วิธีสร้างและพิสูจน์ว่ารูปสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากันทุกประการ เครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันเท่ากันเรียกว่าเท่ากันทุกประการ

ทฤษฎีบท (เครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม)
ถ้าสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันตามลำดับกับสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง สามเหลี่ยมนั้นก็จะเท่ากันทุกประการ

ทฤษฎีบท (เกณฑ์ที่สองสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม)
ถ้าด้านหนึ่งและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับด้านหนึ่งและสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

ทฤษฎีบท (เกณฑ์ที่สามสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม)
ถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเท่ากันกับสามด้านของสามเหลี่ยมอีกด้านตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากันและมีด้านเท่ากันเป็นสัดส่วน เรียกว่าคล้ายกัน: โดยที่สัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงอยู่ที่ไหน

ฉันเป็นสัญลักษณ์ของความคล้ายคลึงของสามเหลี่ยมหากมุมสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับสองมุมของอีกมุมหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมเหล่านี้จะคล้ายกัน

สัญลักษณ์ II ของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสามด้านของสามเหลี่ยมอีกด้าน สามเหลี่ยมนั้นจะคล้ายกัน

สัญลักษณ์ III ของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมถ้าด้านสองด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสองด้านของสามเหลี่ยมอีกด้าน และมุมระหว่างด้านทั้งสองเท่ากัน แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นคล้ายกัน

ตั๋ว 2

คำถามที่ 1

ทดสอบความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม (พิสูจน์ได้ทั้งหมด)

สัญญาณที่ 1ความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม: สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา ( ทฤษฎีบท 3.1 – สัญลักษณ์แห่งความเท่ากันของรูปสามเหลี่ยมสองด้านและมุมระหว่างสองด้าน - ถ้าสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากัน ตามลำดับ กับสองด้านและมุมระหว่างสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมดังกล่าวมีความเท่ากันทุกประการ)

การพิสูจน์:

ให้สามเหลี่ยม ABC และ A มี 1 B 1 C 1 มุม A เท่ากับมุม A 1, AB เท่ากับ A 1 B 1, AC เท่ากับ A 1 C 1 ลองพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมเท่ากัน

เนื่องจาก A 1 B 1 เท่ากับ A 1 B 2 ดังนั้นจุดยอด B 2 จะตรงกับ B 1 เนื่องจากมุม B 1 A 1 C 1 เท่ากับมุม B 2 A 1 C 2 ดังนั้นรังสี A 1 C 2 จะตรงกับ A 1 C 1 . เนื่องจาก A 1 C 1 เท่ากับ A 1 C 2 ดังนั้น C 2 จะตรงกับ C 1 ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 เกิดขึ้นพร้อมกับสามเหลี่ยม A 1 B 2 C 2 ซึ่งหมายความว่ามันเท่ากับ สามเหลี่ยมเอบีซี

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

2 เข้าสู่ระบบความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม: ตามแนวด้านข้างและมุมประชิด (ทฤษฎีบท 3.2.- สัญลักษณ์แห่งความเท่ากันของรูปสามเหลี่ยมข้างและมุมที่อยู่ติดกัน - หากด้านและมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากัน ตามลำดับ กับด้านข้างและมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ)

การพิสูจน์:

อนุญาต ABC และ A 1 B 1 C 1 เป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูป โดยที่ AB เท่ากับ A 1 B 1 มุม A เท่ากับมุม A 1 และมุม B เท่ากับมุม B 1 ลองพิสูจน์ว่าพวกเขาเท่ากัน.

ให้ A 1 B 2 C 2 เป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ ABC โดยมีจุดยอด B 2 บนรังสี A 1 B 1 และจุดยอด C 2 ในระนาบครึ่งระนาบเดียวกันสัมพันธ์กับเส้นตรง A 1 B 1 โดยที่จุดยอด C 1 อยู่

เนื่องจาก A 1 B 2 เท่ากับ A 1 B 1 ดังนั้นจุดยอด B 2 จะตรงกับ B 1 เนื่องจากมุม B 1 A 1 C 2 เท่ากับมุม B 1 A 1 C 1 และมุม A1B1C2 คือ เท่ากับมุม A1B1C1 แล้วรังสี A 1 C 2 จะตรงกับ A 1 C 1 และ B 1 C 2 จะตรงกับ B 1 C 1 ตามมาด้วยจุดยอด C 2 ตรงกับ C 1 ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 เกิดขึ้นพร้อมกับสามเหลี่ยม A 1 B 2 C 2 ซึ่งหมายความว่าเท่ากับสามเหลี่ยม ABC

