วิธีผลต่างรวม สมการในส่วนต่างผลรวม

พิจารณาวิธีการแก้ปัญหา สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แบ่งแยกได้ ให้ตัวอย่างของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยละเอียดพร้อมตัวแปรที่แยกส่วนได้

เนื้อหา

คำนิยาม

ให้s (เอ็กซ์)คิว (เอ็กซ์)- ฟังก์ชั่นของตัวแปร x;
พี (ญ)ร (ญ)- ฟังก์ชั่นของตัวแปร y

สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรที่แยกได้คือสมการของรูปแบบ

วิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกไม่ออก

พิจารณาสมการ:
(ฉัน) .
ขอให้เราแสดงอนุพันธ์ y′ ในรูปของส่วนต่าง
;
.
ลองคูณ dx กัน
(สอง)
หารสมการด้วย s (เอ็กซ์)ร(ย)- ซึ่งสามารถทำได้ถ้า(x) ร(y) ≠ 0 ซึ่งสามารถทำได้ถ้า-
.
เมื่อไหร่
เรามี

เมื่อรวมเข้าด้วยกัน เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (เอ็กซ์)ร(ย)(สาม) . เนื่องจากเราหารด้วย sจากนั้นเราก็ได้อินทิกรัลของสมการสำหรับ s (x) ≠ 0และร
(ป) ≠ 0 -.
ต่อไปคุณจะต้องแก้สมการ -ร (ป) = 0หากสมการนี้มีรากแล้ว สมการเหล่านั้นก็เป็นคำตอบของสมการ (i) ด้วย ให้สมการ r -ไม่มีราก a i, r

(คือ ผม ) = 0
ฉัน = 1, 2, ... , น.
- จากนั้นค่าคงที่ y = a i คือคำตอบของสมการ (i) วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้บางส่วนอาจมีอยู่ในอินทิกรัลทั่วไป (iii) แล้วโปรดทราบว่าหากสมการดั้งเดิมถูกกำหนดไว้ในรูปแบบ (ii) เราก็จะต้องแก้สมการด้วย ส(x) = 0

รากของมันคือ b j, s

(ข เจ ) = 0

เจ =


1, 2, ... , ม

-

ให้คำตอบ x = b j



ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกไม่ออก
.

แก้สมการ 0 .
ลองแสดงอนุพันธ์ผ่านดิฟเฟอเรนเชียล: 0 คูณด้วย dx แล้วหารด้วย สำหรับ y ≠ 0 เรามี:
มาบูรณาการกันเถอะ

เราคำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตร 0 .

แทนที่เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการ
ตอนนี้ให้พิจารณากรณีนี้ y =

แน่นอน y =

เป็นการแก้สมการเดิม ไม่รวมอยู่ในอินทิกรัลทั่วไป

ดังนั้นเราจะเพิ่มเข้าไปในผลลัพธ์สุดท้าย -.

เป็นที่ทราบกันดีว่าการกระจัดของจุดวัสดุระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอนั้นเป็นฟังก์ชันของเวลา และแสดงได้ด้วยสูตร:

ในทางกลับกันการเร่งความเร็ว กเป็นอนุพันธ์เทียบกับเวลา ทีจากความเร็ว วี, ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของเวลาด้วย ทีจากการเคลื่อนย้าย ส. เหล่านั้น.

จากนั้นเราจะได้รับ:
- สมการเชื่อมโยงฟังก์ชัน f(t) กับตัวแปรอิสระ t และอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f(t)

คำนิยาม. สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระ ฟังก์ชัน และอนุพันธ์ (หรือดิฟเฟอเรนเชียล) ของฟังก์ชันนี้

คำนิยาม. ถ้าสมการเชิงอนุพันธ์มีตัวแปรอิสระตัวเดียว ก็จะเรียกว่าสมการนั้น สมการเชิงอนุพันธ์สามัญหากมีตัวแปรอิสระสองตัวขึ้นไป สมการเชิงอนุพันธ์ดังกล่าวจะถูกเรียกว่า สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

คำนิยาม. ลำดับสูงสุดของอนุพันธ์ที่ปรากฏในสมการเรียกว่า ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์

ตัวอย่าง.

- สมการเชิงอนุพันธ์สามัญของลำดับที่ 1 ใน ปริทัศน์ถูกบันทึกไว้
.

- สมการเชิงอนุพันธ์สามัญของลำดับที่ 2 โดยทั่วไปแล้วจะเขียนว่า

- สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง

คำนิยาม. วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ y = (x, C) ซึ่งเมื่อแทนที่ลงในสมการดั้งเดิมแทนที่จะเป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก จะทำให้สมการกลายเป็นเอกลักษณ์

คุณสมบัติของสารละลายทั่วไป

1) เพราะ ค่าคงที่ C เป็นค่าใดก็ได้ โดยทั่วไปแล้วสมการเชิงอนุพันธ์จะมีคำตอบจำนวนอนันต์

2) ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นใดๆ x = x 0, y(x 0) = y 0 จะมีค่า C = C 0 โดยที่คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์คือฟังก์ชัน y = (x, C 0)

คำนิยาม. เรียกว่าคำตอบของรูปแบบ y = (x, C 0) โซลูชันส่วนตัวสมการเชิงอนุพันธ์.

คำนิยาม. ปัญหาคอชี่(ออกัสติน หลุยส์ โกชี (1789-1857) - นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส) คือการค้นหาคำตอบเฉพาะใดๆ ของสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ y = (x, C 0) ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น y(x 0) = y 0

ทฤษฎีบทของคอชี (ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1)

ถ้าฟังก์ชั่นฉ(x, ย) มีความต่อเนื่องในบางภูมิภาคดีในเครื่องบินเอ็กซ์อยและมีอนุพันธ์บางส่วนอย่างต่อเนื่องในภูมิภาคนี้
แล้วจุดใดก็ตาม (x 0 , ย 0 ) ในพื้นที่ดีมีเพียงวิธีเดียวเท่านั้น
สมการ
กำหนดไว้ในช่วงเวลาหนึ่งที่มีจุด x 0 โดยรับที่ x = x 0 ความหมาย (เอ็กซ์ 0 ) = ย 0 , เช่น. มีวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เหมือนใคร

คำนิยาม. บูรณาการสมการเชิงอนุพันธ์คือสมการใดๆ ที่ไม่มีอนุพันธ์และเป็นผลตามมาของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด

ตัวอย่าง.หา การตัดสินใจร่วมกันสมการเชิงอนุพันธ์
.

วิธีแก้ทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์หาได้โดยการอินทิเกรตด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ ซึ่งก่อนหน้านี้มีการแปลงดังนี้

ตอนนี้เรามารวมเข้าด้วยกัน:

เป็นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม

สมมุติว่าเราได้รับบ้าง เงื่อนไขเริ่มต้น: x 0 = 1; y 0 = 2 เราก็ได้

โดยการแทนที่ค่าคงที่ที่ได้รับไปเป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป เราจะได้คำตอบเฉพาะสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด (วิธีแก้ปัญหาสำหรับปัญหาคอชี)

คำนิยาม. เส้นโค้งอินทิกรัลเรียกว่ากราฟ y = (x) ของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์บนระนาบ XOY

คำนิยาม. โดยการตัดสินใจพิเศษของสมการเชิงอนุพันธ์คือคำตอบในทุกจุดที่เรียกว่าเงื่อนไขเอกลักษณ์ของคอชี (ดู ทฤษฎีบทของคอชี) ไม่ได้รับการเติมเต็ม เช่น ในบริเวณใกล้จุดใดจุดหนึ่ง (x, y) จะมีเส้นโค้งอินทิกรัลอย่างน้อย 2 เส้น

สารละลายพิเศษไม่ขึ้นอยู่กับค่าคงที่ C

คำตอบพิเศษไม่สามารถหาได้จากคำตอบทั่วไปสำหรับค่าใดๆ ของค่าคงที่ C ถ้าเราสร้างกลุ่มเส้นโค้งอินทิกรัลของสมการเชิงอนุพันธ์ แล้วคำตอบพิเศษจะแสดงเป็นเส้นตรงที่แตะเส้นโค้งอินทิกรัลอย่างน้อย 1 เส้นที่แต่ละจุด .

โปรดทราบว่าไม่ใช่ทุกสมการเชิงอนุพันธ์จะมีคำตอบพิเศษ

ตัวอย่าง.
ค้นหาวิธีแก้ปัญหาพิเศษหากมีอยู่

สมการเชิงอนุพันธ์นี้มีคำตอบพิเศษเช่นกัน ที่= 0 ไม่สามารถหาคำตอบนี้ได้จากวิธีทั่วไป แต่เมื่อนำไปแทนสมการดั้งเดิม เราจะได้ข้อมูลประจำตัว ความเห็นว่าแนวทางแก้ไข ย = 0 สามารถหาได้จากการแก้ปัญหาทั่วไปด้วย กับ 1 = 0 ผิดเพราะ ค 1 = จ ค  0.

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

คำนิยาม. สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งเรียกว่าความสัมพันธ์ที่เชื่อมฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับหนึ่งและตัวแปรอิสระ กล่าวคือ อัตราส่วนของแบบฟอร์ม:

ถ้าเราแปลงความสัมพันธ์นี้ให้อยู่ในรูป
จากนั้นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งนี้จะเรียกว่าสมการ แก้ไขด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์

ลองแทนฟังก์ชัน f(x,y) เป็น:
จากนั้นเมื่อแทนลงในสมการข้างต้นเราจะได้:

นี่คือสิ่งที่เรียกว่า รูปแบบที่แตกต่างสมการอันดับหนึ่ง

สมการของแบบฟอร์มย ’ = ฉ ( x ).

ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง

ก< x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как
- หากกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น x 0 และ y 0 ไว้ จะสามารถกำหนดค่าคงที่ C ได้

สมการที่แยกออกจากกัน

คำนิยาม. สมการเชิงอนุพันธ์
เรียกว่า สมการที่แยกออกจากกันถ้าเขียนได้ในรูป

.

สมการนี้สามารถแสดงเป็น:

เรามาดูสัญกรณ์ใหม่กันดีกว่า

เราได้รับ:

หลังจากค้นหาอินทิกรัลที่สอดคล้องกันแล้ว จะได้คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรที่แยกได้

หากกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นไว้ เมื่อแทนที่เงื่อนไขเหล่านั้นในสารละลายทั่วไป จะพบค่าคงที่ C และด้วยเหตุนี้ จึงพบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

ตัวอย่าง.ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์:

อินทิกรัลทางด้านซ้ายถูกยึดโดยชิ้นส่วนต่างๆ (ดู บูรณาการโดยส่วนต่างๆ):

นี่คืออินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม เนื่องจาก ฟังก์ชั่นที่ต้องการและไม่ได้แสดงผ่านตัวแปรอิสระ นี่คือสิ่งที่มันเป็นทั้งหมดเกี่ยวกับ ความแตกต่างทั่วไป (ส่วนตัว) บูรณาการจากทั่วไป (ส่วนตัว) โซลูชั่น

ในการตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบที่ได้รับ เราจะแยกความแตกต่างด้วยตัวแปร x

- ขวา

ตัวอย่าง.หาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์
โดยให้ y(2) = 1

สำหรับ y(2) = 1 เราได้

ทั้งหมด:
หรือ
- โซลูชันส่วนตัว

การตรวจสอบ:
, ทั้งหมด

- ขวา.

ตัวอย่าง.แก้สมการ

- อินทิกรัลทั่วไป

- การตัดสินใจร่วมกัน

ตัวอย่าง.แก้สมการ

ตัวอย่าง.แก้สมการ
โดยให้ y(1) = 0

เราจะนำอินทิกรัลทางด้านซ้ายทีละส่วน (ดู บูรณาการโดยส่วนต่างๆ).

ถ้า y(1) = 0 แล้ว

รวม, อินทิกรัลบางส่วน:
.

ตัวอย่าง.แก้สมการ

หากต้องการค้นหาอินทิกรัลทางด้านซ้ายของสมการ โปรดดู ตารางอินทิกรัลพื้นฐานข้อ 16 เราได้รับอินทิกรัลทั่วไป:

ตัวอย่าง.แก้สมการ

มาแปลงสมการที่กำหนด:

เราได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ หากเราแสดงฟังก์ชัน y ที่ต้องการจากความสัมพันธ์นี้ เราจะได้คำตอบทั่วไป

ตัวอย่าง.แก้สมการ
.

;
;

สมมติว่ามีเงื่อนไขตั้งต้นให้ x 0 และ y 0 แล้ว:

เราได้รับวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

สมการเอกพันธ์

คำนิยาม. ฟังก์ชัน f(x, y) ถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกันn– การวัดครั้งที่ด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ x และ y หากค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์ t (ยกเว้นศูนย์) ข้อมูลประจำตัวจะคงอยู่:

ตัวอย่าง.ฟังก์ชันเป็นเนื้อเดียวกันหรือไม่?

ดังนั้น ฟังก์ชัน f(x, y) จึงเป็นเนื้อเดียวกันของลำดับที่ 3

คำนิยาม. สมการเชิงอนุพันธ์ของแบบฟอร์ม
เรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันถ้าทางด้านขวามือของ f(x, y) เป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ของมิติเป็นศูนย์เทียบกับอาร์กิวเมนต์ของมัน

สมการใดๆ ก็ตามของรูปแบบจะเป็นเนื้อเดียวกันถ้าเป็นฟังก์ชัน ป(x, ย) และ ถาม(x, ย) – ฟังก์ชันเอกพันธ์ในมิติเดียวกัน

ทางออกใด ๆ สมการเอกพันธ์ขึ้นอยู่กับการลดสมการนี้ให้เป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกกันได้

พิจารณาสมการเอกพันธ์

เพราะ ฟังก์ชัน f(x, y) เป็นเนื้อเดียวกันของมิติเป็นศูนย์ จากนั้นเราสามารถเขียนได้:

เพราะ โดยทั่วไปแล้วพารามิเตอร์ t จะเป็นอะไรก็ได้ ให้เราสมมุติว่า - เราได้รับ:

ด้านขวาของผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันนั้นจริงๆ แล้วขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้น
, เช่น.

สมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมสามารถเขียนได้เป็น:

ดังนั้นเราจึงได้สมการที่มีตัวแปรที่แยกได้สำหรับฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก u

ตัวอย่าง.แก้สมการ
.

ขอแนะนำฟังก์ชันเสริม ยู.

.

โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นที่เราแนะนำ ยูเป็นบวกเสมอเพราะว่า มิฉะนั้นสมการเชิงอนุพันธ์เดิมที่มี
.

แทนลงในสมการดั้งเดิม:

เราแยกตัวแปร:

เมื่อบูรณาการ เราได้รับ:

เมื่อส่งผ่านจากฟังก์ชันเสริมกลับไปที่ฟังก์ชัน y เราจะได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

สมการลดลงเป็นเนื้อเดียวกัน

นอกเหนือจากสมการที่อธิบายไว้ข้างต้นแล้ว ยังมีสมการอีกระดับหนึ่งที่สามารถลดทอนให้เป็นเนื้อเดียวกันได้โดยใช้การทดแทนบางอย่าง

เหล่านี้คือสมการของรูปแบบ
.

หากเป็นผู้กำหนด
จากนั้นตัวแปรก็สามารถแยกออกได้ด้วยการทดแทน

โดยที่  และ  เป็นคำตอบของระบบสมการ

ตัวอย่าง.แก้สมการ

เราได้รับ

การหาค่าของดีเทอร์มิแนนต์
.

การแก้ระบบสมการ

เราใช้การทดแทนในสมการดั้งเดิม:

แทนที่ตัวแปร
เมื่อแทนลงในนิพจน์ที่เขียนไว้ข้างต้น เราจะได้:

ภาษาอังกฤษ: Wikipedia กำลังทำให้ไซต์มีความปลอดภัยมากขึ้น คุณคือโดยใช้เว็บเบราว์เซอร์รุ่นเก่าที่ไม่สามารถเชื่อมต่อกับวิกิพีเดียได้ในอนาคต โปรดอัปเดตอุปกรณ์ของคุณหรือติดต่อผู้ดูแลระบบไอทีของคุณ

中文: 以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

สเปน: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay unaactualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

ฝรั่งเศส: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un exploreur web ancien, qui ne pourra plus se เชื่อมต่อ à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. ข้อมูลเสริมพร้อมทั้งเทคนิคและภาษาอังกฤษอื่นๆ

日本語: ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

เยอรมัน:วิกิพีเดีย erhöht die Sicherheit der Webseite Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte Aktualisiere เป็นผู้รับผิดชอบด้าน IT-Administrator และ Ausführlichere (และ technisch detailliertere) Hinweise พบ Du unten ในภาษาอังกฤษ Sprache

อิตาเลียโน่:วิกิพีเดีย sta rendendo il sito più sicuro ใช้เบราว์เซอร์เว็บ che non sarà ใน grado di connettersi และ Wikipedia ในอนาคต ตามที่ต้องการ aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico Più ในบาสโซ è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico ในภาษาอิงเกิล

แมกยาร์: Biztonságosabb lesz ในวิกิพีเดีย A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (อันโกลุล).

สเวนสกา:วิกิพีเดีย gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia และ framtiden. อัปเดตข้อมูลติดต่อโดยผู้ดูแลระบบไอที ฟินน์ en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

เรากำลังลบการสนับสนุนสำหรับเวอร์ชันโปรโตคอล TLS ที่ไม่ปลอดภัย โดยเฉพาะ TLSv1.0 และ TLSv1.1 ซึ่งซอฟต์แวร์เบราว์เซอร์ของคุณใช้เชื่อมต่อกับไซต์ของเรา ซึ่งมักเกิดจากเบราว์เซอร์ที่ล้าสมัยหรือสมาร์ทโฟน Android รุ่นเก่า หรืออาจเป็นสัญญาณรบกวนจากซอฟต์แวร์ "ความปลอดภัยทางเว็บ" ขององค์กรหรือส่วนบุคคล ซึ่งจะทำให้ความปลอดภัยในการเชื่อมต่อลดลง

คุณต้องอัปเกรดเว็บเบราว์เซอร์ของคุณหรือแก้ไขปัญหานี้เพื่อเข้าถึงเว็บไซต์ของเรา ข้อความนี้จะยังคงอยู่จนถึงวันที่ 1 มกราคม 2020 หลังจากวันดังกล่าว เบราว์เซอร์ของคุณจะไม่สามารถสร้างการเชื่อมต่อกับเซิร์ฟเวอร์ของเราได้