สมการของระนาบ ประเภทของสมการของระนาบ สมการระนาบ: ทั่วไป ผ่านจุดสามจุด ระนาบปกติในอวกาศ

บรรยาย 6-7. องค์ประกอบของเรขาคณิตวิเคราะห์

พื้นผิวและสมการ

ตัวอย่างที่ 1

ทรงกลม

ตัวอย่างที่ 2

F(x,y,z)=0(*),

นี้ - สมการพื้นผิว

ตัวอย่าง:

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (กรวย)

เครื่องบิน.

สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

ลองพิจารณาเครื่องบินในอวกาศ ให้ M 0 (x 0, y 0, z 0) เป็นจุดที่กำหนดของระนาบ P และเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ ( เวกเตอร์ปกติ เครื่องบิน).

(1) – สมการเวกเตอร์ของระนาบ

ในรูปแบบพิกัด:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

เราได้สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด

สมการทั่วไปของระนาบ

ลองเปิดวงเล็บใน (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 – By 0 – Cz 0) = 0 หรือ

ขวาน + โดย + Cz + D = 0 (3)

ผลลัพธ์สมการของระนาบ เชิงเส้น, เช่น. สมการระดับที่ 1 เทียบกับพิกัด x, y, z ดังนั้นเครื่องบินจึงเป็น พื้นผิวลำดับแรก .

คำแถลง: สมการใดๆ เชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับ x, y, z จะกำหนดระนาบ

เครื่องบินใดๆก็ตาม ได้มาจากสมการ (3) ซึ่งเรียกว่า สมการทั่วไปของระนาบ

กรณีพิเศษของสมการทั่วไป

ก) D=0: ขวาน + โดย + Cz = 0 เพราะ พิกัดของจุด O(0, 0, 0) เป็นไปตามสมการนี้ จากนั้นระนาบที่ระบุจะผ่านจุดกำเนิด

b) С=0: Ax + By + D = 0 ในกรณีนี้คือเวกเตอร์ปกติของระนาบ ดังนั้นเครื่องบิน กำหนดโดยสมการขนานกับแกน OZ

c) C=D=0: Ax + By = 0 ระนาบขนานกับแกน OZ (เนื่องจาก C=0) และผ่านจุดกำเนิดของพิกัด (ตั้งแต่ D=0) ซึ่งหมายความว่ามันผ่านแกน OZ

d) B=C=0: ขวาน + D = 0 หรือ - เวกเตอร์เช่น และ . ดังนั้น ระนาบจึงขนานกับแกน OY และ OZ เช่น ขนานกับระนาบ YOZ และผ่านจุดนั้น

พิจารณากรณีต่างๆ ด้วยตัวเอง: B=0, B=D=0, A=0, A=D=0, A=C=0, A=B=0/

สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด

เพราะ จุดทั้งสี่เป็นของระนาบ ดังนั้นเวกเตอร์เหล่านี้จึงเป็นระนาบเดียวกัน เช่น ของพวกเขา งานผสมเท่ากับศูนย์:

เราได้สมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุด ในรูปแบบเวกเตอร์

ในรูปแบบพิกัด:

(7)

หากเราขยายดีเทอร์มิแนนต์ เราจะได้สมการของระนาบในรูปแบบ:

ขวาน + โดย + Cz + D = 0

ตัวอย่าง- เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุด M 1 (1,-1,0)

ม.2 (-2,3,1) และ ม.3 (0,0,1)

, (x - 1) 3 - (y + 1)(-2) + z 1 = 0;

3x + 2y + z – 1 = 0

สมการของระนาบในส่วนต่างๆ

ให้มันได้รับ สมการทั่วไปเครื่องบิน Ax + By + Cz + D = 0 และ D ≠ 0 เช่น เครื่องบินไม่ผ่านจุดกำเนิด หารทั้งสองข้างด้วย –D: และแสดงถึง: ; - - แล้ว

ได้รับ สมการระนาบในส่วนต่างๆ .

โดยที่ a, b, c คือค่าของส่วนที่ถูกตัดออกโดยระนาบบนแกนพิกัด

ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุด A(3, 0, 0)

B(0, 2, 0) และ C(0, 0, -3)

ก=3; ข=2; c=-3 หรือ 2x + 3y - 2z – 6 = 0

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของส่วนที่ถูกตัดออกโดยระนาบ

4x – y – 3z – 12 = 0 บนแกนพิกัด

4x – y – 3z = 12 ก=3, ข=-12, ค=-4

สมการระนาบปกติ

ให้ระนาบ Q ถูกกำหนดไว้ จากจุดกำเนิดของพิกัด ให้วาด OP ตั้งฉากกับระนาบ ให้ |OP|=p และ vector : . ลองหาจุดปัจจุบัน M(x, y, z) ของระนาบแล้วคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และ :

ถ้าเราฉายจุด M ไปยังทิศทาง เราจะไปถึงจุด P.T.O. เราจะได้สมการ

(9).

การกำหนดเส้นในช่องว่าง

เส้น L ในปริภูมิสามารถกำหนดเป็นจุดตัดของพื้นผิวทั้งสองได้ ปล่อยให้จุด M(x, y, z) อยู่บนเส้น L เป็นของทั้งพื้นผิว P1 และพื้นผิว P2 จากนั้นพิกัดของจุดนี้จะต้องเป็นไปตามสมการของพื้นผิวทั้งสอง ดังนั้นภายใต้ สมการของเส้น L ในปริภูมิ เข้าใจชุดของสมการสองชุด ซึ่งแต่ละสมการคือสมการของพื้นผิวที่สอดคล้องกัน:

เส้น L ประกอบด้วยจุดเหล่านั้นและเฉพาะจุดเหล่านั้นที่พิกัดเป็นไปตามสมการทั้งสองใน (*) ต่อไปเราจะดูวิธีอื่นในการกำหนดเส้นในอวกาศ

เครื่องบินเพียบ.

ฝูงเครื่องบิน– เซตของระนาบทั้งหมดที่วิ่งผ่านเส้นตรงที่กำหนด – แกนลำแสง

ในการกำหนดกลุ่มของระนาบ ก็เพียงพอที่จะระบุแกนของมัน ให้สมการของเส้นนี้ระบุมา ปริทัศน์:

เขียนสมการลำแสง- หมายถึง การสร้างสมการซึ่งภายใต้เงื่อนไขเพิ่มเติม เราสามารถรับสมการของระนาบใดๆ ของคานได้ ยกเว้น b.m. หนึ่ง. ลองคูณสมการ II ด้วย l แล้วบวกเข้ากับสมการ I:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) หรือ

(A 1 + lA 2)x + (B 1 + lB 2)y + (C 1 + lC 2)z + (D 1 + lD 2) = 0 (2)

l – พารามิเตอร์ – ตัวเลขที่สามารถรับได้ คุณค่าที่แท้จริง- สำหรับค่าที่เลือกของ l สมการ (1) และ (2) จะเป็นเส้นตรง กล่าวคือ นี่คือสมการของระนาบที่แน่นอน

1- เราจะแสดงให้คุณเห็นว่าระนาบนี้ผ่านแกนลำแสง L. หาจุดใดก็ได้ M 0 (x 0, y 0, z 0) L. ดังนั้น M 0 P 1 และ M 0 P 2 วิธี:

ดังนั้น ระนาบที่อธิบายโดยสมการ (1) หรือ (2) จึงเป็นของลำแสง

2. สิ่งที่ตรงกันข้ามสามารถพิสูจน์ได้: ระนาบใดๆ ที่ผ่านเส้นตรง L อธิบายได้ด้วยสมการ (1) พร้อมด้วยตัวเลือกที่เหมาะสมของพารามิเตอร์ l

ตัวอย่างที่ 1- เขียนสมการของระนาบที่ผ่านเส้นตัดของระนาบ x + y + 5z – 1 = 0 และ 2x + 3y – z + 2 = 0 และผ่านจุด M(3, 2, 1)

เราเขียนสมการลำแสง: x + y + 5z – 1 + l(2x + 3y – z + 2) = 0 ในการค้นหา l เราคำนึงถึงว่า M R:

พื้นผิวใดๆ ในอวกาศถือได้ว่าเป็นที่ตั้งของจุดต่างๆ ที่มีคุณสมบัติบางอย่างเหมือนกันกับทุกจุด

ตัวอย่างที่ 1

ทรงกลม – เซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดที่กำหนด C (ศูนย์กลาง) เท่ากัน ค(x 0 ,y 0 ,z 0). ตามคำจำกัดความ |CM|=R หรือ หรือ . สมการนี้ใช้ได้กับทุกจุดของทรงกลมและเฉพาะจุดเหล่านั้นเท่านั้น ถ้า x 0 =0, y 0 =0, z 0 =0 แล้ว

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถสร้างสมการสำหรับพื้นผิวใดๆ ได้หากเลือกระบบพิกัดไว้

ตัวอย่างที่ 2 x=0 – สมการของระนาบ YOZ

การแสดงคำจำกัดความทางเรขาคณิตของพื้นผิวในแง่ของพิกัดของจุดปัจจุบันและการรวบรวมเงื่อนไขทั้งหมดไว้ในส่วนหนึ่งเราได้รับความเท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม

F(x,y,z)=0(*),

นี้ - สมการพื้นผิว ถ้าพิกัดของจุดทั้งหมดบนพื้นผิวเป็นไปตามความเท่าเทียมกันนี้ แต่พิกัดของจุดที่ไม่อยู่บนพื้นผิวไม่เป็นไปตามนั้น

ดังนั้นแต่ละพื้นผิวในระบบพิกัดที่เลือกจึงมีสมการของตัวเอง อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกสมการของรูปแบบ (*) จะสอดคล้องกับพื้นผิวในแง่ของคำจำกัดความ

ตัวอย่าง:

2x – y + z – 3 = 0 (ระนาบ)

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (กรวย)

x 2 + y 2 +3 = 0 – พิกัดที่ไม่มีจุดใดเป็นไปตามนั้น

x 2 + y 2 + z 2 =0 – จุดเดียว (0,0,0)

x 2 = 3y 2 = 0 – เส้นตรง (แกน OZ)

วิธีกราฟิก ระนาบพิกัด (x;y)

สมการที่มีพารามิเตอร์ทำให้เกิดปัญหาเชิงตรรกะอย่างรุนแรง สมการแต่ละสมการดังกล่าวโดยพื้นฐานแล้วเป็นเวอร์ชันย่อของกลุ่มสมการ เป็นที่ชัดเจนว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนสมการทุกสมการจากตระกูลที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่อย่างไรก็ตามแต่ละสมการจะต้องได้รับการแก้ไข วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือการใช้การแสดงกราฟิกของการขึ้นต่อกันของตัวแปรในพารามิเตอร์

บนระนาบ ฟังก์ชันจะกำหนดกลุ่มของเส้นโค้งโดยขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ เราจะสนใจว่าการแปลงระนาบใดที่สามารถใช้เพื่อย้ายไปยังเส้นโค้งอื่นๆ ของครอบครัว (ดู , , , , , , , )

การถ่ายโอนแบบขนาน

ตัวอย่าง- สำหรับแต่ละค่าพารามิเตอร์ ให้กำหนดจำนวนคำตอบของสมการ

สารละลาย- มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกัน

ลองพิจารณาดู เป็นเส้นตรงขนานกับแกน OX

คำตอบ- หากไม่มีวิธีแก้ไข

ถ้าอย่างนั้น 3 วิธีแก้ไข;

ถ้าอย่างนั้น 2 วิธีแก้ไข;

ถ้า 4 วิธีแก้ไข

เปลี่ยน

ควรสังเกตทันทีว่าการเลือกกลุ่มเส้นโค้งนั้นไม่ซ้ำซากจำเจ (ไม่เหมือนกับปัญหาของตัวเอง) หรือค่อนข้างจะเหมือนกัน: ในทุกปัญหา - เส้นตรง นอกจากนี้จุดศูนย์กลางการหมุนยังเป็นเส้นตรงอีกด้วย

ตัวอย่าง- สมการมีค่าเฉลยเฉพาะสำหรับค่าพารามิเตอร์ใด?

สารละลาย- ลองพิจารณาฟังก์ชันและ กราฟของฟังก์ชันที่สองเป็นรูปครึ่งวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่มีพิกัดและรัศมี =1 (รูปที่ 2)

อาร์ค เอบี

รังสีทั้งหมดที่ผ่านระหว่าง OA และ OB ตัดกันที่จุดหนึ่ง และ OB และ OM (แทนเจนต์) ก็ตัดกันที่จุดหนึ่งเช่นกัน ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม OA และ OB เท่ากันตามลำดับ ความชันของแทนเจนต์เท่ากับ ค้นหาได้ง่ายจากระบบ

ดังนั้น ครอบครัวตรงจะมีจุดร่วมเพียงจุดเดียวเท่านั้น

คำตอบ. .

ตัวอย่าง- สมการจะมีคำตอบในเงื่อนไขใด?

สารละลาย- ลองพิจารณาฟังก์ชันดู เมื่อตรวจสอบความซ้ำซากจำเจ เราพบว่ามันเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาและลดลงเรื่อยๆ จุด - คือจุดสูงสุด

ฟังก์ชันคือกลุ่มของเส้นที่ผ่านจุด ลองดูรูปที่ 2 กราฟของฟังก์ชันคือส่วนโค้ง AB เส้นตรงที่จะอยู่ระหว่างเส้นตรง OA และ OB ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา ค่าสัมประสิทธิ์ความชันของเส้นตรง OA คือตัวเลข และ OB คือ

คำตอบ- เมื่อสมการมี 1 วิธี

สำหรับค่าอื่นของพารามิเตอร์นั้นไม่มีวิธีแก้ไข

ความคล้ายคลึงกัน การบีบอัดให้ตรง

ตัวอย่าง- ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์สำหรับแต่ละสมการซึ่งมีคำตอบ 8 ข้อพอดี

สารละลาย- เรามี. ลองพิจารณาฟังก์ชันดู กลุ่มแรกระบุตระกูลของครึ่งวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่มีพิกัด ส่วนกลุ่มที่สองระบุตระกูลของเส้นตรงขนานกับแกนแอบซิสซา

จำนวนรากจะตรงกับเลข 8 เมื่อรัศมีของครึ่งวงกลมใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ นั่นก็คือ โปรดทราบว่ามี

คำตอบ- หรือ.

วิธีกราฟิก ระนาบพิกัด (x;a)

โดยทั่วไปแล้วสมการซึ่งประกอบด้วยพารามิเตอร์ จะไม่มีระบบโซลูชันที่ชัดเจนและออกแบบอย่างมีระเบียบวิธีใดๆ เราต้องค้นหาค่าพารามิเตอร์บางอย่างด้วยการสัมผัสโดยการค้นหาการแก้สมการระดับกลางจำนวนมาก วิธีการนี้ไม่ได้รับประกันความสำเร็จในการค้นหาค่าพารามิเตอร์ทั้งหมดที่สมการไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบหนึ่งหรือสองข้อขึ้นไปเสมอไป บ่อยครั้งที่ค่าพารามิเตอร์บางค่าหายไปหรือมีค่าพิเศษปรากฏขึ้น ในการที่จะทำอย่างหลังนี้ จำเป็นต้องทำการศึกษาพิเศษซึ่งอาจทำได้ค่อนข้างยาก

ลองพิจารณาวิธีการที่ช่วยลดความยุ่งยากในการแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ วิธีการมีดังนี้

1. จากสมการที่มีตัวแปร xและพารามิเตอร์ กลองแสดงพารามิเตอร์เป็นฟังก์ชันของ x: .

2. บี ประสานงานเครื่องบิน xโอ กสร้างกราฟของฟังก์ชัน

3. พิจารณาเส้นตรงและเลือกช่วงเวลาเหล่านั้นของแกน O กซึ่งเส้นเหล่านี้เป็นไปตามนั้น เงื่อนไขต่อไปนี้: a) ไม่ตัดกราฟของฟังก์ชัน b) ตัดกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง c) ที่จุดสองจุด d) ที่จุดสามจุด และอื่นๆ

4.หากงานคือการหาค่าต่างๆ xแล้วเราก็แสดงออก xผ่าน กสำหรับแต่ละช่วงค่าที่พบ กแยกกัน

มุมมองของพารามิเตอร์ในฐานะตัวแปรที่เท่ากันจะสะท้อนให้เห็นในวิธีการแบบกราฟิก ดังนั้นระนาบพิกัดจึงปรากฏขึ้น ดูเหมือนว่ารายละเอียดที่ไม่มีนัยสำคัญเช่นการปฏิเสธการกำหนดระนาบพิกัดแบบดั้งเดิมด้วยตัวอักษร xและ ยกำหนดอย่างใดอย่างหนึ่ง วิธีการที่มีประสิทธิภาพสูงสุดการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์

วิธีการอธิบายมีความชัดเจนมาก นอกจากนี้แนวคิดพื้นฐานเกือบทั้งหมดของหลักสูตรพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์สามารถนำไปใช้ได้ ความรู้ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาฟังก์ชันนั้นเกี่ยวข้อง: การใช้อนุพันธ์เพื่อกำหนดจุดสุดขั้ว, การค้นหาขีด จำกัด ของฟังก์ชัน, เส้นกำกับ ฯลฯ- ง. (ดู , , )

ตัวอย่าง- ที่ค่าพารามิเตอร์ใด สมการมีสองรากหรือไม่?

สารละลาย- มาดูระบบที่เทียบเท่ากันดีกว่า

กราฟแสดงว่าสมการนี้มี 2 ราก

คำตอบ- เมื่อสมการมีสองราก

ตัวอย่าง- ค้นหาเซตของตัวเลขทั้งหมดที่สมการแต่ละค่ามีรากที่ต่างกันเพียงสองตัวเท่านั้น

สารละลาย- ลองเขียนสมการนี้ใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

ตอนนี้สิ่งสำคัญคือต้องไม่พลาดสิ่งนั้นและ - รากของสมการดั้งเดิมภายใต้เงื่อนไขเท่านั้น ให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าการสร้างกราฟบนระนาบพิกัดจะสะดวกกว่า ในรูปที่ 5 กราฟที่ต้องการคือการรวมกันของเส้นทึบ คำตอบคือ “อ่าน” ด้วยเส้นแนวตั้ง

คำตอบ- ที่ หรือ หรือ หรือ

ในบทนี้ เราจะดูวิธีการใช้ดีเทอร์มิแนนต์เพื่อสร้าง สมการระนาบ- หากคุณไม่รู้ว่าดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร ให้ไปที่ส่วนแรกของบทเรียน - "เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์" มิฉะนั้นคุณอาจเสี่ยงที่จะไม่เข้าใจสิ่งใดในเนื้อหาในปัจจุบัน

สมการของระนาบโดยใช้จุดสามจุด

เหตุใดเราจึงต้องมีสมการระนาบเลย? ง่ายมาก เมื่อรู้แล้ว เราก็สามารถคำนวณมุม ระยะทาง และปัญหาอื่นๆ ในปัญหา C2 ได้อย่างง่ายดาย โดยทั่วไป คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีสมการนี้ ดังนั้นเราจึงกำหนดปัญหา:

งาน. ให้สามแต้มในช่องว่างที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน พิกัดของพวกเขา:

M = (x 1, y 1, z 1);
ยังไม่มีข้อความ = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

คุณต้องสร้างสมการสำหรับเครื่องบินที่ผ่านจุดทั้งสามนี้ นอกจากนี้สมการควรมีลักษณะดังนี้:

ขวาน + โดย + Cz + D = 0

โดยที่ตัวเลข A, B, C และ D เป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องค้นหาตามความเป็นจริง

จะหาสมการของระนาบได้อย่างไรถ้ารู้เพียงพิกัดของจุดเท่านั้น? วิธีที่ง่ายที่สุดคือการแทนที่พิกัดลงในสมการ Ax + By + Cz + D = 0 คุณจะได้ระบบสมการสามสมการที่สามารถแก้ได้อย่างง่ายดาย

นักเรียนหลายคนพบว่าโซลูชันนี้น่าเบื่ออย่างยิ่งและไม่น่าเชื่อถือ การสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์เมื่อปีที่แล้วแสดงให้เห็นว่า โอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดทางการคำนวณมีสูงมาก

ดังนั้นครูที่ก้าวหน้าที่สุดจึงเริ่มมองหาวิธีแก้ปัญหาที่เรียบง่ายและสวยงามยิ่งขึ้น และพวกเขาก็พบมัน! จริงอยู่ เทคนิคที่ได้รับค่อนข้างเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ขั้นสูง โดยส่วนตัวแล้ว ฉันต้องค้นหารายชื่อหนังสือเรียนของรัฐบาลกลางทั้งหมดเพื่อให้แน่ใจว่าเรามีสิทธิ์ใช้เทคนิคนี้โดยไม่ต้องให้เหตุผลหรือหลักฐานใดๆ

สมการของระนาบผ่านดีเทอร์มิแนนต์

เนื้อเพลงพอแล้ว เรามาทำธุรกิจกันดีกว่า ขั้นแรก ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์กับสมการของระนาบ

ทฤษฎีบท. ให้พิกัดของจุดสามจุดที่ต้องกำหนดระนาบ: M = (x 1, y 1, z 1); ยังไม่มีข้อความ = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3) จากนั้นสมการของระนาบนี้สามารถเขียนผ่านดีเทอร์มิแนนต์ได้:

ตามตัวอย่าง ลองค้นหาระนาบคู่หนึ่งที่เกิดขึ้นจริงในปัญหา C2 ดูว่าทุกอย่างคำนวณได้เร็วแค่ไหน:

ก 1 = (0, 0, 1);
ข = (1, 0, 0);
ค 1 = (1, 1, 1);

เราเขียนดีเทอร์มิแนนต์และจัดให้เป็นศูนย์:

เราขยายปัจจัยกำหนด:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

อย่างที่คุณเห็นเมื่อคำนวณตัวเลข d ฉัน "หวี" สมการเล็กน้อยเพื่อให้ตัวแปร x, y และ z อยู่ในลำดับที่ถูกต้อง นั่นคือทั้งหมด! สมการเครื่องบินพร้อมแล้ว!

งาน. เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ:

ก = (0, 0, 0);
ข 1 = (1, 0, 1);
ง 1 = (0, 1, 1);

เราแทนที่พิกัดของจุดเป็นดีเทอร์มิแนนต์ทันที:

เราขยายดีเทอร์มิแนนต์อีกครั้ง:

ก = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
ข = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

สมการของระนาบจึงกลับมาอีกครั้ง! อีกครั้งที่ขั้นตอนสุดท้ายเราต้องเปลี่ยนเครื่องหมายเพื่อให้ได้สูตรที่ "สวยงาม" มากขึ้น ไม่จำเป็นเลยที่จะต้องทำเช่นนี้ในโซลูชันนี้ แต่ก็ยังแนะนำ - เพื่อลดความซับซ้อนในการแก้ปัญหาเพิ่มเติม

อย่างที่คุณเห็น การเขียนสมการของระนาบตอนนี้ง่ายกว่ามาก เราแทนที่จุดต่างๆ ลงในเมทริกซ์ คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ - เพียงเท่านี้ สมการก็พร้อมแล้ว

นี่อาจเป็นการจบบทเรียน อย่างไรก็ตาม นักเรียนหลายคนมักจะลืมสิ่งที่อยู่ภายในดีเทอร์มิแนนต์อยู่เสมอ ตัวอย่างเช่น บรรทัดใดมี x 2 หรือ x 3 และบรรทัดใดมีเพียง x เพื่อกำจัดปัญหานี้ เรามาดูกันว่าแต่ละตัวเลขมาจากไหน

สูตรที่มีดีเทอร์มิแนนต์มาจากไหน?

ลองหาดูว่าสมการที่รุนแรงกับดีเทอร์มิแนนต์มาจากไหน ซึ่งจะช่วยให้คุณจดจำและนำไปใช้ได้สำเร็จ

ระนาบทั้งหมดที่ปรากฏในปัญหา C2 ถูกกำหนดโดยจุดสามจุด จุดเหล่านี้จะถูกทำเครื่องหมายไว้บนภาพวาดเสมอหรือแม้กระทั่งระบุโดยตรงในข้อความของปัญหา ไม่ว่าในกรณีใด ในการสร้างสมการ เราจะต้องเขียนพิกัดของมัน:

M = (x 1, y 1, z 1);
ยังไม่มีข้อความ = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3)

ลองพิจารณาอีกจุดหนึ่งบนเครื่องบินของเราด้วยพิกัดที่กำหนดเอง:

ที = (x, y, z)

นำจุดใดก็ได้จากสามจุดแรก (เช่น จุด M) แล้ววาดเวกเตอร์จากนั้นไปยังจุดที่เหลือสามจุดแต่ละจุด เราได้เวกเตอร์สามตัว:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
มอนแทนา = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 )

ทีนี้ลองเขียนเมทริกซ์จตุรัสจากเวกเตอร์เหล่านี้แล้วหาดีเทอร์มีแนนต์ของมันให้เป็นศูนย์ พิกัดของเวกเตอร์จะกลายเป็นแถวของเมทริกซ์ - และเราจะได้ค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่ระบุไว้ในทฤษฎีบท:

สูตรนี้หมายความว่าปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ MN, MK และ MT เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเวกเตอร์ทั้งสามจึงอยู่ในระนาบเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งจุดใดก็ได้ T = (x, y, z) คือสิ่งที่เรากำลังมองหา

การแทนที่จุดและเส้นของดีเทอร์มิแนนต์

ปัจจัยกำหนดมีคุณสมบัติที่ดีหลายประการที่ทำให้ง่ายยิ่งขึ้น การแก้ปัญหา C2- ตัวอย่างเช่น มันไม่สำคัญสำหรับเราว่าเราจะวาดเวกเตอร์จากจุดใด ดังนั้น ปัจจัยต่อไปนี้จึงให้สมการระนาบเดียวกันกับสมการข้างต้น:

คุณยังสามารถสลับเส้นของดีเทอร์มิแนนต์ได้ สมการจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น หลายคนชอบเขียนเส้นโดยมีพิกัดของจุด T = (x; y; z) อยู่ด้านบนสุด กรุณาถ้ามันสะดวกสำหรับคุณ:

บางคนสับสนกับความจริงที่ว่าหนึ่งในบรรทัดนั้นมีตัวแปร x, y และ z ซึ่งจะไม่หายไปเมื่อทำการแทนจุด แต่ก็ไม่ควรหายไป! เมื่อแทนตัวเลขลงในดีเทอร์มิแนนต์ คุณจะได้โครงสร้างดังนี้:

จากนั้นดีเทอร์มิแนนต์จะถูกขยายตามแผนภาพที่ให้ไว้ในตอนต้นของบทเรียน และได้รับสมการมาตรฐานของระนาบ:

ขวาน + โดย + Cz + D = 0

ลองดูตัวอย่าง มันเป็นบทเรียนสุดท้ายของวันนี้ ฉันจะจงใจสลับเส้นเพื่อให้แน่ใจว่าคำตอบจะได้สมการเดียวกันกับระนาบ

งาน. เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ:

ข 1 = (1, 0, 1);
ค = (1, 1, 0);
ง 1 = (0, 1, 1)

ดังนั้นเราจึงพิจารณา 4 ประเด็น:

ข 1 = (1, 0, 1);
ค = (1, 1, 0);
ง 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z)

ขั้นแรก เรามาสร้างดีเทอร์มิแนนต์มาตรฐานและกำหนดให้เป็นศูนย์:

เราขยายปัจจัยกำหนด:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

เพียงเท่านี้ เราก็ได้คำตอบแล้ว: x + y + z − 2 = 0

ทีนี้ลองจัดเรียงบรรทัดสองสามบรรทัดในดีเทอร์มิแนนต์ใหม่แล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น ตัวอย่างเช่น ลองเขียนบรรทัดที่มีตัวแปร x, y, z ไม่ใช่ที่ด้านล่าง แต่อยู่ที่ด้านบน:

เราขยายปัจจัยผลลัพธ์อีกครั้ง:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

เราได้สมการระนาบเดียวกันทุกประการ: x + y + z − 2 = 0 ซึ่งหมายความว่าจริงๆ แล้วมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของแถว สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ

ดังนั้นเราจึงมั่นใจว่าสมการของระนาบไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของเส้น เราสามารถทำการคำนวณที่คล้ายกันและพิสูจน์ว่าสมการของระนาบไม่ได้ขึ้นอยู่กับจุดที่เราลบพิกัดออกจากจุดอื่น

ในปัญหาที่พิจารณาข้างต้น เราใช้จุด B 1 = (1, 0, 1) แต่ก็ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะใช้ C = (1, 1, 0) หรือ D 1 = (0, 1, 1) โดยทั่วไปแล้ว จุดใดก็ตามที่มีพิกัดที่ทราบอยู่บนระนาบที่ต้องการ

สมการทั้งหมดของระนาบซึ่งจะกล่าวถึงในย่อหน้าต่อไปนี้สามารถหาได้จากสมการทั่วไปของระนาบ และยังลดลงเหลือสมการทั่วไปของระนาบด้วย ดังนั้น เมื่อพวกเขาพูดถึงสมการของระนาบ พวกเขาหมายถึงสมการทั่วไปของระนาบ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

สมการของระนาบในส่วนต่างๆ

ดูสมการระนาบ โดยที่ a, b และ c เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกว่า สมการของระนาบในส่วนต่างๆ.

ชื่อนี้ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข a, b และ c เท่ากับความยาวของส่วนที่เครื่องบินตัดออกบนแกนพิกัด Ox, Oy และ Oz ตามลำดับโดยนับจากจุดกำเนิด เครื่องหมายของตัวเลข a, b และ c บ่งชี้ว่าทิศทางใด (บวกหรือลบ) ควรพล็อตส่วนบนแกนพิกัด

ตัวอย่างเช่น เรามาสร้างระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ซึ่งกำหนดโดยสมการของระนาบเป็นส่วนๆ - เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ทำเครื่องหมายจุดที่อยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น 5 หน่วยในทิศทางลบของแกนแอบซิสซา, 4 หน่วยในทิศทางลบของแกนพิกัด และ 4 หน่วยในทิศทางบวกของแกนที่ประยุกต์ใช้ สิ่งที่เหลืออยู่คือการเชื่อมต่อจุดเหล่านี้ด้วยเส้นตรง ระนาบของรูปสามเหลี่ยมที่ได้คือระนาบที่สอดคล้องกับสมการของระนาบในส่วนของรูปแบบ .

หากต้องการข้อมูลที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น โปรดดูบทความ สมการของระนาบเป็นส่วนๆ ซึ่งแสดงการลดสมการของระนาบเป็นส่วนๆ จนถึงสมการทั่วไปของระนาบ และคุณยังจะพบวิธีแก้ไขโดยละเอียดของตัวอย่างและปัญหาทั่วไปอีกด้วย

สมการระนาบปกติ

สมการระนาบทั่วไปของแบบฟอร์มนี้เรียกว่า สมการระนาบปกติ, ถ้า เท่ากับหนึ่ง กล่าวคือ , และ .

คุณมักจะเห็นว่าสมการปกติของระนาบเขียนเป็น ต่อไปนี้คือโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบที่กำหนดซึ่งมีความยาวหนึ่งหน่วย กล่าวคือ และ p เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ เท่ากับระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงระนาบ

สมการปกติของระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ให้นิยามระนาบที่ถูกลบออกจากจุดกำเนิดด้วยระยะห่าง p ในทิศทางบวกของเวกเตอร์ปกติของระนาบนี้ - ถ้า p=0 ระนาบจะผ่านจุดกำเนิด

ให้เรายกตัวอย่างสมการระนาบปกติ

ให้ระบุระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz โดยสมการทั่วไปของระนาบของแบบฟอร์ม - สมการทั่วไปของระนาบนี้คือสมการปกติของระนาบ อันที่จริง เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนี้คือ มีความยาวเท่ากับความสามัคคีเพราะว่า .

สมการของระนาบในรูปแบบปกติช่วยให้คุณค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกระนาบหนึ่งได้

เราขอแนะนำให้คุณเข้าใจสมการระนาบประเภทนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น ดูวิธีแก้ไขโดยละเอียดของตัวอย่างและปัญหาทั่วไป และเรียนรู้วิธีลดสมการระนาบทั่วไปให้อยู่ในรูปแบบปกติ คุณสามารถทำได้โดยอ้างอิงจากบทความ

บรรณานุกรม.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. เรขาคณิต. หนังสือเรียนสำหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 10-11
Bugrov Ya.S. , Nikolsky S.M. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น เล่มที่ 1: องค์ประกอบของพีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตวิเคราะห์
อิลยิน วี.เอ., พอซเนียค อี.จี. เรขาคณิตวิเคราะห์.

พิจารณาระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ในอวกาศ

สมการพื้นผิวสมการนี้เรียกว่า F(x,y,z)=0 ซึ่งพอใจกับพิกัดของแต่ละจุดที่อยู่บนพื้นผิว และไม่พอใจกับพิกัดของจุดที่ไม่ได้อยู่บนพื้นผิว

ตัวอย่างเช่น ทรงกลมคือตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากจุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางของทรงกลมเท่ากัน ดังนั้นทุกคะแนนจึงเป็นไปตามสมการ
นอนอยู่บนทรงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O(0.0.0) และรัศมี R (รูปที่ 1)

พิกัดของจุดใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนทรงกลมที่กำหนดไม่เป็นไปตามสมการนี้

เส้นในอวกาศถือได้ว่าเป็นเส้นตัดกันของพื้นผิวทั้งสอง ดังนั้นในรูปที่ 1 จุดตัดของทรงกลมกับระนาบ Oxy จึงเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O และรัศมี R

พื้นผิวที่ง่ายที่สุดคือ เครื่องบินเส้นที่ง่ายที่สุดในอวกาศคือ ตรง.

2. เครื่องบินในอวกาศ

2.1. สมการของระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติ

ในระบบพิกัดออกซิซ ให้พิจารณาระนาบ (รูปที่ 2) ตำแหน่งถูกกำหนดโดยการระบุเวกเตอร์ ตั้งฉากกับระนาบนี้และมีจุดคงที่
นอนอยู่บนเครื่องบินลำนี้ เวกเตอร์
ตั้งฉากกับเครื่องบิน
เรียกว่า เวกเตอร์ปกติ(เวกเตอร์ปกติ) พิจารณาจุดใดก็ได้ตามต้องการ M(x,y,z) ของระนาบ - เวกเตอร์
แบน
จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติ การใช้เงื่อนไขของความเป็นตั้งฉากของเวกเตอร์
เราได้สมการ: ที่ไหน

สมการ ( 2.2.1 )

เรียกว่าสมการระนาบเทียบกับจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก

หากเราเปิดวงเล็บในสมการ (2.1.1) และจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ เราจะได้สมการหรือAx + By + Cz + D = 0 โดยที่

ด=
.

2.2. สมการทั่วไปของระนาบ

สมการ ขวาน + โดย + Cz +D = 0 ( 2.2.1 )

เรียกว่าสมการทั่วไปของระนาบ โดยที่
- เวกเตอร์ปกติ

ลองพิจารณากรณีพิเศษของสมการนี้

1).D = 0 สมการจะเป็นดังนี้: Ax + By + Cz = 0 ระนาบดังกล่าวผ่านจุดกำเนิด เวกเตอร์ปกติของมัน

2- C = 0:ขวาน + โดย + D = 0
ระนาบขนานกับแกนออนซ์ (รูปที่ 3)

3). B = 0: ขวาน + Cz + D = 0
ระนาบขนานกับแกน oy (รูปที่ 4)

4) A = 0: โดย + Cz + D = 0

ระนาบขนานกับแกนวัว (รูปที่ 5)

5). C = D = 0: ขวาน + โดย = 0
เครื่องบินแล่นผ่านแกนออนซ์ (รูปที่ 6)

6).B = D = 0: ขวาน + Cz = 0
เครื่องบินผ่านแกน oy (รูปที่ 7)

7). A = D = 0: โดย + Cz = 0
เครื่องบินผ่านแกนวัว (รูปที่ 8)

8).A = B = 0: Cz + D = 0

||ออนซ์
ระนาบขนานกับระนาบ Oxy (รูปที่ 9)

9) B = C = 0: ขวาน + D = 0

||อ็อกซ์
เครื่องบิน

ป ขนานกับระนาบออยซ์ (รูปที่ 10)

10).A = C = 0: โดย + D = 0

||โอ้ย
เครื่องบินขนานกับระนาบ Oxz (รูปที่ 11)

ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดหนึ่ง
ตั้งฉากกับเวกเตอร์
ค้นหาจุดตัดของระนาบนี้ด้วยแกนพิกัด

สารละลาย.ตามสูตร (2.1.1) ที่เรามี

2x – y + 3z + 3 = 0

เพื่อหาจุดตัดของระนาบนี้กับแกน ox เราจะแทน y = 0, z = 0 ลงในสมการที่ได้ x = – 1.5

จุดตัดของระนาบที่ต้องการกับแกน ox มีพิกัด:

ลองหาจุดตัดของระนาบกับแกน oy กัน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ลองใช้ x = 0; z = 0 เรามี

– y + 3 = 0 y = 3 ดังนั้น

หากต้องการหาจุดตัดกับแกนออนซ์ ให้ใช้ x = 0 ย = 0
3z + 3 = 0
z = – 1 ดังนั้น

คำตอบ: 2x – y + 3z + 3 = 0,
,
,
.

ตัวอย่างที่ 2สำรวจเครื่องบินที่กำหนดโดยสมการ:

ก) 3x – y + 2z = 0

ข) 2x + z – 1 = 0

วี) – y + 5 = 0

สารละลาย.ก) เครื่องบินลำนี้ผ่านจุดกำเนิด (D = 0) และมีเวกเตอร์ตั้งฉาก

ข) ในสมการ
สัมประสิทธิ์B = 0 ดังนั้น
ระนาบขนานกับแกน

วี) ในสมการ – y + 5 = 0 ค่าสัมประสิทธิ์คือ A = 0, C = 0 ซึ่งหมายความว่า

ระนาบขนานกับระนาบ oxz

ช) สมการ x = 0 กำหนดระนาบ oyz เนื่องจากที่ B = 0, C = 0 ระนาบจะขนานกับระนาบ oyz และจากเงื่อนไข D = 0 จะเป็นไปตามที่ระนาบผ่านจุดกำเนิด

ตัวอย่างที่ 3เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุด A(2,3,1) และตั้งฉากกับเวกเตอร์
โดยที่ B(1,0, –1), C(–2,2,0)

สารละลาย.ลองหาเวกเตอร์กัน

เวกเตอร์
คือเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบที่ต้องการผ่านจุด A(2,3,1) ตามสูตร (2.1.1) เรามี:

– 3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0
– 3x + 2y + z – 1 = 0 3x – 2y – z + 1 = 0

คำตอบ: 3x – 2y – z + 1 = 0

2.3. สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดสามจุด

จุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกันจะกำหนดระนาบเดียว (ดูรูปที่ 12) อย่าให้จุดอยู่บนเส้นเดียวกัน ในการสร้างสมการของระนาบ คุณจำเป็นต้องรู้จุดหนึ่งของระนาบและเวกเตอร์ตั้งฉาก ทราบจุดที่วางอยู่บนเครื่องบิน:
คุณสามารถใช้อย่างใดอย่างหนึ่ง ในการค้นหาเวกเตอร์ปกติ เราใช้คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ อนุญาต
ดังนั้นแล้ว
การรู้พิกัดของจุด
และเวกเตอร์ปกติ ลองหาสมการของระนาบโดยใช้สูตร (2.1.1)

ในอีกทางหนึ่ง สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุดสามารถรับได้โดยใช้เงื่อนไขของระนาบร่วมของเวกเตอร์สามตัว แท้จริงแล้วเวกเตอร์
โดยที่ M(x,y,z) เป็นจุดใดก็ได้ของระนาบที่ต้องการ (ดูรูปที่ 13) ดังนั้นผลคูณผสมของพวกเขาคือ 0:

เมื่อใช้สูตรผลิตภัณฑ์ผสมในรูปแบบพิกัดเราได้รับ:

(2.3.1)

ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ

สารละลาย.ตามสูตร (2.3.1) ที่เรามี

เมื่อขยายดีเทอร์มิแนนต์เราจะได้:

ระนาบผลลัพธ์จะขนานกับแกน oy เวกเตอร์ปกติของมัน

คำตอบ: x + z – 4 = 0.

2.4. มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

ระนาบสองระนาบที่ตัดกันทำให้เกิดมุมไดฮีดรัลสี่มุมเท่ากัน (ดูรูปที่ 14) มุมไดฮีดรัลมุมหนึ่ง เท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ปกติของระนาบเหล่านี้

ให้เครื่องบินได้รับ:

เวกเตอร์ปกติมีพิกัด:

จากพีชคณิตเวกเตอร์ทราบว่า
หรือ

(2.4.1)

ตัวอย่าง:ค้นหามุมระหว่างระนาบ:

สารละลาย:มาหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติกันดีกว่า โดยใช้สูตร (2.4.1) เรามี:

มุมไดฮีดรัลมุมหนึ่งที่ได้จากการตัดกันระนาบเหล่านี้มีค่าเท่ากับ
คุณยังสามารถหามุมที่สองได้:

คำตอบ:

2.5. เงื่อนไขความขนานของระนาบทั้งสอง

ให้เครื่องบินสองลำได้รับ:

และ

หากระนาบเหล่านี้ขนานกัน แล้วเวกเตอร์ตั้งฉาก

เส้นตรง (ดูรูปที่ 15)

หากเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน พิกัดที่สอดคล้องกันจะเป็นสัดส่วน:

(2.5.1 )

ข้อความตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน หากเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบเป็นเส้นตรง ระนาบก็จะขนานกัน

ตัวอย่างที่ 1ระนาบใดต่อไปนี้ขนานกัน:

สารละลาย:ก) ลองเขียนพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากกัน

มาตรวจสอบความสัมพันธ์กัน:

มันเป็นไปตามนั้น

ข) มาเขียนพิกัดกัน

มาตรวจสอบความสัมพันธ์กัน:

เวกเตอร์
ไม่ใช่แนวตรง เครื่องบิน
ไม่ขนานกัน

ตัวอย่างที่ 2เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดหนึ่ง

M(2, 3, –2) ขนานกับระนาบ

สารละลาย:ระนาบที่ต้องการขนานกับระนาบที่กำหนด ดังนั้นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ สามารถนำมาเป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบที่ต้องการได้
การใช้สมการ (2.1.1) เราได้รับ: