Naključne spremenljivke. Diskretna naključna spremenljivka

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije

Državna univerza Cherepovets

Inženirski in ekonomski inštitut

Koncept naključnega procesa v matematiki

Izvaja učenec

Skupina 5 GMU-21

Ivanova Julija

Čerepovec

Uvod

Glavni del

· Opredelitev naključnega procesa in njegovih značilnosti

· Markovski naključni procesi z diskretnimi stanji

Stacionarni naključni procesi

Ergodična lastnost stacionarnih naključnih procesov

Literatura

Uvod

Koncept naključnega procesa je bil uveden v 20. stoletju in je povezan z imeni A.N. Kolmogorov (1903-1987), A.Ya. Khinchin (1894-1959), E.E. Slutsky (1880-1948), N. Wiener (1894-1965).

Ta koncept je danes eden osrednjih ne le v teoriji verjetnosti, temveč tudi v naravoslovju, tehniki, ekonomiji, organizaciji proizvodnje in teoriji komuniciranja. Teorija naključnih procesov sodi v kategorijo najhitreje rastočih matematičnih disciplin. Nobenega dvoma ni, da je ta okoliščina v veliki meri odvisna od njene globoke povezave s prakso. 20. stoletje se ni moglo zadovoljiti z ideološko dediščino, ki je bila sprejeta iz preteklosti. Medtem ko je fizika, biologa in inženirja zanimal proces, tj. spreminjanje časa proučevanega pojava, jim je teorija verjetnosti kot matematični aparat ponudila le sredstva, ki so preučevala stacionarna stanja.

Za preučevanje sprememb skozi čas teorija verjetnosti poznega 19. - zgodnjega 20. stoletja ni imela razvitih posebnih shem, še manj splošnih tehnik. In potreba po njihovem ustvarjanju je dobesedno potrkala na okna in vrata matematične znanosti. Preučevanje Brownovega gibanja v fiziki je pripeljalo matematiko na prag ustvarjanja teorije naključnih procesov.

Menim, da je treba omeniti še dve pomembni skupini študij, ki sta se začeli v različnih časih in iz različnih razlogov.

Prvič, to delo A.A. Markov (1856-1922) o preučevanju verižnih odvisnosti. Drugič, dela E.E. Slutsky (1880-1948) o teoriji naključnih funkcij.

Obe smeri sta imeli zelo pomembno vlogo pri oblikovanju splošne teorije naključnih procesov.

V ta namen je bilo že nabranega precejšnjega začetnega gradiva in zdelo se je, da je potreba po izgradnji teorije lebdeti v zraku.

Ostajalo je opraviti poglobljeno analizo obstoječih del, idej in rezultatov, izraženih v njih, in na njeni podlagi izvesti potrebno sintezo.

Definicija naključnega procesa in njegove značilnosti

Opredelitev: Po naključnem postopku X(t) je proces, katerega vrednost je za katero koli vrednost argumenta t naključna spremenljivka.

Z drugimi besedami, naključni proces je funkcija, ki lahko zaradi testiranja prevzame eno ali drugo specifično obliko, vnaprej neznano. Za fiksno t=t 0 je X(t 0) navadna naključna spremenljivka, tj. razdelek naključni proces v času t 0.

Primeri naključnih procesov:

1. prebivalstvo regije skozi čas;

2. število zahtev, ki jih je servisna služba podjetja prejela skozi čas.

Naključni proces lahko zapišemo kot funkcijo dveh spremenljivk X(t,ω), kjer je ω€Ω, t€T, X(t, ω) € ≡ in ω je elementarni dogodek, Ω je prostor elementarnih dogodkov , T je množica vrednosti argumenta t, ≡ je množica možnih vrednosti naključnega procesa X(t, ω).

Izvedba naključni proces X(t, ω) je nenaključna funkcija x(t), v katero se naključni proces X(t) spremeni kot rezultat testiranja (pri fiksnem ω), tj. posebna oblika, ki jo prevzame naključni proces X(t), njegova trajektorija.

torej naključni proces X(t, ω) združuje lastnosti naključne spremenljivke in funkcije.Če popravimo vrednost argumenta t, se naključni proces spremeni v navadno naključno spremenljivko; če popravimo ω, se kot rezultat vsakega preizkusa spremeni v navadno nenaključno funkcijo. V naslednji razpravi bomo izpustili argument ω, vendar ga bomo privzeto predpostavili.

Slika 1 prikazuje več izvedb naključnega procesa. Naj bo presek tega procesa za dano t zvezna naključna spremenljivka. Potem je naključni proces X(t) za dani t v celoti določen z verjetnostjo φ(x‚ t). Očitno je, da gostota φ(x, t) ni izčrpen opis naključnega procesa X(t), ker ne izraža odvisnosti med njegovimi odseki v različnih časih.

Naključni proces X(t) je zbirka vseh odsekov za vse možne vrednosti t, zato je za njegov opis potrebno upoštevati večdimenzionalno naključno spremenljivko (X(t 1), X(t 2), . .., X(t n)), sestavljen iz vseh kombinacij tega procesa. Takšnih kombinacij je načeloma neskončno veliko, vendar je za opis naključnega procesa mogoče priti z razmeroma majhnim številom kombinacij.

Pravijo, da ima naključen proces naročilon, če je popolnoma določena s skupno gostoto porazdelitve φ(x 1, x 2, …, x n; t 1, t 2, …, t n) n poljubnih odsekov procesa, tj. gostota n-dimenzionalne naključne spremenljivke (X(t 1), X(t 2), ..., X(t n)), kjer je X(t i) kombinacija naključnega procesa X(t) v času t i , i=1, 2 , …, n.

Tako kot naključno spremenljivko lahko tudi naključni proces opišemo z numeričnimi značilnostmi. Če so za naključno spremenljivko te značilnosti konstantne številke, potem za naključni proces - nenaključne funkcije.

Matematično pričakovanje naključni proces X(t) je nenaključna funkcija a x (t), ki je za katero koli vrednost spremenljivke t enaka matematičnemu pričakovanju ustreznega odseka naključnega procesa X(t), tj. a x (t)=M .

Varianca naključni proces X(t) je nenaključna funkcija D x (t), za vsako vrednost spremenljivke t, ki je enaka disperziji ustrezne kombinacije naključnega procesa X(t), tj. D x (t) = D.

Standardni odklonσ x (t) naključnega procesa X(t) je aritmetična vrednost kvadratnega korena njegove variance, tj. σ x (t) = D x (t).

Matematično pričakovanje naključnega procesa označuje povprečje trajektorija vseh možnih izvedb in njena disperzija ali standardni odklon - širjenje izvedbe glede na povprečno trajektorijo.

