สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดและขนานกับระนาบที่กำหนดทางออนไลน์ สมการของระนาบที่ผ่านเส้นที่กำหนดและมุมของจุดที่กำหนดระหว่างระนาบ

บทความนี้มีข้อมูลที่จำเป็นในการแก้ปัญหาการเขียนสมการของเครื่องบินที่ผ่านเส้นที่กำหนดและ จุดที่กำหนด- หลังจากแก้ไขปัญหานี้แล้วใน ปริทัศน์เราจะให้คำตอบโดยละเอียดแก่ตัวอย่างการเขียนสมการของระนาบที่ผ่านเส้นและจุดที่กำหนด

การนำทางหน้า

การค้นหาสมการของระนาบที่ผ่านเส้นตรงที่กำหนดและจุดที่กำหนด

ให้ Oxyz ได้รับการแก้ไขในปริภูมิสามมิติ โดยให้เส้น a และจุดที่ไม่อยู่บนเส้น ให้เรากำหนดภารกิจของเรา: เพื่อให้ได้สมการของระนาบที่ผ่านเส้น a และจุด M 3

ขั้นแรก เราจะแสดงว่ามีระนาบเดียวที่เราต้องสร้างสมการ

ให้เราระลึกถึงสัจพจน์สองประการ:

• เครื่องบินลำเดียวผ่านจุดที่แตกต่างกันสามจุดในอวกาศซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
• ถ้าจุดสองจุดที่แตกต่างกันของเส้นตรงอยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่ง ดังนั้นทุกจุดของเส้นนี้จะอยู่ในระนาบนี้

จากข้อความเหล่านี้ ส่งผลให้ระนาบที่มีลักษณะเฉพาะสามารถลากผ่านเส้นตรงและจุดที่ไม่อยู่บนระนาบนั้นได้ ดังนั้น ในโจทย์ที่เราตั้งไว้ ระนาบเดียวผ่านเส้นตรง a และจุด M 3 และเราจำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบนี้

ตอนนี้เรามาเริ่มค้นหาสมการของระนาบที่ผ่านเส้นตรงที่กำหนด a และจุด .

หากให้เส้นตรง a โดยการระบุพิกัดของจุดที่แตกต่างกันสองจุด M 1 และ M 2 ที่วางอยู่บนนั้น งานของเราจะลดลงในการค้นหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด M 1, M 2 และ M 3

หากให้เส้นตรง a ต่างกันก่อนอื่นเราต้องค้นหาพิกัดของจุดสองจุด M 1 และ M 2 ที่วางอยู่บนเส้น a จากนั้นเขียนสมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดสามจุด M 1, M 2 และ M 3 ซึ่งจะเป็นสมการที่ต้องการของระนาบที่ผ่านเส้น a และจุด M 3

ลองหาวิธีค้นหาพิกัดของจุดสองจุดที่แตกต่างกัน M 1 และ M 2 ที่วางอยู่บนเส้นที่กำหนด a

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในอวกาศ เส้นตรงใดๆ จะสอดคล้องกับสมการของเส้นตรงในอวกาศ เราจะสมมติว่าวิธีการระบุเส้นตรง a ในงบปัญหาช่วยให้เราได้สมการพาราเมตริกของเส้นตรงในปริภูมิของแบบฟอร์ม - เมื่อยอมรับแล้วเราก็มีประเด็น นอนอยู่บนเส้นก. โดยทำให้พารามิเตอร์ไม่เป็นศูนย์ มูลค่าที่แท้จริงจากสมการพาราเมตริกของเส้น a เราสามารถคำนวณพิกัดของจุด M 2 ได้ ซึ่งยังอยู่บนเส้น a และแตกต่างจากจุด M 1

หลังจากนี้เราจะต้องเขียนสมการของระนาบที่ผ่านสามจุดที่แตกต่างกันเท่านั้นและไม่ได้วางอยู่บนจุดเส้นตรงเดียวกัน และ , ในรูปแบบ .

ดังนั้นเราจึงได้สมการของระนาบที่ผ่านเส้นที่กำหนด a และจุดที่กำหนด M 3 ซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้น a

ตัวอย่างการเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดและเส้นตรง

เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างต่างๆ โดยเราจะวิเคราะห์วิธีการพิจารณาในการค้นหาสมการของระนาบที่ผ่านเส้นตรงที่กำหนดและจุดที่กำหนด

เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดกันก่อน

ตัวอย่าง.

