ข้อผิดพลาดในการวัดทางอ้อมถือเป็นกฎการเพิ่มสำหรับข้อผิดพลาดเหล่านั้น การคำนวณข้อผิดพลาดของการวัดทางอ้อม

ผลลัพธ์ของการวัดโดยตรงไม่ใช่มูลค่าที่แท้จริง เอ็กซ์ปริมาณที่วัดได้ และชุดของ nค่านิยม - ปล่อยให้มันตอนนี้

เมื่อสรุปความเสมอภาคสุดท้ายที่เราได้รับ

(7)

ที่ไหน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่วัดได้ - ดังนั้น,

(8)

ผลลัพธ์ที่สำคัญมากตามมาด้วยผลลัพธ์ง่ายๆ นี้ จริงๆ แล้วเมื่อไร.

และ
.

ซึ่งหมายความว่าสำหรับมิติจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด
และด้วยเหตุนั้น ณ ขอบเขตจำกัด nยิ่งจำนวนการวัดมากเท่าใด ผลลัพธ์ก็จะยิ่งเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมากขึ้นเท่านั้น นอกจากนี้ยังเป็นไปตามนั้นเมื่อทำการประเมิน ∆ เอ็กซ์เช่น
ขอแนะนำให้ใช้ .

ในการฝึกฝน nแน่นอนและ
- งานของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับข้อผิดพลาดแบบสุ่มรวมถึงการประมาณค่าช่วงเวลา

ซึ่งมีค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ เรียกว่าช่วง (9) ช่วงความมั่นใจและค่า
–ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของผลลัพธ์ของชุดการวัดทฤษฎีการประเมินผล ∆ เอ็กซ์ค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นจะพิจารณาเฉพาะผลลัพธ์หลักเท่านั้น ก่อนอื่นก็ควรสังเกตว่าเนื่องจาก เอ็กซ์– ตัวแปรสุ่ม, ข้อผิดพลาด ∆ เอ็กซ์สามารถกำหนดได้เพียงระดับเดียวเท่านั้น ความน่าเชื่อถือ α ซึ่งเรียกอีกอย่างว่า ความน่าจะเป็นของความมั่นใจความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นคือความน่าจะเป็นที่มูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ เอ็กซ์อยู่ในช่วงความเชื่อมั่น (9) ถ้าใส่ α =1 (100%) จากนั้นสิ่งนี้จะสอดคล้องกับเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ เช่น ความน่าจะเป็นนั้น เอ็กซ์รับค่าบางอย่างในช่วงเวลา (
- โดยที่
- แน่นอนว่าทางเลือกของความน่าเชื่อถือนี้ α ไม่เหมาะสม ตอนเล็กๆ α ช่วงความมั่นใจ ∆ เอ็กซ์ถูกกำหนดด้วยความน่าเชื่อถือต่ำ ต่อไปนี้เราจะถือว่า α =0.90 หรือ 0.95 ช่วงความเชื่อมั่นและความน่าเชื่อถือมีความสัมพันธ์กัน ในการประมาณขอบเขตของช่วงความเชื่อมั่น นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ W. Gosset (ผู้ตีพิมพ์ผลงานของเขาโดยใช้นามแฝง Student) ได้แนะนำค่าสัมประสิทธิ์ในปี 1908:

(10)

เท่ากับอัตราส่วนข้อผิดพลาด ∆ เอ็กซ์ หมายถึงข้อผิดพลาดกำลังสอง*

(11)

ค่าสัมประสิทธิ์ ขึ้นอยู่กับความน่าเชื่อถือ α รวมถึงจำนวนการวัดด้วย nและถูกเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ของนักเรียนค่าสัมประสิทธิ์นี้จัดทำเป็นตาราง (ดูภาคผนวก 1) ดังนั้นจึงทำการคำนวณ และกำหนดความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่น α การค้นหาข้อผิดพลาดแบบสุ่มไม่ใช่เรื่องยาก:

(12)

การคำนวณข้อผิดพลาดของการวัดทางอ้อม

ในการวัดทางอ้อม หมายถึง ปริมาณที่วัดได้ ฉพบได้จากการพึ่งพาการทำงาน:

ที่ไหน x, ย, z– ผลลัพธ์ของการวัดโดยตรง สูตรสำหรับ ∆ ฉสามารถรับได้โดยการแทนที่ค่าดิฟเฟอเรนเชียลใน (2) ด้วยข้อผิดพลาดและใช้เงื่อนไขแบบโมดูโลทั้งหมด

(13)

แนะนำให้ใช้ความสัมพันธ์ (13) สำหรับการประมาณค่าข้อผิดพลาด ∆ ฉเกิดจากข้อผิดพลาดของเครื่องมือของค่า x, y, z,... หากต้องการประมาณค่าข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดแบบสุ่มในการวัดโดยตรง แนะนำให้ใช้อัตราส่วนต่อไปนี้:

(14)

ควรสังเกตว่าสูตร (13) และ (14) นำไปสู่ผลลัพธ์ที่เกือบจะเหมือนกัน อนุพันธ์ใน (13) และ (14) ใช้ค่าเฉลี่ยคือ ตามค่าที่วัดได้ของการโต้แย้ง

ทำหน้าที่บ่อยมาก ฉแสดงด้วยการพึ่งพาอำนาจในการโต้แย้ง

(15)

โดยที่ c, n, m และ p เป็นค่าคงที่ กรณีพิเศษของสูตร (15) คือความสัมพันธ์
,
และอื่น ๆ.

ออกกำลังกาย- แสดงว่าสำหรับฟังก์ชันของแบบฟอร์ม (15) สูตร (13) และ (14) อยู่ในรูปแบบ:

(13)

(14)

จากความสัมพันธ์ (13) และ (14) ตามมาว่าสำหรับฟังก์ชันกำลัง การคำนวณข้อผิดพลาดจะง่ายขึ้นอย่างมาก และขอแนะนำให้ค้นหาข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ก่อนซึ่งแสดงผ่านข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของการวัดโดยตรง จากนั้นหาค่าสัมบูรณ์ ข้อผิดพลาด

(16)

ภายใต้ เข้าใจว่าเป็นฟังก์ชันของค่าเฉลี่ย (วัด) ของข้อโต้แย้ง

.

อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณข้อผิดพลาด

- สำหรับการวัดโดยตรง

1. คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลลัพธ์
ชุดของ nการวัด:

ความคิดเห็น:เมื่อคำนวณ สะดวกกว่าในการเริ่มจากสูตร:

ที่ไหน - ค่าไหนก็สะดวกใกล้ตัว .

2. ค้นหาความเบี่ยงเบนของการวัดแต่ละรายการจากค่าเฉลี่ย

ความคิดเห็นที่
สามารถใส่ได้
และนับ ตามสูตร

5. ถ้า
, ดังนั้นข้อผิดพลาดแบบสุ่มจึงไม่สามารถนับได้

6. มิฉะนั้น ให้ตั้งค่าความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่น และหาค่าสัมประสิทธิ์นักเรียนจากตาราง .

หมายเหตุ 1.หากเครื่องมือเกิดข้อผิดพลาด
มีลำดับความสำคัญเท่ากันกับ จากนั้นสูตรจะพบข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของผลลัพธ์ของชุดการวัด:

ที่ไหน
เกือบจะมีคุณภาพ
คุณสามารถรับค่าตารางได้
สอดคล้องกับค่าที่ใหญ่ที่สุดที่ให้ไว้ ป(ตัวอย่างเช่น, n=500 ) .

โน้ต 2.สำหรับการวัดจำนวนมาก
สามารถใส่ได้

ที่ไหน
.

8. นำเสนอผลการวัดในรูปแบบ:

- สำหรับการวัดทางอ้อม

ข้อผิดพลาด
การวัดทางอ้อมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรใดสูตรหนึ่ง (13), (14), (13*), (14*) สองสูตรสุดท้ายใช้ได้กับการพึ่งพากฎกำลัง และความสัมพันธ์ (13) และ (14) มีลักษณะทั่วไป

สรุปความสัมพันธ์สำหรับการคำนวณข้อผิดพลาดในการวัดทางอ้อม
สำหรับการพึ่งพาการทำงานอย่างง่ายบางอย่างจะแสดงอยู่ในตาราง

	สูตรคำนวณข้อผิดพลาด
	;

ตัวอย่าง.ให้คำนวณความร้อนจูล Q ตามสูตร

เนื่องจากเป็นการพึ่งพาอาศัยกฎกำลัง จึงแนะนำให้ใช้สูตร (13*)

กฎการนำเสนอผลการวัดและข้อผิดพลาด

ความไม่แน่นอนสามารถประมาณได้เท่านั้น ดังนั้นจึงมักจะเพียงพอที่จะระบุความไม่แน่นอนให้กับตัวเลขที่มีนัยสำคัญเพียงตัวเดียว ตัวอย่างเช่น Δm=0.2 ก.
ง. การบันทึก ต = 3.0 กหมายถึง การวัดด้วยความแม่นยำถึงหนึ่งในสิบของกรัม อย่างไรก็ตามในการคำนวณระดับกลางขอแนะนำให้ทิ้งตัวเลขที่มีนัยสำคัญกว่านี้ไว้

กฎสำหรับการปัดเศษตัวเลข (ผลการวัด) แสดงไว้ในตาราง (ให้ความสนใจกับคุณสมบัติของการปัดเศษตัวเลข 5)

การปัดเศษตารางให้เป็นเลขนัยสำคัญสิบส่วน

เป็นเรื่องปกติที่จะปัดเศษผลการวัดเพื่อให้ค่าตัวเลขลงท้ายด้วยตัวเลขที่มีหลักเดียวกันกับค่าความผิดพลาด เช่น บันทึก

ซม.

ยอมรับไม่ได้เพราะว่า ค่าของข้อผิดพลาด Δl = 0.1 ซม. บ่งชี้ว่าไม่สามารถรับประกันผลลัพธ์หมายเลข 018 ได้ คุณต้องเขียนดังนี้:
ซม.

ในกรณีส่วนใหญ่ เป้าหมายสุดท้ายของงานในห้องปฏิบัติการคือการคำนวณปริมาณที่ต้องการโดยใช้สูตรบางสูตรซึ่งรวมถึงปริมาณที่วัดได้โดยตรง การวัดดังกล่าวเรียกว่าทางอ้อม ตัวอย่างเช่น เราให้สูตรความหนาแน่นของวัตถุทรงตันทรงกระบอก

โดยที่ r คือความหนาแน่นของร่างกาย ม- มวลร่างกาย, ง– เส้นผ่านศูนย์กลางกระบอกสูบ ชม.- สูงของเขา

การพึ่งพาอาศัยกัน (ก.5) โดยทั่วไปสามารถแสดงได้ดังนี้

ที่ไหน ย– ปริมาณที่วัดโดยอ้อม ในสูตร (ก.5) คือความหนาแน่น r เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 ,... ,Xn– ปริมาณที่วัดโดยตรงตามสูตร (ก.5) ได้แก่ ม, ง, และ ชม..

ผลลัพธ์ของการวัดทางอ้อมไม่สามารถแม่นยำได้ เนื่องจากผลลัพธ์ของการวัดปริมาณโดยตรง เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2, ... ,Xnมีข้อผิดพลาดอยู่เสมอ ดังนั้นด้วยการวัดทางอ้อมเช่นเดียวกับการวัดโดยตรงจึงจำเป็นต้องประมาณช่วงความเชื่อมั่น (ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์) ของค่าที่ได้รับ ดีวายและข้อผิดพลาดเชิงสัมพันธ์ e

เมื่อคำนวณข้อผิดพลาดในกรณีของการวัดทางอ้อมจะสะดวกในการปฏิบัติตามลำดับการกระทำต่อไปนี้:

1) รับค่าเฉลี่ยของปริมาณที่วัดโดยตรงแต่ละรายการ b เอ็กซ์ 1ñ, á เอ็กซ์ 2ñ, …, á Xnñ;

2) รับค่าเฉลี่ยของปริมาณที่วัดทางอ้อม ข ยñ โดยการแทนที่ค่าเฉลี่ยของปริมาณที่วัดโดยตรงเป็นสูตร (ก.6)

3) ประมาณการข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของปริมาณที่วัดโดยตรง ดีเอ็กซ์ 1 , ดีเอ็กซ์ 2 , ..., ดีเอ็กซ์เอ็นโดยใช้สูตร (ก.2) และ (ก.3)

4) ขึ้นอยู่กับรูปแบบที่ชัดเจนของฟังก์ชัน (ก.6) จะได้สูตรสำหรับคำนวณความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของค่าที่วัดทางอ้อม ดีวายและคำนวณมัน

6) เขียนผลการวัดโดยคำนึงถึงข้อผิดพลาด

ด้านล่างเป็นสูตรที่ช่วยให้รับสูตรสำหรับคำนวณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์หากทราบรูปแบบที่ชัดเจนของฟังก์ชัน (A.6) ต่อไปนี้

ที่ไหน ¶ใช่¤¶ เอ็กซ์ 1ฯลฯ – อนุพันธ์บางส่วนของ Y เทียบกับปริมาณที่วัดได้โดยตรงทั้งหมด เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , …, เอ็กซ์ n (เมื่อหาอนุพันธ์บางส่วน เช่น เทียบกับ เอ็กซ์ 1 จากนั้นปริมาณอื่นๆ ทั้งหมด เอ็กซ์ ฉันในสูตรถือว่าคงที่) D เอ็กซ์ ฉัน– ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของปริมาณที่วัดโดยตรง คำนวณตาม (ก.3)

เมื่อคำนวณ DY แล้ว ให้ค้นหาข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

อย่างไรก็ตาม หากฟังก์ชัน (A.6) เป็นแบบโมโนเมียล จะง่ายกว่ามากในการคำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ก่อน แล้วจึงคำนวณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์

แท้จริงแล้วแบ่งความเสมอภาคทั้งสองฝ่าย (ก.7) ออกเป็น ย, เราได้รับ

แต่เนื่องจาก เราสามารถเขียนได้

ตอนนี้เมื่อทราบข้อผิดพลาดสัมพัทธ์แล้ว ให้พิจารณาข้อผิดพลาดที่แน่นอน

ตัวอย่างเช่น เราได้รับสูตรสำหรับคำนวณความคลาดเคลื่อนในความหนาแน่นของสารซึ่งกำหนดโดยสูตร (ก.5) เนื่องจาก (ก.5) เป็นแบบโมโนเมียล ดังนั้น ตามที่ระบุไว้ข้างต้น จึงง่ายกว่าที่จะคำนวณข้อผิดพลาดในการวัดสัมพัทธ์ก่อนโดยใช้ (ก.8) ใน (A.8) ใต้ราก เราจะมีผลรวมของอนุพันธ์ย่อยกำลังสองของ ลอการิทึมปริมาณที่วัดได้ ดังนั้นก่อนอื่นเราจะหาลอการิทึมธรรมชาติของ r:

ln r = ln 4 + ln ม– อิน พี –2 อิน ง–ln ชม.,

จากนั้นเราจะใช้สูตร (ก.8) ก็ได้ค่านั้น

ดังที่เห็นได้ใน (ก.9) จะใช้ค่าเฉลี่ยของปริมาณที่วัดโดยตรงและข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ซึ่งคำนวณโดยวิธีการวัดโดยตรงตาม (ก.3) ข้อผิดพลาดที่แนะนำโดยหมายเลข p จะไม่ถูกนำมาพิจารณาเนื่องจากค่าของมันสามารถนำไปด้วยความแม่นยำที่สูงกว่าความแม่นยำของการวัดปริมาณอื่น ๆ ทั้งหมดเสมอ เมื่อคำนวณ e แล้วเราจะพบ

หากการวัดทางอ้อมมีความเป็นอิสระ (เงื่อนไขของการทดลองครั้งต่อไปแต่ละครั้งแตกต่างจากเงื่อนไขของการทดสอบครั้งก่อน) ดังนั้นค่าของปริมาณ ยถูกคำนวณสำหรับการทดสอบแต่ละครั้ง มีการผลิต nประสบการณ์ได้รับ nค่านิยม ใช่แล้ว- ต่อไปก็นำค่าแต่ละค่ามา ใช่แล้ว(ที่ไหน ฉัน– หมายเลขการทดลอง) สำหรับผลลัพธ์ของการวัดโดยตรง ให้คำนวณ á ยñ และ D ยตามสูตร (ก.1) และ (ก.2) ตามลำดับ

ผลลัพธ์สุดท้ายของการวัดทั้งทางตรงและทางอ้อมควรมีลักษณะดังนี้:

ที่ไหน ม– เลขชี้กำลัง ยู– หน่วยวัดปริมาณ ย.

หากอุปกรณ์ไม่สามารถวัดปริมาณทางกายภาพที่ต้องการได้โดยตรง แต่แสดงผ่านปริมาณที่วัดได้โดยใช้สูตร การวัดดังกล่าวจะเรียกว่า ทางอ้อม.

เช่นเดียวกับการวัดโดยตรง คุณสามารถคำนวณค่าคลาดเคลื่อนค่าเฉลี่ยสัมบูรณ์ (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต) หรือค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยของการวัดทางอ้อมได้

กฎทั่วไปสำหรับการคำนวณข้อผิดพลาดสำหรับทั้งสองกรณีได้มาจากการคำนวณเชิงอนุพันธ์

ให้ปริมาณทางกายภาพ j( x, ใช่, ซี, ...) เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์อิสระจำนวนหนึ่ง x, y, z, ...ซึ่งแต่ละอย่างสามารถกำหนดได้ด้วยการทดลอง โดยการวัดโดยตรง ปริมาณจะถูกกำหนด และค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์เฉลี่ยหรือค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองค่าเฉลี่ยรากของค่านั้นจะถูกประมาณ

ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์โดยเฉลี่ยของการวัดทางอ้อมของปริมาณทางกายภาพ j คำนวณโดยใช้สูตร

โดยที่อนุพันธ์บางส่วนของ φ เทียบกับ x, y, z,คำนวณหาค่าเฉลี่ยของอาร์กิวเมนต์ที่เกี่ยวข้อง

เนื่องจากสูตรใช้ค่าสัมบูรณ์ของเงื่อนไขทั้งหมดของผลรวม นิพจน์สำหรับการประมาณค่าข้อผิดพลาดสูงสุดในการวัดฟังก์ชันสำหรับข้อผิดพลาดสูงสุดที่กำหนดของตัวแปรอิสระ

ค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยของการวัดทางอ้อมของปริมาณทางกายภาพ j

ความคลาดเคลื่อนสูงสุดสัมพัทธ์ของการวัดทางอ้อมของปริมาณทางกายภาพ j

ที่ไหน ฯลฯ

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถเขียนค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยรูทสัมพัทธ์ของการวัดทางอ้อม j ได้

หากสูตรแสดงนิพจน์ที่สะดวกสำหรับลอการิทึม (นั่นคือ ผลคูณ เศษส่วน กำลัง) จะสะดวกกว่าในการคำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ก่อน ในการดำเนินการนี้ (ในกรณีของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์โดยเฉลี่ย) คุณต้องดำเนินการดังต่อไปนี้

1. นำลอการิทึมของนิพจน์มาวัดทางอ้อมของปริมาณทางกายภาพ

2. สร้างความแตกต่าง

3. รวมพจน์ทั้งหมดด้วยส่วนต่างเดียวกันแล้วนำออกจากวงเล็บ

4. ใช้นิพจน์ที่อยู่หน้าดิฟเฟอเรนเชียลแบบโมดูโลต่างๆ

5. แทนที่สัญลักษณ์ส่วนต่างอย่างเป็นทางการด้วยสัญลักษณ์ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ D

จากนั้นเมื่อรู้ e คุณสามารถคำนวณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ Dj ได้โดยใช้สูตร

ตัวอย่างที่ 1ที่มาของสูตรสำหรับการคำนวณค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์สูงสุดของการวัดปริมาตรกระบอกสูบทางอ้อม

นิพจน์สำหรับการวัดปริมาณทางกายภาพทางอ้อม (สูตรดั้งเดิม)

ขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง ดีและความสูงของกระบอกสูบ ชม.วัดโดยตรงด้วยเครื่องมือที่มีข้อผิดพลาดในการวัดโดยตรง ตามลำดับD ดีและ D ชม.

ลองหาลอการิทึมของสูตรดั้งเดิมแล้วได้

ให้เราแยกความแตกต่างของสมการผลลัพธ์

การแทนที่สัญลักษณ์ดิฟเฟอเรนเชียลด้วยสัญลักษณ์ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ D ในที่สุดเราก็ได้สูตรสำหรับการคำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดของการวัดทางอ้อมของปริมาตรกระบอกสูบ

ให้เราพิจารณากรณีเมื่อมีปริมาณก่อน ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรเดียวเท่านั้น เอ็กซ์ซึ่งพบได้จากการวัดโดยตรง

เฉลี่ย<ย> สามารถหาได้โดยการแทนค่าใน (8) เอ็กซ์เฉลี่ย<เอ็กซ์>.

.

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ถือได้ว่าเป็นการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน (8) พร้อมกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ∆ เอ็กซ์(ข้อผิดพลาดรวมของค่าที่วัดได้ เอ็กซ์- สำหรับค่า ∆ น้อย เอ็กซ์มันมีค่าประมาณเท่ากับดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน

, (9)

โดยที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันคำนวณที่ . ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะเท่ากับ

.

ปล่อยให้มีการกำหนดปริมาณ ที่เป็นฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว x ฉัน,

. (10)

สันนิษฐานว่าข้อผิดพลาดของปริมาณทั้งหมดในสูตรการทำงานเป็นแบบสุ่ม เป็นอิสระ และคำนวณด้วยความน่าจะเป็นความเชื่อมั่นเดียวกัน (เช่น ร= 0.95) ความผิดพลาดของค่าที่ต้องการจะมีความน่าจะเป็นความเชื่อมั่นเท่ากัน ในกรณีนี้คือมูลค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดของปริมาณ<ที่> กำหนดโดยสูตร (10) โดยใช้ค่าปริมาณที่เป็นไปได้มากที่สุดในการคำนวณ เอ็กซ์ฉันคือค่าเฉลี่ยของพวกเขา:

<ที่> = ฉ(<x 1 >, <x 2 >, …,<xฉัน >, …,<xม>)

ในกรณีนี้ ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของผลลัพธ์สุดท้าย Δ ที่กำหนดโดยสูตร

, (11)

ที่ไหน ∂ ที่/∂เอ็กซ์ผม – อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน ที่โดยการโต้แย้ง เอ็กซ์ผม คำนวณหาค่าปริมาณที่เป็นไปได้มากที่สุด เอ็กซ์ฉัน. อนุพันธ์ย่อยคืออนุพันธ์ที่คำนวณจากฟังก์ชัน ที่โดยการโต้แย้ง เอ็กซ์โดยมีเงื่อนไขว่าข้อโต้แย้งอื่นๆ ทั้งหมดถือว่าคงที่

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่า ที่เราได้จากการหาร ∆ ที่บน<ใช่>

. (12)

โดยคำนึงถึงว่า (1/ ที่) ดี/ดีเอ็กซ์แทนอนุพันธ์ด้วยความเคารพ เอ็กซ์จากลอการิทึมธรรมชาติ ที่ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สามารถเขียนได้ดังนี้

. (13)

สูตร (12) สะดวกกว่าที่จะใช้ในกรณีที่ปริมาณที่วัดได้ขึ้นอยู่กับ (10) x ฉันจะอยู่ในรูปแบบพจน์เป็นหลัก และสูตร (13) สะดวกในการคำนวณเมื่อ (10) เป็นผลคูณของปริมาณ เอ็กซ์ฉัน. ในกรณีหลัง ลอการิทึมเบื้องต้นของนิพจน์ (10) ทำให้รูปแบบของอนุพันธ์ย่อยง่ายขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ ปริมาณที่วัดได้ ที่เป็นปริมาณมิติ และเป็นไปไม่ได้ที่จะหาลอการิทึมเป็นปริมาณมิติ เพื่อกำจัดความไม่ถูกต้องนี้ คุณต้องแยกออก ที่ถึงค่าคงที่ที่มีมิติที่กำหนด หลังจากลอการิทึม คุณจะได้คำศัพท์เพิ่มเติมที่ไม่ขึ้นอยู่กับปริมาณ เอ็กซ์ฉัน และ ดังนั้น จะหายไปเมื่อหาอนุพันธ์บางส่วน เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเมื่อใช้ลอการิทึม ระบบจะถือว่าคำนั้นมีอยู่จริง

พิจารณาความสัมพันธ์อย่างง่ายระหว่างข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพันธ์ ε ย = Δ ที่/<ที่> ยึดตามค่าที่ทราบได้อย่างง่ายดาย Δ ที่คำนวณ ε ยและในทางกลับกัน.

ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อผิดพลาดของการวัดโดยตรงและข้อผิดพลาดของการวัดทางอ้อมสำหรับกรณีง่ายๆ บางกรณีแสดงไว้ในตาราง 1 3.

ให้เราพิจารณากรณีพิเศษบางประการที่เกิดขึ้นเมื่อคำนวณข้อผิดพลาดในการวัด สูตรข้างต้นสำหรับการคำนวณข้อผิดพลาดในการวัดทางอ้อมจะใช้ได้เฉพาะเมื่อทั้งหมดเท่านั้น เอ็กซ์ i เป็นปริมาณอิสระและวัดด้วยเครื่องมือและวิธีการต่างๆ ในทางปฏิบัติอาจไม่ตรงตามเงื่อนไขนี้เสมอไป ตัวอย่างเช่น ถ้าปริมาณทางกายภาพใดๆ ก็ตามที่ขึ้นอยู่กับ (10) วัดโดยอุปกรณ์เดียวกัน เครื่องมือจะเกิดข้อผิดพลาด Δ เอ็กซ์ค่า i ของปริมาณเหล่านี้จะไม่เป็นอิสระอีกต่อไป และความคลาดเคลื่อนของเครื่องมือของปริมาณที่วัดทางอ้อม Δ ที่ราคาในกรณีนี้ จะมีขนาดใหญ่กว่า "ผลรวมกำลังสอง" เล็กน้อย เช่น ถ้าพื้นที่ของจานมีความยาว ลและความกว้าง ขวัดด้วยคาลิปเปอร์อันเดียว จากนั้นความคลาดเคลื่อนของเครื่องมือสัมพัทธ์ของการวัดทางอ้อมจะเป็นดังนี้

(∆S/S) ราคา = (Δ ล/ล) ราคา + ( ∆ข/ข) ฯลฯ

เหล่านั้น. ข้อผิดพลาดจะถูกสรุปทางคณิตศาสตร์ (ข้อผิดพลาด Δ ลที่ ∆bมีเครื่องหมายเดียวกันและค่าเท่ากัน) แทนที่จะเป็นข้อผิดพลาดเกี่ยวกับเครื่องมือที่เกี่ยวข้อง

ด้วยข้อผิดพลาดที่เป็นอิสระ

ตารางที่ 3

การเชื่อมต่อเชิงหน้าที่ระหว่างข้อผิดพลาดของการวัดทางตรงและทางอ้อม

สูตรการทำงาน	สูตรคำนวณข้อผิดพลาด

เมื่อทำการวัดอาจมีบางกรณีที่ค่าต่างๆ เอ็กซ์ฉันมีค่าที่แตกต่างกันซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงหรือระบุเป็นพิเศษในระหว่างการทดลอง เช่น ความหนืดของของเหลวโดยใช้วิธี Poiseuille ถูกกำหนดสำหรับความสูงที่แตกต่างกันของคอลัมน์ของเหลวเหนือเส้นเลือดฝอย หรือการเร่งความเร็วของแรงโน้มถ่วง g ถูกกำหนดโดยใช้ ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์สำหรับความยาวที่แตกต่างกัน) ในกรณีเช่นนี้ ควรคำนวณมูลค่าของปริมาณที่วัดทางอ้อมได้ ที่ในแต่ละการทดลอง n รายการแยกกัน และนำค่าเฉลี่ยมาเป็นค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด เช่น - ข้อผิดพลาดแบบสุ่ม Δ ที่ SLคำนวณเป็นข้อผิดพลาดในการวัดโดยตรง การคำนวณข้อผิดพลาดของเครื่องมือΔ ที่ราคาผลิตผ่านอนุพันธ์บางส่วนโดยใช้สูตร (11) และค่าคลาดเคลื่อนรวมสุดท้ายของค่าที่วัดทางอ้อมคำนวณโดยใช้สูตร

ตอนนี้จำเป็นต้องพิจารณาคำถามว่าจะค้นหาข้อผิดพลาดของปริมาณทางกายภาพได้อย่างไร ยูซึ่งถูกกำหนดโดยการวัดทางอ้อม มุมมองทั่วไปของสมการการวัด

ย=ฉ(เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , … , เอ็กซ์ เอ็น), (1.4)

ที่ไหน เอ็กซ์เจ– ปริมาณทางกายภาพต่างๆ ที่ผู้ทดลองได้รับจากการวัดโดยตรง หรือค่าคงที่ทางกายภาพที่ทราบด้วยความแม่นยำที่กำหนด ในสูตร พวกมันคืออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน

ในทางปฏิบัติการวัดมีการใช้วิธีคำนวณความคลาดเคลื่อนของการวัดทางอ้อมกันอย่างแพร่หลายสองวิธี ทั้งสองวิธีให้ผลลัพธ์เกือบเหมือนกัน

วิธีที่ 1จะพบ D สัมบูรณ์ก่อน จากนั้นจึงพบค่าสัมพัทธ์ งข้อผิดพลาด วิธีนี้แนะนำสำหรับสมการการวัดที่มีผลรวมและผลต่างของอาร์กิวเมนต์

สูตรทั่วไปสำหรับการคำนวณความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ในการวัดทางอ้อมของปริมาณทางกายภาพ ยสำหรับประเภทใดก็ได้ ฉฟังก์ชั่นมีรูปแบบ:

อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันอยู่ที่ไหน ย=ฉ(เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , … , เอ็กซ์ เอ็น) โดยการโต้แย้ง เอ็กซ์เจ,

ข้อผิดพลาดทั่วไปของการวัดปริมาณโดยตรง เอ็กซ์เจ.

หากต้องการค้นหาข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ คุณต้องค้นหาค่าเฉลี่ยของปริมาณก่อน ย- ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องแทนที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของปริมาณลงในสมการการวัด (1.4) เอ็กซ์จ.

นั่นก็คือค่าเฉลี่ย ยเท่ากับ: . ตอนนี้มันง่ายที่จะค้นหาข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้อง: .

ตัวอย่าง:หาข้อผิดพลาดในการวัดปริมาตร วีกระบอก ความสูง ชม.และเส้นผ่านศูนย์กลาง ดีทรงกระบอกที่เราพิจารณากำหนดโดยการวัดโดยตรงและปล่อยให้จำนวนการวัด n= 10.

สูตรคำนวณปริมาตรของทรงกระบอกนั่นคือสมการการวัดมีรูปแบบ:

ให้ที่ พ= 0,68;

ที่ พ= 0,68.

จากนั้นแทนที่ค่าเฉลี่ยลงในสูตร (1.5) เราพบว่า:

ข้อผิดพลาด ดี วีในตัวอย่างนี้ ขึ้นอยู่กับข้อผิดพลาดในการวัดเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นหลัก

ปริมาณเฉลี่ยเท่ากับ: , ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ดี วีเท่ากับ:

หรือ ง วี = 19%.

วี=(47±9) มม 3 , ง วี = 19%, P= 0,68.

วิธีที่ 2วิธีการระบุข้อผิดพลาดของการวัดทางอ้อมนี้แตกต่างจากวิธีแรกตรงที่มีปัญหาทางคณิตศาสตร์น้อยกว่า จึงมีการใช้บ่อยกว่า

ขั้นแรก ให้ค้นหาข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้อง งและเฉพาะ D สัมบูรณ์เท่านั้น วิธีนี้สะดวกเป็นพิเศษหากสมการการวัดมีเพียงผลคูณและอัตราส่วนของอาร์กิวเมนต์

ขั้นตอนสามารถพิจารณาได้โดยใช้ตัวอย่างเฉพาะเดียวกัน - การกำหนดข้อผิดพลาดเมื่อทำการวัดปริมาตรของกระบอกสูบ

ให้เราเก็บค่าตัวเลขทั้งหมดของปริมาณที่รวมอยู่ในสูตรเหมือนกับในการคำนวณโดยใช้ วิธีที่ 1

อนุญาต มม- ที่ พ= 0,68;

- ที่ P=0.68.

ข้อผิดพลาดในการปัดเศษตัวเลข พี(ดูรูปที่ 1.1)

โดยใช้ วิธีที่ 2คุณควรทำสิ่งนี้:

1) ใช้ลอการิทึมของสมการวัด (ใช้ลอการิทึมธรรมชาติ)

ค้นหาส่วนต่างของด้านซ้ายและด้านขวาโดยพิจารณาตัวแปรอิสระ

2) แทนที่ส่วนต่างของแต่ละค่าด้วยข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของค่าเดียวกันและเครื่องหมาย "ลบ" หากอยู่หน้าข้อผิดพลาดด้วย "บวก":

3) ดูเหมือนว่าการใช้สูตรนี้เป็นไปได้ที่จะประมาณค่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ได้แล้ว แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้น จำเป็นต้องประมาณค่าความผิดพลาดในลักษณะที่ความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นของการประมาณการนี้เกิดขึ้นพร้อมกับความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นในการประมาณค่าข้อผิดพลาดของคำศัพท์เหล่านั้นที่ปรากฏทางด้านขวาของสูตร ในการทำเช่นนี้ เพื่อให้ตรงตามเงื่อนไขนี้ คุณจะต้องยกกำลังสองเงื่อนไขทั้งหมดของสูตรสุดท้าย จากนั้นหารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ:

หรือในรูปแบบอื่น ข้อผิดพลาดของปริมาตรสัมพันธ์จะเท่ากับ:

นอกจากนี้ ความน่าจะเป็นของการประมาณค่าข้อผิดพลาดด้านปริมาตรนี้จะตรงกับความน่าจะเป็นในการประมาณค่าข้อผิดพลาดของคำศัพท์ที่รวมอยู่ในนิพจน์ราก:

เมื่อทำการคำนวณแล้วเราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลลัพธ์นั้นสอดคล้องกับการประมาณการตาม วิธีที่ 1:

ตอนนี้เมื่อทราบถึงข้อผิดพลาดสัมพัทธ์แล้ว เราก็พบข้อผิดพลาดที่แน่นอน:

ดี วี=0.19 47=9.4 มม 3 , ป=0,68.

ผลลัพธ์สุดท้ายหลังจากการปัดเศษ:

วี= (47 ± 9) มม. 3 ดี วี = 19%, ป=0,68.

คำถามควบคุม

1. หน้าที่ของการวัดทางกายภาพคืออะไร?

2. การวัดประเภทใดบ้างที่มีความโดดเด่น?

3. ข้อผิดพลาดในการวัดจำแนกอย่างไร?

4. ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพันธ์คืออะไร?

5. ข้อผิดพลาดที่พลาดอย่างเป็นระบบและสุ่มคืออะไร?

6. จะประเมินข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบได้อย่างไร?

7. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่วัดได้คืออะไร?

8. จะประมาณขนาดของข้อผิดพลาดแบบสุ่มได้อย่างไร สัมพันธ์กับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานอย่างไร

9. ความน่าจะเป็นที่จะตรวจพบค่าที่แท้จริงของค่าที่วัดได้ในช่วงคือเท่าใด X av - สก่อน X av + ส?

10. หากเราเลือกค่าเป็นค่าประมาณสำหรับข้อผิดพลาดแบบสุ่ม 2 วินาทีหรือ 3 วินาทีแล้วค่าที่แท้จริงจะอยู่ภายในช่วงที่กำหนดโดยการประมาณค่าเหล่านี้มีความน่าจะเป็นเท่าใด

11. จะสรุปข้อผิดพลาดอย่างไร และควรทำเมื่อใด?

12. จะปัดเศษค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์และค่าเฉลี่ยของผลการวัดได้อย่างไร

13. มีวิธีการใดบ้างในการประเมินข้อผิดพลาดในการวัดทางอ้อม? จะดำเนินการอย่างไรต่อ?

14. สิ่งที่ควรบันทึกเป็นผลการวัด? ฉันควรระบุค่าอะไร?