การแก้ระบบสมการขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ จำนวนคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวในตัวแปรสองตัว
อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติมีกรณีเกิดขึ้นอีกสองกรณี:
– ระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ไข)
– ระบบมีความสม่ำเสมอและมีโซลูชั่นมากมายไม่สิ้นสุด
บันทึก : คำว่า "ความสม่ำเสมอ" หมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยที่สุด ในปัญหาหลายประการ จำเป็นต้องตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบก่อน วิธีการทำเช่นนี้ ดูบทความใน อันดับของเมทริกซ์.
สำหรับระบบเหล่านี้จะใช้วิธีการแก้ปัญหาที่เป็นสากลมากที่สุด - วิธีเกาส์เซียน- ในความเป็นจริงวิธี "โรงเรียน" จะนำไปสู่คำตอบด้วย แต่ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงเป็นเรื่องปกติที่จะใช้วิธีการแบบเกาส์เซียนในการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับ ผู้ที่ไม่คุ้นเคยกับอัลกอริธึมวิธีแบบเกาส์เซียนโปรดศึกษาบทเรียนก่อน วิธีเกาส์เซียนสำหรับหุ่นจำลอง.
การแปลงเมทริกซ์เบื้องต้นนั้นเหมือนกันทุกประการความแตกต่างจะอยู่ที่จุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหา ขั้นแรก มาดูตัวอย่างสองสามตัวอย่างเมื่อระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน)
ตัวอย่างที่ 1
อะไรดึงดูดสายตาคุณเกี่ยวกับระบบนี้ในทันที? จำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปร ถ้าจำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปรแล้วเราก็บอกได้ทันทีว่าระบบไม่สอดคล้องกันหรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด และสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการค้นหา
จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหาเป็นเรื่องธรรมดาโดยสมบูรณ์ - เราเขียนเมทริกซ์แบบขยายของระบบและนำมันมาเป็นรูปแบบขั้นตอนโดยใช้การแปลงเบื้องต้น:
(1) ที่ขั้นตอนซ้ายบน เราต้องได้ +1 หรือ –1 ไม่มีตัวเลขดังกล่าวในคอลัมน์แรก ดังนั้นการจัดเรียงแถวใหม่จึงไม่ได้ผลอะไร หน่วยจะต้องจัดระเบียบตัวเองและสามารถทำได้หลายวิธี ฉันทำสิ่งนี้: เราบวกบรรทัดที่สามเข้ากับบรรทัดแรก คูณด้วย –1
(2) ตอนนี้เราได้ศูนย์สองตัวในคอลัมน์แรก ไปที่บรรทัดที่สองเราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย 3 ไปที่บรรทัดที่สามเราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย 5
(3) หลังจากการแปลงเสร็จสิ้น ขอแนะนำให้ดูว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะลดความซับซ้อนของสตริงผลลัพธ์? สามารถ. เราหารบรรทัดที่สองด้วย 2 ในขณะเดียวกันก็รับค่าที่ต้องการ –1 ในขั้นตอนที่สอง หารบรรทัดที่สามด้วย –3
(4) เพิ่มบรรทัดที่สองเข้ากับบรรทัดที่สาม
ทุกคนคงสังเกตเห็นเส้นที่ไม่ดีซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น: 
- เป็นที่ชัดเจนว่าสิ่งนี้ไม่สามารถเป็นเช่นนั้นได้ อันที่จริง ขอให้เราเขียนเมทริกซ์ผลลัพธ์ใหม่ 
กลับไปสู่ระบบสมการเชิงเส้น: 
จากผลของการแปลงเบื้องต้น หากได้รับสตริงของแบบฟอร์ม โดยที่ตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา)
จะเขียนการสิ้นสุดของงานได้อย่างไร? มาวาดด้วยชอล์กสีขาวกันเถอะ: “ อันเป็นผลมาจากการแปลงเบื้องต้นจะได้สตริงของแบบฟอร์ม โดยที่ ” ได้รับและให้คำตอบ: ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน)
หากตามเงื่อนไข หากจำเป็นต้องวิจัยระบบเพื่อความเข้ากันได้ ก็จำเป็นต้องจัดทำโซลูชันอย่างเป็นทางการในรูปแบบที่มั่นคงมากขึ้นโดยใช้แนวคิด อันดับเมทริกซ์และทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี.
โปรดทราบว่าไม่มีการกลับรายการอัลกอริทึมแบบเกาส์เซียนที่นี่ - ไม่มีวิธีแก้ไขและไม่มีอะไรให้ค้นหา
ตัวอย่างที่ 2
แก้ระบบสมการเชิงเส้น 
นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ. โซลูชั่นที่สมบูรณ์และคำตอบท้ายบทเรียน ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าโซลูชันของคุณอาจแตกต่างจากโซลูชันของฉัน อัลกอริธึมแบบเกาส์ไม่มี "ความแข็งแกร่ง" มากนัก
คุณลักษณะทางเทคนิคอีกประการหนึ่งของโซลูชัน: สามารถหยุดการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นได้ ในครั้งเดียวทันทีที่บรรทัดเช่นที่ไหน ลองพิจารณาตัวอย่างที่มีเงื่อนไข: สมมติว่าหลังจากการแปลงครั้งแรกจะได้รับเมทริกซ์ 
- เมทริกซ์ยังไม่ได้ถูกลดขนาดเป็นรูปแบบระดับ แต่ไม่จำเป็นต้องทำการแปลงเบื้องต้นเพิ่มเติม เนื่องจากมีเส้นของแบบฟอร์มปรากฏขึ้น โดยที่ ควรตอบทันทีว่าระบบเข้ากันไม่ได้
เมื่อระบบสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ ก็แทบจะเป็นของขวัญเลยเพราะว่าได้คำตอบสั้นๆ ซึ่งบางครั้งอาจใช้เวลา 2-3 ขั้นตอนจริงๆ
แต่ทุกสิ่งในโลกนี้มีความสมดุล และปัญหาที่ระบบมีวิธีแก้ไขมากมายอย่างไม่สิ้นสุดนั้นยาวนานกว่านั้น
ตัวอย่างที่ 3
แก้ระบบสมการเชิงเส้น 
มี 4 สมการและ 4 ไม่ทราบ ดังนั้นระบบอาจมีคำตอบเดียวหรือไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน อย่างไรก็ตาม วิธีเกาส์เซียนจะนำเราไปสู่คำตอบไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม นี่คือความเก่งกาจของมัน
จุดเริ่มต้นเป็นมาตรฐานอีกครั้ง ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และนำมันมาอยู่ในรูปแบบขั้นตอนโดยใช้การแปลงเบื้องต้น: 
เพียงเท่านี้คุณก็กลัว
(1) โปรดทราบว่าตัวเลขทั้งหมดในคอลัมน์แรกหารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้น 2 ก็ใช้ได้ที่ขั้นตอนซ้ายบน ไปที่บรรทัดที่สองเราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย –4 ไปที่บรรทัดที่สามเราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย –2 ไปที่บรรทัดที่สี่เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย –1
ความสนใจ!หลายคนอาจถูกล่อลวงโดยบรรทัดที่สี่ ลบเส้นแรก. สามารถทำได้ แต่ไม่จำเป็น ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดในการคำนวณเพิ่มขึ้นหลายครั้ง เพียงเพิ่ม: ไปที่บรรทัดที่สี่ให้เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย –1 – อย่างแน่นอน!
(2) สามบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วน สามารถลบสองบรรทัดได้
นี่เราต้องโชว์อีกแล้ว เพิ่มความสนใจแต่เส้นเป็นสัดส่วนจริงหรือ? เพื่อความปลอดภัย (โดยเฉพาะสำหรับกาน้ำชา) เป็นความคิดที่ดีที่จะคูณบรรทัดที่สองด้วย –1 และหารบรรทัดที่สี่ด้วย 2 ทำให้ได้บรรทัดที่เหมือนกันสามบรรทัด และหลังจากนั้นก็ถอดสองตัวออก
จากผลของการแปลงเบื้องต้น เมทริกซ์ขยายของระบบจะลดลงเป็นรูปแบบขั้นตอน: 
เมื่อเขียนงานลงในสมุดบันทึกขอแนะนำให้จดบันทึกเดียวกันด้วยดินสอเพื่อความชัดเจน
ให้เราเขียนระบบสมการที่เกี่ยวข้องใหม่: 
ไม่มีกลิ่นของสารละลายเดี่ยว "ธรรมดา" ในระบบที่นี่ ไม่มีเส้นที่ไม่ดีเช่นกัน ซึ่งหมายความว่านี่เป็นกรณีที่สามที่เหลืออยู่ - ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด บางครั้ง ตามเงื่อนไข จำเป็นต้องตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบ (เช่น พิสูจน์ว่ามีวิธีแก้ปัญหาอยู่เลย) คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในย่อหน้าสุดท้ายของบทความ จะหาอันดับของเมทริกซ์ได้อย่างไร?แต่สำหรับตอนนี้เรามาดูข้อมูลพื้นฐานกันดีกว่า:
ชุดวิธีแก้ปัญหาที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับระบบนั้นเขียนโดยย่อในรูปแบบของสิ่งที่เรียกว่า วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ .
เราค้นหาคำตอบทั่วไปของระบบโดยใช้วิธีผกผันของวิธีเกาส์เซียน
ก่อนอื่นเราต้องกำหนดตัวแปรที่เรามี ขั้นพื้นฐานและตัวแปรใดบ้าง ฟรี- คุณไม่จำเป็นต้องกังวลกับเงื่อนไขของพีชคณิตเชิงเส้น เพียงจำไว้ว่ามีเงื่อนไขดังกล่าวอยู่ ตัวแปรพื้นฐานและ ตัวแปรอิสระ.
ตัวแปรพื้นฐานจะ “นั่ง” ตามขั้นตอนของเมทริกซ์อย่างเคร่งครัดเสมอ.
ใน ในตัวอย่างนี้ตัวแปรพื้นฐานคือ และ
ตัวแปรอิสระคือทุกสิ่ง ที่เหลืออยู่ตัวแปรที่ไม่ได้รับขั้นตอน ในกรณีของเรามีอยู่สองตัว: – ตัวแปรอิสระ
ตอนนี้คุณต้องการ ทั้งหมด ตัวแปรพื้นฐานด่วน ผ่านเท่านั้น ตัวแปรอิสระ.
การย้อนกลับของอัลกอริธึมแบบเกาส์เซียนมักจะทำงานจากล่างขึ้นบน
จากสมการที่สองของระบบเราแสดงตัวแปรพื้นฐาน:
ตอนนี้ดูสมการแรก: 
- ขั้นแรกเราแทนที่นิพจน์ที่พบลงไป: 
ยังคงแสดงตัวแปรพื้นฐานในแง่ของตัวแปรอิสระ: 
ในที่สุดเราก็ได้สิ่งที่ต้องการ- ทั้งหมดตัวแปรพื้นฐาน ( และ ) จะถูกแสดงออกมา ผ่านเท่านั้นตัวแปรอิสระ: 
จริงๆ แล้ว, การตัดสินใจร่วมกันพร้อม: 
จะเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้อย่างไร?
ตัวแปรอิสระจะถูกเขียนลงในโซลูชันทั่วไป "ด้วยตัวเอง" และแทนที่อย่างเคร่งครัด ใน ในกรณีนี้ควรเขียนตัวแปรอิสระในตำแหน่งที่สองและสี่: 
.
นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับตัวแปรพื้นฐาน 
และจำเป็นต้องเขียนในตำแหน่งที่หนึ่งและสามอย่างชัดเจน: 
ให้ตัวแปรอิสระ ค่าที่กำหนดเองคุณจะพบมากมายนับไม่ถ้วน โซลูชั่นส่วนตัว- ค่าที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือศูนย์เนื่องจากโซลูชันเฉพาะนั้นหาได้ง่ายที่สุด ลองใช้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปแทน: 
– โซลูชั่นส่วนตัว
คู่หวานอีกคู่หนึ่งคือคู่หนึ่ง ลองแทนที่มันลงในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป: 
– อีกหนึ่งโซลูชั่นส่วนตัว
จะเห็นได้ง่ายว่าระบบสมการนั้นมี โซลูชั่นมากมายอนันต์(เนื่องจากเราสามารถให้ตัวแปรอิสระได้ ใดๆค่า)
แต่ละวิธีแก้ปัญหาเฉพาะจะต้องเป็นไปตามนั้น ถึงแต่ละคนสมการของระบบ นี่เป็นพื้นฐานสำหรับการตรวจสอบความถูกต้องของโซลูชัน "อย่างรวดเร็ว" ตัวอย่างเช่น ใช้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะและแทนที่มันทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบเดิม: 
ทุกอย่างต้องมาคู่กัน และด้วยวิธีแก้ปัญหาเฉพาะใดๆ ที่คุณได้รับ ทุกอย่างก็ควรจะตกลงเช่นกัน
แต่พูดอย่างเคร่งครัด การตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะบางครั้งก็เป็นการหลอกลวง เช่น วิธีแก้ปัญหาบางอย่างอาจเป็นไปตามแต่ละสมการของระบบ แต่จริงๆ แล้ววิธีแก้ปัญหาทั่วไปกลับพบว่าไม่ถูกต้อง
ดังนั้นการตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจึงมีความละเอียดถี่ถ้วนและเชื่อถือได้มากขึ้น วิธีตรวจสอบผลลัพธ์วิธีแก้ปัญหาทั่วไป 
?
มันไม่ใช่เรื่องยากแต่ค่อนข้างน่าเบื่อ เราจำเป็นต้องใช้การแสดงออก ขั้นพื้นฐานตัวแปรในกรณีนี้ 
และ และแทนที่มันทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ
ทางด้านซ้ายของสมการแรกของระบบ: 
ทางด้านซ้ายของสมการที่สองของระบบ: 
จะได้ด้านขวาของสมการดั้งเดิม
ตัวอย่างที่ 4
แก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปและวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสองข้อ ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป 
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ จำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนไม่ทราบ ซึ่งหมายความว่าชัดเจนทันทีว่าระบบจะไม่สอดคล้องกันหรือมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด อะไรคือสิ่งสำคัญในกระบวนการตัดสินใจ? ให้ความสนใจและให้ความสนใจอีกครั้ง- เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
และอีกสองสามตัวอย่างเพื่อเสริมกำลังวัสดุ
ตัวอย่างที่ 5
แก้ระบบสมการเชิงเส้น หากระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน ให้ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสองข้อ และตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป 
สารละลาย: ลองเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบแล้วใช้การแปลงเบื้องต้น ทำให้มันอยู่ในรูปแบบขั้นตอน: 
(1) เพิ่มบรรทัดแรกเข้ากับบรรทัดที่สอง ไปที่บรรทัดที่สามเราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย 2 ไปที่บรรทัดที่สี่เราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย 3
(2) ไปที่บรรทัดที่สาม เราบวกบรรทัดที่สอง คูณด้วย –5 ไปที่บรรทัดที่สี่เราเพิ่มบรรทัดที่สองคูณด้วย –7
(3) บรรทัดที่สามและสี่เหมือนกัน เราจะลบบรรทัดใดบรรทัดหนึ่งออก
นี่คือความงาม: 
ตัวแปรพื้นฐานขึ้นอยู่กับขั้นตอน ดังนั้น - ตัวแปรพื้นฐาน
มีตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวที่ไม่ได้รับขั้นตอน:
ย้อนกลับ:
เรามาแสดงตัวแปรพื้นฐานผ่านตัวแปรอิสระกัน:
จากสมการที่สาม: 
ลองพิจารณาสมการที่สองและแทนที่นิพจน์ที่พบลงไป: 
ลองพิจารณาสมการแรกแล้วแทนที่นิพจน์ที่พบและใส่เข้าไป: 
ใช่แล้ว เครื่องคิดเลขที่คำนวณเศษส่วนธรรมดาก็ยังสะดวกอยู่
ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ: 
เกิดขึ้นอีกครั้งได้อย่างไร? ตัวแปรอิสระอยู่เพียงลำพังในตำแหน่งที่สี่ที่ถูกต้อง นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับตัวแปรพื้นฐานยังอยู่ในลำดับด้วย
ให้เราตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปทันที งานเพื่อคนผิวดำแต่ทำไปแล้วก็รับไว้ =)
เราแทนที่ฮีโร่สามตัว , , ลงในด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ:
จะได้ทางด้านขวามือของสมการที่สอดคล้องกัน ดังนั้นจึงสามารถหาคำตอบทั่วไปได้ถูกต้อง
ตอนนี้จากวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่พบ 
เราได้รับวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสองประการ ตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวที่นี่คือพ่อครัว ไม่จำเป็นต้องเก็บสมองของคุณ
ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น 
– โซลูชั่นส่วนตัว
ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น 
– อีกหนึ่งโซลูชั่นส่วนตัว
คำตอบ: การตัดสินใจร่วมกัน: 
, โซลูชั่นส่วนตัว: 
, .
ฉันไม่ควรจำเรื่องคนผิวดำ... ...เพราะแรงจูงใจซาดิสม์ทุกประเภทเข้ามาในหัวของฉัน และฉันจำภาพโฟโต้ช็อปอันโด่งดังซึ่งมี Ku Klux Klansmen ในชุดคลุมสีขาววิ่งข้ามสนามตามหลังนักฟุตบอลผิวดำคนหนึ่ง ฉันนั่งยิ้มเงียบๆ รู้ไหมว่ากวนใจแค่ไหน...
คณิตศาสตร์จำนวนมากเป็นอันตราย ดังนั้นจึงเป็นตัวอย่างสุดท้ายที่คล้ายกันสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตัวเอง
ตัวอย่างที่ 6
หาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น 
ฉันได้ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปแล้ว คำตอบที่เชื่อถือได้ วิธีแก้ปัญหาของคุณอาจแตกต่างจากวิธีแก้ปัญหาของฉัน สิ่งสำคัญคือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปตรงกัน
หลายๆ คนอาจสังเกตเห็นช่วงเวลาที่ไม่พึงประสงค์ในการแก้ปัญหา บ่อยครั้งมากเมื่อย้อนกลับวิธีเกาส์ เราต้องแก้ไข เศษส่วนสามัญ- ในทางปฏิบัติ เป็นเช่นนี้จริง ๆ กรณีที่ไม่มีเศษส่วนพบได้น้อยกว่ามาก เตรียมตัวให้พร้อมทั้งจิตใจและที่สำคัญที่สุดคือทางเทคนิค
ฉันจะอาศัยคุณลักษณะบางอย่างของโซลูชันที่ไม่พบในตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว
วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบบางครั้งอาจมีค่าคงที่ (หรือค่าคงที่) เช่น: ตัวแปรพื้นฐานตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับจำนวนคงที่: ไม่มีอะไรแปลกใหม่เกี่ยวกับเรื่องนี้ มันเกิดขึ้น แน่นอนว่าในกรณีนี้ ผลเฉลยใดๆ จะมีเลข 5 อยู่ในตำแหน่งแรก
ไม่ค่อยมี แต่มีระบบที่ จำนวนสมการมากกว่าจำนวนตัวแปร- วิธีเกาส์เซียนทำงานในสภาวะที่รุนแรงที่สุด ควรลดเมทริกซ์ที่ขยายของระบบให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอนโดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน ระบบดังกล่าวอาจไม่สอดคล้องกัน อาจมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด และที่น่าแปลกก็คืออาจมีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียว
ค) (xe+y"=1, d) (x"+y"=2a - 1,
(xy=a; (xy=a - 1?
9.198. ค้นหาจำนวนคำตอบของระบบสมการ ((x(+)y~=!,
ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์
9.199. ระบบสมการจะมีคำตอบได้กี่ข้อ ขึ้นอยู่กับ:
ก) (x"+y"=9, ข) (x"+y"+!Ox=0,
(~x~ =y - ก; (y=~x - ก~?
9.200. ระบบสมการมีค่าพารามิเตอร์เท่าใด
มีสามวิธีใช่ไหม? ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้
9.201. ค่าของพารามิเตอร์ p ใดที่ระบบสมการ
(ру+х) (х - р УЗ)=О
มีสามวิธีใช่ไหม?
9.202. ระบบสมการมีค่าพารามิเตอร์ b เท่าใด
ก) 1 ~x~ +4)y~ = b, b) 1 x~ +2 ~y(= 1, c) (~y! +x =4
- ~ย!+xr=1 ! ~y!+xr=b (x +Y =b
มีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันสี่แบบใช่ไหม?
9.208. ค่าของพารามิเตอร์ c ใดที่ระบบสมการ
มีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันแปดแบบใช่ไหม
9.204. แก้ระบบสมการ
โดยที่ a)O และพิสูจน์ว่าถ้า a เป็นจำนวนเต็ม แล้วสำหรับ
สำหรับแต่ละคำตอบ (x; y) ของระบบที่กำหนด ตัวเลข 1+xy คือกำลังสองของจำนวนเต็ม
9.205. ระบบสมการมีค่าพารามิเตอร์เท่าใด
x"+ y"+ 2xy - bx - bu+ 10 - a = O,
x"+ y" - 2xy - 2x+ 2Y+ a = O
มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธีใช่ไหม
แก้ระบบหาค่าที่พบของ a
9.206. ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ที่ระบบ
สมการ (x"+(y - 2)"=1 มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งข้อ
9.207. ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ซึ่งวงกลม x" + d" = 1 และ (x - a) " + d" = 4 สัมผัส
9.208. ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a (a>O) ซึ่งวงกลม x"+d"=1 และ (x - 3)"+(d - 4)"=a" สัมผัส
ค้นหาพิกัดของจุดติดต่อ
9.209. ค้นหาค่าทั้งหมดของ (a>0) ที่เป็นวงกลม
x"+d"=a" แตะเส้น 3x+4d=12 ค้นหาพิกัดของจุดสัมผัส
D" - 2x+ 4d = 21 ค้นหาพิกัดของจุดตัดกัน
เส้นตรงและวงกลม
9.211. เส้นตรง ed=x+1 จะเป็นค่าเท่าใดของพารามิเตอร์ a
ผ่านจุดศูนย์กลางวงกลม (x - 1) + (d - a)"=8?
ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นตรงและวงกลม
9 212 เป็นที่รู้กันว่าเส้นตรง d = 12x - 9 และพาราโบลา d = ax" มี
มีเพียงจุดเดียวเท่านั้น ค้นหาพิกัดของจุดนี้
9.213. วงกลมมีค่า b และ z (b>0, z>0) เท่าใด
(x - 1)"+(d - b)"=g" จะแตะเส้นตรง d=0 และ d= - x?
ค้นหาพิกัดของจุดสัมผัส
9.214. วาดบน ประสานงานเครื่องบินชุดคะแนนด้วย
พิกัด (ก; ข) เช่น ระบบสมการ
มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี
9.215. ระบบสมการมีค่าพารามิเตอร์เท่าใด
ก (x"+ 1) = d - ~ x ~ + 1,
มีวิธีแก้ปัญหาเดียวเหรอ?
9 1อ. ปัญหาเกี่ยวกับข้อความ
โดยปกติปัญหาคำศัพท์จะได้รับการแก้ไขตามรูปแบบต่อไปนี้: เลือกสิ่งที่ไม่รู้จัก สร้างสมการหรือระบบสมการและในปัญหาบางอย่าง - ความไม่เท่าเทียมกันหรือระบบความไม่เท่าเทียมกัน แก้ระบบผลลัพธ์ (บางครั้งก็เพียงพอที่จะค้นหาชุดค่าผสมของสิ่งที่ไม่รู้จักจากระบบ และไม่ได้แก้ไขด้วยวิธีปกติ)
ขนาด : px
เริ่มแสดงจากหน้า:
การถอดเสียง
1 1 จำนวนคำตอบของระบบสมการ วิธีไดนามิกแบบกราฟิก หากต้องการค้นหาจำนวนคำตอบของระบบสมการที่มีพารามิเตอร์ เทคนิคต่อไปนี้มีประโยชน์: เราวาดกราฟของแต่ละสมการสำหรับค่าคงที่ที่แน่นอนของพารามิเตอร์ และค้นหาหมายเลข จุดทั่วไปกราฟที่สร้างขึ้น แต่ละจุดร่วมคือหนึ่งในคำตอบของระบบ ต่อไป เราจะเปลี่ยนพารามิเตอร์ทางจิตใจและจินตนาการว่ากราฟของสมการที่มีพารามิเตอร์ถูกแปลงอย่างไร พัฒนาจินตนาการเพื่อฝึกจินตนาการของคุณ ให้พิจารณาปัญหาทั่วไปหลายประการ ให้เราเรียกค่าพารามิเตอร์พิเศษที่จำนวนโซลูชันเปลี่ยนแปลงไป ของกราฟใดกราฟหนึ่งไปตกบนกราฟอื่น ตามกฎแล้ว เมื่อผ่าน จุดพิเศษจำนวนวิธีแก้ปัญหาเปลี่ยนไปสอง และเมื่อถึงจุดนี้ จะแตกต่างไปหนึ่งจากจำนวนวิธีแก้ปัญหา การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยพารามิเตอร์ ลองพิจารณาปัญหาที่จำเป็นต้องค้นหาจำนวนคำตอบของระบบสมการซึ่งหนึ่งในนั้นขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ a และอีกอันไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรในระบบ x และ y เราพิจารณาตัวเลข xi yi, r จะได้รับค่าคงที่ ในระหว่างการเฉลยแต่ละครั้ง เราจะสร้างกราฟของทั้งสองสมการ เราจะตรวจสอบว่ากราฟของสมการที่มีพารามิเตอร์เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อค่าของพารามิเตอร์เปลี่ยนแปลงไป จุดร่วมของกราฟที่สร้างขึ้น) ในรูปเชิงโต้ตอบ กราฟของสมการที่ไม่มีพารามิเตอร์จะแสดงเป็นสีน้ำเงิน และกราฟไดนามิกของสมการที่มีพารามิเตอร์จะแสดงเป็นสีแดง เพื่อศึกษาหัวข้อ (ภารกิจ 1 7 ) ใช้ไฟล์ InMA 11, 5 จำนวนโซลูชันของระบบที่มีพารามิเตอร์ สำหรับการวิจัย (งาน 8) ให้ใช้ไฟล์ GInMA จำนวนโซลูชันของระบบที่มีพารามิเตอร์ (x x0) + (y y0) = r; 1 ค้นหาจำนวนคำตอบของระบบ (x x1) + y = a (x x0) + (y y 0) = r; ค้นหาจำนวนคำตอบของระบบ y = kx + a (x x0) + (y y0) = r; 3 ค้นหาจำนวนคำตอบของระบบ y = ax + y1 (x x0) + (y y0) = r; 4 ค้นหาจำนวนคำตอบของระบบ (x x1) + y = a (x x0) + y y0 = r; 5 ค้นหาจำนวนคำตอบของระบบ (x x0) + (y y0) = a (x x0) + (y y0) = r; 6 ค้นหาจำนวนคำตอบของระบบ y = x a + y1 x x0 + y y0 = r; 7 ค้นหาจำนวนคำตอบของระบบ (x x0) + (y y0) = a f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 ค้นหาจำนวนวิธีแก้ปัญหาของระบบ VV Shelomovsky Thematic kits, cmdru/
2 1 กราฟของสมการเส้นโค้งเรียบ (x x0) + (y y0) = r; ภารกิจที่ 1 หาจำนวนคำตอบของระบบ (x x1) + y = a ผลเฉลย: กราฟของสมการแรกคือวงกลมรัศมี r โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O(x0; y0) กราฟของสมการที่สองคือ a วงกลมรัศมี a โดยมีจุดศูนย์กลางบนแกน x ที่จุด A(x1 ; 0) จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่นิ่ง รัศมีจะเป็นตัวกำหนดพารามิเตอร์ เมื่อโมดูลัสของพารามิเตอร์เพิ่มขึ้น วงกลมจะ "พองตัว" ค่าพิเศษ ของพารามิเตอร์คือค่าที่จำนวนรากเปลี่ยนแปลง นั่นคือค่าพารามิเตอร์ที่วงกลมของกราฟที่สองสัมผัสกับวงกลมของกราฟแรก เงื่อนไขสำหรับวงกลมที่จะสัมผัสโมดูลัสของผลรวม หรือผลต่าง รัศมีของวงกลมเท่ากับระยะระหว่างศูนย์กลาง: a ± r = AO a = ± AO ± r การวิจัย: โดยการเปลี่ยนค่าของตัวแปรและพารามิเตอร์ ให้หาจำนวนคำตอบของระบบ เพื่อเริ่มการศึกษาด้วยกรณีที่ง่ายที่สุด y0 = 0 เมื่อแกนร่วมของวงกลมอยู่ในแนวนอน และ x0 = x1 เมื่อแกนร่วมของวงกลมอยู่ในแนวตั้ง ในกรณีทั่วไป ให้ใช้สามเหลี่ยมพีทาโกรัส เช่น x0 x1 = 3, y0 = ±4 โดยทั่วไปแล้วสำหรับค่ามอดุลัสของพารามิเตอร์ทั้งขนาดเล็กและขนาดใหญ่จะไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากวงกลมที่แยกออกจากกันสองวงสามารถมีจุดร่วมกันได้ไม่เกินสองจุด จำนวนวิธีแก้ปัญหาในกรณีทั่วไปจะไม่เกิน สอง ที่จุดสัมผัส จำนวนคำตอบจะเท่ากับหนึ่ง โดยมีค่ากลางของพารามิเตอร์ที่สอง งานสร้างสรรค์ค้นหาค่าของพารามิเตอร์ที่มีสามจุดที่แตกต่างกัน (x 1) + (y y0) = 9; เป็นการแก้ระบบสมการ (x x1) + y = a (x x0) + (y y0) = r; งาน ค้นหาจำนวนคำตอบของระบบ y = kx + a วิธีแก้: กราฟของสมการแรกคือวงกลมรัศมี r โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O(x0; y0) กราฟของสมการที่สองคือกลุ่มของ เส้นขนานที่ผ่านจุด A(0; a) และมีความชันคงที่ ค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงจะเท่ากับ k เมื่อพารามิเตอร์เพิ่มขึ้น เส้นตรงจะเลื่อนขึ้นด้านบน คือค่าที่จำนวนรากเปลี่ยนแปลงนั่นคือค่าของพารามิเตอร์ที่เส้นตรงสัมผัสกับวงกลม เราค้นหาเงื่อนไขของการสัมผัสกันโดยการเทียบแทนเจนต์ของมุมเอียงของวงกลมและ เส้นตรง ชุดเฉพาะเรื่อง VV Shelomovsky, cmdru/
3 3 เมื่อแก้สมการผลลัพธ์ เราจะพบพิกัดของจุดสัมผัสสองจุด: kr x = x0 ± ; x0 x 1 + k = k k (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ k เมื่อแทนนิพจน์ที่ได้รับลงในสมการของเส้นตรง เราจะพบค่าของพารามิเตอร์ที่จุดเอกพจน์: a = y 0 kx0 ± r 1 + k การวิจัย : โดยการเปลี่ยนค่าของตัวแปรและพารามิเตอร์ ให้ค้นหาจำนวนคำตอบของระบบ แนะนำให้เริ่มการศึกษาด้วยกรณีที่ง่ายที่สุด k = 0 เมื่อเส้นเป็น ขนานกับแกนแอบสซิสซา จากนั้นพิจารณากรณีที่แตกรากออก (เช่น k = 3) ให้สนใจกรณียอดนิยม k = 1 สำหรับขนาดเล็กและที่ ค่าขนาดใหญ่ไม่มีพารามิเตอร์การแก้ปัญหา เนื่องจากเส้นตรงและวงกลมสามารถมีจุดร่วมกันได้ไม่เกินสองจุด จำนวนการแก้ปัญหาจึงไม่เกินสอง สำหรับค่าของพารามิเตอร์ที่สอดคล้องกับสัมผัสกัน จำนวนการแก้ปัญหาจะเท่ากับหนึ่ง ; สำหรับค่ากลางของพารามิเตอร์ 2 งานสร้างสรรค์ เป็นที่ทราบกันดีว่าระบบสมการนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหามากกว่าหนึ่งข้อ ค้นหาค่าของพารามิเตอร์ที่ระบบสมการมีคำตอบ: (x) + (y 3) = ร; y = x + ก (x x0) + (y y0) = r; 3 จงหาจำนวนคำตอบของระบบ y = ax + y1 ผลเฉลย: กราฟของสมการแรกคือวงกลมรัศมี r โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O(x0; y0) กราฟของสมการที่สองคือกลุ่มของ เส้นที่ผ่านจุด A(0; y1) แทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้น ( a) จะกำหนดค่าของพารามิเตอร์ เมื่อพารามิเตอร์เพิ่มขึ้น มุมระหว่างกราฟและทิศทางบวกของแกน x เพิ่มขึ้น ค่าพิเศษของพารามิเตอร์คือค่าที่จำนวนรากเปลี่ยนแปลงนั่นคือค่าพารามิเตอร์ที่เส้นตรงสัมผัสกับวงกลม หากจุด A(0; y1) อยู่ภายใน วงกลม จากนั้นเส้นตรงที่เป็นไปได้จะตัดวงกลมที่จุดสองจุด เราค้นหาเงื่อนไขแทนเจนต์โดยการเทียบค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของวงกลมและเส้นตรง เมื่อแก้สมการผลลัพธ์ เราจะพบพิกัดของจุดแทนเจนต์สองจุด : ชุดเฉพาะเรื่อง VV Shelomovsky, cmdru/
4 4 อาร์ x = x0 ± ; x0 x 1 + a = a a (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ a เมื่อแทนนิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการของเส้นตรง เราจะพบค่าของพารามิเตอร์ที่ (y1 y 0) r จุดเอกพจน์ ถ้า x0 = 0 ดังนั้นค่าพิเศษของพารามิเตอร์ a = ± r ถ้า y0 = y1, x0 r ดังนั้นค่าพิเศษของพารามิเตอร์ a = ± (y1 y 0) r r x0 ถ้า x0 = ± r จากนั้นวงกลมจะสัมผัสกับเส้นแนวตั้งที่ผ่านจุด r (y1 y 0) A(0; y1) และค่าของพารามิเตอร์ a = ในกรณีอื่นๆ x0 (y1 y 0) a= x0 (y 0 y1) ± r (x0 + (y 0 y1) r) r x0 การวิจัย: โดยการเปลี่ยนค่าของตัวแปรและพารามิเตอร์ ให้ค้นหาจำนวนคำตอบของระบบ แนะนำให้เริ่มการศึกษาด้วยกรณีที่ง่ายที่สุด y0 = y1, x0< r, когда точка А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум Рассмотрите случай х0 = r, когда число решений легко найти (х0 = r =, y0 = 3, y1 =) Затем рассмотрите случаи, когда корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r =, y1 =) Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при остальных значениях параметра нулю или двум (x + 3) + (y 5) = r ; при всех y = ax + 1 Творческое задание Известно, что система уравнений значениях параметра, кроме одного, имеет два решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение (x x0) + (y y0) = r ; 4 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число общих точек построенных графиков График первого уравнения это пара окружностей одинакового радиуса r Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/
5 5 เหมือนกันในค่าสัมบูรณ์ แต่ต่างกันในเครื่องหมาย Abscissa ±x0 กราฟจะแสดงเป็นสีน้ำเงินและสีม่วง กราฟของสมการที่ 2 เป็นวงกลมรัศมี a โดยมีจุดศูนย์กลางบนแกน abscissa ที่จุด A(x1; 0) แบบพิเศษ ค่าของพารามิเตอร์คือค่าที่จำนวนรากเปลี่ยนแปลง นั่นคือค่าของพารามิเตอร์ที่วงกลมของกราฟที่สองสัมผัสกับวงกลมของกราฟแรก เงื่อนไข Tangency: ผลรวมหรือ ผลต่างของรัศมีของวงกลมเท่ากับระยะทางจากศูนย์กลางถึงศูนย์กลาง: a ± r = AO และ ± r = AQ การวิจัย: โดยการเปลี่ยนค่าของตัวแปรและพารามิเตอร์ ให้ค้นหาจำนวนคำตอบของระบบ ใช้ค่าจำนวนเต็มสำหรับระยะห่างจากศูนย์กลางถึงกึ่งกลางหนึ่งค่า (เช่น x0 = 6, y0 = 3, r = 3, x1 =) โดยทั่วไปแล้วสำหรับค่าสัมบูรณ์ขนาดเล็กและค่าขนาดใหญ่ของพารามิเตอร์จะไม่มีวิธีแก้ไข ที่จุดสัมผัส จำนวนรากเป็นเลขคี่ จุดอื่นๆ จำนวนรากเป็นเลขคู่ ( x 6) + (y y 0) = r; งานสร้างสรรค์ เป็นที่ทราบกันดีว่าระบบสมการสำหรับ (x x1) + y = ค่าหนึ่งของพารามิเตอร์มีคำตอบสองประการที่ค่าพารามิเตอร์นี้ กราฟจะแตะ ค้นหาค่าของพารามิเตอร์นี้ (x x0) + ใช่ y0 = r; 5 จงหาจำนวนคำตอบของระบบ (x x0) + (y y0) = a ผลเฉลย: กราฟของสมการแรกประกอบด้วยพาราโบลาคู่หนึ่งที่มาบรรจบกันที่ y = y0 สมการของพาราโบลา y = y0 ± (r ( x x0)) มีแกนนอนสมมาตร y = y0 แกนตั้งสมมาตร x = x0 จุดศูนย์กลางสมมาตร (x0, y0) กราฟที่สองคือวงกลมรัศมี a ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลาง ของความสมมาตรของพาราโบลา จำนวนรากจะเปลี่ยนไปตามค่าพารามิเตอร์ที่วงกลมของกราฟที่สองสัมผัสกับจุดยอดของพาราโบลา ณ จุดที่สัมผัสกัน: x = x0, y = y0 ± r = y = y0 ± a ดังนั้น a = ± r จำนวนรากจะเปลี่ยนไปตามค่าของพารามิเตอร์ที่วงกลมของกราฟที่สองที่มีพาราโบลาสัมผัสกันภายใน หากต้องการค้นหาค่านี้ ให้เปลี่ยนจากระบบสมการไปเป็นสมการที่มีตัวแปรตัวเดียว : (y y 0) = a (x x0) = (r (x x0)) นี่คือสมการกำลังสองสำหรับ (x x 0) โดยมีหนึ่งรากหากตัวจำแนกเป็นศูนย์: VV Shelomovsky Thematic sets, cmdru/
6 6 D = (r 0.5) (r a) = 0, a = ± r 1 4 จำนวนรากเปลี่ยนแปลงที่ค่าพารามิเตอร์ที่วงกลมและพาราโบลาตัดกันที่จุดแตกหักของกราฟแรก นั่นคือที่ y = y0 การวิจัย : โดยการเปลี่ยนค่าของตัวแปรและพารามิเตอร์ให้ค้นหาจำนวนคำตอบของระบบ ใช้ค่า r = 1, 4 และ 9 โปรดทราบว่าพารามิเตอร์ x0 และ y0 ไม่มีผลกับคำตอบ สำหรับปัญหา สำหรับค่าสัมบูรณ์ขนาดเล็กและค่าขนาดใหญ่จะไม่มีวิธีแก้ไข x x0 + y0 = r; 6 จงหาจำนวนคำตอบของระบบ (x x0) + (y y0) = a ผลเฉลย: กราฟของสมการแรกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เอียงเป็นมุม 45 ถึงแกนพิกัด ความยาวครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมของ ซึ่งเท่ากับ r กราฟที่สองคือวงกลมรัศมี a ซึ่งจุดศูนย์กลางอยู่ในสมมาตรกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส จำนวนรากเปลี่ยนแปลงตามค่าของพารามิเตอร์ที่วงกลมผ่านจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในกรณีนี้ y = y0, a = ±r จำนวนรากจะเปลี่ยนไปตามค่าของพารามิเตอร์ที่วงกลมสัมผัสกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสภายใน หากต้องการค้นหาค่านี้ ให้เปลี่ยนจากระบบสมการไปเป็นสมการ โดยมีตัวแปรตัวเดียว: (y y 0) = a (x x0) = (r x x0) นี่คือสมการกำลังสองสำหรับ x x 0 โดยมีหนึ่งรากหากตัวจำแนกเป็นศูนย์ ยิ่งกว่านั้น a = ± r รัศมีของวงกลมในนี้ case หมายถึงรัศมีในกรณีก่อนหน้า เช่น sin 45: 1 VV Shelomovsky Thematic kits, cmdru/
7 7 (x x0) + (y y0) = ร ; 7 จงหาจำนวนคำตอบของระบบ y = x a + y1 กราฟของสมการแรกเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O(x0; y0) กราฟของสมการที่สองประกอบด้วยรังสีสองเส้นที่มีจุดกำเนิดร่วม: “นก ปีก up” จุดยอดของกราฟอยู่ที่จุด A(a; y1) จำนวนรากเปลี่ยนแปลงตามค่าของพารามิเตอร์ที่ "ปีก" ของกราฟที่สองสัมผัสกับวงกลมหรือจุดยอดของกราฟอยู่ วงกลมนี้ ค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของ "ปีกขวา" กับแกน x เท่ากับ 1 ซึ่งหมายถึงเส้นตรง r x = x ±, k 0 ที่มีปีกนี้สัมผัสวงกลมที่จุด (xk; yk) โดยที่ r yk = y0 เงื่อนไขของการสัมผัส yk = xk a + y1 a = xk yka + y1= x0 y0 + y1 ± r เนื่องจาก “ปีก” เป็นรังสีที่พุ่งขึ้นด้านบน จึงมีเงื่อนไขเสริมว่าพิกัดของ จุดยอดไม่ควรเกินพิกัดของจุดสัมผัสนั่นคือ y1 yk y0 y1 ± r เราก็เขียนเงื่อนไขการสัมผัสกับ "ปีกซ้าย" ในทำนองเดียวกันหากจุดยอดของกราฟอยู่บนวงกลม จากนั้นพิกัดจะเป็นไปตามสมการของวงกลม: (a x0) + (y1 y0) = r โดยการเปลี่ยนค่าของพารามิเตอร์ ให้ตรวจสอบจำนวนวิธีแก้ปัญหาของระบบ นั่นคือจำนวนจุดร่วมของกราฟ ที่จุดเอกพจน์จำนวนรากเป็นเลขคี่ ณ จุดอื่นจำนวนรากเป็นเลขคู่ (x) + (y y 0) = r งานสร้างสรรค์ เป็นที่ทราบกันดีว่าระบบสมการสำหรับ y = x a + y1 ซึ่งเป็นค่าที่แน่นอน ของพารามิเตอร์มีสามคำตอบ ค้นหาค่าของพารามิเตอร์นี้หากรู้ว่าพิกัดของทั้งสองคำตอบตรงกัน f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 ค้นหาจำนวนวิธีแก้ปัญหาของระบบ กำหนดฟังก์ชันด้วยตัวเองตามตัวอย่างและสำรวจจำนวนวิธีแก้ปัญหา VV Shelomovsky ชุดเฉพาะเรื่อง, cmdru/
8 8 BB Shelomovsky ชุดเฉพาะเรื่อง, cmdru/
9 9 งาน C5 (Semyonov Yashchenko) ตัวเลือก 1 ค้นหาค่าทั้งหมดของ a ซึ่งแต่ละชุดของการแก้ปัญหาสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน 4 x 1 x+ 3 a 3 คือส่วนที่ 3 a 4 x การคิด ดำเนินการแปลง x b 1, 1 x b 1, 4 x 1 x+ 3 a x b 3=, b=3 a 3 a 4 x x (x) 0, (x +1) b 1 0 เส้นเขตแดนของระนาบ x 3a คือ: x = 0, x =, x= 3a, x=± 3 a= (x+ 1) 1 4 ถ้า 0 x แล้ว b< 4x, b (x +1) 1 Так как 4x >(x +1) 1 แล้ว b (x +1) 1 ถ้า 0 > x แล้วก็ b > 4x, (x +1) 1 b มีวิธีแก้สำหรับ 1 b เช่น x = 1 ถ้า x > แล้ว b > 4x, (x +1) 1 b ตั้งแต่ 4x< (x +1) 1, то (x +1) 1 b Значит, решения таковы Если 3а >8 แล้ว x [ 3 a+ 1 1.0] [, 3 a +1 1] ถ้า 3a = 8 แล้ว x [ 4.0] x [ 3 a +1 1.0] [ 3 a+1 1, ] ถ้า 0< 3а < 8, то Если 3а = 0, то х [,0) (0, ] Если 1< 3а < 0, то х [ 3 a +1 1, 3 a+1 1] [ 0, ] Если 1 = 3а, то х 1 } Если 1 >3a แล้ว x วิธีแก้ ให้ 1 3a แล้ว x = 1 เป็นไปตามอสมการ 4 x 1 x+ 3 a 16+3 a 3 a 3 = 3 = ขัดแย้งกัน ตัวเลขนี้อยู่นอกช่วง 3 a 4 x 3 a+ 4 3 a +4 ให้ 1 > 3a จากนั้น x b 1, 4 x 1 x+3 a x b 3=, b=3 a< 1 3 a 4 x 1 x b 1, x (x) 0, (x +1) b 1 0 Числа из промежутка 0 х удовлетворяют обоим неравенствам Если x >จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันประการแรกไม่พอใจ ชุด VV Shelomovsky Thematic, cmdru/
10 10 ถ้า 0 > x แล้ว b (x +1) 1 ความไม่เท่าเทียมกันที่สองไม่เป็นที่พอใจ คำตอบ: 1 > 3a ตัวเลือก 3 ค้นหาค่าทั้งหมดของ a สำหรับแต่ละค่าซึ่งสมการ a +7 x x + x +5 มีอย่างน้อยหนึ่งราก = a+ 3 x 4 a +1 คิด ให้ f (a, x)=a +7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 จุดเอกพจน์ของฟังก์ชัน x + 1 = 0 ถ้า x = 1 จากนั้นสมการจะมีรูปแบบ a +10 a 1 a =0 มันง่ายที่จะหาคำตอบทั้งสี่ของมัน จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าฟังก์ชันเดิมมีค่ามากกว่าคำตอบนี้เสมอ ให้ f (a, x)=a + 7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 สมการ f (a, x)=0 จากนั้น f (a, 1)=a +10 a 1 a =0 ผลต่าง f (a, x) f (a, 1) =7 x +1 +5(x + x +5)+ 3 4 a 3 x 4 a+1 3(x a 4 a x 1) 0 ซึ่งหมายความว่าสมการ f (a, x)=0 จะมีรากก็ต่อเมื่อ f (a, 1) 0 สมการ f (a, 1)=0 มีสี่ราก a 1= , a = , a 3= , a 4 = ฟังก์ชัน f (a, 1) 0 (ไม่ใช่ค่าบวก) สำหรับ a ตัวอย่างเช่น ถ้า a = 10 แสดงว่ามีรูท สำหรับค่าอื่น ๆ ของ x = f (a, x) f (a, 1)>0 ไม่มีรูท คำตอบ: [ 5 15, 5+ 15] ตัวเลือก 5 ค้นหาทั้งหมด ค่าของ a สำหรับแต่ละสมการที่สมการ a +11 x+ +3 x + 4 x + มีอย่างน้อยหนึ่งรูต 13=5 a+ x a + เราใช้ฟังก์ชัน f (a,)=a +9 5 a 4 a =0 และอสมการ f (a, x) f (a,) (x+ + a x a+) 0 คำตอบ: [ , ] ตัวเลือกที่ 9 ค้นหาจำนวนรากของสมการ x + 4x 5 3a = x + a 1 ลองคิดดู ลองพิจารณาคำสั่ง (ชัดเจน) ต่อไปนี้ รู้จัก ให้ฟังก์ชัน f(x) และ g(x) ถูกกำหนดในช่วงเวลาหนึ่ง ให้อนุพันธ์ของค่าหนึ่งมีค่ามากกว่าในช่วงเวลาอื่น ๆ ปล่อยให้ค่าต่างของค่าของ ฟังก์ชันทางด้านซ้ายมีเครื่องหมายหนึ่งอัน ทางด้านขวาอีกอันหนึ่ง จากนั้นสมการ f(x) = g(x) มีหนึ่งรูตพอดี ให้เราแทน f(x, a) = 3a + x + a , g(x) = x + 4x สมการ f(x, a) = g(x) VV Shelomovsky ชุดเฉพาะเรื่อง, cmdru/
11 11 จุดเอกพจน์ของฟังก์ชัน g(x) มีค่าน้อยที่สุดที่ x = 1 และ x = 5 และสูงสุดที่ x = ค่า g(1) = g(5) = 1, g() = 10 ฟังก์ชันมี แกนสมมาตร x = 3 เมื่อค่า x มีขนาดใหญ่ ฟังก์ชันกำลังสอง g(x) มากกว่าเส้นตรง f(x, a) ความชันของฟังก์ชันนอกช่วง [ 5,1] ถูกกำหนดโดยอนุพันธ์ (x + 4x 5)" = x สำหรับ x > 1 ฟังก์ชัน g(x ) สำหรับ x > 1 เพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากโดยมีค่าสัมประสิทธิ์มากกว่า 6 เนื่องจากความสมมาตร ฟังก์ชัน g(x) จึงลดลงแบบซ้ำซากโดยมีค่าสัมประสิทธิ์มากกว่า 6 ที่ x< 5 Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (5, 1) При этом производная (x 4x + 5)" = x 4 = 1 Значит, в точке x = 5 наклон равен 1 Функция f(x, a) = 3а + x + a монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а >0 ค่าที่จำนวนจุด f(а, a) = 3а, f(5, a) = 3а + 5 a, f(, a) = 3а + a, f(1, a) = 3а + 1 + a กราฟ f (x, a) และ g(x) สัมผัสกัน หากความชันเท่ากันสามารถสัมผัสได้ที่ x = 5 นอกจากนี้ g(x) = 39/4 f(x, a) = 4a + x = 39/4, 4a = 49 /4, a = 49/16 วิเคราะห์รากของสมการ f(x, a) = g(x) ถ้า a<, f(5, a) = а +5 < 1, f(1, a) = а 1 < 5 f(x, a) < g(x), так как в промежутке 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x) Если x >1, g(x) เพิ่มขึ้นเร็วกว่า f(x, a) นั่นคือ f(x, a) ทุกแห่ง< g(x) Если x < 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Других корней нет Если a =, f(5, a) = 1, f(1, a) = 5 f(5,) = g(5) Один корень х = 5 Во всех других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае Если < a < 0, f(5, a) = а +5 >1, ฉ(1, ก) = 4a + 1< 1f(, a) = а + < 10 При x >ฉ(x, ก)< g(x), корней нет При x < f(1,a) >1 ที่ x< 5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно убывающую левую ветвь f(x,а), один корень При 5 < x < возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего корней два, один при x < 5, второй при 5 < x < Если a = 0, f(5, a) = 5, f(1, a) = 1 f(1, a) = g(1), один корень х = 1 Как и раньше, один корень при x < 5, один корень при 5 < x < Всего корней три Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x <, два на правой при x >ถ้า a = 3, f(3, 3) = 8 = g(3), f(, 3) = 10 = g() จะมี 4 ราก หนึ่งหรือสองรากทางด้านซ้ายของ f(x, a) ที่ x< 5, один в вершине f(х, 3) при x = 3, один в вершине g(x) при x =, один при x >1 ถ้า 3< a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, два на правой ветви g(x) при 3 < x <, один при x >1 ถ้า a = 49/16 แล้วจำนวนรากคือ 3 ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของ f(x, a) ที่ x< 5, один в точке касания при x = 5, один при x >1 ถ้า a > 49/16 แล้วเป็นจำนวนราก ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของ f(x, a) ที่ x< 5, один на правой при x >1 คำตอบ: ไม่มีรากสำหรับ< ; один корень при a =, два корня при < a < 0 или 49/16 < a, три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/
