ให้นิยามผลคูณของเวกเตอร์และตัวเลข เวกเตอร์ใดเรียกว่าผลรวมของเวกเตอร์สองตัว

เมทริกซ์ขนาด m คูณ n

เมทริกซ์ ขนาด m คูณ n คือชุดของจำนวนจริง mn หรือองค์ประกอบของโครงสร้างอื่น (พหุนาม ฟังก์ชัน ฯลฯ) เขียนในรูปของตารางสี่เหลี่ยม ซึ่งประกอบด้วยแถว m และ n คอลัมน์ และเป็นรูปกลม สี่เหลี่ยม หรือสองครั้ง วงเล็บตรง ในกรณีนี้ตัวเลขจะเรียกว่าองค์ประกอบเมทริกซ์และแต่ละองค์ประกอบจะเชื่อมโยงกับตัวเลขสองตัว - หมายเลขแถวและหมายเลขคอลัมน์ เรียกว่าเมทริกซ์ขนาด n คูณ n สี่เหลี่ยม เมทริกซ์ลำดับที่ n เช่น จำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์ สามเหลี่ยม - เมทริกซ์จตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างหรือเหนือเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เส้นทแยงมุม ถ้าองค์ประกอบนอกแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ สเกลาร์ เมทริกซ์ - เมทริกซ์แนวทแยงที่มีองค์ประกอบหลักในแนวทแยงเท่ากัน กรณีพิเศษของเมทริกซ์สเกลาร์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ เส้นทแยงมุมเรียกว่าเมทริกซ์ที่องค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดเท่ากับ 1 เดี่ยวเมทริกซ์และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ I หรือ E เรียกเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ทั้งหมด โมฆะ เมทริกซ์และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ O

การคูณเมทริกซ์ A ด้วยตัวเลข λ (สัญลักษณ์: แล ก) ประกอบด้วยการสร้างเมทริกซ์ บีองค์ประกอบที่ได้มาจากการคูณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ กตามจำนวนนี้ ซึ่งก็คือแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ บีเท่ากับ

คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข

1. 1*ก = ก; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

การบวกเมทริกซ์ ก + บี คือการดำเนินการหาเมทริกซ์ คองค์ประกอบทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมคู่ขององค์ประกอบเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องทั้งหมด กและ บีนั่นคือแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ คเท่ากับ

คุณสมบัติของการบวกเมทริกซ์

5.การแลกเปลี่ยน) a+b=b+a

6.ความสัมพันธ์.

7. การบวกด้วยเมทริกซ์ศูนย์

8. การมีอยู่ของเมทริกซ์ตรงข้าม (สิ่งเดียวกันแต่มีเครื่องหมายลบอยู่ทุกหนทุกแห่งก่อนตัวเลขแต่ละตัว)

การคูณเมทริกซ์ - มีการดำเนินการคำนวณเมทริกซ์ คองค์ประกอบที่เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบในแถวที่สอดคล้องกันของตัวประกอบแรกและคอลัมน์ที่สอง

จำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์ กต้องตรงกับจำนวนแถวในเมทริกซ์ บี- ถ้าเป็นเมทริกซ์ กมีมิติ, บี- แล้วตามด้วยมิติของผลิตภัณฑ์ เอบี = คมี.

คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์

1.ความสัมพันธ์ (ดูด้านบน)

2. สินค้าไม่สามารถสับเปลี่ยนได้

3. ผลคูณเป็นการสับเปลี่ยนในกรณีของการคูณด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์

4.ความเป็นธรรมของกฎหมายการแจกจ่าย A*(B+C)=A*B+A*C

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. ตัวกำหนดเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่หนึ่งและลำดับที่ n

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์คือพหุนามขององค์ประกอบของเมทริกซ์จตุรัส (นั่นคือจำนวนหนึ่งที่จำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากับ

การกำหนดโดยการขยายในแถวแรก

สำหรับเมทริกซ์ลำดับแรก ปัจจัยกำหนดเป็นองค์ประกอบเดียวของเมทริกซ์นี้เอง:

สำหรับเมทริกซ์ของดีเทอร์มิแนนต์จะกำหนดให้เป็น

สำหรับเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์จะถูกระบุซ้ำ:

โดยที่เป็นส่วนย่อยเพิ่มเติมขององค์ประกอบ ก 1เจ- สูตรนี้มีชื่อว่า การขยายบรรทัด.

โดยเฉพาะสูตรในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์คือ:

= ก 11 ก 22 ก 33 − ก 11 ก 23 ก 32 − ก 12 ก 21 ก 33 + ก 12 ก 23 ก 31 + ก 13 ก 21 ก 32 − ก 13 ก 22 ก 31

คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

เมื่อเพิ่มผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่น (คอลัมน์) ลงในแถว (คอลัมน์) ใดๆ ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลง

§ หากเมทริกซ์สองแถว (คอลัมน์) ตรงกัน ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะเท่ากับศูนย์

§ ถ้าสอง (หรือหลาย) แถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะเท่ากับศูนย์

§ หากคุณจัดเรียงเมทริกซ์ใหม่สองแถว (คอลัมน์) ค่าดีเทอร์มิแนนต์จะคูณด้วย (-1)

§ ปัจจัยร่วมขององค์ประกอบของชุดข้อมูลใดๆ ของดีเทอร์มิแนนต์สามารถนำออกจากเครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์ได้

§ หากเมทริกซ์อย่างน้อยหนึ่งแถว (คอลัมน์) เป็นศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับศูนย์

§ ผลบวกของผลคูณขององค์ประกอบทั้งหมดในแถวใดๆ จากการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบนั้นจะเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์

§ ผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบทั้งหมดของอนุกรมใดๆ โดยการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของอนุกรมคู่ขนานจะเท่ากับศูนย์

§ ดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณของเมทริกซ์กำลังสองในลำดับเดียวกันจะเท่ากับผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้น (ดูสูตร Binet-Cauchy ด้วย)

§ การใช้สัญลักษณ์ดัชนี สามารถกำหนดดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3x3 ได้โดยใช้สัญลักษณ์ Levi-Civita จากความสัมพันธ์:

เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผัน - เมทริกซ์ดังกล่าว เอ−1เมื่อคูณเมทริกซ์เดิมแล้ว กผลลัพธ์ใน เมทริกซ์เอกลักษณ์ อี:

มีเงื่อนไข การดำรงอยู่:

เมทริกซ์จตุรัสสามารถกลับด้านได้ก็ต่อเมื่อมันไม่เป็นเอกพจน์ นั่นคือดีเทอร์มิแนนต์ของมันไม่เท่ากับศูนย์ สำหรับเมทริกซ์ที่ไม่ใช่กำลังสองและเมทริกซ์เอกพจน์ จะไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

สูตรการหา

หากเมทริกซ์กลับด้านได้ หากต้องการค้นหาเมทริกซ์ผกผันคุณสามารถใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:

ก) การใช้เมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต

ซี ที- เมทริกซ์ขนย้ายของการบวกพีชคณิต

เมทริกซ์ผลลัพธ์ ก−1 และจะเป็นค่าผกผัน ความซับซ้อนของอัลกอริทึมขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของอัลกอริทึมในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ O det และเท่ากับ O(n²)·O det

กล่าวอีกนัยหนึ่งเมทริกซ์ผกผันเท่ากับหนึ่งหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมและคูณด้วยเมทริกซ์ขนย้ายของการบวกพีชคณิต (ส่วนย่อยจะคูณด้วย (-1) ยกกำลังของพื้นที่ที่มันครอบครอง) ของ องค์ประกอบของเมทริกซ์ดั้งเดิม

4. ระบบ สมการเชิงเส้น- โซลูชั่นระบบ ความเข้ากันได้และความไม่เข้ากันของระบบ วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น n ตัวที่มีตัวแปร n ตัว ทฤษฎีบทของแครมเมอร์

ระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ(หรือ, ระบบเชิงเส้น) ในพีชคณิตเชิงเส้นเป็นระบบสมการของรูปแบบ

(1)

ที่นี่ x 1 , x 2 , …, เอ็กซ์เอ็น- สิ่งไม่รู้ที่ต้องพิจารณา ก 11 , ก 12 , …, นาที- ค่าสัมประสิทธิ์ระบบ - และ ข 1 , ข 2 , … ข ม- สมาชิกฟรี - ถือว่าเป็นที่รู้จัก ดัชนีสัมประสิทธิ์ ( ไอจ) ระบบแสดงถึงเลขสมการ ( ฉัน) และไม่ทราบ ( เจ) โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์นี้อยู่ตามลำดับ

เรียกระบบ (1) เป็นเนื้อเดียวกันหากเงื่อนไขอิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ( ข 1 = ข 2 = … = ข ม= 0) มิฉะนั้น - ต่างกัน.

เรียกระบบ (1) สี่เหลี่ยมถ้าเป็นตัวเลข มสมการเท่ากับจำนวน nไม่ทราบ

สารละลายระบบ (1) - ตั้งค่า nตัวเลข ค 1 , ค 2 , …, ซีเอ็นเช่นนั้นการทดแทนกันของแต่ละคน ค ฉันแทน x ฉันเป็นระบบ (1) เปลี่ยนสมการทั้งหมดให้เป็นอัตลักษณ์

เรียกระบบ (1) ข้อต่อถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งวิธี และ ไม่ใช่ข้อต่อหากเธอไม่มีทางออกแม้แต่ทางเดียว

ระบบข้อต่อประเภท (1) อาจมีวิธีแก้ปัญหาตั้งแต่หนึ่งข้อขึ้นไป

โซลูชั่น ค 1 (1) , ค 2 (1) , …, ซีเอ็น(1) และ ค 1 (2) , ค 2 (2) , …, ซีเอ็น(2) ระบบข้อต่อแบบ (1) เรียกว่า หลากหลายหากมีการละเมิดความเท่าเทียมกันอย่างน้อยหนึ่งรายการ:

ค 1 (1) = ค 1 (2) , ค 2 (1) = ค 2 (2) , …, ซีเอ็น (1) = ซีเอ็น (2) .

แบบฟอร์มเมทริกซ์

ระบบสมการเชิงเส้นสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้:

กx = บี.

หากมีการเพิ่มคอลัมน์คำศัพท์อิสระลงในเมทริกซ์ A ทางด้านขวาเมทริกซ์ผลลัพธ์จะเรียกว่าขยาย

วิธีการโดยตรง

วิธีของแครเมอร์ (กฎของแครเมอร์)- วิธีการแก้ระบบเชิงเส้นกำลังสอง สมการพีชคณิตด้วยดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์หลัก (และสำหรับสมการดังกล่าว ก็มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว) ตั้งชื่อตาม Gabriel Cramer (1704–1752) ผู้คิดค้นวิธีการนี้

คำอธิบายของวิธีการ

สำหรับระบบ nสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ (เหนือเขตข้อมูลที่กำหนดเอง)

เมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ระบบ Δ แตกต่างจากศูนย์ คำตอบจะถูกเขียนอยู่ในรูปแบบ

(คอลัมน์ i-th ของเมทริกซ์ระบบจะถูกแทนที่ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ)
ในอีกรูปแบบหนึ่ง กฎของแครมเมอร์มีการกำหนดไว้ดังนี้: สำหรับสัมประสิทธิ์ใด ๆ c 1, c 2, ..., c n ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ในรูปแบบนี้ สูตรของแครมเมอร์ใช้ได้โดยไม่ต้องสันนิษฐานว่า Δ แตกต่างจากศูนย์ ไม่จำเป็นด้วยซ้ำว่าสัมประสิทธิ์ของระบบจะต้องเป็นองค์ประกอบของวงแหวนอินทิกรัล (ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบสามารถเป็นตัวหารของศูนย์ด้วยซ้ำ แหวนสัมประสิทธิ์) เรายังสามารถสมมติได้ว่าเซตใดเซตหนึ่ง ข 1 ,ข 2 ,...,บีเอ็นและ x 1 ,x 2 ,...,เอ็กซ์เอ็นหรือชุด ค 1 ,ค 2 ,...,ซีเอ็นไม่ได้ประกอบด้วยองค์ประกอบของวงแหวนสัมประสิทธิ์ของระบบ แต่เป็นของบางโมดูลที่อยู่เหนือวงแหวนนี้

5.อันดับรองของลำดับที่ k อันดับเมทริกซ์ การแปลงเบื้องต้นของเมทริกซ์ ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลีเกี่ยวกับเงื่อนไขความเข้ากันได้สำหรับระบบสมการเชิงเส้น วิธีกำจัดตัวแปร (เกาส์เซียน) สำหรับระบบสมการเชิงเส้น

ส่วนน้อย เมทริกซ์ กคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสของลำดับ เค(ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าลำดับของผู้เยาว์) ซึ่งมีองค์ประกอบปรากฏในเมทริกซ์ กที่จุดตัดของแถวที่มีตัวเลขและคอลัมน์ที่มีตัวเลข

อันดับ ระบบแถวเมทริกซ์ (คอลัมน์) กกับ มเส้นและ n columns คือจำนวนสูงสุดของแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ (คอลัมน์)

แถว (คอลัมน์) หลายแถวกล่าวได้ว่าเป็นอิสระเชิงเส้น หากไม่มีแถวใดสามารถแสดงเป็นเส้นตรงในแง่ของแถวอื่นๆ ได้ อันดับของระบบแถวจะเท่ากับอันดับของระบบคอลัมน์เสมอ และจำนวนนี้เรียกว่าอันดับของเมทริกซ์

โครเนกเกอร์ - ทฤษฎีบทคาเปลลี (เกณฑ์ความสอดคล้องสำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น) -

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยาย (พร้อมเงื่อนไขอิสระ) และระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะหากอันดับ เท่ากับจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบ และวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์หากอันดับน้อยกว่าจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบ

วิธีเกาส์ - วิธีการดั้งเดิมสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) นี่คือวิธีการกำจัดตัวแปรตามลำดับเมื่อใช้การแปลงเบื้องต้น ระบบสมการจะลดลงเป็นระบบที่เทียบเท่าของรูปแบบขั้นตอน (หรือสามเหลี่ยม) ซึ่งตัวแปรอื่น ๆ ทั้งหมดจะถูกพบตามลำดับโดยเริ่มจากสุดท้าย (โดย จำนวน) ตัวแปร

6. ส่วนกำกับและเวกเตอร์ แนวคิดพื้นฐานพีชคณิตเวกเตอร์ ผลรวมของเวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์กับตัวเลข เงื่อนไขสำหรับการประสานงานของเวกเตอร์ คุณสมบัติของการดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์

การดำเนินการกับเวกเตอร์

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

การดำเนินการบวกเวกเตอร์เรขาคณิตสามารถกำหนดได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับสถานการณ์และประเภทของเวกเตอร์ที่พิจารณา:

เวกเตอร์สองตัว ยู, โวลต์และเวกเตอร์ของผลรวมของมัน

กฎสามเหลี่ยม- ในการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวและตามกฎสามเหลี่ยม เวกเตอร์ทั้งสองนี้จะถูกถ่ายโอนขนานกับตัวเองเพื่อให้จุดเริ่มต้นของหนึ่งในนั้นตรงกับจุดสิ้นสุดของอีกเวกเตอร์หนึ่ง จากนั้นเวกเตอร์ผลรวมจะได้รับจากด้านที่สามของสามเหลี่ยมผลลัพธ์ และจุดเริ่มต้นของมันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรก และสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สอง

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน- ในการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวและตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน เวกเตอร์ทั้งสองนี้จะถูกถ่ายโอนขนานกับตัวมันเองเพื่อให้ต้นกำเนิดตรงกัน จากนั้นเวกเตอร์ผลรวมจะได้รับจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นโดยเริ่มจากจุดกำเนิดร่วมกัน

และโมดูลัส (ความยาว) ของเวกเตอร์ผลรวม กำหนดโดยทฤษฎีบทโคไซน์ โดยที่มุมระหว่างเวกเตอร์เมื่อจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์หนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของอีกเวกเตอร์หนึ่ง ตอนนี้ยังใช้สูตรนี้ด้วย - มุมระหว่างเวกเตอร์ที่โผล่ออกมาจากจุดหนึ่ง

งานศิลปะของเว็กเตอร์

งานศิลปะของเว็กเตอร์ vector by vector เป็นเวกเตอร์ที่ตรงตามข้อกำหนดต่อไปนี้:

คุณสมบัติของเวกเตอร์ C

§ ความยาวของเวกเตอร์เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และไซน์ของมุม φ ระหว่างพวกมัน

§ เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัวและ

§ ทิศทางของเวกเตอร์ C ถูกกำหนดโดยกฎ Buravchik

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

1. เมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย

2. ผลคูณเวกเตอร์มีคุณสมบัติการรวมโดยคำนึงถึงตัวประกอบสเกลาร์ กล่าวคือ

3. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีคุณสมบัติการกระจาย:

ระบบพื้นฐานและพิกัดบนเครื่องบินและในอวกาศ การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐาน พื้นฐานออร์โธนอร์มอลและระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนระนาบและในอวกาศ พิกัดของเวกเตอร์และจุดบนระนาบและในอวกาศ เส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนพิกัด

พื้นฐาน (กรีกโบราณ βασις พื้นฐาน) - ชุดของเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์ใดๆ ในพื้นที่นี้สามารถแสดงได้โดยไม่ซ้ำกันเป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จากชุดนี้ - เวกเตอร์พื้นฐาน.

มักจะสะดวกในการเลือกความยาว (บรรทัดฐาน) ของเวกเตอร์พื้นฐานแต่ละตัวให้เป็นหน่วย ซึ่งเรียกว่าพื้นฐาน ทำให้เป็นมาตรฐาน.

การแสดงเวกเตอร์เฉพาะ (ใดๆ) ของปริภูมิในรูปแบบของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน (ผลรวมของเวกเตอร์พื้นฐานด้วยสัมประสิทธิ์ตัวเลข) ตัวอย่างเช่น

หรือใช้เครื่องหมายผลรวม Σ:

เรียกว่า การขยายตัวของเวกเตอร์นี้บนพื้นฐานนี้

พิกัดของเวกเตอร์และจุดบนระนาบและในอวกาศ

พิกัดแกน x ของจุด A คือตัวเลขที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับความยาวของส่วน OAx: ค่าบวกหากจุด A อยู่บนแกน x บวก และค่าลบหากอยู่บนครึ่งแกนลบ

เวกเตอร์หน่วยหรือเวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 1 และกำหนดทิศทางไปตามแกนพิกัดใดๆ

แล้ว การฉายภาพเวกเตอร์ AB บนแกน l คือความแตกต่าง x1 – x2 ระหว่างพิกัดของเส้นโครงของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์บนแกนนี้

8.โคไซน์ความยาวและทิศทางของเวกเตอร์ ความสัมพันธ์ระหว่างโคไซน์ทิศทาง เวกเตอร์ออร์ธ พิกัดคือผลรวมของเวกเตอร์ ผลคูณของเวกเตอร์และตัวเลข

ความยาวเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยสูตร

ทิศทางของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยมุม α, β, γ ที่เกิดขึ้นจากมันด้วยแกนพิกัด Ox, Oy, Oz โคไซน์ของมุมเหล่านี้ (ที่เรียกว่า เวกเตอร์โคไซน์ทิศทาง ) คำนวณโดยใช้สูตร:

เวกเตอร์หน่วยหรือ ออร์ต (เวกเตอร์หน่วยของปริภูมิเวกเตอร์ปกติ) เป็นเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน (ความยาว) เท่ากับ 1

เวกเตอร์หน่วยซึ่งอยู่ในแนวเดียวกับค่าที่กำหนด (เวกเตอร์ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน) ถูกกำหนดโดยสูตร

เวกเตอร์หน่วยมักถูกเลือกเป็นเวกเตอร์พื้นฐาน เนื่องจากจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น ฐานดังกล่าวเรียกว่า ทำให้เป็นมาตรฐาน- หากเวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากด้วย พื้นฐานดังกล่าวเรียกว่าพื้นฐานออร์โธนอร์มอล

พิกัด คอลลิเนียร์

พิกัด เท่ากัน

พิกัด ผลรวมเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัวตอบสนองความสัมพันธ์:

พิกัด คอลลิเนียร์เวกเตอร์ตอบสนองความสัมพันธ์:

พิกัด เท่ากันเวกเตอร์ตอบสนองความสัมพันธ์:

ผลรวมเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัว:

ผลรวมของเวกเตอร์หลายตัว:

ผลคูณของเวกเตอร์และตัวเลข:

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ การประยุกต์ทางเรขาคณิตของผลคูณไขว้ เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียร์ริตีของเวกเตอร์ คุณสมบัติทางพีชคณิตของผลิตภัณฑ์ผสม การแสดงผลคูณเวกเตอร์ผ่านพิกัดของปัจจัย

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์และเวกเตอร์ b เรียกว่าเวกเตอร์ c ซึ่ง:

1. ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b เช่น c^a และ c^b;

2. มีความยาวเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ a และ b เป็นด้าน (ดูรูปที่ 17) เช่น

3. เวกเตอร์ a, b และ c ประกอบเป็นรูปสามเท่าของมือขวา

การใช้งานทางเรขาคณิต:

การสร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นของเวกเตอร์

การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยม

ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ กและข |a xb | -|a| * |b |sing เช่น S คู่ = |a x b | ดังนั้น DS =1/2|a x b |

การหาโมเมนต์แรงรอบจุดหนึ่ง

เป็นที่ทราบกันดีจากฟิสิกส์ว่า โมเมนต์แห่งแรง Fสัมพันธ์กับประเด็น เกี่ยวกับเรียกว่าเวกเตอร์ เอ็มซึ่งผ่านจุดนั้นไป เกี่ยวกับและ:

1) ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ โอ้, ก, บี;

2) ตัวเลขเท่ากับผลคูณของแรงต่อแขน

3) สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้านขวาด้วยเวกเตอร์ OA และ A B

ดังนั้น M = OA x F

การหาความเร็วการหมุนเชิงเส้น

ความเร็ว v ของจุด M แข็งซึ่งหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม w รอบแกนคงที่ จะถูกกำหนดโดยสูตรออยเลอร์ v =w xr โดยที่ r =OM โดยที่ O คือจุดคงที่ของแกน (ดูรูปที่ 21)

เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียร์ริตีของเวกเตอร์ - จำเป็นและ สภาพที่เพียงพอความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์และเวกเตอร์คือการมีอยู่ของตัวเลขที่เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน

คุณสมบัติทางพีชคณิตของผลิตภัณฑ์ผสม

ผลคูณผสมของเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อปัจจัยถูกจัดเรียงใหม่เป็นวงกลม และจะเปลี่ยนสัญญาณไปในทางตรงกันข้ามเมื่อปัจจัยสองตัวถูกสับเปลี่ยนกัน โดยที่ยังคงรักษาโมดูลัสไว้

เครื่องหมายคูณเวกเตอร์ " " ภายในผลคูณผสมสามารถวางไว้ระหว่างตัวประกอบใดก็ได้

ผลิตภัณฑ์ผสมมีการกระจายโดยคำนึงถึงปัจจัยใดๆ ของมัน: (ตัวอย่าง) ถ้า แล้ว

การแสดงผลคูณไขว้ในแง่ของพิกัด

ระบบพิกัดที่ถูกต้อง

ระบบพิกัดด้านซ้าย

12.ผลคูณผสมของเวกเตอร์ ความหมายทางเรขาคณิตผลิตภัณฑ์ผสม สภาวะของระนาบร่วมของเวกเตอร์ คุณสมบัติทางพีชคณิตของผลิตภัณฑ์ผสม การแสดงผลคูณผสมผ่านพิกัดของปัจจัย

ผสมผลคูณของเวกเตอร์ลำดับที่สาม (a,b,c) คือผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ตัวแรกและผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ตัวที่สองและตัวที่สาม

คุณสมบัติพีชคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ต่อต้านการกลายพันธุ์

การเชื่อมโยงกับการคูณด้วยสเกลาร์

การกระจายสินค้าโดยการบวก

เอกลักษณ์ของจาโคบี วิ่งใน R3 และหยุดพักใน R7

งานศิลปะของเว็กเตอร์เวกเตอร์พื้นฐานเป็นไปตามคำจำกัดความ

บทสรุป

โดยที่พิกัดของทั้งเวกเตอร์ทิศทางของเส้นและพิกัดของจุดที่เป็นของเส้นคือที่ไหน

เวกเตอร์ปกติของเส้นตรงในระนาบ สมการของเส้นที่ผ่าน จุดนี้ตั้งฉากกับเวกเตอร์นี้ สมการทั่วไปของเส้นตรง สมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม การจัดการร่วมกันสองบรรทัดบนเครื่องบิน

ปกติเวกเตอร์ของเส้นตรงคือเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นนี้

- สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

ขวาน + Wu + C = 0- สมการทั่วไปของเส้น.

สมการเส้นตรงในรูปแบบ y=kx+b

เรียกว่า สมการของเส้นตรงกับความชันและสัมประสิทธิ์ k เรียกว่าความชันของเส้นนี้

ทฤษฎีบท- ในสมการของเส้นตรงที่มีความชัน y=kx+b

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม k เท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน abscissa:

การจัดการร่วมกัน:

– สมการทั่วไปของสองบรรทัดบน ประสานงานเครื่องบินโอ้. แล้ว

1) ถ้า แล้วเส้นตรงกัน;

2) ถ้า แล้วตรงและขนาน;

3) ถ้า แล้วเส้นจะตัดกัน

การพิสูจน์ - เงื่อนไขนี้เทียบเท่ากับความเป็นเชิงเส้นของเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนด:

ดังนั้น ถ้า แล้วเป็นเส้นตรง ตัด.

ถ้า , จากนั้น , , และสมการของเส้นจะอยู่ในรูปแบบ:

หรือ , เช่น. ตรง จับคู่- โปรดทราบว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน มิฉะนั้นสัมประสิทธิ์ทั้งหมด สมการทั่วไปจะเท่ากับศูนย์ซึ่งเป็นไปไม่ได้

หากเส้นไม่ตรงและไม่ตัดกันแสดงว่ากรณียังคงอยู่เช่น ตรง ขนาน.

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ах + Ву + С = 0 С≠0 จากนั้นหารด้วย –С เราจะได้: หรือ โดยที่

ความหมายทางเรขาคณิตของค่าสัมประสิทธิ์ก็คือค่าสัมประสิทธิ์ กคือพิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนอ็อกซ์ และ ข– พิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนออย

สมการปกติของเส้นตรง

หากทั้งสองข้างของสมการ Ax + By + C = 0 หารด้วยตัวเลขที่เรียกว่า ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราก็ได้

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

สมการปกติของเส้นตรง

ต้องเลือกเครื่องหมาย ± ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อที่ μ ? กับ< 0.

p คือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลดลงจากจุดกำเนิดถึงเส้นตรง และ φ คือมุมที่เกิดจากตั้งฉากกับทิศทางบวกของแกน Ox

C ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกบรรทัดที่สามารถแสดงด้วยสมการในส่วนต่างๆ เช่น เส้นขนานกับแกนหรือผ่านจุดกำเนิด

17. วงรี. สมการ Canonical ของวงรี สมบัติทางเรขาคณิตและการสร้างวงรี เงื่อนไขพิเศษ

วงรี - ตำแหน่งของจุด มระนาบแบบยุคลิด ซึ่งผลรวมของระยะทางถึงจุดที่กำหนดสองจุด เอฟ 1 และ เอฟ 2 (เรียกว่า foci) มีค่าคงที่และมากกว่าระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส นั่นคือ | เอฟ 1 ม | + | เอฟ 2 ม | = 2กและ | เอฟ 1 เอฟ 2 | < 2ก.

สมการ Canonical

สำหรับวงรีใดๆ คุณสามารถค้นหาระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้ โดยที่วงรีจะถูกอธิบายโดยสมการ (สมการมาตรฐานของวงรี):

อธิบายถึงวงรีที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ซึ่งมีแกนตรงกับแกนพิกัด

การก่อสร้าง: 1) การใช้เข็มทิศ

2) สองเทคนิคและด้ายที่ยืดออก

3) Ellipsograph (Ellipsograph ประกอบด้วยตัวเลื่อนสองตัวที่สามารถเคลื่อนที่ไปตามร่องหรือตัวนำทางที่ตั้งฉากกันสองอัน ตัวเลื่อนจะติดกับแกนโดยใช้บานพับและอยู่ห่างจากกันไปตามแกน โดยตัวเลื่อนจะเคลื่อนไปข้างหน้าและ ย้อนกลับ - แต่ละอันไปตามร่องของมันเอง - และปลายของแท่งจะอธิบายวงรีบนระนาบ โดยปกติแล้ว ระยะทาง a และ b สามารถเปลี่ยนแปลงได้ และด้วยเหตุนี้จึงเปลี่ยนรูปร่างและขนาดของวงรีที่อธิบายไว้)

ความเยื้องศูนย์เป็นลักษณะของการยืดตัวของวงรี ยิ่งความเยื้องศูนย์กลางใกล้ศูนย์ วงรีก็จะมีลักษณะคล้ายวงกลมมากเท่านั้น และในทางกลับกัน ยิ่งความเยื้องศูนย์เข้าใกล้ความสามัคคีมากเท่าใด วงรีก็จะยิ่งยาวมากขึ้นเท่านั้น

พารามิเตอร์โฟกัส

สมการ Canonical

18.ไฮเปอร์โบลา สมการ Canonical ของไฮเปอร์โบลา สมบัติทางเรขาคณิตและการสร้างไฮเปอร์โบลา เงื่อนไขพิเศษ

ไฮเปอร์โบลา(กรีกโบราณ ὑπερβογή จากภาษากรีกโบราณ βαγειν - "โยน", ὑπερ - "เหนือ") - ตำแหน่งของจุด มระนาบแบบยุคลิด ซึ่งค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างในระยะทางจาก มมากถึงสองจุดที่เลือก เอฟ 1 และ เอฟ 2 (เรียกว่า foci) อย่างต่อเนื่อง อย่างแม่นยำมากขึ้น,

นอกจากนี้ | เอฟ 1 เอฟ 2 | > 2ก > 0.

อัตราส่วน

สำหรับลักษณะของไฮเปอร์โบลาที่กำหนดไว้ข้างต้น จะเป็นไปตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้

2. ไดเรกตริกซ์ของไฮเปอร์โบลาถูกระบุด้วยเส้นที่มีความหนาสองเท่าและระบุไว้ ดี 1 และ ดี 2. ความเยื้องศูนย์ ε เท่ากับอัตราส่วนระยะทางจุด ปบนอติพจน์ไปยังโฟกัสและไดเร็กตริกซ์ที่เกี่ยวข้อง (แสดงเป็นสีเขียว) จุดยอดของไฮเปอร์โบลาถูกกำหนดเป็น ± ก- พารามิเตอร์ไฮเปอร์โบลาหมายถึงสิ่งต่อไปนี้:

ก- ระยะทางจากศูนย์กลาง คไปยังแต่ละจุดยอด
ข- ความยาวของเส้นตั้งฉากลดลงจากจุดยอดแต่ละจุดไปยังเส้นกำกับ
ค- ระยะทางจากศูนย์กลาง คไปยังจุดโฟกัสใดๆ เอฟ 1 และ เอฟ 2 ,
θ คือมุมที่เกิดจากเส้นกำกับแต่ละเส้นและแกนที่ลากระหว่างจุดยอด

คุณสมบัติ

§ สำหรับจุดใดๆ ที่วางอยู่บนไฮเปอร์โบลา อัตราส่วนของระยะทางจากจุดนี้ไปยังจุดโฟกัสต่อระยะห่างจากจุดเดียวกันไปยังไดเรกตริกซ์จะเป็นค่าคงที่

§ ไฮเปอร์โบลามีความสมมาตรแบบกระจกเงาเกี่ยวกับแกนจริงและแกนจินตภาพ ตลอดจนสมมาตรในการหมุนเมื่อหมุนเป็นมุม 180° รอบศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลา

§ แต่ละไฮเปอร์โบลามี คอนจูเกตไฮเปอร์โบลาซึ่งแกนจริงและแกนจินตภาพเปลี่ยนสถานที่ แต่เส้นกำกับยังคงเหมือนเดิม สิ่งนี้สอดคล้องกับการเปลี่ยน กและ ขซ้อนทับกันในสูตรที่อธิบายไฮเปอร์โบลา ไฮเปอร์โบลาคอนจูเกตไม่ได้เป็นผลมาจากการหมุนไฮเปอร์โบลาเริ่มต้นเป็นมุม 90°; ไฮเปอร์โบลาทั้งสองมีรูปร่างต่างกัน

19. พาราโบลา. สมการ Canonical ของพาราโบลา สมบัติทางเรขาคณิตและการสร้างพาราโบลา เงื่อนไขพิเศษ

พาราโบลา - ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่อยู่ห่างจากเส้นที่กำหนด (เรียกว่าไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา) และจุดที่กำหนด (เรียกว่าจุดโฟกัสของพาราโบลา)

สมการบัญญัติของพาราโบลาในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม:

(หรือถ้าคุณสลับแกน)

คุณสมบัติ

§ 1 พาราโบลาคือเส้นโค้งลำดับที่สอง

§ 2 มีแกนสมมาตรเรียกว่า แกนพาราโบลา- แกนเคลื่อนผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์

§ 3คุณสมบัติทางแสงลำแสงรังสีขนานกับแกนของพาราโบลาซึ่งสะท้อนอยู่ในพาราโบลาจะถูกรวบรวมไว้ที่โฟกัส และในทางกลับกัน แสงจากแหล่งกำเนิดที่อยู่ในโฟกัสจะถูกสะท้อนด้วยพาราโบลาเป็นลำแสงที่ขนานกับแกนของมัน

§ 4สำหรับพาราโบลา จุดโฟกัสอยู่ที่จุด (0.25; 0)

สำหรับพาราโบลา จุดโฟกัสจะอยู่ที่จุด (0; f)

§ 5 หากจุดโฟกัสของพาราโบลาสะท้อนสัมพันธ์กับแทนเจนต์ รูปภาพของพาราโบลาก็จะอยู่บนไดเรกตริกซ์

§ 6 พาราโบลาคือสิ่งที่ตรงกันข้ามกับเส้นตรง

§ พาราโบลาทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกัน ระยะห่างระหว่างโฟกัสและไดเรกตริกซ์จะกำหนดขนาด

§ 7 เมื่อพาราโบลาหมุนรอบแกนสมมาตร จะได้พาราโบลารูปวงรี

ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา

รัศมีโฟกัส

20.เวกเตอร์ระนาบปกติ สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด สมการระนาบทั่วไป กรณีพิเศษของสมการระนาบทั่วไป สมการเวกเตอร์ของเครื่องบิน ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเครื่องบินสองลำ

เครื่องบิน- หนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต ในการนำเสนอเรขาคณิตอย่างเป็นระบบ แนวคิดเรื่องระนาบมักถือเป็นหนึ่งในแนวคิดเริ่มต้น ซึ่งถูกกำหนดโดยอ้อมด้วยสัจพจน์ของเรขาคณิตเท่านั้น

สมการของระนาบต่อจุดและเวกเตอร์ปกติ
ในรูปแบบเวกเตอร์

ในพิกัด

มุมระหว่างระนาบ

กรณีพิเศษของสมการระนาบทั่วไป

การแสดงกฎธรรมชาติในฟิสิกส์อย่างถูกต้อง จำเป็นต้องมีเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม

ในเรขาคณิตและฟิสิกส์ มีหลายปริมาณที่มีลักษณะเฉพาะด้วยค่าตัวเลขและทิศทาง

ขอแนะนำให้พรรณนาพวกมันเป็นส่วนที่กำกับหรือ เวกเตอร์.

ติดต่อกับ

ปริมาณดังกล่าวมีจุดเริ่มต้น (แสดงด้วยจุด) และสิ้นสุดโดยระบุด้วยลูกศร ความยาวของส่วนเรียกว่า (ความยาว)

• ความเร็ว;
• การเร่งความเร็ว;
• ชีพจร;
• บังคับ;
• ช่วงเวลา;
• ความแข็งแกร่ง;
• ย้าย;
• ความแรงของสนาม ฯลฯ

พิกัดเครื่องบิน

ให้เรากำหนดส่วนบนระนาบที่พุ่งจากจุด A (x1,y1) ไปยังจุด B (x2,y2) พิกัด a (a1, a2) คือตัวเลข a1=x2-x1, a2=y2-y1

โมดูลคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ศูนย์เกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุด พิกัดและความยาวเป็น 0

ผลรวมเวกเตอร์

มีอยู่ กฎหลายข้อในการคำนวณจำนวนเงิน

• กฎสามเหลี่ยม
• กฎรูปหลายเหลี่ยม
• กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน

กฎสำหรับการเพิ่มเวกเตอร์สามารถอธิบายได้โดยใช้ปัญหาจากพลศาสตร์และกลไก ลองพิจารณาการบวกเวกเตอร์ตามกฎสามเหลี่ยมโดยใช้ตัวอย่างของแรงที่กระทำต่อวัตถุจุดและการเคลื่อนที่ต่อเนื่องของร่างกายในอวกาศ

สมมติว่าร่างกายเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B ก่อน จากนั้นจึงจากจุด B ไปยังจุด C การกระจัดครั้งสุดท้ายคือส่วนที่มุ่งจากจุดเริ่มต้น A ไปยังจุดสิ้นสุด C

ผลลัพธ์ของการเคลื่อนไหวสองครั้งหรือผลรวมของการเคลื่อนไหว s = s1+ s2 วิธีการนี้เรียกว่า กฎสามเหลี่ยม.

ลูกศรเรียงกันเป็นห่วงโซ่หากจำเป็นให้ดำเนินการ การถ่ายโอนแบบขนาน- เซ็กเมนต์ผลรวมจะปิดลำดับ จุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของสิ่งแรก และจุดสิ้นสุดพร้อมกับจุดสิ้นสุดของสิ่งสุดท้าย ในตำราเรียนต่างประเทศ วิธีนี้เรียกว่า "หางต่อหัว".

พิกัดของผลลัพธ์ c = a + b เท่ากับผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเงื่อนไข c (a1+ b1, a2+ b2)

ผลรวมของเวกเตอร์ขนาน (คอลลิเนียร์) จะถูกกำหนดโดยกฎสามเหลี่ยมด้วย

หากส่วนดั้งเดิมสองส่วนตั้งฉากกัน ผลลัพธ์ของการบวกทั้งสองส่วนคือด้านตรงข้ามมุมฉากของเส้นที่สร้างไว้บนส่วนเหล่านั้น สามเหลี่ยมมุมฉาก- ความยาวของผลรวมคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตัวอย่าง:

• ความเร็วของร่างกายที่โยนในแนวนอนคือ ตั้งฉากความเร่งของการตกอย่างอิสระ
• ด้วยการเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอ ความเร็วเชิงเส้นของร่างกายจะตั้งฉากกับความเร่งสู่ศูนย์กลาง

การบวกเวกเตอร์สามตัวขึ้นไปผลิตตาม กฎรูปหลายเหลี่ยม, "หางต่อหัว"

สมมติว่ามีการใช้แรง F1 และ F2 กับตัวจุด

ประสบการณ์พิสูจน์ว่าผลรวมของแรงเหล่านี้เทียบเท่ากับการกระทำของแรงหนึ่งที่พุ่งไปตามเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนแรงเหล่านั้น แรงลัพธ์นี้เท่ากับผลรวม F = F1 + F 2 เรียกวิธีการบวกข้างต้น กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน.

ความยาวในกรณีนี้คำนวณโดยสูตร

โดยที่ θ คือมุมระหว่างด้าน

กฎของสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถใช้แทนกันได้ ในวิชาฟิสิกส์ กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกใช้บ่อยกว่า เนื่องจากขนาดของทิศทางของแรง ความเร็ว และความเร่งมักจะใช้กับวัตถุจุดเดียว ในระบบพิกัดสามมิติ จะใช้กฎคู่ขนาน

องค์ประกอบของพีชคณิต

1. การบวกเป็นการดำเนินการแบบไบนารี: สามารถเพิ่มได้เพียงคู่เดียวในแต่ละครั้ง
2. การสับเปลี่ยน: ผลรวมจากการจัดเรียงพจน์ใหม่ไม่เปลี่ยนแปลง a + b = b + a สิ่งนี้ชัดเจนจากกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน: เส้นทแยงมุมจะเท่ากันเสมอ
3. การเชื่อมโยง: ผลรวมของจำนวนเวกเตอร์ใดๆ ก็ตามไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของการบวก (a + b) + c = a + (b + c)
4. การบวกด้วยเวกเตอร์ศูนย์จะไม่เปลี่ยนทิศทางหรือความยาว: a +0= a
5. สำหรับเวกเตอร์แต่ละตัวจะมี ตรงข้าม- ผลรวมของพวกเขาเท่ากับศูนย์ a +(-a)=0 และความยาวเท่ากัน

การคูณด้วยสเกลาร์

ผลลัพธ์ของการคูณด้วยสเกลาร์จะได้เวกเตอร์

พิกัดของผลิตภัณฑ์ได้มาจากการคูณพิกัดที่สอดคล้องกันของต้นฉบับด้วยสเกลาร์

สเกลาร์คือค่าตัวเลขที่มีเครื่องหมายบวกหรือลบ มากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่ง

ตัวอย่างของปริมาณสเกลาร์ในวิชาฟิสิกส์:

• น้ำหนัก;
• เวลา;
• ค่าใช้จ่าย;
• ความยาว;
• สี่เหลี่ยม;
• ปริมาณ;
• ความหนาแน่น;
• อุณหภูมิ;
• พลังงาน.

ตัวอย่าง:

งานเป็นผลคูณสเกลาร์ของแรงและการกระจัด A = Fs

เมื่อศึกษาสาขาวิชาฟิสิกส์กลศาสตร์และสาขาต่างๆ วิทยาศาสตร์เทคนิคมีปริมาณที่กำหนดอย่างสมบูรณ์โดยการระบุค่าตัวเลข ปริมาณดังกล่าวเรียกว่า สเกลาร์หรือกล่าวโดยย่อคือ สเกลาร์.

ปริมาณสเกลาร์คือความยาว พื้นที่ ปริมาตร มวล อุณหภูมิร่างกาย ฯลฯ นอกจากปริมาณสเกลาร์แล้ว ยังมีปริมาณในปัญหาต่างๆ ที่นอกเหนือจากค่าตัวเลขแล้ว จำเป็นต้องรู้ทิศทางด้วย ปริมาณดังกล่าวเรียกว่า เวกเตอร์- ตัวอย่างทางกายภาพของปริมาณเวกเตอร์อาจเป็นการกระจัดของจุดวัสดุที่เคลื่อนที่ในอวกาศ ความเร็วและความเร่งของจุดนี้ ตลอดจนแรงที่กระทำต่อจุดนั้น

ปริมาณเวกเตอร์แสดงโดยใช้เวกเตอร์

คำจำกัดความของเวกเตอร์- เวกเตอร์คือส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวที่แน่นอน

เวกเตอร์มีลักษณะเป็นสองจุด จุดหนึ่งคือจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ อีกจุดคือจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ถ้าเราแสดงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ด้วยจุด ก , และจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คือจุด ใน จากนั้นเวกเตอร์ก็จะแสดงแทน เวกเตอร์สามารถแสดงด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็กตัวหนึ่งโดยมีแถบอยู่เหนือมัน (เช่น )

ในเชิงกราฟิก เวกเตอร์จะแสดงด้วยส่วนที่มีลูกศรต่อท้าย

เรียกว่าจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ จุดใช้งานถ้าตรงประเด็น กคือจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ , จากนั้นเราจะบอกว่ามีการใช้เวกเตอร์ที่จุดนั้น ก.

เวกเตอร์มีลักษณะเป็นสองปริมาณ: ความยาวและทิศทาง

ความยาวเวกเตอร์ – ระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้น A และจุดสิ้นสุด B อีกชื่อหนึ่งของความยาวของเวกเตอร์คือโมดูลัสของเวกเตอร์ และมีการระบุด้วยสัญลักษณ์ . โมดูลัสเวกเตอร์แสดงแทน เวกเตอร์ , ซึ่งมีความยาวเป็น 1 เรียกว่า เวกเตอร์หน่วย นั่นคือเงื่อนไขของเวกเตอร์หน่วย

เวกเตอร์ที่มีความยาวเป็นศูนย์เรียกว่าเวกเตอร์ศูนย์ (เขียนแทนด้วย ) แน่นอนว่าเวกเตอร์ศูนย์มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเหมือนกัน เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทางเฉพาะ

คำจำกัดความของเวกเตอร์คอลลิเนียร์- เวกเตอร์และอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนานเรียกว่าคอลลิเนียร์ .

โปรดทราบว่าเวกเตอร์คอลลิเนียร์สามารถมีความยาวและทิศทางต่างกันได้

การหาเวกเตอร์ที่เท่ากันเวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันหากอยู่ในแนวเดียวกัน มีความยาวเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน

ในกรณีนี้พวกเขาเขียนว่า:

ความคิดเห็น- จากคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ เป็นไปตามที่ว่าเวกเตอร์สามารถถ่ายโอนแบบขนานได้โดยการวางจุดกำเนิดของมันที่จุดใดก็ได้ในอวกาศ (โดยเฉพาะระนาบ)

เวกเตอร์ศูนย์ทั้งหมดถือว่าเท่ากัน

การหาเวกเตอร์ตรงข้ามเวกเตอร์สองตัวจะถูกเรียกว่าตรงกันข้ามหากพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน มีความยาวเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม

ในกรณีนี้พวกเขาเขียนว่า:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์จะแสดงเป็น