กำหนดการและรายการคี่ ความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน

การศึกษาฟังก์ชั่น

1) D(y) – โดเมนคำจำกัดความ: เซตของค่าเหล่านั้นทั้งหมดของตัวแปร x ซึ่งนิพจน์พีชคณิต f(x) และ g(x) สมเหตุสมผล

หากสูตรกำหนดฟังก์ชันโดเมนของคำจำกัดความจะประกอบด้วยค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระที่สูตรเหมาะสม

2) คุณสมบัติของฟังก์ชัน: คู่/คี่, ช่วงเวลา:

แปลกและ สม่ำเสมอเรียกว่าฟังก์ชันซึ่งกราฟมีความสมมาตรโดยสัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์

ฟังก์ชั่นแปลก ๆ- ฟังก์ชั่นที่เปลี่ยนค่าไปในทางตรงกันข้ามเมื่อเครื่องหมายของตัวแปรอิสระเปลี่ยนแปลง (สมมาตรสัมพันธ์กับศูนย์กลางของพิกัด)

ฟังก์ชั่นสม่ำเสมอ- ฟังก์ชั่นที่ไม่เปลี่ยนค่าเมื่อเครื่องหมายของตัวแปรอิสระเปลี่ยนแปลง (สมมาตรเกี่ยวกับลำดับ)

ฟังก์ชันคู่หรือคี่ (การทำงาน ปริทัศน์) - ฟังก์ชันที่ไม่มีความสมมาตร หมวดหมู่นี้รวมฟังก์ชันที่ไม่อยู่ใน 2 หมวดหมู่ก่อนหน้า

ฟังก์ชันที่ไม่อยู่ในหมวดหมู่ใดๆ ข้างต้นจะถูกเรียกว่า แม้แต่หรือคี่(หรือฟังก์ชั่นทั่วไป)

ฟังก์ชั่นแปลก ๆ

กำลังคี่ โดยที่จำนวนเต็มใดก็ได้

ฟังก์ชั่นแม้กระทั่ง

กำลังเลขคู่โดยที่จำนวนเต็มใดก็ได้

ฟังก์ชันคาบ- ฟังก์ชั่นที่ทำซ้ำค่าของมันในช่วงเวลาอาร์กิวเมนต์ปกตินั่นคือมันไม่เปลี่ยนค่าเมื่อเพิ่มตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์คงที่ให้กับอาร์กิวเมนต์ ( ระยะเวลาฟังก์ชั่น) ตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด

3) ศูนย์ (ราก) ของฟังก์ชันคือจุดที่กลายเป็นศูนย์

การหาจุดตัดของกราฟกับแกน เฮ้ย- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องคำนวณค่า ฉ(0) ค้นหาจุดตัดกันของกราฟกับแกนด้วย วัวเหตุใดจึงต้องหารากของสมการ ฉ(x) = 0 (หรือตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีราก)

จุดที่กราฟตัดกับแกนเรียกว่า ฟังก์ชันศูนย์- ในการค้นหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน คุณต้องแก้สมการ กล่าวคือ หา ความหมายของ "x" เหล่านั้นโดยที่ฟังก์ชันจะกลายเป็นศูนย์

4) ช่วงเวลาของความสม่ำเสมอของสัญญาณสัญญาณในนั้น

ช่วงเวลาที่ฟังก์ชัน f(x) คงเครื่องหมายไว้

ช่วงความคงตัวของเครื่องหมายคือช่วง ในทุกจุดนั้นฟังก์ชั่นเป็นบวกหรือลบ

เหนือแกน x

ด้านล่างเพลา

5) ความต่อเนื่อง (จุดไม่ต่อเนื่อง, ลักษณะของความไม่ต่อเนื่อง, เส้นกำกับ)

ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง- ฟังก์ชั่นที่ไม่มี "การกระโดด" นั่นคือสิ่งหนึ่งที่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในการโต้แย้งนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในค่าของฟังก์ชัน

จุดพักที่ถอดออกได้

ถ้าขีดจำกัดของฟังก์ชัน มีอยู่จริงแต่ฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนด ณ จุดนี้ หรือขีดจำกัดไม่ตรงกับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้:

แล้วจุดนั้นก็ถูกเรียก จุดพักที่ถอดออกได้ฟังก์ชั่น (ในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน จุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้)

หากเรา "แก้ไข" ฟังก์ชั่น ณ จุดที่ไม่ต่อเนื่องที่ถอดออกได้และใส่ จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง ณ จุดที่กำหนด การดำเนินการนี้กับฟังก์ชันเรียกว่า ขยายฟังก์ชันให้ต่อเนื่องหรือ นิยามใหม่ของฟังก์ชันด้วยความต่อเนื่องซึ่งปรับชื่อของจุดเป็นจุด ถอดออกได้การแตกร้าว

จุดไม่ต่อเนื่องของประเภทที่หนึ่งและสอง

หากฟังก์ชันมีความไม่ต่อเนื่องที่จุดที่กำหนด (นั่นคือ ขีดจำกัดของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดขาดหายไปหรือไม่ตรงกับค่าของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด) ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันตัวเลขจะมีสองตัวเลือกที่เป็นไปได้ เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของฟังก์ชันตัวเลข ข้อจำกัดฝ่ายเดียว:

ถ้ามีขีดจำกัดด้านเดียวทั้งสองและมีจำกัด จุดดังกล่าวจะถูกเรียก จุดไม่ต่อเนื่องของชนิดแรก-

จุดไม่ต่อเนื่องแบบถอดได้คือจุดไม่ต่อเนื่องประเภทแรก ถ้าอย่างน้อยหนึ่งขีดจำกัดด้านเดียวไม่มีอยู่หรือไม่ใช่ค่าจำกัด จุดดังกล่าวจะเรียกว่า.

จุดไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง - เส้นกำกับตรง ซึ่งมีคุณสมบัติว่าระยะห่างจากจุดบนเส้นโค้งถึงจุดนี้ตรง

มีแนวโน้มเป็นศูนย์เมื่อจุดเคลื่อนที่ไปตามกิ่งก้านไปจนถึงระยะอนันต์

แนวตั้ง .

เส้นกำกับแนวตั้ง - เส้นจำกัด

ตามกฎแล้วเมื่อพิจารณาเส้นกำกับแนวตั้งพวกเขาจะมองหาไม่ใช่ขีด จำกัด เดียว แต่จะมีด้านเดียวสองอัน (ซ้ายและขวา) ซึ่งทำเพื่อพิจารณาว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรเมื่อเข้าใกล้เส้นกำกับแนวตั้งจากทิศทางที่ต่างกัน ตัวอย่างเช่น:

แนวนอน เส้นกำกับเส้นกำกับแนวนอน - ชนิดต่างๆ แล้วแต่ความมีอยู่

ขีด จำกัด

เอียง เส้นกำกับเส้นกำกับแนวนอน - เส้นกำกับเฉียง -

ขีดจำกัด

หมายเหตุ: ฟังก์ชันหนึ่งๆ สามารถมีเส้นกำกับเฉียง (แนวนอน) ได้ไม่เกินสองตัว

หมายเหตุ: ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในสองขีดจำกัดที่กล่าวถึงข้างต้นไม่มีอยู่ (หรือเท่ากับ ) ก็จะไม่มีเส้นกำกับเฉียงที่ (หรือ ) ถ้าอยู่ในข้อ 2.) ดังนั้น และสูตรจะพบขีดจำกัด, .

6) เส้นกำกับแนวนอนการหาช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจ ฉ(xค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน ฉ(x)(นั่นคือ ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง) ทำได้โดยการตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์ ฉ(x- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาอนุพันธ์ ฉ(x) และแก้ความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(x) เพิ่มขึ้น ในกรณีที่ความไม่เท่าเทียมกันแบบย้อนกลับเกิดขึ้น ฉ(x)0, ฟังก์ชัน ฉ(x) กำลังลดลง

การค้นหาจุดสุดยอดในท้องถิ่นเมื่อพบช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจแล้ว เราสามารถกำหนดจุดสุดขั้วเฉพาะจุดได้ทันทีโดยแทนที่การเพิ่มขึ้นด้วยการลดลง ตำแหน่งสูงสุดเฉพาะที่ และตำแหน่งที่การลดลงถูกแทนที่ด้วยการเพิ่มขึ้น ตำแหน่งจุดต่ำสุดในพื้นที่ คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ หากฟังก์ชันมีจุดวิกฤตที่ไม่ใช่จุดสุดขั้วเฉพาะจุด การคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ก็มีประโยชน์เช่นกัน

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน y = f(x) บนเซ็กเมนต์(ต่อ)

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x).

2. ค้นหาจุดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์: ฉ(x)=0x 1, x 2 ,...

3. กำหนดความเกี่ยวข้องของคะแนน เอ็กซ์ 1 ,เอ็กซ์ 2 , … ส่วน [ ก; ข]: อนุญาต x 1ก;ข, ก x 2ก;ข .

4. ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดที่เลือกและที่ส่วนท้ายของส่วน: ฉ(x 1), ฉ(x 2),..., ฉ(x ก),ฉ(x ข),

5. การเลือกค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดจากค่าที่พบ

ความคิดเห็น หากอยู่ในส่วน [ ก; ข] มีจุดที่ไม่ต่อเนื่องจึงจำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ด้านเดียวจากนั้นจึงนำค่ามาพิจารณาในการเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน

7) การหาช่วงของความนูนและความเว้า- ทำได้โดยการตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง ฉ(x- ค้นหาจุดเปลี่ยนเว้าที่ทางแยกของช่วงนูนและเว้า คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเปลี่ยนเว้า ถ้าฟังก์ชันมีจุดต่อเนื่องอื่นๆ (ยกเว้นจุดเปลี่ยนเว้า) โดยที่อนุพันธ์อันดับสองเป็น 0 หรือไม่มีอยู่ การคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ก็มีประโยชน์เช่นกัน ได้พบแล้ว ฉ(x) เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(x)0. ในแต่ละช่วงของการแก้ปัญหา ฟังก์ชันจะนูนลง การแก้อสมการผกผัน ฉ(x)0 เราจะหาช่วงเวลาที่ฟังก์ชันนูนขึ้น (นั่นคือ เว้า) เรากำหนดจุดเปลี่ยนเว้าคือจุดที่ฟังก์ชันเปลี่ยนทิศทางของความนูน (และต่อเนื่องกัน)

จุดเปลี่ยนเว้าของฟังก์ชัน- นี่คือจุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและเมื่อผ่านฟังก์ชันจะเปลี่ยนทิศทางของความนูน

สภาพความเป็นอยู่

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของจุดเปลี่ยนเว้า:หากฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้สองครั้งในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุด แล้ว หรือ .

ความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชันเป็นหนึ่งในคุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน และความเท่าเทียมกันก็มีส่วนที่น่าประทับใจ หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์. โดยส่วนใหญ่จะกำหนดพฤติกรรมของฟังก์ชันและอำนวยความสะดวกอย่างมากในการสร้างกราฟที่เกี่ยวข้อง

ลองพิจารณาความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันกัน โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันที่กำลังศึกษาจะได้รับการพิจารณาแม้ว่าค่าตรงข้ามของตัวแปรอิสระ (x) ที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความนั้นค่าที่สอดคล้องกันของ y (ฟังก์ชัน) จะเท่ากัน

เรามาให้คำจำกัดความที่เข้มงวดยิ่งขึ้นกันดีกว่า พิจารณาฟังก์ชัน f (x) ซึ่งกำหนดไว้ในโดเมน D มันจะเป็นแม้ว่าจุด x ใดๆ ที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความก็ตาม:

-x (จุดตรงข้าม) ก็อยู่ในขอบเขตนี้เช่นกัน

ฉ(-x) = ฉ(x)

จากคำจำกัดความข้างต้นเป็นไปตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดังกล่าว กล่าวคือ สมมาตรเทียบกับจุด O ซึ่งเป็นที่มาของพิกัด เนื่องจากหากมีจุด b บางจุดอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของคู่ ฟังก์ชัน ดังนั้นจุด b ที่สอดคล้องกันก็อยู่ในโดเมนนี้ด้วย จากที่กล่าวมาข้างต้นจึงมีข้อสรุปดังนี้ แม้กระทั่งฟังก์ชั่นมีลักษณะสมมาตรเทียบกับแกนพิกัด (Oy)

จะตรวจสอบความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันในทางปฏิบัติได้อย่างไร?

ปล่อยให้ระบุโดยใช้สูตร h(x)=11^x+11^(-x) ตามอัลกอริทึมที่ตามมาจากคำจำกัดความโดยตรง เราจะตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความก่อน เห็นได้ชัดว่ามันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์นั่นคือเป็นไปตามเงื่อนไขแรก

ขั้นตอนต่อไปคือการแทนที่อาร์กิวเมนต์ (x) ด้วย ความหมายตรงข้าม(-x)
เราได้รับ:
ชั่วโมง(-x) = 11^(-x) + 11^x
เนื่องจากการบวกเป็นไปตามกฎการสลับสับเปลี่ยน (สับเปลี่ยน) จึงชัดเจนว่า h(-x) = h(x) และการพึ่งพาฟังก์ชันที่ให้มานั้นเป็นเลขคู่

ลองตรวจสอบความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน h(x)=11^x-11^(-x) ตามอัลกอริทึมเดียวกัน เราจะได้ h(-x) = 11^(-x) -11^x ลบออกในที่สุดเราก็มี
ชั่วโมง(-x)=-(11^x-11^(-x))=- ชั่วโมง(x) ดังนั้น h(x) จึงเป็นเลขคี่

อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่ามีฟังก์ชันที่ไม่สามารถจำแนกตามเกณฑ์เหล่านี้ได้ เรียกว่าไม่เป็นคู่หรือคี่

ฟังก์ชันคู่ก็มีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ:

อันเป็นผลมาจากการเพิ่มฟังก์ชั่นที่คล้ายกัน พวกเขาได้ฟังก์ชั่นที่เท่ากัน
อันเป็นผลมาจากการลบฟังก์ชันดังกล่าวจะได้ค่าคู่
แม้กระทั่ง แม้กระทั่ง;
อันเป็นผลมาจากการคูณสองฟังก์ชันดังกล่าวจะได้ค่าคู่
อันเป็นผลมาจากการคูณฟังก์ชันคี่และคู่จะได้ค่าคี่
อันเป็นผลมาจากการแบ่งฟังก์ชันคี่และคู่จะได้ค่าคี่
อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นเลขคี่
หากคุณยกกำลังสองฟังก์ชันคี่ คุณจะได้ฟังก์ชันคู่

ความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันสามารถใช้เพื่อแก้สมการได้

ในการแก้สมการเช่น g(x) = 0 โดยที่ด้านซ้ายของสมการเป็นฟังก์ชันคู่ ก็จะเพียงพอที่จะหาคำตอบสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปร รากผลลัพธ์ของสมการจะต้องรวมกับจำนวนที่ตรงกันข้าม หนึ่งในนั้นต้องได้รับการตรวจสอบ

นอกจากนี้ยังใช้เพื่อแก้ไขปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานด้วยพารามิเตอร์อีกด้วย

ตัวอย่างเช่น มีค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ a ซึ่งสมการ 2x^6-x^4-ax^2=1 จะมีสามรากหรือไม่

หากเราคำนึงว่าตัวแปรเข้าสู่สมการด้วยกำลังคู่ จะเห็นได้ชัดว่าการแทนที่ x ด้วย - x สมการที่กำหนดจะไม่เปลี่ยนแปลง ตามมาว่าหากจำนวนหนึ่งเป็นราก จำนวนตรงข้ามก็จะเป็นรากด้วย ข้อสรุปนั้นชัดเจน: รากของสมการที่แตกต่างจากศูนย์จะรวมอยู่ในชุดการแก้ปัญหาเป็น "คู่"

เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลขนั้นไม่ใช่ 0 นั่นคือจำนวนรากของสมการดังกล่าวสามารถเป็นเลขคู่ได้เท่านั้นและโดยธรรมชาติแล้วสำหรับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์นั้นไม่สามารถมีสามรากได้

แต่จำนวนรากของสมการ 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 สามารถเป็นเลขคี่ และสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ก็ได้ แน่นอนมันง่ายที่จะตรวจสอบชุดของราก สมการที่กำหนดมีสารละลายเป็นคู่ ลองตรวจสอบว่า 0 เป็นรูตหรือไม่ เมื่อเราแทนมันลงในสมการ เราจะได้ 2=2 ดังนั้นนอกเหนือจากค่าที่ "จับคู่" แล้ว 0 ยังเป็นรากซึ่งพิสูจน์เลขคี่อีกด้วย

ฟังก์ชันเรียกว่าคู่ (คี่) ถ้าสำหรับค่าใดๆ และความเท่าเทียมกัน

กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรรอบแกน
.

กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

ตัวอย่างที่ 6.2ตรวจสอบว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือคี่

1)
; 2)
; 3)
.

สารละลาย.

1) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดเมื่อ
- เราจะพบ
.

เหล่านั้น.
- ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้เป็นเลขคู่

2) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดเมื่อใด

เหล่านั้น.
- ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงเป็นเลขคี่

3) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดไว้สำหรับ เช่น สำหรับ

,
- ดังนั้นฟังก์ชันจึงไม่เป็นคู่หรือคี่ เรียกมันว่าฟังก์ชันรูปแบบทั่วไปกันดีกว่า

3. ศึกษาฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจ

การทำงาน
เรียกว่าการเพิ่ม (ลดลง) ในช่วงเวลาหนึ่งหากในช่วงเวลานี้แต่ละค่าที่ใหญ่กว่าของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่ใหญ่กว่า (น้อยกว่า) ของฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลาหนึ่งเรียกว่าโมโนโทนิก

ถ้าฟังก์ชั่น
แยกแยะได้ในช่วงเวลา
และมีอนุพันธ์ที่เป็นบวก (ลบ)
จากนั้นฟังก์ชัน
เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลานี้

ตัวอย่างที่ 6.3- ค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

1)
; 3)
.

สารละลาย.

1) ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้บนเส้นจำนวนทั้งหมด ลองหาอนุพันธ์กัน

อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ถ้า
และ
- ขอบเขตของคำจำกัดความคือแกนจำนวนหารด้วยจุด
,
เป็นระยะ ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วง

ในช่วงเวลา
อนุพันธ์เป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลานี้

ในช่วงเวลา
อนุพันธ์เป็นบวก ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

2) ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้ถ้า
หรือ

เรากำหนดเครื่องหมายของตรีโกณมิติกำลังสองในแต่ละช่วง

ดังนั้น โดเมนของนิยามของฟังก์ชัน

ลองหาอนุพันธ์กัน
,
, ถ้า
, เช่น.
, แต่
- ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในช่วงเวลา
.

ในช่วงเวลา
อนุพันธ์เป็นลบ ดังนั้นฟังก์ชันจะลดลงตามช่วงเวลา
- ในช่วงเวลา
อนุพันธ์เป็นบวก ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา
.

4. ศึกษาการทำงานที่ส่วนปลาย

จุด
เรียกว่าจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ของฟังก์ชัน
ถ้ามีบริเวณใกล้จุดดังกล่าว นั่นสำหรับทุกคน
จากย่านนี้ความไม่เท่าเทียมกันก็มีอยู่

.

จุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันเรียกว่าจุดสุดขั้ว

ถ้าฟังก์ชั่น
ตรงจุด มีจุดสุดขีด ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนี้เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่ (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของจุดสุดขีด)

จุดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่เรียกว่าวิกฤต

5. เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้ว

กฎข้อที่ 1- หากในช่วงเปลี่ยนผ่าน (จากซ้ายไปขวา) ผ่านจุดวิกฤติ อนุพันธ์
เปลี่ยนเครื่องหมายจาก “+” เป็น “–” จากนั้นถึงจุดนั้น การทำงาน
มีค่าสูงสุด; ถ้าจาก "–" ถึง "+" แสดงว่าค่าต่ำสุด ถ้า
ไม่เปลี่ยนป้ายก็ไม่มีสุดขั้ว

กฎข้อที่ 2- ให้ตรงจุด
อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน
เท่ากับศูนย์
และมีอนุพันธ์อันดับสองอยู่และแตกต่างจากศูนย์ ถ้า
, ที่ – จุดสูงสุดหาก
, ที่ – จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง 6.4 - สำรวจฟังก์ชันสูงสุดและต่ำสุด:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

สารละลาย.

1) ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องตามช่วงเวลา
.

ลองหาอนุพันธ์กัน
และแก้สมการ
, เช่น.
.จากที่นี่
– จุดวิกฤติ

ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในช่วงเวลา ,
.

เมื่อผ่านจุดต่างๆ
และ
อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก “–” เป็น “+” ดังนั้นตามกฎข้อ 1
– คะแนนขั้นต่ำ

เมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่ง
อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "+" เป็น "–" ดังนั้น
– จุดสูงสุด

,
.

2) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลา
- ลองหาอนุพันธ์กัน
.

แก้สมการได้แล้ว
เราจะพบ
และ
– จุดวิกฤติ ถ้าเป็นตัวส่วน
, เช่น.
แล้วอนุพันธ์ไม่มีอยู่จริง ดังนั้น,
– จุดวิกฤติที่สาม ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ตามช่วงเวลา

ดังนั้นฟังก์ชันจึงมีค่าต่ำสุดที่จุด
, สูงสุดเป็นคะแนน
และ
.

3) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่องถ้า
, เช่น. ที่
.

ลองหาอนุพันธ์กัน

มาหาจุดวิกฤติกัน:

บริเวณใกล้เคียงของจุด
ไม่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่ใช่สิ่งสุดโต่ง ลองตรวจสอบจุดวิกฤตกัน
และ
.

4) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่องตามช่วงเวลา
- ลองใช้กฎข้อ 2 ค้นหาอนุพันธ์
.

มาหาจุดวิกฤติกัน:

ลองหาอนุพันธ์อันดับสองกัน
และกำหนดเครื่องหมายไว้ที่จุดต่างๆ

ตามจุดต่างๆ
ฟังก์ชั่นมีขั้นต่ำ

ตามจุดต่างๆ
ฟังก์ชั่นมีค่าสูงสุด

ซึ่งคุ้นเคยกับคุณในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่น มีการบันทึกไว้ด้วยว่าสต็อกของคุณสมบัติฟังก์ชันจะค่อยๆ เติมเต็ม เราจะกล่าวถึงคุณสมบัติใหม่สองประการในส่วนนี้

คำจำกัดความ 1.

ฟังก์ชัน y = f(x), x є X ถูกเรียกแม้ว่าค่า x ใดๆ จากเซต X จะมีความเท่าเทียมกัน f (-x) = f (x) ก็ตาม

คำจำกัดความ 2

ฟังก์ชัน y = f(x), x є X เรียกว่าคี่ ถ้าค่าใด ๆ จากเซต X ความเท่าเทียมกัน f (-x) = -f (x) ยังคงอยู่

พิสูจน์ว่า y = x 4 เป็นฟังก์ชันคู่

สารละลาย. เรามี: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4 แต่(-x) 4 = x 4 ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกัน f(-x) = f(x) ยังคงอยู่ นั่นคือ ฟังก์ชั่นคือเท่ากัน

ในทำนองเดียวกัน สามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชัน y - x 2, y = x 6, y - x 8 เป็นเลขคู่

พิสูจน์ว่า y = x 3 ~ ฟังก์ชั่นคี่.

สารละลาย. เรามี: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3 แต่ (-x) 3 = -x 3 ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ใด ๆ ความเท่าเทียมกัน f (-x) = -f (x) ถืออยู่นั่นคือ ฟังก์ชั่นแปลก

ในทำนองเดียวกัน สามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชัน y = x, y = x 5, y = x 7 เป็นเลขคี่

คุณและฉันเชื่อมากกว่าหนึ่งครั้งว่าคำศัพท์ใหม่ในคณิตศาสตร์มักมีต้นกำเนิด "ทางโลก" เช่น พวกเขาสามารถอธิบายได้ เป็นกรณีที่มีทั้งฟังก์ชันคู่และคี่ โปรดดู: y - x 3, y = x 5, y = x 7 เป็นฟังก์ชันคี่ ในขณะที่ y = x 2, y = x 4, y = x 6 เป็นฟังก์ชันคู่ และโดยทั่วไป สำหรับฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ y = x" (ด้านล่างเราจะศึกษาฟังก์ชันเหล่านี้โดยเฉพาะ) โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติ เราสามารถสรุปได้ว่า ถ้า n เป็นจำนวนคี่ ฟังก์ชัน y = x" ก็คือ แปลก; ถ้า n เป็นจำนวนคู่ ฟังก์ชัน y = xn จะเป็นเลขคู่

นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชันที่ไม่เป็นคู่หรือคี่อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y = 2x + 3 แท้จริงแล้ว f(1) = 5 และ f (-1) = 1 ดังที่คุณเห็นในที่นี้ ไม่มีตัวตน f(-x) = f ( x) หรือเอกลักษณ์ f(-x) = -f(x)

ดังนั้น ฟังก์ชันอาจเป็นเลขคู่ คี่ หรือเป็นค่าทั้งสองก็ได้

การศึกษาว่าฟังก์ชันที่กำหนดเป็นคู่หรือคี่มักเรียกว่าการศึกษาความเท่าเทียมกัน

ในคำจำกัดความ 1 และ 2 เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับค่าของฟังก์ชันที่จุด x และ -x นี่ถือว่าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ที่ทั้งจุด x และจุด -x ซึ่งหมายความว่าจุด -x อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันพร้อมกับจุด x ถ้าเซตตัวเลข X พร้อมด้วยสมาชิก x แต่ละตัว มีสมาชิกตรงข้าม -x ด้วยเช่นกัน X จะเรียกว่าเซตสมมาตร สมมติว่า (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) เป็นเซตสมมาตร ในขณะที่เนื่องจาก y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 สำหรับใด ๆ x \in [-1;1]

ถูก จำกัดเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกใช้ฟังก์ชัน y=f(x), x \in X เมื่อมีจำนวน K > 0 ซึ่งค่าอสมการ \left | ฉ(x)\ขวา | \neq K สำหรับ x \in X ใด ๆ

ตัวอย่างของฟังก์ชันจำกัด: y=\sin x ถูกจำกัดบนแกนจำนวนทั้งหมด เนื่องจาก \ซ้าย | \บาป x \right | \neq1.

ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

เป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาที่พิจารณาเป็น ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นจากนั้น เมื่อค่า x ที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน y=f(x) ตามมาว่าการรับค่าที่กำหนดเองสองค่าของอาร์กิวเมนต์ x_(1) และ x_(2) จากช่วงเวลาที่พิจารณาด้วย x_(1) > x_(2) ผลลัพธ์จะเป็น y(x_(1)) > ใช่(x_(2))

ฟังก์ชันที่ลดลงในช่วงเวลาที่พิจารณาเรียกว่าฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นลดลงเมื่อค่า x ที่มากขึ้นสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน y(x) ตามมาว่าเมื่อพิจารณาจากช่วงเวลาภายใต้การพิจารณาค่าสองค่าโดยพลการของอาร์กิวเมนต์ x_(1) และ x_(2) และ x_(1) > x_(2) ผลลัพธ์จะเป็น y(x_(1))< y(x_{2}) .

รากของฟังก์ชันเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกจุดที่ฟังก์ชัน F=y(x) ตัดกับแกน abscissa (ได้มาจากการแก้สมการ y(x)=0)

ก) ถ้าสำหรับ x > 0 ฟังก์ชันคู่เพิ่มขึ้น ฟังก์ชันคู่จะลดลงสำหรับ x< 0

b) เมื่อฟังก์ชันเลขคู่ลดลงที่ x > 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นที่ x< 0

c) เมื่อฟังก์ชันคี่เพิ่มขึ้นที่ x > 0 ก็จะเพิ่มขึ้นที่ x ด้วย< 0

d) เมื่อฟังก์ชันคี่ลดลงสำหรับ x > 0 ฟังก์ชันก็จะลดลงสำหรับ x ด้วย< 0

สุดขีดของฟังก์ชัน

จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน y=f(x) โดยปกติจะเรียกว่าจุด x=x_(0) ซึ่งย่านใกล้เคียงจะมีจุดอื่น (ยกเว้นจุด x=x_(0)) และสำหรับจุดเหล่านั้น ความไม่เท่าเทียมกัน f(x) > f จะเป็น พอใจ (x_(0)) . y_(นาที) - การกำหนดฟังก์ชันที่จุดต่ำสุด

จุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=f(x) โดยปกติจะเรียกว่าจุด x=x_(0) ซึ่งบริเวณใกล้เคียงจะมีจุดอื่น (ยกเว้นจุด x=x_(0)) และสำหรับจุดเหล่านั้น ความไม่เท่าเทียมกัน f(x) จะเป็นที่น่าพอใจ< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

ข้อกำหนดเบื้องต้น

ตามทฤษฎีบทของแฟร์มาต์: f"(x)=0 เมื่อฟังก์ชัน f(x) ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด x_(0) จะมีจุดสุดโต่ง ณ จุดนี้

สภาพที่เพียงพอ

เมื่ออนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ แล้ว x_(0) จะเป็นจุดต่ำสุด
x_(0) - จะเป็นจุดสูงสุดเฉพาะเมื่ออนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่อผ่านจุดที่นิ่ง x_(0) .

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง

ขั้นตอนการคำนวณ:

ค้นหาอนุพันธ์ f"(x);
พบจุดคงที่และจุดวิกฤตของฟังก์ชันและเลือกจุดที่อยู่ในส่วนนั้น
ค่าของฟังก์ชัน f(x) จะอยู่ที่จุดคงที่และจุดวิกฤตและส่วนปลายของเซ็กเมนต์ ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น ค่าต่ำสุดฟังก์ชั่น, และอื่น ๆ - ที่ใหญ่ที่สุด.