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

3 เข้าสู่ระบบความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม : สามด้าน (ทฤษฎีบท 3.6.- ทดสอบความเท่ากันของสามเหลี่ยมทั้งสามด้าน - หากด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเท่ากันกับด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมอีกด้านตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ)

การพิสูจน์:

อนุญาต ABC และ A 1 B 1 C 1 เป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูป โดยที่ AB เท่ากับ A 1 B 1, AC เท่ากับ A 1 C 1 และ BC เท่ากับ B 1 C 1 ลองพิสูจน์ว่าพวกเขาเท่ากัน.

สมมุติว่าสามเหลี่ยมไม่เท่ากัน จากนั้น มุม A ก็ไม่เท่ากับมุม A 1 มุม B ไม่เท่ากับมุม B 1 และมุม C ไม่เท่ากับมุม C 1 มิฉะนั้นก็จะเท่าเทียมกันโดยขึ้นอยู่กับขนนก

ให้ A 1 B 1 C 2 เป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากับสามเหลี่ยม ABC โดยที่จุดยอด C 2 อยู่ในระนาบครึ่งเดียวกันกับจุดยอด C 1 สัมพันธ์กับเส้นตรง A 1 B 1

ให้ D เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน C 1 C 2 สามเหลี่ยม A 1 C 1 C 2 และ B 1 C 1 C 2 เป็นหน้าจั่วที่มีฐานร่วม C 1 C 2 ดังนั้น ค่ามัธยฐาน A 1 D และ B 1 D คือความสูง ซึ่งหมายความว่าเส้น A 1 D และ B 1 D ตั้งฉากกับเส้น C 1 C 2 เส้น A 1 D และ B 1 D ไม่ตรงกัน เนื่องจากจุด A 1 B 1 , D ไม่ได้อยู่บนเส้นเดียวกัน แต่ผ่านจุด D ของเส้น C 1 C 2 สามารถวาดได้เพียงเส้นเดียวที่ตั้งฉากกับเส้นนั้น เรามาถึงความขัดแย้งแล้ว

รูปทรงเรขาคณิตที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดสามจุดที่ไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน

ด้านของรูปสามเหลี่ยมจะมีมุมสามมุมที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม เพื่อถอดความ สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามมุม .

ความสำคัญในทางปฏิบัติ สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมย่อมมีดังต่อไปนี้: ตามถ้อยคำ สามเหลี่ยมจะเท่ากันในกรณีที่เป็นไปได้ที่จะซ้อนทับกันเพื่อให้ตรงกัน อย่างไรก็ตาม การใช้สามเหลี่ยมทับซ้อนบางครั้งอาจเป็นเรื่องยากและบางครั้งก็เป็นไปไม่ได้

การทดสอบความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมทำให้สามารถแทนที่การทับซ้อนของรูปสามเหลี่ยมได้โดยการค้นหาและเปรียบเทียบองค์ประกอบพื้นฐานแต่ละส่วน (ด้านและมุม) และด้วยเหตุนี้จึงปรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมได้

3. ทั้งสามด้าน:

พวกเขายังเน้น สัญญาณที่สี่ซึ่งหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนไม่ได้ครอบคลุมอย่างกว้างขวางเท่ากับสามหลักสูตรก่อนหน้านี้ มีการกำหนดไว้ดังนี้:

ถ้าด้านสองด้านของสามเหลี่ยมแรกเท่ากับสองด้านของสามเหลี่ยมที่สองตามลำดับ และมุมตรงข้ามด้านที่ใหญ่กว่าของด้านเหล่านี้ในสามเหลี่ยมแรก เท่ากับมุมตรงข้ามด้านที่สอดคล้องกันเท่ากับมุมในสามเหลี่ยมที่สอง แล้วสิ่งเหล่านี้ สามเหลี่ยมจะเท่ากัน.

จาก หลักสูตรของโรงเรียนในเรขาคณิต เครื่องหมายที่แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมเท่ากันทั้งสองข้างและมุมระหว่างรูปสามเหลี่ยมเหล่านั้นเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว กล่าวคือ

หากสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมอื่นตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ (รูปที่ 1)

เป็นเรื่องปกติที่จะตั้งคำถามว่ารูปสามเหลี่ยมจะเท่ากันทุกประการหรือไม่ ถ้ามุมที่เท่ากันในรูปสามเหลี่ยมไม่มีอยู่ระหว่างด้านที่เท่ากัน จริงหรือไม่ที่ถ้าสองด้านและมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับสองด้านและมุมของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ

ปรากฎว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง ลองยกตัวอย่าง พิจารณาวงกลมและคอร์ดของมัน AB (รูปที่ 2) เมื่อจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด A เราจะวาดวงกลมอีกวงหนึ่งที่ตัดวงกลมแรกที่จุด C และ C 1 บางจุด จากนั้นในรูปสามเหลี่ยม ABC และ ABC 1 AB เป็นด้านร่วม AC = AC 1ค =ตั้งแต่ 1 อย่างไรก็ตาม สามเหลี่ยม ABC และ ABC 1 ไม่เท่ากัน

ในการกำหนดสัญลักษณ์แห่งความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถรวมไม่เพียงแต่ด้านและมุมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงองค์ประกอบอื่นๆ ของรูปสามเหลี่ยมด้วย ลองพิจารณาหลักเกณฑ์หลายๆ สูตรสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมโดยใช้องค์ประกอบ 3 ส่วน ได้แก่ ด้าน มุม ระดับความสูง เส้นแบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ให้เราค้นหาความถูกต้องของสัญญาณที่เกี่ยวข้อง

ถ้ามุม ด้านตรงข้ามกับมุมนี้ และความสูงลดลงไปอีกด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมหนึ่ง เท่ากันกับมุม ด้าน และความสูงของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ

ปล่อยในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 กับ = กับ 1 , เอบี = ก 1 บี 1 ความสูง อา.เท่ากับความสูง ก 1 ชม 1 (รูปที่ 3) ลองพิสูจน์สามเหลี่ยมดูสิ เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 มีค่าเท่ากัน

สามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีเอชและ ก 1 บี 1 ชม 1 เท่ากันที่ขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก วิธี, บี = บี 1. เมื่อพิจารณาแล้วว่า กับ = กับ 1 เรามีความเท่าเทียมกัน ก = ก 1. ดังนั้นในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1

เอบี= ก 1 บี 1 , ก = ก 1 , บี = บี 1 .

ดังนั้น สามเหลี่ยมเหล่านี้จึงมีด้านเท่ากันและมีมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน

ให้มุม ด้านที่อยู่ติดกับมุมนี้ และความสูงลดลงไปอีกด้านหนึ่งที่อยู่ติดกับมุมที่กำหนดของสามเหลี่ยมด้านหนึ่ง เท่ากับมุม ด้าน และความสูงของสามเหลี่ยมอีกด้านตามลำดับ (รูปที่ 4)

ขอให้เรายกตัวอย่างที่แสดงว่าความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบที่ระบุของรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่เพียงพอสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมเอง

ลองพิจารณาดู สามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีเอชและ ก 1 บี 1 ชม 1 (ชม = ชม 1 = 90 โอ), ซึ่งใน

เอบี = ก 1 บี 1 , บี = บี 1 , อา. = ก 1 ชม 1

(รูปที่ 5) ในเรื่องความต่อเนื่องของด้านข้าง บี.เอช.และ บี 1 ชม 1 แบ่งส่วนที่ไม่เท่ากันออก HCและ ชม 1 ค 1. แล้วเป็นรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1

เอบี = ก 1 บี 1 , บี = บี 1 ,

ความสูง อา.และ ก 1 ชม 1 เท่ากัน แต่สามเหลี่ยมนั้นไม่เท่ากัน

ถ้าด้านสองด้านและค่ามัธยฐานที่อยู่ระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับสองด้านและค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

ปล่อยในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1

เอ.ซี.= ก 1 ค 1 , บี.ซี. = บี 1 ค 1 ,

ค่ามัธยฐาน เอสเอ็มเท่ากับค่ามัธยฐาน C 1 ม 1 (รูปที่ 6) ลองพิสูจน์สามเหลี่ยมดูสิ เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 มีค่าเท่ากัน

เรามาต่อค่ามัธยฐานและแยกส่วนต่างๆ กัน นพ. = ซี.เอ็ม.และ ม 1 ดี 1 = ค 1 ม 1 (รูปที่ 6)

รูปสี่เหลี่ยม เอซีบีดีและ ก 1 กับ 1 บี 1 ดี 1 - สี่เหลี่ยมด้านขนาน สามเหลี่ยม เอซีดีและ ก 1 ค 1 ดี

เอซีดี = ก 1 ค 1 ดี 1 .

ในทำนองเดียวกันสามเหลี่ยม บีซีดีและ บี 1 ค 1 ดี 1 เท่ากันทั้งสามด้าน เพราะฉะนั้น,

บีซีดี = บี 1 ค 1 ดี 1 .

วิธี, กับ = กับ 1 และรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 เท่ากันทั้งสองข้างและมีมุมระหว่างกัน

ให้มุม ด้านที่อยู่ติดกับมุมนี้ และค่ามัธยฐานที่วาดมาที่ด้านนี้ของสามเหลี่ยมหนึ่งจะเท่ากับมุม ด้าน และค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ (รูปที่ 7)

พิจารณาวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด ม(รูปที่ 8) มาวาดเส้นผ่านศูนย์กลางสองอันกัน เอบีและ ก 1 บี 1. ผ่านจุดต่างๆ ก, ก 1 , มวาดวงกลมอีกวงแล้วเลือกจุดบนวงกลมนั้น คดังที่แสดงในภาพ ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค

เอบี = ก 1 บี 1 , ก = ก 1 ,

ค่ามัธยฐาน C ม เอบีซีและ ก 1 บี 1 คไม่เท่ากับ.

ถ้าด้านหนึ่งและค่ามัธยฐานสองด้านที่ลากไปยังอีกสองด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับด้านหนึ่งและค่ามัธยฐานอีกสองอันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

ปล่อยในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 เอบี = ก 1 บี 1 ค่ามัธยฐาน เช้า.เท่ากับค่ามัธยฐาน ก 1 ม 1 ค่ามัธยฐาน บี.เค.เท่ากับค่ามัธยฐาน บี 1 เค 1 (รูปที่ 9) ลองพิสูจน์สามเหลี่ยมดูสิ เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 มีค่าเท่ากัน

คะแนน โอและ โอ 1 จุดตัดของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะหารค่ามัธยฐานในอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด สามเหลี่ยมดังนั้น เอบีโอและ ก 1 บี 1 โอ 1 เท่ากันทั้งสามด้าน เพราะฉะนั้น,

เบ้า = บี 1 ก 1 โอ 1 ,

นั่นหมายถึงรูปสามเหลี่ยม เอ.บี.เอ็ม.และ ก 1 บี 1 ม 1 เท่ากันทั้งสองข้างและมีมุมระหว่างกัน นั่นเป็นเหตุผล

เอบีซี = ก 1 บี 1 ค 1 .

เช่นเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า

บ.บ = บี 1 ก 1 ค 1 .

ดังนั้นสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 มีขนาดเท่ากันในด้านและสองมุมที่อยู่ติดกัน

ให้มุมและค่ามัธยฐานสองอันที่ลากไปที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับมุมและค่ามัธยฐานสองของสามเหลี่ยมอีกอันตามลำดับ (รูปที่ 10)

ให้เรายกตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบที่ระบุนั้นไม่เพียงพอสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมเอง

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางเท่ากัน โอ 1 และ โอ 2 สัมผัสกัน ณ จุดหนึ่ง ม(รูปที่ 11)

มาวาดคอร์ดในหนึ่งในนั้นกัน เอบีและโดยตรง เช้า.ตัดกันวงกลมที่สอง ณ จุดใดจุดหนึ่ง ค- มาวาดส่วนกัน บี.ซี.- เราได้สามเหลี่ยม เอบีซี- ลองวาดค่ามัธยฐานลงไป ซีเคและแสดงถึง โอจุดหารด้วยอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด ค- ลองวาดวงกลมโดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้น โอ, รัศมี โอ.ซี.ตัดกันวงกลมที่สองที่จุดนั้น ค 1. มาทำไดเร็กกันเถอะ ค 1 มและแสดงถึง ก 1 จุดตัดกับวงกลมแรก มาแสดงกันเถอะ เค 1 จุดตัดคอร์ด ก 1 บีและตรง ค 1 โอ- ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี.ซี. 1 ก = ก 1 ค่ามัธยฐาน ซีเคและ ค 1 เค 1 เท่ากับ, ค่ามัธยฐาน บี.เอ็ม.- ทั่วไป. อย่างไรก็ตามรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี.ซี. 1 ไม่เท่ากัน

หากด้านสองด้านและเส้นแบ่งครึ่งระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันตามลำดับกับสองด้านและเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

ปล่อยในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1

เอ.ซี.= ก 1 ค 1 , บี.ซี. = บี 1 ค 1 ,

แบ่งครึ่ง ซีดีเท่ากับเส้นแบ่งครึ่ง กับ 1 ดี 1. ลองพิสูจน์สามเหลี่ยมดูสิ เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 มีค่าเท่ากัน

มาต่อด้านข้างกัน เอ.ซี.และ ก 1 ค 1 และวาดส่วนต่างๆ ตามลำดับ ส.ศ. = บี.ซี.และ ค 1 อี 1 = บี 1 ค 1 (รูปที่ 12) แล้ว

สามเหลี่ยม ก่อนคริสตศักราชและ บี 1 ค 1 อี 1 เท่ากันทั้งสามด้าน วิธี, อี = อี 1 และ เป็น = บี 1 อี 1. สามเหลี่ยม เอเบ้และ ก 1 บี 1 อี 1 เท่ากันทั้งสองข้างและมีมุมระหว่างกัน วิธี, เอบี = ก 1 บี 1. ดังนั้นสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 เท่ากันทั้งสามด้าน

ให้มุม ด้านที่อยู่ติดกับมุมนี้ และเส้นแบ่งครึ่งที่ลากไปยังอีกด้านที่อยู่ติดกับมุมที่กำหนดของสามเหลี่ยมหนึ่งจะเท่ากับมุม ด้าน และเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมอื่นตามลำดับ (รูปที่ 13)

ตัวอย่างของรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ เอบีซี 1 ดังแสดงในรูปที่ 14 แสดงให้เห็นว่าความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบที่ระบุนั้นไม่เพียงพอสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมเอง

แท้จริงแล้วในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ เอบีซี 1 บี- ทั่วไป, เอบี - ด้านทั่วไป, แบ่งครึ่ง ค.ศและ ค.ศ 1 มีค่าเท่ากัน อย่างไรก็ตามรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ เอบีซี 1 ไม่เท่ากัน

ให้ด้าน ค่ามัธยฐาน และความสูงที่ลากไปยังอีกสองด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับด้าน ค่ามัธยฐาน และความสูงของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ (รูปที่ 15)

ให้เรายกตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบที่ระบุนั้นไม่เพียงพอสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมเอง

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาวงกลมและมุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลาง กวงกลมนี้ (รูปที่ 16) มาวางส่วนที่อยู่ด้านข้างกัน เอบีมีเส้นผ่านศูนย์กลางใหญ่กว่าและผ่านตรงกลาง เคลากเส้นตรงขนานกับอีกด้านของมุมแล้วตัดวงกลมบางจุด มและ ม 1. มาวาดเส้นตรงกันเถอะ บี.เอ็ม., บี.เอ็ม. 1 และจุดตัดกับด้านข้างของมุมที่เราแสดงตามนั้น คและ ค 1. แล้วเป็นรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ เอบีซี 1 ข้าง เอบี- รวมส่วนสูง บี.เอช.- รวม, ค่ามัธยฐาน เช้า.และ เช้า. 1 เท่ากัน แต่เป็นสามเหลี่ยม เอบีซีและ เอบีซี 1 ไม่เท่ากัน

สามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการถ้าด้าน ค่ามัธยฐาน และระดับความสูงที่ลากไปยังอีกด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับด้าน ค่ามัธยฐาน และความสูงของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ

ปล่อยในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 เอ.ซี. = ก 1 ค 1 ค่ามัธยฐาน ซี.เอ็ม.และ ค 1 ม 1 เท่ากับความสูง ชและ ค 1 ชม 1 เท่ากัน (รูปที่ 17) ลองพิสูจน์สามเหลี่ยมดูสิ เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 มีค่าเท่ากัน