Zgoraj uvedene značilnosti naključnega procesa se izkažejo za nezadostne, saj jih določa le enodimenzionalni porazdelitveni zakon. Če je za naključni proces X 1 (t) značilna počasna sprememba vrednosti izvedb s spremembo t, potem se za naključni proces X 2 (t) ta sprememba zgodi veliko hitreje. Z drugimi besedami, za naključni proces X 1 (t) je značilna tesna verjetnostna odvisnost med njegovima kombinacijama X 1 (t 1) in X 1 (t 2), medtem ko je za naključni proces X 2 (t) ta odvisnost med kombinacij X 2 (t 1) in X 2 (t 2) praktično ni. Za navedeno odvisnost med kombinacijami je značilna korelacijska funkcija.

definicija: Korelacijska funkcija naključni proces X(t) imenujemo nenaključna funkcija

K x (t 1, t 2) = M[(X(t 1) – a x (t 1))(X(t 2) – a x (t 2))] (1.)

dveh spremenljivk t 1 in t 2, ki je za vsak par spremenljivk t 1 in t 2 enaka kovarianci ustreznih kombinacij X(t 1) in X(t 2) naključnega procesa.

Očitno se za naključni proces X(t 1) korelacijska funkcija K x 1 (t 1, t 2) zmanjšuje, saj razlika t 2 - t 1 narašča veliko počasneje kot K x 2 (t 1, t 2) za a naključni proces X (t 2).

Korelacijska funkcija K x (t 1, t 2) ne označuje le stopnje tesnosti linearne povezave med dvema kombinacijama, temveč tudi širjenje teh kombinacij glede na matematično pričakovanje a x (t). Zato je upoštevana tudi normalizirana korelacijska funkcija naključnega procesa.

Normalizirana korelacijska funkcija naključni proces X(t) imenujemo funkcija:

P x (t 1, t 2) = K x (t 1, t 2) / σ x (t 1)σ x (t 2) (2)

Primer #1

Naključni proces je definiran s formulo X(t) = X cosωt, kjer je X naključna spremenljivka. Poiščite glavne značilnosti tega procesa, če je M(X) = a, D(X) = σ 2.

REŠITEV:

Na podlagi lastnosti matematičnega pričakovanja in disperzije imamo:

a x (t) = M(X cosωt) = cosωt * M(X) = a cosωt,

D x (t) = D(X cosωt) = cos 2 ωt * D(X) = σ 2 cos 2 ωt.

Korelacijsko funkcijo najdemo s formulo (1.)

K x (t 1, t 2) = M[(X cosωt 1 – a cosωt 1) (X cos ωt 2 – a cosωt 2)] =

Cosωt 1 cosωt 2 * M[(X – a)(X - a)] = cosωt 1 cosωt 2 * D(X) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 .

Normalizirano korelacijsko funkcijo najdemo s formulo (2.):

P x (t 1, t 2) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 / (σ cosωt 1)(σ cosωt 2) ≡ 1.

Naključne procese lahko razvrstimo glede na to, ali se stanja sistema, v katerem se pojavljajo, spreminjajo gladko ali nenadoma, ali je množica teh stanj končna (šteta) ali neskončna itd. Med naključnimi procesi ima posebno mesto markovski naključni proces.

Izrek. Naključni proces X(t) je Hilbertov, če in samo če obstaja R(t, t^) za vse (t, t^)€ T*T.

Teorija Hilbertovih naključnih procesov se imenuje korelacijska teorija.

Upoštevajte, da je množica T lahko diskretna in zvezna. V prvem primeru se naključni proces X t imenuje proces z diskretnim časom, v drugem - z zveznim časom.

V skladu s tem so lahko kombinacije X t diskretne in zvezne naključne spremenljivke.

Naključni proces se imenuje X(t) selektivno nepravilen, diferenciabilen in integrabilen v točki ω€Ω, če je njegova realizacija x(t) = x(t, ω) vsakokrat zvezna, diferenciabilna in integrabilna.

Naključni proces X(t) imenujemo zvezen: skoraj, verjetnoče

P(A)=1, A = (ω € Ω : lim x(t n) = x(t))

IN srednji kvadrat,če

Lim M[(X(t n) – X(t)) 2 ] = 0

Po verjetnosti, Če

Aδ ≥ 0: lim P[| X(t n) – X(t)| > δ] = 0

Srednjo kvadratno konvergenco označujemo tudi z:

X(t) = lim X(t n)

Izkaže se, da iz vzorca kontinuiteta skoraj zagotovo sledi kontinuiteta, iz kontinuitete skoraj gotovo in v srednjem kvadratu kontinuiteta po verjetnosti.

Izrek. Če je X(t) Hilbertov naključni proces, zvezen v srednjem kvadratu, potem je m x (t) zvezna funkcija in razmerje velja

Lim M = M = M .

Izrek. Hilbertov naključni proces X(t) je zvezen srednji kvadrat, če in samo če je njegova kovariančna funkcija R(t, t^) v točki (t, t) zvezna.

Hilbertov naključni proces X(t) imenujemo diferenciabilni srednji kvadrat, če obstaja naključna funkcija X(t) = dX(t)/dt, taka da

X(t) = dX(t)/ dt = lim X(t+∆t) – X(t) / ∆t

(t € T, t +∆t € T),

tiste. Kdaj

Lim M [((X(t + ∆t) – X(t) / (∆t)) – X(t)) 2 ] = 0

Poklicali bomo naključno funkcijo X(t) srednji kvadratni odvod naključni proces X(t) v točki t oziroma na T.

Izrek. Hilbertov naključni proces X(t) je diferenciabilen v srednjem kvadratu v točki t, če in samo če obstaja

δ 2 R(t, t^) / δtδt^ v točki (t, t^). pri čemer:

R x (t, t^) = M = δ 2 R(t, t^) / δtδt^.

Če je Hilbertov naključni proces diferenciabilen na T, potem je tudi njegov srednji kvadratni odvod Hilbertov naključni proces; če so vzorčne trajektorije procesa diferencibilne na T z verjetnostjo 1, potem z verjetnostjo 1 njihovi odvodi sovpadajo s srednjimi kvadratnimi odvodi na T.

Izrek. Če je X(t) Hilbertov naključni proces, potem

M = (d / dt) M = dm x (t) / dt.

Naj bo (0, t) končen interval, 0

X(t) je Hilbertov naključni proces.

Y n = ∑ X(t i)(t i – t i-1) (n = 1,2, …).

Nato naključna spremenljivka

max (t i – t i -1)→0

Poklican integral v srednjem kvadratu proces X(t) na (0, t) in je označen z:

Y(t) = ∫ X(τ)dτ.

Izrek . Srednji kvadratni integral Y(t) obstaja, če in samo če je kovariančna funkcija R(t, t^) Hilbertovega procesa X(t) zvezna na T×T in integral obstaja

R y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^) dτdτ^

Če srednji kvadratni integral funkcije X(t) obstaja, potem

M = ∫ Mdτ,

RY (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^)dτdτ^

K y (t, t^) = ∫ ∫ K(τ, τ^)dτdτ^

Tukaj sta R y (t, t^) = M, K y (t, t^) = M kovariančne in korelacijske funkcije naključnega procesa Y(t).

Izrek. Naj bo X(t) Hilbertov naključni proces s kovariančno funkcijo R(t, t^), φ(t) realna funkcija in naj obstaja integral

∫ ∫ φ(t)φ(t^)R(t, t^)dtdt^

Potem je tu še srednji kvadratni integral

∫ φ(t)X(t)dt.

Naključni procesi:

X i (t) = V i φ i (t) (i = 1n)

Kjer so φ i (t) dane realne funkcije

Vi - naključne spremenljivke z značilnostmi

Imenujejo se elementarni.

Kanonična razširitev naključni proces X(t) imenujemo njegova predstavitev v obliki

Kjer so V i koeficienti, φ i (t) pa koordinatne funkcije kanoničnega raztezanja procesa X(t).

Iz odnosov:

M(V I = 0), D(V I) = D I, M(V i V j) = 0 (i ≠ j)

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t € T)

K(t, t^) = ∑ D i φ i (t)φ i (t^)

Ta formula se imenuje kanonična razširitev korelacijsko funkcijo naključnega procesa.

V primeru enačbe

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t € T)

Uporabljajo se naslednje formule:

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ(t)

∫ x(τ)dt = ∫ m x (τ)dτ + ∑ V i ∫ φ i (t)dt.

Torej, če je proces X(t) predstavljen s svojo kanonično ekspanzijo, potem lahko tudi njegov odvod in integral predstavimo kot kanonične ekspanzije.

Markovski naključni procesi z diskretnimi stanji

Naključni proces, ki se pojavi v določenem sistemu S z možnimi stanji S 1, S 2, S 3, ... imenujemo Markovskega, oz naključen proces brez posledic, če so za kateri koli trenutek t 0 verjetne značilnosti procesa v prihodnosti (pri t>t 0) odvisne le od njegovega stanja v danem trenutku t 0 in niso odvisne od tega, kdaj in kako je sistem prišel v to stanje; tiste. niso odvisni od njegovega obnašanja v preteklosti (pri t

Primer markovskega procesa: sistem S je taksimeter. Stanje sistema v trenutku t je označeno s številom kilometrov (desetin kilometrov), ki jih je avtomobil prevozil do tega trenutka. Naj v trenutku t 0 števec pokaže S 0 / Verjetnost, da bo v trenutku t>t 0 števec pokazal to ali ono število kilometrov (natančneje, ustrezno število rubljev) S 1 je odvisna od S 0, vendar ni odvisno od tega, v katerih trenutkih se odčitki števca spreminjajo do trenutka t 0.

Veliko procesov lahko približno štejemo za markovske. Na primer, proces igranja šaha; sistem S je skupina šahovskih figur. Stanje sistema je označeno s številom sovražnikovih kosov, ki ostanejo na plošči v času t 0 . Verjetnost, da bo v trenutku t>t 0 materialna prednost na strani enega od nasprotnikov, je odvisna predvsem od stanja sistema v trenutku t 0 in ne od tega, kdaj in v kakšnem zaporedju bodo figure s tablami do čas t 0 .

V nekaterih primerih lahko predzgodovino obravnavanih procesov preprosto zanemarimo in za njihovo preučevanje uporabimo markovske modele.

Markovljev naključni proces z diskretnimi stanji in diskretnim časom (ali Markovljeva veriga ) imenujemo Markovljev proces, pri katerem so njegova možna stanja S 1, S 2, S 3, ... lahko našteta vnaprej, prehod iz stanja v stanje pa se zgodi v trenutku (skok), vendar le v določenih trenutkih t 0, t 1, t 2, ..., imenovano koraki postopek.

Označimo p ij – prehodna verjetnost naključni proces (sistem S) iz stanja I v stanje j. Če te verjetnosti niso odvisne od števila procesnih korakov, se taka Markovljeva veriga imenuje homogena.

Naj bo število stanj sistema končno in enako m. Potem ga je mogoče označiti prehodna matrika P 1 , ki vsebuje vse prehodne verjetnosti:

p 11 p 12 … p 1m

p 21 p 22 … p 2m

P m1 p m2 … p mm

Seveda je za vsako vrstico ∑ p ij = 1, I = 1, 2, …, m.

Označimo p ij (n) kot verjetnost, da se bo sistem zaradi n korakov premaknil iz stanja I v stanje j. V tem primeru imamo za I = 1 prehodne verjetnosti, ki tvorijo matriko P 1, tj. p ij (1) = p ij

Ob poznavanju verjetnosti prehoda p ij je potrebno najti p ij (n) – verjetnosti prehoda sistema iz stanja I v stanje j v n korakih. V ta namen bomo upoštevali vmesno (med I in j) stanje r, tj. Predpostavili bomo, da bo sistem iz začetnega stanja I v k korakih prešel v vmesno stanje r z verjetnostjo p ir (k), nakar se bo v preostalih n-k korakih iz vmesnega stanja r premaknil v končno stanje j z verjetnost p rj (n-k). Nato po formuli skupne verjetnosti

P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k) – Markova enakost.

Prepričajmo se, da ob poznavanju vseh prehodnih verjetnosti p ij = p ij (1), tj. matriko P 1 prehoda iz stanja v stanje v enem koraku, lahko najdete verjetnost p ij (2), tj. matriko P 2 prehoda iz stanja v stanje v dveh korakih. In ob poznavanju matrike P 2 poiščite matriko P 3 prehoda iz stanja v stanje v treh korakih itd.

Če postavimo n = 2 v formulo P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k), tj. k=1 (vmesno stanje med koraki), dobimo

P ij (2) = ∑ p ir (1)p rj (2-1) = ∑ p ir p rj

Nastala enakost pomeni, da je P 2 = P 1 P 1 = P 2 1

Ob predpostavki, da je n = 3, k = 2, podobno dobimo P 3 = P 1 P 2 = P 1 P 1 2 = P 1 3 , v splošnem primeru pa P n = P 1 n

Primer

Celotno družino v določeni regiji lahko razdelimo v tri skupine:

1. družine, ki nimajo avtomobila in ga ne nameravajo kupiti;

2. družine, ki nimajo avtomobila, a ga nameravajo kupiti;

3. družine z avtomobilom.

Izvedeno statistično raziskovanje je pokazalo, da ima prehodna matrika za interval enega leta obliko:

(V matriki P 1 element p 31 = 1 pomeni verjetnost, da ga bo imela tudi družina, ki ima avto, element p 23 = 0,3 pa je npr. verjetnost, da družina, ki nima avtomobila, avto, pa se odloči za nakup, bo svojo namero izpolnil naslednje leto itd.)

Poiščite verjetnost, da:

1. družina, ki ni imela avta in ga ni nameravala kupiti, bo čez dve leti v enaki situaciji;

2. družina, ki ni imela avta, a ga namerava kupiti, bo čez dve leti imela avto.

