ความสูงของรูปสามเหลี่ยมแบ่งออกเป็นอัตราส่วนเท่าใด? องค์ประกอบพื้นฐานของสามเหลี่ยม abc

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ overrightarrow (CA))+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(การพิสูจน์ตัวตนควรใช้สูตร

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA) )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (อีซี)))

จุด E ควรเป็นจุดตัดของระดับความสูงสองระดับของรูปสามเหลี่ยม)

• ออร์โธเซ็นเตอร์คอนจูเกตแบบ isogonally ไปที่ศูนย์กลาง เส้นรอบวง .
• ออร์โธเซ็นเตอร์อยู่บนเส้นเดียวกับจุดศูนย์กลาง เส้นรอบวงและศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (ดูเส้นตรงของออยเลอร์)
• ออร์โธเซ็นเตอร์ของสามเหลี่ยมมุมฉากคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในมุมตั้งฉาก
• จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมซึ่งอธิบายโดยจุดออร์โธเซ็นเตอร์ โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดกึ่งกลางของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด สามเหลี่ยมสุดท้ายเรียกว่าสามเหลี่ยมเสริมของสามเหลี่ยมแรก
• คุณสมบัติสุดท้ายสามารถกำหนดได้ดังนี้: จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมทำหน้าที่ ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์สามเหลี่ยมเพิ่มเติม
• จุดสมมาตร ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์ของรูปสามเหลี่ยมเทียบกับด้านของมันวางอยู่บนเส้นรอบวง
• จุดสมมาตร ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์สามเหลี่ยมที่สัมพันธ์กับจุดกึ่งกลางของด้านข้างก็วางอยู่บนวงกลมที่จำกัดขอบเขตและตรงกับจุดที่มีเส้นทแยงมุมตรงข้ามกับจุดยอดที่สอดคล้องกัน
• ถ้า เกี่ยวกับเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นจำกัด ∆ABC O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
• ระยะห่างจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมถึงจุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์เป็นสองเท่าของระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงวงกลมไปยังด้านตรงข้าม
• ส่วนใดส่วนหนึ่งที่ดึงมาจาก ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์ก่อนถึงจุดตัดกับวงกลมวงกลม วงกลมออยเลอร์จะแบ่งออกเป็นสองส่วนเสมอ ออร์โธเซ็นเตอร์เป็นศูนย์กลางความคล้ายคลึงกันของวงกลมทั้งสองวงนี้
• ทฤษฎีบทของแฮมิลตัน- ส่วนของเส้นตรงสามเส้นที่เชื่อมระหว่างออร์โธเซนเตอร์กับจุดยอดของสามเหลี่ยมเฉียบพลันนั้นแยกออกเป็นสามสามเหลี่ยมโดยมีวงกลมออยเลอร์เหมือนกัน (วงกลมเก้าจุด) เช่นเดียวกับสามเหลี่ยมเฉียบพลันดั้งเดิม
• ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของแฮมิลตัน:
  • ส่วนของเส้นตรงสามเส้นที่เชื่อมต่อออร์โธเซนเตอร์กับจุดยอดของสามเหลี่ยมเฉียบพลันจะแบ่งออกเป็นสามส่วน สามเหลี่ยมแฮมิลตันมีรัศมีของวงกลมล้อมรอบเท่ากัน
  • รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามวง สามเหลี่ยมแฮมิลตันเท่ากับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมมุมแหลมดั้งเดิม
• ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม จุดออร์โธเซนเตอร์จะอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม ในมุมป้าน - นอกรูปสามเหลี่ยม; เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า - ที่ด้านบน มุมฉาก.

คุณสมบัติของความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

• ถ้าระดับความสูงสองจุดในรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นหน้าจั่ว (ทฤษฎีบทสไตเนอร์-เลมุส) และระดับความสูงที่สามจะเป็นทั้งค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่มันโผล่ออกมา
• ความขัดแย้งก็เป็นจริงเช่นกัน ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ระดับความสูงสองระดับเท่ากัน และระดับความสูงที่สามเป็นทั้งค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่ง
• สามเหลี่ยมด้านเท่ามีความสูงทั้งสามเท่ากัน