อันที่จริงสามเหลี่ยมมุมฉาก เอซีเอชและ ก 1 ค 1 ชม 1 เท่ากันทั้งด้านตรงข้ามมุมฉากและขา ดังนั้น F ก= ฟ ก 1 และ อา. = ก 1 ชม 1. สามเหลี่ยมมุมฉาก ซีเอ็มเอชและ ค 1 ม 1 ชม 1 เท่ากันทั้งด้านตรงข้ามมุมฉากและขา เพราะฉะนั้น, ม.ช. = ม 1 ชม 1 จากที่ไหน เช้า. = ก 1 ม 1 หมายถึง เอบี = ก 1 บี 1. ดังนั้นสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 เท่ากันทั้งสองข้างและมีมุมระหว่างกัน

สามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากัน ถ้าค่ามัธยฐาน 3 อันของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับค่ามัธยฐาน 3 อันของสามเหลี่ยมอีกอันตามลำดับ

ปล่อยในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 เท่ากับค่ามัธยฐานตามลำดับ อ.เค.และ ก 1 เค 1 , บี.แอล.และ บี 1 ล 1 , ซี.เอ็ม.และ ค 1 ม 1 (รูปที่ 18) ลองพิสูจน์สามเหลี่ยมดูสิ เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 มีค่าเท่ากัน

อนุญาต โอและ โอ 1 - จุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ โปรดทราบว่าค่ามัธยฐาน โอมและ โอ 1 มสามเหลี่ยม 1 อัน เอบีโอและ ก 1 บี 1 โอ 1 เท่ากัน เนื่องจากพวกมันประกอบด้วยหนึ่งในสามของค่ามัธยฐานที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้

ตามเกณฑ์ความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งเราพิสูจน์แล้วภายใต้เลข 3 นั่นคือรูปสามเหลี่ยม เอบีโอและ ก 1 บี 1 โอ 1 เท่ากัน ซึ่งหมายความว่า เอบี = ก 1 บี 1 .

เช่นเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า บี.ซี. = บี 1 ค 1 และ เอ.ซี. = ก 1 ค 1. ดังนั้นสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 เท่ากันทั้งสามด้าน

สามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันถ้าความสูงสามอันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับความสูงสามอันของสามเหลี่ยมอีกอันตามลำดับ

ปล่อยในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 เท่ากับความสูงตามลำดับ อา.และ ก 1 ชม 1 , บี.จี.และ บี 1 ช 1 , ซีเอฟและ ค 1 เอฟ 1 (รูปที่ 19) ลองพิสูจน์สามเหลี่ยมดูสิ เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 มีค่าเท่ากัน

ให้เราแสดงด้านข้างของสามเหลี่ยมตามลำดับ ก, ข, คและ ก 1 , ข 1 , ค 1 และความสูงที่สอดคล้องกัน ฮา, ขข, เอช ซีและ ชม. 1ก , ชม. 1ข , ชม. 1ค- มีความเท่าเทียมกัน อ่า = ข.ข = ช ซีและ ก 1 ชม. 1ก = ข 1 ชม. 1ข = ค 1 ชม. 1ค- การแบ่งระยะความเท่าเทียมกันระยะแรกเป็นระยะ ๆ ออกเป็นระยะที่สอง เราจะได้ค่าความเท่าเทียมกันซึ่งตามหลังรูปสามเหลี่ยมนั้น เอบีซีและ ก 1 บี 1 ค 1 มีความคล้ายคลึงกัน เนื่องจากความสูงที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากัน จึงไม่เพียงแต่คล้ายกันเท่านั้น แต่ยังเท่ากันอีกด้วย

ว่ากันว่าสามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการหากนำมารวมกันได้โดยการทับซ้อนกัน รูปที่ 1 แสดงสามเหลี่ยมเท่ากัน ABC และ A 1 B 1 C 1 สามเหลี่ยมเหล่านี้แต่ละรูปสามารถซ้อนทับกันเพื่อให้เข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ นั่นคือจุดยอดและด้านข้างเข้ากันได้เป็นคู่ เห็นได้ชัดว่ามุมของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะจับคู่กันเช่นกัน

ดังนั้น หากสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ องค์ประกอบ (เช่น ด้านและมุม) ของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งจะเท่ากับองค์ประกอบของสามเหลี่ยมอีกด้านตามลำดับ โปรดทราบว่า ในรูปสามเหลี่ยมเท่ากันกับตามลำดับ ด้านที่เท่ากัน (เช่น ทับซ้อนกันเมื่อวางซ้อน) มุมที่เท่ากันโกหกและกลับ: ด้านที่เท่ากันอยู่ตรงข้ามมุมที่เท่ากันตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน ABC และ A 1 B 1 C 1 ดังแสดงในรูปที่ 1 ซึ่งอยู่ตรงข้ามด้านเท่ากัน AB และ A 1 B 1 ตามลำดับ จะมีมุมเท่ากัน C และ C 1 เราจะแสดงความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 ดังนี้: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 ปรากฎว่าสามารถสร้างความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมสองรูปได้โดยการเปรียบเทียบองค์ประกอบบางส่วน

ทฤษฎีบท 1 สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมถ้าสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมอื่นตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ (รูปที่ 2)

การพิสูจน์. พิจารณารูปสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 โดยที่ AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (ดูรูปที่ 2) ให้เราพิสูจน์ว่า Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

เนื่องจาก ∠ A = ∠ A 1 ดังนั้น สามเหลี่ยม ABC สามารถซ้อนทับบนสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 เพื่อให้จุดยอด A จัดอยู่ในแนวเดียวกับจุดยอด A 1 และด้าน AB และ AC ซ้อนทับบนรังสี A 1 B 1 และ A 1 ตามลำดับ ซี 1 . เนื่องจาก AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ดังนั้นด้าน AB จะอยู่ในแนวเดียวกันกับด้าน A 1 B 1 และด้าน AC จะอยู่ในแนวเดียวกันกับด้าน A 1 C 1; โดยเฉพาะจุด B และ B 1, C และ C 1 จะตรงกัน ดังนั้นด้าน BC และ B 1 C 1 จะเรียงกัน ดังนั้น สามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 เข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าพวกมันเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 2 ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันโดยใช้วิธีการซ้อนทับ

ทฤษฎีบท 2 เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมหากด้านหนึ่งและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับด้านและสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมอื่นตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ (รูปที่ 34)

ความคิดเห็น จากทฤษฎีบทที่ 2 จึงมีการสร้างทฤษฎีบทที่ 3 ขึ้น

ทฤษฎีบท 3 ผลรวมของมุมภายในสองมุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมจะน้อยกว่า 180°

ทฤษฎีบทที่ 4 ต่อจากทฤษฎีบทสุดท้าย

ทฤษฎีบท 4 มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่ามุมภายในใดๆ ที่ไม่อยู่ติดกัน

ทฤษฎีบท 5 เครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเท่ากันกับด้านสามด้านของสามเหลี่ยมอีกด้านตามลำดับ แล้วสามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ ()

ตัวอย่างที่ 1ในรูปสามเหลี่ยม ABC และ DEF (รูปที่ 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 ซม., AC = 18 ซม., DE = 18 ซม., EF = 20 ซม. เปรียบเทียบสามเหลี่ยม ABC และ DEF มุมใดในรูปสามเหลี่ยม DEF เท่ากับมุม B?

สารละลาย. สามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากันตามเครื่องหมายแรก มุม F ของสามเหลี่ยม DEF เท่ากับมุม B สามเหลี่ยมเอบีซีเนื่องจากมุมเหล่านี้อยู่ตรงข้ามกับด้านที่เท่ากันของ DE และ AC

ตัวอย่างที่ 2ส่วน AB และ CD (รูปที่ 5) ตัดกันที่จุด O ซึ่งอยู่ตรงกลางของแต่ละส่วน ความยาวของส่วน BD คือเท่าใด ถ้าส่วน AC คือ 6 เมตร

สารละลาย. สามเหลี่ยม AOC และ BOD เท่ากัน (ตามเกณฑ์แรก): ∠ AOC = ∠ BOD (แนวตั้ง), AO = OB, CO = OD (ตามเงื่อนไข)
จากความเท่ากันของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ แสดงว่าด้านของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน นั่นคือ AC = BD แต่เนื่องจากตามเงื่อนไข AC = 6 m ดังนั้น BD = 6 m