ค่าของ x ค่าของพหุนามเท่ากันคือค่าใด บทเรียน "พหุนาม"

ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่าง: x3 – 3x – 2 = 0

คุณสามารถเดาได้ว่าตัวเลข x1 = –1 คือรากของสมการนี้ เนื่องจาก –1 + 3 – 2 = 0

x3 – 3x – 2 x + 1

x3 + x2 x2 – x–2

– x2–3x–2

(x + 1)(x2 – x–2) = 0;

x + 1 = 0 หรือ x2 – x–2 = 0;

x1 = –1 x2.3 = ;

x2 = –1, x3 = 2

คำตอบ. -1; 2.

ตัวอย่าง: x3 – 3x – 2 = 0

x3 + x2 – x2 – x – 2x – 2 = 0;

(x3 + x2) – (x2 + x) – 2(x + 1) = 0;

x2(x + 1) – x(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1) (x2 – x–2) = 0;

(x + 1) (x + 1) (x –2) = 0;

x1 = –1, x2 = 2

คำตอบ. -1; 2.

X3 – x2 – 8x + 6 = 0; x4 + x3– 4x2 – 2x + 4 = 0; 6x3 + 11x2 – 3x – 2=0

สูตรพื้นฐาน:

ax2 + bx + c = 0

สูตรเวียตต้า

ax2 + bx + c = 0 แล้ว

ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่าง: x4 – 8x2 – 9 = 0

ให้ y = x2 โดยที่ y 0;

ย2 – 8ป – 9 = 0;

ตามสูตรของ Vieta:

y1 = –1; y2 = 9;

เราละทิ้งวิธีแก้ปัญหาแรก (ที่ 0)

และจากวินาทีที่เราพบ x1 = –3; x2 = 3.

คำตอบ. x1 = –3; x2 = 3.

ตัดสินใจด้วยตัวเองหรือใช้ตัวอย่าง

สูตรพื้นฐาน:

ax2 + bx + c = 0

สูตรเวียตต้า

ถ้า x1, x2 เป็นรากของสมการกำลังสอง

ax2 + bx + c = 0 แล้ว

สำหรับสมการ x2 + px + q = 0

ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่าง: 2x4 – 3x3 – 7x2 –15x + 50 = 0

หารด้วย x2 เราได้

เรามาแนะนำการเปลี่ยนกัน
ให้ x + = t, x2 + = t2 – 10,

จากนั้น 2t2 – 3t – 27 = 0;

คำตอบ. 2; -

ตัดสินใจด้วยตัวเองหรือใช้ตัวอย่าง

สูตรพื้นฐาน:

ax2 + bx + c = 0

สูตรเวียตต้า

ถ้า x1, x2 เป็นรากของสมการกำลังสอง

ax2 + bx + c = 0 แล้ว

สำหรับสมการ x2 + px + q = 0

พหุนาม (หรือที่เรียกว่าพหุนาม) คือ ผลรวมพีชคณิต monomial สองรายการขึ้นไป มันคุ้มค่าที่จะอธิบายว่า monomial เบื้องต้นคืออะไร monomial (monomial) คือโครงสร้างพีชคณิตพื้นฐานที่แสดงตัวแปรยกกำลังบวกซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข (ซึ่งอาจเป็นลบหรือบวกก็ได้) ในกรณีนี้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรสามารถเท่ากับหนึ่ง - จากนั้น monomial ก็คือตัวแปรนั้นซึ่งส่วนใหญ่ระบุเป็นตัวอักษรละตินจากท้ายตัวอักษร - x, y, z

ในทางกลับกัน มักจะมีตัวอย่างของ monomials จากสัมประสิทธิ์ตัวเลขเพียงค่าเดียว หนังสือเรียนคณิตศาสตร์เก่าๆ บางเล่มบอกว่า monomial คือนิพจน์พีชคณิตที่ไม่มีเครื่องหมายบวกหรือลบ ในกรณีนี้ การคูณและเศษส่วนสามารถอยู่ในค่าเอกพจน์เดียวกันได้ คำจำกัดความนี้ไม่ถูกต้อง แต่อธิบายตัวอย่างจริงของ monomials ตามความเป็นจริงมากกว่า

monomials หลายรูปแบบเป็นพหุนาม - สายโซ่ของนิพจน์พื้นฐานเกี่ยวกับพีชคณิต หากมี monomial สองอัน มันจะก่อตัวขึ้นด้วยทวินาม หากมีสามอันขึ้นไป มันก็จะเป็นพหุนาม พหุนามเป็นระดับที่สองของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น รองจากเอกนาม

สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าด้วยความช่วยเหลือของพหุนาม ไม่เพียงแต่ปัญหามากมายในพีชคณิตที่สร้างขึ้นเท่านั้น แต่ยังรวมถึงโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดยังมีความซับซ้อนมากขึ้นอีกด้วย ผ่านแนวคิดของ "พหุนาม" คำจำกัดความของ "สมการ" และ "ฟังก์ชันพีชคณิต" ได้มา ดังนั้น วิดีโอสอนนี้จึงเน้นไปที่การทำงานกับพหุนามโดยเฉพาะ การแก้ปัญหาอย่างรวดเร็วด้วยการมีส่วนร่วมจะช่วยให้คุณเข้าใจหัวข้อที่เกี่ยวข้องได้ดีขึ้น

พิจารณาการแสดงออกของแบบฟอร์ม:

3a 2 + 4c 3 - 2 + 2c 3

ตัวอย่างนี้เป็นพหุนามพีชคณิตที่ประกอบด้วย monomial ที่แตกต่างกันสี่ตัว แต่ละองค์ประกอบเอกพจน์ของพหุนามเรียกว่า "เทอมของพหุนาม" สำนวนนี้สามารถแบ่งออกเป็นเครื่องหมายการบวกและการลบได้อย่างง่ายดาย โดยสร้าง monomials สี่แบบแยกกัน:

3а 2, 4с 3, 2, 2с 3

พวกมันรวมกัน (เชิงพีชคณิต) เข้ากับพหุนามดั้งเดิม การเท่ากันนิพจน์กับค่าตัวเลขใดๆ หรือพหุนามอื่นๆ ทำให้เกิดสมการ อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหัวข้อสำหรับบทเรียนวิดีโออื่น

หากต้องการหาค่าของพหุนาม คุณต้องเข้าใจหลักการพื้นฐานของกระบวนการ คำตอบของพหุนามคือการทำให้ง่ายขึ้น - ค่าสูงสุด, จริงทางคณิตศาสตร์, การลดจำนวนเงื่อนไขของนิพจน์ เป็นที่น่าสังเกตว่าสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของปัญหาหลายๆ อย่าง จำเป็นต้องทำให้พหุนามอยู่ในรูปแบบที่ดีแทน และไม่ใช่พหุนามที่สั้นที่สุดเสมอไป หากการแสดงออกมีจุดมุ่งหมายเพื่อ ทำงานต่อไป- แบบฟอร์มที่จะต้องนำมาจะต้องขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในอนาคต

ในการแก้โจทย์พหุนามเพียงอย่างเดียว คุณต้องแยกย่อยมันออกเป็นกลุ่มๆ ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบพีชคณิตที่คล้ายกัน ข้อกำหนดหลักสำหรับองค์ประกอบเหล่านี้คือความสามารถในการทำงานภายในกลุ่มได้อย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่นค่าตัวเลขแต่ละรายการทั้งหมดจะถูกวางไว้ในกลุ่มเดียว - การกระทำระหว่างค่าเหล่านั้นจะดำเนินการโดยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา นอกจากนี้ยังง่ายต่อการระบุตัวแปรที่เหมือนกัน กำลังสองของตัวแปรดังกล่าว ฯลฯ

เมื่อจัดกลุ่มสมาชิกของพหุนาม ควรจดจำกฎการรักษาเครื่องหมายบวกและลบก่อนนิพจน์ เป็นคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดและเป็นส่วนสำคัญของ monomial และการสูญเสียจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง

3a 2 + 4c 3 - ก 2 + 2c 3 = 3a 2 - ก 2 + 4c 3 + 2c 3 = 2a 2 + 6c 3

ดังที่เราเห็นในบทเรียน การแก้พหุนามค่อนข้างจะดี งานง่ายๆต้องการเพียงความเอาใจใส่และการปฏิบัติตามกฎพีชคณิตเบื้องต้นอย่างเข้มงวด

พหุนามสองตัว f (x) และ g (x) ถือว่าเท่ากันหากสัมประสิทธิ์ของพวกเขาที่ องศาที่เท่ากันตัวแปร x และพจน์อิสระ (หรือพูดง่ายๆ ก็คือ ค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน) ในกรณีนี้พวกเขาเขียนว่า: ฉ (เอ็กซ์) =ก (x)

ตัวอย่างเช่น พหุนาม f (x) =x3+2x2-3x+1 และ g (x) =2x2-3x+1 ไม่เท่ากัน เนื่องจากอันแรกมีค่าสัมประสิทธิ์ x3 เท่ากับ 1 และอันที่สองมี ศูนย์ (ตามแบบแผนที่ยอมรับ เราสามารถเขียนได้: g (x) =0x3+2x2-3x+1 ในกรณีนี้ เราเขียน: f (x) ?g (x) พหุนาม h (x) =2x2- 3x+5, s (x) ก็ไม่เท่ากันเช่นกัน เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ของ x ต่างกัน แต่พหุนาม f1 (x) =2x5+3x3+bx+3 และ g1 (x) =2x5 +ax3-2x+3 จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ a=3 และ b=-2

อนุญาต ให้พหุนาม ฉ (เอ็กซ์) =anxn+อัน-1xn-1+... +a1x+a0และตัวเลขบางตัว ตัวเลข ฉ (ค) =ancn+อัน-1cn-1+... +a1c+a0เรียกว่าค่าของพหุนาม f (x) ที่ x=ค.

ดังนั้นในการค้นหา f (c) คุณต้องแทนที่ c ลงในพหุนามแทน x และดำเนินการคำนวณที่จำเป็น ตัวอย่างเช่น ถ้า f (x) =2x3+3x2-x+5 แล้ว f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2- (-2) +5=3

พิจารณาพหุนาม f (x) =a แล้วหาตัวอย่าง f (2) ในการดำเนินการนี้ แทนที่จะเป็น x คุณจะต้องแทนที่ตัวเลข 2 ลงในพหุนามและทำการคำนวณที่จำเป็น อย่างไรก็ตาม ในกรณีของเรา f (x) =a และไม่มีตัวแปร x ที่ชัดเจน โปรดจำไว้ว่าพหุนามที่เป็นปัญหาสามารถเขียนได้ในรูปแบบ f (x) =0x+a ตอนนี้ทุกอย่างเป็นไปตามลำดับ คุณสามารถแทนที่ค่า x=2: f (2) =02+a=a โปรดทราบว่าสำหรับพหุนามที่กำหนด f (c) =a สำหรับ c ใดๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พหุนามศูนย์สำหรับ c ใดๆ จะใช้ค่าเท่ากับศูนย์

โดยทั่วไปแล้ว พหุนามสามารถรับค่าที่ต่างกันสำหรับค่าที่ต่างกันของตัวแปร x เรามักจะสนใจค่าของ x ที่พหุนามรับค่า 0 จำนวน c เรียกว่ารากของพหุนาม f (x) ถ้า f (c) = 0

ตัวอย่างเช่น ถ้า f (x) =x2-3x+2 แล้วตัวเลข 1 และ 2 จะเป็นรากของพหุนามนี้ เนื่องจาก f (1) =0 และ f (2) =0 แต่พหุนาม f (x) =5 ไม่มีรากเลย ในความเป็นจริง สำหรับค่า x ใดๆ จะใช้ค่า 5 ซึ่งหมายความว่าจะไม่ได้รับค่า 0 สำหรับพหุนามศูนย์นั้น อย่างที่ง่ายต่อการมองเห็น แต่ละตัวเลขจะเป็นราก

การค้นหารากของพหุนามเป็นหนึ่งในปัญหาที่สำคัญที่สุดในพีชคณิต การหารากของทวินามเชิงเส้นและตรีโกณมิติกำลังสองมีการสอนที่โรงเรียน สำหรับพหุนามเพิ่มเติม ระดับสูงแล้วสำหรับพวกเขางานดังกล่าวนั้นยากมากและไม่สามารถแก้ไขได้เสมอไป เราจะทำเช่นนี้มากกว่าหนึ่งครั้งในอนาคต และตอนนี้เราแค่สังเกตว่าการหารากของพหุนาม ฉ (เอ็กซ์) =anxn+อัน-1xn-1+... +a1x+a0และแก้สมการ anxn+อัน-1xn-1+... +a1x+a0=0เป็นปัญหาที่เท่าเทียมกัน ดังนั้นเมื่อเรียนรู้ที่จะหารากของพหุนามแล้ว เราจะเรียนรู้ที่จะแก้สมการที่เกี่ยวข้องและในทางกลับกัน

ให้เราใส่ใจกับความแตกต่างระหว่างสองข้อความ: “พหุนาม f (x) เท่ากับศูนย์ (หรือสิ่งที่เหมือนกัน พหุนาม f (x) คือศูนย์)” และ “ค่าของพหุนาม f (x) ) ที่ x = c เท่ากับศูนย์” ตัวอย่างเช่น พหุนาม f (x) = x2-1 ไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจากมีสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ และค่าที่ x = 1 เท่ากับศูนย์ กล่าวโดยย่อ f (x) ?0 และ f (1) =0

มีความสัมพันธ์ใกล้ชิดระหว่างแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของพหุนามและมูลค่าของพหุนาม ถ้าให้พหุนามสองตัวที่เท่ากันคือ f (x) และ g (x) สัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่า f (c) = g (c) สำหรับแต่ละจำนวน c กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า f(c) = g(c) สำหรับทุก ๆ จำนวน c แล้วพหุนาม f(x) และ g(x) จะเท่ากันหรือไม่ ลองตอบคำถามนี้ในกรณีพิเศษเมื่อ f (x) = px2 +qx+r และ g (x) = kx+m เนื่องจาก f (c) = g (c) สำหรับแต่ละหมายเลข c ดังนั้นโดยเฉพาะ f (0) = g (0), f (1) = g (1), f (-1) = g (- 1) ).

เมื่อคำนวณค่าของพหุนามที่พิจารณาแล้วซึ่งปรากฏในความเท่าเทียมกันเหล่านี้ เราจะได้ระบบ

จากระบบนี้ จะได้ว่า p = 0, q = k, r = m และด้วยเหตุนี้ f (x) = g (x)

ดังนั้น ตามตัวอย่างที่พิจารณา คำตอบของคำถามที่ถูกตั้งไว้จึงเป็นเชิงบวก ปรากฎว่าสิ่งนี้ก็เป็นจริงในกรณีทั่วไปเช่นกัน หลังจากคุ้นเคยกับแนวคิดและข้อความอื่นๆ ของทฤษฎีพหุนามแล้ว