คุณสมบัติของฐานความสูงของรูปสามเหลี่ยม

• บริเวณความสูงก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกว่า orthotriangle ซึ่งมีคุณสมบัติของตัวเอง
• วงกลมที่ล้อมรอบออโธไทรแองเกิลคือวงกลมออยเลอร์ วงกลมนี้ยังประกอบด้วยจุดกึ่งกลาง 3 จุดของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม และจุดกึ่งกลาง 3 จุดของ 3 ส่วนที่เชื่อมระหว่างออร์โธเซนเตอร์กับจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม
• อีกสูตรหนึ่งของคุณสมบัติสุดท้าย:
  • ทฤษฎีบทของออยเลอร์สำหรับวงกลมเก้าจุด. บริเวณสาม ความสูงสามเหลี่ยมใดๆ เป็นจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสาม ( รากฐานภายในของมันค่ามัธยฐาน) และจุดกึ่งกลางของสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับออร์โธเซ็นเตอร์ ล้วนอยู่บนวงกลมเดียวกัน (บน วงกลมเก้าจุด).
• ทฤษฎีบท- ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ส่วนที่เชื่อมต่อกัน บริเวณสอง ความสูงสามเหลี่ยม ตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกับอันที่กำหนดออก
• ทฤษฎีบท- ในรูปสามเหลี่ยมส่วนที่เชื่อมต่อกัน บริเวณสอง ความสูงสามเหลี่ยมวางอยู่สองด้าน ตรงกันข้ามแก่บุคคลภายนอกซึ่งตนไม่มีอยู่ด้วย จุดทั่วไป- วงกลมสามารถลากผ่านปลายทั้งสองข้างได้เสมอ เช่นเดียวกับจุดยอดทั้งสองของด้านที่สามที่กล่าวถึง

คุณสมบัติอื่นของระดับความสูงรูปสามเหลี่ยม

คุณสมบัติของความสูงต่ำสุดของรูปสามเหลี่ยม

ระดับความสูงต่ำสุดของรูปสามเหลี่ยมมีคุณสมบัติสุดขั้วหลายประการ ตัวอย่างเช่น:

• เส้นโครงมุมฉากขั้นต่ำของรูปสามเหลี่ยมบนเส้นที่วางอยู่ในระนาบของรูปสามเหลี่ยมจะมีความยาวเท่ากับระดับความสูงที่เล็กที่สุด
• การตัดตรงขั้นต่ำในระนาบที่สามารถดึงแผ่นสามเหลี่ยมแข็งได้จะต้องมีความยาวเท่ากับความสูงที่เล็กที่สุดของแผ่นนี้
• ด้วยการเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องของจุดสองจุดตามแนวเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมเข้าหากัน ระยะห่างสูงสุดระหว่างจุดทั้งสองในระหว่างการเคลื่อนที่จากการพบกันครั้งแรกไปยังครั้งที่สองจะต้องไม่น้อยกว่าความยาวของความสูงที่เล็กที่สุดของรูปสามเหลี่ยม
• ความสูงต่ำสุดของสามเหลี่ยมจะอยู่ภายในสามเหลี่ยมนั้นเสมอ

ความสัมพันธ์พื้นฐาน

• h a = b sin ⁡ γ = c sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b\sin \gamma =c\sin \beta ,)
• h a = 2 S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2S)(a)),)ที่ไหน เอส (\displaystyle S)- พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ก (\displaystyle ก)- ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมซึ่งความสูงลดลง
• h a 2 = 1 2 (b 2 + c 2 − 1 2 (a 2 + (b 2 − c 2) 2 a 2)) (\displaystyle h_(a)^(2)=(\frac (1)(2 ))(b^(2)+c^(2)-(\frac (1)(2))(a^(2)+(\frac ((b^(2)-c^(2))^ (2))(ก^(2))))))
• h a = b c 2 R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (bc)(2R)),)ที่ไหน ข ค (\displaystyle bc)- สินค้าด้านข้าง R - (\displaystyle R-)รัศมีวงกลมที่ล้อมรอบ
• h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = b c: a c: a b (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):( \frac (1)(b)):(\frac (1)(c))=bc:ac:ab)
• 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (ค)))=(\frac (1)(r))), ที่ไหน r (\displaystyle r)- รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้
• S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), ที่ไหน เอส (\displaystyle S) - พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม.
• a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\ รูปแบบการแสดงผล a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (ก))))))))), ก (\displaystyle ก)- ด้านของรูปสามเหลี่ยมที่ความสูงลดลง h a (\displaystyle h_(a)).
• ความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วลดลงถึงฐาน: h c = 1 2 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\sqrt (4a^(2)-c^(2))),)

ที่ไหน ค (\displaystyle c)- ฐาน, ก (\displaystyle ก)- ด้านข้าง.

ทฤษฎีบทระดับความสูงสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าส่วนสูงเป็น สามเหลี่ยมมุมฉาก A B C (\displaystyle ABC)ความยาว ชั่วโมง (\displaystyle ชั่วโมง)เมื่อดึงจากจุดยอดของมุมฉาก ให้หารด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยความยาว ค (\displaystyle c)เป็นส่วนๆ ม. (\displaystyle ม.)และ n (\displaystyle n)สอดคล้องกับขา ข (\displaystyle b)และ ก (\displaystyle ก)แล้วความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง

สามเหลี่ยม - รูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้านหรือปิด เส้นขาดมีสามลิงค์หรือรูปที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (ดูรูปที่ 1)

องค์ประกอบพื้นฐานของสามเหลี่ยม abc

ยอดเขา – จุด A, B และ C;

ภาคี – ส่วน a = BC, b = AC และ c = AB เชื่อมต่อจุดยอด

มุม – α, β, γ เกิดจากด้านสามคู่ มุมมักถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับจุดยอด โดยมีตัวอักษร A, B และ C

มุมที่เกิดจากด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมและนอนอยู่ในพื้นที่ภายในเรียกว่ามุมภายใน และมุมที่อยู่ติดกันคือมุมที่อยู่ติดกันของรูปสามเหลี่ยม (2, หน้า 534)

ความสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม

นอกจากองค์ประกอบหลักในรูปสามเหลี่ยมแล้ว ยังมีการพิจารณาส่วนอื่นๆ ที่มีคุณสมบัติที่น่าสนใจด้วย เช่น ความสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นกึ่งกลาง

ความสูง

ความสูงของสามเหลี่ยม- สิ่งเหล่านี้คือเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุดยอดของสามเหลี่ยมไปยังด้านตรงข้าม

หากต้องการพล็อตความสูง คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) วาดเส้นตรงที่มีด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม (หากความสูงถูกดึงมาจากจุดยอดของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมป้าน)

2) จากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกับเส้นที่ลาก ให้วาดส่วนจากจุดหนึ่งไปยังเส้นนี้ โดยทำมุม 90 องศา

เรียกว่าจุดตัดกันของระดับความสูงกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ฐานความสูง (ดูรูปที่ 2)

คุณสมบัติของระดับความสูงรูปสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ระดับความสูงที่ดึงมาจากจุดยอดของมุมฉากจะแยกออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกับสามเหลี่ยมดั้งเดิม

ในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ระดับความสูงทั้งสองจะตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกันออกไป

ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีลักษณะแหลม ฐานของความสูงทั้งหมดจะอยู่ที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม และในรูปสามเหลี่ยมป้าน ระดับความสูง 2 อันจะตกลงบนเส้นต่อเนื่องของด้านข้าง

ระดับความสูงสามจุดในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลันตัดกันที่จุดหนึ่งและจุดนี้เรียกว่า ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์ สามเหลี่ยม.

ค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐาน(จากภาษาละติน mediana - "ตรงกลาง") - สิ่งเหล่านี้คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม (ดูรูปที่ 3)

ในการสร้างค่ามัธยฐาน คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) ค้นหาตรงกลางด้านข้าง

2) เชื่อมต่อจุดที่เป็นจุดกึ่งกลางของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมกับจุดยอดตรงข้ามกับส่วน

คุณสมบัติของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม

ค่ามัธยฐานแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งแบ่งแต่ละจุดออกเป็นอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด จุดนี้เรียกว่า จุดศูนย์ถ่วง สามเหลี่ยม.

สามเหลี่ยมทั้งหมดถูกหารด้วยค่ามัธยฐานของมันเป็นสามเหลี่ยมหกรูปเท่าๆ กัน

แบ่งครึ่ง

แบ่งครึ่ง(จากภาษาละติน ทวิ - สองครั้ง และ เซโก - ตัด) คือส่วนของเส้นตรงที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมที่แบ่งครึ่งมุม (ดูรูปที่ 4)

ในการสร้างเส้นแบ่งครึ่ง คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) สร้างรังสีที่ออกมาจากจุดยอดของมุมแล้วแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน (เส้นแบ่งครึ่งของมุม)

2) ค้นหาจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมกับด้านตรงข้าม

3) เลือกส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดตัดที่อยู่ฝั่งตรงข้าม

คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมจะหารด้านตรงข้ามในอัตราส่วน เท่ากับอัตราส่วนสองด้านที่อยู่ติดกัน

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในและภายนอกตั้งฉากกัน

ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมตัดกับส่วนขยายของด้านตรงข้าม ดังนั้น ADBD=ACBC

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในหนึ่งมุมและมุมภายนอกสองมุมของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของหนึ่งในสามวงกลมด้านนอกของสามเหลี่ยมนี้

ฐานของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในสองมุมและมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกไม่ขนานกับด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม

ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมไม่ขนานกับด้านตรงข้าม แสดงว่าฐานของพวกมันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

คุณสมบัติ

• ความสูงของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ - ข้อความนี้ง่ายต่อการพิสูจน์โดยใช้เอกลักษณ์ของเวกเตอร์ที่ถูกต้องสำหรับจุด A, B, C, E ใดๆ ไม่จำเป็นต้องอยู่ในระนาบเดียวกันด้วยซ้ำ:

(การพิสูจน์ตัวตนควรใช้สูตร

จุด E ควรเป็นจุดตัดของระดับความสูงสองระดับของรูปสามเหลี่ยม)

• ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ระดับความสูงที่ดึงมาจากจุดยอดของมุมฉากจะแยกออกเป็นสามเหลี่ยมสองอันที่คล้ายกับรูปดั้งเดิม
• ในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ระดับความสูงทั้งสองจะตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกันออกไป
• ฐานของความสูงก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกว่าสามเหลี่ยมออร์โธไทรแองเกิล ซึ่งมีคุณสมบัติเป็นของตัวเอง

