เมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์เอกลักษณ์ ค้นหาเมทริกซ์ผกผันออนไลน์

สำหรับเมทริกซ์ A ที่ไม่ใช่เอกพจน์ใดๆ จะมีเมทริกซ์ A -1 ที่ไม่ซ้ำใครในลักษณะนั้น

A*A -1 =A -1 *A = E,

โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับเดียวกันกับ A เมทริกซ์ A -1 เรียกว่าเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A

ในกรณีที่มีคนลืม ในเมทริกซ์เอกลักษณ์ ยกเว้นเส้นทแยงมุมที่เต็มไปด้วยตำแหน่ง ตำแหน่งอื่นๆ ทั้งหมดจะเต็มไปด้วยศูนย์ ตัวอย่างของเมทริกซ์เอกลักษณ์:

การค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธีเมทริกซ์แบบแอดจอยท์

เมทริกซ์ผกผันถูกกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ A ij - องค์ประกอบ a ij

เหล่านั้น. ในการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน คุณต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้ จากนั้นหาการเสริมพีชคณิตสำหรับองค์ประกอบทั้งหมดแล้วสร้างเมทริกซ์ใหม่จากองค์ประกอบเหล่านั้น ต่อไปคุณจะต้องขนส่งเมทริกซ์นี้ และหารแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ใหม่ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เดิม

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ค้นหา A -1 สำหรับเมทริกซ์

วิธีแก้ปัญหา ลองหา A -1 โดยใช้วิธีเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน เรามี det A = 2 ให้เราหาการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบของเมทริกซ์ A. In ในกรณีนี้การเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบเมทริกซ์จะเป็นองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์นั้นเองโดยมีเครื่องหมายตามสูตร

เรามี A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2 เราสร้างเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน

เราขนส่งเมทริกซ์ A*:

เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร:

เราได้รับ:

ใช้เมธอดเมทริกซ์ติด หา A -1 if

วิธีแก้ ก่อนอื่น เราคำนวณคำจำกัดความของเมทริกซ์นี้เพื่อตรวจสอบการมีอยู่ของเมทริกซ์ผกผัน เรามี

ที่นี่เราได้เพิ่มองค์ประกอบของแถวที่สามลงในองค์ประกอบของแถวที่สองซึ่งก่อนหน้านี้คูณด้วย (-1) แล้วขยายดีเทอร์มิแนนต์สำหรับแถวที่สอง เนื่องจากคำจำกัดความของเมทริกซ์นี้ไม่ใช่ศูนย์ จึงมีเมทริกซ์ผกผันอยู่ ในการสร้างเมทริกซ์ประชิด เราจะหาส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบของเมทริกซ์นี้ เรามี

ตามสูตรครับ

เมทริกซ์การขนส่ง A*:

แล้วตามสูตร.

การค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น

นอกจากวิธีการค้นหาเมทริกซ์ผกผันซึ่งตามมาจากสูตร (วิธีเมทริกซ์ส่วนติด) แล้ว ยังมีวิธีการค้นหาเมทริกซ์ผกผันอีกด้วย เรียกว่าวิธีการแปลงเบื้องต้น

การแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น

การแปลงต่อไปนี้เรียกว่าการแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น:

1) การจัดเรียงแถวใหม่ (คอลัมน์)

2) การคูณแถว (คอลัมน์) ด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

3) การเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวอื่น (คอลัมน์) ให้กับองค์ประกอบของแถว (คอลัมน์) ซึ่งก่อนหน้านี้คูณด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่ง

ในการค้นหาเมทริกซ์ A -1 เราสร้างเมทริกซ์สี่เหลี่ยม B = (A|E) ของลำดับ (n; 2n) โดยกำหนดให้กับเมทริกซ์ A ทางด้านขวาของเมทริกซ์เอกลักษณ์ E ผ่านเส้นแบ่ง:

ลองดูตัวอย่าง

โดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น หา A -1 if

วิธีแก้ปัญหา เราสร้างเมทริกซ์ B:

ให้เราแสดงแถวของเมทริกซ์ B ด้วยα 1, α 2, α 3 ให้เราทำการแปลงต่อไปนี้กับแถวของเมทริกซ์ B

ให้มีเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่ n

เรียกเมทริกซ์ A -1 เมทริกซ์ผกผันสัมพันธ์กับเมทริกซ์ A ถ้า A*A -1 = E โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่ n

เมทริกซ์เอกลักษณ์- เมทริกซ์จตุรัสดังกล่าวซึ่งมีองค์ประกอบทั้งหมดตามเส้นทแยงมุมหลักที่ผ่านจากมุมซ้ายบนไปยังมุมขวาล่างเป็นองค์ประกอบและส่วนที่เหลือเป็นศูนย์เช่น:

เมทริกซ์ผกผันอาจมีอยู่จริง สำหรับเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้นเหล่านั้น. สำหรับเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์ตรงกัน

ทฤษฎีบทสำหรับเงื่อนไขการดำรงอยู่ของเมทริกซ์ผกผัน

เพื่อให้เมทริกซ์มีเมทริกซ์ผกผัน จำเป็นและเพียงพอแล้วที่จะต้องไม่เป็นเอกพจน์

เรียกเมทริกซ์ A = (A1, A2,...A n) ไม่เสื่อมถ้าเวกเตอร์คอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้น จำนวนเวกเตอร์คอลัมน์อิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์เรียกว่าอันดับของเมทริกซ์ ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่าเพื่อให้เมทริกซ์ผกผันมีอยู่จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับมิติของมันนั่นคือ ร = เอ็น

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

1. เขียนเมทริกซ์ A ลงในตารางสำหรับการแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเกาส์เซียน และกำหนดเมทริกซ์ E ไว้ทางด้านขวา (แทนที่ทางด้านขวามือของสมการ)
2. ใช้การแปลงแบบจอร์แดน ลดเมทริกซ์ A ให้เป็นเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยคอลัมน์หน่วย ในกรณีนี้จำเป็นต้องแปลงเมทริกซ์ E ไปพร้อม ๆ กัน
3. หากจำเป็น ให้จัดเรียงแถว (สมการ) ของตารางสุดท้ายใหม่ เพื่อให้ภายใต้เมทริกซ์ A ของตารางต้นฉบับ คุณจะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ E
4. เขียนเมทริกซ์ผกผัน A -1 ซึ่งอยู่ในตารางสุดท้ายใต้เมทริกซ์ E ของตารางเดิม

ตัวอย่างที่ 1

สำหรับเมทริกซ์ A ให้ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน A -1

วิธีแก้ไข: เราเขียนเมทริกซ์ A และกำหนดเมทริกซ์เอกลักษณ์ E ไปทางขวา โดยใช้การแปลงแบบ Jordan เราลดเมทริกซ์ A ให้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ E การคำนวณแสดงไว้ในตารางที่ 31.1

ตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณโดยการคูณเมทริกซ์ A ดั้งเดิมและเมทริกซ์ผกผัน A -1

จากการคูณเมทริกซ์ จะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ขึ้นมา ดังนั้นการคำนวณจึงถูกต้อง

คำตอบ:

การแก้สมการเมทริกซ์

สมการเมทริกซ์อาจมีลักษณะดังนี้:

AX = B, HA = B, AXB = C,

โดยที่ A, B, C คือเมทริกซ์ที่ระบุ X คือเมทริกซ์ที่ต้องการ

สมการเมทริกซ์แก้ได้โดยการคูณสมการด้วยเมทริกซ์ผกผัน

เช่น หากต้องการหาเมทริกซ์จากสมการ คุณต้องคูณสมการนี้ทางด้านซ้าย

ดังนั้น หากต้องการหาคำตอบของสมการ คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผันแล้วคูณด้วยเมทริกซ์ทางด้านขวาของสมการ

สมการอื่นๆ ก็แก้ได้เช่นเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ AX = B ถ้า

สารละลาย: เนื่องจากเมทริกซ์ผกผันมีค่าเท่ากับ (ดูตัวอย่างที่ 1)

วิธีเมทริกซ์ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์

นอกจากสิ่งอื่นแล้วยังใช้อีกด้วย วิธีเมทริกซ์- วิธีการเหล่านี้ใช้พีชคณิตเชิงเส้นและเวกเตอร์เมทริกซ์ วิธีการดังกล่าวใช้เพื่อวัตถุประสงค์ในการวิเคราะห์ปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจที่ซับซ้อนและหลายมิติ ส่วนใหญ่แล้ววิธีการเหล่านี้จะใช้เมื่อจำเป็นในการประเมินเปรียบเทียบการทำงานขององค์กรและแผนกโครงสร้าง

ในกระบวนการใช้วิธีการวิเคราะห์เมทริกซ์สามารถแยกแยะได้หลายขั้นตอน

ในระยะแรกกำลังสร้างระบบตัวชี้วัดทางเศรษฐกิจและบนพื้นฐานของข้อมูลเมทริกซ์เริ่มต้นจะถูกรวบรวมซึ่งเป็นตารางที่ตามข้อมูลของมัน แยกบรรทัดหมายเลขระบบจะแสดงขึ้น (ผม = 1,2,....,n)และในคอลัมน์แนวตั้ง - จำนวนตัวบ่งชี้ (เจ = 1,2,....,ม.).

ในระยะที่สองสำหรับแต่ละคอลัมน์แนวตั้ง ค่าตัวบ่งชี้ที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่จะถูกระบุ ซึ่งถือเป็นค่าเดียว

หลังจากนั้น จำนวนเงินทั้งหมดที่แสดงในคอลัมน์นี้จะถูกหารด้วย มูลค่าสูงสุดและเกิดเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์มาตรฐานขึ้นมา

ในขั้นตอนที่สามส่วนประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์มีกำลังสอง หากมีความสำคัญต่างกัน ตัวบ่งชี้เมทริกซ์แต่ละตัวจะถูกกำหนดค่าสัมประสิทธิ์น้ำหนักที่แน่นอน เค- คุณค่าของสิ่งหลังถูกกำหนดโดยความคิดเห็นของผู้เชี่ยวชาญ

ในตอนสุดท้าย ขั้นตอนที่สี่พบค่าเรตติ้ง รจจะถูกจัดกลุ่มตามลำดับการเพิ่มขึ้นหรือลดลง

ควรใช้วิธีเมทริกซ์ที่สรุปไว้ เช่น เมื่อใด การวิเคราะห์เปรียบเทียบโครงการลงทุนต่างๆ ตลอดจนการประเมินตัวชี้วัดทางเศรษฐกิจอื่นๆ ขององค์กร

การค้นหาเมทริกซ์ผกผันเป็นกระบวนการที่ประกอบด้วยขั้นตอนที่ค่อนข้างง่าย แต่การกระทำเหล่านี้เกิดขึ้นซ้ำบ่อยมากจนกระบวนการนี้ค่อนข้างยาว สิ่งสำคัญคืออย่าสูญเสียความสนใจเมื่อตัดสินใจ

เมื่อแก้ไขโดยใช้วิธีการทั่วไป - การบวกพีชคณิต - คุณจะต้อง:

เมื่อแก้ไขตัวอย่าง เราจะวิเคราะห์การกระทำเหล่านี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น ในระหว่างนี้ เรามาดูกันว่าทฤษฎีเกี่ยวกับเมทริกซ์ผกผันพูดว่าอย่างไร

สำหรับ เมทริกซ์ผกผัน มีความคล้ายคลึงที่เกี่ยวข้องกับค่าผกผันของตัวเลข สำหรับทุกหมายเลข กไม่เท่ากับศูนย์ก็มีจำนวนดังกล่าว ขว่างานนั้น กและ ขเท่ากับหนึ่ง: เกี่ยวกับ= 1 . ตัวเลข ขเรียกว่าค่าผกผันของจำนวน ข- ตัวอย่างเช่น สำหรับเลข 7 ส่วนกลับคือ 1/7 เนื่องจาก 7*1/7=1

เมทริกซ์ผกผัน ซึ่งจำเป็นต้องค้นหาสำหรับเมทริกซ์จตุรัสที่กำหนด กเรียกว่าเมทริกซ์ดังกล่าว

ผลคูณของเมทริกซ์นั้น กทางด้านขวาคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ เช่น
. (1)

เมทริกซ์เอกลักษณ์คือเมทริกซ์แนวทแยงซึ่งองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง

การหาเมทริกซ์ผกผัน- ปัญหาที่มักแก้ไขได้ด้วยสองวิธี:

• วิธีการบวกพีชคณิตซึ่งตามที่ระบุไว้ในตอนต้นของบทเรียนจะต้องค้นหาปัจจัยกำหนด ผู้เยาว์ และการบวกพีชคณิตและย้ายเมทริกซ์
• วิธีเกาส์เซียนในการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก ซึ่งต้องทำการแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น (เพิ่มแถว คูณแถวด้วยจำนวนเดียวกัน ฯลฯ)

สำหรับผู้ที่สงสัยเป็นพิเศษ ยังมีวิธีอื่นๆ อีก เช่น วิธีแปลงเชิงเส้น ในบทนี้ เราจะวิเคราะห์วิธีการและอัลกอริธึมทั้งสามที่กล่าวถึงในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธีการเหล่านี้

ทฤษฎีบท.สำหรับเมทริกซ์จตุรัสที่ไม่เป็นเอกพจน์ (ไม่เสื่อมและไม่เอกพจน์) ทุกเมทริกซ์ เราสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้เพียงเมทริกซ์เดียวเท่านั้น สำหรับเมทริกซ์จตุรัสพิเศษ (เสื่อมลง เอกพจน์) จะไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัส ไม่พิเศษ(หรือ ไม่เสื่อม, ไม่ใช่เอกพจน์) ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ และ พิเศษ(หรือ เสื่อมโทรม, เอกพจน์) ถ้าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์

ค่าผกผันของเมทริกซ์สามารถพบได้สำหรับเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้น โดยปกติแล้ว เมทริกซ์ผกผันจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและอยู่ในลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์ที่กำหนด เมทริกซ์ที่สามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้เรียกว่าเมทริกซ์ผกผัน

การค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธีการกำจัดแบบไม่ทราบค่าแบบเกาส์เซียน

ขั้นตอนแรกในการค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์โดยใช้วิธีกำจัดแบบเกาส์เซียนคือการกำหนดให้กับเมทริกซ์ กเมทริกซ์ประจำตัวที่มีลำดับเดียวกัน โดยคั่นด้วยแถบแนวตั้ง เราจะได้เมทริกซ์คู่ ลองคูณทั้งสองข้างของเมทริกซ์นี้ด้วย แล้วเราจะได้

,

อัลกอริทึมในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธีกำจัดแบบไม่ทราบค่าแบบเกาส์เซียน

1. ไปที่เมทริกซ์ กกำหนดเมทริกซ์เอกลักษณ์ในลำดับเดียวกัน

2. แปลงผลลัพธ์ของเมทริกซ์คู่เพื่อให้ทางด้านซ้ายคุณจะได้เมทริกซ์หน่วย จากนั้นทางด้านขวา คุณจะได้เมทริกซ์ผกผันโดยอัตโนมัติ แทนที่จะเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ เมทริกซ์ กทางด้านซ้ายจะถูกแปลงเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยการแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น

2. หากอยู่ในกระบวนการแปลงเมทริกซ์ กในเมทริกซ์เอกลักษณ์จะมีเพียงศูนย์ในแถวหรือคอลัมน์ใด ๆ จากนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะเท่ากับศูนย์ และด้วยเหตุนี้เมทริกซ์ กจะเป็นเอกพจน์ และไม่มีเมทริกซ์ผกผัน ในกรณีนี้ การพิจารณาเพิ่มเติมของเมทริกซ์ผกผันจะหยุดลง

ตัวอย่างที่ 2สำหรับเมทริกซ์

ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

และเราจะแปลงมันเพื่อว่าทางด้านซ้ายเราจะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ เราเริ่มการเปลี่ยนแปลง

คูณแถวแรกของเมทริกซ์ด้านซ้ายและขวาด้วย (-3) แล้วบวกเข้ากับแถวที่สอง จากนั้นคูณแถวแรกด้วย (-4) แล้วบวกเข้ากับแถวที่สาม จากนั้นเราจะได้

.

เพื่อว่าถ้าเป็นไปได้ก็ไม่มี ตัวเลขเศษส่วนในระหว่างการแปลงครั้งต่อไป เราจะสร้างหน่วยในแถวที่สองทางด้านซ้ายของเมทริกซ์คู่ก่อน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณบรรทัดที่สองด้วย 2 แล้วลบบรรทัดที่สามจากนั้นเราจะได้

.

ลองเพิ่มบรรทัดแรกด้วยบรรทัดที่สอง จากนั้นคูณบรรทัดที่สองด้วย (-9) แล้วบวกกับบรรทัดที่สาม แล้วเราก็ได้

.

จากนั้นหารบรรทัดที่สามด้วย 8

.

คูณบรรทัดที่สามด้วย 2 แล้วบวกเข้ากับบรรทัดที่สอง ปรากฎว่า:

.

มาสลับบรรทัดที่สองและสามกัน แล้วในที่สุดเราก็จะได้:

.

เราจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเรามีเมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้นทางด้านขวาเรามีเมทริกซ์ผกผัน ดังนั้น:

.

คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณได้โดยการคูณเมทริกซ์ดั้งเดิมด้วยเมทริกซ์ผกผันที่พบ:

ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์ผกผัน

คุณสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ เครื่องคิดเลขออนไลน์สำหรับค้นหาเมทริกซ์ผกผัน .

ตัวอย่างที่ 3สำหรับเมทริกซ์

ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

สารละลาย. การรวบรวมเมทริกซ์คู่

และเราจะเปลี่ยนแปลงมัน

เราคูณบรรทัดแรกด้วย 3 และบรรทัดที่สองด้วย 2 แล้วลบออกจากบรรทัดที่สอง จากนั้นเราคูณบรรทัดแรกด้วย 5 และบรรทัดที่สามด้วย 2 แล้วลบออกจากบรรทัดที่สาม แล้วเราจะได้

เมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ที่กำหนดคือเมทริกซ์ดังกล่าว โดยคูณเมทริกซ์ดั้งเดิมโดยให้เมทริกซ์เอกลักษณ์: บังคับ และ สภาพที่เพียงพอการมีเมทริกซ์ผกผันหมายความว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมไม่เท่ากับศูนย์ (ซึ่งในทางกลับกันแสดงว่าเมทริกซ์ต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เท่ากับศูนย์ จะเรียกว่าเอกพจน์และเมทริกซ์ดังกล่าวจะไม่มีการผกผัน ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง เมทริกซ์ผกผันมีความสำคัญและใช้ในการแก้ปัญหาจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่นบน การหาเมทริกซ์ผกผันมีการสร้างวิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการ เว็บไซต์บริการของเราอนุญาต คำนวณเมทริกซ์ผกผันออนไลน์สองวิธี: วิธีเกาส์-จอร์แดน และการใช้เมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต อันแรกเกี่ยวข้องกับการแปลงเบื้องต้นจำนวนมากภายในเมทริกซ์ ส่วนอันที่สองเกี่ยวข้องกับการคำนวณการบวกดีเทอร์มิแนนต์และการบวกพีชคณิตขององค์ประกอบทั้งหมด ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ออนไลน์ คุณสามารถใช้บริการอื่นของเรา - การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ออนไลน์

.

ค้นหาเมทริกซ์ผกผันของไซต์

เว็บไซต์ช่วยให้คุณค้นหา เมทริกซ์ผกผันออนไลน์รวดเร็วและฟรี บนเว็บไซต์ การคำนวณจะดำเนินการโดยใช้บริการของเรา และผลลัพธ์จะได้รับพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับการค้นหา เมทริกซ์ผกผัน- เซิร์ฟเวอร์จะให้คำตอบที่ถูกต้องและถูกต้องเท่านั้น ในงานตามคำนิยาม เมทริกซ์ผกผันออนไลน์จำเป็นต้องมีปัจจัยกำหนด เมทริกซ์ไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้น เว็บไซต์จะรายงานความเป็นไปไม่ได้ในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมมีค่าเท่ากับศูนย์ ภารกิจในการหา เมทริกซ์ผกผันพบได้ในคณิตศาสตร์หลายแขนง เป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่สุดของพีชคณิตและเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในปัญหาประยุกต์ เป็นอิสระ คำจำกัดความของเมทริกซ์ผกผันต้องใช้ความพยายามอย่างมาก ใช้เวลามาก การคำนวณ และความระมัดระวังอย่างยิ่งเพื่อหลีกเลี่ยงการพิมพ์ผิดหรือข้อผิดพลาดเล็กน้อยในการคำนวณ ดังนั้นการบริการของเรา การหาเมทริกซ์ผกผันทางออนไลน์จะทำให้งานของคุณง่ายขึ้นมากและจะกลายเป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ แม้ว่าคุณจะ ค้นหาเมทริกซ์ผกผันด้วยตัวคุณเอง เราขอแนะนำให้ตรวจสอบโซลูชันของคุณบนเซิร์ฟเวอร์ของเรา ป้อนเมทริกซ์ดั้งเดิมของคุณบนเว็บไซต์ของเรา คำนวณเมทริกซ์ผกผันออนไลน์ และตรวจสอบคำตอบของคุณ ระบบของเราไม่เคยทำผิดพลาดและค้นหา เมทริกซ์ผกผันมิติที่กำหนดในโหมด ออนไลน์ทันที! บนเว็บไซต์ เว็บไซต์อนุญาตให้ป้อนอักขระในองค์ประกอบ เมทริกซ์, ในกรณีนี้ เมทริกซ์ผกผันออนไลน์จะถูกนำเสนอในรูปแบบสัญลักษณ์ทั่วไป

ในบทความนี้เราจะพูดถึง วิธีเมทริกซ์โซลูชั่นสำหรับระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิตเราจะหาคำจำกัดความและยกตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา

คำจำกัดความ 1

วิธีเมทริกซ์ผกผัน เป็นวิธีที่ใช้ในการแก้ SLAE หากจำนวนไม่ทราบเท่ากับจำนวนสมการ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาวิธีแก้ไขระบบ n สมการเชิงเส้นไม่ทราบอะไรเลย:

ก 11 x 1 + ก 12 x 2 + . - - + ก 1 n x n = b 1 n 1 x 1 + n 2 x 2 + - - + ก n n x n = ข n

ประเภทการบันทึกแบบเมทริกซ์ : ก × X = ข

โดยที่ A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ n 1 a n 2 ⋯a n n คือเมทริกซ์ของระบบ

X = x 1 x 2 ⋮ xn - คอลัมน์ที่ไม่รู้จัก

B = b 1 b 2 ⋮ bn - คอลัมน์ของสัมประสิทธิ์อิสระ

จากสมการที่เราได้รับ จำเป็นต้องแสดง X ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคูณทั้งสองด้านของสมการเมทริกซ์ทางซ้ายด้วย A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B

เนื่องจาก A - 1 × A = E แล้ว E × X = A - 1 × B หรือ X = A - 1 × B

ความคิดเห็น

เมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ A มีสิทธิ์ที่จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อเงื่อนไข d e t A ไม่เท่ากับศูนย์เท่านั้น ดังนั้น เมื่อแก้ SLAE โดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน สิ่งแรกคือ จะพบ d e t A

ในกรณีที่ d e t A ไม่เท่ากับศูนย์ ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียวเท่านั้น คือ ใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน ถ้า d e t A = 0 แสดงว่าระบบไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีนี้

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน

ตัวอย่างที่ 2

เราแก้ SLAE โดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

วิธีแก้ปัญหา?

• เราเขียนระบบในรูปแบบของสมการเมทริกซ์ A X = B โดยที่

ก = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.

• เราแสดง X จากสมการนี้:

• ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A:

เดต A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t A ไม่เท่ากับ 0 ดังนั้นวิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์ผกผันจึงเหมาะสำหรับระบบนี้

• เราพบเมทริกซ์ผกผัน A - 1 โดยใช้เมทริกซ์พันธมิตร เราคำนวณการเสริมพีชคณิต A i j กับองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ A:

11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,

12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,

13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,

21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,

22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,

23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,

31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,

32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,

ก 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0

• เราเขียนเมทริกซ์พันธมิตร A * ซึ่งประกอบด้วยการเสริมพีชคณิตของเมทริกซ์ A:

ก * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• เราเขียนเมทริกซ์ผกผันตามสูตร:

A - 1 = 1 วัน A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,

• เราคูณเมทริกซ์ผกผัน A - 1 ด้วยคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ B และได้คำตอบสำหรับระบบ:

X = ก - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

คำตอบ : x 1 = - 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter