Теорема об общем решении неоднородного линейного уравнения n-го порядка. Линейные диф
Теорема об общем решении (о структуре общего решения) нормальной системы неоднородных линейных оду.
Рассмотрим неоднородную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
Здесь
A
Справедлива следующая теорема о структуре общего решения этой неоднородной линейной системы ОДУ.
Если
матрица A
(x)
и вектор-функция b
(x)
непрерывны на [a
,
b
],
и пусть Φ
(x)
- фундаментальная матрица решений
однородной линейной системы
, то общее решение неоднородной системыY"
= A
(x)Y
+ b
(x)
имеет вид:
где C - произвольный постоянный вектор-столбец, x 0 - произвольная фиксированная точка из отрезка .
Из приведенной формулы легко получить формулу решения задачи Коши для линейной неоднородной системы ОДУ - формулу Коши.
Решением задачи Коши ,Y (x 0) = Y 0 является вектор-функция
Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частных решений нормальной системы неоднородных линейных оду.
Определение системы неоднородных линейных ОДУ. Система ОДУ вида:
называется линейной неоднородной . Пусть
Система (*) в векторно-матричном виде: .- система однородная, иначе – неоднородная.
Сам метод.
Пусть имеется линейная неоднородная
система
,
тогда- линейная однородная система,
соответствующая линейной неоднородной.
Пусть– фундаментальная матрица системы
решений,
,
гдеC
– произвольный постоянный вектор, -
общее решение системы. Станем искать
решение
системы (1) в виде
,
гдеC(x)
– неизвестная (пока) вектор-функция.
Хотим, чтобы вектор-функция (3) была
решением системы (1). Тогда должно быть
справедливо тождество:
(произвольный постоянный вектор, который получается в результате интегрирования, можно считать равным 0). Здесь точки x 0 , – любые.
Видим,
таким образом, что если в (3) в качестве
C(t)
брать
,
то вектор-функция
будет решением системы (1).
Общее
решение линейной неоднородной системы
(1) может быть записано в виде
.
Пусть требуется найти решение системы
(1), удовлетворяющее начальному условию
.
Подстановка (4) начальных данных (5) даёт
.
Следовательно, решение задачи Коши
(1)-(5) может быть записано в виде:
.
В частном случае, когда,
последняя формула принимает вид:
.
Фундаментальная система решений нормальной системы однородных линейных оду с постоянными коэффициентами в случае простых действительных корней характеристического уравнения.
Нормальная линейная
однородная система
n
порядка с постоянными коэффициентами
-
или
,Коэффициенты линейных комбинаций
искомых функций постоянны. Эта система
в матричной форме
–матричная форма, гдеA-постоянная
матрица. Матричный
метод
: Из
характеристического
уравнения
найдем различные
корни
и для каждого корня(с учетом его
кратности) определим соответствующее
ему частное решение
.Общее решение
имеет вид:
.
При этом 1) если
-
действительный корень кратности 1, то
,
где
-собственный
вектор матрицы А, соответствующий
собственному значению,
то есть.
2)
–
корень
кратности
,
то соответствующее этому корню решение
системы ищут в виде вектора
(**), коэффициенты которого
определяются из системы линейных
уравнений, получающихся приравнивание
коэффициентов при одинаковых степеняхx
в результате подстановки вектора (**) в
исходную систему.
Фундаментальной
системой решений НЛОС
называется
совокупность произвольных n линейно
независимых решений
Фундаментальная система решений нормальной системы однородных линейных ОДУ с постоянными коэффициентами в случае, когда все корни характеристического уравнения простые, но имеются комплексные корни.
Вопрос убран.
Где С 1 и С 2 неизвестные.
Все у известные числа, вычисленные при х=х 0 . Чтобы система имела решение при любых правых частях, необходимо и достаточно, чтобы основной определитель был отличен от 0.
определитель
Вронского. Если определитель равен 0, то система имеет решение только при
условии, что есть пропорция начальных условий. Поэтому из этого следует, что
выбор начальных условий подчинен закону, так что любые начальные условия взять
нельзя, а это есть нарушение условия задачи Коши.
Если , то определитель Вронского не равен 0, ни при каких значениях х 0 .
Доказательство. Пусть определитель равен 0, но , выберем начальные ненулевые условия y=0, y’=0. Тогда получим следующую систему:
Эта система имеет бесконечное множество решений, когда определитель равен 0. С 11 и С 12 – решения системы.
Это противоречит первому случаю, а значит определитель Вронского не равен 0, при любых х 0 , если . Всегда из общего решения можно выделить частное решение при .
Билет №33
Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-ого порядка с доказательством.
Теорема об общем решении дифференциального уравнения:
решения
этого уравнения, то и функция 
тоже решение. На
основе этой теоремы можно сделать вывод о структуре общего решения однородного
уравнения: если у 1 и у 2 есть решения дифференциального
уравнения, такие что их отношения не равны константе, то линейная комбинация
этих функций является общим решением дифференциального уравнения. Тривиальное
решение (или нулевое) не может служить решением этого уравнения.
Доказательство:
Билет №34
Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-ого порядка с доказательством.
Пусть дано уравнение с правой частью: . Уравнение без правой части
если
вместо функции поставить 0 назовем характеристическим.
Теорема о структуре общего решения уравнения с правой частью.
Т.1 Общее решение уравнения справой частью можно составить как сумму общего решения уравнения без правой части и какого-нибудь частного решения данного уравнения.
Доказательство.
Обозначим через общее решение , а какое-нибудь
частное решение данного уравнения. Возьмем функцию 
.
Имеем
, 
.
Подставляя выражения для y, y’, y’’ в
левую часть уравнения найдем:Выражение в первой
квадратной скобке равно 0. А выражение во второй скобке равно функции f(x).
Следовательно, функция 
есть решение
данного уравнения.
Билет №35
Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами, Ф.С.Р. и общее решение в случае различных действительных корней, характеристические уравнения с доказательством.
Возьмем однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
,
где а – это числа.
Попробуем удовлетворить уравнению функцией вида . Отсюда имеем:
Отсюда видно, что будет решением данного уравнения, если r будет корнем квадратного уравнения. Это уравнение называется характеристическим. Чтобы составить характеристическое уравнение, надо заменить у единицей, а каждую производную на r в степени порядка производной.
1) Корни характеристического уравнения действительные и различные.
При этом оба корня могут быть взяты в качестве показателей r функции . Здесь сразу можно получить два уравнения. Ясно что их отношение не равно постоянной величине.
Общее решение в случае действительных и разных корней дается формулой:
.
Билет №36
Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами, Ф.С.Р. и общее решение в случае кратных корней, характеристические уравнения с доказательством.
Корни действительного уравнения действительные и равные.
Системы линейных диф. уравнений.
Система диф.уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных ф-ий и их производных. Систему n -линейных уравнений 1-го порядка записывают в виде:
Коэф-ты системы являются const.
Эту систему удобно записывать в матричной форме: ,
где - вектор-столбец неизвестных ф-ий, зависящих от одного аргумента.
Вектор-столбец производных этих ф-ий.
Вектор-столбец свободных членов.
Матрица коэффициентов.
Теорема 1:
Если все коэф-ты матрицы А
непрерывны на некотором промежутке и , то в некоторой окрестности каждой т. 
выполнены условия ТСиЕ. Следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая.
Действительно, в таком случае правые части системы непрерывны по совокупности аргументов и их частные производные по (равные коэф-там матрицы А) ограничены, в силу непрерывности на замкнутом промежутке.
Методы решения СЛДУ
1. Систему диф.уравнений можно свести путем исключения неизвестных к одному уравнению.
Пример:
Решить систему уравнений: 
(1)
Решение:
исключаем z
из данных уравнений. Из первого уравнения имеем . Подставляя во второе уравнение, 
получаем после упрощения: 
.
Данная система уравнений (1) приведена к одному уравнению второго порядка. После того, как из этого уравнения будет найдено y , следует найти z , пользуясь равенством .
2. При решении системы уравнений путем исключения неизвестных обычно получается уравнение более высокого порядка, поэтому во многих случаях удобнее решать систему путем отыскания интегрируемых комбинаций.
Продолжение 27б
Пример:
Решить систему 
Решение:
Решим данную систему методом Эйлера. Запишем определитель для нахождения характеристического
уравнения: , (поскольку система однородная, то для того, чтобы она имела не тривиальное решение, надо, чтобы этот определитель был равен нулю). Получаем харак-кое уравнение и находим его корни: 
Общее решение имеет вид: 
;
- собственный вектор.
Записываем решение для : 
;
- собственный вектор.
Записываем решение для : 
;
Получаем общее решение: 
.
Выполним проверку:
найдем : и подставляем в первое уравнение данной системы, т.е. .
Получаем:
- верное равенство.
Линейные диф. уравнения n-го порядка. Теорема об общем решении неоднородного линейного уравнения n-го порядка.
Линейным диф.уравнением n-го порядка наз-ся уравнение вида: (1)
Если в этом ур-ии коэф-т , то, поделив на него, мы приходим к уравнению: (2) .
Обычно рассматриваются уравнения типа (2). Предположим, что в ур-и (2) все коэф-ты , а также f(x) непрерывны на некотором промежутке (a,b). Тогда согласно ТСиЕ уравнение (2) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям: , , …, при . Здесь - любая точка из промежутка (a,b), а все - любые заданные числа. Уравнение (2) удовлетворяет ТСиЕ, поэтому не имеет особых решений.
Опр.: особыми точками являются те, в которых =0.
Свойства линейного уравнения:
- Линейное уравнение остается таковым при любой замене независимой переменной.
- Линейное уравнение остается таковым при любой линейной замене искомой функции.
Опр.: если в уравнение (2) положить f(x)=0 , то получится уравнение вида: (3) , которое наз-ся однородным уравнением относительно неоднородного уравнения (2).
Введем в рассмотрение линейный диф-й оператор: (4). С помощью этого оператора можно переписать в краткой форме уравнения (2) и(3): L(y)=f(x), L(y)=0. Оператор (4) обладает следующими простыми свойствами:
Из этих двух свойств можно вывести следствие: .
Функция y=y(x) является решением неоднородного уравнения (2), если L(y(x))=f(x) , тогда f(x) наз-ся решением уравнения. Значит решением уравнения (3) наз-ся функция y(x) , если L(y(x))=0 на рассмотренных промежутках.
Рассм. неоднородное линейное уравнение: , L(y)=f(x).
Предположим, что мы нашли каким-либо способом частное решение , тогда .
Введем новую неизвестную функцию z по формуле: , где - частное решение.
Подставим её в уравнение: , раскрываем скобки и получаем: .
Полученное уравнение можно переписать в виде: 
Поскольку - частное решение исходного уравнения, то , тогда .
Таким образом, мы получили однородное уравнение относительно z
. Общим решением этого однородного уравнения является линейная комбинация: , где функции - составляют фундаментальную систему решений однородного уравнения. Подставляя z
в формулу замены, мы получим: 
(*) для функции y
– неизвестная функция исходного уравнения. Все решения исходного уравнения будут содержаться в (*).
Таким образом, общее решение неоднородного лин. уравнения представляется в виде суммы общего решения однородного линейного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения.
(продолжение на той стороне)
30. Теорема существования и единственности решения диф. уравнения
Теорема:
Если в уравнении правая часть непрерывна в прямоугольнике 
и ограничена, а также удовлетворяет условию Липшица: , N=const, то существует единственное решение , удовлетворяющее начальным условиям и определенное на отрезке 
, где .
Доказательство:
Рассмотрим полное метрическое пространство С,
точками которого являются всевозможные непрерывные функции y(x), определенные на отрезке , графики которых лежат внутри прямоугольника, а расстояние определяется равенством: 
. Это пространство часто используется в мат.анализе и называется пространством равномерной сходимости
, поскольку сходимость по метрике этого пространства является равномерной.
Заменим диф. уравнение с данными начальными условиями на равносильное ему интегральное уравнение: 
и рассмотрим оператор А(y)
, равный правой части этого уравнения: 
. Этот оператор ставит в соответствие каждой непрерывной функции
Пользуясь неравенством Липшица, мы можем записать, что расстояние . Теперь выберем такое , для которого выполнялось бы следующее неравенство: .
Следует выбрать так, что , тогда . Таким образом мы показали, что .
Согласно принципу сжимающих отображений существует единственная точка или, что то же самое, единственная функция – решение диф.уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Оценка свободной клетки – (см. метод потенциалов)
Цикл – такая последовательность клеток транспортной таблицы (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…(i k ,j 1), в которой две и только две соседние клетки расположены в одной строке или столбце, причем первая и последняя клетки также находятся в одной строке или столбце.
(?)Перестановка по циклу - (сдвиг по циклу на величину t)- увеличение объемов во всех нечетных клетках цикла, отмеченных знаком «+», на t и уменьшение объемов перевозок во всех четных клетках, отмеченных знаком «-», на t.
^ Условие оптимальности опорного плана.
Оптимальный план перевозки соответствует минимуму линейной целевой функции f(X)= min при ограничениях на потребление и поставку
№ 32. Сформулируйте определение разностного уравнения порядка k и его общего решения. Сформулируйте определение линейного разностного уравнения порядка k с постоянными коэффициентами. Сформулируйте теоремы об общем решении однородного и неоднородного линейного разностного уравнения (без доказательства).
Уравнение вида F(n; x n ; x n +1 ;…; x n + k) = 0, где k – фиксированное, а n – произвольное натуральное число, x n ; x n +1 ;…; x n + k – члены некоторой неизвестной числовой последовательности, называется разностным уравнением порядка k.
Решить разностное уравнение означает найти все последовательности (x n), удовлетворяющие этому уравнению.
Общим решением уравнения k-го порядка называется его решение x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k), зависящее от k независимых произвольных постоянных C 1 , C 2 , …, C k . Количество k постоянных равно порядку разностного уравнения, а независимость означает, что ни одну из постоянных нельзя выразить через другие.
Рассмотрим линейное разностное уравнение порядка k с постоянными коэффициентами:
a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , где a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) и
{f n } – заданные числа и последовательность.
^ Теорема об общем решении неоднородного уравнения.
Общее решение x n линейного неоднородного разностного уравнения является суммой частного решения x n * этого уравнения и общего решения n соответствующего ему однородного уравнения.
^ Теорема об общем решении однородного уравнения.
Пусть x n 1 ,…, x n k – система, состоящая из k линейно независимых решений линейного однородного разностного уравнения. Тогда общее решение этого уравнения задается формулой: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k .
№ 33. Опишите алгоритм решения однородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Сформулируйте определения следующих понятий: фундаментальный набор решений линейного разностного уравнения, характеристическое уравнение, определитель Казоратти.
Знание корней характеристического уравнения позволяет построить общее решение однородного разностного уравнения. Рассмотрим это на примере уравнения второго порядка: Полученные в результате решения могут быть без труда перенесены на случай уравнений более высокого порядка.
В зависимости от значений дискриминанта D=b 2 -4ac характеристического уравнения возможны следующие случаи:
C 1 ,C 2 – произвольные постоянные.
Множество решений линейного однородного разностного уравнения k-ого порядка образует k-мерное линейное пространство, а любой набор из k линейно независимых решений (называемый фундаментальным набором) является его базисом. Признаком линейной независимости решений однородного уравнения является неравенство нулю определителя Казоратти:
Уравнение называется характеристическим уравнением однородного линейного уравнения.
№ 34. Дано линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n .
^ В каком виде нужно искать его частное решение? Ответ пояснить.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n В каком виде нужно искать его частное решение? Ответ должен быть объяснен.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n
X n +2 -4x n +1 +3x n =0
X n =C 1 3 n +C 2 1 n
X 1 n =(a 1 n 2 +b 1 n+C 1)2 n
X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2)n2 n
X n = C 1 3 n +C 2 1 n + X 1 n + X 2 n
№35. Дано линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n . В каком виде искать его частное решение?
x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n
1) x n +2 -4x n +1 +3x=0
λ 1 =3, λ 2 =1
x n o =C 1 (3) n +C 2 (1) n = C 1 (3) n +C 2
2) f(n)=2 n , g(n)=3 n , z(n)=n 2
Так как основание показательной степени f(n)=2 n , равное 2, не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, соответствующее частное решение ищем в виде Y n =C(2) n . Так как основание показательной функции g(n)=3 n , равное 3, совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то соответствующее частное решение ищем в виде X n =Bn(3) n . Так как z(n)=n 2 представляет собой многочлен, то и частное решение будем искать в виде многочлена: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 .
№36. Дано линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2 . В каком виде искать его частное решение?
x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2
1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0
λ 1 =-1+i , λ 2 =-1-i
Так как основание показательной степени f(n)=3 n , равное 3, не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, соответствующее частное решение ищем в виде Y n =B(3) n . Так как g(n)=n 2 представляет собой многочлен, то и частное решение будем искать в виде многочлена: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos
№37. Дано линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . В каком виде искать его частное решение?
x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2
λ 1 =-1+i , λ 2 =-1-i
X n 0 =(2) n (C 1 cos +C 2 sin )
2) f(n)=3 n , g(n)=n 2 , z(n)=cos
Так как основание показательной степени f(n)=3 n , равное 3, не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, соответствующее частное решение ищем в виде Y n =B(3) n . Так как g(n)=n 2 представляет собой многочлен, то и частное решение будем искать в виде многочлена: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos
№ 38. Опишите модель Самуэльсона-Хикса. Какие экономические предположения лежат в ее основе? В каком случае решением уравнения Хикса является стационарная последовательность?
Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса предполагает прямую пропорциональность объемов инвестирования приросту национального дохода (принцип акселерации), т.е.
где коэффициент V>0- фактор акселерации,
I t - величина инвестиций в период t,
X t -1 ,X t -2 - величина национального дохода в периодах (t-1) и (t-2) соответственно.
Предполагается также, что спрос на данном этапе 
зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе 
линейным образом 
. Условие равенства спроса и предложения имеет вид 
. Тогда приходим к уравнению Хикса
где a,b – коэффициенты линейного выражения спроса на данном этапе:
Стационарная последовательность 
является решением уравнения Хикса только при 
; множитель 
называется мультипликатором Кейнса (одномерный аналог матрицы полных затрат).
№ ^
39. Опишите паутинную модель рынка. Какие экономические предположения лежат в ее основе? Найдите равновесное состояние паутинной модели рынка.
40. Сформулируйте задачу об определении текущей стоимости купонной облигации. Что такое задача Коши для разностного уравнения? Найдите равновесное решение задачи Коши об определении текущей стоимости купонной облигации. Проверьте, что найденное значение совпадает с суммой, которую необходимо уплатить в настоящий момент, чтобы в течение бесконечно длительного времени получать купонную сумму в каждом купонном периоде при заданной величине процентной ставки за один купонный период.
Пусть F
– номинальная стоимость купонной облигации (т.е. денежная сумма, выплачиваемая эмитентом в момент погашения, совпадающего с концом последнего купонного периода), K
– величина купона (т.е. денежная сумма, выплачиваемая в конце каждого купонного периода), X
- текущая стоимость облигации в конце n-го купонного периода,
Т.е. p
совпадает с суммой, которую необходимо уплатить в настоящий момент, чтобы в течение бесконечно длительного времени получать купонную сумму в каждом купонном периоде при заданной величине процентной ставки за один купонный период.
Общий вид системы
, i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n , - коэффициенты системы; - свободные члены; - переменные;
Если все = 0, система называется однородной.
Общее решение системы линейных уравнений
Определение 1 . Однородной системой m линейных алгебраических уравнений для n неизвестных называется система уравнений
вида (1) или в матричном виде (2)
где А -заданная матрица из коэффициентов размером mxn,
Столбец n неизвестных, - нулевой столбец высоты m.
Однородная система всегда совместна (расширенная матрица совпадает с А) и имеет очевидные решения: х 1 = х 2 = … = х n = 0.
Это решение называется нулевым или тривиальным . Всякое другое решение, если оно есть, называется нетривиальным.
Теорема 1 . Если ранг матрицы А равен числу неизвестных, то система (1) имеет единственное (тривиальное) решение.
Действительно, согласно теоремы Крамера, r=n и решение единственное.
Теорема 2 . Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных (следует из теоремы о числе решений ).
Þ если есть ненулевые решения, то решение не единственное, то определитель системы равен нулю, то r Ü если r Теорема 3
. Однородная система n уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда detA = 0. Þ если есть ненулевые решения, то решений бесконечно много, тогда согласно теореме о числе решений r Ü если detA = 0, то r Теорема 4
. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо, чтобы число уравнений системы было меньше числа неизвестных. Так как ранг матрицы из коэффициентов не может быть больше числа ее строчек (как и числа столбцов), то r Определение 2
. Переменные системы, расположенные на базисных столбцах исходной матрицы коэффициентов, называют базисными переменными
, а остальные переменные системы называют свободными
. Определение 4
. Частным решением
неоднородной системы АХ = В называют вектор столбец Х, полученный при нулевых
значениях свободных
переменных. Теорема 6
. Общее решение неоднородной системы
линейных уравнений АХ = В имеет вид , где - некоторое частное решение системы уравнений АХ = В, а - ФСР однородной системы АХ = 0. Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида: Её расширенная матрица. Теорема (об общем решении неоднородных систем).
· если , где - число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно; · если , то общее решение системы (2) имеет вид , где - общее решение системы (1), называемое общим однородным решением
, - частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением
. Однородной системой линейных уравнений называется система вида: Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением
. Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение. Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным
. Решения однородной системы обладают свойством линейности: Теорема (о линейном решении однородных систем).
Теорема (о структуре общего решения).
· если , где - число переменных системы, то существует только тривиальное решение; · если , то существует линейно независимых решений рассматриваемой системы: , причём её общее решение
имеет вид: , где - некоторые константы. 2. Перестановки и подстановки. Определитель n-го порядка. Свойства определителей. Определение определителя – го порядка. Пусть дана квадратная матрица – го порядка: Определение. Произведение элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца называют членом определителя матрицы А.3 Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный. 4Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю.5 Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю.6 Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю.7 Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.8 Если все элементы k
-ой строки (столбца) определителя представлены в виде сумм a k j
+ b k j
, то определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей.9 Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число.10. Пусть A
и B
– квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда определитель произведения матриц равен произведению определителей:
Пусть (т.е. система (2) совместна), тогда:
Пусть - решения однородной системы (1), - произвольные константы. Тогда также является решением рассматриваемой системы.
Пусть , тогда:
1
| | | | | | | | | | |