วิศวะกลศาสตร์ปี1. กลศาสตร์เชิงทฤษฎีสำหรับวิศวกรและนักวิจัย

ภายในแต่อย่างใด หลักสูตรการฝึกอบรมการศึกษาฟิสิกส์เริ่มต้นด้วยกลศาสตร์ ไม่ใช่จากทฤษฎี ไม่ใช่จากการประยุกต์ใช้หรือการคำนวณ แต่จากกลศาสตร์คลาสสิกเก่าๆ ที่ดี กลศาสตร์นี้เรียกอีกอย่างว่ากลศาสตร์ของนิวตัน ตามตำนาน นักวิทยาศาสตร์คนหนึ่งกำลังเดินอยู่ในสวน เห็นแอปเปิ้ลหล่นลงมา และปรากฏการณ์นี้เองที่กระตุ้นให้เขาค้นพบกฎ แรงโน้มถ่วงสากล- แน่นอนว่ากฎหมายนั้นมีอยู่เสมอ และนิวตันก็เพียงแต่ให้กฎนี้ในรูปแบบที่ผู้คนเข้าใจได้เท่านั้น แต่ข้อดีของเขานั้นประเมินค่าไม่ได้ ในบทความนี้ เราจะไม่อธิบายกฎของกลศาสตร์ของนิวตันโดยละเอียดมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แต่เราจะสรุปพื้นฐาน ความรู้พื้นฐาน คำจำกัดความ และสูตรที่คุณสามารถนำไปใช้ได้เสมอ

กลศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของฟิสิกส์ ซึ่งเป็นวิทยาศาสตร์ที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุและปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุเหล่านั้น

คำนี้มีต้นกำเนิดมาจากภาษากรีกและแปลว่า "ศิลปะแห่งการสร้างเครื่องจักร" แต่ก่อนที่เราจะสร้างเครื่องจักร เราก็ยังเป็นเหมือนดวงจันทร์ ดังนั้นเรามาเดินตามรอยเท้าบรรพบุรุษของเราและศึกษาการเคลื่อนที่ของก้อนหินที่ขว้างเป็นมุมถึงขอบฟ้า และแอปเปิ้ลที่ตกลงบนหัวของเราจากที่สูง h

ทำไมการเรียนฟิสิกส์จึงเริ่มต้นจากกลศาสตร์? เพราะนี่เป็นเรื่องธรรมชาติโดยสมบูรณ์ เราไม่ควรเริ่มต้นด้วยสมดุลทางอุณหพลศาสตร์หรือ!

กลศาสตร์เป็นหนึ่งในวิทยาศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด และในอดีตการศึกษาฟิสิกส์เริ่มต้นอย่างแม่นยำด้วยพื้นฐานของกลศาสตร์ เมื่ออยู่ในกรอบของเวลาและสถานที่ ในความเป็นจริงแล้วผู้คนไม่สามารถเริ่มต้นกับสิ่งอื่นได้ไม่ว่าพวกเขาจะต้องการมากแค่ไหนก็ตาม การเคลื่อนย้ายร่างกายเป็นสิ่งแรกที่เราใส่ใจ

การเคลื่อนไหวคืออะไร?

การเคลื่อนไหวทางกลคือการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของวัตถุในอวกาศโดยสัมพันธ์กันเมื่อเวลาผ่านไป

หลังจากคำจำกัดความนี้เอง เราก็มาถึงแนวคิดของกรอบอ้างอิงโดยธรรมชาติ การเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุในอวกาศที่สัมพันธ์กัน คำหลักที่นี่: สัมพันธ์กัน - ท้ายที่สุดแล้ว ผู้โดยสารในรถจะเคลื่อนที่โดยสัมพันธ์กับบุคคลที่ยืนอยู่ข้างถนนด้วยความเร็วระดับหนึ่ง และอยู่นิ่งโดยสัมพันธ์กับเพื่อนบ้านในที่นั่งข้างเขา และเคลื่อนที่ด้วยความเร็วอื่นเมื่อเทียบกับผู้โดยสาร ในรถที่กำลังแซงพวกเขาอยู่

นั่นคือเหตุผลว่าทำไม เพื่อที่จะวัดค่าพารามิเตอร์ของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ได้ตามปกติและไม่สับสน เราจึงจำเป็นต้องมี ระบบอ้างอิง - ตัวอ้างอิงที่เชื่อมต่อถึงกันอย่างเหนียวแน่น ระบบพิกัด และนาฬิกา ตัวอย่างเช่น โลกเคลื่อนที่รอบดวงอาทิตย์ในกรอบอ้างอิงเฮลิโอเซนตริก ในชีวิตประจำวัน เราทำการวัดเกือบทั้งหมดในระบบอ้างอิงศูนย์กลางทางภูมิศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับโลก โลกเป็นส่วนอ้างอิงที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของรถยนต์ เครื่องบิน ผู้คน และสัตว์ต่างๆ

กลศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์มีหน้าที่ของตัวเอง หน้าที่ของช่างกลคือการรู้ตำแหน่งของร่างกายในอวกาศได้ตลอดเวลา กล่าวอีกนัยหนึ่ง กลศาสตร์สร้างคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่และค้นหาความเชื่อมโยงระหว่างกัน ปริมาณทางกายภาพซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของมัน

การจะก้าวต่อไปได้เราต้องอาศัยแนวคิด” จุดวัสดุ - พวกเขากล่าวว่าฟิสิกส์เป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน แต่นักฟิสิกส์รู้ว่าต้องมีการประมาณและสมมติฐานกี่ครั้งจึงจะเห็นด้วยกับความแม่นยำนี้ ไม่มีใครเคยเห็น จุดวัสดุและไม่ได้กลิ่นก๊าซในอุดมคติ แต่มันมีอยู่จริง! พวกเขาใช้ชีวิตได้ง่ายกว่ามาก

จุดวัสดุคือวัตถุที่สามารถละเลยขนาดและรูปร่างได้ในบริบทของปัญหานี้

ส่วนของกลศาสตร์คลาสสิก

กลศาสตร์ประกอบด้วยหลายส่วน

• จลนศาสตร์
• ไดนามิกส์
• วิชาว่าด้วยวัตถุ

จลนศาสตร์จากมุมมองทางกายภาพ จะศึกษาอย่างชัดเจนว่าร่างกายเคลื่อนไหวอย่างไร กล่าวอีกนัยหนึ่ง ส่วนนี้เกี่ยวข้องกับลักษณะเชิงปริมาณของการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็ว เส้นทาง - ปัญหาจลนศาสตร์ทั่วไป

ไดนามิกส์แก้คำถามว่าทำไมมันถึงเคลื่อนไหวในแบบที่มันทำ นั่นคือพิจารณาแรงที่กระทำต่อร่างกาย

วิชาว่าด้วยวัตถุศึกษาความสมดุลของร่างกายภายใต้อิทธิพลของพลังนั่นคือตอบคำถาม: ทำไมมันไม่ตกเลย?

ขีดจำกัดของการบังคับใช้กลศาสตร์คลาสสิก

กลศาสตร์คลาสสิกไม่อ้างว่าเป็นวิทยาศาสตร์ที่อธิบายทุกสิ่งอีกต่อไป (เมื่อต้นศตวรรษที่ผ่านมาทุกอย่างแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง) และมีกรอบการบังคับใช้ที่ชัดเจน โดยทั่วไปแล้ว กฎของกลศาสตร์คลาสสิกนั้นใช้ได้ในโลกที่เราคุ้นเคยในขนาด (มาโครเวิลด์) พวกเขาหยุดทำงานในกรณีของโลกอนุภาค เมื่อโลกคลาสสิกถูกแทนที่ด้วย กลศาสตร์ควอนตัม- นอกจากนี้ กลศาสตร์แบบคลาสสิกยังใช้ไม่ได้กับกรณีที่วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วใกล้เคียงกับความเร็วแสง ในกรณีเช่นนี้ ผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพจะเด่นชัดขึ้น พูดโดยคร่าวๆ ภายในกรอบของกลศาสตร์ควอนตัมและกลศาสตร์สัมพัทธภาพ - กลศาสตร์คลาสสิก นี่เป็นกรณีพิเศษเมื่อขนาดของร่างกายมีขนาดใหญ่และความเร็วต่ำ

โดยทั่วไปแล้ว ผลกระทบทางควอนตัมและสัมพัทธภาพจะไม่หายไป นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นระหว่างการเคลื่อนที่ตามปกติของวัตถุขนาดมหึมาด้วยความเร็วที่ต่ำกว่าความเร็วแสงมาก อีกประการหนึ่งคือเอฟเฟกต์เหล่านี้มีขนาดเล็กมากจนไม่สามารถวัดได้แม่นยำที่สุด กลศาสตร์คลาสสิกจะไม่สูญเสียความสำคัญพื้นฐานของมันไป

เราจะศึกษาพื้นฐานทางกายภาพของกลศาสตร์ต่อไปในบทความหน้า เพื่อความเข้าใจกลไกที่ดีขึ้น คุณสามารถดูได้ตลอดเวลา ถึงผู้เขียนของเราซึ่งจะเผยให้เห็นจุดมืดของงานที่ยากที่สุดทีละแห่ง

สถิตยศาสตร์เป็นสาขาวิชาหนึ่งของกลศาสตร์เชิงทฤษฎีที่ศึกษาสภาวะสมดุลของวัตถุภายใต้อิทธิพลของแรง รวมถึงวิธีการแปลงแรงให้เป็นระบบที่เทียบเท่ากัน

ในวิชาสถิตยศาสตร์ สภาวะสมดุลหมายถึงสภาวะที่ทุกส่วนของระบบกลไกอยู่นิ่งสัมพันธ์กับบางส่วน ระบบเฉื่อยพิกัด วัตถุพื้นฐานของสถิตยศาสตร์คือแรงและจุดใช้งาน

แรงที่กระทำต่อจุดวัสดุที่มีเวกเตอร์รัศมีจากจุดอื่นเป็นการวัดอิทธิพลของจุดอื่นๆ บนจุดที่กำลังพิจารณา ซึ่งเป็นผลให้ได้รับความเร่งสัมพันธ์กับระบบอ้างอิงเฉื่อย ขนาด ความแข็งแกร่งกำหนดโดยสูตร:
,
โดยที่ m คือมวลของจุด - ปริมาณที่ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของจุดนั้นเอง สูตรนี้เรียกว่ากฎข้อที่สองของนิวตัน

การประยุกต์สถิตยศาสตร์ในพลศาสตร์

คุณลักษณะที่สำคัญของสมการการเคลื่อนที่อย่างแน่นอน แข็งคือแรงสามารถเปลี่ยนเป็นระบบที่เทียบเท่าได้ ด้วยการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว สมการการเคลื่อนที่จะคงรูปแบบไว้ แต่ระบบแรงที่กระทำต่อร่างกายสามารถเปลี่ยนให้กลายเป็นพลังงานที่มากขึ้น ระบบที่เรียบง่าย- ดังนั้นจุดที่ใช้แรงจึงสามารถเคลื่อนไปตามแนวการกระทำได้ แรงสามารถขยายได้ตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน แรงที่กระทำ ณ จุดหนึ่งสามารถถูกแทนที่ด้วยผลรวมทางเรขาคณิต

ตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวคือแรงโน้มถ่วง มันทำหน้าที่ทุกจุดของร่างกายที่มั่นคง แต่กฎการเคลื่อนที่ของร่างกายจะไม่เปลี่ยนแปลงหากแรงโน้มถ่วงที่กระจายไปทั่วทุกจุดถูกแทนที่ด้วยเวกเตอร์หนึ่งตัวที่ใช้ที่จุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย

ปรากฎว่าถ้าเราเพิ่มระบบที่เทียบเท่าให้กับระบบหลักของแรงที่กระทำต่อร่างกายซึ่งทิศทางของแรงถูกเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม จากนั้นร่างกายจะอยู่ในสภาวะสมดุลภายใต้อิทธิพลของระบบเหล่านี้ ดังนั้น งานในการกำหนดระบบแรงที่เท่ากันจึงลดลงเหลือเพียงปัญหาสมดุล ซึ่งก็คือปัญหาทางสถิตศาสตร์

ภารกิจหลักของสถิตยศาสตร์คือการจัดตั้งกฎหมายเพื่อเปลี่ยนระบบกำลังให้เป็นระบบที่เท่าเทียมกัน ดังนั้นวิธีการทางสถิตศาสตร์จึงไม่เพียงแต่ใช้ในการศึกษาวัตถุในสภาวะสมดุลเท่านั้น แต่ยังรวมถึงพลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็งด้วยเมื่อเปลี่ยนแรงให้เป็นระบบที่เทียบเท่ากันที่เรียบง่ายกว่า

สถิตยศาสตร์ของจุดวัสดุ

ให้เราพิจารณาจุดวัสดุที่อยู่ในสมดุล และให้แรง n มากระทำต่อมัน k = 1, 2, ..., น.

ถ้าจุดวัสดุอยู่ในสมดุลแล้ว ผลรวมเวกเตอร์แรงที่กระทำต่อมันเป็นศูนย์:
(1) .

ในความสมดุล ผลรวมทางเรขาคณิตแรงที่กระทำต่อจุดนั้นเป็นศูนย์

การตีความทางเรขาคณิต- หากคุณวางจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่สองไว้ที่ส่วนท้ายของเวกเตอร์แรก และวางจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่สามไว้ที่ส่วนท้ายของเวกเตอร์ที่สอง จากนั้นทำขั้นตอนนี้ต่อไป จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สุดท้ายที่ n จะถูกจัดแนว ด้วยจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรก นั่นคือเราได้รูปทรงเรขาคณิตแบบปิดความยาวของด้านข้างเท่ากับโมดูลของเวกเตอร์ หากเวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน เราจะได้รูปหลายเหลี่ยมปิด

มักจะเลือกได้ตามสะดวก ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมอ็อกซิซ. จากนั้นผลรวมของเส้นโครงของเวกเตอร์แรงทั้งหมดบนแกนพิกัดจะเท่ากับศูนย์:

หากคุณเลือกทิศทางใดๆ ที่ระบุโดยเวกเตอร์บางตัว ผลรวมของเส้นโครงของเวกเตอร์แรงที่เข้าสู่ทิศทางนี้จะเท่ากับศูนย์:
.
ลองคูณสมการ (1) แบบสเกลาร์ด้วยเวกเตอร์:
.
นี่คือผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และ
โปรดทราบว่าการฉายภาพเวกเตอร์ไปยังทิศทางของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยสูตร:
.

สถิตยศาสตร์ของร่างกายแข็ง

โมเมนต์แห่งแรงประมาณจุดหนึ่ง

การกำหนดโมเมนต์ของแรง

ช่วงเวลาแห่งพลังใช้กับร่างกายที่จุด A ซึ่งสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางคงที่ O เรียกว่าเวกเตอร์เท่ากับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และ:
(2) .

การตีความทางเรขาคณิต

โมเมนต์ของแรงเท่ากับผลคูณของแรง F และแขน OH

ปล่อยให้เวกเตอร์และอยู่ในระนาบการวาด ตามทรัพย์สิน ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ และ นั่นคือ ตั้งฉากกับระนาบของรูปวาด ทิศทางถูกกำหนดโดยกฎสกรูด้านขวา ในรูป เวกเตอร์แรงบิดพุ่งเข้าหาเรา ค่าแรงบิดสัมบูรณ์:
.
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
(3) .

เมื่อใช้เรขาคณิต เราสามารถตีความโมเมนต์ของแรงได้แตกต่างออกไป เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วาดเส้นตรง AH ผ่านเวกเตอร์แรง จากจุดศูนย์กลาง O เราลดค่า OH ตั้งฉากลงเป็นเส้นตรงนี้ ความยาวของเส้นตั้งฉากนี้เรียกว่า ไหล่แห่งความแข็งแกร่ง- แล้ว
(4) .
เนื่องจาก ดังนั้นสูตร (3) และ (4) จึงเทียบเท่ากัน

ดังนั้น, ค่าสัมบูรณ์ของโมเมนต์แห่งแรงสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลาง O เท่ากับ ผลคูณของแรงต่อไหล่แรงนี้สัมพันธ์กับศูนย์กลางที่เลือก O

เมื่อคำนวณแรงบิด มักจะสะดวกในการแยกแรงออกเป็นสองส่วน:
,
ที่ไหน . แรงเคลื่อนผ่านจุด O ดังนั้นโมเมนต์ของมันคือศูนย์ แล้ว
.
ค่าแรงบิดสัมบูรณ์:
.

ส่วนประกอบโมเมนต์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

หากเราเลือกระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O แล้วโมเมนต์ของแรงจะมีองค์ประกอบดังต่อไปนี้
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
นี่คือพิกัดของจุด A ในระบบพิกัดที่เลือก:
.
ส่วนประกอบต่างๆ แสดงถึงค่าโมเมนต์แรงรอบแกนตามลำดับ

คุณสมบัติของโมเมนต์แรงสัมพันธ์กับศูนย์กลาง

โมเมนต์เกี่ยวกับจุดศูนย์กลาง O เนื่องจากแรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางนี้ มีค่าเท่ากับศูนย์

ถ้าจุดที่ใช้แรงถูกเคลื่อนไปตามเส้นที่ผ่านเวกเตอร์แรง โมเมนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงพร้อมกับการเคลื่อนที่ดังกล่าว

โมเมนต์จากผลรวมเวกเตอร์ของแรงที่กระทำต่อจุดหนึ่งของร่างกาย เท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของโมเมนต์จากแรงแต่ละแรงที่กระทำต่อจุดเดียวกัน:
.

เช่นเดียวกับแรงที่เส้นต่อเนื่องตัดกันที่จุดหนึ่ง

ถ้าผลรวมเวกเตอร์ของแรงเป็นศูนย์:
,
ดังนั้นผลรวมของช่วงเวลาจากแรงเหล่านี้จะไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดศูนย์กลางที่สัมพันธ์กับช่วงเวลาที่ถูกคำนวณ:
.

สองสามกองกำลัง

สองสามกองกำลัง- แรงเหล่านี้เป็นแรงสองแรงที่มีขนาดสัมบูรณ์เท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม ใช้กับจุดต่างๆ ของร่างกาย

พลังคู่หนึ่งมีลักษณะพิเศษเฉพาะในช่วงเวลาที่พวกมันสร้างขึ้น เนื่องจากผลรวมเวกเตอร์ของแรงที่เข้าสู่คู่นั้นเป็นศูนย์ โมเมนต์ที่สร้างโดยคู่นี้จึงไม่ขึ้นอยู่กับจุดที่สัมพันธ์กับโมเมนต์ที่ถูกคำนวณ จากมุมมองของสมดุลสถิต ธรรมชาติของแรงที่เกี่ยวข้องกับทั้งคู่นั้นไม่สำคัญ มีการใช้แรงสองสามแบบเพื่อระบุว่าโมเมนต์ของแรงที่มีค่าหนึ่งกระทำต่อร่างกาย

โมเมนต์ของแรงรอบแกนที่กำหนด

มักมีกรณีต่างๆ ที่เราไม่จำเป็นต้องรู้องค์ประกอบทั้งหมดของโมเมนต์ของแรงเกี่ยวกับจุดที่เลือก แต่จำเป็นต้องรู้เพียงโมเมนต์ของแรงรอบแกนที่เลือกเท่านั้น

โมเมนต์ของแรงรอบแกนที่ผ่านจุด O คือเส้นโครงของเวกเตอร์ของโมเมนต์ของแรง สัมพันธ์กับจุด O ไปยังทิศทางของแกน

คุณสมบัติของโมเมนต์แรงรอบแกน

โมเมนต์รอบแกนเนื่องจากแรงที่ผ่านแกนนี้มีค่าเท่ากับศูนย์

โมเมนต์รอบแกนเนื่องจากแรงที่ขนานกับแกนนี้มีค่าเท่ากับศูนย์

การคำนวณโมเมนต์แรงรอบแกน

ให้แรงกระทำต่อร่างกายที่จุด A ลองหาโมเมนต์ของแรงนี้สัมพันธ์กับแกน O′O′′ กัน

มาสร้างระบบพิกัดสี่เหลี่ยมกันดีกว่า ให้แกนออซตรงกับ O′O′′ จากจุด A เราลดค่าตั้งฉาก OH ลงเหลือ O′O′′ ผ่านจุด O และ A เราวาดแกน Ox เราวาดแกน Oy ตั้งฉากกับ Ox และ Oz ให้เราแยกแรงออกเป็นส่วนประกอบตามแกนของระบบพิกัด:
.
แรงตัดแกน O′O′′ ดังนั้นโมเมนต์ของมันคือศูนย์ แรงจะขนานกับแกน O′O′′ ดังนั้นโมเมนต์ของมันจึงเป็นศูนย์เช่นกัน ใช้สูตร (5.3) เราพบ:
.

โปรดทราบว่าส่วนประกอบนั้นวางในแนวสัมผัสกับวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด O ทิศทางของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยกฎสกรูด้านขวา

สภาวะสมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง

ในสภาวะสมดุล ผลรวมเวกเตอร์ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกายจะเท่ากับศูนย์ และผลรวมเวกเตอร์ของโมเมนต์ของแรงเหล่านี้สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางคงที่ตามอำเภอใจจะเท่ากับศูนย์:
(6.1) ;
(6.2) .

เราเน้นว่าสามารถเลือกจุดศูนย์กลาง O ซึ่งสัมพันธ์กับโมเมนต์ของแรงที่คำนวณได้ โดยพลการ จุด O อาจเป็นของร่างกายหรืออยู่ภายนอกก็ได้ โดยปกติแล้ว O จะถูกเลือกไว้ตรงกลางเพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น

สภาวะสมดุลสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีอื่น

ในสภาวะสมดุล ผลรวมของเส้นโครงของแรงในทิศทางใดๆ ที่ระบุโดยเวกเตอร์ใดๆ จะเท่ากับศูนย์:
.
ผลรวมของโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับแกนใดก็ได้ O′O′′ ก็เท่ากับศูนย์เช่นกัน:
.

บางครั้งเงื่อนไขดังกล่าวก็สะดวกกว่า มีหลายกรณีที่การเลือกแกนทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

จุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

ลองพิจารณาแรงที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งนั่นคือแรงโน้มถ่วง ในที่นี้แรงจะไม่ถูกกระทำที่จุดใดจุดหนึ่งของร่างกาย แต่จะกระจายอย่างต่อเนื่องตลอดปริมาตร ให้กับทุกพื้นที่ของร่างกายที่มีปริมาตรไม่มากนัก ∆Vแรงโน้มถ่วงก็ทำหน้าที่ โดยที่ ρ คือความหนาแน่นของสสารในร่างกาย และคือความเร่งของแรงโน้มถ่วง

อนุญาต เป็นผลมวลของส่วนเล็กๆ ของร่างกาย. และให้จุด A k กำหนดตำแหน่งของส่วนนี้ ให้เราค้นหาปริมาณที่เกี่ยวข้องกับแรงโน้มถ่วงที่รวมอยู่ในสมการสมดุล (6)

ให้เราหาผลรวมของแรงโน้มถ่วงที่เกิดขึ้นจากทุกส่วนของร่างกาย:
,
มวลกายอยู่ที่ไหน ดังนั้น ผลรวมของแรงโน้มถ่วงของส่วนที่เล็กที่สุดของร่างกายแต่ละส่วนสามารถถูกแทนที่ด้วยเวกเตอร์หนึ่งของแรงโน้มถ่วงของทั้งร่างกายได้:
.

ให้เราค้นหาผลรวมของโมเมนต์แรงโน้มถ่วงด้วยวิธีที่ค่อนข้างอิสระสำหรับจุดศูนย์กลางที่เลือก O:

.
ที่นี่เราได้แนะนำจุด C ซึ่งเรียกว่า จุดศูนย์ถ่วงร่างกาย ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงในระบบพิกัดที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด O ถูกกำหนดโดยสูตร:
(7) .

ดังนั้น เมื่อพิจารณาถึงสมดุลสถิต ผลรวมของแรงโน้มถ่วงของแต่ละส่วนของร่างกายสามารถถูกแทนที่ด้วยค่าผลลัพธ์
,
ใช้กับจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย C ซึ่งตำแหน่งถูกกำหนดโดยสูตร (7)

ตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงที่แตกต่างกัน รูปทรงเรขาคณิตสามารถพบได้ในหนังสืออ้างอิงที่เกี่ยวข้อง หากวัตถุมีแกนหรือระนาบสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่บนแกนหรือระนาบนี้ ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของทรงกลม วงกลม หรือวงกลมจึงอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลมของรูปเหล่านี้ จุดศูนย์ถ่วง เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน, สี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็ตั้งอยู่ที่กึ่งกลาง - ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุม

โหลดแบบกระจายสม่ำเสมอ (A) และเชิงเส้น (B)

นอกจากนี้ยังมีกรณีที่คล้ายกับแรงโน้มถ่วง เมื่อแรงไม่ได้ถูกกระทำที่จุดใดจุดหนึ่งของร่างกาย แต่ถูกกระจายอย่างต่อเนื่องบนพื้นผิวหรือปริมาตร กองกำลังดังกล่าวเรียกว่า กองกำลังกระจายหรือ .

(รูปที่ ก) นอกจากนี้ ในกรณีของแรงโน้มถ่วง ก็สามารถถูกแทนที่ด้วยผลลัพธ์ของแรงขนาด ซึ่งใช้ที่จุดศูนย์กลางแรงโน้มถ่วงของแผนภาพ เนื่องจากแผนภาพในรูป A เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จุดศูนย์ถ่วงของแผนภาพจึงอยู่ที่จุดศูนย์กลาง - จุด C: - เอซี| - ซีบี|.

(รูป ข) นอกจากนี้ยังสามารถแทนที่ด้วยผลลัพธ์ได้อีกด้วย ขนาดของผลลัพธ์เท่ากับพื้นที่ของแผนภาพ:
.
จุดใช้งานอยู่ที่จุดศูนย์ถ่วงของแผนภาพ จุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมความสูง h อยู่ที่ระยะห่างจากฐาน นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม

แรงเสียดทาน

แรงเสียดทานแบบเลื่อน- ปล่อยให้ร่างกายอยู่บนพื้นเรียบ และปล่อยให้มันเป็นความแข็งแกร่ง ตั้งฉากกับพื้นผิวโดยที่พื้นผิวไปกระทำต่อร่างกาย (แรงกด) จากนั้นแรงเสียดทานแบบเลื่อนจะขนานกับพื้นผิวและหันไปทางด้านข้างเพื่อป้องกันการเคลื่อนไหวของร่างกาย มูลค่าสูงสุดของมันคือ:
,
โดยที่ f คือสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานเป็นปริมาณไร้มิติ

แรงเสียดทานแบบกลิ้ง- ปล่อยให้ตัวกลมกลิ้งหรือกลิ้งบนพื้นผิวได้ และปล่อยให้เป็นแรงกดตั้งฉากกับพื้นผิวที่พื้นผิวกระทำต่อร่างกาย จากนั้นแรงเสียดทานชั่วขณะหนึ่งจะกระทำต่อร่างกาย ณ จุดที่สัมผัสกับพื้นผิว ขัดขวางการเคลื่อนไหวของร่างกาย ค่าสูงสุดของโมเมนต์แรงเสียดทานเท่ากับ:
,
โดยที่ δ คือสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานการหมุน มันมีมิติของความยาว

อ้างอิง:
เอส.เอ็ม.ทาร์ก หลักสูตรระยะสั้นกลศาสตร์เชิงทฤษฎี” บัณฑิตวิทยาลัย", 2010.

รายการคำถามสอบ

1. เทคนิคกลศาสตร์คำจำกัดความของมัน การเคลื่อนไหวทางกลและปฏิกิริยาทางกล จุดวัสดุ ระบบกลไก ตัวถังแข็งแกร่งสุดๆ.

เทคนิคกลศาสตร์ – ศาสตร์แห่งการเคลื่อนไหวทางกลและอันตรกิริยาของวัตถุ

กลศาสตร์เป็นหนึ่งในวิทยาศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด คำว่า "กลศาสตร์" ได้รับการแนะนำโดยอริสโตเติล นักปรัชญาผู้มีชื่อเสียงในสมัยโบราณ

ความสำเร็จของนักวิทยาศาสตร์ในสาขากลศาสตร์ทำให้สามารถแก้ปัญหาที่ซับซ้อนได้ ปัญหาในทางปฏิบัติในสาขาเทคโนโลยีและโดยพื้นฐานแล้ว ไม่ใช่ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติแม้แต่ปรากฏการณ์เดียวที่สามารถเข้าใจได้หากไม่เข้าใจจากด้านกลไก และไม่สามารถสร้างการสร้างสรรค์เทคโนโลยีใด ๆ ขึ้นมาได้โดยไม่คำนึงถึงกฎทางกลบางประการ

การเคลื่อนไหวทางกล - นี่คือการเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไปในตำแหน่งสัมพัทธ์ในอวกาศของวัตถุหรือตำแหน่งสัมพัทธ์ของส่วนต่างๆ ของวัตถุที่กำหนด

ปฏิสัมพันธ์ทางกล - สิ่งเหล่านี้คือการกระทำของวัตถุที่มีต่อกันซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนไหวของวัตถุเหล่านี้หรือการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง (การเสียรูป)

แนวคิดพื้นฐาน:

จุดวัสดุ คือร่างกายที่สามารถละเลยมิติได้ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด มีมวลและสามารถโต้ตอบกับวัตถุอื่นได้

ระบบเครื่องกล คือชุดของจุดวัตถุซึ่งตำแหน่งและความเคลื่อนไหวของแต่ละจุดจะขึ้นอยู่กับตำแหน่งและการเคลื่อนที่ของจุดอื่นๆ ของระบบ

ร่างกายแข็งแรงสมบูรณ์ (ATB) คือวัตถุที่มีระยะห่างระหว่างจุดสองจุดไม่เปลี่ยนแปลงเสมอ

1. กลศาสตร์เชิงทฤษฎีและส่วนต่างๆ ปัญหากลศาสตร์เชิงทฤษฎี

กลศาสตร์เชิงทฤษฎี เป็นสาขาวิชากลศาสตร์ที่ศึกษากฎการเคลื่อนที่ของร่างกายและ คุณสมบัติทั่วไปการเคลื่อนไหวเหล่านี้

กลศาสตร์เชิงทฤษฎีประกอบด้วยสามส่วน: สถิตศาสตร์ จลนศาสตร์ และไดนามิกส์

วิชาว่าด้วยวัตถุตรวจสอบความสมดุลของร่างกายและระบบของมันภายใต้อิทธิพลของกองกำลัง

จลนศาสตร์ถือว่าเป็นเรื่องทั่วไป คุณสมบัติทางเรขาคณิตการเคลื่อนไหวของร่างกาย

ไดนามิกส์ศึกษาการเคลื่อนไหวของร่างกายภายใต้อิทธิพลของกองกำลัง

งานสถิติ:

1. การเปลี่ยนแปลงระบบแรงที่กระทำต่อ ATT ให้เป็นระบบที่เทียบเท่ากับพวกมัน ได้แก่ นำระบบกองกำลังนี้ไปสู่รูปแบบที่เรียบง่ายที่สุด

2. การกำหนดเงื่อนไขสมดุลสำหรับระบบแรงที่กระทำต่อ ATT

เพื่อแก้ไขปัญหาเหล่านี้ มีการใช้สองวิธี: แบบกราฟิกและการวิเคราะห์

1. สมดุล. กำลัง, ระบบกำลัง. แรงลัพธ์ แรงรวมศูนย์ และแรงกระจาย

สมดุล คือสภาพส่วนที่เหลือของร่างกายสัมพันธ์กับร่างกายอื่น

บังคับ – นี่คือการวัดหลักของปฏิสัมพันธ์ทางกลของตัววัสดุ เป็น ปริมาณเวกเตอร์, เช่น. ความแข็งแกร่งนั้นมีองค์ประกอบสามประการ:

จุดสมัคร;

แนวปฏิบัติ (ทิศทาง);

โมดูลัส (ค่าตัวเลข)

ระบบแรง – นี่คือผลรวมของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุที่ถือว่าแข็งอย่างยิ่ง (ATB)

เรียกว่าระบบกำลัง มาบรรจบกัน ถ้าแนวการกระทำของแรงทั้งหมดตัดกันที่จุดหนึ่ง

ระบบนี้มีชื่อว่า แบน ถ้าแนวการกระทำของแรงทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน ไม่เช่นนั้นจะเป็นเชิงพื้นที่

เรียกว่าระบบกำลัง ขนาน ถ้าแนวการกระทำของแรงทั้งหมดขนานกัน

แรงทั้งสองระบบนี้เรียกว่า เทียบเท่า ถ้าระบบแรงหนึ่งที่กระทำต่อวัตถุที่แข็งเกร็งอย่างยิ่งสามารถถูกแทนที่ด้วยแรงอีกระบบหนึ่งโดยไม่เปลี่ยนสภาวะการพักหรือการเคลื่อนไหวของร่างกาย

สมดุลหรือเทียบเท่ากับศูนย์ เรียกว่าระบบกองกำลังภายใต้อิทธิพลของ ATT อิสระที่สามารถหยุดนิ่งได้

ผลลัพธ์ แรงคือแรงที่มีการกระทำต่อวัตถุหรือจุดวัตถุเทียบเท่ากับการกระทำของระบบแรงบนวัตถุเดียวกัน

โดยแรงภายนอก

แรงที่กระทำต่อวัตถุ ณ จุดใดจุดหนึ่งเรียกว่า เข้มข้น .

เรียกว่าแรงที่กระทำต่อทุกจุดของปริมาตรหรือพื้นผิวที่กำหนด กระจาย .

ร่างกายที่ร่างกายอื่นไม่ขัดขวางการเคลื่อนที่ไปในทิศทางใด ๆ เรียกว่าเป็นอิสระ

1. แรงภายนอกและภายใน ร่างกายที่อิสระและไม่อิสระ หลักการหลุดพ้นจากความผูกพัน

โดยแรงภายนอก คือแรงที่ส่วนต่างๆ ของร่างกายกระทำต่อกัน

เมื่อแก้ไขปัญหาสถิตยศาสตร์ส่วนใหญ่ จำเป็นต้องนำเสนอวัตถุที่ไม่เป็นอิสระว่าเป็นอิสระ ซึ่งทำได้โดยใช้หลักการปลดปล่อยซึ่งมีสูตรดังนี้:

ร่างกายที่ไม่เป็นอิสระใดๆ ก็ถือว่าเป็นอิสระได้หากเราละทิ้งการเชื่อมต่อและแทนที่ด้วยปฏิกิริยา

จากการใช้หลักการนี้ ทำให้ได้วัตถุที่ปราศจากการเชื่อมต่อและอยู่ภายใต้อิทธิพลของระบบแรงปฏิกิริยาและแรงปฏิกิริยาบางอย่าง

1. สัจพจน์ของสถิตยศาสตร์

เงื่อนไขที่ร่างกายสามารถเท่าเทียมกันได้ เวซิ,ได้มาจากข้อกำหนดพื้นฐานหลายประการ ซึ่งเป็นที่ยอมรับโดยไม่มีหลักฐาน แต่ได้รับการยืนยันจากการทดลอง , และโทรมา สัจพจน์ของสถิตยศาสตร์สัจพจน์พื้นฐานของสถิตยศาสตร์ถูกกำหนดโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษนิวตัน (1642-1727) ดังนั้นจึงได้รับการตั้งชื่อตามเขา

สัจพจน์ I (สัจพจน์ของความเฉื่อยหรือกฎข้อที่หนึ่งของนิวตัน)

ร่างกายทุกคนคงสภาพของการพักผ่อนหรือการเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงจนบางส่วน อำนาจจะไม่พาเขาออกจากสภาพนี้

ความสามารถของร่างกายในการรักษาสภาวะการพักผ่อนหรือการเคลื่อนไหวเชิงเส้นสม่ำเสมอนั้นเรียกว่า ความเฉื่อย ตามสัจพจน์นี้ เราถือว่าสภาวะสมดุลเป็นสภาวะเมื่อร่างกายอยู่นิ่งหรือเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงและสม่ำเสมอ (กล่าวคือ โดยความเฉื่อย)

สัจพจน์ที่สอง (สัจพจน์ของการโต้ตอบหรือกฎข้อที่สามของนิวตัน)

ถ้าวัตถุหนึ่งกระทำต่อวัตถุที่สองด้วยแรงจำนวนหนึ่ง วัตถุที่สองก็กระทำต่อวัตถุตัวแรกพร้อมกันด้วยแรงที่มีขนาดเท่ากันในทิศทางตรงกันข้าม

เรียกว่าชุดแรงที่กระทำต่อวัตถุที่กำหนด (หรือระบบของวัตถุ) ระบบกำลังแรงกระทำของวัตถุต่อวัตถุที่กำหนดและแรงปฏิกิริยาของวัตถุที่กำหนดไม่ได้เป็นตัวแทนของระบบแรง เนื่องจากแรงเหล่านี้ถูกนำไปใช้กับวัตถุที่แตกต่างกัน

ถ้าระบบกำลังใดมีคุณสมบัติเช่นนั้นภายหลังการสมัครแล้ว ร่างกายฟรีมันไม่เปลี่ยนสภาวะสมดุลดังนั้นจึงเรียกว่าระบบแรงดังกล่าว สมดุล

สัจพจน์ III (สภาวะสมดุลของแรงทั้งสอง)

เพื่อความสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งอิสระภายใต้การกระทำของแรงสองแรง จำเป็นและเพียงพอที่แรงเหล่านี้จะมีขนาดเท่ากันและกระทำเป็นเส้นตรงเส้นเดียวในทิศทางตรงกันข้าม

จำเป็นเพื่อปรับสมดุลของพลังทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าหากระบบของแรงทั้งสองอยู่ในสมดุล แรงเหล่านี้จะต้องมีขนาดเท่ากันและกระทำเป็นเส้นตรงเส้นเดียวในทิศทางตรงกันข้าม

เงื่อนไขที่กำหนดในสัจพจน์นี้คือ เพียงพอเพื่อปรับสมดุลของพลังทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าสูตรย้อนกลับของสัจพจน์นั้นใช้ได้ กล่าวคือ หากแรงทั้งสองมีขนาดเท่ากันและกระทำในเส้นตรงเส้นเดียวในทิศทางตรงกันข้าม ระบบของแรงดังกล่าวจำเป็นต้องอยู่ในสมดุล

ต่อไปนี้เราจะมาทำความรู้จักกับสภาวะสมดุลซึ่งจำเป็นแต่ไม่เพียงพอต่อความสมดุล

สัจพจน์ที่ 4.

ความสมดุลของวัตถุที่เป็นของแข็งจะไม่ถูกรบกวนหากใช้หรือนำระบบแรงสมดุลไปใช้กับวัตถุนั้น

ข้อพิสูจน์ของสัจพจน์ สามและ IV.

ความสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งจะไม่ถูกรบกวนโดยการถ่ายโอนแรงตามแนวการกระทำ

สัจพจน์ด้านสี่เหลี่ยมด้านขนาน สัจพจน์นี้มีการกำหนดไว้ดังนี้:

ผลลัพธ์ของแรงสองแรงที่ใช้ถึง วัตถุ ณ จุดหนึ่ง มีขนาดเท่ากันและเกิดขึ้นพร้อมกันในทิศทางเดียวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนแรงเหล่านี้ และนำไปใช้ที่จุดเดียวกัน

1. การเชื่อมต่อ ปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อ ตัวอย่างของการเชื่อมต่อ

การเชื่อมต่อเรียกว่าร่างกายที่จำกัดการเคลื่อนไหวของร่างกายที่กำหนดในอวกาศ แรงที่ร่างกายกระทำต่อการเชื่อมต่อเรียกว่าแรงที่ร่างกายกระทำต่อการเชื่อมต่อ ความดัน;แรงที่พันธะกระทำต่อร่างกายเรียกว่าแรง ปฏิกิริยา.ตามสัจพจน์ของการโต้ตอบ ปฏิกิริยา และโมดูโลความดัน เท่ากันและกระทำเป็นเส้นตรงในทิศทางตรงกันข้าม ปฏิกิริยาและความดันถูกนำไปใช้กับวัตถุต่างๆ แรงภายนอกที่กระทำต่อร่างกายแบ่งออกเป็น คล่องแคล่วและ ปฏิกิริยาแรงแอคทีฟมีแนวโน้มที่จะเคลื่อนร่างกายที่ถูกกด และแรงปฏิกิริยาจะป้องกันการเคลื่อนไหวนี้ผ่านการเชื่อมต่อ ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างแรงแอคทีฟและแรงปฏิกิริยาคือ ขนาดของแรงปฏิกิริยา โดยทั่วไปแล้วจะขึ้นอยู่กับขนาดของแรงแอคทีฟ แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน มักเรียกกองกำลังที่ใช้งานอยู่

ทิศทางของปฏิกิริยาถูกกำหนดโดยทิศทางที่การเชื่อมต่อนี้ป้องกันการเคลื่อนไหวของร่างกาย กฎในการกำหนดทิศทางของปฏิกิริยาสามารถกำหนดได้ดังนี้:

ทิศทางของปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อนั้นตรงกันข้ามกับทิศทางการเคลื่อนที่ที่ถูกทำลายโดยการเชื่อมต่อนี้

1. ระนาบเรียบอย่างสมบูรณ์แบบ

ในกรณีนี้ปฏิกิริยา รตั้งฉากกับระนาบอ้างอิงเข้าหาลำตัว

2. พื้นผิวเรียบในอุดมคติ (รูปที่ 16)

ในกรณีนี้ปฏิกิริยา R จะถูกตั้งฉากกับระนาบแทนเจนต์ t - t นั่นคือปกติกับพื้นผิวที่รองรับเข้าหาร่างกาย

3. จุดคงที่หรือขอบมุม (รูปที่ 17 ขอบ B)

ในกรณีนี้ปฏิกิริยา อาร์ อินมุ่งตรงสู่พื้นผิวของร่างกายที่เรียบเนียนในอุดมคติเข้าหาร่างกาย

4. การเชื่อมต่อที่ยืดหยุ่น (รูปที่ 17)

ปฏิกิริยา T ของการเชื่อมต่อแบบยืดหยุ่นนั้นเป็นไปตามทิศทาง ส วี ฉัน ซิ- จากรูป 17 จะเห็นได้ว่าการเชื่อมต่อแบบยืดหยุ่นที่ถูกโยนข้ามบล็อกจะเปลี่ยนทิศทางของแรงที่ส่ง

5. บานพับทรงกระบอกเรียบในอุดมคติ (รูปที่ 17 บานพับ ก;ข้าว. 18 แบริ่ง ง)

ในกรณีนี้ เป็นที่ทราบล่วงหน้าเท่านั้นว่าปฏิกิริยา R ผ่านแกนบานพับและตั้งฉากกับแกนนี้

6. ตลับลูกปืนกันรุนที่เรียบในอุดมคติ (รูปที่ 18 ตลับลูกปืนกันรุน ก)

แบริ่งแรงขับถือได้ว่าเป็นการรวมกันของบานพับทรงกระบอกและระนาบรองรับ ดังนั้นเราจะ

7. ข้อต่อลูกหมากเรียบอย่างสมบูรณ์แบบ (รูปที่ 19)

ในกรณีนี้ ทราบล่วงหน้าเพียงว่าปฏิกิริยา R ผ่านศูนย์กลางของบานพับ

8. ก้านที่ยึดปลายทั้งสองข้างด้วยบานพับเรียบสนิทและโหลดเฉพาะปลายเท่านั้น (รูปที่ 18 ก้าน BC)

ในกรณีนี้ปฏิกิริยาของแกนจะพุ่งไปตามแกนเนื่องจากตามสัจพจน์ III ปฏิกิริยาของบานพับ บี และ ซีเมื่ออยู่ในภาวะสมดุล แท่งสามารถถูกชี้ไปตามแนวเส้นเท่านั้น ดวงอาทิตย์,นั่นคือตามแกน

1. ระบบการรวมพลัง การบวกแรงที่กระทำ ณ จุดหนึ่ง

กำลังมาบรรจบกันเรียกว่าแรงที่แนวการกระทำตัดกัน ณ จุดหนึ่ง

บทนี้กล่าวถึงระบบของแรงที่มาบรรจบกันซึ่งมีแนวการกระทำอยู่ในระนาบเดียวกัน (ระบบระนาบ)

ลองจินตนาการว่าระบบแบนที่มีแรงทั้งห้ากระทำต่อร่างกาย เส้นการกระทำที่ตัดกันที่จุด O (รูปที่ 10, a) ในมาตรา ๒ ได้กำหนดไว้ว่ากำลังนั้น เวกเตอร์เลื่อน- ดังนั้นแรงทั้งหมดสามารถถ่ายโอนจากจุดที่สมัครไปยังจุด O ของจุดตัดของเส้นการกระทำ (รูปที่ 10, b)

ดังนั้น, ระบบแรงบรรจบกันใดๆ ที่ใช้กับจุดต่างๆ ของร่างกายสามารถถูกแทนที่ด้วยระบบแรงที่เท่ากันซึ่งใช้กับจุดเดียวระบบแรงนี้มักถูกเรียกว่า มัดพลัง.

จลนศาสตร์ของจุด

1. วิชากลศาสตร์เชิงทฤษฎี นามธรรมพื้นฐาน

กลศาสตร์เชิงทฤษฎีเป็นศาสตร์ที่ศึกษากฎทั่วไป การเคลื่อนไหวทางกลและปฏิสัมพันธ์ทางกลของตัววัสดุ

การเคลื่อนไหวทางกลคือการเคลื่อนไหวของกายสัมพันธ์กับอีกกายหนึ่งที่เกิดขึ้นในอวกาศและเวลา

ปฏิสัมพันธ์ทางกล คืออันตรกิริยาของวัตถุที่เปลี่ยนแปลงธรรมชาติของการเคลื่อนที่ของวัตถุ

วิชาว่าด้วยวัตถุ เป็นสาขาหนึ่งของกลศาสตร์เชิงทฤษฎีซึ่งมีการศึกษาวิธีการเปลี่ยนระบบแรงให้เป็นระบบที่เทียบเท่ากันและมีการสร้างเงื่อนไขสำหรับความสมดุลของแรงที่ใช้กับวัตถุที่เป็นของแข็ง

จลนศาสตร์ - เป็นสาขาวิชากลศาสตร์ทฤษฎีที่ศึกษา การเคลื่อนที่ของวัตถุในอวกาศด้วย จุดเรขาคณิตการมองเห็นโดยไม่คำนึงถึงแรงที่กระทำต่อสิ่งเหล่านั้น

ไดนามิกส์ เป็นสาขาหนึ่งของกลศาสตร์ที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุในอวกาศ ขึ้นอยู่กับแรงที่กระทำต่อวัตถุเหล่านั้น

วัตถุประสงค์ของการศึกษากลศาสตร์เชิงทฤษฎี:

จุดวัสดุ,

ระบบจุดวัสดุ

ร่างกายแข็งแรงอย่างแน่นอน

พื้นที่สัมบูรณ์และเวลาสัมบูรณ์เป็นอิสระจากกัน พื้นที่สัมบูรณ์ - ปริภูมิยูคลิดสามมิติที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่มีการเคลื่อนไหว เวลาที่แน่นอน - ไหลจากอดีตสู่อนาคตอย่างต่อเนื่องเป็นเนื้อเดียวกันเหมือนกันทุกจุดในอวกาศและไม่ขึ้นอยู่กับการเคลื่อนที่ของสสาร

2. เรื่องของจลนศาสตร์

จลนศาสตร์ - นี่คือสาขาหนึ่งของกลศาสตร์ซึ่งมีการศึกษาคุณสมบัติทางเรขาคณิตของการเคลื่อนที่ของวัตถุโดยไม่คำนึงถึงความเฉื่อย (เช่นมวล) และแรงที่กระทำต่อพวกมัน

เพื่อกำหนดตำแหน่งของวัตถุที่เคลื่อนไหว (หรือจุด) กับร่างกายซึ่งสัมพันธ์กับการเคลื่อนไหวของร่างกายนี้ ระบบพิกัดบางระบบจะเชื่อมโยงอย่างเข้มงวดซึ่งร่วมกับรูปแบบของร่างกาย ระบบอ้างอิง

ภารกิจหลักของจลนศาสตร์ คือการรู้กฎการเคลื่อนที่ของวัตถุที่กำหนด (จุด) กำหนดปริมาณจลนศาสตร์ทั้งหมดที่แสดงถึงลักษณะการเคลื่อนที่ของมัน (ความเร็วและความเร่ง)

3. วิธีการระบุการเคลื่อนที่ของจุด

· ด้วยวิธีธรรมชาติ

มันควรจะรู้:

วิถีของจุด;

แหล่งกำเนิดและทิศทางของการอ้างอิง

กฎการเคลื่อนที่ของจุดตามวิถีที่กำหนดในรูป (1.1)

· วิธีการประสานงาน

สมการ (1.2) คือสมการการเคลื่อนที่ของจุด M

สมการสำหรับวิถีการเคลื่อนที่ของจุด M สามารถรับได้โดยการกำจัดพารามิเตอร์เวลา « ที » จากสมการ (1.2)

· วิธีเวกเตอร์

(1.3) ความสัมพันธ์ระหว่างวิธีพิกัดและเวกเตอร์เพื่อระบุการเคลื่อนที่ของจุด (1.4)

ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดกับวิธีธรรมชาติในการระบุการเคลื่อนที่ของจุด

กำหนดวิถีของจุดโดยกำจัดเวลาออกจากสมการ (1.2)

-- ค้นหากฎการเคลื่อนที่ของจุดตามวิถี (ใช้นิพจน์สำหรับส่วนต่างของส่วนโค้ง)

หลังจากการอินทิเกรต เราจะได้กฎการเคลื่อนที่ของจุดตามวิถีที่กำหนด:

การเชื่อมโยงระหว่างวิธีพิกัดและเวกเตอร์เพื่อระบุการเคลื่อนที่ของจุดถูกกำหนดโดยสมการ (1.4)

4. การกำหนดความเร็วของจุดโดยใช้วิธีเวกเตอร์เพื่อระบุการเคลื่อนไหว

ให้ทันเวลาทีตำแหน่งของจุดจะถูกกำหนดโดยเวกเตอร์รัศมีและ ณ ขณะนั้นที 1 – เวกเตอร์รัศมี จากนั้นเป็นระยะเวลาหนึ่ง จุดจะเคลื่อนที่

(1.5) ความเร็วจุดเฉลี่ย ทิศทางของเวกเตอร์จะเหมือนกับทิศทางของเวกเตอร์

ชี้ความเร็วเข้า ช่วงเวลานี้เวลา

เพื่อให้ได้ความเร็วของจุดหนึ่งๆ ในเวลาที่กำหนด จำเป็นต้องผ่านไปยังขีดจำกัด

(1.6)

(1.7)

เวกเตอร์ความเร็วของจุด ณ เวลาที่กำหนด เท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของเวกเตอร์รัศมีเทียบกับเวลา และกำหนดทิศทางในแนวสัมผัสไปยังวิถี ณ จุดที่กำหนด

(หน่วย 3/4 ม./วินาที, กม./ชม.)

เวกเตอร์ความเร่งเฉลี่ย มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์Δ โวลต์ นั่นคือมุ่งตรงไปยังความเว้าของวิถี

เวกเตอร์ความเร่งของจุด ณ เวลาที่กำหนด เท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของเวกเตอร์ความเร็วหรืออนุพันธ์อันดับสองของเวกเตอร์รัศมีของจุดเทียบกับเวลา

(หน่วย - )

เวกเตอร์มีตำแหน่งสัมพันธ์กับวิถีของจุดอย่างไร

ที่ การเคลื่อนไหวตรงเวกเตอร์ถูกกำหนดทิศทางตามเส้นตรงที่จุดเคลื่อนที่ หากวิถีของจุดเป็นเส้นโค้งแบน เวกเตอร์ความเร่ง เช่นเดียวกับเวกเตอร์ ср จะอยู่ในระนาบของเส้นโค้งนี้และมุ่งตรงไปที่ความเว้าของมัน หากวิถีโคจรไม่ใช่เส้นโค้งระนาบ เวกเตอร์ ср จะมุ่งตรงไปยังความเว้าของวิถีและจะอยู่ในระนาบที่ผ่านแทนเจนต์ไปยังวิถีที่จุดนั้นม และเส้นขนานกับเส้นสัมผัสที่จุดประชิดม.1 . ใน จำกัดเมื่อชี้ม.1 มุ่งมั่นเพื่อ ม ระนาบนี้ครอบครองตำแหน่งของสิ่งที่เรียกว่าระนาบการสั่น ดังนั้น ในกรณีทั่วไป เวกเตอร์ความเร่งจะอยู่ในระนาบสัมผัสและมุ่งตรงไปยังความเว้าของเส้นโค้ง

• Aizenberg T.B., Voronkov I.M., Ossetsky V.M.. คู่มือการแก้ปัญหาในกลศาสตร์เชิงทฤษฎี (ฉบับที่ 6) อ.: Higher School, 1968 (djvu)
• เยเซอร์มาน MA กลศาสตร์คลาสสิก (ฉบับที่ 2) อ.: Nauka, 1980 (djvu)
• Aleshkevich V.A., Dedenko L.G., Karavaev V.A. กลศาสตร์ของของแข็ง บรรยาย. อ.: ภาควิชาฟิสิกส์ของ Moscow State University, 1997 (djvu)
• อเมลคิน เอ็น.ไอ. จลนศาสตร์และไดนามิกของวัตถุแข็งเกร็ง, MIPT, 2000 (pdf)
• Appel P. กลศาสตร์เชิงทฤษฎี. เล่มที่ 1 สถิติ ไดนามิกของจุด อ.: Fizmatlit, 1960 (djvu)
• Appel P. กลศาสตร์เชิงทฤษฎี. เล่มที่ 2 พลวัตของระบบ กลศาสตร์การวิเคราะห์ อ.: Fizmatlit, 1960 (djvu)
• อาร์โนลด์ วี.ไอ. ตัวส่วนน้อยและปัญหาความเสถียรของการเคลื่อนที่ในกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ท้องฟ้า ความสำเร็จ วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์เล่มที่ 18 ฉบับที่ 6 (114), หน้า 91-192, 1963 (ดีเจวู)
• Arnold V.I., Kozlov V.V., Neishtadt A.I. ลักษณะทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ท้องฟ้า อ.: VINITI, 1985 (djvu)
• Barinova M.F. , Golubeva O.V. ปัญหาและแบบฝึกหัดกลศาสตร์คลาสสิก ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 1980 (ดีเจวู)
• แบท มิ.ย., จาเนลิดเซ จี.ยู., เคลซอน เอ.เอส. กลศาสตร์เชิงทฤษฎีในตัวอย่างนี้และปัญหา เล่มที่ 1: สถิตยศาสตร์และจลนศาสตร์ (ฉบับที่ 5) อ.: Nauka, 1967 (djvu)
• แบท มิ.ย., จาเนลิดเซ จี.ยู., เคลซอน เอ.เอส. กลศาสตร์เชิงทฤษฎีในตัวอย่างนี้และปัญหา เล่มที่ 2: Dynamics (ฉบับที่ 3) อ.: Nauka, 1966 (djvu)
• แบท มิ.ย., จาเนลิดเซ จี.ยู., เคลซอน เอ.เอส. กลศาสตร์เชิงทฤษฎีในตัวอย่างนี้และปัญหา เล่มที่ 3: บทพิเศษของกลศาสตร์ อ.: Nauka, 1973 (djvu)
• Bekshaev S.Ya., Fomin V.M. พื้นฐานของทฤษฎีการแกว่ง โอเดสซา: OGASA, 2013 (pdf)
• เบเลนกี้ ไอ.เอ็ม. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับกลศาสตร์การวิเคราะห์ ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2507 (djvu)
• เบเรซคิน อี.เอ็น. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี (ฉบับที่ 2) ม.: สำนักพิมพ์. มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก 2517 (djvu)
• เบเรซคิน อี.เอ็น. กลศาสตร์เชิงทฤษฎี แนวทาง(ฉบับที่ 3). อ.: สำนักพิมพ์. มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก 2513 (djvu)
• เบเรซคิน อี.เอ็น. การแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ทฤษฎี ตอนที่ 1 ม.: สำนักพิมพ์. มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก 2516 (djvu)
• เบเรซคิน อี.เอ็น. การแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ทฤษฎี ตอนที่ 2 อ.: สำนักพิมพ์. มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก 2517 (djvu)
• Berezova O.A., Drushlyak G.E., Solodovnikov R.V. กลศาสตร์เชิงทฤษฎี การรวบรวมปัญหา เคียฟ: โรงเรียนวิชชา, 1980 (djvu)
• ไบเดอร์แมน วี.แอล. ทฤษฎีการสั่นสะเทือนทางกล ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 1980 (ดีเจวู)
• Bogolyubov N.N. , Mitropolsky Yu.A. , Samoilenko A.M. วิธีการลู่เข้าด้วยความเร่งในกลศาสตร์ไม่เชิงเส้น เคียฟ: Nauk. ดัมกา, 1969 (djvu)
• Brazhnichenko N.A., กาน วี.แอล. และอื่นๆ รวบรวมปัญหาทางกลศาสตร์เชิงทฤษฎี (ฉบับที่ 2) อ.: Higher School, 1967 (djvu)
• บูเทนิน เอ็น.วี. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับกลศาสตร์การวิเคราะห์ อ.: Nauka, 1971 (djvu)
• Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี เล่มที่ 1 สถิติและจลนศาสตร์ (ฉบับที่ 3) อ.: Nauka, 1979 (djvu)
• Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี เล่มที่ 2 Dynamics (ฉบับที่ 2) อ.: Nauka, 1979 (djvu)
• Buchgolts N.N. วิชาพื้นฐานกลศาสตร์ทฤษฎี เล่มที่ 1: จลนศาสตร์ สถิตยศาสตร์ ไดนามิกของจุดวัสดุ (ฉบับที่ 6) อ.: Nauka, 1965 (djvu)
• Buchgolts N.N. วิชาพื้นฐานกลศาสตร์ทฤษฎี เล่มที่ 2: พลวัตของระบบคะแนนวัสดุ (ฉบับที่ 4) อ.: Nauka, 1966 (djvu)
• Buchgolts N.N. , Voronkov I.M. , Minakov A.P. รวบรวมปัญหากลศาสตร์เชิงทฤษฎี (ฉบับที่ 3) ม.-ล.: GITTL, 1949 (djvu)
• วัลลี-ปุสซิน C.-J. การบรรยายเรื่องกลศาสตร์ทฤษฎี เล่ม 1 อ.: GIIL, 2491 (djvu)
• วัลลี-ปุสซิน C.-J. การบรรยายเรื่องกลศาสตร์ทฤษฎี เล่ม 2 อ.: GIIL, 2492 (djvu)
• เว็บสเตอร์ เอ.จี. กลศาสตร์จุดวัสดุของวัตถุที่เป็นของแข็ง ยืดหยุ่น และของเหลว (บรรยายเรื่องฟิสิกส์คณิตศาสตร์) ล.-ม.: GTTI, 1933 (djvu)
• Veretennikov V.G., Sinitsyn V.A. วิธีดำเนินการแบบแปรผัน (ฉบับที่ 2) อ.: Fizmatlit, 2005 (djvu)
• Veselovsky I.N. ไดนามิกส์ ม.-ล.: GITTL, 1941 (djvu)
• Veselovsky I.N. การรวบรวมปัญหาทางกลศาสตร์เชิงทฤษฎี อ.: GITTL, 1955 (djvu)
• Wittenburg J. พลศาสตร์ของระบบร่างกายแข็งเกร็ง อ.: มีร์, 1980 (djvu)
• โวรอนคอฟ ไอ.เอ็ม. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี (ฉบับที่ 11) อ.: Nauka, 1964 (djvu)
• Ganiev R.F., Kononenko V.O. การสั่นสะเทือนของวัตถุแข็ง อ.: Nauka, 1976 (djvu)
• แกนต์มาเคอร์ เอฟ.อาร์. บรรยายเรื่องกลศาสตร์วิเคราะห์ อ.: Nauka, 1966 (ฉบับที่ 2) (djvu)
• Gernet MM. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี อ.: มัธยมปลาย (พิมพ์ครั้งที่ 3), 2516 (djvu)
• เจโรนิมัส ยา.แอล. กลศาสตร์เชิงทฤษฎี (บทความเกี่ยวกับหลักการพื้นฐาน) อ.: Nauka, 1973 (djvu)
• Hertz G. หลักการของกลไกที่กำหนดไว้ในการเชื่อมต่อใหม่ อ.: สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งสหภาพโซเวียต, 2502 (djvu)
• Goldstein G. กลศาสตร์คลาสสิก. อ.: Gostekhizdat, 1957 (djvu)
• Golubeva O.V. กลศาสตร์เชิงทฤษฎี ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2511 (djvu)
• ดิเมนเบิร์ก เอฟ.เอ็ม. แคลคูลัสเฮลิคอลและการประยุกต์ในกลศาสตร์ อ.: Nauka, 1965 (djvu)
• โดบรอนราฟ วี.วี. พื้นฐานของกลศาสตร์วิเคราะห์ อ.: Higher School, 1976 (djvu)
• Zhirnov N.I. กลศาสตร์คลาสสิก อ.: การศึกษา, 2523 (djvu)
• Zhukovsky N.E. กลศาสตร์เชิงทฤษฎี (ฉบับที่ 2) ม.-ล.: GITTL, 1952 (djvu)
• ซูราฟเลฟ วี.เอฟ. รากฐานของกลศาสตร์ ด้านระเบียบวิธี- อ.: สถาบันปัญหากลศาสตร์ RAS (พิมพ์ล่วงหน้า N 251), 1985 (djvu)
• ซูราฟเลฟ วี.เอฟ. ความรู้พื้นฐานกลศาสตร์เชิงทฤษฎี (ฉบับที่ 2) อ.: Fizmatlit, 2001 (djvu)
• ซูราฟเลฟ วี.เอฟ., คลิมอฟ ดี.เอ็ม. วิธีการประยุกต์ในทฤษฎีการสั่นสะเทือน อ.: Nauka, 1988 (djvu)
• Zubov V.I., Ermolin V.S. และอื่น ๆ พลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็งอิสระและการกำหนดทิศทางในอวกาศ L.: มหาวิทยาลัยแห่งรัฐเลนินกราด, 2511 (djvu)
• ซูบอฟ วี.จี. กลศาสตร์. ชุด "หลักการฟิสิกส์" อ.: Nauka, 1978 (djvu)
• ประวัติความเป็นมาของกลศาสตร์ของระบบไจโรสโคปิก อ.: Nauka, 1975 (djvu)
• อิชลินสกี้ เอ.ยู. (เอ็ด). กลศาสตร์เชิงทฤษฎี การกำหนดตัวอักษรของปริมาณ ฉบับที่ 96. M: Nauka, 1980 (ดีเจวู)
• Ishlinsky A.Yu. , Borzov V.I. , Stepanenko N.P. รวบรวมปัญหาและแบบฝึกหัดเกี่ยวกับทฤษฎีไจโรสโคป อ.: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก, 2522 (djvu)
• Kabalsky M.M., Krivoshey V.D., Savitsky N.I., Tchaikovsky G.N. งานทั่วไปเกี่ยวกับกลศาสตร์ทฤษฎีและวิธีการแก้ปัญหา เคียฟ: GITL ยูเครน SSR, 1956 (djvu)
• คิลเชฟสกี้ เอ็น.เอ. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี เล่ม 1: จลนศาสตร์ สถิตยศาสตร์ พลศาสตร์ของจุด (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2) อ.: Nauka, 1977 (djvu)
• คิลเชฟสกี้ เอ็น.เอ. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี เล่ม 2: พลศาสตร์ของระบบ กลศาสตร์วิเคราะห์ องค์ประกอบของทฤษฎีศักย์ กลศาสตร์ต่อเนื่อง พิเศษและ ทฤษฎีทั่วไปสัมพัทธภาพ, M.: Nauka, 1977 (djvu)
• เคอร์พิเชฟ วี.แอล. บทสนทนาเกี่ยวกับเครื่องกล ม.-ล.: GITTL, 1950 (djvu)
• คลิมอฟ ดี.เอ็ม. (เอ็ด). ปัญหาด้านกลไก: วันเสาร์ บทความ ถึงวันครบรอบ 90 ปีวันเกิดของ A. Yu. อ.: Fizmatlit, 2003 (djvu)
• คอซลอฟ วี.วี. วิธีการ การวิเคราะห์เชิงคุณภาพใน Rigid Body Dynamics (ฉบับที่ 2) Izhevsk: ศูนย์วิจัย "พลวัตปกติและวุ่นวาย", 2000 (djvu)
• คอซลอฟ วี.วี. ความสมมาตร โทโพโลยี และการสั่นพ้องในกลศาสตร์แฮมิลตัน Izhevsk: สำนักพิมพ์แห่งรัฐ Udmurt มหาวิทยาลัย 2538 (djvu)
• คอสโมเดเมียนสกี้ เอ.เอ. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี ตอนที่ 1. ม.: การตรัสรู้, 1965 (djvu)
• คอสโมเดเมียนสกี้ เอ.เอ. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี ส่วนที่ 2 อ.: การศึกษา, 2509 (djvu)
• Kotkin G.L., เซอร์โบ V.G. การรวบรวมปัญหาในกลศาสตร์คลาสสิก (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2) อ.: Nauka, 1977 (djvu)
• คราเกลสกี้ ไอ.วี., ชเชรอฟ VS. การพัฒนาศาสตร์แห่งแรงเสียดทาน แรงเสียดทานแบบแห้ง อ.: สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งสหภาพโซเวียต, 2499 (djvu)
• Lagrange J. กลศาสตร์การวิเคราะห์ เล่ม 1. M.-L.: GITTL, 1950 (djvu)
• Lagrange J. กลศาสตร์การวิเคราะห์ เล่ม 2 M.-L.: GITTL, 1950 (djvu)
• แลมบ์ ก. กลศาสตร์เชิงทฤษฎี. เล่มที่ 2 พลวัต ม.-ล.: GTTI, 1935 (djvu)
• แลมบ์ ก. กลศาสตร์เชิงทฤษฎี. เล่มที่ 3 ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ม.-ล.: ONTI, 1936 (djvu)
• Levi-Civita T., Amaldi U. หลักสูตรกลศาสตร์เชิงทฤษฎี. เล่มที่ 1 ตอนที่ 1: จลนศาสตร์หลักการกลศาสตร์ ม.-ล.: NKTL สหภาพโซเวียต พ.ศ. 2478 (djvu)
• Levi-Civita T., Amaldi U. หลักสูตรกลศาสตร์เชิงทฤษฎี. เล่มที่ 1 ตอนที่ 2: จลนศาสตร์ หลักกลศาสตร์ สถิตศาสตร์ ม.: จากต่างประเทศ. วรรณกรรม พ.ศ. 2495 (djvu)
• Levi-Civita T., Amaldi U. หลักสูตรกลศาสตร์เชิงทฤษฎี. เล่มที่ 2 ตอนที่ 1: พลวัตของระบบที่มีระดับความเป็นอิสระจำนวนจำกัด ม.: จากต่างประเทศ. วรรณกรรม พ.ศ. 2494 (djvu)
• Levi-Civita T., Amaldi U. หลักสูตรกลศาสตร์เชิงทฤษฎี. เล่มที่ 2 ตอนที่ 2: พลวัตของระบบที่มีระดับความเป็นอิสระจำนวนจำกัด ม.: จากต่างประเทศ. วรรณกรรม พ.ศ. 2494 (djvu)
• ลีช เจ.ดับบลิว. กลศาสตร์คลาสสิก ม.: ต่างประเทศ. วรรณคดี พ.ศ. 2504 (djvu)
• Lunts Ya.L. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีไจโรสโคป อ.: Nauka, 1972 (djvu)
• ลูรี่ เอ.ไอ. กลศาสตร์การวิเคราะห์ อ.: GIFML, 1961 (djvu)
• Lyapunov A.M. งานทั่วไปเกี่ยวกับเสถียรภาพของการจราจร ม.-ล.: GITTL, 1950 (djvu)
• มาร์คีฟ เอ.พี. พลวัตของร่างกายเมื่อสัมผัสกับพื้นผิวแข็ง อ.: Nauka, 1992 (djvu)
• มาร์คีฟ เอ.พี. กลศาสตร์เชิงทฤษฎี รุ่นที่ 2 อีเจฟสค์: RHD, 1999 (djvu)
• มาร์ตีนยัค เอ.เอ. เสถียรภาพในการเคลื่อนไหว ระบบที่ซับซ้อน- เคียฟ: Nauk. Dumka, 1975 (ดีเจวู)
• เมอร์คิน ดี.อาร์. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับกลไกของเส้นใยยืดหยุ่น อ.: Nauka, 1980 (djvu)
• ช่างกลในสหภาพโซเวียตเป็นเวลา 50 ปี เล่มที่ 1 กลศาสตร์ทั่วไปและกลศาสตร์ประยุกต์ อ.: Nauka, 1968 (djvu)
• เมเทลิตซิน ไอ.ไอ. ทฤษฎีไจโรสโคป ทฤษฎีความมั่นคง ผลงานที่คัดสรร อ.: Nauka, 1977 (djvu)
• เมชเชอร์สกี้ ไอ.วี. รวบรวมปัญหากลศาสตร์เชิงทฤษฎี (ฉบับที่ 34) อ.: Nauka, 1975 (djvu)
• มิซูเรฟ M.A. วิธีการแก้ปัญหาทางกลศาสตร์เชิงทฤษฎี อ.: Higher School, 1963 (djvu)
• Moiseev N.N. วิธีการเชิงเส้นกำกับของกลศาสตร์ไม่เชิงเส้น อ.: Nauka, 1969 (djvu)
• Neimark Yu.I., Fufaev N.A. พลวัตของระบบไม่โฮโลโนมิก อ.: Nauka, 1967 (djvu)
• เนคราซอฟ เอ.ไอ. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี เล่มที่ 1 สถิติและจลนศาสตร์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 6) อ.: GITTL, 1956 (djvu)
• เนคราซอฟ เอ.ไอ. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี เล่ม 2. Dynamics (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2) อ.: GITTL, 1953 (djvu)
• นิโคไล อี.แอล. ไจโรสโคปและแอปพลิเคชันทางเทคนิคบางส่วนในการนำเสนอที่สาธารณชนเข้าถึงได้ ม.-ล.: GITTL, 1947 (djvu)
• นิโคไล อี.แอล. ทฤษฎีไจโรสโคป ล.-ม.: GITTL, 1948 (djvu)
• นิโคไล อี.แอล. กลศาสตร์เชิงทฤษฎี ส่วนที่ 1 สถิติ จลนศาสตร์ (ฉบับที่ยี่สิบ) อ.: GIFML, 1962 (djvu)
• นิโคไล อี.แอล. กลศาสตร์เชิงทฤษฎี ส่วนที่ 2 Dynamics (ฉบับที่สิบสาม) อ.: GIFML, 1958 (djvu)
• โนโวเซลอฟ V.S. วิธีการแปรผันในกลศาสตร์ L.: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแห่งรัฐเลนินกราด, 2509 (djvu)
• Olkhovsky I.I. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎีสำหรับนักฟิสิกส์ อ.: มส., 2521 (djvu)
• Olkhovsky I.I. , Pavlenko Yu.G. , Kuzmenkov L.S. ปัญหาทางกลศาสตร์ทฤษฎีสำหรับนักฟิสิกส์ อ.: มส., 2520 (djvu)
• พาร์ส แอล.เอ. พลวัตเชิงวิเคราะห์ อ.: Nauka, 1971 (djvu)
• เปเรลแมน ยา.ไอ. กลไกความบันเทิง (ฉบับที่ 4) ม.-ล.: ONTI, 1937 (djvu)
• พลังค์ เอ็ม. บทนำ ฟิสิกส์เชิงทฤษฎี- ส่วนที่หนึ่ง ช่างกลทั่วไป (ฉบับที่ 2) ม.-ล.: GTTI, 1932 (djvu)
• พลัค แอล.เอส. (เอ็ด) หลักการเปลี่ยนแปลงของกลศาสตร์ รวบรวมบทความโดยคลาสสิกของวิทยาศาสตร์ อ.: Fizmatgiz, 1959 (djvu)
• Poincare A. การบรรยายเรื่องกลศาสตร์ท้องฟ้า อ.: Nauka, 1965 (djvu)
• Poincare A. กลไกใหม่ วิวัฒนาการของกฎหมาย ม.: ประเด็นร่วมสมัย: 1913 (ดีเจวู)
• โรส เอ็น.วี. (เอ็ด.) กลศาสตร์เชิงทฤษฎี. ส่วนที่ 1 กลศาสตร์ของจุดวัสดุ ล.-ม.: GTTI, 1932 (djvu)
• โรส เอ็น.วี. (เอ็ด.) กลศาสตร์เชิงทฤษฎี. ส่วนที่ 2 กลศาสตร์ของระบบวัสดุและของแข็ง ล.-ม.: GTTI, 1933 (djvu)
• โรเซนบลาท จี.เอ็ม. แรงเสียดทานแห้งในปัญหาและแนวทางแก้ไข ม.-อิเจฟสค์: RHD, 2009 (pdf)
• Rubanovsky V.N. , Samsonov V.A. ความเสถียรของการเคลื่อนที่คงที่ในตัวอย่างนี้และปัญหา ม.-อิเจฟสค์: RHD, 2003 (pdf)
• แซมสันอฟ วี.เอ. บันทึกการบรรยายเรื่องกลศาสตร์ อ.: มสธ., 2558 (pdf)
• ชูการ์ เอ็น.เอฟ. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2507 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 1 ม.: สูงกว่า โรงเรียน 2511 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 2 ม.: สูงกว่า โรงเรียน, 1971 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 3 ม.: สูงกว่า โรงเรียน, 1972 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 4 ม.: สูงกว่า โรงเรียน, 1974 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 5 ม.: สูงกว่า โรงเรียน, 1975 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 6 ม.: สูงกว่า โรงเรียน, 1976 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 7 ม.: สูงกว่า โรงเรียน, 1976 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 8 ม.: สูงกว่า โรงเรียน, 1977 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 9 ม.: สูงกว่า โรงเรียน, 1979 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 10 ม.: สูงกว่า โรงเรียน 1980 (ดีเจวู)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 11. ม.: สูงกว่า. โรงเรียน, 1981 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 12. ม.: สูงกว่า. โรงเรียน, 1982 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 13. ม.: สูงกว่า. โรงเรียน, 1983 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 14. ม.: สูงกว่า. โรงเรียน, 1983 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 15. ม.: สูงกว่า. โรงเรียน, 1984 (djvu)
• รวบรวมบทความทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฉบับที่ 16 ม.: Vyssh. โรงเรียน พ.ศ. 2529