ระดับความสูงต่ำสุดของรูปสามเหลี่ยมมีคุณสมบัติสุดขั้วหลายประการ ตัวอย่างเช่น:

• เส้นโครงมุมฉากขั้นต่ำของรูปสามเหลี่ยมบนเส้นที่วางอยู่ในระนาบของรูปสามเหลี่ยมจะมีความยาวเท่ากับระดับความสูงที่เล็กที่สุด

• การตัดตรงขั้นต่ำในระนาบที่สามารถดึงแผ่นสามเหลี่ยมแข็งได้จะต้องมีความยาวเท่ากับความสูงที่เล็กที่สุดของแผ่นนี้

• ด้วยการเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องของจุดสองจุดตามแนวเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมเข้าหากัน ระยะห่างสูงสุดระหว่างจุดทั้งสองในระหว่างการเคลื่อนที่จากการพบกันครั้งแรกไปยังครั้งที่สองจะต้องไม่น้อยกว่าความยาวของความสูงที่เล็กที่สุดของรูปสามเหลี่ยม

ความสูงต่ำสุดของสามเหลี่ยมจะอยู่ภายในสามเหลี่ยมนั้นเสมอ

ความสัมพันธ์พื้นฐาน

โดยที่พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมซึ่งความสูงลดลง

ฐานอยู่ที่ไหน

ทฤษฎีบทระดับความสูงสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าความสูง h ที่ลากจากจุดยอดของมุมฉากหารด้านตรงข้ามมุมฉากของความยาว c ออกเป็นส่วน m และ n ซึ่งสอดคล้องกับ b และ a แล้วความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง:

บทกวีช่วยในการจำ

ความสูงพอๆ กับแมว ซึ่งโค้งหลัง และทำมุมฉากเชื่อมหางด้านบนและด้านข้างเข้าด้วยกัน

ดูสิ่งนี้ด้วย

ลิงค์

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010.

ดูว่า "ความสูงของรูปสามเหลี่ยม" ในพจนานุกรมอื่นคืออะไร:

HEIGHT ความสูง พหูพจน์ ส่วนสูงส่วนสูงผู้หญิง 1.เฉพาะยูนิตเท่านั้น ส่วนขยายจากล่างขึ้นบน, ความสูง ความสูงของบ้าน. ทาวเวอร์ ระดับความสูง- - (โปรดเฉพาะทางวิทยาศาสตร์พิเศษเท่านั้น) ระยะทางจาก พื้นผิวโลกโดยวัดตามเส้นแนวตั้งจากล่างขึ้นบน เครื่องบินก็บิน... พจนานุกรมอูชาโควา

คำนี้มีความหมายอื่นดูที่ความสูง (ความหมาย) ความสูงใน เรขาคณิตเบื้องต้นส่วนตั้งฉากหลุดจากจุดยอด รูปทรงเรขาคณิต(เช่น สามเหลี่ยม ปิระมิด กรวย) บนฐานหรือบน ... ... วิกิพีเดีย

ความสูง- ы/; กรุณา ส่วนสูง/คุณ; และ. ดูสิ่งนี้ด้วย ตึกสูง ตึกสูง 1) ขนาด ความยาวของสิ่งใดสิ่งหนึ่ง จากล่างขึ้นบน จากล่างขึ้นบน ส่วนสูง/ของบ้าน ต้นไม้ ภูเขา ความสูง/คลื่น เขื่อนสูงหนึ่งร้อยห้าฟุต... พจนานุกรมสำนวนมากมาย

ใช่; กรุณา ความสูง; และ. 1. ขนาด ความยาวของสิ่งใดสิ่งหนึ่ง จากล่างขึ้นบน จากล่างขึ้นบน ก. บ้าน ต้นไม้ ภูเขา. วีเวฟ เขื่อนมีความสูงหนึ่งร้อยห้าสิบเมตร วัดกำหนดความสูงของบางสิ่งบางอย่าง 2. ระยะทางจากที่ล. พื้นผิวเพื่อ...... พจนานุกรมสารานุกรม

ความสูงของสามเหลี่ยมด้ายเดิม- (H) ระยะห่างระหว่างยอดและฐานของสามเหลี่ยมด้ายเดิมในทิศทางตั้งฉากกับแกนของด้าย [GOST 11708 82 (ST SEV 2631 80)] หัวข้อของมาตรฐานความสามารถในการใช้แทนกันได้ ข้อกำหนดทั่วไป องค์ประกอบพื้นฐาน และพารามิเตอร์เธรด EN ... ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

ความสูงคือมิติหรือระยะทางในแนวตั้ง ความหมายอื่นๆ: ในทางดาราศาสตร์ ความสูงของส่องสว่างคือมุมระหว่างระนาบของขอบฟ้าทางคณิตศาสตร์กับทิศทางที่มุ่งสู่แสงสว่าง ในกิจการทหาร: ความสูงคือความสูงของการผ่อนปรน ใน... ... วิกิพีเดีย

HEIGHT ในเรขาคณิต ส่วนตั้งฉากจะเลื่อนลงจากด้านบนของรูปทรงเรขาคณิต (เช่น สามเหลี่ยม ปิรามิด กรวย) ไปยังฐาน (หรือต่อจากฐาน) ตลอดจนความยาวของส่วนนี้ ความสูงของปริซึม ทรงกระบอก ชั้นทรงกลม และ... ... พจนานุกรมสารานุกรม

ในเรขาคณิต หมายถึง ส่วนตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิต (เช่น สามเหลี่ยม ปิรามิด กรวย) ไปยังฐาน (หรือต่อจากฐาน) รวมถึงความยาวของส่วนนี้ ความสูงของปริซึม ทรงกระบอก ชั้นทรงกลม รวมทั้ง... ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

HEIGHT, s, พหูพจน์ จาก, จาก, จาก, ภรรยา. 1. ขนาด ความยาวของสิ่งใดสิ่งหนึ่ง จากจุดล่างขึ้นบน ข. งานก่ออิฐ. วีเซิร์ฟ วี. ไซโคลน. 2. ช่องว่าง ระยะห่างจากพื้นดินขึ้นไป มองขึ้นไป เครื่องบินกำลังเพิ่มระดับความสูง บินไป...... พจนานุกรมอธิบายของ Ozhegov

ความสูงในเรขาคณิต หมายถึง ส่วนตั้งฉากที่ตกลงมาจากด้านบนของรูปทรงเรขาคณิต (เช่น สามเหลี่ยม ปิรามิด กรวย) ไปยังฐานหรือส่วนต่อเนื่องของฐาน ตลอดจนความยาวของส่วนนี้ ข. ปริซึม ทรงกระบอก ชั้นทรงกลม... ... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

เมื่อแก้ไขปัญหาทางเรขาคณิต จะมีประโยชน์ในการปฏิบัติตามอัลกอริทึมดังกล่าว ในขณะที่อ่านเงื่อนไขของปัญหาก็จำเป็น

• วาดรูป. ภาพวาดควรสอดคล้องกับเงื่อนไขของปัญหาให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ดังนั้นงานหลักคือการช่วยค้นหาวิธีแก้ไข
• ใส่ข้อมูลทั้งหมดจากคำชี้แจงปัญหาลงในแบบร่าง
• เขียนทุกอย่างออกมา แนวคิดทางเรขาคณิตซึ่งปรากฏในปัญหา
• จำทฤษฎีบททั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเหล่านี้
• วาดความสัมพันธ์ทั้งหมดระหว่างองค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิตที่ตามมาจากทฤษฎีบทเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น หากปัญหามีคำว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยม คุณจะต้องจำคำจำกัดความและคุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งและระบุส่วนและมุมที่เท่ากันหรือตามสัดส่วนในภาพวาด

ในบทความนี้ คุณจะพบคุณสมบัติพื้นฐานของรูปสามเหลี่ยมที่คุณต้องรู้เพื่อแก้ปัญหาได้สำเร็จ

สามเหลี่ยม.

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

1. ,

ที่นี่ - ด้านใดก็ได้ของสามเหลี่ยม - ความสูงลดลงมาทางด้านนี้

2. ,

ตรงนี้ และ เป็นด้านใดก็ได้ของสามเหลี่ยม และคือมุมระหว่างด้านเหล่านี้:

3. สูตรของนกกระสา:

นี่คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยม คือ กึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม

4. ,

นี่คือระยะกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม และคือรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายใน

อนุญาต เป็นความยาวของส่วนแทนเจนต์.

จากนั้นสูตรของเฮรอนสามารถเขียนได้ดังนี้:

5.

6. ,

ที่นี่ - ความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยม - รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

หากจุดหนึ่งถูกนำไปที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมซึ่งแบ่งด้านนี้ด้วยอัตราส่วน m: n ดังนั้นส่วนที่เชื่อมต่อจุดนี้กับจุดยอดของมุมตรงข้ามจะแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป โดยพื้นที่นั้นอยู่ในอัตราส่วน ม:น:

อัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันจะเท่ากับกำลังสองของสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

นี่คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมเข้ากับตรงกลางของด้านตรงข้าม

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งแล้วหารด้วยจุดตัดในอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด

จุดตัดกลาง สามเหลี่ยมปกติแบ่งค่ามัธยฐานออกเป็นสองส่วน โดยส่วนที่เล็กกว่าจะเท่ากับรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายใน และส่วนที่ใหญ่กว่าจะเท่ากับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

รัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวงเป็น 2 เท่าของรัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวง: R=2r

ความยาวมัธยฐานสามเหลี่ยมโดยพลการ

,

ที่นี่ - ค่ามัธยฐานที่ลากไปด้านข้าง - ความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

นี่คือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมที่เชื่อมจุดยอดของมุมนี้กับด้านตรงข้าม

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมแบ่งด้านออกเป็นส่วนตามสัดส่วนของด้านที่อยู่ติดกัน:

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเป็นศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

จุดทุกจุดของเส้นแบ่งครึ่งมุมอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน

ความสูงของสามเหลี่ยม

นี่คือส่วนตั้งฉากที่ตกลงจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมไปยังด้านตรงข้ามหรือต่อเนื่องกัน ในรูปสามเหลี่ยมป้าน ระดับความสูงที่ดึงมาจากจุดยอดของมุมแหลมจะอยู่นอกรูปสามเหลี่ยม

ความสูงของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเรียกว่า ศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของรูปสามเหลี่ยม

เพื่อหาความสูงของรูปสามเหลี่ยมเมื่อลากไปทางด้านข้าง คุณจะต้องค้นหาพื้นที่ด้วยวิธีใดก็ได้ที่มีอยู่ จากนั้นใช้สูตร:

จุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมอยู่ที่จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากที่ลากไปทางด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

รัศมีเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยม สามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

นี่คือความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยม และเป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยม

,

โดยที่คือความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมและเป็นมุมตรงข้าม (สูตรนี้ตามมาจากทฤษฎีบทไซน์)

อสมการสามเหลี่ยม

ด้านแต่ละด้านของสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่าผลรวมและมากกว่าผลต่างของอีกสองด้าน

ผลรวมของความยาวของด้านสองด้านใดๆ จะมากกว่าความยาวของด้านที่สามเสมอ:

ตรงข้ามด้านที่ใหญ่กว่าคือมุมที่ใหญ่กว่า ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่กว่าคือด้านที่ใหญ่กว่า:

ถ้า แล้วในทางกลับกัน

ทฤษฎีบทของไซน์:

ด้านของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม:

ทฤษฎีบทโคไซน์:

ด้านสี่เหลี่ยมของสามเหลี่ยม เท่ากับผลรวมกำลังสองของอีกสองด้านโดยไม่มีผลคูณของด้านเหล่านี้สองเท่าด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างสองด้าน:

สามเหลี่ยมมุมฉาก

- นี่คือรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีมุมหนึ่งเป็น 90°

ผลรวม มุมที่คมชัดของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 90°

ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม 90° ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ยาวที่สุด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา:

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับ

,

นี่คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ - ขา - ด้านตรงข้ามมุมฉาก:

จุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมมุมฉาก อยู่ตรงกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากเข้าหาด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดู

อัตราส่วนขององค์ประกอบในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

กำลังสองของความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ดึงมาจากจุดยอดของมุมฉากเท่ากับผลคูณของเส้นโครงของขาไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก:

กำลังสองของขาเท่ากับผลคูณของด้านตรงข้ามมุมฉากและการยื่นของขาไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ขานอนอยู่ตรงข้ามมุม เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว.

แบ่งครึ่ง สามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยลากไปที่ฐานคือค่ามัธยฐานและส่วนสูง

ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมฐานจะเท่ากัน

มุมเอเพ็กซ์.

และ - ด้านข้าง

และ - มุมที่ฐาน

ส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐาน

ความสนใจ!ความสูง เส้นแบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐานที่ลากไปด้านข้างไม่ตรงกัน

สามเหลี่ยมปกติ

(หรือ สามเหลี่ยมด้านเท่า ) เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านและมุมทุกด้านเท่ากัน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติเท่ากับ

ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมคือที่ไหน

จุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมปกติเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมปกติและอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐาน

จุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมปกติแบ่งค่ามัธยฐานออกเป็นสองส่วน โดยส่วนที่เล็กกว่าจะเท่ากับรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายใน และส่วนที่ใหญ่กว่าจะเท่ากับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

ถ้ามุมหนึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็น 60° แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ

เส้นกลางของสามเหลี่ยม

นี่คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของทั้งสองด้าน

ในรูป DE คือเส้นกลางของสามเหลี่ยม ABC

เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมขนานกับด้านที่สามและเท่ากับครึ่งหนึ่ง: DE||AC, AC=2DE

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม

นี่คือมุมที่อยู่ติดกับมุมใดๆ ของสามเหลี่ยม

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมที่ไม่อยู่ติดกัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติมุมภายนอก:

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม:

1 - ถ้าสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันตามลำดับกับสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

2 - ถ้าด้านหนึ่งและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับด้านหนึ่งและสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

3 ถ้าด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเท่ากันกับสามด้านของสามเหลี่ยมอีกด้านตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

สำคัญ:เนื่องจากในสามเหลี่ยมมุมฉากสองมุมจะเท่ากันอย่างเห็นได้ชัด ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปต้องการความเท่าเทียมกันของสององค์ประกอบเท่านั้น: สองด้านหรือด้านและมุมแหลม

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม:

1 - หากด้านสองด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสองด้านของสามเหลี่ยมอีกด้าน และมุมระหว่างด้านทั้งสองเท่ากัน สามเหลี่ยมเหล่านี้จะคล้ายกัน

2 - ถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสามด้านของสามเหลี่ยมอีกด้าน สามเหลี่ยมนั้นจะคล้ายกัน

3 - หากมุมสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสองมุมของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นคล้ายกัน

สำคัญ:วี สามเหลี่ยมที่คล้ายกันด้านที่คล้ายกันอยู่ตรงข้ามกับมุมที่เท่ากัน

ทฤษฎีบทของเมเนลอส

ให้เส้นตัดกันรูปสามเหลี่ยม และเป็นจุดตัดกับด้าน เป็นจุดตัดกับด้าน และเป็นจุดตัดกับด้านต่อเนื่อง แล้ว

ทฤษฎีบทระดับความสูงสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าระดับความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีความยาว ลากจากจุดยอดของมุมฉาก หารด้านตรงข้ามมุมฉากของความยาวและเป็นส่วนๆ และสอดคล้องกับขา และ แล้วความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:

·

·

คุณสมบัติของฐานความสูงของรูปสามเหลี่ยม

· บริเวณความสูงก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกว่า orthotriangle ซึ่งมีคุณสมบัติของตัวเอง

· วงกลมที่ล้อมรอบออร์โธสามเหลี่ยมคือวงกลมออยเลอร์ วงกลมนี้ยังประกอบด้วยจุดกึ่งกลาง 3 จุดของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม และจุดกึ่งกลาง 3 จุดของ 3 ส่วนที่เชื่อมระหว่างออร์โธเซนเตอร์กับจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม

อีกสูตรหนึ่งของคุณสมบัติสุดท้าย:

· ทฤษฎีบทของออยเลอร์สำหรับวงกลมเก้าจุด.

บริเวณสาม ความสูงสามเหลี่ยมใดๆ เป็นจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสาม ( รากฐานภายในของมันค่ามัธยฐาน) และจุดกึ่งกลางของสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับออร์โธเซ็นเตอร์ ล้วนอยู่บนวงกลมเดียวกัน (บน วงกลมเก้าจุด).

· ทฤษฎีบท- ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ส่วนที่เชื่อมต่อกัน บริเวณสอง ความสูงสามเหลี่ยม ตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกับอันที่กำหนดออก

· ทฤษฎีบท- ในรูปสามเหลี่ยมส่วนที่เชื่อมต่อกัน บริเวณสอง ความสูงสามเหลี่ยมวางอยู่สองด้าน ตรงกันข้ามแก่บุคคลที่สามซึ่งเขาไม่มีจุดยืนร่วมกันด้วย วงกลมสามารถลากผ่านปลายทั้งสองข้างได้เสมอ เช่นเดียวกับจุดยอดทั้งสองของด้านที่สามที่กล่าวถึง

คุณสมบัติอื่นของระดับความสูงรูปสามเหลี่ยม

· ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยม อเนกประสงค์ (ย้วย) จากนั้นก็ ภายในเส้นแบ่งครึ่งที่ดึงมาจากจุดยอดใดๆ อยู่ระหว่างนั้น ภายในค่ามัธยฐานและความสูงมาจากจุดยอดเดียวกัน

ความสูงของรูปสามเหลี่ยมจะคอนจูเกตแบบไอโซโกนกับเส้นผ่านศูนย์กลาง (รัศมี) เส้นรอบวงดึงมาจากจุดยอดเดียวกัน

· ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมมีสองอัน ความสูงตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกันออก

· อยู่ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงวาดจากจุดยอดของมุมฉากแล้วแยกออกเป็นสามเหลี่ยมสองอันคล้ายกับอันเดิม

คุณสมบัติของความสูงต่ำสุดของรูปสามเหลี่ยม

ระดับความสูงต่ำสุดของรูปสามเหลี่ยมมีคุณสมบัติสุดขั้วหลายประการ ตัวอย่างเช่น:

· เส้นโครงมุมฉากขั้นต่ำของรูปสามเหลี่ยมลงบนเส้นที่วางอยู่ในระนาบของรูปสามเหลี่ยมจะมีความยาวเท่ากับระดับความสูงที่เล็กที่สุด

· การตัดตรงขั้นต่ำในระนาบซึ่งสามารถดึงแผ่นเพลทสามเหลี่ยมแข็งได้ต้องมีความยาวเท่ากับความสูงที่เล็กที่สุดของแผ่นเพลทนี้

· เมื่อจุดสองจุดเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องตามแนวเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมเข้าหากัน ระยะห่างสูงสุดระหว่างจุดทั้งสองระหว่างการเคลื่อนที่จากการพบกันครั้งแรกไปยังครั้งที่สองจะต้องไม่น้อยกว่าความยาวของความสูงที่เล็กที่สุดของรูปสามเหลี่ยม

· ความสูงต่ำสุดของสามเหลี่ยมจะอยู่ภายในสามเหลี่ยมนั้นเสมอ

ความสัมพันธ์พื้นฐาน

· โดยที่พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมซึ่งความสูงลดลง

· โดยที่ผลคูณของด้านข้างคือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

· ,

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้อยู่ที่ไหน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมอยู่ที่ไหน

ด้านของสามเหลี่ยมซึ่งความสูงลดลงอยู่ที่ไหน

· ความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วลดลงถึงฐาน:

ฐานอยู่ที่ไหน

· - ความสูงในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ค่ามัธยฐานและระดับความสูงในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งแบ่งแต่ละจุดออกเป็นอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด จุดนี้เรียกว่า จุดศูนย์ถ่วงสามเหลี่ยม. และในสามเหลี่ยมด้านเท่า ค่ามัธยฐานและความสูงเป็นสิ่งเดียวกัน

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC ตามใจชอบ ให้เราเขียนจุดตัดของค่ามัธยฐาน AA1 และ BB1 ด้วยตัวอักษร O แล้ววาด เส้นกึ่งกลาง A1B1 ของสามเหลี่ยมนี้ ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ส่วน A1B1 ขนานกับด้าน AB ดังนั้นมุม 1 และ 2 รวมถึงมุม 3 และ 4 จึงเท่ากับมุมขวางเมื่อเส้นคู่ขนาน AB และ A1B1 ตัดกับ เซคแคนต์ AA1 และ BB1 ดังนั้น สามเหลี่ยม AOB และ A1OB1 จึงคล้ายกันในสองมุม ดังนั้นด้านของพวกมันจึงเป็นสัดส่วน: AOA1O=BOB1O=ABA1B1 แต่ AB=2⋅A1B1 ดังนั้น AO=2⋅A1O และ BO=2⋅B1O ดังนั้น จุดตัดกัน O ของค่ามัธยฐาน AA1 และ BB1 จึงหารแต่ละจุดด้วยอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากจุดยอด ในทำนองเดียวกัน ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าจุดตัดกันของค่ามัธยฐาน BB1 และ CC1 หารแต่ละจุดในอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด และด้วยเหตุนี้จึงเกิดขึ้นพร้อมกันกับจุด O ดังนั้น ค่ามัธยฐานทั้งสามของสามเหลี่ยม ABC ตัดกันที่ จุด O และหารด้วยอัตราส่วน 2: 1 นับจากด้านบน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ลองจินตนาการว่าที่จุดยอดของมุม m₁=1 จากนั้นที่จุด A₁,B₁,C₁, m₂=2 เนื่องจากเป็นจุดกึ่งกลางของด้านข้าง และที่นี่ คุณจะสังเกตได้ว่าเซกเมนต์ AA₁,BB₁,CC₁ ซึ่งตัดกันที่จุดหนึ่ง คล้ายกับคันโยกที่มีจุดศูนย์กลาง O โดยที่ AO-l₁ และ OA₁-l₂ (ไหล่) และโดย สูตรทางกายภาพ F₁/F₂=l₁/l₂ โดยที่ F=m*g โดยที่ g-const และมันลดลงตามนั้น ปรากฎว่า m₁/m₂=l₁/l₂ เช่น ½=1/2.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สามเหลี่ยมออร์โธไทรแองเกิล

คุณสมบัติ:

· ระดับความสูงสามจุดของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์

· สอง ด้านที่อยู่ติดกันแบบฟอร์ม orthotriangle มุมเท่ากันโดยมีด้านที่ตรงกันของสามเหลี่ยมเดิม

ความสูงของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นแบ่งครึ่งของมุมออร์โธสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมออร์โธไทรแองเกิลคือสามเหลี่ยมที่มีเส้นรอบวงเล็กที่สุดที่สามารถใส่เข้าไปได้ ให้รูปสามเหลี่ยม(ปัญหาฟาญาโน่)

· เส้นรอบรูปของออร์โธไทรแองเกิลเท่ากับสองเท่าของผลคูณของความสูงของรูปสามเหลี่ยมและไซน์ของมุมที่เป็นต้นกำเนิด

· ถ้าจุด A 1 , B 1 และ C 1 ที่ด้าน BC, AC และ AB ของสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ABC ตามลำดับ จะได้ว่า

แล้วก็เป็นมุมตั้งฉากของสามเหลี่ยม ABC

Orthotriangle ตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกับอันนี้ออก

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉาก

∟ B₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A

CC₁-เส้นแบ่งครึ่ง ∟B₁C₁A

AA₁-เส้นแบ่งครึ่ง ∟B₁A₁C₁

BB₁-เส้นแบ่งครึ่ง ∟A₁B₁C₁