สารละลาย.

ให้เราหาจุดที่แตกต่างกันสองจุดบนเส้นพิกัด Ox เช่น และ .

ตอนนี้เราได้สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดสามจุด M 1, M 2 และ M 3:

สมการนี้เป็นสมการทั่วไปที่ต้องการของระนาบที่ผ่านเส้นตรงที่กำหนด Ox และจุด .

คำตอบ:

.

หากทราบว่าระนาบผ่านจุดที่กำหนดและเส้นที่กำหนด และคุณจำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบเป็นส่วนๆ หรือสมการปกติของระนาบ คุณควรได้สมการทั่วไปของระนาบที่กำหนดก่อน จากนั้นไปที่สมการของระนาบประเภทที่ต้องการ

ตัวอย่าง.

เขียนสมการปกติของระนาบที่ลากผ่านเส้นตรง และช่วงเวลา .

สารละลาย.

ขั้นแรก เรามาเขียนสมการทั่วไปของระนาบที่กำหนดกันก่อน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาพิกัดของจุดสองจุดที่แตกต่างกันซึ่งอยู่บนเส้นตรง - สมการพาราเมตริกของเส้นนี้มีรูปแบบ - ให้จุด M 1 สอดคล้องกับค่าและจุด M 2 - เราคำนวณพิกัดของจุด M 1 และ M 2:

ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการทั่วไปของเส้นที่ผ่านจุดหนึ่งได้ และโดยตรง :

ยังคงต้องได้รูปแบบที่ต้องการของสมการเครื่องบินโดยการคูณทั้งสองด้านของสมการผลลัพธ์ด้วยปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐาน .

คำตอบ:

.

ดังนั้น การค้นหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดและเส้นที่กำหนดนั้นขึ้นอยู่กับการค้นหาพิกัดของจุดสองจุดที่แตกต่างกันซึ่งอยู่บนเส้นที่กำหนด นี่มักเป็นปัญหาหลักในการแก้ปัญหาดังกล่าว โดยสรุป เราจะวิเคราะห์คำตอบของตัวอย่างด้วยการเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดและเส้นตรงซึ่งกำหนดโดยสมการของระนาบที่ตัดกันสองอัน

ตัวอย่าง.

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz จะมีการกำหนดจุดและเส้นตรง a ซึ่งเป็นเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ และ - เขียนสมการของระนาบที่ลากผ่านเส้น a และจุด M 3

ให้เราพิจารณาระนาบ Q ในอวกาศ ตำแหน่งของมันถูกกำหนดโดยสมบูรณ์โดยการระบุเวกเตอร์ N ตั้งฉากกับระนาบนี้และจุดคงที่บางจุดที่อยู่ในระนาบ Q เวกเตอร์ N ที่ตั้งฉากกับระนาบ Q เรียกว่าเวกเตอร์ปกติของระนาบนี้ ถ้าเราแสดงด้วย A, B และ C เส้นโครงของเวกเตอร์ปกติ N แล้ว

ขอให้เราได้สมการของระนาบ Q ที่ผ่านจุดที่กำหนดและมีเวกเตอร์ปกติที่กำหนด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อจุดกับจุดใดก็ได้บนระนาบ Q (รูปที่ 81)

สำหรับตำแหน่งใดๆ ของจุด M บนระนาบ Q เวกเตอร์ MHM จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติของระนาบ Q ดังนั้น ผลคูณสเกลาร์ ให้เราเขียนผลคูณสเกลาร์ในแง่ของการฉายภาพ เนื่องจาก และ เป็นเวกเตอร์ ดังนั้น

และดังนั้นจึง

เราได้แสดงให้เห็นว่าพิกัดของจุดใดๆ ในระนาบ Q เป็นไปตามสมการ (4) สังเกตได้ง่ายว่าพิกัดของจุดที่ไม่ได้อยู่บนระนาบ Q ไม่เป็นไปตามสมการนี้ (ในกรณีหลัง) ดังนั้นเราจึงได้สมการที่ต้องการของระนาบ Q สมการ (4) เรียกว่าสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด เป็นระดับแรกสัมพันธ์กับพิกัดปัจจุบัน

ดังนั้นเราจึงได้แสดงให้เห็นว่าระนาบทุกอันสอดคล้องกับสมการระดับแรกเทียบกับพิกัดปัจจุบัน

ตัวอย่างที่ 1 เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์

สารละลาย. ที่นี่ . ตามสูตร (4) ที่เราได้รับ

หรือหลังจากการทำให้เข้าใจง่ายแล้ว

ด้วยการให้ค่าสัมประสิทธิ์ A, B และ C ของสมการ (4) ค่าที่แตกต่างกัน เราจะได้สมการของระนาบใดๆ ที่ผ่านจุดนั้น เซตของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดเรียกว่ามัดของระนาบ สมการ (4) ซึ่งสัมประสิทธิ์ A, B และ C สามารถรับค่าใดๆ ได้ เรียกว่าสมการของระนาบพวง

ตัวอย่างที่ 2 สร้างสมการสำหรับเครื่องบินที่ผ่านจุดสามจุด (รูปที่ 82)

สารละลาย. ลองเขียนสมการของระนาบจำนวนหนึ่งที่ผ่านจุดนั้นกัน

การบรรยายครั้งที่ 5. การแก้ปัญหาในหัวข้อ “เรขาคณิตวิเคราะห์ในอวกาศ”

1. เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดหนึ่ง ม 0 (1, -2, 5) ขนานกับระนาบ 7 x-ย-2z-1=0.

สารละลาย.ให้เราแสดงโดย รให้เครื่องบินมาเถอะ ร 0 – ระนาบขนานที่ต้องการผ่านจุดนั้น ม 0 (1, -2, 5).

พิจารณาเวกเตอร์ปกติ (ตั้งฉาก) เครื่องบิน ร- พิกัดของเวกเตอร์ปกติคือค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในสมการระนาบ 
.

ตั้งแต่เครื่องบิน รและ ร 0 ขนานกัน แล้วก็เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเครื่องบิน ร 0 , เช่น. - เวกเตอร์ปกติของเครื่องบิน ร 0 .

สมการของระนาบที่ผ่านจุดหนึ่ง ม 0 (x 0 , ย 0 , z 0) ตามปกติ
:

แทนพิกัดของจุด ม 0 และเวกเตอร์ปกติ เข้าไปในสมการ (1):

เมื่อเปิดวงเล็บ เราจะได้สมการทั่วไปของระนาบ (คำตอบสุดท้าย):

2. เขียนสมการมาตรฐานและสมการพาราเมตริกของเส้นที่ผ่านจุด ม 0 (-2, 3, 0) ขนานกับเส้นตรง
.

สารละลาย.ให้เราแสดงโดย ลให้เส้นตรงให้ ล 0 – เส้นขนานที่ต้องการผ่านจุด ม 0 (-2,3,0).

เวกเตอร์นำทาง ตรง ล(เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ขนานกับเส้นนี้) ก็ขนานกับเส้นนี้เช่นกัน ล 0 - ดังนั้นเวกเตอร์ คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ล 0 .

พิกัดเวกเตอร์ทิศทาง เท่ากับตัวส่วนที่สอดคล้องกันในสมการบัญญัติของเส้นตรงที่กำหนด

.

สมการ Canonical ของเส้นตรงในปริภูมิที่ผ่านจุด ม 0 (x 0 , ย 0 , z {ล, ม, n}

. (2)

แทนพิกัดของจุด ม 0 และเวกเตอร์ทิศทาง เข้าไปในสมการ (2) และรับสมการมาตรฐานของเส้นตรง:

.

สมการพาราเมตริกของเส้นตรงในปริภูมิที่ผ่านจุด ม 0 (x 0 , ย 0 , z 0) ขนานกับเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ {ล, ม, n) มีรูปแบบ:

(3)

แทนพิกัดของจุด ม 0 และเวกเตอร์ทิศทาง ลงในสมการ (3) และรับสมการพาราเมตริกของเส้นตรง:

3. ค้นหาจุด
สมมาตรตรงจุด
เทียบกับ: ก) ตรง
b) เครื่องบิน

สารละลาย.ก) มาสร้างสมการสำหรับระนาบตั้งฉากกัน ป, จุดที่ฉาย
ไปที่บรรทัดนี้:

การค้นหา
เราใช้เงื่อนไขตั้งฉากของเส้นตรงที่กำหนดและระนาบที่ยื่นออกมา เวกเตอร์โดยตรง
ตั้งฉากกับระนาบ  เวกเตอร์
เป็นเวกเตอร์ปกติ
ไปยังระนาบ  สมการของระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดจะมีรูปแบบหรือ

เรามาค้นหาการฉายภาพกัน รคะแนน มให้เป็นเส้นตรง จุด รคือจุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ กล่าวคือ พิกัดของมันจะต้องเป็นไปตามทั้งสมการของเส้นและสมการของระนาบไปพร้อม ๆ กัน มาแก้ระบบกัน:

.

เพื่อแก้ปัญหานี้ เราเขียนสมการเส้นตรงในรูปแบบพาราเมตริก:

การแทนที่นิพจน์สำหรับ
ในสมการของระนาบเราจะได้:

จากตรงนี้เราจะพบว่า พิกัดที่พบคือพิกัดตรงกลาง รส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุด
และจุดสมมาตรกับมัน

ใน หลักสูตรของโรงเรียนเรขาคณิต มีการกำหนดทฤษฎีบทขึ้นมา

พิกัดที่อยู่กึ่งกลางของส่วนจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของส่วนปลาย

การหาพิกัดของจุด
จากสูตรพิกัดจุดกึ่งกลางของส่วน:

เราได้รับ: ดังนั้น
.

สารละลาย. b) การหาจุดที่สมมาตรกับจุดหนึ่ง
สัมพันธ์กับระนาบที่กำหนด ปให้วางตั้งฉากจากจุด
สู่เครื่องบินลำนี้ มาสร้างสมการเส้นตรงกับเวกเตอร์ทิศทางกันดีกว่า
,ผ่านจุด
:

ความตั้งฉากระหว่างเส้นกับระนาบหมายความว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตั้งฉากกับระนาบ 
- แล้วสมการของเส้นตรงที่ฉายจุด
ไปยังระนาบที่กำหนดจะมีรูปแบบดังนี้

แก้สมการด้วยกันแล้ว
และ
มาหาการฉายภาพกัน รคะแนน
ไปที่เครื่องบิน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนสมการของเส้นตรงใหม่ในรูปแบบพาราเมตริก:

ลองแทนค่าเหล่านี้กัน
ลงในสมการของระนาบ: คล้ายกับขั้นตอน a) โดยใช้สูตรพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน เราจะหาพิกัดของจุดสมมาตร
:

เหล่านั้น.
.

4. เขียนสมการของระนาบที่ผ่าน a) ผ่านเส้นตรง
ขนานกับเวกเตอร์
- b) ผ่านสองเส้นที่ตัดกัน
และ
(ได้พิสูจน์ก่อนหน้านี้แล้วว่าพวกมันตัดกัน); c) ผ่านเส้นขนานสองเส้น
และ
- d) ผ่านทางตรง
และช่วงเวลา
.

สารละลาย.ก) เนื่องจากเส้นตรงที่กำหนดนั้นอยู่ในระนาบที่ต้องการ และระนาบที่ต้องการนั้นขนานกับเวกเตอร์ จากนั้นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง
และเวกเตอร์ .

ดังนั้น เนื่องจากเวกเตอร์ปกติของเครื่องบิน เราสามารถเลือกผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ได้ และ :

เราได้พิกัดของเวกเตอร์ปกติของเครื่องบิน
.

ลองหาจุดบนเส้นตรงกัน การทำให้อัตราส่วนในสมการบัญญัติของเส้นตรงเท่ากับศูนย์:

,

เราพบ
,
,
- เส้นตรงที่กำหนดจะผ่านจุดนั้น
เครื่องบินจึงผ่านจุดนั้นด้วย
- การใช้สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ เราได้สมการของระนาบ หรือ หรือ ในที่สุด
.

สารละลาย.ข) เส้นตรงสองเส้นในอวกาศสามารถตัดกัน ตัดกัน หรือขนานกันได้ ให้เส้นตรง

และ
(4)

ไม่ขนานกัน เนื่องจากเวกเตอร์ทิศทางของพวกมัน
และ
ไม่ใช่แนวตรง:
.

จะตรวจสอบได้อย่างไรว่าเส้นนั้นตัดกัน? คุณสามารถแก้ระบบ (4) ของ 4 สมการโดยไม่ทราบค่า 3 ค่า หากระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ เราจะได้พิกัดของจุดตัดกันของเส้น อย่างไรก็ตาม เพื่อแก้ปัญหาของเรา - การสร้างระนาบโดยที่เส้นทั้งสองอยู่นั้น ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดตัดกัน ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะกำหนดเงื่อนไขสำหรับจุดตัดของเส้นไม่ขนานสองเส้นในอวกาศโดยไม่ต้องหาจุดตัดกัน

ถ้าเส้นไม่ขนานสองเส้นตัดกัน แล้วเวกเตอร์ทิศทาง
,
และจุดเชื่อมต่อที่วางอยู่บนเส้นตรง
และ
เวกเตอร์อยู่ในระนาบเดียวกัน นั่นคือ coplanar  ผลคูณผสมของเวกเตอร์เหล่านี้มีค่าเท่ากับศูนย์:

. (5)

เราถืออัตราส่วนในสมการมาตรฐานของเส้นให้เป็นศูนย์ (หรือเท่ากับ 1 หรือตัวเลขใดๆ)

และ
,

และหาพิกัดของจุดบนเส้นตรง บรรทัดแรกผ่านจุดนั้น
และเส้นตรงเส้นที่สองลากผ่านจุดนั้น
- เวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้เท่ากันตามลำดับ
และ
- เราได้รับ

มีความเท่าเทียมกัน (5) เป็นที่พอใจ ดังนั้นเส้นที่กำหนดจึงตัดกัน ซึ่งหมายความว่ามีระนาบเดียวที่ผ่านสองเส้นนี้

เรามาดูส่วนที่สองของปัญหากันดีกว่า - วาดสมการของเครื่องบิน

เนื่องจากเป็นเวกเตอร์ปกติของเครื่องบิน คุณสามารถเลือกได้ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เวกเตอร์ทิศทางของมัน และ :

พิกัดของเวกเตอร์ปกติของเครื่องบิน
.

เราพบว่าตรงไปตรงมา
ผ่านไป
ดังนั้นระนาบที่ต้องการก็ผ่านจุดนี้ไปด้วย เราได้สมการของระนาบหรือ
หรือในที่สุด
.

c) เนื่องจากพวกเขาตรง
และ
ขนานกัน ดังนั้นผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ทิศทางไม่สามารถเลือกเป็นเวกเตอร์ปกติได้ มันจะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์

เรามากำหนดพิกัดของจุดกัน
และ
ซึ่งเส้นเหล่านี้ผ่านไป อนุญาต
และ
, แล้ว
,
- ลองคำนวณพิกัดของเวกเตอร์กัน เวกเตอร์
อยู่ในระนาบที่ต้องการและไม่เป็นเส้นตรงกับเวกเตอร์ แล้วเป็นเวกเตอร์ปกติของมัน คุณสามารถเลือกผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ได้
และเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเส้นแรก
:

ดังนั้น,
.

เครื่องบินจะวิ่งผ่านเส้น
ซึ่งหมายความว่ามันผ่านจุดนั้นไป
- เราได้สมการของระนาบ: หรือ

d) การเทียบความสัมพันธ์ในสมการบัญญัติของเส้นตรงให้เป็นศูนย์
เราพบ
,
,
- ดังนั้นเส้นตรงจึงผ่านจุดนั้น
.

ลองคำนวณพิกัดของเวกเตอร์กัน เวกเตอร์
อยู่ในระนาบที่ต้องการ ซึ่งเป็นเวกเตอร์ปกติ เลือกผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง
และเวกเตอร์
:

จากนั้นสมการระนาบจะมีรูปแบบ: หรือ

จุดสามจุดในอวกาศที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันจะกำหนดระนาบเดียว มาสร้างสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุดกัน ม 1 (เอ็กซ์ 1 ; ที่ 1 ; z 1), ม 2 (เอ็กซ์ 2 ; ที่ 2 ; z 2), ม 3 (เอ็กซ์ 3 ; ที่ 3 ; z 3). ลองใช้จุดใดก็ได้บนเครื่องบิน ม(เอ็กซ์; ที่; z) และเขียนเวกเตอร์ = ( x – x 1 ; ที่– ที่ 1 ; z–z 1), = (เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ 1 ; ที่ 2 – ที่ 1 ; z 2 – ซ 1), = (เอ็กซ์ 3 - เอ็กซ์ 1 ; ที่ 3 – ที่ 1 ; z 3 – ซ 1). เวกเตอร์เหล่านี้อยู่ในระนาบเดียวกัน ดังนั้นพวกมันจึงเป็นระนาบเดียวกัน การใช้เงื่อนไข coplanarity ของเวกเตอร์สามตัว (ผลคูณผสมของพวกมันเท่ากับศูนย์) เราจะได้ ∙ ∙ = 0 นั่นคือ

= 0. (3.5)

เรียกว่าสมการ (3.5) สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด.

การจัดการร่วมกันเครื่องบินในอวกาศ

มุมระหว่างระนาบ

ให้เครื่องบินสองลำได้รับ

ก 1 เอ็กซ์ + ใน 1 ที่ + กับ 1 z + D 1 = 0,

ก 2 เอ็กซ์ + ใน 2 ที่ + กับ 2 z + D 2 = 0.

ด้านหลัง มุมระหว่างระนาบเราใช้มุม φ ระหว่างเวกเตอร์สองตัวที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์เหล่านั้น (ซึ่งให้สองมุม มุมแหลมและมุมป้าน โดยประกอบกันกับ π) เนื่องจากเวกเตอร์ปกติของเครื่องบิน = ( ก 1 , ใน 1 , กับ 1) และ = ( ก 2 , ใน 2 , กับ 2) ตั้งฉากกับพวกมัน แล้วเราจะได้

คอสφ = .

เงื่อนไขความตั้งฉากของระนาบทั้งสอง

ถ้าระนาบสองระนาบตั้งฉากกัน แล้วเวกเตอร์ปกติของระนาบเหล่านี้จะตั้งฉากกันด้วย และผลคูณสเกลาร์ของพวกมันจะเท่ากับศูนย์: ∙ = 0 ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขสำหรับการตั้งฉากของระนาบทั้งสองคือ

ก 1 ก 2 + ใน 1 ใน 2 + กับ 1 กับ 2 = 0.

เงื่อนไขความขนานของระนาบทั้งสอง

หากระนาบขนานกัน เวกเตอร์ตั้งฉากก็จะขนานกันด้วย จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์ปกติที่มีชื่อเดียวกันจะเป็นสัดส่วน ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขของระนาบขนานคือ

= = .

ระยะทางจากจุดม 0 (x 0 , ย 0 , z 0) ช่องทางด้านบน โอ้ + วู + ซ + ดี = 0.

ระยะทางจากจุดเอ็ม 0 (x 0 , ย 0 , z 0) เพื่อเครื่องบินขวาน + วู + ซ + ดี= 0 คือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดนี้ถึงระนาบและหาได้จากสูตร

ง = .

ตัวอย่างที่ 1 ร(– 1, 2, 7) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ = (3, – 1, 2)

สารละลาย

ตามสมการ (3.1) ที่เราได้รับ

3(x + 1) – (คุณ – 2) + 2(ซี – 7) = 0,

3เอ็กซ์ – ที่ + 2z – 9 = 0.

ตัวอย่างที่ 2เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดหนึ่ง ม(2; – 3; – 7) ขนานกับระนาบ 2 เอ็กซ์ – 6ที่ – 3z + 5 = 0.

สารละลาย

เวกเตอร์ = (2; – 6; – 3) ตั้งฉากกับระนาบก็ตั้งฉากกับระนาบขนานด้วย ซึ่งหมายความว่าระนาบที่ต้องการจะผ่านจุดนั้น ม(2; – 3; – 7) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ = (2; – 6; – 3) ให้เราหาสมการของระนาบโดยใช้สูตร (3.1):

2(เอ็กซ์ - 2) – 6(ใช่ + 3) – 3(ซี + 7) = 0,

2เอ็กซ์ – 6ที่ – 3z – 43 = 0.

ตัวอย่างที่ 3จงหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ ม 1 (2; 3; – 1) และ ม 2 (1; 5; 3)ตั้งฉากกับระนาบ 3 เอ็กซ์ – ที่ + 3z + 15 = 0.

สารละลาย

เวกเตอร์ = (3; – 1; 3) ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดจะขนานกับระนาบที่ต้องการ ดังนั้นเครื่องบินจึงผ่านจุดต่างๆ ม 1 และ ม 2 ขนานกับเวกเตอร์ .

อนุญาต ม(x; ย; z) จุดใดก็ได้ของระนาบ แล้วเวกเตอร์ = ( เอ็กซ์ – 2; ที่ – 3; z+ 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) เป็นระนาบเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าผลคูณผสมของพวกมันเป็นศูนย์:

= 0.

มาคำนวณดีเทอร์มิแนนต์โดยขยายองค์ประกอบของแถวแรก:

(เอ็กซ์ – 2) – (ที่ – 3) + (z + 1) = 0,

10(เอ็กซ์ - 2) – (– 15)(คุณ – 3) + (– 5)(ซี + 1) = 0,

2(เอ็กซ์ - 2) + 3(คุณ – 3) – (ซี + 1) = 0,

2x + 3ที่ – z– 14 = 0 – สมการระนาบ

ตัวอย่างที่ 4เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดตั้งฉากกับระนาบ 2 เอ็กซ์ – ที่ + 5z+ 3 = 0 และ เอ็กซ์ + 3ที่ – z – 7 = 0.

สารละลาย

อนุญาต เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบที่ต้องการ ตามเงื่อนไข ระนาบจะตั้งฉากกับระนาบเหล่านี้ ซึ่งหมายถึง และ โดยที่ = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1) นี่หมายความว่าในฐานะเวกเตอร์ เราสามารถหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ได้ และ นั่นคือ = ×

= = – 14 + 7 + 7 .

การแทนพิกัดของเวกเตอร์ลงในสมการของระนาบที่ผ่านจุดกำเนิด โอ้ + วู + ซ= 0 เราได้

– 14เอ็กซ์ + 7ที่ + 7z = 0,

2เอ็กซ์ – ที่ – z = 0.

คำถามทดสอบตัวเอง

1 เขียนสมการทั่วไปของระนาบ

2 คืออะไร ความหมายทางเรขาคณิตค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ เอ็กซ์, ใช่, zวี สมการทั่วไปเครื่องบิน?

3 เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดนั้น ม 0 (x 0 ; ย 0 ; z 0) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ = ( ก; ใน; กับ).

4 เขียนสมการของระนาบเป็นส่วน ๆ ตามแกนและระบุความหมายทางเรขาคณิตของพารามิเตอร์ที่รวมอยู่ในนั้น

5 เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ ม 1 (เอ็กซ์ 1 ; ที่ 1 ; z 1), ม 2 (เอ็กซ์ 2 ; ที่ 2 ; z 2), ม 3 (เอ็กซ์ 3 ; ที่ 3 ; z 3).

6 เขียนสูตรที่ใช้หามุมระหว่างระนาบสองระนาบ

7 เขียนเงื่อนไขของการขนานกันของระนาบสองระนาบ

8 เขียนเงื่อนไขตั้งฉากของระนาบทั้งสอง

9 เขียนสูตรที่คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

งานสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ

1 เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดหนึ่ง ม(2; – 1; 1) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ = (1; – 2; 3) - คำตอบ: เอ็กซ์ – 2ที่ + 3z – 7 = 0)

2 จุด ร(1; – 2; – 2) คือฐานของเส้นตั้งฉากที่ดึงจากจุดกำเนิดถึงระนาบ เขียนสมการสำหรับระนาบนี้ - คำตอบ: เอ็กซ์ – 2ที่ – 2z – 9 = 0)

3 ให้สองคะแนน ม 1 (2; – 1; 3) และ ม 2 (– 1; 2; 4) เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดหนึ่ง ม 1 ตั้งฉากกับเวกเตอร์ - คำตอบ: 3เอ็กซ์ – 3ที่ – z – 6 = 0)

4 เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุด ม 1 (3; – 1; 2), ม 2 (4; – 1; – 1), ม 3 (2; 0; 2). (คำตอบ: 3เอ็กซ์ + 3ที่ + z – 8 = 0)

5 ม 1 (3; – 1; 2) และ ม 2 (2; 1; 3) ขนานกับเวกเตอร์ = (3; – 1; 4) - คำตอบ: 9เอ็กซ์ + 7ที่ – 5z – 10 = 0)

6 เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดหนึ่ง ม 1 (2; 3; – 4) ขนานกับเวกเตอร์ = (3; 1; – 1) และ = (1; – 2; 1) - คำตอบ: เอ็กซ์ + ที่ + 7z + 14 = 0)

7 เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดหนึ่ง ม(1; – 1; 1) ตั้งฉากกับระนาบ 2 เอ็กซ์ – ที่ + z– 1 = 0 และ เอ็กซ์ + 2ที่ – z + 1 = 0. (คำตอบ: เอ็กซ์ – 3ที่ – 5z + 1 = 0)

8 เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ ม 1 (1; 0; 1) และ ม 2 (1; 2; – 3) ตั้งฉากกับระนาบ เอ็กซ์ – ที่ + z – 1 = 0. (คำตอบ: เอ็กซ์ + 2ที่ + z – 2 = 0)

9 หามุมระหว่างระนาบ 4 เอ็กซ์ – 5ที่ + 3z– 1 = 0 และ เอ็กซ์ – 4ที่ – z + 9 = 0. (คำตอบ: φ = อาร์คคอส0.7)

10 หาระยะทางจากจุดหนึ่ง ม(2; – 1; – 1) ไปยังระนาบ 16 เอ็กซ์ – 12ที่ + 15z – 4 = 0. (คำตอบ: ง = 1)

11 หาจุดตัดของระนาบ 3 ระนาบ 5 เอ็กซ์ + 8ที่ – z – 7 = 0, เอ็กซ์ + 2ที่ + 3z – 1 = 0, 2เอ็กซ์ – 3ที่ + 2z – 9 = 0. (คำตอบ: (3; – 1; 0))

12 เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ ม 1 (1; – 2; 6) และ ม 2 (5; – 4; 2) และตัดส่วนที่เท่ากันบนแกนออก โอ้และ อู๋. (คำตอบ: 4เอ็กซ์ + 4ที่ + z – 2 = 0)

13 ค้นหาระยะห่างระหว่างเครื่องบิน เอ็กซ์ + 2ที่ – 2z+ 2 = 0 และ 3 เอ็กซ์ + 6ที่ – 6z – 4 = 0. (คำตอบ: ง = )

เมื่อใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ คุณจะพบสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดและขนานกับระนาบที่กำหนด มีการให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย หากต้องการค้นหาสมการของระนาบ ให้ป้อนพิกัดของจุดและค่าสัมประสิทธิ์ของสมการของระนาบในเซลล์แล้วคลิกปุ่ม "แก้ไข"

×

คำเตือน

ล้างเซลล์ทั้งหมดใช่ไหม

ปิด ล้าง

คำแนะนำในการป้อนข้อมูลตัวเลขจะป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) ทศนิยม (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน เศษส่วนจะต้องกรอกในรูปแบบ a/b โดยที่ a และ b (b>0) เป็นจำนวนเต็ม หรือ ตัวเลขทศนิยม- ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น

สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดและขนานกับระนาบที่กำหนด - ทฤษฎี ตัวอย่าง และวิธีแก้ปัญหา

ปล่อยให้ประเด็นได้รับ ม 0 (x 0 , ย 0 , z 0) และสมการระนาบ

ระนาบขนานทั้งหมดมีเวกเตอร์ตั้งฉากเชิงเส้นตรง ดังนั้นเพื่อสร้างระนาบขนานกับ (1) ที่ผ่านจุดนั้น ม 0 (x 0 , ย 0 , z 0) จะต้องนำมาเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบที่ต้องการ ซึ่งเป็นเวกเตอร์ตั้งฉาก n=(ก, บี, ซี) เครื่องบิน (1) ต่อไปคุณจะต้องค้นหาค่าดังกล่าว ดีณ จุดใด ม 0 (x 0 , ย 0 , z 0) เป็นไปตามสมการระนาบ (1):

การทดแทนค่า ดีจาก (3) ถึง (1) เราจะได้:

สมการ (5) คือสมการของระนาบที่ผ่านจุด ม 0 (x 0 , ย 0 , z 0) และขนานกับระนาบ (1)

จงหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดนั้น ม 0 (1, −6, 2) และขนานกับระนาบ:

พิกัดจุดทดแทน ม 0 และพิกัดของเวกเตอร์ปกติใน (3) ที่เราได้รับ