12 1 ตัวเลือก 10 ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ซึ่งแต่ละสมการ 4x 3x x + a = 9 x 3 มีสองราก วิธีแก้ไขแสดงว่า f(x, a) = 4x 3x x + a, g(x ) = 9 x 3 จุดเอกพจน์ของฟังก์ชัน g(x) คือ x = 3 ฟังก์ชันลดลงแบบซ้ำซากด้วยปัจจัย 9 เป็น x< 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x >3 ฟังก์ชัน f(x, a) มีลักษณะเชิงเส้นเป็นชิ้น ๆ โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ 8, 6 หรือ 0 ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน f(x, a) จะไม่ลดลง อัตราการเติบโตของฟังก์ชันจะน้อยกว่าอัตราการเติบโตทางขวาของฟังก์ชัน 9 x 3 f( 3, a) = กราฟของสิ่งนี้ นิพจน์เป็นเส้นประที่มีจุดยอด (1, 1), (3, 3), (6, 1) ค่าของฟังก์ชันเป็นบวกสำหรับ (4, 18) ตามมาจากสิ่งที่พบ ถ้า f(3,a)< 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) >f(x, a) ถ้า f(3, a) = 0 สมการจะมีรากเดียว x = 3 พอดี สำหรับ x ตัวอื่น g(x)> f(x, a) ถ้า f(3, a) > 0 จะได้ สมการมีสองรากพอดี หนึ่งรากที่ x< 3, когда пересекаются убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a) Другой при x >3 เมื่อสาขาที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว g(x) ตัดกับสาขาที่เพิ่มขึ้นอย่างช้าๆ f(x, a) คำตอบ: a (4, 18) ตัวเลือก 11 ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a สำหรับแต่ละค่าสำหรับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์ b มีระบบแก้สมการอย่างน้อยหนึ่งระบบ (1+ 3 x)a +(b 4 b+5) y =, x y +(b) x y+ a + a=3 คิดว่า ระบบมีรูปแบบ (1+ 3 x)a +(1+(b) ) y =, สะดวก x y +(b) x y=4 (a+ 1) a (1+3 x) =1, ผลเฉลย x = y = 0 และ x y =4 (a +1) มองเห็นได้ค่าที่สอดคล้องกันของพารามิเตอร์ a = 1 และ a = 3 วิเคราะห์จุดเอกพจน์ b = จากนั้น (1+ 3 x)a +(1+(b)) y =, x y +(b) x y=4 (a+ 1) คำตอบ เราเขียนระบบในรูปแบบ คำตอบ x = y = 0 มีอยู่เสมอสำหรับ a = 1 หรือ a = 3 ถ้า b = ระบบจะมีรูปแบบ (1+ 3 x)a +1 y = หรือ x y =4 (a +1) (1+3 x)a=1, x y =4 (a +1) ถ้า a > 1 หรือ a< 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение Если 1 < a < 3, из второго уравнения получим, что x >0 จากครั้งแรกที่เราพบ a = 0 ให้ a = 0 จากนั้นสำหรับ b = 4 จากสมการแรกที่เราได้รับว่า y = 0 ในเวลาเดียวกันสมการที่สองไม่มีวิธีแก้ปัญหาคำตอบ: 1 หรือ 3 VV Shelomovsky ชุดเฉพาะเรื่อง cmdru/
13 13 ตัวเลือก 14 ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ซึ่งแต่ละค่าโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างรากของสมการ x 6x a 4a = 0 รับ มูลค่าสูงสุดวิธีแก้ปัญหา เราเขียนสมการในรูปแบบ (x 3) = 1 (a) วิธีแก้ปัญหา = 0 เนื่องจากช่วงเวลาของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ปัญหาสามารถแก้ไขได้สำหรับเซ็กเมนต์ x = 3± 1 (a) ที่ใหญ่ที่สุด ความแตกต่างในรากเท่ากับ a = คำตอบ: ตัวเลือก 15 ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ซึ่งแต่ละสมการ (4 4 k) sin t =1 มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งรายการในช่วงเวลา [ 3 π ; 5 π ] cos t 4 sin t วิธีแก้ เนื่องจากคาบของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ปัญหาจึงสามารถแก้ไขได้สำหรับเซ็กเมนต์ t [ π ; 15 π ] จากนั้นลบ 4π ออกจากแต่ละคำตอบที่ได้รับ แปลงสมการเป็นรูปแบบ + 4 k sin t cos t =0 cos t 4 sin t บนเซ็กเมนต์ t [ π ; 15 π ] ไซน์ลดลงอย่างซ้ำซากจากศูนย์ถึงลบหนึ่ง โคไซน์เพิ่มขึ้นจากลบหนึ่งเป็นศูนย์ ตัวส่วนไปที่ศูนย์ที่ 4tgt = 1 นั่นคือที่ sin t = 1 4, cos t = ตัวเศษที่ t = π เท่ากับ 1 ที่ t = 15π เท่ากับ 4k ถ้า k 0 ตัวเศษเป็นบวกและสมการไม่มีราก ถ้า k > 0 เทอมตัวแปรทั้งสองตัวของตัวเศษลดลง กล่าวคือ ตัวเศษจะเปลี่ยนแบบซ้ำซาก ซึ่งหมายความว่าตัวเศษรับค่าศูนย์หนึ่งครั้งหาก k 05 และเป็นบวกสำหรับค่าที่น้อยกว่า k สมการจะมีรากหากตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ นั่นคือในกรณีของ 4k =+ 4 k sin t cos t + k คำตอบ: k [ 05,+)\1+ ) ตัวเลือก 18 ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์โดยแต่ละค่าซึ่งระบบสมการ (x a 5) +(y 3 a +5) = 16, (x a) +(y a+1)=81 มีวิธีแก้เฉพาะตัว ลองคิดดู แต่ละสมการอธิบายวงกลม คำตอบจะไม่ซ้ำกันในกรณีของวงกลมแทนเจนต์ วิธีแก้ สมการแรกกำหนดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (a + 5, 3a 5) และรัศมี 4 สมการที่สองคือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (a +, a 1) โดยมีรัศมี 9 BB Shelomovsky Thematic kits, cmdru/
14 14 ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะหากวงกลมสัมผัสกัน ในกรณีนี้ ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางจะเท่ากับ = 13 หรือ 0 4 = 5 กำลังสองของระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางถึงจุดศูนย์กลาง: ((a + 5) (a + )) + ((3a 5) (a 1)) = a a + 5 ถ้าระยะทางเป็น 5 แล้ว a = 0 หรือ a = 1 ถ้าระยะทางเป็น 13 แล้ว a = 8 หรือ a = 9 คำตอบ: 8, 0 , 1, 9 ตัวเลือกที่ 1 ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์สำหรับแต่ละสมการที่มีสมการที่ไม่เป็นลบสองสมการ 10 0.1 x a 5 x + a =004 x โซลูชันทำการแปลง 5 x a 5 x + a =5 x ให้ เราแสดงว่า t = 5x 1 เนื่องจากความซ้ำซากจำเจ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง 5x แต่ละราก t 1 สร้างหนึ่งราก x 0 สมการจะอยู่ในรูปแบบ t a t+ a t =0 ถ้า a t แล้ว t + 3t + a = 0 ไม่มีรากใดที่มากกว่า 1 ถ้า t > a t/ แล้ว t t + 3a = 0 สำหรับ t > 1 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน โดยจะมีเพียงรากเดียว หาก 1/ > t/ > a ดังนั้น t 3t a = 0 สำหรับ t > 1 ฟังก์ชัน t 3t จะลดลงแบบโมโนโทนจากที่ t = 1 ถึง 5 ที่ t = 15 แล้วเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซาก ซึ่งหมายความว่าสำหรับ 5 > a มีสองราก สำหรับ a ที่เล็กกว่า จะไม่มีราก สำหรับ a ที่ใหญ่กว่า จะมีหนึ่งรากเท่านั้น คำตอบ: 5 > a ตัวเลือก ค้นหา ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ จำนวนคำตอบของระบบ x (a+1) x+ a 3= y, y (a +1) y + a 3= x การคิด ระบบมีรูปแบบ f(x)= y, f(y)= x หรือ f(f(x)) = x หนึ่งในคำตอบ f(x)= x เราจะหาคำตอบที่สอง โดยลบสมการ คำตอบ ลบคำตอบที่สองจากสมการแรก เราจะได้ (x + y a)(x y) = 0 ให้ x = y แทนลงในสมการแรก แปลงรูป เราได้ (x a 1) = 4 + a ให้ x + y = a แทนลงในสมการแรก แปลงรูป : (x a) = 3 + a ถ้า a<, корней нет Если a =, то x = y = a + 1, единственное решение Если 15 >a > นั่นคือคู่ของคำตอบ x= y =a+ 1± 4+ a ถ้า a = 15 แสดงว่ามีสองคำตอบ: x = y = a, x = y = a + ถ้า 15< a то решения x= y =a+ 1± 4+ a, x=a± 3+ a, y= a x Ответ: a < нет решений, а = одно, 15 a >, สองโซลูชั่น, a > 15 สี่โซลูชั่น ชุดเฉพาะเรื่อง VV Shelomovsky, cmdru/
15 15 ตัวเลือก 4 ค้นหาค่าทั้งหมดของ a โดยแต่ละสมการคือ 7 x 6 +(4 a x)3 +6 x +8 a=4 x การคิด 8a 4x = (4a x), 7x6 = (3x) 3 นี่หมายความว่าสมการจะรวมผลรวมและผลรวมของลูกบาศก์ของนิพจน์เดียวกันด้วย วิธีแก้ไข ลองแปลงสมการเป็นรูปแบบ (3 x)3 +(4 a x)3+ (3 x + 4 a x) )=0 ลองขยายผลรวมของลูกบาศก์ (3 x +4 a x) ( (3 x) 3 x (4 a x)+(4 a x) +)=0 ปัจจัยที่สองคือกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่างที่เพิ่มขึ้นโดย มันคือ บวก เมื่อแยกกำลังสองออกจากตัวประกอบแรก เราจะได้ 1 1 3(x) + 4 a = สมการนี้ไม่มีราก ถ้า 4 a >0, a > 3 1 คำตอบ: 1a > 1 ตัวเลือก 8 ค้นหาค่า ของ a โดยแต่ละค่าจะมีค่ามากที่สุดของฟังก์ชัน x a x ไม่น้อยกว่า 1 วิธี ถ้า x a ฟังก์ชัน f(x,a) = x a x มีค่าสูงสุดที่ x = 0.5 ค่าสูงสุดคือ 0.5 a ที่ a< 0,5 наибольшее значение функции 0,5 а 1 при 075 а Если x < a, функция f(x,a) = a x x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен a + 05 При a >0.5 ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน a + 0.5 1 ที่ 0.75 คำตอบ: a 0.75 หรือ 075 คู่ของฟังก์ชัน ค้นหาช่วงของค่าบวกของ a ซึ่งแต่ละค่ามี b เพื่อให้ระบบสมการ: y = x4 + a, x = 8y + b มีคำตอบเป็นจำนวนคู่ วิธีแก้ไข: จากสมการแรกตามไปว่า y > 0 สมการที่สองสามารถเปลี่ยนรูป 8 ให้อยู่ในรูปได้: y=, x (b; +) กำจัด y: x ข ฉ (x) = x ก = 0; f `(x) = 4 x 3 + x b (x b)3 แต่ละรากของสมการที่ได้จะสร้างคำตอบให้กับระบบเดิมได้เพียงวิธีเดียว สำหรับ b 0 ฟังก์ชัน f(x) จะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ และสมการจะมีเพียงรากเดียวเท่านั้น . สำหรับค่าลบ ข< 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности до f(х1), уменьшается до f(х) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до плюс бесконечности Уравнение может иметь чётное число корней два только если корень совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0 Исключая корень из уравнений, найдём: а = (4х1 + х14) Полученная функция имеет максимум при х1 = 1 (а = 3; b = 1,5), поэтому для любого a (0; 3) существуют х1, х х1 и b, при которых число корней равно два Однако при а = 3 х ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/
16 16 = x1 รากทั้งสองตรงกันและสมการ f(x) = 0 มีเพียงรากเดียว อนุพันธ์ f`(x) เป็นบวกที่ x b และที่ x + จะเท่ากับศูนย์ภายใต้เงื่อนไข f`(x) = 0 g (x) = x (x b) + 1 = 0 สมการสุดท้ายสามารถมีได้หนึ่งหรือสองราก และสำหรับลบ x เท่านั้น ลองแทนพวกมัน x1 และ x: g(x1) = g(x) = 0 คำตอบ: a (0; 3) ชุดอุปกรณ์เฉพาะเรื่อง VV Shelomovsky, cmdru/
ตัวอย่างการแก้โจทย์ประเภท C5 สำหรับการสอบ Unified State 013 รูปภาพส่วนใหญ่ในชุดเป็นแบบโต้ตอบ คุณสามารถเปลี่ยนพารามิเตอร์และสมการของกราฟได้ คุณสามารถเข้าถึงไฟล์แบบโต้ตอบได้โดยคลิกที่
หัวข้อ 41 “ งานที่มีพารามิเตอร์” การกำหนดพื้นฐานของงานที่มีพารามิเตอร์: 1) ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ซึ่งแต่ละค่า เงื่อนไขบางอย่าง.) แก้สมการหรืออสมการด้วย
1 ฟังก์ชัน กราฟ และการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้อง สารบัญ 1 รากและจำนวน...1 1.1 รากของสมการ...1 1.1.a รากของสมการ...1 1. จำนวนราก... 1. จำนวนราก ราก... 1.4 การทำงาน
ภารกิจที่ 18 เกณฑ์การประเมินงาน 18 เนื้อหาของคะแนนเกณฑ์ ได้รับคำตอบที่ถูกต้องอย่างสมเหตุสมผล 4 การใช้เหตุผลที่ถูกต้องได้รับชุดของค่า a ที่แตกต่างจากค่าที่ต้องการด้วยจำนวนจำกัด
สมการเชิงเส้น a x = b มี: คำตอบเฉพาะสำหรับ 0; ชุดคำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุด โดยมี a = 0, b = 0; ไม่มีคำตอบ สำหรับ a = 0, b 0 สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 มี: สองค่าที่แตกต่างกัน
ประเภทของกราฟ สูตร: y = kx + b k หมายถึงความชันของเส้น b แสดงจำนวนหน่วยที่เส้นถูกเลื่อนขึ้นหรือลงโดยสัมพันธ์กับจุดกำเนิด เมื่อ k เป็นบวก เส้นดังกล่าวจะเพิ่มขึ้น ตัวอย่าง: y =
C5 สำหรับแต่ละค่าของ a ให้แก้สมการของระบบให้ตรงตามเงื่อนไขจากสมการที่สองของระบบที่เราพบ
ภารกิจ 23 314690 สร้างกราฟของฟังก์ชันที่จะตัดกันที่ - และพิจารณาว่ากราฟเส้นตรงที่จุดสามจุดมีค่าเท่าใด มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกันดีกว่า (ดูรูป) จากกราฟจะเห็นได้ชัดเจนว่าเป็นเส้นตรง
ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ (วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิก) บทนำ การใช้กราฟในการศึกษาปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์มีประสิทธิภาพอย่างมาก มีสองวิธีหลักขึ้นอยู่กับวิธีการสมัคร
ระบบเตรียมความพร้อมนักเรียนสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ในระดับโปรไฟล์ (ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์) ความหมายทางทฤษฎี พารามิเตอร์เป็นตัวแปรอิสระ ซึ่งค่าดังกล่าวจะถูกพิจารณาในปัญหา
งานสำหรับโซลูชันอิสระ ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน 6x ค้นหาแทนเจนต์ของมุมเอียงกับแกน x ของแทนเจนต์ที่ผ่านจุด M (;) ของกราฟของฟังก์ชัน ค้นหาแทนเจนต์ของมุม
การสัมมนาผ่านเว็บ 5 หัวข้อ: การทำซ้ำการเตรียมการสอบ Unified State (ภารกิจ 8) ภารกิจที่ 8 ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ซึ่งแต่ละสมการ a a 0 มีวิธีแก้ปัญหาเจ็ดหรือแปดข้อ ลองแล้ว t t สมการดั้งเดิม
เนื่องจากคำตอบที่ถูกต้องคือระบบต้องมีเงื่อนไขตั้งแต่ 2 ข้อขึ้นไป และเรากำลังมองหาค่าปริมาณที่ไม่ทราบซึ่งตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดในคราวเดียว
บทที่ 8 ฟังก์ชันและกราฟ ตัวแปรและการขึ้นต่อกันระหว่างฟังก์ชันและกราฟ ปริมาณสองปริมาณจะถูกเรียกว่าเป็นสัดส่วนโดยตรงหากอัตราส่วนของพวกมันคงที่ นั่นคือ if = โดยที่จำนวนคงที่ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงตามการเปลี่ยนแปลง
หัวข้อที่ 36 “คุณสมบัติของฟังก์ชัน” เราจะวิเคราะห์คุณสมบัติของฟังก์ชันโดยใช้ตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดเอง y = f(x): 1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือชุดของค่าทั้งหมดของ ตัวแปร x ที่มีความสอดคล้องกัน
ข้อมูลทั่วไปปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ สมการกับงานโมดูลประเภทงาน C 5 1 การเตรียมการสำหรับการสอบ Unified State Dikhtyar M.B. 1. ค่าสัมบูรณ์หรือโมดูลัสของตัวเลข x คือตัวเลข x เอง ถ้า x 0 หมายเลข x,
ความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่มีเหตุผล ความไม่เท่าเทียมกันซึ่งมีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายรากเรียกว่าไม่มีเหตุผล วิธีการหลักในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันคือวิธีการลดค่าดั้งเดิม
ภาควิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ชั้นสูง การฝึกอบรมและระเบียบวิธีการที่ซับซ้อนสำหรับนักศึกษาสายอาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษาที่กำลังศึกษาใช้ เทคโนโลยีระยะไกลแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของโมดูล เรียบเรียงโดย:
ฟังก์ชันกำลังสองใน งานต่างๆ Dikhtyar MB ข้อมูลพื้นฐาน ฟังก์ชันกำลังสอง ( ตรีโกณมิติกำลังสอง) เรียกว่าฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y ax bx c โดยที่ abc ระบุตัวเลข และฟังก์ชันกำลังสอง y
ระบบปัญหาในหัวข้อ "สมการแทนเจนต์" กำหนดเครื่องหมายของความชันของแทนเจนต์ที่วาดไปยังกราฟของฟังก์ชัน y f () ที่จุดที่มี abscissas a, b, c a) b) ระบุจุดที่อนุพันธ์
สมการและอสมการด้วยโมดูล Gushchin D. D. www.mathnet.spb.ru 1 0. สมการที่ง่ายที่สุด สำหรับสมการที่ง่ายที่สุด (ไม่จำเป็นต้องง่ายเสมอไป) เราจะจำแนกสมการที่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:
MODULE “การประยุกต์ใช้ความต่อเนื่องและอนุพันธ์ การประยุกต์อนุพันธ์ในการศึกษาฟังก์ชัน” การประยุกต์ความต่อเนื่อง.. วิธีช่วง.. แทนเจนต์กับกราฟ สูตรลากรองจ์ 4. การใช้อนุพันธ์
การตัดสินใจของปัญหาที่เกิดขึ้นจริง ส่วนที่ 1 A1 ค้นหาความหมายของสำนวน 1. 15 2. 10 3. 5 4. วิธีแก้ไข. คำตอบ: 1.A2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 1.
ระเบียบวิธีในการสร้างองค์ประกอบความสามารถของวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนในชั้นเรียน ระบบการศึกษาโมดูลการศึกษาทางคณิตศาสตร์ I. K. Sirotina ครูอาวุโสของภาควิชา เทคโนโลยีสารสนเทศ
พีชคณิต เกรด 0 หัวข้อ ฟังก์ชันตรีโกณมิติและการแปลง แนวคิดพื้นฐาน ตัวอักษร Z หมายถึงชุดของจำนวนเต็ม: Z (0; ; ; ;) ส่วนโค้งของตัวเลข a ที่อยู่ในช่วง [- ; ], เรียกว่า
111 ฟังก์ชั่น ระดับพื้นฐานของสารบัญ 11101 ระบบพิกัด 1110 แนวคิดของฟังก์ชัน 7 1110 โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน 10 11104 โดเมน (ชุด) ของค่าของฟังก์ชัน 1 11105 ฟังก์ชันเพิ่มและลด
บทที่ งานทดสอบ T-0 การศึกษาฟังก์ชันโดยใช้กราฟ T-0 ความสอดคล้องระหว่างกราฟของฟังก์ชันตรรกยะกับสูตร T-0 การสร้างกราฟโดยใช้คุณสมบัติของ T-04 การถ่ายโอนแบบขนานกราฟิก T-05 สมมาตร
เดี่ยว การสอบของรัฐสาขาวิชาคณิตศาสตร์ ปี 7 รุ่นสาธิตส่วน A ค้นหาค่าของนิพจน์ 6p p เมื่อ p = วิธีแก้ไข ใช้คุณสมบัติของกำลัง: แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ ถูกต้อง
บทที่ 8 พื้นฐาน สูตรตรีโกณมิติ(ต่อ) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ การแปลงผลคูณ ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นสูตรรวมสำหรับการแปลงผลคูณของไซน์และโคไซน์
ฟังก์ชั่น. แนวคิดเรื่องฟังก์ชัน สมมติว่าความเร็วของคนๆ หนึ่งคือ 5 กม./ชม. หากเราใช้เวลาเดินทางเป็น x ชั่วโมง และระยะทางเดินทางเป็น y km ดังนั้นระยะทางที่เดินทางขึ้นอยู่กับเวลาเดินทางสามารถเป็นได้
ข้อมูลทั่วไป โปรไฟล์การสอบ Unified Stateระดับ ภารกิจ 0 ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ สมการกำลังสองและสมการที่มีตรีนามกำลังสอง Dikhtyar MB สมการ f (a) x + g(a) x + ϕ (a) = 0 โดยที่ f (a) 0 คือ
ประมาณงาน 18 จากการสอบ Unified State 2017 A.V. เชฟคิน [ป้องกันอีเมล]บทคัดย่อ: บทความตรวจสอบ วิธีต่างๆการแก้ไขงานจำนวนหนึ่งด้วยพารามิเตอร์ คำหลัก: สมการ อสมการ พารามิเตอร์ ฟังก์ชัน
เส้นโค้งอันดับสอง วงกลม วงรี ไฮเปอร์โบลา พาราโบลา ให้ระบุระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนระนาบ เส้นโค้งลำดับที่สองคือชุดของจุดที่มีพิกัดตรงกัน
แนวทางต่างๆในการแก้ปัญหา C C C5 การสอบ Unified State การเตรียมตัว 9 ปีสำหรับการสอบ Unified State (วัสดุสำหรับการบรรยายสำหรับครู) Prokofiev AA aaprokof@yaderu ปัญหา C ตัวอย่าง (การสอบ Unified State C) แก้ระบบสมการ y si (si) (7 ปี)
1 ตั๋ว 9 10. ตั๋วคำตอบ 9 1. รับฟังก์ชันเชิงเส้น f(x) เป็นที่ทราบกันว่าระยะห่างระหว่างจุดตัดกันของกราฟ y = x และ y = f(x) เท่ากับ 10 และระยะห่างระหว่างจุดตัดกันของกราฟ y =
ภาควิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ความซับซ้อนทางการศึกษาและระเบียบวิธีสำหรับนักศึกษาระดับอุดมศึกษาที่เรียนโดยใช้เทคโนโลยีทางไกล โมดูล 4 แอปพลิเคชันอนุพันธ์ รวบรวมโดย: รองศาสตราจารย์
การบรรยายครั้งที่ 5 บนเครื่องบิน คำนิยาม. เส้นตรงใดๆ บนระนาบสามารถระบุได้ด้วยสมการอันดับหนึ่ง และค่าคงที่ A และ B จะไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน สมการลำดับแรกนี้เรียกว่าสมการทั่วไป
โซลูชันชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 017-018 ภารกิจ ภารกิจที่ 1 ค้นหาผลรวมของลูกบาศก์ของรากของสมการ (x x 7) (x x) 0 ในการแก้สมการ เราจะใช้วิธีการแทนที่ตัวแปร ให้เราแสดงว่า y = x + x 7 จากนั้น x + x = (x
การใช้ฟังก์ชันอนุพันธ์ สมการแทนเจนต์ พิจารณาปัญหาต่อไปนี้: เราจำเป็นต้องสร้างสมการสำหรับแทนเจนต์ l ที่วาดไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุด ตามความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
การศึกษาฟังก์ชั่น เงื่อนไขที่เพียงพอฟังก์ชันเพิ่มและลด: ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันหาอนุพันธ์เป็นบวกภายในช่วง X ค่านั้นจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้ ถ้า
การสัมมนาผ่านเว็บ 7 (6-7) หัวข้อ: พารามิเตอร์การสอบ Unified Stateโปรไฟล์ภารกิจ 8 ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์โดยแต่ละชุดของค่าของฟังก์ชัน 5 5 5 มีเซ็กเมนต์ ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์สำหรับแต่ละค่า
5.0. 014 งานของชั้นเรียน- สมการและระบบสมการพร้อมพารามิเตอร์ ประสบการณ์ การสอบเข้าสำหรับมหาวิทยาลัยแสดงให้เห็นว่าการแก้สมการและอสมการที่มีพารามิเตอร์ทำให้เกิดความยุ่งยากมาก
แอลเอ สเตราส์, I.V. Barinova ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ในคำแนะนำระเบียบวิธีการตรวจสอบ Unified State y=-x 0 -a- -a x -5 Ulyanovsk 05 Strauss L.A. ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ในการสอบ Unified State [ข้อความ]: หลักเกณฑ์/ แอล.เอ. สเตราส์, I.V.
การบรรยายครั้งที่ 13 หัวข้อ: เส้นโค้งลำดับที่สอง เส้นโค้งลำดับที่สองบนระนาบ: วงรี ไฮเปอร์โบลา พาราโบลา ที่มาของสมการของเส้นโค้งอันดับสองโดยยึดตาม คุณสมบัติทางเรขาคณิต- ศึกษารูปร่างของวงรี
คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 เนื้อหาโปรแกรม ส่วนที่ 1 เศษส่วนพีชคณิต (24 ชั่วโมง) แนวคิดเรื่องเศษส่วนพีชคณิต คุณสมบัติหลักของเศษส่วนพีชคณิต การลดน้อยลง เศษส่วนพีชคณิต- การบวกและการลบ
หัวข้อที่ 10 “กราฟของฟังก์ชันเบื้องต้น” 1. ฟังก์ชันเชิงเส้นฉ(x) = kx + ข. กราฟจะเป็นเส้นตรง 1) โดเมนของคำจำกัดความ D(f) = R.) โดเมนของค่า E(f) = R 3) ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน y = 0 ที่ x = k/b 4) สุดขั้ว
П0 อนุพันธ์ ให้เราพิจารณาฟังก์ชัน f () ขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์ ปล่อยให้ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดที่จุด 0 และบริเวณใกล้เคียงบางส่วน และให้ต่อเนื่องกันที่จุดนี้และบริเวณใกล้เคียง
ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ (เกรด 10-11) พารามิเตอร์เป็นตัวเลขเดียวกันเพียงไม่ทราบล่วงหน้า 1 สมการเชิงเส้นและอสมการด้วยพารามิเตอร์ ฟังก์ชันเชิงเส้น: - สมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม
ตัวเลือก ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน: y + โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน นอกจากนี้ตัวส่วนไม่ควรไปที่ศูนย์ ลองค้นหารากของตัวส่วน: การรวมผลลัพธ์
TICKET 15 Phystech 017. Ticket 15 16. วิธีแก้ปัญหา 1. เป็นที่ทราบกันดีว่าสำหรับค่าธรรมชาติสามค่าติดต่อกันของการโต้แย้ง ฟังก์ชันกำลังสอง f(x) รับค่า 1, 1 และ 5 ตามลำดับ หาที่เล็กที่สุด
การสร้างกราฟของฟังก์ชัน 1. แผนการศึกษาฟังก์ชันเมื่อสร้างกราฟ 1. ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน การพิจารณาค่าหลายค่าของฟังก์ชันมักมีประโยชน์ สำรวจคุณสมบัติพิเศษของฟังก์ชัน:
ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์ พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และแทนเจนต์ที่จุด P 0 (x 0 ; f(x 0)) ลองหาความชันของเส้นสัมผัสกราฟ ณ จุดนี้กัน มุมเอียงของแทนเจนต์ P 0
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์ 1 รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดด้วยค่า abscissa x 0 ค้นหาค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 ค่า
กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ สหพันธรัฐรัสเซียมอสโก สถาบันฟิสิกส์และเทคโนโลยี (มหาวิทยาลัยของรัฐ) จดหมายโต้ตอบ โรงเรียนกายภาพและเทคนิค คณิตศาสตร์ การแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์ (01 015
สมการกำลังสอง สารบัญ สมการกำลังสอง... 4. และการศึกษาสมการกำลังสอง... 4.. สมการกำลังสองพร้อมสัมประสิทธิ์ตัวเลข... 4.. แก้และสำรวจ สมการกำลังสองค่อนข้าง
สมการ อสมการ ระบบที่มีพารามิเตอร์ คำตอบของงาน ได้แก่ คำ วลี จำนวนหรือลำดับของคำ ตัวเลข เขียนคำตอบโดยไม่ต้องเว้นวรรค เครื่องหมายจุลภาค หรืออักขระเพิ่มเติมอื่นๆ
งานส่วนที่มีพารามิเตอร์ ความคิดเห็น ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์เป็นเรื่องปกติ งานที่ยากลำบากในโครงสร้างของการสอบ Unified State ทำให้ผู้สมัครไม่เพียงแต่จะต้องเชี่ยวชาญวิธีการและเทคนิคในการแก้ปัญหาต่างๆ
คณิตศาสตร์. การรวบรวมงาน (14 เมษายน 01) ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ - ปัญหาที่ 1 สำหรับค่าของพารามิเตอร์ a มีวิธีแก้เฉพาะสำหรับสมการ 4 + 1 = + ax x x x a ปัญหา ค้นหาที่ถูกต้องทั้งหมด
I. V. Yakovlev วัสดุทางคณิตศาสตร์ MathUs.ru วิธีช่วง วิธีช่วงเป็นวิธีการแก้ปัญหาที่เรียกว่าอสมการเชิงเหตุผล แนวคิดทั่วไปเราจะหารือเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลในภายหลัง แต่ตอนนี้
แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เบื้องต้น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ขีดจำกัดของลำดับและฟังก์ชัน การเปิดเผยความไม่แน่นอนภายในขอบเขต อนุพันธ์ของฟังก์ชัน กฎของความแตกต่าง การประยุกต์ใช้อนุพันธ์
ส่วนที่ 1 (ตัวเลือก 609) A ป้อนปัจจัยใต้เครื่องหมายรูท 8 q A) q 8) q 8) q 8) q 8 8 8 q q คำตอบที่ถูกต้อง) ค้นหาค่าของนิพจน์),5) คำตอบที่ถูกต้อง) 9 ด้วย a = a)) 8 บันทึก A 8 ค้นหาค่า
วิธีแก้ปัญหา A ลองพรรณนาตัวเลขที่ระบุทั้งหมดบนเส้นจำนวน ตัวเลขที่อยู่ทางด้านซ้ายของทั้งหมดและมีค่าน้อยที่สุด ตัวเลขนี้คือ 4 คำตอบ: 5 A. เรามาวิเคราะห์ความไม่เท่าเทียมกันบนเส้นจำนวนกัน ของตัวเลขที่พอใจ
6..น. อนุพันธ์ 6..น. อนุพันธ์ สารบัญ 6..0.น. บทนำอนุพันธ์.... 6..0.N. อนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน.... 5 6..0.น. อนุพันธ์ของฟังก์ชันกับโมดูล.... 7 6..0.N. ขึ้นและลง