Bir tam sayının büyüklüğü. Tam Sayıları Anlamak

Doğal sayılar her şeyin başladığı sayılardır. Ve bugün bunlar, bir insanın çocuklukta parmaklarıyla veya sayma çubuklarıyla saymayı öğrendiğinde hayatında karşılaştığı ilk sayılardır.

Tanım: Doğal sayılar nesneleri saymak için kullanılan sayılardır (1, 2, 3, 4, 5, ...) [0 sayısı doğal değildir. Matematik tarihinde ayrı bir geçmişi vardır ve doğal sayılardan çok daha sonra ortaya çıkmıştır.]

Tüm doğal sayılar kümesi (1, 2, 3, 4, 5, ...) N harfiyle gösterilir.

Bütün sayılar

Saymayı öğrendikten sonra yapacağımız şey sayılar üzerinde aritmetik işlemler yapmayı öğrenmektir. Genellikle ilk önce toplama ve çıkarma öğretilir (sayma çubukları kullanılarak).

Toplama ile her şey açıktır: Herhangi iki doğal sayının toplanması sonucu her zaman aynı doğal sayı olacaktır. Ancak çıkarma işleminde, sonucun doğal bir sayı olması için büyüğü küçükten çıkaramayacağımızı keşfederiz. (3 − 5 = ne?) Negatif sayılar fikri burada devreye giriyor. (Negatif sayılar artık doğal sayı değildir)

Negatif sayıların ortaya çıkma aşamasında (ve kesirli olanlardan daha sonra ortaya çıktılar) Bunların saçmalık olduğunu düşünen muhalifleri de vardı. (Parmaklarınızda üç nesne gösterilebilir, on tanesi gösterilebilir, bin nesne analojiyle temsil edilebilir. Peki “eksi üç çanta” nedir? - O zamanlar sayılar zaten belirli kavramlardan ayrı olarak tek başına kullanılıyordu. Sayılarını ifade ettikleri nesneler hâlâ insanların zihninde bu belirli konulara bugüne göre çok daha yakındı.) Ancak itirazlar gibi, negatif sayılar lehine ana argüman da pratikten geldi: negatif sayılar, uygun bir şekilde hesaplamayı mümkün kıldı. borçları say. 3 − 5 = −2 - 3 jetonum vardı, 5 jeton harcadım. Bu hem jetonumun bittiği hem de birine 2 jeton borcum olduğu anlamına geliyor. Birini geri verirsem borç −2+1=−1 değişecektir ancak negatif bir sayıyla da temsil edilebilir.

Bunun sonucunda matematikte negatif sayılar ortaya çıktı ve artık sonsuz sayıda doğal sayıya (1, 2, 3, 4, ...) ve bunların aynı sayıda karşıtlarına (−1, −2, −) sahibiz. 3, −4 , ...). Bunlara bir 0 daha ekleyelim ve bu sayıların kümesine tamsayılar diyeceğiz.

Tanım: Doğal sayılar, onların karşıtları ve sıfır tam sayılar kümesini oluşturur. Z harfi ile gösterilir.

Bir tam sayı oluşturmak için herhangi iki tam sayı birbirinden çıkarılabilir veya toplanabilir.

Tamsayıları toplama fikri zaten toplama işleminin daha hızlı bir yolu olarak çarpma olasılığını akla getiriyor. Her biri 6 kilogram olan 7 çantamız varsa, buna 6+6+6+6+6+6+6 (mevcut toplamın yedi katına 6 ekleyin) ekleyebiliriz ya da böyle bir işlemin her zaman sonuçlanacağını hatırlayabiliriz. 42. Tıpkı altı yedinin eklenmesi gibi, 7+7+7+7+7+7 de her zaman 42 sonucunu verecektir.

Ekleme işleminin sonuçları kesin kendinle sayılar kesin 2'den 9'a kadar tüm sayı çiftlerinin kaç kere olduğu yazılır ve bir çarpım tablosu oluşturulur. 9'dan büyük tam sayıları çarpmak için sütun çarpma kuralı icat edildi. (Bu durum ondalık kesirler için de geçerlidir ve aşağıdaki makalelerden birinde ele alınacaktır.) Herhangi iki tam sayı birbiriyle çarpıldığında sonuç her zaman tam sayı olacaktır.

Rasyonel sayılar

Şimdi bölünme. Nasıl ki çıkarma, toplamanın ters işlemiyse, bölme fikrine de çarpmanın ters işlemi olarak geliyoruz.

Elimizde 6 kilogramlık 7 torba olduğunda çarpma işlemiyle torbaların içindekilerin toplam ağırlığının 42 kilogram olduğunu kolaylıkla hesapladık. Tüm torbaların tüm içeriğini 42 kilogram ağırlığındaki ortak bir yığına döktüğümüzü hayal edelim. Daha sonra fikirlerini değiştirdiler ve içindekileri tekrar 7 torbaya dağıtmak istediler. Eşit olarak dağıtırsak bir torbaya kaç kilogram düşer? – Tabii ki 6.

42 kiloyu 6 torbaya dağıtmak istersek ne olur? Burada 7 kilogramlık 6 torbayı bir yığına dökersek aynı toplam 42 kilogramın elde edilebileceğini düşüneceğiz. Bu da demek oluyor ki 42 kiloyu 6 torbaya eşit olarak böldüğümüzde bir torbadan 7 kilo çıkıyor.

42 kiloyu 3 torbaya eşit olarak bölerseniz ne olur? Burada da 3 ile çarpıldığında 42 verecek bir sayı seçmeye başlıyoruz. “Tablo” değerler için 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7 durumunda olduğu gibi bölme işlemini gerçekleştiriyoruz. çarpım tablosunu geri çağırarak işlem yapabilirsiniz. Daha karmaşık durumlar için, aşağıdaki makalelerden birinde tartışılacak olan sütun bölümü kullanılır. 3 ve 42 durumunda, 3 · 14 = 42 olduğunu hatırlamak için "seçebilirsiniz". Bu, 42:3 = 14 anlamına gelir. Her çanta 14 kilogram içerecektir.

Şimdi 42 kiloyu 5 torbaya eşit olarak bölmeye çalışalım. 42:5=?
5 · 8 = 40 (az) ve 5 · 9 = 45 (çok) olduğunu fark ettik. Yani ne 5 poşetten 42 kilo, ne bir poşetten 8 kilo, ne 9 kilo alacağız. Aynı zamanda, gerçekte hiçbir şeyin bizi herhangi bir miktarı (örneğin tahılları) 5 eşit parçaya bölmekten alıkoymadığı açıktır.

Tam sayıları birbirine bölme işlemi mutlaka tam sayı sonucunu vermez. Kesir kavramına bu şekilde ulaştık. 42:5 = 42/5 = 8 tam 2/5 (kesirli olarak sayılırsa) veya 42:5 = 8,4 (ondalık sayılarla sayılırsa).

Ortak ve ondalık kesirler

Herhangi bir sıradan m/n kesirinin (m herhangi bir tam sayıdır, n herhangi bir doğal sayıdır), m sayısının n sayısına bölünmesinin sonucunu yazmanın özel bir biçimi olduğunu söyleyebiliriz. (m kesrin payı olarak adlandırılır, n ise paydadır) Örneğin 25 sayısını 5 sayısına bölmenin sonucu, 25/5 sıradan bir kesir olarak da yazılabilir. Ancak bu gerekli değildir, çünkü 25'i 5'e bölmenin sonucu basitçe 5 tamsayısı olarak yazılabilir. (Ve 25/5 = 5). Ancak 25 sayısını 3 sayısına bölmenin sonucu artık tam sayı olarak temsil edilemediğinden burada 25:3 = 25/3 kesirini kullanma ihtiyacı ortaya çıkıyor. (Tam kısmı 25/3 = 8 tam 1/3 olarak ayırabilirsiniz. Adi kesirler ve adi kesirlerle yapılan işlemler ilerleyen yazılarımızda daha detaylı ele alınacaktır.)

Sıradan kesirlerle ilgili iyi olan şey, herhangi iki tam sayıyı böyle bir kesir olarak bölmenin sonucunu temsil etmek için, kesrin payına böleni ve paydaya böleni yazmanız yeterlidir. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) Daha sonra mümkünse kesri azaltın ve/veya tamamını izole edin (bu işlemler sıradan kesirlerle yapılır) Aşağıdaki makalelerde ayrıntılı olarak ele alınacaktır). Sorun, sıradan kesirlerle aritmetik işlemler (toplama, çıkarma) yapmanın artık tam sayılarda olduğu kadar kullanışlı olmamasıdır.

Yazma kolaylığı (tek satırda) ve hesaplamaların rahatlığı için (sıradan tamsayılarda olduğu gibi bir sütunda hesaplama imkanı ile), sıradan kesirlere ek olarak ondalık kesirler de icat edildi. Ondalık kesir, paydası 10, 100, 1000 vb. olan, özel olarak yazılmış sıradan bir kesirdir. Örneğin, ortak kesir olan 7/10, ondalık kesir olan 0,7 ile aynıdır. (8/100 = 0,08; 2 tam 3/10 = 2,3; 7 tam 1/1000 = 7,001). Sıradan kesirleri ondalık sayılara ve bunun tersini dönüştürmeye ayrı bir makale ayrılacaktır. Ondalık kesirlerle işlemler - diğer makaleler.

Herhangi bir tam sayı, paydası 1 olan ortak bir kesir olarak temsil edilebilir. (5=5/1; −765=−765/1).

Tanım: Kesir olarak ifade edilebilen tüm sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi Q harfiyle gösterilir.

Herhangi iki tam sayıyı birbirine böldüğünüzde (0'a bölme hariç), sonuç her zaman rasyonel bir sayı olacaktır. Sıradan kesirler için, herhangi iki kesirle karşılık gelen işlemi gerçekleştirmenize ve ayrıca sonuç olarak rasyonel bir sayı (kesir veya tam sayı) elde etmenize olanak tanıyan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme kuralları vardır.

Rasyonel sayılar kümesi, üzerinde toplayabileceğiniz, çıkarabileceğiniz, çarpabileceğiniz ve bölebileceğiniz (0'a bölme hariç), hiçbir zaman bu kümenin sınırlarını aşmadan (yani her zaman rasyonel sayı elde edebileceğiniz) ele aldığımız kümelerin ilkidir. sonuç olarak sayı).

Görünüşe göre başka sayı yok; tüm sayılar rasyoneldir. Ancak bu da doğru değil.

Gerçek sayılar

m/n kesri olarak temsil edilemeyen sayılar vardır (burada m bir tamsayı, n ise bir doğal sayıdır).

Bu sayılar nedir? Üs alma işlemini henüz düşünmedik. Örneğin, 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Çarpma nasıl toplama yazmanın ve hesaplamanın daha kullanışlı bir şekliyse, üstellik de aynı sayının kendisiyle belirli sayıda çarpımının yazılmasıdır.

Ama şimdi üstel alma işleminin tersi olan kök çıkarma işlemine bakalım. 16'nın karekökü, karesi alındığında 16'yı yani 4 sayısını veren bir sayıdır. 9'un karekökü 3'tür. Ancak örneğin 5 veya 2'nin karekökü rasyonel bir sayıyla temsil edilemez. (Bu ifadenin kanıtı, irrasyonel sayıların diğer örnekleri ve bunların geçmişi örneğin Wikipedia'da bulunabilir)

9. sınıftaki GIA'da gösteriminde kök bulunan bir sayının rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduğunu belirlemeye yönelik bir görev vardır. Görev, bu sayıyı kök içermeyen bir forma dönüştürmeye çalışmaktır (köklerin özelliklerini kullanarak). Kökten kurtulamıyorsanız sayı irrasyoneldir.

İrrasyonel bir sayının başka bir örneği, geometri ve trigonometriden herkesin aşina olduğu π sayısıdır.

Tanım: Rasyonel ve irrasyonel sayılara birlikte gerçek (veya gerçek) sayılar denir. Tüm reel sayılar kümesi R harfiyle gösterilir.

Rasyonel sayıların aksine gerçek sayılarla bir doğru veya düzlem üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki mesafeyi ifade edebiliriz.
Düz bir çizgi çizip üzerinde rastgele iki nokta seçerseniz veya bir düzlemde iki rastgele nokta seçerseniz, bu noktalar arasındaki mesafenin tam olarak rasyonel sayı olarak ifade edilemeyeceği ortaya çıkabilir. (Örneğin - Pisagor teoremine göre ayakları 1 ve 1 olan bir dik üçgenin hipotenüsü ikinin köküne eşit olacaktır - yani irrasyonel bir sayı. Bu aynı zamanda bir tetrad hücresinin köşegeninin tam uzunluğunu da içerir. (kenarları tam olan herhangi bir ideal karenin köşegeninin uzunluğu).
Ve gerçek sayılar kümesinde, bir çizgi üzerindeki, bir düzlemdeki veya uzaydaki herhangi bir mesafe, karşılık gelen gerçek sayı ile ifade edilebilir.

Bütün sayılar - bunlar doğal sayılardır, bunların karşıtları ve sıfırdır.

Bütün sayılar- doğal sayılar kümesinin genişletilmesi N eklenmesiyle elde edilen N 0 ve − gibi negatif sayılar N. Tamsayılar kümesi şunu belirtir: Z.

Tamsayıların toplamı, farkı ve çarpımı yine tamsayıları verir, yani. tamsayılar toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka oluşturur.

Sayı doğrusundaki tam sayılar:

Kaç tam sayı? Kaç tam sayı? En büyük ve en küçük tam sayı yoktur. Bu serinin sonu yok. En büyük ve en küçük tam sayı mevcut değil.

Doğal sayılara da denir pozitif tamsayılar, yani "doğal sayı" ile "pozitif tam sayı" ifadesi aynı şeydir.

Ne kesirler ne de ondalık sayılar tam sayı değildir. Ancak tam sayılı kesirler de vardır.

Tam sayılara örnekler: -8, 111, 0, 1285642, -20051 ve benzeri.

Basit bir ifadeyle tamsayılar (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - bir tamsayı dizisi. Yani kesirli kısmı (()) sıfıra eşit olanlar. Hisseleri yoktur.

Doğal sayılar pozitif tam sayılardır. Bütün sayılar, örnekler: (1,2,3,4...+ ∞).

Tamsayılar üzerinde işlemler.

1. Tam sayıların toplamı.

İşaretleri aynı olan iki tam sayıyı toplamak için bu sayıların modüllerini toplayıp toplamın önüne son işareti koymanız gerekir.

Örnek:

(+2) + (+5) = +7.

2. Tam sayılarda çıkarma.

İşaretleri farklı olan iki tam sayıyı toplamak için, daha büyük olan sayının modülünü daha küçük olan sayının modülünden çıkarmanız ve cevabın önüne daha büyük olan modülo sayısının işaretini koymanız gerekir.

Örnek:

(-2) + (+5) = +3.

3. Tam sayıların çarpılması.

İki tam sayıyı çarpmak için bu sayıların modüllerini çarpmanız ve orijinal sayılar aynı işaretliyse çarpımın önüne artı (+), farklıysa eksi işaretini (-) koymanız gerekir.

Örnek:

(+2) ∙ (-3) = -6.

Birden fazla sayı çarpıldığında çarpımın işareti pozitif olmayan faktörlerin sayısı çift ise pozitif, pozitif olmayan faktörlerin sayısı tek ise negatif olacaktır.

Örnek:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 olumlu olmayan faktör).

4. Tam sayıların bölünmesi.

Tam sayıları bölmek için birinin modülünü diğerinin modülüne bölmeniz ve sayıların işaretleri aynıysa sonucun önüne “+”, farklıysa eksi işareti koymanız gerekir.

Örnek:

(-12) : (+6) = -2.

Tamsayıların özellikleri.

Z, 2 tam sayının bölümü altında kapalı değildir ( örneğin 1/2). Aşağıdaki tablo herhangi bir tamsayı için toplama ve çarpmanın bazı temel özelliklerini göstermektedir a, b Ve C.

Mülk	ek	çarpma işlemi
izolasyon	A + B- tüm	A × B- tüm
çağrışımsallık	A + (B + C) = (A + B) + C	A × ( B × C) = (A × B) × C
değişme özelliği	A + B = B + A	A × B = B × A
varoluş nötr eleman	A + 0 = A	A × 1 = A
varoluş karşıt eleman	A + (−A) = 0	A ≠ ± 1 ⇒ 1 A tamsayı değil
DAĞILMA çarpma bağıl ek	A × ( B + C) = (A × B) + (A × C)

Tablodan şu sonuca varabiliriz Z toplama ve çarpma altında birliğe sahip değişmeli bir halkadır.

Tamsayılar kümesinde standart bölme yoktur, ancak sözde vardır. kalanla bölme: tüm tamsayılar için A Ve B, b≠0, bir tam sayı kümesi var Q Ve R, Ne a = bq + r Ve 0≤r<|b| , Nerede |b|- sayının mutlak değeri (modülü) B. Burada A- bölünebilir, B- bölücü, Q- özel, R- kalan.

Negatif sayılar ilk olarak antik Çin ve Hindistan'da kullanıldı; Avrupa'da Nicolas Chuquet (1484) ve Michael Stiefel (1544) tarafından matematiksel kullanıma sunuldu.

Cebirsel özellikler

$\backslash mathbb(Z)$ iki tam sayının (örneğin 1/2) bölünmesine göre kapalı değildir. Aşağıdaki tabloda herhangi bir tamsayı için toplama ve çarpma işleminin birkaç temel özelliği gösterilmektedir A, B Ve C.

	ek	çarpma işlemi
kapalılık:	A + B- tüm	A × B- tüm
ilişkisellik:	A + (B + C) = (A + B) + C	A × ( B × C) = (A × B) × C
değişme özelliği:	A + B = B + A	A × B = B × A
Nötr bir unsurun varlığı:	A + 0 = A	A× 1 = A
karşıt unsurun varlığı:	A + (−A) = 0	A≠ ±1 ⇒ 1/ A tamsayı değil
Çarpmanın toplamaya göre dağılımı:	A × ( B + C) = (A × B) + (A × C)

|heading3= Uzantı Araçları
sayı sistemleri |heading4= Sayıların hiyerarşisi |list4=

$-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ Bütün sayılar $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ Rasyonel sayılar $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ Gerçek sayılar

$-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$

Karışık sayılar

$1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash dots$ Kuaterniyonlar $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; noktalar$ Oktonyonlar $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash dots,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash noktalar$ Sedenyonlar |heading5= Diğerleri
sayı sistemleri

|list5=Asal sayılar – Kesinlikle yatağa taşımanız gerekiyor, burada mümkün olmayacak...
Hasta doktorlar, prensesler ve hizmetçiler tarafından o kadar kuşatılmıştı ki Pierre artık o kırmızı-sarı kafayı gri yeleli görmedi, diğer yüzleri görmesine rağmen tüm hizmet boyunca bir an bile gözünü terk etmedi. Pierre, sandalyeyi çevreleyen insanların dikkatli hareketlerinden ölmekte olan adamın kaldırılıp taşındığını tahmin etti.
Hizmetçilerden birinin korku dolu fısıltısını duydu: "Elimi tut, beni böyle düşüreceksin," dedi, "aşağıdan... bir tane daha var," dedi sesler, ağır nefes almalar ve adım atmalar. sanki taşıdıkları ağırlık güçlerini aşıyormuş gibi insanların ayakları daha aceleci hale geldi.
Aralarında Anna Mihaylovna'nın da bulunduğu taşıyıcılar genç adamla aynı hizaya geldi ve bir an için insanların başlarının arkasından yüksek, şişman, açık bir göğüs, hastanın kalın omuzlarının kalkık olduğunu gördü. yukarıya doğru onu kollarının altında tutan insanlar ve gri saçlı, kıvırcık bir aslan başı var. Alışılmadık derecede geniş bir alnı ve elmacık kemikleri, güzel, şehvetli bir ağzı ve görkemli soğuk bakışları olan bu kafa, ölümün yakınlığından dolayı şekli bozulmamıştı. Pierre'in onu üç ay önce tanıdığı, Kont'un Petersburg'a gitmesine izin verdiği zamanki gibiydi. Ancak bu kafa, taşıyıcıların dengesiz basamaklarından çaresizce sallandı ve soğuk, kayıtsız bakış nerede duracağını bilmiyordu.
Yüksek yatağın etrafında birkaç dakika telaşla geçti; Hastayı taşıyanlar dağıldı. Anna Mihaylovna, Pierre'in eline dokundu ve ona "Venez" dedi. (Git.) Pierre onunla birlikte, hasta adamın şenlikli bir pozla yatırıldığı yatağa doğru yürüdü, görünüşe göre yeni yapılan kutsal törenle ilgiliydi. Başı yüksekte, yastıkların üzerinde yatıyordu. Elleri avuç içleri aşağıya bakacak şekilde yeşil ipek battaniyenin üzerine simetrik olarak yerleştirilmişti. Pierre yaklaştığında kont doğrudan ona baktı ama o, anlamını ve anlamını bir insanın anlayamayacağı bir bakışla baktı. Ya bu bakış, gözleriniz olduğu sürece bir yere bakmanız gerektiği dışında hiçbir şey söylemiyordu ya da çok fazla şey anlatıyordu. Pierre ne yapacağını bilmeden durdu ve sorgulayıcı bir şekilde lideri Anna Mihaylovna'ya baktı. Anna Mihaylovna, gözleriyle ona aceleyle bir işaret yaptı, hastanın elini işaret etti ve dudaklarıyla ona bir öpücük gönderdi. Battaniyeye kapılmamak için özenle boynunu uzatan Pierre, onun tavsiyesine uydu ve iri kemikli, etli eli öptü. Kontun yüzündeki tek bir el, tek bir kas bile titremedi. Pierre tekrar Anna Mihaylovna'ya sorgulayıcı bir şekilde baktı ve şimdi ne yapması gerektiğini sordu. Anna Mihaylovna gözleriyle ona yatağın yanında duran sandalyeyi işaret etti. Pierre itaatkar bir şekilde sandalyeye oturmaya başladı, gözleri gerekeni yapıp yapmadığını sormaya devam etti. Anna Mihaylovna onaylayarak başını salladı. Pierre, görünüşe göre beceriksiz ve şişman vücudunun bu kadar geniş bir yer kaplamasından pişmanlık duyarak ve tüm zihinsel gücünü olabildiğince küçük görünmek için kullanarak, bir Mısır heykelinin simetrik olarak naif pozisyonunu bir kez daha üstlendi. Sayıma baktı. Kont, Pierre'in dururken yüzünün olduğu yere baktı. Anna Mihaylovna, kendi pozisyonunda, baba ile oğul arasındaki görüşmenin bu son dakikasının dokunaklı öneminin farkında olduğunu gösterdi. Bu, Pierre'e bir saat gibi gelen iki dakika sürdü. Aniden kontun büyük kaslarında ve yüzündeki kırışıklıklarda bir titreme belirdi. Titreme yoğunlaştı, güzel ağız büküldü (ancak o zaman Pierre babasının ölüme ne kadar yakın olduğunu fark etti) ve çarpık ağızdan belirsiz bir boğuk ses duyuldu. Anna Mihaylovna dikkatle hastanın gözlerinin içine baktı ve neye ihtiyacı olduğunu tahmin etmeye çalışarak önce Pierre'i, sonra içkiyi, sonra sorgulayıcı bir fısıltıyla Prens Vasily'i, sonra da battaniyeyi işaret etti. Hastanın gözleri ve yüzü sabırsızlığını gösteriyordu. Yatağın başucunda durmaksızın duran hizmetçiye bakmak için çaba harcadı.
Hizmetçi, "Diğer tarafa dönmek istiyorlar," diye fısıldadı ve kontun ağır bedenini duvara doğru çevirmek için ayağa kalktı.
Pierre hizmetçiye yardım etmek için ayağa kalktı.
Sayım ters çevrilirken kollarından biri çaresizce geriye düştü ve onu sürüklemek için nafile bir çaba harcadı. Kont, Pierre'in bu cansız ele baktığı dehşet bakışını ya da o anda ölmekte olan kafasından başka hangi düşüncenin geçtiğini fark etti mi, ama itaatsiz ele, Pierre'in yüzündeki dehşet ifadesine, yine elinde ve yüzünde, kendi güçsüzlüğüyle bir tür alaycılığı ifade eden, özelliklerine uymayan zayıf, acı dolu bir gülümseme belirdi. Pierre aniden bu gülümsemeyi görünce göğsünde bir ürperti, burnunda bir sıkışma hissetti ve gözyaşları görüşünü bulanıklaştırdı. Hasta duvara doğru yan çevrildi. İçini çekti.
Prensesin onun yerine geldiğini fark eden Anna Mihaylovna, "Il est assoupi," dedi. – Alons. [Hadi gidelim.]
Pierre gitti.

Sayarken kullanılan sayılar şunlardır: 1, 2, 3... vb.

Sıfır doğal değildir.

Doğal sayılar genellikle sembolle gösterilir N.

Bütün sayılar. Pozitif ve negatif sayılar

Birbirinden yalnızca işareti farklı olan iki sayıya denir zıtörneğin +1 ve -1, +5 ve -5. "+" işareti genellikle yazılmaz ancak sayının önünde "+" olduğu varsayılır. Bu tür numaralara denir pozitif. Başında "-" işareti bulunan sayılara denir olumsuz.

Doğal sayılara, karşıtlarına ve sıfıra tam sayılar denir. Tamsayılar kümesi sembolüyle gösterilir Z.

Rasyonel sayılar

Bunlar sonlu kesirler ve sonsuz periyodik kesirler. Örneğin,

Rasyonel sayılar kümesi gösterilir Q. Tüm tamsayılar rasyoneldir.

İrrasyonel sayılar

Periyodik olmayan sonsuz bir kesire irrasyonel sayı denir. Örneğin:

İrrasyonel sayılar kümesi gösterilir J.

Gerçek sayılar

Tüm rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesine denir gerçek (gerçek) kümesi sayılar.

Gerçek sayılar sembolüyle temsil edilir R.

Sayıları yuvarlama

Sayıyı düşünün 8,759123... . En yakın tam sayıya yuvarlama, sayının yalnızca virgülden önceki kısmının yazılması anlamına gelir. Onuncuya yuvarlamak, parçanın tamamını ve virgülden sonraki bir rakamı yazmak anlamına gelir; en yakın yüzlüğe yuvarlama - virgülden sonraki iki rakam; binde bire kadar - üç basamak vb.

Bir doğal sayı dizisinin soluna 0 sayısını eklersek, şunu elde ederiz: pozitif tam sayılar dizisi:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Negatif tamsayılar

Küçük bir örneğe bakalım. Soldaki resimde 7°C sıcaklığı gösteren bir termometre gösterilmektedir. Sıcaklık 4°C düşerse termometre 3°C sıcaklık gösterecektir. Sıcaklıktaki bir azalma çıkarma işlemine karşılık gelir:

Not: Tüm dereceler C (Santigrat) harfiyle yazılır, derece işareti sayıdan bir boşlukla ayrılır. Örneğin 7°C.

Sıcaklık 7 °C düşerse termometre 0 °C'yi gösterecektir. Sıcaklıktaki bir azalma çıkarma işlemine karşılık gelir:

Sıcaklık 8 °C düşerse termometre -1 °C'yi (sıfırın 1 °C altında) gösterecektir. Ancak 7 - 8 çıkarmanın sonucu doğal sayılar ve sıfır kullanılarak yazılamaz.

Çıkarma işlemini bir dizi pozitif tamsayı kullanarak örnekleyelim:

1) 7 sayısından sola doğru 4 sayı sayın ve 3 sayısını elde edin:

2) 7 sayısından sola doğru 7 sayı sayın ve 0 elde edin:

Pozitif tamsayılar dizisinde 7 sayısından sola doğru 8 sayıyı saymak mümkün değildir. 7 - 8 arasındaki eylemleri mümkün kılmak için pozitif tam sayıların aralığını genişletiyoruz. Bunu yapmak için sıfırın soluna tüm doğal sayıları sırayla (sağdan sola) yazıyoruz ve her birine bu sayının sıfırın solunda olduğunu belirten - işaretini ekliyoruz.

-1, -2, -3, ... girişleri eksi 1, eksi 2, eksi 3 vb. şeklinde okunur:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Ortaya çıkan sayı dizisine denir tam sayılar dizisi. Bu girişte sol ve sağdaki noktalar serinin sağa ve sola doğru süresiz olarak devam ettirilebileceği anlamına gelir.

Bu satırda 0 sayısının sağında adı geçen sayılar yer alır. doğal veya pozitif tam sayılar(kısaca - pozitif).

Bu satırda 0 sayısının solunda adı geçen sayılar yer almaktadır. tamsayı negatif(kısaca - olumsuz).

0 sayısı bir tam sayıdır ancak ne pozitif ne de negatif bir sayıdır. Pozitif ve negatif sayıları ayırır.

Buradan, tam sayılar dizisi negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayılardan oluşur.

Tam Sayı Karşılaştırması

İki tam sayıyı karşılaştırın- hangisinin daha büyük, hangisinin daha küçük olduğunu bulmak veya sayıların eşit olduğunu belirlemek anlamına gelir.

Tam sayıları bir tam sayı satırını kullanarak karşılaştırabilirsiniz, çünkü satır boyunca soldan sağa doğru hareket ederseniz içindeki sayılar en küçükten en büyüğe doğru sıralanır. Bu nedenle, bir tamsayı dizisinde virgülleri küçüktür işaretiyle değiştirebilirsiniz:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Buradan, İki tam sayının seride sağındaki sayı ne kadar büyükse, solundaki sayı da o kadar küçük olur, Araç:

1) Herhangi bir pozitif sayı sıfırdan büyüktür ve herhangi bir negatif sayıdan büyüktür:

1 > 0; 15 > -16

2) Sıfırdan küçük herhangi bir negatif sayı:

7 < 0; -357 < 0

3) İki negatif sayıdan tamsayılar serisinde sağda olan daha büyüktür.