การเคลื่อนที่ของลูกกลิ้งไปตามระนาบเอียง ฟิสิกส์: การเคลื่อนไหวของร่างกายบนระนาบเอียง

บทความนี้พูดถึงวิธีแก้ปัญหาเรื่องการก้าวไปข้างหน้า เครื่องบินเอียง- มีการพิจารณาวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับปัญหาการเคลื่อนที่ของวัตถุคู่บนระนาบเอียงจากการสอบ Unified State ในวิชาฟิสิกส์

การแก้ปัญหาการเคลื่อนที่บนระนาบเอียง

ก่อนที่จะดำเนินการแก้ไขปัญหาโดยตรงในฐานะครูสอนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ฉันขอแนะนำให้วิเคราะห์เงื่อนไขอย่างรอบคอบ คุณต้องเริ่มต้นด้วยการแสดงภาพแรงที่กระทำต่อวัตถุที่เชื่อมต่อกัน:

ที่นี่ และ คือแรงตึงของด้ายที่กระทำต่อวัตถุด้านซ้ายและขวา ตามลำดับ คือ แรงปฏิกิริยารองรับที่กระทำต่อร่างกายด้านซ้าย และคือ แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อวัตถุด้านซ้ายและขวา ตามลำดับ ทุกอย่างชัดเจนเกี่ยวกับทิศทางของกองกำลังเหล่านี้ แรงดึงจะพุ่งไปตามเกลียว แรงโน้มถ่วงจะอยู่ในแนวตั้งลง และแรงปฏิกิริยารองรับจะตั้งฉากกับระนาบที่เอียง

แต่ทิศทางของแรงเสียดทานจะต้องแยกกัน ดังนั้นในรูปจึงมีเส้นประและเซ็นชื่อด้วยเครื่องหมายคำถาม เป็นที่ชัดเจนโดยสัญชาตญาณว่าหากโหลดที่ถูกต้อง "มีมากกว่า" โหลดด้านซ้าย แรงเสียดทานจะมุ่งตรงตรงข้ามกับเวกเตอร์ ในทางตรงกันข้าม หากโหลดด้านซ้าย "มีมากกว่า" โหลดด้านขวา แรงเสียดทานจะถูกกำหนดทิศทางร่วมกับเวกเตอร์

น้ำหนักที่เหมาะสมถูกดึงลงมาด้วยแรง N ในกรณีนี้ เราหาความเร่งของแรงโน้มถ่วง m/s 2 ภาระด้านซ้ายยังถูกดึงลงมาด้วยแรงโน้มถ่วง แต่ไม่ใช่ทั้งหมด แต่เป็นเพียง "ส่วนหนึ่ง" เท่านั้น เนื่องจากภาระวางอยู่บนระนาบเอียง “ส่วน” นี้เท่ากับการฉายแรงโน้มถ่วงลงบนระนาบเอียง ซึ่งก็คือขาเข้า สามเหลี่ยมมุมฉากแสดงในรูปนั่นคือเท่ากับ N

นั่นคือภาระที่ถูกต้องยังคงมี "เกินดุล" ดังนั้น แรงเสียดทานจึงถูกกำหนดทิศทางตามที่แสดงในภาพ (เราดึงมันมาจากจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย ซึ่งเป็นไปได้ในกรณีที่สามารถสร้างแบบจำลองร่างกายได้ด้วยจุดวัสดุ):

ที่สอง คำถามสำคัญที่ต้องจัดการระบบที่เชื่อมต่อนี้จะเคลื่อนไหวเลยหรือไม่? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าปรากฎว่าแรงเสียดทานระหว่างโหลดด้านซ้ายกับระนาบเอียงจะมากจนไม่ยอมให้เคลื่อนที่?

สถานการณ์นี้จะเป็นไปได้ในกรณีที่แรงเสียดทานสูงสุดซึ่งโมดูลัสถูกกำหนดโดยสูตร (ที่นี่ - ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานระหว่างโหลดและระนาบเอียง - แรงปฏิกิริยารองรับที่กระทำต่อโหลดจากด้านข้างของ ระนาบเอียง) กลายเป็นว่า ยิ่งไปกว่านั้นแรงที่พยายามทำให้ระบบเคลื่อนที่ นั่นคือแรงที่ "เกินดุล" มากซึ่งเท่ากับ N

โมดูลัสของแรงปฏิกิริยารองรับเท่ากับความยาวของขาในรูปสามเหลี่ยมตามกฎข้อที่ 3 ของนิวตัน (ด้วยขนาดแรงเท่ากันที่ภาระกดบนระนาบเอียง โดยมีขนาดแรงเท่ากันที่ระนาบเอียงกระทำต่อ โหลด) นั่นคือแรงปฏิกิริยารองรับมีค่าเท่ากับ N จากนั้นค่าสูงสุดของแรงเสียดทานคือ N ซึ่งน้อยกว่าค่าของ "แรงเกินน้ำหนัก"

ส่งผลให้ระบบเคลื่อนที่และเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง ให้เราพรรณนาในรูปความเร่งและแกนพิกัดเหล่านี้ซึ่งเราจะต้องใช้ในภายหลังเมื่อแก้ไขปัญหา:

ตอนนี้ หลังจากวิเคราะห์เงื่อนไขของปัญหาอย่างละเอียดแล้ว เราก็พร้อมที่จะเริ่มแก้ไข

ลองเขียนกฎข้อที่ 2 ของนิวตันสำหรับร่างกายด้านซ้าย:

และในการฉายภาพบนแกน ระบบพิกัดเราได้รับ:

ในที่นี้ การฉายภาพจะถูกถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ โดยเวกเตอร์นั้นอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของแกนพิกัดที่สอดคล้องกัน เส้นโครงที่มีเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกันกับแกนพิกัดที่สอดคล้องกันจะถูกบวกด้วยเครื่องหมายบวก

เราจะอธิบายรายละเอียดอีกครั้งว่าจะค้นหาเส้นโครงและ . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่แสดงในภาพ ในรูปสามเหลี่ยมนี้ และ - เป็นที่รู้กันว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนี้ . แล้วและ.

เวกเตอร์ความเร่งอยู่บนแกนทั้งหมด ดังนั้น . ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วข้างต้น ตามคำจำกัดความ โมดูลัสของแรงเสียดทานจะเท่ากับผลคูณของสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานและโมดูลัสของแรงปฏิกิริยารองรับ เพราะฉะนั้น, . จากนั้นระบบสมการดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:

ตอนนี้ให้เราเขียนกฎข้อที่ 2 ของนิวตันสำหรับตัวที่ถูกต้อง:

ในการฉายภาพบนแกนที่เราได้รับ

พลศาสตร์เป็นหนึ่งในสาขาฟิสิกส์ที่สำคัญซึ่งศึกษาเหตุผลของการเคลื่อนที่ของวัตถุในอวกาศ ในบทความนี้เราจะพิจารณาจากมุมมองทางทฤษฎีหนึ่งในปัญหาทั่วไปของพลวัต - การเคลื่อนไหวของร่างกายไปตามระนาบเอียงและยังให้ตัวอย่างวิธีแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติด้วย

สูตรพื้นฐานของไดนามิก

ก่อนที่จะไปศึกษาฟิสิกส์ของการเคลื่อนไหวของร่างกายตามแนวลาดเอียง เราจะนำเสนอสิ่งที่จำเป็นก่อน ข้อมูลทางทฤษฎีเพื่อแก้ไขปัญหานี้

ในศตวรรษที่ 17 ไอแซก นิวตันสามารถสังเกตการเคลื่อนที่ของวัตถุที่อยู่รอบๆ ด้วยตาเปล่าได้ จึงได้กฎสามข้อที่เป็นชื่อของเขาในปัจจุบัน ทุกอย่างเป็นไปตามกฎหมายเหล่านี้ กลศาสตร์คลาสสิก- เราสนใจบทความนี้เฉพาะในกฎข้อที่สองเท่านั้น รูปแบบทางคณิตศาสตร์มีดังต่อไปนี้:

คุณอาจสนใจ:

สูตรบอกว่าการกระทำของแรงภายนอก F′ จะส่งความเร่ง aให้กับวัตถุที่มีมวล m เราจะใช้สำนวนง่ายๆ นี้ต่อไปในการแก้ปัญหาการเคลื่อนไหวของร่างกายตามแนวลาดเอียง

โปรดทราบว่าแรงและความเร่งเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกัน นอกจากนี้ แรงยังเป็นลักษณะพิเศษของการเติม กล่าวคือ ในสูตรข้างต้น F′ ถือได้ว่าเป็นผลที่ตามมาต่อร่างกาย

ระนาบเอียงและแรงที่กระทำต่อร่างกายที่อยู่บนนั้น

จุดสำคัญที่ความสำเร็จในการแก้ปัญหาการเคลื่อนไหวของร่างกายไปตามระนาบเอียงขึ้นอยู่กับการกำหนดแรงที่กระทำต่อร่างกาย คำจำกัดความของแรงถือเป็นความรู้เกี่ยวกับโมดูลและทิศทางของแรง

ด้านล่างนี้เป็นภาพวาดที่แสดงให้เห็นว่าร่างกาย (รถยนต์) อยู่นิ่งบนเครื่องบินโดยเอียงเป็นมุมกับแนวนอน กองกำลังใดกำลังดำเนินการอยู่?

รายการด้านล่างนี้แสดงรายการกองกำลังเหล่านี้:

• ความหนัก;
• ปฏิกิริยาสนับสนุน
• แรงเสียดทาน;
• ความตึงด้าย (ถ้ามี)

แรงโน้มถ่วง

ประการแรก นี่คือแรงโน้มถ่วง (Fg) มันถูกชี้ลงในแนวตั้งลง เนื่องจากร่างกายมีความสามารถในการเคลื่อนที่ไปตามพื้นผิวของเครื่องบินเท่านั้น เมื่อแก้ไขปัญหา แรงโน้มถ่วงจึงถูกสลายออกเป็นสององค์ประกอบตั้งฉากกัน ส่วนประกอบชิ้นหนึ่งมุ่งไปตามระนาบส่วนอีกชิ้นตั้งฉากกับมัน มีเพียงคนแรกเท่านั้นที่นำไปสู่การปรากฏตัวของความเร่งในร่างกายและในความเป็นจริงเป็นเพียงปัจจัยขับเคลื่อนเดียวสำหรับร่างกายที่เป็นปัญหา องค์ประกอบที่สองเป็นตัวกำหนดการเกิดแรงปฏิกิริยารองรับ

บูกินา มารีน่า, 9 V

การเคลื่อนที่ของร่างกายไปตามระนาบเอียง

ด้วยการเปลี่ยนเป็นแนวนอน

เพื่อศึกษาร่างกายฉันจึงหยิบเหรียญ 10 รูเบิล (ขอบยาง)

ข้อมูลจำเพาะ:

เส้นผ่านศูนย์กลางเหรียญ – 27.0 มม.

น้ำหนักเหรียญ - 8.7 กรัม;

ความหนา - 4 มม.

เหรียญทำจากโลหะผสมเงินทองเหลือง-นิกเกิล

ฉันตัดสินใจเอาหนังสือยาว 27 ซม. เป็นระนาบเอียง ระนาบแนวนอนไม่ จำกัด เนื่องจากเป็นรูปทรงกระบอกและในอนาคตเหรียญที่กลิ้งออกจากหนังสือจะยังคงเคลื่อนไหวบนพื้น (กระดานปาร์เก้) หนังสือยกสูงจากพื้น 12 ซม. มุมระหว่างระนาบแนวตั้งและแนวนอนคือ 22 องศา

มีการใช้อุปกรณ์เพิ่มเติมสำหรับการวัดต่อไปนี้: นาฬิกาจับเวลา ไม้บรรทัดธรรมดา ด้ายยาว ไม้โปรแทรกเตอร์ และเครื่องคิดเลข

ในรูปที่ 1 ภาพเหรียญบนระนาบเอียง

มาเปิดตัวเหรียญกันเถอะ

เราจะป้อนผลลัพธ์ที่ได้รับในตารางที่ 1

มุมมองเครื่องบิน
โน้มเอียง เครื่องบิน
แนวนอน เครื่องบิน
*ค่าคงที่ 0.27 ม. ttotal=90.04

ตารางที่ 1

วิถีการเคลื่อนที่ของเหรียญนั้นแตกต่างกันในการทดลองทั้งหมด แต่บางส่วนของวิถีก็คล้ายกัน บนระนาบที่มีความลาดเอียง เหรียญจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง และเมื่อเคลื่อนที่บนระนาบแนวนอน เหรียญจะเคลื่อนที่เป็นแนวโค้ง

รูปที่ 2 แสดงแรงที่กระทำต่อเหรียญในขณะที่มันเคลื่อนที่ไปตามระนาบเอียง:

จากการใช้กฎข้อที่ 2 ของนิวตัน เราได้สูตรในการหาความเร่งของเหรียญ (ตามรูปที่ 2)

ขั้นแรก ให้เขียนสูตร II ของกฎของนิวตันในรูปแบบเวกเตอร์

ความเร่งที่ร่างกายเคลื่อนที่อยู่ที่ไหนคือแรงผลลัพธ์ (แรงที่กระทำต่อร่างกาย) https://pandia.ru/text/78/519/images/image008_3.gif" width="164" height=" 53" > แรงสามแรงกระทำต่อร่างกายของเราระหว่างการเคลื่อนไหว: แรงโน้มถ่วง (Ft) แรงเสียดทาน (Ftr) และแรงปฏิกิริยาพื้น (N);

กำจัดเวกเตอร์โดยฉายลงบนแกน X และ Y:

ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานอยู่ที่ไหน

เนื่องจากเราไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับค่าตัวเลขของสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของเหรียญบนระนาบของเรา เราจะใช้สูตรอื่น:

โดยที่ S คือเส้นทางที่ร่างกายเดินทาง V0 คือความเร็วเริ่มต้นของร่างกาย และความเร่งที่ร่างกายเคลื่อนที่ t คือช่วงเวลาการเคลื่อนไหวของร่างกาย

เพราะ ,

ในระหว่างการแปลงทางคณิตศาสตร์เราได้สูตรต่อไปนี้:

เมื่อฉายแรงเหล่านี้ลงบนแกน X (รูปที่ 2) จะเห็นได้ชัดว่าทิศทางของเส้นทางและเวกเตอร์ความเร่งตรงกัน มาเขียนรูปแบบผลลัพธ์โดยกำจัดเวกเตอร์:

ลองใช้ค่าเฉลี่ยจากตารางสำหรับ S และ t ค้นหาความเร่งและความเร็ว (ร่างกายเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร่งสม่ำเสมอบนระนาบเอียง)

https://pandia.ru/text/78/519/images/image021_1.gif" align="left" width="144" height="21">

ในทำนองเดียวกัน เราพบความเร่งของร่างกายบนระนาบแนวนอน (บนระนาบแนวนอน ร่างกายเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วเท่ากัน)

R=1.35 ซม. โดยที่ R คือรัศมีของเหรียญ

โดยที่ความเร็วเชิงมุมคือความเร่งสู่ศูนย์กลาง คือความถี่ของการหมุนของร่างกายเป็นวงกลม

การเคลื่อนที่ของร่างกายไปตามระนาบเอียงโดยการเปลี่ยนไปใช้ระนาบแนวนอนนั้นเป็นเส้นตรงมีความเร่งสม่ำเสมอซับซ้อนซึ่งสามารถแบ่งออกเป็นการเคลื่อนไหวแบบหมุนและการแปล

การเคลื่อนที่ของร่างกายบนระนาบเอียงจะเป็นเส้นตรงและมีความเร่งสม่ำเสมอ

ตามกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน เห็นได้ชัดว่าความเร่งขึ้นอยู่กับแรงลัพธ์ (R) เท่านั้น และยังคงเป็นค่าคงที่ตลอดเส้นทางตลอดแนวระนาบเอียง เนื่องจากในสูตรสุดท้าย หลังจากฉายกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน ปริมาณ ที่เกี่ยวข้องกับสูตรนั้น https://pandia.ru/text/78/519/images/image029_1.gif" width="15" height="17">การหมุนคงที่จากตำแหน่งเริ่มต้นบางส่วน

การแปลความหมายคือการเคลื่อนไหวของร่างกายที่แข็งทื่ออย่างยิ่ง โดยที่เส้นตรงใดๆ ที่เชื่อมต่ออย่างเหนียวแน่นกับร่างกายจะเคลื่อนไหวโดยยังคงขนานกับตัวมันเอง ทุกจุดของร่างกายที่เคลื่อนที่แบบแปลนในแต่ละช่วงเวลามีความเร็วและความเร่งเท่ากัน และวิถีการเคลื่อนที่ของพวกมันจะรวมกันอย่างสมบูรณ์ในระหว่างการแปลแบบขนาน

ปัจจัยที่ส่งผลต่อระยะเวลาการเคลื่อนไหวของร่างกาย

บนเครื่องบินที่มีความลาดเอียง

ด้วยการเปลี่ยนเป็นแนวนอน

การขึ้นอยู่กับเวลาของเหรียญที่มีนิกายต่างกัน (เช่น มี d (เส้นผ่านศูนย์กลาง) ต่างกัน)

	นิกายเหรียญ	งเหรียญ ซม		ตาฟ, ส

ตารางที่ 2

ยิ่งเหรียญมีเส้นผ่านศูนย์กลางใหญ่เท่าไร ระยะเวลาในการเคลื่อนที่ก็จะนานขึ้นเท่านั้น

การขึ้นอยู่กับเวลากับมุมเอียง

	มุมเอียง		ตาฟ, ส

ตารางที่ 3

ปล่อยให้ร่างเล็กอยู่บนระนาบเอียงโดยมีมุมเอียง a (รูปที่ 14.3, ก- มาดูกันว่า: 1) แรงเสียดทานคืออะไรหากร่างกายเลื่อนไปตามระนาบเอียง; 2) แรงเสียดทานจะเป็นเท่าใดหากร่างกายไม่นิ่ง 3) ที่ค่าต่ำสุดของมุมเอียง ร่างกายจะเริ่มเลื่อนออกจากระนาบเอียง

ก) ข)

แรงเสียดทานก็จะเป็น ขัดขวางการเคลื่อนไหวจึงถูกชี้ขึ้นไปตามระนาบเอียง (รูปที่ 14.3, ข- นอกจากแรงเสียดทานแล้ว แรงโน้มถ่วงและแรงยังส่งผลต่อร่างกายอีกด้วย ปฏิกิริยาปกติ- ให้เราแนะนำระบบพิกัด ฮูดังแสดงในรูป และค้นหาเส้นโครงของแรงทั้งหมดนี้ลงบนแกนพิกัด:

เอ็กซ์: เอฟตร เอ็กซ์ = –เอฟตร, เอ็น เอ็กซ์ = 0, มก. X = มกซินา;

ย:เอฟตร ย = 0, นิวยอร์ก=น, มก. Y = –มกโคซ่า

เนื่องจากวัตถุสามารถเร่งความเร็วได้เฉพาะในระนาบเอียงเท่านั้น ซึ่งก็คือ ตามแนวแกน เอ็กซ์จะเห็นได้ว่าเส้นโครงของเวกเตอร์ความเร่งเข้าสู่แกนนั้นชัดเจน ยจะเป็นศูนย์เสมอ: และ Y= 0 ซึ่งหมายถึงผลรวมของเส้นโครงของแรงทั้งหมดบนแกน ยจะต้องเป็นศูนย์ด้วย:

เอฟตร ย + NY + มก. Y= 0 Þ 0 + ยังไม่มีข้อความ-มกโคซ่า = 0 Þ

ยังไม่มีข้อความ = มกโคซ่า (14.4)

จากนั้นแรงเสียดทานแบบเลื่อนตามสูตร (14.3) จะเท่ากับ:

เอฟ tr.sk = ม น=ม มกโคซ่า (14.5)

ถ้าร่างกาย พักจากนั้นผลรวมของเส้นโครงของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุบนแกน เอ็กซ์ควรเท่ากับศูนย์:

เอฟตร เอ็กซ์ + N X + มก. X= 0 Þ – เอฟทีอาร์ + 0 +มกไซนา = 0 Þ

เอฟที.พี = มกซินะ (14.6)

ถ้าเราค่อยๆ เพิ่มมุมเอียงก็จะได้ค่า มกไซนาจะค่อยๆ เพิ่มขึ้น ซึ่งหมายความว่าแรงเสียดทานสถิตก็จะเพิ่มขึ้นเช่นกัน ซึ่งจะ "ปรับโดยอัตโนมัติ" ต่ออิทธิพลภายนอกและชดเชยมันเสมอ

แต่ดังที่เราทราบ “ความเป็นไปได้” ของแรงเสียดทานสถิตนั้นไม่ได้มีไม่จำกัด ที่มุมหนึ่ง 0 "ทรัพยากร" ทั้งหมดของแรงเสียดทานสถิตจะหมดลง: มันจะถึงค่าสูงสุดซึ่งเท่ากับแรงเสียดทานแบบเลื่อน จากนั้นความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

เอฟท.ส.ค = มกไซนา 0 .

การแทนที่ค่าลงในความเท่าเทียมกันนี้ เอฟ tr.sk จากสูตร (14.5) เราได้รับ: m มกโคซ่า 0 = มกไซนา 0 .

หารทั้งสองข้างของความเสมอภาคสุดท้ายด้วย มกโคซ่า 0 เราได้รับ:

Þ 0 = อาร์คจีเอ็ม

ดังนั้น มุม a ที่ร่างกายเริ่มเลื่อนไปตามระนาบเอียง จะได้สูตรดังนี้:

0 = อาร์คจีเอ็ม (14.7)

โปรดทราบว่าหาก a = 0 ร่างกายสามารถนอนนิ่งได้ (หากคุณไม่ได้สัมผัสมัน) หรือเลื่อนลงตามระนาบที่เอียงด้วยความเร็วคงที่ (ถ้าคุณดันมันเล็กน้อย) ถ้าก< a 0 , то тело «стабильно» неподвижно, и легкий толчок не произведет на него никакого «впечатления». А если a >0 จากนั้นร่างกายจะเลื่อนออกจากระนาบเอียงด้วยความเร่งและไม่มีแรงกระแทกใดๆ

ปัญหา 14.1.ชายคนหนึ่งถือเลื่อนสองอันเชื่อมต่อกัน (รูปที่ 14.4, ก) ใช้กำลัง เอฟที่มุม a ถึงแนวนอน มวลของเลื่อนนั้นเท่ากันและเท่ากัน ต- ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของนักวิ่งบนหิมะ ม. จงหาความเร่งของเลื่อนและแรงดึง ตเชือกระหว่างเลื่อนเช่นเดียวกับแรง เอฟ 1 โดยบุคคลจะต้องดึงเชือกเพื่อให้เลื่อนเลื่อนได้เท่าๆ กัน

เอฟเช้า ม	ก)	ข)ข้าว. 14.4
ก = ? ต = ? เอฟ 1 = ?

สารละลาย- มาเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับเลื่อนแต่ละเลื่อนในเส้นโครงบนแกนกัน เอ็กซ์และ ที่(รูปที่ 14.4, ข):

ฉัน ที่: เอ็น 1 + เอฟซินะ - มก = 0, (1)

x: เอฟโคซ่า - ต–ม เอ็น 1 = แม่; (2)

ครั้งที่สอง ที่: เอ็น 2 – มก = 0, (3)

x: ต–ม เอ็น 2 = แม่. (4)

จาก (1) เราพบ เอ็น 1 = มก.–เอฟ sina จาก (3) และ (4) เราพบ ที =ม มก.+ + มาการแทนที่ค่าเหล่านี้ เอ็น 1 และ ตใน (2) เราได้

.

การทดแทน กใน (4) เราได้

ต= ม เอ็น 2 + แม่= ม มก + ที่ =

ม มก + ต .

การค้นหา เอฟ 1 ให้เราถือเอานิพจน์สำหรับ กถึงศูนย์:

คำตอบ: ; ;

.

หยุด! ตัดสินใจด้วยตัวเอง: B1, B6, C3

ปัญหา 14.2.สองร่างที่มีมวล ตและ มผูกด้วยด้าย ดังแสดงในรูป 14.5, ก- ร่างกายเคลื่อนไหวด้วยความเร่งเท่าใด? มถ้าค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานบนพื้นผิวโต๊ะเป็น m ความตึงของด้ายคืออะไร ต- แรงกดบนแกนบล็อกเป็นเท่าใด?

ต มม	สารละลาย. มาเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันในเส้นโครงบนแกนกัน เอ็กซ์ 1 และ เอ็กซ์ 2 (รูปที่ 14.5, ข) โดยพิจารณาว่า: เอ็กซ์ 1: ที -ม มก = แม่, (1) เอ็กซ์ 2: มก. – T = แม่- (2) การแก้ระบบสมการ (1) และ (2) เราพบว่า:
ก = ? ต = ? ร = ?

หากสิ่งของไม่เคลื่อนที่ ดังนั้น .

คำตอบ: 1) ถ้า ต < mม, ที่ ก = 0, ต = มก- 2) ถ้า ตลูกบาศก์เมตร ม, ที่ , , .

หยุด! ตัดสินใจด้วยตัวเอง: B9–B11, C5

ปัญหา 15.3.สองร่างที่มีมวล ต 1 และ ต 2 เชื่อมต่อกันด้วยด้ายที่โยนข้ามบล็อก (รูปที่ 14.6) ร่างกาย ต 1 อยู่บนระนาบเอียงและมีมุมเอียง a ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานรอบระนาบ m มวลร่างกาย ต 2 แขวนอยู่บนด้าย จงหาความเร่งของวัตถุ แรงดึงของเกลียว และแรงกดของบล็อกบนแกน โดยมีเงื่อนไขดังนี้ ต 2 < ต 1. พิจารณา tga > m

ข้าว. 14.7

มาเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันในเส้นโครงบนแกนกัน เอ็กซ์ 1 และ เอ็กซ์ 2 ให้สิ่งนั้นและ:

เอ็กซ์ 1: ต 1 กซินะ - ที -ม ม 1 กโคซ่า = ม 1 ก,

เอ็กซ์ 2: ต-ม 2 ก. = ม 2 ก.

, .

เพราะ ก>0 แล้ว

หากไม่พอใจกับความไม่เท่าเทียมกัน (1) แสดงว่าโหลด ต 2 ไม่ขยับขึ้นแน่นอน! เป็นไปได้อีกสองทางเลือก: 1) ระบบไม่เคลื่อนไหว; 2) สินค้า ต 2 เลื่อนลง (และโหลด ต 1 ตามลำดับ ขึ้น)

สมมติว่าโหลด ต 2 เลื่อนลง (รูปที่ 14.8)

ข้าว. 14.8

จากนั้นสมการของกฎข้อที่สองของนิวตันบนแกน เอ็กซ์ 1 และ เอ็กซ์ 2 จะมีลักษณะดังนี้:

เอ็กซ์ 1: ที-ที 1 กซินะ – ม ม 1 กโคซ่า = ม 1 ก,

เอ็กซ์ 2: ม 2 ก. – ต = ม 2 ก.

เมื่อแก้ระบบสมการนี้ เราพบว่า:

, .

เพราะ ก>0 แล้ว

ดังนั้น หากเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน (1) แสดงว่าโหลด ต 2 ขึ้นไป และหากเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน (2) ก็จะลดลง ดังนั้นหากไม่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ กล่าวคือ

,

ระบบไม่มีการเคลื่อนไหว

ยังคงต้องหาแรงกดบนแกนบล็อก (รูปที่ 14.9) แรงกดบนแกนบล็อก รวี ในกรณีนี้สามารถพบได้เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอบีซีดี- เพราะ

Ð เอดีซี= 180° – 2,

โดยที่ b = 90°– a แล้วตามด้วยทฤษฎีบทโคไซน์

ร 2 = .

จากที่นี่ .

คำตอบ:

1) ถ้า , ที่ , ;

2) ถ้า , ที่ , ;

3) ถ้า , ที่ ก = 0; ต = ต 2 ก.

ในทุกกรณี .

หยุด! ตัดสินใจด้วยตัวเอง: B13, B15

ปัญหา 14.4.บนรถเข็นที่ชั่งน้ำหนัก มการกระทำของแรงในแนวนอน เอฟ(รูปที่ 14.10, ก- ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานระหว่างโหลด ตและรถเข็นมีค่าเท่ากับม. กำหนดความเร่งของโหลด สิ่งที่ควรเป็นกำลังขั้นต่ำ เอฟ 0 เพื่อโหลด ตเริ่มเลื่อนบนรถเข็นแล้วเหรอ?

ม, ต เอฟม	ก)	ข)ข้าว. 14.10
ก 1 = ? ก 2 = ? เอฟ 0 = ?

สารละลาย- ขั้นแรกให้สังเกตว่าแรงที่ขับโหลด ตที่กำลังเคลื่อนที่คือแรงเสียดทานสถิตที่รถเข็นกระทำต่อน้ำหนักบรรทุก ขีดสุด ความหมายที่เป็นไปได้แรงนี้เท่ากับ m มก.

ตามกฎข้อที่สามของนิวตัน ภาระจะกระทำบนรถเข็นด้วยแรงเท่ากัน - (รูปที่ 14.10, ข- สลิปเริ่มต้นในขณะที่มันถึงค่าสูงสุดแล้ว แต่ระบบยังคงเคลื่อนที่เป็นมวลเดียว ต+มด้วยความเร่ง จากนั้นตามกฎข้อที่สองของนิวตัน

พลศาสตร์และจลนศาสตร์เป็นสาขาฟิสิกส์ที่สำคัญสองสาขาที่ศึกษากฎการเคลื่อนที่ของวัตถุในอวกาศ ประการแรกพิจารณาถึงแรงที่กระทำต่อร่างกาย ในขณะที่ประการที่สองเกี่ยวข้องโดยตรงกับลักษณะของกระบวนการไดนามิก โดยไม่ต้องเจาะลึกถึงสาเหตุของสิ่งที่ทำให้เกิดสิ่งนั้น ความรู้เกี่ยวกับฟิสิกส์สาขาเหล่านี้จะต้องถูกนำมาใช้เพื่อแก้ปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่บนระนาบเอียงได้สำเร็จ ลองดูที่ปัญหานี้ในบทความ

สูตรพื้นฐานของไดนามิก

แน่นอน, เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับกฎข้อที่สองซึ่งไอแซก นิวตันตั้งสมมติฐานไว้ในศตวรรษที่ 17 ขณะศึกษาอยู่ การเคลื่อนไหวทางกล ของแข็ง- ลองเขียนมันลงไป รูปแบบทางคณิตศาสตร์:

การกระทำของแรงภายนอก F ทำให้เกิดความเร่งเชิงเส้น a ในร่างกายที่มีมวล m ทั้งคู่ ปริมาณเวกเตอร์(F′ และ a′) มุ่งไปในทิศทางเดียวกัน แรงในสูตรเป็นผลมาจากการกระทำบนตัวของแรงทั้งหมดที่มีอยู่ในระบบ

ในกรณีของการเคลื่อนที่แบบหมุน กฎข้อที่สองของนิวตันเขียนเป็น:

โดยที่ M และ I คือความเฉื่อย ตามลำดับ α คือความเร่งเชิงมุม

สูตรจลนศาสตร์

การแก้ปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่บนระนาบเอียงต้องอาศัยความรู้ไม่เพียงแต่สูตรหลักของไดนามิกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการแสดงออกทางจลนศาสตร์ที่สอดคล้องกันด้วย พวกมันเชื่อมโยงความเร่ง ความเร็ว และระยะทางที่เดินทางเข้าด้วยกันอย่างเท่าเทียมกัน เพื่อการเร่งความเร็วสม่ำเสมอ (ชะลอตัวสม่ำเสมอ) การเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงใช้สูตรต่อไปนี้:

S = โวลต์ 0 *t ± a*t 2/2

โดยที่ v 0 คือค่าของความเร็วเริ่มต้นของร่างกาย S คือเส้นทางที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางตรงในช่วงเวลา t ควรเพิ่มเครื่องหมาย "+" หากความเร็วของร่างกายเพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป มิฉะนั้น (เคลื่อนไหวช้าสม่ำเสมอ) ควรใช้เครื่องหมาย "-" ในสูตร นี่เป็นจุดสำคัญ

หากการเคลื่อนไหวดำเนินไปตามเส้นทางวงกลม (การหมุนรอบแกน) ควรใช้สูตรต่อไปนี้:

ω = ω 0 ± α*t;

θ = ω 0 *t ± α*t 2/2

โดยที่ α และ ω คือความเร็ว ตามลำดับ θ คือมุมการหมุนของวัตถุที่กำลังหมุนในช่วงเวลา t

ลักษณะเชิงเส้นและเชิงมุมมีความสัมพันธ์กันตามสูตร:

โดยที่ r คือรัศมีการหมุน

การเคลื่อนที่บนระนาบเอียง: แรง

การเคลื่อนไหวนี้เข้าใจว่าเป็นการเคลื่อนที่ของวัตถุไปตามพื้นผิวเรียบที่เอียงในมุมหนึ่งถึงขอบฟ้า ตัวอย่าง ได้แก่ บล็อกที่เลื่อนบนกระดานหรือกระบอกที่กลิ้งบนแผ่นโลหะที่มีความลาดเอียง

ในการกำหนดลักษณะของประเภทของการเคลื่อนไหวที่พิจารณา อันดับแรกจำเป็นต้องค้นหาแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกาย (แท่ง, ทรงกระบอก) พวกเขาอาจแตกต่างกัน โดยทั่วไปแล้ว สิ่งเหล่านี้อาจเป็นแรงต่อไปนี้:

• ความหนัก;
• ปฏิกิริยาสนับสนุน
• และ/หรือลื่นไถล;
• ความตึงของด้าย
• แรงดึงภายนอก

สามคนแรกมักจะปรากฏอยู่เสมอ การดำรงอยู่ของสองสิ่งสุดท้ายนั้นขึ้นอยู่กับระบบเฉพาะของร่างกาย

ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่บนระนาบเอียง จำเป็นต้องรู้ไม่เพียงแต่โมดูลแรงเท่านั้น แต่ยังต้องทราบทิศทางการกระทำด้วย หากวัตถุกลิ้งตกเครื่องบิน จะไม่ทราบแรงเสียดทาน อย่างไรก็ตาม จะพิจารณาจากระบบสมการการเคลื่อนที่ที่สอดคล้องกัน

วิธีการแก้ปัญหา

การแก้ปัญหา ประเภทนี้เริ่มต้นด้วยการระบุกองกำลังและทิศทางการกระทำ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะต้องคำนึงถึงแรงโน้มถ่วงเป็นอันดับแรก ควรแยกย่อยออกเป็นเวกเตอร์องค์ประกอบสองส่วน หนึ่งในนั้นควรถูกชี้นำไปตามพื้นผิวของระนาบเอียงและอันที่สองควรตั้งฉากกับมัน องค์ประกอบแรกของแรงโน้มถ่วง ในกรณีที่วัตถุเคลื่อนที่ลง จะให้ความเร่งเชิงเส้น สิ่งนี้เกิดขึ้นต่อไป อันที่สองเท่ากับ ตัวบ่งชี้ทั้งหมดเหล่านี้สามารถมีพารามิเตอร์ที่แตกต่างกันได้

แรงเสียดทานเมื่อเคลื่อนที่ไปตามระนาบเอียงนั้นมักจะพุ่งเข้าหาการเคลื่อนไหวของร่างกายเสมอ เมื่อพูดถึงการเลื่อน การคำนวณค่อนข้างง่าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร:

โดยที่ N คือปฏิกิริยารองรับ µ คือสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานซึ่งไม่มีมิติ

หากมีแรงทั้งสามนี้อยู่ในระบบ ผลลัพธ์ของพวกมันตามระนาบเอียงจะเท่ากับ:

F = m*g*sin(φ) - µ*m*g*cos(φ) = m*g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) = m*a

โดยที่ φ คือมุมเอียงของเครื่องบินถึงขอบฟ้า

เมื่อรู้แรง F แล้ว เราสามารถใช้กฎของนิวตันหาค่าความเร่งเชิงเส้น a ได้ ในทางกลับกันใช้เพื่อกำหนดความเร็วของการเคลื่อนที่ไปตามระนาบเอียงหลังจากช่วงเวลาที่ทราบและระยะทางที่ร่างกายเดินทาง หากพิจารณาดูจะเข้าใจได้ว่าทุกอย่างไม่ได้ซับซ้อนมากนัก

ในกรณีที่วัตถุกลิ้งไปตามระนาบเอียงโดยไม่ลื่นไถล แรงรวม F จะเท่ากับ:

F = m*g*บาป(φ) - F r = m*a

ที่ไหน F r - ไม่เป็นที่รู้จัก เมื่อวัตถุหมุน แรงโน้มถ่วงจะไม่สร้างช่วงเวลาหนึ่ง เนื่องจากมันถูกนำไปใช้กับแกนการหมุน ในทางกลับกัน F r จะสร้างช่วงเวลาต่อไปนี้:

เมื่อพิจารณาว่าเรามีสมการสองสมการและไม่ทราบค่าสองตัว (α และ a มีความสัมพันธ์กัน) เราก็สามารถแก้ระบบนี้ได้อย่างง่ายดาย และด้วยเหตุนี้จึงเกิดปัญหา

ตอนนี้เรามาดูวิธีการใช้เทคนิคที่อธิบายไว้เพื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะ

ปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของบล็อกบนระนาบเอียง

บล็อกไม้อยู่ที่ด้านบนของระนาบเอียง เป็นที่ทราบกันว่ามีความยาว 1 เมตร และทำมุม 45 องศา มีความจำเป็นต้องคำนวณว่าจะใช้เวลานานแค่ไหนกว่าบล็อกจะลงมาตามระนาบนี้อันเป็นผลมาจากการเลื่อน ใช้ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานเท่ากับ 0.4

เราเขียนกฎของนิวตันสำหรับระบบทางกายภาพที่กำหนดและคำนวณค่าความเร่งเชิงเส้น:

m*g*(บาป(φ) - µ*cos(φ)) = m*a =>

a = g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) data 4.162 m/s 2

เนื่องจากเรารู้ระยะทางที่บล็อกต้องเคลื่อนที่ เราจึงสามารถเขียนสูตรต่อไปนี้สำหรับเส้นทางเมื่อใด การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น:

ควรแสดงเวลาที่ไหนและแทนที่ ค่านิยมที่ทราบ:

t = √(2*S/a) = √(2*1/4.162) หยาบคาย 0.7 วินาที

ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ไปตามระนาบเอียงของบล็อกจะน้อยกว่าหนึ่งวินาที โปรดทราบว่าผลลัพธ์ที่ได้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับน้ำหนักตัว

ปัญหาเกี่ยวกับกระบอกสูบกลิ้งลงมาในเครื่องบิน

ทรงกระบอกที่มีรัศมี 20 ซม. และมวล 1 กก. วางอยู่บนระนาบที่ทำมุม 30 o คุณควรคำนวณความเร็วเชิงเส้นสูงสุดที่จะได้รับเมื่อกลิ้งเครื่องบินลงหากความยาวของมันคือ 1.5 เมตร

มาเขียนสมการที่เกี่ยวข้องกัน:

m*g*บาป(φ) - F r = m*a;

F r *r = I*α = I*a/r

โมเมนต์ความเฉื่อยของกระบอกสูบ I คำนวณโดยสูตร:

ลองแทนค่านี้เป็นสูตรที่สอง แสดงแรงเสียดทาน F r จากนั้นแทนที่ด้วยนิพจน์ผลลัพธ์ในสมการแรก เรามี:

F r *r = 1/2*m*r 2 *a/r = >

ม*ก*บาป(φ) - 1/2*m*a = ม*a =>

a = 2/3*g*บาป(φ)

เราพบว่าความเร่งเชิงเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับรัศมีและมวลของร่างกายที่กลิ้งออกจากระนาบ

เมื่อรู้ว่าความยาวของเครื่องบินคือ 1.5 เมตร เราจะพบเวลาการเคลื่อนไหวของร่างกาย:

จากนั้นความเร็วสูงสุดของการเคลื่อนที่ไปตามระนาบเอียงของกระบอกสูบจะเท่ากับ:

v = a*t = a*√(2*S/a) = √(2*S*a) = √(4/3*S*g*sin(φ))

เราแทนปริมาณทั้งหมดที่ทราบจากเงื่อนไขของปัญหาไปเป็นสูตรสุดท้าย และเราได้คำตอบ: v data 3.132 m/s