Dodatne formule skrajšanega množenja
Ne bomo omejeni na potek 7. razreda, ki ga Algebra dodamo in dodamo več formul na našo mizo.
Najprej razmislite s formulo Binoma Newtona.
a + B N \u003d C N 0 · N + C N1 · A N - 1 · B + C N 2 · N - 2 · B 2 +. . + C n n - 1 · a · b n - 1 + c n n · b n
Tu C N K je binomski koeficienti, ki stojijo v vrsti pod številko N v Pascal Triangle. Binomski koeficienti se izračunajo po formuli:
C N K \u003d N! K! · (N - k)! \u003d N (N - 1) (N-2). . (N - (K - 1) K!
Kot smo videli, FSU za kvadrat in kocka razlike in vsota je poseben primer podjetja Newton Binoma pri N \u003d 2 in N \u003d 3ct.
Kaj pa, če komponente v količini, ki jih je treba jemati v stopnjo, več kot dva? Uporabna bo formula vsote treh, štirih in več komponent.
a 1 + A 2 +. . + A n 2 \u003d A12 + A 2 2 +. . + A n 2 + 2 a 1 A 2 + 2 A 1 A 3 +. . + 2 A 1 A N + 2 A 2 A 3 + 2 A 2 A 4 +. . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Druga formula, ki je lahko koristna - formula za formulo za razliko v n-th stopinj obeh izrazov.
n-B N \u003d A - B A N - 1 + A N - 2 B + A N - 3 B 2 +. . + A 2 B N - 2 + B N - 1
Ta formula je običajno ločena v dve formula - oziroma za celo in liho stopinj.
Za celo kazalnike 2M:
a 2 M - B 2 M \u003d A 2 - B 2 A 2 M - 2 + A 2 M - 4 B 2 + A 2 M - 6 B 4 +. . + B 2 M - 2
Za neparne kazalnike 2M + 1:
a 2 M + 1 - B 2 M + 1 \u003d A 2 - B 2 A 2 M + A 2 M - 1 B + A 2 M - 2 B 2 +. . + B 2 M
Razlika formulanov kvadratov in razlika kock, kot ste uganili, so posebni primeri te formule za n \u003d 2 in n \u003d 3. Za razliko od kocke B se nadomesti tudi z - b.
Kako brati skrajšane formule za množenje?
Za vsako formulo dajemo ustrezno besedilo, najprej pa bomo razumeli načelo bralnih formul. To je najbolj primerno, da to storite na primer. Vzemite prvo formulo kvadrata vsote dveh številk.
a + B 2 \u003d A 2 + 2 A B + B 2.
Pravijo: kvadrat vsote dveh izrazov a in b enaka vsota Trg prvega izraza, dvakratno delo izrazov in kvadrat drugega izraza.
Vse druge formule se berejo podobno. Za kvadrat razlika A - B 2 \u003d A 2 - 2 A B + B 2 Pišemo:
trg razlike dveh izrazov A in B je enak vsoti kvadratov teh izrazov minus dvakrat drugega produkta prvega in drugega izraza.
Preberite formulo A + B 3 \u003d A 3 + 3 A 2 B + 3 A B 2 + B 3. Kocka vsote dveh izrazov A in B je enaka vsoti kock teh izrazov, potrojila delovanja kvadrat prvega izraza na drugem in trojnem produktu kvadrat drugega izraza na prvem izrazu .
Pojdite na branje formule za razliko kocke A - B 3 \u003d A 3 - 3 A 2 B + 3 A B 2 - B 3. Razlika kocka dveh izrazov A in B je enaka kubi prvega izraza minus trojčeno delo kvadrat prvega izraza na drugi, plus trojček kvadrat drugega izraza na prvi izraz, minus the kocka drugega izraza.
Peta formula A 2 - B 2 \u003d A-B A + B (razlika kvadratov) se bere kot ta: razlika v kvadratih dveh izrazov je enak produktu razlike in vsoto dveh izrazov.
Izrazi tipa A 2 + A B + B + in A 2 - A B + B 2 Za udobje se imenujemo nepopoln kvadrat vsote in nepopolnega kvadrata razlike.
S tem v mislih, bo formula zneskov in razlika kocke, kot je ta:
Vsota kocke dveh izrazov je enaka zneska vsote teh izrazov na nepopolnem trgu njihove razlike.
Razlika kockov dveh izrazov je enaka proizvodu teh izrazov na nepopolnem kvadratu njihove vsote.
Dokaz FSU.
Dokaži FSU je precej preprost. Na podlagi množenja lastnosti, bomo pomnožili dele formul v oklepajih.
Na primer, razmislite o formuli kvadrata razlike.
a - B 2 \u003d A 2 - 2 A B + B 2.
Za izgradnjo izraza v drugi stopnji morate pomnožiti sam.
a - B 2 \u003d A-B A - B.
Oklici oklepajev:
a - B A - B \u003d A 2 - A B - B A + B 2 \u003d A 2 - 2 A B + B 2.
Formula je dokazana. Preostala FSU se izkaže podobno.
Primeri uporabe FSU
Namen uporabe formul skrajšanega množenja je hitro in kratko razmnoževanje in postavitev izrazov v stopnjo. Vendar to ni celoten obseg uporabe FSU. Posebno se uporabljajo pri zmanjševanju izrazov, zmanjšanju frakcij, razgradnjo polinomov na multiplikatorjih. Naredimo primere.
Primer 1. FSU.
Poenostavimo izraz 9 y - (1 + 3 y) 2.
Nanesite formulo vsote kvadratov in dobite:
9 y - (1 + 3 y) 2 \u003d 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) \u003d 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 \u003d 3 y - 1 - 9 y 2
Primer 2. FSU.
Zmanjšanje frakcije 8 x 3 - Z 6 4 x 2 - Z 4.
Opazimo, da je izraz v številu je razlika kocke, in v imenovalcu - razlika kvadratov.
8 x 3 - Z 6 4 x 2 - Z 4 \u003d 2 X - Z (4 x 2 + 2 x Z + Z 4) 2 X - Z 2 x + Z.
Zmanjšajte in dobite:
8 x 3 - Z 6 4 x 2 - Z 4 \u003d (4 x 2 + 2 x Z + Z 4) 2 x + Z
Tudi FSA pomaga izračunati vrednosti izrazov. Glavna stvar je, da lahko opazimo, kje uporabiti formulo. Pokažite ga na primer.
Postavili številko 79 na kvadrat. Namesto obsežnega računalništva napišite:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Zdi se, da je bil kompleksen izračun opravljen hitro samo z uporabo formul skrajšane razmnoževalne in množenja mize.
Druga pomembna točka je sproščanje kvadrata koša. Izraz 4 x 2 + 4 x - 3 se lahko pretvori v obrazec 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2-4 \u003d 2 x + 1 2-4. Takšne transformacije se pogosto uporabljajo v integraciji.
Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter