กำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นที่กำหนด ระยะทางจากจุดถึงเส้น - คำจำกัดความ

โอ๊ะโอ๊ะโอ... ก็ยากนะ เหมือนอ่านประโยคให้ตัวเองฟัง =) อย่างไรก็ตาม ความผ่อนคลายจะช่วยได้ทีหลัง โดยเฉพาะวันนี้ที่ซื้ออุปกรณ์เสริมที่เหมาะสมมา เรามาต่อกันที่ส่วนแรกกันดีกว่า ฉันหวังว่าในตอนท้ายของบทความ ฉันจะคงอารมณ์ร่าเริงไว้ได้

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้น

นี่เป็นกรณีที่ผู้ฟังร้องเพลงพร้อมคอรัส เส้นตรงสองเส้นก็ได้:

1) การแข่งขัน;

2) ขนาน: ;

3) หรือตัดกันที่จุดเดียว: .

ช่วยเหลือหุ่น : โปรดจำไว้ว่าเครื่องหมายทางแยกทางคณิตศาสตร์จะปรากฎบ่อยมาก สัญกรณ์หมายความว่าเส้นตัดกับเส้นตรงจุด

จะทราบตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้นได้อย่างไร?

เริ่มจากกรณีแรกกันก่อน:

เส้นสองเส้นตรงกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือมีจำนวน "แลมบ์ดา" ที่ทำให้ความเท่าเทียมกันมีความพึงพอใจ

ลองพิจารณาเส้นตรงและสร้างสมการสามสมการจากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน: . จากแต่ละสมการจึงเป็นไปตามนั้น เส้นเหล่านี้จึงตรงกัน

แท้จริงแล้วถ้าสัมประสิทธิ์ของสมการทั้งหมด คูณด้วย –1 (เปลี่ยนเครื่องหมาย) และลดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการลง 2 คุณจะได้สมการเดียวกัน:

กรณีที่สอง เมื่อเส้นขนานกัน:

เส้นสองเส้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเป็นสัดส่วน: , แต่.

เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาเส้นตรงสองเส้น เราตรวจสอบสัดส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร:

อย่างไรก็ตาม มันค่อนข้างชัดเจนว่า

และกรณีที่สาม เมื่อเส้นตัดกัน:

เส้นตรงสองเส้นตัดกันหากค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็นสัดส่วนนั่นคือไม่มีค่าของ "แลมบ์ดา" ที่จะพึงพอใจกับความเท่าเทียมกัน

ดังนั้น สำหรับเส้นตรง เราจะสร้างระบบ:

จากสมการแรกเป็นไปตามนั้น และจากสมการที่สอง: ซึ่งหมายถึง ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจึงไม่เป็นสัดส่วน

สรุป: เส้นตัดกัน

ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ คุณสามารถใช้โครงร่างการแก้ปัญหาที่เพิ่งกล่าวถึงได้ อย่างไรก็ตาม มันชวนให้นึกถึงอัลกอริธึมในการตรวจสอบเวกเตอร์สำหรับคอลลิเนียริตีซึ่งเราดูในชั้นเรียนเป็นอย่างมาก แนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้น (ใน) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์- แต่มีบรรจุภัณฑ์ที่มีอารยะมากกว่า:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น:

สารละลายจากการศึกษาเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง:

ก) จากสมการเราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้น: .

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกันและมีเส้นตัดกัน

เผื่อว่าฉันจะวางก้อนหินที่มีป้ายไว้ตรงทางแยก:

ที่เหลือก็กระโดดข้ามหินแล้วเดินตามต่อไป ตรงไปที่ Kashchei the Immortal =)

b) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

เส้นตรงมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นทั้งสองขนานกันหรือบังเอิญกัน ไม่จำเป็นต้องนับดีเทอร์มีแนนต์ตรงนี้

เห็นได้ชัดว่าค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งไม่รู้นั้นเป็นสัดส่วน และ

มาดูกันว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:

ดังนั้น,

c) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้:
ดังนั้น เวกเตอร์ทิศทางจึงเป็นเส้นตรง เส้นขนานหรือบังเอิญ

ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน “แลมบ์ดา” มองเห็นได้ง่ายโดยตรงจากอัตราส่วนของเวกเตอร์ทิศทางคอลลิเนียร์ อย่างไรก็ตาม สามารถพบได้จากค่าสัมประสิทธิ์ของสมการด้วย: .

ทีนี้ลองดูว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ เงื่อนไขฟรีทั้งสองเงื่อนไขเป็นศูนย์ ดังนั้น:

ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นที่น่าพอใจ สมการนี้(โดยทั่วไปแล้วจำนวนเท่าใดก็ได้ที่พอใจ)

เส้นจึงตรงกัน

คำตอบ:

ในไม่ช้าคุณจะได้เรียนรู้ (หรือได้เรียนรู้แล้ว) เพื่อแก้ไขปัญหาที่พูดคุยกันด้วยวาจาอย่างแท้จริงในเวลาไม่กี่วินาที ในเรื่องนี้ข้าพเจ้าไม่เห็นประโยชน์ที่จะถวายอะไรให้เลย การตัดสินใจที่เป็นอิสระเป็นการดีกว่าที่จะวางอิฐที่สำคัญอีกก้อนในรากฐานทางเรขาคณิต:

จะสร้างเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

ด้วยความไม่รู้ถึงงานที่ง่ายที่สุดนี้ Nightingale the Robber จึงลงโทษอย่างรุนแรง

ตัวอย่างที่ 2

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการของเส้นขนานที่ผ่านจุดนั้น

สารละลาย: เรามาแสดงบรรทัดที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษรกัน สภาพพูดเกี่ยวกับเธออย่างไร? เส้นตรงผ่านจุดนั้น และถ้าเส้นขนานกันก็ชัดเจนว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง “tse” ก็เหมาะสำหรับการสร้างเส้นตรง “de” เช่นกัน

เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:

คำตอบ:

เรขาคณิตของตัวอย่างดูเรียบง่าย:

การทดสอบเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) เราตรวจสอบว่าเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน (หากสมการของเส้นไม่ได้ถูกทำให้ง่ายขึ้นอย่างถูกต้อง เวกเตอร์ก็จะอยู่ในแนวเดียวกัน)

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่

ในกรณีส่วนใหญ่ การทดสอบเชิงวิเคราะห์สามารถดำเนินการได้อย่างง่ายดายด้วยวาจา ดูสมการทั้งสองนี้ แล้วหลายๆ คนจะระบุความขนานของเส้นได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องวาดใดๆ

ตัวอย่างโซลูชันอิสระในปัจจุบันจะเป็นแบบสร้างสรรค์ เพราะคุณยังคงต้องแข่งขันกับบาบายากาและเธอก็รู้ว่าเธอเป็นผู้รักปริศนาทุกประเภท

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดขนานกับเส้นถ้า

มีวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลและไม่สมเหตุสมผล ที่สุด ทางลัด- ในตอนท้ายของบทเรียน

เราทำงานเล็กน้อยกับเส้นคู่ขนานและจะกลับมาหาพวกเขาในภายหลัง กรณีของเส้นที่ตรงกันนั้นไม่ค่อยน่าสนใจ ดังนั้นลองมาพิจารณาปัญหาที่คุณคุ้นเคยกันดีกว่า หลักสูตรของโรงเรียน:

จะหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?

ถ้าตรง ตัดกันที่จุด แล้วพิกัดของมันคือคำตอบ ระบบสมการเชิงเส้น

จะหาจุดตัดของเส้นได้อย่างไร? แก้ระบบ.

เอาล่ะ ความหมายทางเรขาคณิตระบบของทั้งสอง สมการเชิงเส้นมีสองสิ่งไม่รู้- นี่คือเส้นสองเส้นที่ตัดกัน (บ่อยที่สุด) บนเครื่องบิน

ตัวอย่างที่ 4

หาจุดตัดกันของเส้น

สารละลาย: มีสองวิธีในการแก้ปัญหา - แบบกราฟิกและการวิเคราะห์

วิธีกราฟิกคือเพียงวาดเส้นที่กำหนดและค้นหาจุดตัดโดยตรงจากภาพวาด:

นี่คือประเด็นของเรา: . ในการตรวจสอบ คุณควรแทนที่พิกัดของมันลงในแต่ละสมการของเส้นตรง ซึ่งพวกมันควรจะพอดีทั้งตรงนั้นและตรงนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุดคือคำตอบของระบบ โดยพื้นฐานแล้ว เราดูที่โซลูชันแบบกราฟิก ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสองสมการ สองสิ่งที่ไม่รู้

แน่นอนว่าวิธีการแบบกราฟิกนั้นไม่เลว แต่ก็มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ ประเด็นไม่ใช่ว่านักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัดสินใจเช่นนี้ ประเด็นคือ ต้องใช้เวลาในการสร้างภาพวาดที่ถูกต้องและแม่นยำ นอกจากนี้ เส้นตรงบางเส้นยังสร้างได้ไม่ง่ายนัก และจุดตัดกันเองอาจอยู่ที่ไหนสักแห่งในอาณาจักรที่ 30 นอกแผ่นสมุดบันทึก

ดังนั้นจึงควรมองหาจุดตัดมากกว่า วิธีการวิเคราะห์- มาแก้ระบบกัน:

ในการแก้ระบบได้ใช้วิธีการบวกสมการแบบเทอมต่อเทอม เพื่อพัฒนาทักษะที่เกี่ยวข้อง ให้เรียนบทเรียน จะแก้ระบบสมการได้อย่างไร?

คำตอบ:

การตรวจสอบนั้นไม่สำคัญ - พิกัดของจุดตัดจะต้องเป็นไปตามสมการแต่ละระบบ

ตัวอย่างที่ 5

หาจุดตัดกันของเส้นตรงถ้ามันตัดกัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง สะดวกในการแบ่งงานออกเป็นหลายขั้นตอน การวิเคราะห์สภาพแสดงให้เห็นว่ามีความจำเป็น:
1) เขียนสมการของเส้นตรง
2) เขียนสมการของเส้นตรง
3) ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น
4) ถ้าเส้นตัดกัน ให้หาจุดตัดกัน

การพัฒนาอัลกอริธึมการดำเนินการเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนมาก และฉันจะเน้นไปที่เรื่องนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก

โซลูชั่นที่สมบูรณ์และคำตอบท้ายบทเรียน:

ไม่มีรองเท้าคู่ใดขาดเลยก่อนที่เราจะเข้าสู่ส่วนที่สองของบทเรียน:

เส้นตั้งฉาก. ระยะทางจากจุดถึงเส้น
มุมระหว่างเส้นตรง

เริ่มจากงานทั่วไปและสำคัญมากกันก่อน ในส่วนแรก เราได้เรียนรู้วิธีสร้างเส้นตรงขนานกับอันนี้ และตอนนี้กระท่อมบนขาไก่จะหมุน 90 องศา:

จะสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 6

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการตั้งฉากกับเส้นที่ผ่านจุด

สารละลาย: โดยเงื่อนไขเป็นที่รู้กันว่า คงจะดีถ้าหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากเส้นตั้งฉากกัน เคล็ดลับง่ายๆ ก็คือ:

จากสมการเรา "ลบ" เวกเตอร์ปกติ: ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ลองเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง:

คำตอบ:

มาขยายร่างเรขาคณิตกัน:

อืม... ฟ้าสีส้ม ทะเลสีส้ม อูฐสีส้ม

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ของโซลูชัน:

1) เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ และด้วยความช่วยเหลือ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เรามาถึงข้อสรุปว่าเส้นตั้งฉากกันจริงๆ: .

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติได้ ง่ายกว่านี้อีก

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่ .

การทดสอบนี้ทำได้ง่ายด้วยวาจา

ตัวอย่างที่ 7

หาจุดตัดของเส้นตั้งฉากถ้าทราบสมการ และช่วงเวลา

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง มีหลายการกระทำในปัญหา ดังนั้นจึงสะดวกในการกำหนดวิธีแก้ปัญหาแบบจุดต่อจุด

เป็นของเรา การเดินทางที่สนุกสนานดำเนินต่อไป:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

ตรงหน้าเราเป็นแม่น้ำสายตรง หน้าที่ของเราคือไปให้ถึงแม่น้ำด้วยเส้นทางที่สั้นที่สุด ไม่มีสิ่งกีดขวางและเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือการเคลื่อนที่ไปในแนวตั้งฉาก นั่นคือระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของส่วนตั้งฉาก

ระยะทางในเรขาคณิตมักเขียนแทนด้วยอักษรกรีก "rho" ตัวอย่างเช่น: – ระยะห่างจากจุด “em” ถึงเส้นตรง “de”

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด แสดงโดยสูตร

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

สารละลาย: สิ่งที่คุณต้องทำคือแทนที่ตัวเลขลงในสูตรอย่างระมัดระวังแล้วดำเนินการคำนวณ:

คำตอบ:

มาวาดรูปกันเถอะ:

ระยะทางที่พบจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงคือความยาวของส่วนสีแดงพอดี หากคุณวาดภาพบนกระดาษตาหมากรุกในระดับ 1 หน่วย = 1 ซม. (2 เซลล์) จากนั้นสามารถวัดระยะทางด้วยไม้บรรทัดธรรมดา

ลองพิจารณางานอื่นโดยใช้รูปวาดเดียวกัน:

ภารกิจคือการหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับเส้นตรง - ฉันแนะนำให้ทำตามขั้นตอนด้วยตัวเอง แต่ฉันจะร่างอัลกอริทึมการแก้ปัญหาด้วยผลลัพธ์ระดับกลาง:

1) ค้นหาเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง

2) ค้นหาจุดตัดของเส้น: .

การกระทำทั้งสองจะกล่าวถึงโดยละเอียดในบทเรียนนี้

3) จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน เรารู้พิกัดของตรงกลางและปลายด้านหนึ่ง โดย สูตรสำหรับพิกัดจุดกึ่งกลางของส่วนเราพบ

เป็นความคิดที่ดีที่จะตรวจสอบว่าระยะทางเป็น 2.2 หน่วยด้วย

ความยากลำบากอาจเกิดขึ้นในการคำนวณที่นี่ แต่เครื่องคิดเลขขนาดเล็กเป็นตัวช่วยที่ดีเยี่ยมในหอคอย ทำให้คุณสามารถคำนวณได้ เศษส่วนทั่วไป- ฉันเคยแนะนำคุณหลายครั้งแล้วและจะแนะนำคุณอีกครั้ง

จะหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้นได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 9

หาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้น

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งให้คุณตัดสินใจด้วยตัวเอง ฉันจะให้คำแนะนำเล็กน้อยแก่คุณ: มีหลายวิธีในการแก้ปัญหานี้อย่างไม่สิ้นสุด การซักถามในตอนท้ายของบทเรียน แต่ควรลองเดาด้วยตัวเองดีกว่า ฉันคิดว่าความฉลาดของคุณได้รับการพัฒนาอย่างดี

มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

ทุกมุมเป็นวงกบ:


ในเรขาคณิต มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะถือเป็นมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจะตามมาโดยอัตโนมัติเพื่อไม่ให้มุมป้าน ในรูป มุมที่ระบุโดยส่วนโค้งสีแดงไม่ถือเป็นมุมระหว่างเส้นตัดกัน และเพื่อนบ้าน "สีเขียว" ของเขาหรือ มุ่งเน้นในทางตรงกันข้ามมุม "ราสเบอร์รี่"

ถ้าเส้นตั้งฉาก มุมทั้ง 4 มุมก็สามารถถือเป็นมุมระหว่างมุมเหล่านั้นได้

มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรก ทิศทางของการ "เลื่อน" มุมนั้นมีความสำคัญขั้นพื้นฐาน ประการที่สอง มุมที่เป็นลบจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายลบ เช่น ถ้า

ทำไมฉันถึงบอกคุณเรื่องนี้? ดูเหมือนว่าเราจะผ่านแนวคิดเรื่องมุมตามปกติได้ ความจริงก็คือสูตรที่ใช้หามุมสามารถให้ผลลัพธ์เชิงลบได้ง่าย และสิ่งนี้ไม่ควรทำให้คุณประหลาดใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบก็ไม่ได้แย่ไปกว่านั้น และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในภาพวาด สำหรับมุมลบ ต้องแน่ใจว่าได้ระบุทิศทางด้วยลูกศร (ตามเข็มนาฬิกา)

จะหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?มีสองสูตรการทำงาน:

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหามุมระหว่างเส้น

สารละลายและ วิธีที่หนึ่ง

พิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการ ปริทัศน์:

ถ้าตรง ไม่ตั้งฉาก, ที่ มุ่งเน้นมุมระหว่างมุมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

ให้เราใส่ใจกับตัวส่วนอย่างใกล้ชิด - ตรงนี้เอง ผลิตภัณฑ์สเกลาร์กำกับเวกเตอร์ของเส้นตรง:

ถ้า แล้วตัวหารของสูตรจะกลายเป็นศูนย์ และเวกเตอร์จะตั้งฉากและเส้นจะตั้งฉาก นั่นคือสาเหตุว่าทำไมจึงมีข้อสงวนเกี่ยวกับความไม่ตั้งฉากของเส้นตรงในสูตร

จากที่กล่าวมาข้างต้น จะสะดวกในการจัดทำโซลูชันอย่างเป็นทางการในสองขั้นตอน:

1) ลองคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
ซึ่งหมายความว่าเส้นไม่ตั้งฉาก

2) ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงโดยใช้สูตร:

โดยใช้ ฟังก์ชันผกผันหามุมเองก็ง่าย ในกรณีนี้ เราใช้ความคี่ของอาร์กแทนเจนต์ (ดู กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น):

คำตอบ:

ในคำตอบของคุณ เราจะระบุค่าที่แน่นอนตลอดจนค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งองศาและเรเดียน) ซึ่งคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ลบ ลบ ไม่ใช่เรื่องใหญ่อะไร นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

ไม่น่าแปลกใจที่มุมกลายเป็นทิศทางเชิงลบเพราะในคำชี้แจงปัญหาตัวเลขแรกเป็นเส้นตรงและการ "คลายเกลียว" ของมุมเริ่มต้นด้วยอย่างแม่นยำ

หากคุณต้องการได้มุมบวกจริงๆ คุณต้องสลับเส้น นั่นคือ นำสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง และหาสัมประสิทธิ์จากสมการแรก ในระยะสั้นคุณต้องเริ่มต้นด้วยโดยตรง .

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง ในเรขาคณิตเชิงพรรณนา จะมีการกำหนดแบบกราฟิกโดยใช้อัลกอริธึมที่ให้ไว้ด้านล่าง

อัลกอริทึม

1. เส้นตรงจะถูกย้ายไปยังตำแหน่งที่จะขนานกับระนาบการฉายภาพใดๆ เพื่อจุดประสงค์นี้จึงใช้วิธีการเปลี่ยนการฉายภาพมุมฉาก
2. จากจุดหนึ่ง เส้นตั้งฉากจะถูกลากไปยังเส้น โครงสร้างนี้ใช้ทฤษฎีบทการฉายภาพ มุมฉาก.
3. ความยาวของเส้นตั้งฉากถูกกำหนดโดยการเปลี่ยนเส้นโครงหรือการใช้วิธีสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปต่อไปนี้แสดงการวาดที่ซับซ้อนของจุด M และเส้น b ซึ่งกำหนดโดย CD ส่วน คุณต้องค้นหาระยะห่างระหว่างพวกเขา

ตามอัลกอริทึมของเรา สิ่งแรกที่ต้องทำคือย้ายเส้นไปยังตำแหน่งที่ขนานกับระนาบการฉายภาพ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าหลังจากทำการเปลี่ยนแปลงแล้ว ระยะห่างที่แท้จริงระหว่างจุดและเส้นไม่ควรเปลี่ยนแปลง ด้วยเหตุนี้จึงสะดวกที่จะใช้วิธีการเปลี่ยนเครื่องบินซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ในอวกาศ

ผลลัพธ์ของการก่อสร้างระยะแรกแสดงไว้ด้านล่าง รูปนี้แสดงให้เห็นว่าระนาบส่วนหน้าเพิ่มเติม P 4 ขนานกับ b อย่างไร ในระบบใหม่ (P 1, P 4) จุด C"" 1, D"" 1, M"" 1 อยู่ที่ระยะห่างจากแกน X 1 เท่ากับ C"", D"", M"" จาก แกน X

ดำเนินการส่วนที่สองของอัลกอริทึมจาก M"" 1 เราลดตั้งฉาก M"" 1 N"" 1 ไปที่เส้นตรง b"" 1 เนื่องจากมุมขวา MND ระหว่าง b และ MN ถูกฉายลงบนระนาบ P 4 ขนาดเต็ม. ใช้สายสื่อสารกำหนดตำแหน่งของจุด N" และดำเนินการฉายภาพ M"N" ของส่วน MN

บน ขั้นตอนสุดท้ายคุณต้องกำหนดขนาดของส่วน MN จากการฉายภาพ M"N" และ M"" 1 N"" 1 สำหรับสิ่งนี้เรากำลังสร้าง สามเหลี่ยมมุมฉาก M"" 1 N"" 1 N 0 ซึ่งขา N"" 1 N 0 เท่ากับความแตกต่าง (YM 1 – Y N 1) ของระยะห่างของจุด M" และ N" จากแกน X 1 ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก M"" 1 N 0 ของสามเหลี่ยม M"" 1 N"" 1 N 0 สอดคล้องกับระยะทางที่ต้องการจาก M ถึง b

วิธีแก้ปัญหาที่สอง

• ขนานไปกับแผ่น CD เราแนะนำระนาบส่วนหน้าใหม่ P 4 มันตัดกัน P 1 ตามแกน X 1 และ X 1 ∥C"D" ตามวิธีการเปลี่ยนเครื่องบินเรากำหนดเส้นโครงของจุด C"" 1, D"" 1 และ M"" 1 ดังแสดงในรูป
• ตั้งฉากกับ C"" 1 D"" 1 เราสร้างระนาบแนวนอนเพิ่มเติม P 5 โดยที่เส้นตรง b ถูกฉายไปที่จุด C" 2 = b" 2.
• ระยะห่างระหว่างจุด M และเส้น b ถูกกำหนดโดยความยาวของส่วน M" 2 C" 2 ซึ่งระบุด้วยสีแดง

งานที่คล้ายกัน:

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมได้รับการแก้ไขในพื้นที่สามมิติ อ็อกซิซ, จุดที่กำหนด , เส้นตรง กและคุณต้องหาระยะห่างจากจุดนั้น กเป็นเส้นตรง ก.

เราจะแสดงสองวิธีที่ช่วยให้คุณคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งในอวกาศ ในกรณีแรก การหาระยะทางจากจุดหนึ่ง ม 1 เป็นเส้นตรง กลงมาเพื่อหาระยะห่างจากจุด ม 1 ตรงประเด็น ชม 1 , ที่ไหน ชม 1 - ฐานของฉากตั้งฉากหลุดจากจุดหนึ่ง ม 1 โดยตรง ก- ในกรณีที่สอง เราจะหาระยะห่างจากจุดถึงระนาบเป็นความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

มาเริ่มกันเลย

วิธีแรกในการค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงในอวกาศ

เนื่องจากตามคำจำกัดความของระยะห่างจากจุดหนึ่ง ม 1 เป็นเส้นตรง กคือความยาวของเส้นตั้งฉาก ม 1 ชม 1 แล้วจึงกำหนดพิกัดของจุดนั้น ชม 1 เราสามารถคำนวณระยะทางที่ต้องการเป็นระยะทางระหว่างจุดได้ และ ตามสูตร

ดังนั้นปัญหาจึงลงมาอยู่ที่การหาพิกัดของฐานตั้งฉากที่สร้างจากจุดนั้น ม 1 เป็นเส้นตรง ก- มันค่อนข้างง่ายที่จะทำ: ระยะเวลา ชม 1 คือจุดตัดของเส้น กโดยมีเครื่องบินแล่นผ่านจุดหนึ่ง ม 1 ตั้งฉากกับเส้น ก.

เพราะฉะนั้น, อัลกอริธึมที่ช่วยให้คุณกำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่งได้ เป็นเส้นตรงก ในที่ว่าง, เป็น:

วิธีที่สองช่วยให้คุณหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้น a ในอวกาศได้

เนื่องจากในคำชี้แจงปัญหาเราได้รับเส้นตรง กจากนั้นเราก็สามารถหาเวกเตอร์ทิศทางของมันได้ และพิกัดของจุดใดจุดหนึ่ง ม 3 นอนอยู่บนเส้นตรง ก- จากนั้นตามพิกัดของจุดและ เราสามารถคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ได้: (หากจำเป็น ให้อ้างอิงถึงพิกัดบทความของเวกเตอร์ผ่านพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด)

ลองใส่เวกเตอร์ไว้ข้างกัน และจากจุดนั้น ม 3 และสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานบนพวกมัน ในสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เราวาดความสูง ม 1 ชม 1 .

ส่วนสูงอย่างเห็นได้ชัด ม 1 ชม 1 ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นจะมีค่าเท่ากับระยะห่างที่ต้องการจากจุดนั้น ม 1 เป็นเส้นตรง ก- มาหากันเถอะ

ด้านหนึ่งคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ให้เราแสดงแทนมัน) ส) สามารถหาได้จากผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และตามสูตร - ในทางกลับกัน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านและความสูงของมัน นั่นคือ , ที่ไหน - ความยาวเวกเตอร์ เท่ากับความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ต้องการ ดังนั้นระยะทางจากจุดที่กำหนด ม 1 สู่เส้นตรงที่กำหนด กหาได้จากความเท่าเทียมกัน ยังไง .

ดังนั้น, เพื่อหาระยะห่างจากจุดหนึ่ง เป็นเส้นตรงก ในพื้นที่ที่ต้องการ

การแก้ปัญหาการหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นที่กำหนดในอวกาศ

ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หาระยะทางจากจุด เป็นเส้นตรง .

สารละลาย.

วิธีแรก.

ลองเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดนั้นกัน ม 1 ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด:

ค้นหาพิกัดของจุด ชม 1 - จุดตัดของเครื่องบินและเส้นตรงที่กำหนด ในการทำเช่นนี้ ให้เราเปลี่ยนจากสมการมาตรฐานของเส้นตรงไปเป็นสมการของระนาบที่ตัดกันสองอัน

หลังจากนั้นเราจะแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการของแครมเมอร์:

ดังนั้น, .

ยังคงคำนวณระยะทางที่ต้องการจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งเป็นระยะทางระหว่างจุด และ : .

วิธีที่สอง.

ตัวเลขในตัวส่วนของเศษส่วนในสมการมาตรฐานของเส้นแสดงถึงพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้นั่นคือ - เวกเตอร์โดยตรง - ลองคำนวณความยาวของมัน: .

ตรงชัดเจน ผ่านจุดหนึ่ง แล้วเวกเตอร์ที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุด และสิ้นสุดที่จุดหนึ่ง มี - ลองหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์กัน และ :
แล้วความยาวของผลคูณเวกเตอร์นี้คือ .

ตอนนี้เรามีข้อมูลทั้งหมดเพื่อใช้สูตรในการคำนวณระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังระนาบที่กำหนด: .

คำตอบ:

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นในอวกาศ

สูตรคำนวณระยะทางจากจุดถึงเส้นบนระนาบ

หากกำหนดสมการของเส้น Ax + By + C = 0 ดังนั้นระยะทางจากจุด M(M x , M y) ถึงเส้นตรงสามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้

ตัวอย่างปัญหาในการคำนวณระยะทางจากจุดถึงเส้นบนระนาบ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง 3x + 4y - 6 = 0 และจุด M(-1, 3)

สารละลาย.ลองแทนค่าสัมประสิทธิ์ของเส้นและพิกัดของจุดลงในสูตร

คำตอบ:ระยะห่างจากจุดถึงเส้นคือ 0.6

สมการของระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์ สมการทั่วไปของระนาบ

เรียกว่าเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด เวกเตอร์ปกติ (หรือเรียกสั้น ๆ ว่า ปกติ ) สำหรับเครื่องบินลำนี้

ให้สิ่งต่อไปนี้ได้รับในพื้นที่พิกัด (ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม):

คะแนน ;

b) เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (รูปที่ 4.8, ก)

คุณต้องสร้างสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดหนึ่ง ตั้งฉากกับเวกเตอร์ สิ้นสุดการพิสูจน์..

ตอนนี้เรามาพิจารณากัน หลากหลายชนิดสมการของเส้นตรงบนระนาบ

1) สมการทั่วไปของระนาบป .

จากการได้มาของสมการจึงเป็นไปตามนั้นพร้อมๆ กัน ก, บีและ คไม่เท่ากับ 0 (อธิบายว่าทำไม)

จุดนั้นเป็นของเครื่องบิน ปเฉพาะในกรณีที่พิกัดของมันเป็นไปตามสมการของระนาบ ขึ้นอยู่กับอัตราต่อรอง ก, บี, คและ ดีเครื่องบิน ปครอบครองตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่ง:

- ระนาบผ่านจุดกำเนิดของระบบพิกัด - ระนาบไม่ผ่านจุดกำเนิดของระบบพิกัด

- ระนาบขนานกับแกน เอ็กซ์,

เอ็กซ์,

- ระนาบขนานกับแกน ย,

- ระนาบไม่ขนานกับแกน ย,

- ระนาบขนานกับแกน ซี,

- ระนาบไม่ขนานกับแกน ซี.

พิสูจน์ข้อความเหล่านี้ด้วยตัวคุณเอง

สมการ (6) สามารถหาได้จากสมการ (5) อย่างง่ายดาย แท้จริงแล้วให้ประเด็นอยู่บนเครื่องบิน ป- จากนั้นพิกัดของมันก็เป็นไปตามสมการ เมื่อลบสมการ (7) ออกจากสมการ (5) และการจัดกลุ่มเงื่อนไขเราจะได้สมการ (6) ตอนนี้ให้เราพิจารณาเวกเตอร์สองตัวที่มีพิกัดตามลำดับ จากสูตร (6) ผลคูณสเกลาร์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเวกเตอร์จึงตั้งฉากกับเวกเตอร์ จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สุดท้ายอยู่ที่จุดที่อยู่ในระนาบตามลำดับ ป- ดังนั้นเวกเตอร์จึงตั้งฉากกับระนาบ ป- ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ ปซึ่งมีสมการทั่วไป กำหนดโดยสูตร การพิสูจน์สูตรนี้คล้ายคลึงกับการพิสูจน์สูตรสำหรับระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงโดยสิ้นเชิง (ดูรูปที่ 2)
ข้าว. 2. หาสูตรระยะห่างระหว่างระนาบกับเส้นตรง

แท้จริงแล้วระยะทาง งระหว่างเส้นตรงกับระนาบจะเท่ากัน

จุดไหนนอนอยู่บนเครื่องบิน จากนี้ไปก็เหมือนกับการบรรยายที่ 11 จะได้สูตรข้างต้นมา ระนาบสองระนาบจะขนานกันถ้าเวกเตอร์ตั้งฉากขนานกัน จากตรงนี้ เราจะได้เงื่อนไขของการขนานกันของระนาบสองระนาบ - อัตราต่อรอง สมการทั่วไปเครื่องบิน ระนาบสองระนาบตั้งฉากถ้าเวกเตอร์ปกติตั้งฉาก ดังนั้นเราจึงได้เงื่อนไขสำหรับตั้งฉากของระนาบทั้งสองหากทราบสมการทั่วไปของระนาบทั้งสอง

มุม ฉระหว่างเครื่องบินสองลำ เท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ปกติ (ดูรูปที่ 3) และสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร
การกำหนดมุมระหว่างระนาบ

(11)

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบและวิธีการค้นหา

ระยะทางจากจุดถึง เครื่องบิน– ความยาวของเส้นตั้งฉากตกลงจากจุดหนึ่งไปยังระนาบนี้ มีอย่างน้อยสองวิธีในการค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ: เรขาคณิตและ พีชคณิต.

ด้วยวิธีทางเรขาคณิตก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่าตั้งฉากจากจุดหนึ่งไปยังระนาบใด: บางทีมันอาจอยู่ในระนาบที่สะดวก, ความสูงในสามเหลี่ยมที่สะดวก (หรือไม่สะดวกนัก) หรือบางทีตั้งฉากนี้โดยทั่วไปคือความสูงในปิรามิดบางตัว

หลังจากขั้นตอนแรกและซับซ้อนที่สุดนี้ ปัญหาจะแบ่งออกเป็นปัญหาพลานิเมตริกเฉพาะหลายประการ (อาจอยู่ในระนาบที่ต่างกัน)

ด้วยวิธีพีชคณิตการหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ คุณต้องเข้าสู่ระบบพิกัด ค้นหาพิกัดของจุดและสมการของระนาบ จากนั้นใช้สูตรสำหรับระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

มหาวิทยาลัยเทคนิคทางทะเลแห่งรัฐเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

แผนก คอมพิวเตอร์กราฟิกและการสนับสนุนข้อมูล

บทเรียนที่ 3

งานภาคปฏิบัติครั้งที่ 3

การกำหนดระยะห่างจากจุดถึงเส้นตรง

คุณสามารถกำหนดระยะห่างระหว่างจุดและเส้นตรงได้โดยดำเนินการก่อสร้างต่อไปนี้ (ดูรูปที่ 1):

· จากจุด กับลดตั้งฉากลงให้เป็นเส้นตรง ก;

· ทำเครื่องหมายจุด ถึงจุดตัดของเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง

วัดความยาวของส่วน แคนซัสโดยจุดเริ่มต้นคือจุดที่กำหนด และจุดสิ้นสุดคือจุดตัดที่ทำเครื่องหมายไว้

รูปที่ 1. ระยะทางจากจุดถึงเส้น

พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาประเภทนี้คือกฎการฉายภาพมุมขวา: มุมขวาจะถูกฉายโดยไม่มีการบิดเบือนหากมีด้านใดด้านหนึ่งขนานกับระนาบการฉายภาพ(เช่น ครองตำแหน่งส่วนตัว) เริ่มต้นด้วยกรณีดังกล่าวและพิจารณาโครงสร้างเพื่อกำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่ง กับไปจนถึงส่วนของเส้นตรง เอบี.

ไม่มีกรณีทดสอบในงานนี้ มีแต่ตัวเลือกสำหรับการดำเนินการ งานแต่ละอย่างแสดงใน ตารางที่ 1 และตารางที่ 2- วิธีแก้ปัญหาอธิบายไว้ด้านล่าง และโครงสร้างที่เกี่ยวข้องจะแสดงในรูปที่ 2

1. การกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นใดเส้นหนึ่ง

ขั้นแรก มีการสร้างเส้นโครงของจุดและส่วนต่างๆ การฉายภาพ A1B1ขนานกับแกน เอ็กซ์- ซึ่งหมายความว่าส่วน เอบีขนานไปกับเครื่องบิน ป2- ถ้าจากจุด กับวาดตั้งฉากกับ เอบีจากนั้นมุมขวาจะถูกฉายลงบนเครื่องบินโดยไม่มีการบิดเบือน ป2- ซึ่งจะทำให้คุณสามารถวาดเส้นตั้งฉากจากจุดหนึ่งได้ ค2เพื่อฉายภาพ A2B2.

เมนูแบบเลื่อนลง การวาดส่วน (วาด- เส้น) . วางเคอร์เซอร์ไว้ที่จุด ค2และแก้ไขให้เป็นจุดแรกของส่วน เลื่อนเคอร์เซอร์ไปในทิศทางของเส้นปกติไปยังส่วน A2B2และแก้ไขจุดที่สองทันทีที่คำใบ้ปรากฏขึ้น ปกติ (ตั้งฉาก) - ทำเครื่องหมายจุดที่สร้าง K2- เปิดใช้งานโหมด ออร์โธ(ออร์โธ) และจากจุดนั้น K2ลากเส้นเชื่อมต่อแนวตั้งจนกระทั่งตัดกับเส้นโครง เอ1 บี1- กำหนดจุดตัดโดย K1- จุด ถึงนอนอยู่บนส่วนนั้น เอบี, คือจุดตัดของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดนั้น กับด้วยส่วน เอบี- ดังนั้นส่วน แคนซัสคือระยะทางที่ต้องการจากจุดถึงเส้น

จากการก่อสร้างจะเห็นได้ชัดเจนว่าส่วนนี้ แคนซัสครองตำแหน่งทั่วไปดังนั้นการคาดการณ์จึงบิดเบี้ยว เมื่อพูดถึงระยะทางเรามักจะหมายถึง มูลค่าที่แท้จริงของกลุ่ม,แสดงระยะห่าง. ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องค้นหามูลค่าที่แท้จริงของส่วนนั้น แคนซัสโดยการหมุนไปยังตำแหน่งเฉพาะ เช่น แคนซัส|| ป1- ผลลัพธ์ของการก่อสร้างแสดงในรูปที่ 2

จากโครงสร้างที่แสดงในรูปที่ 2 เราสามารถสรุปได้: ตำแหน่งเฉพาะของเส้น (ส่วนนั้นขนานกัน ป1หรือ ป2) ช่วยให้คุณสร้างการฉายภาพระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นได้อย่างรวดเร็ว แต่จะบิดเบี้ยว

รูปที่ 2. การกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นใดเส้นหนึ่ง

2. การกำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง ตำแหน่งทั่วไป.

ไม่ได้เข้าเสมอไป สภาพเริ่มต้นส่วนนั้นครองตำแหน่งเฉพาะ ด้วยตำแหน่งเริ่มต้นทั่วไป การก่อสร้างต่อไปนี้จะดำเนินการเพื่อกำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง:

ก) โดยใช้วิธีการแปลงรูปวาด แปลงส่วนจากตำแหน่งทั่วไปไปเป็นตำแหน่งเฉพาะ ซึ่งจะช่วยให้สามารถสร้างการฉายภาพระยะทาง (บิดเบี้ยว)

b) ใช้วิธีการอีกครั้งแปลงส่วนที่สอดคล้องกับระยะทางที่ต้องการไปยังตำแหน่งเฉพาะ - เราจะได้การฉายภาพระยะทางในขนาดเท่ากับของจริง

พิจารณาลำดับการก่อสร้างเพื่อกำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่ง กไปยังส่วนที่อยู่ในตำแหน่งทั่วไป ดวงอาทิตย์(รูปที่ 3)

ในการหมุนครั้งแรก จำเป็นต้องได้รับตำแหน่งเฉพาะของเซ็กเมนต์ ในค- เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ในเลเยอร์ ทีเอ็มอาร์จำเป็นต้องเชื่อมต่อจุดต่างๆ ที่ 2, ค2และ A2- โดยใช้คำสั่ง เปลี่ยน-หมุน (แก้ไข – หมุน) สามเหลี่ยม В2С2А2หมุนรอบจุดหนึ่ง ค2ไปยังตำแหน่งที่ฉายภาพใหม่ B2*C2จะวางในแนวนอนอย่างเคร่งครัด (จุดที่ กับไม่มีการเคลื่อนไหว ดังนั้นการฉายภาพใหม่จึงสอดคล้องกับภาพเดิมและการกำหนดตำแหน่ง ค2*และ ค1*อาจไม่แสดงบนภาพวาด) เป็นผลให้ได้รับการประมาณการใหม่ของกลุ่มนี้ B2*C2และคะแนน: A2*.ต่อไปจากจุด A2*และ ที่ 2*แนวตั้งจะดำเนินการและจากจุดต่างๆ ใน 1และ A1สายสื่อสารแนวนอน จุดตัดของเส้นที่เกี่ยวข้องจะกำหนดตำแหน่งของจุดของการฉายภาพแนวนอนใหม่: ส่วน B1*C1และจุด A1*.

ในตำแหน่งเฉพาะที่เป็นผลลัพธ์ เราสามารถสร้างเส้นโครงระยะทางสำหรับสิ่งนี้: จากจุดนั้น A1*ปกติที่จะ B1*C1จุดตัดกันของพวกเขาคือ K1*.เส้นเชื่อมต่อแนวตั้งจะถูกลากจากจุดนี้จนกระทั่งมันตัดกับเส้นโครง B2*C2.มีการทำเครื่องหมายจุดหนึ่ง K2*.ส่งผลให้สามารถคาดการณ์ส่วนงานได้ อลาสก้าซึ่งเป็นระยะห่างที่ต้องการจากจุดนั้น กไปจนถึงส่วนของเส้นตรง ดวงอาทิตย์.

ต่อไป จำเป็นต้องสร้างการฉายภาพระยะทางในสภาวะเริ่มต้น การทำเช่นนี้จากจุด K1*สะดวกในการวาดเส้นแนวนอนจนกระทั่งตัดกับเส้นโครง В1С1และทำเครื่องหมายจุดตัด K1.จากนั้นจะมีการสร้างจุด K2ในการฉายภาพด้านหน้าของส่วนและการฉายภาพจะดำเนินการ A1K1และ A2K2.จากผลของการก่อสร้างทำให้ได้รับการประมาณการระยะทาง แต่ทั้งในตำแหน่งเริ่มต้นและในตำแหน่งบางส่วนใหม่ของเซ็กเมนต์ ดวงอาทิตย์,ส่วนของเส้น อลาสก้าครองตำแหน่งทั่วไปและสิ่งนี้นำไปสู่ความจริงที่ว่าการคาดการณ์ทั้งหมดบิดเบี้ยว

ในการหมุนรอบที่สอง จำเป็นต้องหมุนส่วนนั้น อลาสก้าไปยังตำแหน่งเฉพาะซึ่งจะทำให้เราสามารถกำหนดค่าที่แท้จริงของระยะทาง - การฉายภาพได้ A2*K2**.ผลลัพธ์ของการก่อสร้างทั้งหมดแสดงไว้ในรูปที่ 3

ภารกิจที่ 3-1 กับให้เป็นเส้นตรงของตำแหน่งเฉพาะที่ระบุโดยส่วนงาน เอบี- ให้คำตอบเป็น มม (ตารางที่ 1).ถอดเลนส์ฉายภาพออก

ตารางที่ 1

ภารกิจที่ 3-2ค้นหาระยะทางที่แท้จริงจากจุดหนึ่ง มเป็นเส้นตรงในตำแหน่งทั่วไปที่กำหนดโดยส่วนนั้น ส.อ- ให้คำตอบเป็น มม (ตารางที่ 2)

ตารางที่ 2

การตรวจสอบและผ่านภารกิจที่ 3 ที่เสร็จสมบูรณ์