ด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันหรือไม่? สี่เหลี่ยมด้านขนานคืออะไร

ภารกิจที่ 4

เส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีความยาว 4√6 ทำมุมกับฐาน 60° และเส้นทแยงมุมที่สองทำมุม 45° กับฐานเดียวกัน ค้นหาเส้นทแยงมุมที่สอง

สารละลาย.

1. เอโอ = 2√6.

2. เราใช้ทฤษฎีบทไซน์กับสามเหลี่ยม AOD

AO/บาป D = OD/บาป A

2√6/ซิน 45 o = OD/ซิน 60 o

ОD = (2√6ซิน 60 о) / ซิน 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6

คำตอบ: 12.

ภารกิจที่ 5

สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้าน 5√2 และ 7√2 มุมที่เล็กกว่าระหว่างเส้นทแยงมุมจะเท่ากับมุมที่เล็กกว่าของสี่เหลี่ยมด้านขนาน หาผลรวมของความยาวของเส้นทแยงมุม.

สารละลาย.

ให้ d 1, d 2 เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน และมุมระหว่างเส้นทแยงมุมกับมุมที่เล็กกว่าของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับ φ

1. ลองนับสองอันที่แตกต่างกัน
พื้นที่ของมัน

S ABCD = AB AD บาป A = 5√2 7√2 บาป f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 บาป f

เราได้ความเท่าเทียมกัน 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f หรือ

2 · 5√2 · 7√2 = ง 1 ง 2 ;

2. ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราเขียนความเท่าเทียมกัน

(เอบี 2 + โฆษณา 2) 2 = เอซี 2 + BD 2

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = ง 1 2 + ง 2 2

วัน 1 2 + วัน 2 2 = 296.

3. มาสร้างระบบกัน:

(วัน 1 2 + วัน 2 2 = 296,
(วัน 1 + วัน 2 = 140

ลองคูณสมการที่สองของระบบด้วย 2 แล้วบวกเข้ากับสมการแรก

เราได้ (d 1 + d 2) 2 = 576 ดังนั้น Id 1 + d 2 I = 24

เนื่องจาก d 1, d 2 คือความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น d 1 + d 2 = 24

คำตอบ: 24.

ภารกิจที่ 6

ด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 4 และ 6 มุมแหลมระหว่างเส้นทแยงมุมคือ 45 องศา หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สารละลาย.

1. จากสามเหลี่ยม AOB โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ เราเขียนความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานกับเส้นทแยงมุม

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB

4 2 = (ง 1 /2) 2 + (ง 2 /2) 2 – 2 · (ง 1/2) · (ง 2 /2)cos 45 o;

วัน 1 2 /4 + วัน 2 2 /4 – 2 · (วัน 1/2) · (วัน 2 /2)√2/2 = 16

วัน 1 2 + วัน 2 2 – วัน 1 · วัน 2 √2 = 64

2. ในทำนองเดียวกัน เราเขียนความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยม AOD

ลองมาพิจารณาว่า<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

เราได้สมการ d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144

3. เรามีระบบ
(ง 1 2 + ง 2 2 – ง 1 · ง 2 √2 = 64,
(ง 1 2 + ง 2 2 + ง 1 · ง 2 √2 = 144

ลบอันแรกออกจากสมการที่สอง เราจะได้ 2d 1 · d 2 √2 = 80 หรือ

วัน 1 วัน 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10

บันทึก:ในปัญหานี้และปัญหาก่อนหน้านี้ไม่จำเป็นต้องแก้ระบบให้สมบูรณ์ โดยคาดว่าในปัญหานี้เราต้องการผลคูณของเส้นทแยงมุมในการคำนวณพื้นที่

คำตอบ: 10.

ภารกิจที่ 7

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 96 และด้านข้างคือ 8 และ 15 ค้นหากำลังสองของเส้นทแยงมุมเล็กกว่า

สารละลาย.

1. S ABCD = AB · AD · บาป วาด เรามาทดแทนในสูตรกันดีกว่า

เราได้ 96 = 8 · 15 · บาป VAD ดังนั้น บาป VAD = 4/5

2. มาหา cos VAD กัน บาป 2 VAD + cos 2 VAD = 1

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25

ตามเงื่อนไขของปัญหา เราจะหาความยาวของเส้นทแยงมุมที่เล็กกว่า เส้นทแยงมุม ВD จะมีขนาดเล็กลงหากมุม ВАD เป็นแบบเฉียบพลัน จากนั้น cos VAD = 3/5

3. จากสามเหลี่ยม ABD โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ เราจะหากำลังสองของเส้นทแยงมุม BD

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD

บี 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145

คำตอบ: 145.

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้วิธีแก้ปัญหาเรขาคณิตใช่ไหม?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

แนวคิดเรื่องสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คำจำกัดความ 1

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน (รูปที่ 1)

ภาพที่ 1.

สี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติหลักสองประการ ลองพิจารณาโดยไม่มีข้อพิสูจน์

คุณสมบัติ 1: ด้านตรงข้ามและมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากันตามลำดับ

คุณสมบัติ 2: เส้นทแยงมุมที่วาดในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนตามจุดตัด

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ลองพิจารณาคุณลักษณะสามประการของสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้วนำเสนอในรูปแบบของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท 1

ถ้าด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านนี้ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน $ABCD$ โดยที่ $AB||CD$ และ $AB=CD$ ให้เราวาดเส้นทแยงมุม $AC$ ในนั้น (รูปที่ 2)

รูปที่ 2.

พิจารณาเส้นคู่ขนาน $AB$ และ $CD$ และเส้นตัดกัน $AC$ แล้ว

\[\มุม CAB=\มุม DCA\]

เหมือนมุมที่ไขว้กัน

ตามเกณฑ์ $I$ ของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

เนื่องจาก $AC$ เป็นด้านร่วม และ $AB=CD$ ตามเงื่อนไข วิธี

\[\มุม DAC=\มุม ACB\]

พิจารณาเส้นตรง $AD$ และ $CB$ และเส้นตัดขวาง $AC$; จากความเท่ากันสุดท้ายของมุมนอน เราจะได้ $AD||CB$.) ดังนั้น ตามคำจำกัดความ $1$ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2

ถ้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากัน แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน $ABCD$ โดยที่ $AD=BC$ และ $AB=CD$ ให้เราวาดเส้นทแยงมุม $AC$ ไว้ข้างใน (รูปที่ 3)

รูปที่ 3.

เนื่องจาก $AD=BC$, $AB=CD$ และ $AC$ เป็นด้านร่วม ดังนั้นตามเกณฑ์ $III$ สำหรับความเท่ากันของรูปสามเหลี่ยม

\[\สามเหลี่ยม DAC=\สามเหลี่ยม ACB\]

\[\มุม DAC=\มุม ACB\]

ให้เราพิจารณาเส้น $AD$ และ $CB$ และเส้นตัดขวาง $AC$; ดังนั้น ตามคำนิยาม $1$ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

\[\มุม DCA=\มุม CAB\]

ลองพิจารณาเส้น $AB$ และ $CD$ และเส้นตัดขวาง $AC$; จากความเสมอภาคสุดท้ายในมุมโกหก เราจะได้ $AB||CD$ ดังนั้น ตามคำจำกัดความที่ 1 รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 3

หากเส้นทแยงมุมที่วาดเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันด้วยจุดตัดกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน $ABCD$ ลองวาดเส้นทแยงมุม $AC$ และ $BD$ ลงไป ปล่อยให้พวกมันตัดกันที่จุด $O$ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4.

เนื่องจากตามเงื่อนไข $BO=OD,\ AO=OC$ และมุม $\angle COB=\angle DOA$ นั้นเป็นแนวตั้ง ดังนั้น ด้วยเกณฑ์ $I$ สำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

\[\สามเหลี่ยม BOC=\สามเหลี่ยม AOD\]

\[\มุม DBC=\มุม BDA\]

พิจารณาเส้น $BC$ และ $AD$ และเส้นตัดขวาง $BD$; โดยความเสมอภาคสุดท้ายข้ามมุมโกหก เราจะได้ $BC||AD$ $BC=AD$ เช่นกัน ดังนั้น ตามทฤษฎีบท $1$ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

ก่อนอื่น ลองวาดเส้นทแยงมุม AC ก่อน เราได้สามเหลี่ยมสองอัน: ABC และ ADC

เนื่องจาก ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน จึงเป็นจริงดังนี้:

โฆษณา || BC \ลูกศรขวา \มุม 1 = \มุม 2เหมือนนอนขวางทาง

เอบี || ซีดี\ลูกศรขวา\angle3 =\มุม 4เหมือนนอนขวางทาง

ดังนั้น \triangle ABC = \triangle ADC (ตามเกณฑ์ที่สอง: และ AC เป็นเรื่องปกติ)

ดังนั้น \triangle ABC = \triangle ADC แล้ว AB = CD และ AD = BC

พิสูจน์แล้ว!

2. มุมตรงข้ามเหมือนกัน

การพิสูจน์

ตามหลักฐาน คุณสมบัติ 1เรารู้ว่า \มุม 1 = \มุม 2, \มุม 3 = \มุม 4- ดังนั้นผลรวมของมุมตรงข้ามคือ: \มุม 1 + \มุม 3 = \มุม 2 + \มุม 4- เมื่อพิจารณาว่า \triangle ABC = \triangle ADC เราจะได้ \angle A = \angle C , \angle B = \angle D

พิสูจน์แล้ว!

3. เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งโดยจุดตัด

การพิสูจน์

ลองวาดเส้นทแยงมุมอีกอันหนึ่ง

โดย ทรัพย์สิน 1เรารู้ว่าด้านตรงข้ามเหมือนกัน: AB = CD สังเกตอีกครั้งว่าเส้นขวางที่วางเป็นมุมเท่ากัน

ดังนั้น จึงชัดเจนว่า \triangle AOB = \triangle COD ตามเกณฑ์ที่สองสำหรับความเท่ากันของรูปสามเหลี่ยม (มุมสองมุมและด้านระหว่างมุมทั้งสอง) นั่นคือ BO = OD (ตรงข้ามมุม \มุม 2 และ \มุม 1) และ AO = OC (ตรงข้ามมุม \มุม 3 และ \มุม 4 ตามลำดับ)

พิสูจน์แล้ว!

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หากมีปัญหาเพียงจุดเดียว รูปนั้นจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และคุณสามารถใช้คุณสมบัติทั้งหมดของรูปนี้ได้

เพื่อการท่องจำที่ดีขึ้น โปรดทราบว่าเครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนานจะตอบคำถามต่อไปนี้ - "จะหาได้อย่างไร?"- นั่นคือจะทราบได้อย่างไรว่าตัวเลขที่กำหนดนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านทั้งสองเท่ากันและขนานกัน

AB = ซีดี ; เอบี || CD\ลูกศรขวา ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

มาดูกันดีกว่า ทำไมต้องโฆษณา || พ.ศ.?

\triangle ABC = \triangle ADC โดย ทรัพย์สิน 1: AB = CD, AC - จุดร่วม และ \angle 1 = \มุม 2 วางขวางโดยขนาน AB และ CD และจุดตัด AC

แต่ถ้า \triangle ABC = \triangle ADC แล้ว \angle 3 = \angle 4 (อยู่ตรงข้าม AB และ CD ตามลำดับ) และด้วยเหตุนี้ AD || BC (\angle 3 และ \angle 4 - เส้นที่วางขวางก็เท่ากัน)

สัญญาณแรกถูกต้อง

2. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามเท่ากัน

AB = CD, AD = BC \ลูกศรขวา ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

ลองพิจารณาสัญลักษณ์นี้ ลองวาดเส้นทแยงมุม AC อีกครั้ง

โดย ทรัพย์สิน 1\สามเหลี่ยม ABC = \สามเหลี่ยม ACD

เป็นไปตามนั้น: \angle 1 = \angle 2 \ลูกศรขวา AD || บี.ซี.และ \angle 3 = \angle 4 \ลูกศรขวา AB || ซีดีนั่นคือ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สัญญาณที่สองถูกต้อง

3. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมตรงข้ามกันเท่ากัน

\มุม A = \มุม C , \angle B = \มุม D \ลูกศรขวา ABCD- สี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

2 \อัลฟา + 2 \เบต้า = 360^(\circ)(เนื่องจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และ \angle A = \angle C , \angle B = \angle D ตามเงื่อนไข)

ปรากฎว่า \alpha + \beta = 180^(\circ) แต่ \alpha และ \beta เป็นด้านเดียวภายในที่เส้นตัด AB

และความจริงที่ว่า \alpha + \beta = 180^(\circ) ก็หมายความว่า AD || ด้วย บี.ซี.

ยิ่งไปกว่านั้น \alpha และ \beta มีด้านเดียวภายในที่เส้นตัด AD และนั่นหมายความว่า AB || ซีดี.

สัญญาณที่สามถูกต้อง

4. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งตามจุดตัด

เอโอ = โอซี ; BO = OD\สี่เหลี่ยมด้านขนานลูกศรขวา

การพิสูจน์

บีโอ = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 เป็นแนวตั้ง \ลูกศรขวา \สามเหลี่ยม AOB = \สามเหลี่ยม COD, \ลูกศรขวา \มุม 3 = \มุม 4และ \ลูกศรขวา AB || ซีดี.

ในทำนองเดียวกัน BO = OD; เอโอ = โอซี \angle 5 = \angle 6 \ลูกศรขวา \triangle AOD = \triangle BOC \ลูกศรขวา \angle 7 = \angle 8และ \โฆษณาลูกศรขวา || บี.ซี.

สัญญาณที่สี่ถูกต้อง