REŠITEV: Poiščimo matriko prehoda P 2 po dveh letih:

0,8 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0,64 0,15 0,21

0 0,7 0,3 0 0,7 0,3 0 0,49 0,51

0 0 1 0 0 1 0 0 1

To pomeni, da sta iskani verjetnosti v primeru 1) in 2) enaki

p 11 =0,64, p 23 =0,51

Naprej bomo razmislili Markovljev naključni proces z diskretnimi stanji in zveznim časom, v kateri, za razliko od zgoraj obravnavane Markovljeve verige, trenutki možnih prehodov sistema iz stanja niso vnaprej določeni, ampak so naključni.

Pri analizi naključnih procesov z diskretnimi stanji je priročno uporabiti geometrijsko shemo - t.i. razpored dogodkov. Običajno so stanja sistema prikazana s pravokotniki (krogi), možni prehodi iz stanja v stanje pa s puščicami (orientirani loki), ki povezujejo stanja.

Primer. Sestavite graf stanja naslednjega naključnega procesa: naprava S je sestavljena iz dveh vozlišč, od katerih lahko vsako odpove v naključnem trenutku, po katerem se takoj začne popravilo vozlišča, ki se nadaljuje vnaprej neznan naključni čas.

REŠITEV. Možna stanja sistema: S 0 – obe vozlišči delujeta; S 1 – prvi blok je v popravilu, drugi obratuje; S 2 – drugi blok je v remontu, prvi deluje; S 3 – oba agregata sta v popravilu.

Puščica v smeri, na primer od S 0 do S 1, pomeni prehod sistema v trenutku okvare prvega vozlišča, od S 1 do S 0 - prehod v trenutku zaključka popravila tega vozlišče.

Na grafu ni puščic od S 0 do S 3 in od S 1 do S 2. To je razloženo z dejstvom, da se domneva, da so okvare vozlišč neodvisne druga od druge, in na primer verjetnosti hkratne okvare dveh vozlišč (prehod iz S 0 v S 3) ali hkratnega zaključka popravil dveh vozlišč ( prehod iz S 3 v S 0) lahko zanemarimo.

Stacionarni naključni procesi

stacionarni v ožjem pomenu, Če

F(x 1, …, x n; t 1, …, t n) = F(x 1, …, x n; t 1 +∆, …, t n +∆)

Za poljubno

n≥1, x 1, …, x n, t 1, …, t n; ∆; t 1 € T, t i + ∆ € T.

Tu je F(x 1, …, x n; t 1, …, t n) n-dimenzionalna porazdelitvena funkcija naključnega procesa X(t).

Pokliče se naključni proces X(t). stacionarni v širšem smislu, Če

Očitno je, da stacionarnost v ožjem pomenu implicira stacionarnost v širšem pomenu.

Iz formul:

m(t) = m(t + ∆), K(t, t^) = K(t + ∆, t^ + ∆)

(t € T, t^ € T, t + ∆€ T), t^ + ∆€ T)

Iz tega sledi, da za proces, ki je stacionaren v širšem smislu, lahko pišemo

m (t) = m x (0) = konst;

D (t) = K(t, t) = K(0,0) = const;

K(t, t^) = K(t – t^, 0) = K (0, t^ - t)

Tako za proces, ki je v širšem smislu stacionaren, matematično pričakovanje in varianca nista odvisna od časa, K(t, t^) pa je funkcija oblike:

Vidimo lahko, da je k(τ) soda funkcija in

Tukaj je D disperzija stacionarnega procesa

Х(t), α i (I = 1, n) – poljubna števila.

Prva enakost sistema

K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

izhaja iz enačbe K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t. Prva enakost

K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0 je preprosta posledica Schwartzove neenakosti za odseke X(t), X(t^) stacionarnega naključnega procesa X(t). Zadnja neenakost:

K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

Pridobljeno na naslednji način:

∑ ∑ α i α j k(t i - t j) = ∑ ∑ K(t i , t j)α i α j = ∑ ∑ M[(α i X i)(α j X j)] = M[(∑ α i X i) 2 ] ≥0

Ob upoštevanju formule za korelacijsko funkcijo odvoda dX(t)/dt naključnega procesa dobimo za stacionarno naključno funkcijo X(t)

K 1 (t, t^) = M[(dX(t)/dt)*(dX(t^)/dt^)] = δ 2 K(t, t^) / δtδt^ = δ 2 k(t ^ - t) / δtδt^

Zaradi

δk(t^ ​​​​- t) / δt = (δk(τ) / δτ) * (δτ / δτ) = - δk(τ) / δτ,

δ 2 k(t^ - t) / δtδt^ = - (δ 2 k(τ) / δτ 2) * (δτ / δt^) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2)

potem je K 1 (t, t^) = k 1 (τ) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2), τ = t^ – t.

Tukaj sta K 1 (t, t^) in k 1 (τ) korelacijski funkciji prvega odvoda stacionarnega naključnega procesa X(t).

Za n-ti derivat stacionarnega naključnega procesa ima formula korelacijske funkcije obliko:

K n (τ) = (-1) n * (δ 2 n *k(τ) / δτ 2 n)

Izrek. Stacionarni naključni proces X(t) s korelacijsko funkcijo k(τ) je povprečno kvadratno zvezen v točki t € T, če in samo če

Lim k(τ) = k(0)

Da bi to dokazali, zapišimo očitno verigo enakosti:

M [|X(t+τ)-X(T)| 2 ] = M[|X(t)| 2 ] – 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M =

2D-2k(τ) = 2.

Zato je očitno, da je pogoj za kontinuiteto srednjega kvadrata procesa X(t) v točki t € T

Lim M[|X(t+τ) – X(t)| 2] = 0

Pojavi se samo, če Lim k(τ) = k(0)

Izrek. Če je korelacijska funkcija k(τ) stacionarnega naključnega procesa X(t) zvezna v srednjem kvadratu v točki τ=0, potem je zvezna v srednjem kvadratu v kateri koli točki τ € R 1 .

Da bi to dokazali, zapišimo očitne enakosti:

k(τ+∆τ)-k(τ) = M – M =

M(X(t))

Nato uporabimo Schwartzovo neenakost za faktorje v zavitem oklepaju in upoštevamo razmerja:

K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t.

K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

0 ≤ 2 ≤ MM[|X(t+τ+∆τ)-X(t+τ)| 2 ] =

Prehod na limito pri ∆τ→0 in upoštevanje pogoja izreka o kontinuiteti k(τ) v točki τ=0 ter prve enakosti sistema

K(0) = B = σ 2 , ugotovimo

Lim k(τ+∆τ) = k(τ)

Ker je tukaj τ poljubno število, je treba izrek šteti za dokazanega.

Ergodična lastnost stacionarnih naključnih procesov

Naj bo X(t) stacionarni naključni proces v določenem časovnem obdobju z značilnostmi

τ = t^ – t, (t, t^) € T×T.

Ergodična lastnost stacionarnega naključnega procesa je, da lahko na podlagi dovolj dolgega izvajanja procesa presojamo njegovo matematično pričakovanje, disperzijo in korelacijsko funkcijo.

Bolj strogo stacionarni naključni proces bomo imenovali X(t) ergodičen v matematičnem pričakovanju,če

Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0

Izrek

Stacionarni naključni proces X(t) z značilnostmi:

M = 0, K(t, t^) = M = k(τ),

τ = t^ – t, (t, t^) € T×T

je ergodičen v matematičnem pričakovanju, če in samo če

Lim (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ = 0.

Za dokaz je očitno dovolj, da preverimo, ali je enakost resnična

Zapišimo očitne relacije

C = M (|(1 / T)) ∫X(t)dt| 2 ) = (1 / T 2) ∫ ∫ k(t^ - t)dt^dt = (1/T) ∫ dt ∫ k(t^ - t)dt^.

Ob predpostavki, da je τ = t^ – t, dτ = dt^ in ob upoštevanju pogojev (t^ = T) → (τ = T - t),

(t^ = 0)→(τ = -t), dobimo

С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ =

= -(1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ - (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ

Če vstavimo v prvi in ​​drugi člen desne strani te enakosti τ = -τ^, dτ = -dτ^, τ = T-τ^, dτ = -dτ^, dobimo

С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ

Z uporabo Dirichletove formule za dvojne integrale zapišemo

С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ) dτ + (1/T 2) ∫ τk (T – τ)dτ

V drugem členu na desni strani lahko postavimo τ^ = T-τ, dτ = -dτ^, po čemer bomo imeli

Iz tega in iz definicije konstant je jasno, da je enakost

M((1 / T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

Pošteno.

Izrek

Če korelacijska funkcija k(τ) stacionarnega naključnega procesa X(t) izpolnjuje pogoj

Lim (1/T) ∫ |k(τ)| dt = 0

Potem je X(t) ergodičen v matematičnem pričakovanju.

Res, glede na razmerje

M((1 / T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

Lahko zapišete

0 ≤ (2/T) ∫ (1 – τ/t) k(τ)dτ ≤ (2/T) ∫ (1- τ/t) |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k (τ)|dτ

Iz tega je jasno, da če je pogoj izpolnjen, potem

Lim (2/T) ∫ (1 – τ/T) k(τ)dτ = 0

Zdaj, upoštevajoč enakost

C = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ – (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ = 2/T ∫ (1- (τ/T) ) k(τ)dτ

In pogoj Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0

Ergodičnost z matematičnim pričakovanjem stacionarnega naključnega procesa X(t), ugotovimo, da je zahtevano dokazano.

Izrek.

Če je korelacijska funkcija k(τ) stacionarnega naključnega procesa

X(t) je integrabilen in neomejeno pada pri τ → ∞, tj. pogoj je izpolnjen

Za poljubno ε > 0 je X(t) stacionarni naključni proces, ergodičen v matematičnem pričakovanju.

Res, glede na izraz

Za T≥T 0 imamo

(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)| dτ ε(1 – T 1 /T).

Če preidemo do limite kot T → ∞, najdemo

0 ≤ lim ∫ |k(τ)|dτ = ε.

Ker je tukaj ε > 0 poljubna, poljubno majhna vrednost, je pogoj ergodičnosti v smislu matematičnega pričakovanja izpolnjen. Ker to izhaja iz pogoja

Pri neomejenem zmanjšanju k(τ) je treba izrek šteti za dokazanega.

Dokazani izreki vzpostavljajo konstruktivna merila za ergodičnost stacionarnih naključnih procesov.

X(t) = m + X(t), m=konst.

Potem je M = m in če je X(t) ergodičen stacionaren naključni proces, potem lahko pogoj ergodičnosti Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0 po enostavnih transformacijah predstavimo kot

Lim M([(1/T) ∫ X(t)dt – m] 2 ) = 0

Iz tega sledi, da če je X(t) stacionaren naključni proces, ergodičen v matematičnem pričakovanju, potem lahko matematično pričakovanje procesa X(t) = m + X(t) približno izračunamo z uporabo formule

M = (1/T) ∫ x(t)dt

Tukaj je T precej dolgo časovno obdobje;

x(t) – izvedba procesa X(t) na časovnem intervalu.

Upoštevamo lahko ergodičnost stacionarnega naključnega procesa X(t) glede na korelacijsko funkcijo.

Imenuje se stacionarni naključni proces X(t). ergodična v korelacijski funkciji, Če

Lim M ([ (1/T) ∫ X(t) X(t + τ)dt – k(τ)] 2 ]) = 0

Iz tega sledi, da lahko za stacionarni naključni proces X(t), ki je ergodičen v korelacijski funkciji, nastavimo

k (τ) = (1/T) ∫ x(t)x(t + τ)dt

pri dovolj velikem T.

Izkazalo se je, da je stanje

omejenost k(τ) zadostuje, da je stacionarni normalno porazdeljen proces X(t) ergodičen v korelacijski funkciji.

Upoštevajte, da se kliče naključni proces normalno porazdeljena, če je katera od njegovih končnodimenzionalnih porazdelitvenih funkcij normalna.

Nujen in zadosten pogoj za ergodičnost stacionarnega normalno porazdeljenega naključnega procesa je razmerje

τ 0: lim (1/T) ∫ (1 – τ/T)dτ = 0

Literatura

1. N.Sh. Kremer "Teorija verjetnosti in matematična statistika" / UNITY / Moskva 2007.

2. Yu.V. Kozhevnikov "Teorija verjetnosti in matematična statistika" / Strojništvo / Moskva 2002.

3. B.V. Gnedenko "Tečaj teorije verjetnosti" / Glavno uredništvo fizične in matematične literature / Moskva 1988.

Motnje v komunikacijskih sistemih opisujejo metode teorije naključnih procesov.

Funkcija se imenuje naključna, če ima kot rezultat poskusa eno ali drugo obliko in vnaprej ni znano, katero. Naključni proces je naključna funkcija časa. Posebna oblika, ki jo ima naključni proces kot rezultat poskusa, se imenuje implementacija naključnega procesa.

Na sl. Slika 1.19 prikazuje niz več (treh) izvedb naključnega procesa , , . Takšna zbirka se imenuje ansambel realizacij. S fiksno vrednostjo časovnega trenutka v prvem poskusu dobimo določeno vrednost, v drugem - , v tretjem - .

Naključni proces je dvojne narave. Po eni strani je v vsakem konkretnem poskusu predstavljena s svojo izvedbo - nenaključno funkcijo časa. Po drugi strani je naključni proces opisan z nizom naključnih spremenljivk.

Dejansko razmislimo o naključnem procesu v določeni časovni točki. Potem v vsakem poskusu zavzame eno vrednost in ni vnaprej znano, katero. Tako je naključni proces, obravnavan na določeni časovni točki, naključna spremenljivka. Če zabeležimo dva časovna trenutka in , bomo v vsakem poskusu dobili dve vrednosti in . V tem primeru skupno upoštevanje teh vrednosti vodi do sistema dveh naključnih spremenljivk. Pri analizi naključnih procesov v N časovnih točkah pridemo do niza ali sistema N naključnih spremenljivk .

Matematično pričakovanje, disperzija in korelacijska funkcija naključnega procesa Ker je naključni proces, obravnavan v fiksni časovni točki, naključna spremenljivka, lahko govorimo o matematičnem pričakovanju in disperziji naključnega procesa:

, .

Tako kot pri naključni spremenljivki disperzija označuje širjenje vrednosti naključnega procesa glede na povprečno vrednost. Večji kot je , večja je verjetnost zelo velikih pozitivnih in negativnih procesnih vrednosti. Primernejša značilnost je standardna deviacija (MSD), ki ima enako dimenzijo kot sam naključni proces.

Če naključni proces opisuje na primer spremembo razdalje do predmeta, potem je matematično pričakovanje povprečni razpon v metrih; disperzija se meri v kvadratnih metrih, Sco pa se meri v metrih in označuje širjenje možnih vrednosti razpona glede na povprečje.

Povprečna vrednost in varianca sta zelo pomembni značilnosti, ki nam omogočata presojo obnašanja naključnega procesa v določeni časovni točki. Če pa je treba oceniti "hitrost" sprememb v procesu, potem opazovanja v eni točki niso dovolj. V ta namen se uporabita dve naključni spremenljivki, obravnavani skupaj. Tako kot pri naključnih spremenljivkah je uvedena značilnost povezave ali odvisnosti med in. Za naključni proces je ta značilnost odvisna od dveh časovnih trenutkov in se imenuje korelacijska funkcija: .

Stacionarni naključni procesi. Številni procesi v krmilnih sistemih potekajo enakomerno skozi čas. Njihove osnovne lastnosti se ne spremenijo. Takšni procesi se imenujejo stacionarni. Natančno definicijo lahko podamo na naslednji način. Naključni proces se imenuje stacionaren, če katera koli njegova verjetnostna značilnost ni odvisna od premika v izvoru časa. Za stacionarni naključni proces so matematično pričakovanje, varianca in standardni odklon konstantni: , .

Korelacijska funkcija stacionarnega procesa ni odvisna od izvora t, tj. odvisno samo od časovne razlike:

Korelacijska funkcija stacionarnega naključnega procesa ima naslednje lastnosti:

1) ; 2) ; 3) .

Pogosto imajo korelacijske funkcije procesov v komunikacijskih sistemih obliko, prikazano na sl. 1.20.

riž. 1.20. Korelacijske funkcije procesov

Časovni interval, v katerem korelacijska funkcija, tj. velikost povezave med vrednostmi naključnega procesa se zmanjša za M-krat, kar se imenuje interval ali čas korelacije naključnega procesa. Običajno oz. Lahko rečemo, da so vrednosti naključnega procesa, ki se v času razlikujejo s korelacijskim intervalom, med seboj šibko povezane.

Tako poznavanje korelacijske funkcije omogoča presojo hitrosti spremembe naključnega procesa.

Druga pomembna značilnost je energijski spekter naključnega procesa. Definirana je kot Fourierjeva transformacija korelacijske funkcije:

.

Očitno velja tudi obratna transformacija:

.

Energijski spekter prikazuje porazdelitev moči naključnega procesa, kot je motnja, na frekvenčni osi.

Pri analizi ACS je zelo pomembno določiti značilnosti naključnega procesa na izhodu linearnega sistema z znanimi značilnostmi procesa na vhodu ACS. Predpostavimo, da je linearni sistem podan z impulznim prehodnim odzivom. Nato je izhodni signal v trenutku določen z Duhamelovim integralom:

,

kje je proces na vhodu sistema. Da bi našli korelacijsko funkcijo, pišemo in po množenju najdemo matematično pričakovanje

– število dečkov med 10 novorojenčki.

Popolnoma jasno je, da ta številka ni vnaprej znana in naslednjih deset rojenih otrok lahko vključuje:

Ali fantje - ena in edina izmed naštetih možnosti.

In, da ostanete v formi, malo telesne vzgoje:

– skok v daljino (v nekaterih enotah).

Tudi mojster športa tega ne more predvideti :)

Vendarle, vaše hipoteze?

2) Zvezna naključna spremenljivka – sprejema Vseštevilske vrednosti iz nekega končnega ali neskončnega intervala.

Opomba : v izobraževalni literaturi sta priljubljeni okrajšavi DSV in NSV

Najprej analizirajmo diskretno naključno spremenljivko, nato pa - neprekinjeno.

Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke

- To dopisovanje med možnimi vrednostmi te količine in njihovimi verjetnostmi. Najpogosteje je zakon zapisan v tabeli:

Izraz se pojavlja precej pogosto vrstica distribucija, vendar v nekaterih situacijah zveni dvoumno, zato se bom držal "zakona".

In zdaj zelo pomembna točka: od naključne spremenljivke Nujno bo sprejel ena od vrednot, potem se oblikujejo ustrezni dogodki polna skupina in vsota verjetnosti njihovega pojava je enaka ena:

ali, če je napisano strnjeno:

Tako ima na primer zakon verjetnostne porazdelitve točk, vrženih na kocko, naslednjo obliko:

Brez komentarja.

Morda imate vtis, da lahko diskretna naključna spremenljivka prevzame samo "dobre" celoštevilske vrednosti. Razblinimo iluzijo – lahko so karkoli:

Primer 1

Neka igra ima naslednji zmagovalni zakon porazdelitve:

...verjetno ste že dolgo sanjali o takih nalogah :) Povem vam skrivnost - tudi jaz. Še posebej, ko sem končal z delom teorija polja.

rešitev: ker lahko naključna spremenljivka sprejme samo eno od treh vrednosti, nastanejo ustrezni dogodki polna skupina, kar pomeni, da je vsota njihovih verjetnosti enaka ena:

Razkrinkavanje “partizana”:

– torej je verjetnost dobitka konvencionalnih enot 0,4.

Nadzor: to je tisto, kar smo morali zagotoviti.

Odgovori:

Ni neobičajno, da morate sami sestaviti zakon o razdelitvi. Za to uporabljajo klasična definicija verjetnosti, izreki množenja/seštevanja za verjetnosti dogodkov in drugi čipi tervera:

Primer 2

Škatla vsebuje 50 loterijskih vstopnic, med katerimi je 12 dobitnih, od katerih 2 dobita po 1000 rubljev, ostale pa po 100 rubljev. Sestavite zakon za porazdelitev naključne spremenljivke - velikosti dobitka, če je iz škatle naključno izžreban en listek.

rešitev: kot ste opazili, so vrednosti naključne spremenljivke običajno postavljene v naraščajočem vrstnem redu. Zato začnemo z najmanjšimi dobitki, in sicer z rublji.

Skupaj je takih vstopnic 50 - 12 = 38, in glede na klasična definicija:
– verjetnost, da bo naključno izžreban listek izgubljen.

V drugih primerih je vse preprosto. Verjetnost zmage v rubljih je:

Preverite: – in to je še posebej prijeten trenutek takih nalog!

Odgovori: želeni zakon porazdelitve dobitkov:

Naslednjo nalogo rešite sami:

Primer 3

Verjetnost, da bo strelec zadel tarčo, je . Sestavite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko - število zadetkov po 2 strelih.

...sem vedela, da ga pogrešaš :) Spomnimo se izreki o množenju in seštevanju. Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije.

Distribucijski zakon v celoti opisuje naključno spremenljivko, vendar je v praksi lahko koristno (in včasih bolj uporabno), če poznamo le del numerične značilnosti .

Pričakovanje diskretne naključne spremenljivke

Preprosto povedano, to je povprečna pričakovana vrednost ko se testiranje večkrat ponovi. Naj naključna spremenljivka zavzame vrednosti z verjetnostjo oz. Potem je matematično pričakovanje te naključne spremenljivke enako vsota produktov vse njegove vrednosti na ustrezne verjetnosti:

ali strnjeno:

Izračunajmo na primer matematično pričakovanje naključne spremenljivke - število vrženih točk na kocki:

Zdaj pa se spomnimo naše hipotetične igre:

Postavlja se vprašanje: ali je sploh donosno igrati to igro? ...kdo ima kakšne vtise? Torej ne morete reči "na pamet"! Toda na to vprašanje je mogoče zlahka odgovoriti z izračunom matematičnega pričakovanja, v bistvu - Povprečna teža po verjetnosti zmage:

Tako je matematično pričakovanje te igre izguba.

Ne zaupajte svojim vtisom – zaupajte številkam!

Da, tukaj lahko zmagate 10 in celo 20-30-krat zapored, a na dolgi rok nas čaka neizogiben propad. In takšnih igric vam ne bi svetoval :) No, mogoče le za zabavo.

Iz vsega navedenega sledi, da matematično pričakovanje ni več NAKLJUČNA vrednost.

Ustvarjalna naloga za samostojno raziskovanje:

Primer 4

Gospod X igra evropsko ruleto po naslednjem sistemu: nenehno stavi 100 rubljev na "rdečo". Sestavite zakon porazdelitve naključne spremenljivke - njenega dobitka. Izračunajte matematično pričakovanje dobitkov in ga zaokrožite na najbližjo kopejko. Koliko povprečje Ali igralec izgubi za vsakih sto, ki jih stavi?

Referenca : Evropska ruleta vsebuje 18 rdečih, 18 črnih in 1 zeleni sektor (»ničlo«). Če se pojavi "rdeča", igralec prejme dvojno stavo, sicer gre v prihodek igralnice

Obstaja veliko drugih sistemov rulete, za katere lahko ustvarite lastne verjetnostne tabele. Toda to je v primeru, ko ne potrebujemo nobenih zakonov porazdelitve in tabel, ker je bilo zagotovo ugotovljeno, da bo igralčevo matematično pričakovanje popolnoma enako. Edina stvar, ki se spreminja od sistema do sistema, je

Tukaj bomo na kratko obravnavali glavna vprašanja sistematizacije (klasifikacije) naključnih procesov.

Naključni proces, ki se pojavi (prehaja) v kateremkoli fizičnem sistemu, predstavlja naključne prehode sistema iz enega stanja v drugo. Odvisno od raznolikosti teh pogojev
od mnogih vrednosti argumentov vsi naključni procesi so razdeljeni v razrede (skupine):

1. Diskretni proces ( diskretno stanje) z diskretnim časom.

2. Diskretni proces z zveznim časom.

3. Kontinuiran proces (kontinuirano stanje) z diskretnim časom.

4. Neprekinjen proces z neprekinjenim časom.

V 1 3 primeri veliko diskretno, tj. prepir zavzema diskretne vrednosti
ponavadi
v 1. primeru niz naključnih funkcijskih vrednosti
so definirane z enačbami:, je diskretna množica
(kup
končno ali števno).

V tretjem primeru niz
nešteto, tj. presek naključnega procesa kadar koli je zvezna naključna spremenljivka.

V 2. in 4. primeru jih je veliko zvezna, v drugem primeru množica stanj sistema
končna ali števna, v četrtem primeru pa množica
nešteto.

Naj navedemo nekaj primerov naključnih procesov razredov 1-4:

1. Hokejist lahko ali ne sme doseči enega ali več golov v nasprotnikov gol med tekmami, ki se igrajo ob določenih točkah (v skladu s časovnim razporedom).

Naključni proces
je število doseženih golov do .

2. Naključni proces
- število ogledov filmov v kinu Zvezda

od začetka kina do trenutka v času .

3. V določenih časovnih točkah
temperatura se meri
pacient v nekem centru za zdravljenje.
- je naključen proces zveznega tipa z diskretnim časom.

4. Indikator ravni vlažnosti zraka čez dan v mestu A.

Upoštevati je mogoče tudi druge bolj zapletene razrede naključnih procesov. Za vsak razred naključnih procesov so razvite ustrezne metode za njihovo preučevanje.

V učbenikih najdete vrsto raznolikih in zanimivih primerov naključnih tokov [V. Feller, del 1.2] in v monografiji. Tukaj se bomo omejili na to.

Za naključne procese so uvedene tudi enostavne funkcionalne karakteristike, odvisno od parametra , podobno kot osnovne numerične značilnosti naključnih spremenljivk.

Poznavanje teh značilnosti zadostuje za rešitev številnih problemov (spomnimo se, da je popolna značilnost naključnega procesa podana z njegovim večdimenzionalnim (končnodimenzionalnim) porazdelitvenim zakonom.

V nasprotju z numeričnimi značilnostmi naključnih spremenljivk so v splošnem primeru funkcionalne značilnosti specifične funkcije.

4. Matematično pričakovanje in varianca naključnega procesa

Matematično pričakovanje naključnega procesa

definirana za katero koli fiksno vrednost argumenta je enako matematičnemu pričakovanju ustreznega dela naključnega procesa:

(12)
.

Če na kratko označimo matematično pričakovanje s.p. uporablja se tudi oznaka
.

funkcija
označuje obnašanje naključnega procesa v povprečju. Geometrijski pomen matematičnega pričakovanja
interpretirano kot "povprečna krivulja", okoli katere se nahajajo izvedbene krivulje (glej sliko 60).

(glej sliko 60 Črke).

Na podlagi lastnosti matematičnega pričakovanja naključne spremenljivke in ob upoštevanju tega
naključni proces in
nenaključno funkcijo, dobimo lastnosti matematično pričakovanje naključni proces:

1. Matematično pričakovanje nenaključne funkcije je enako funkciji sami:
.

2. Nenaključni množitelj (nenaključna funkcija) lahko vzamemo kot znak matematičnega pričakovanja naključnega procesa, tj.

3. Matematično pričakovanje vsote (razlike) dveh naključnih procesov je enako vsoti

(razlike) v matematičnih pričakovanjih izrazov, tj.

Upoštevajte, da če popravimo argument (parameter) , potem se premaknemo z naključnega procesa na naključno spremenljivko (tj. preidemo na presek naključnega procesa), lahko najdemo m.o. tega postopka pri tem fiksnem

Ker, če je razdelek s.p.
za dano obstaja neprekinjen r.v. z gostoto
potem lahko njegovo matematično pričakovanje izračunamo z uporabo formule

(13)
.

Primer 2. Naj s.p. se določi s formulo, tj.
s.v.,

Poiščite matematično pričakovanje naključnega procesa

rešitev. Nepremičnina 2. imamo

Ker
in zato,
.

telovadba. Za izračun matematičnega pričakovanja bom uporabil enačbe

,
,

nato pa na osnovi formule (13) izračunaj integral in se prepričaj, da je rezultat enak.

Opomba. Izkoristite enakost

.

Varianca naključnega procesa.

Varianca naključnega procesa
imenovana nenaključna funkcija

Razpršenost
s.p. upoštevajo tudi širjenje (razpršenost) možnih vrednosti r.p. glede na njegovo matematično pričakovanje.

Skupaj z razpršenostjo sp. upošteva se tudi standardni odklon

(krajše s.c.o.), ki je določena z enakostjo

(15)

Funkcijska dimenzija
enaka dimenziji s.p.
.

Realizacijske vrednosti s.p. na vsakem odstopa od matematičnega pričakovanja
glede na znesek naročila
(glej sliko 60).

Upoštevajte najpreprostejše lastnosti disperzije naključnih procesov.

1. Varianca nenaključne funkcije
je enaka nič, tj.

2. Varianca naključnega procesa
nenegativni, tj.

3. Varianca produkta nenaključne funkcije
na naključno funkcijo
je enak zmnožku kvadrata nenaključne funkcije in variance naključne funkcije, tj.

4. Razpršenost vsote s.p.
in nenaključna funkcija
enaka disperziji sp., tj.

Primer 3. Lets.p. se določi s formulo, tj.
s.v.

porazdeljena po običajnem zakonu z

Poiščite varianco in standardni odklon s.p.
.

rešitev. Izračunajmo varianco na podlagi formule iz lastnosti 3. Imamo

Ampak
, torej po definiciji disperzije r.v.

torej
tiste.
in

Če obravnavamo naključni proces kot sistem že treh ali štirih naključnih spremenljivk, se pojavijo težave pri analitičnem izražanju zakonov porazdelitve naključnega procesa. Zato so v številnih primerih omejeni na značilnosti naključnega procesa, podobno kot numerične značilnosti naključnih spremenljivk.

Značilnosti naključnega procesa so v nasprotju z numeričnimi značilnostmi naključnih spremenljivk nenaključne funkcije. Med njimi se za vrednotenje naključnega procesa pogosto uporabljajo funkcije matematičnega pričakovanja in disperzije naključnega procesa ter korelacijske funkcije naključnega procesa.

Matematično pričakovanje naključnega procesa X(t)je nenaključna funkcija, ki je za vsako vrednost argumenta t enaka matematičnemu pričakovanju ustreznega odseka naključnega procesa

.

Iz definicije matematičnega pričakovanja naključnega procesa sledi, da če je znana enodimenzionalna gostota verjetnosti, potem

. (6.3)

Naključni proces X(t) lahko vedno predstavimo kot vsoto elementarnih naključnih funkcij

, kjer je elementarna naključna funkcija.

. (6.4)

Če je podanih veliko izvedb naključnega procesa X(t), nato pa za grafično predstavitev matematičnega pričakovanja izvede se niz odsekov in v vsakem od njih se najde ustrezno matematično pričakovanje (povprečna vrednost), nato pa se skozi te točke nariše krivulja (slika 6.3).

Slika 6.3 – Graf funkcije matematičnega pričakovanja

Več kot je narejenih odsekov, bolj natančno bo krivulja izdelana.

Pričakovana vrednost naključnega procesa obstaja neka nenaključna funkcija, okoli katere so združene izvedbe naključnega procesa.

Če so implementacije naključnega procesa tok ali napetost, se matematično pričakovanje razlaga kot povprečna vrednost toka ali napetosti.

Varianca naključnega procesa X(t)je nenaključna funkcija, ki je za vsako vrednost argumenta t enaka disperziji ustreznega odseka naključnega procesa.

.

Iz definicije variance naključnega procesa sledi, da če je znana enodimenzionalna gostota verjetnosti, potem

ali (6.5)

Če je v obrazcu predstavljen naključni proces , To

Razpršenost naključnega procesa označuje širjenje ali razpršitev izvedb glede na funkcijo matematičnega pričakovanja.

Če so realizacije naključnega procesa tok ali napetost, potem je varianca razlagati kot razliko med močjo celotnega procesa in močjo povprečne komponente toka ali napetosti v danem odseku, tj.

. (6.7)

V nekaterih primerih se namesto variance naključnega procesa uporablja standardna deviacija naključnega procesa

.

Matematično pričakovanje in disperzija naključnega procesa omogočata identifikacijo vrste povprečne funkcije, okoli katere so združene realizacije naključnega procesa, in oceno njihovega širjenja glede na to funkcijo. Vendar notranja struktura naključnega procesa, tj. narava in stopnja odvisnosti (povezave) različnih delov procesa med seboj ostaja neznana (slika 6.4).

Slika 6.4 – Implementacije naključnih procesov X(t) in Y(t)

Za karakterizacijo povezave med prerezi naključnega procesa je uveden koncept mešane momentne funkcije drugega reda - korelacijsko funkcijo.

Korelacijska funkcija naključni proces X(t) se imenuje nenaključna funkcija, ki je za vsak par vrednosti enaka korelacijskemu momentu ustreznih odsekov naključnega procesa:

Kje , .

Razmerje (glej sliko 6.4) med odseki naključnega procesa X(t) večji kot med prerezi naključnega procesa Y(t), tj.

.

Iz definicije sledi, da če je podana dvodimenzionalna gostota verjetnosti naključni proces X(t), To

Korelacijska funkcija je niz korelacijskih momentov dveh naključnih spremenljivk v trenutkih in oba trenutka se upoštevata v kateri koli kombinaciji vseh trenutnih možnih vrednosti argumenta t naključni proces. Tako korelacijska funkcija označuje statistično razmerje med trenutnimi vrednostmi v različnih časovnih točkah.

Lastnosti korelacijske funkcije.

1) Če , potem . Posledično je varianca naključnega procesa poseben primer korelacijske funkcije.