Життєві ресурси 

Довжина її середньої лінії. Середня лінія

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

  • Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

  • Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
  • Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
  • Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
  • Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

  • Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
  • У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

У цій статті ми намагатимемося наскільки можна повно відобразити властивості трапеції. Зокрема, мова піде про загальні ознакиі властивості трапеції, а також про властивості вписаної трапеції та про коло, вписане в трапецію. Торкнемося ми і властивості рівнобедреної і прямокутної трапеції.

Приклад розв'язання задачі з використанням розглянутих властивостей допоможе вам розкласти по місцях у голові та краще запам'ятати матеріал.

Трапеція і все-все-все

Для початку коротко згадаємо, що таке трапеція і які поняття з нею пов'язані.

Отже, трапеція – фігура-чотирикутник, дві із сторін якої паралельні одна одній (це підстави). І дві не паралельні – це бічні сторони.

У трапеції може бути опущена висота – перпендикуляр до основ. Проведено середню лінію та діагоналі. А також з будь-якого кута трапеції можна провести бісектрису.

Про різні властивості, пов'язані з усіма цими елементами та їх комбінаціями, ми зараз і поговоримо.

Властивості діагоналей трапеції

Щоб було зрозуміліше, поки читаєте, накидайте собі на аркуші трапецію АКМЕ і проведіть у ній діагоналі.

  1. Якщо ви знайдете середини кожної з діагоналей (позначимо ці точки Х і Т) і з'єднайте їх, вийде відрізок. Одна з властивостей діагоналей трапеції полягає в тому, що ХТ лежить на середній лінії. А його довжину можна отримавши, розділивши різницю підстав на дві: ХТ = (a – b)/2.
  2. Перед нами та сама трапеція АКМЕ. Діагоналі перетинаються в точці О. Розгляньмо трикутники АОЕ і МОК, утворені відрізками діагоналей разом з основами трапеції. Ці трикутники – подібні. Коефіцієнт подібності k трикутників виражається через відношення основ трапеції: k = АЕ/КМ.
    Відношення площ трикутників АОЕ та МОК описується коефіцієнтом k 2 .
  3. Все та ж трапеція, ті ж діагоналі, що перетинаються в точці О. Тільки цього разу ми розглядатимемо трикутники, які відрізки діагоналей утворили спільно з бічними сторонами трапеції. Площі трикутників АКО та ЕМО є рівновеликими – їхні площі однакові.
  4. Ще одна властивість трапеції включає побудову діагоналей. Так, якщо продовжити бічні сторони АК і МЕ в напрямку меншої основи, то рано чи пізно вони перетнуться до певної точки. Далі, через середини основ трапеції проведемо пряму. Вона перетинає основи у точках Х і Т.
    Якщо ми тепер продовжимо пряму ХТ, вона разом з'єднає точку перетину діагоналей трапеції О, точку, у якій перетинаються продовження бічних сторін і середини підстав Х і Т.
  5. Через точку перетину діагоналей проведемо відрізок, який з'єднає основи трапеції (Т лежить на меншій підставі КМ, Х – на більшому АЕ). Точка перетину діагоналей ділить цей відрізок у наступному співвідношенні: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
  6. А тепер через точку перетину діагоналей проведемо паралельний основам трапеції (a та b) відрізок. Точка перетину розділить його на дві рівні частини. Знайти довжину відрізка можна за формулою 2ab/(a + b).

Властивості середньої лінії трапеції

Середню лінію проведіть у трапеції паралельно до її підстав.

  1. Довжину середньої лінії трапеції можна обчислити, якщо скласти довжини основ і розділити їх навпіл: m = (a + b)/2.
  2. Якщо провести через обидві підстави трапецію будь-який відрізок (висота, наприклад), середня лінія розділить його на дві рівні частини.

Властивість бісектриси трапеції

Виберіть будь-який кут трапеції та проведіть бісектрису. Візьмемо, наприклад, кут КАЄ нашої трапеції АКМЕ. Виконавши побудову самостійно, ви легко переконаєтеся - бісектриса відсікається від основи (або його продовження на прямій за межами самої фігури) відрізок такої ж довжини, що й бічна сторона.

Властивості кутів трапеції

  1. Яку б із двох пар прилеглих до бічної сторони кутів ви не вибрали, сума кутів у парі завжди становить 180 0: α + β = 180 0 і γ + δ = 180 0 .
  2. З'єднаємо середини основ трапеції відрізком ТХ. Тепер подивимося на кути при основах трапеції. Якщо сума кутів при будь-якому з них становить 90 0 довжину відрізка ТХ легко обчислити виходячи з різниці довжин підстав, розділеної навпіл: ТХ = (АЕ - КМ) / 2.
  3. Якщо через сторони кута трапеції провести паралельні прямі, розділять сторони кута на пропорційні відрізки.

Властивості рівнобедреної (рівнобічної) трапеції

  1. У рівнобедреній трапеції рівні кути при будь-якій підставі.
  2. Тепер знову збудуйте трапецію, щоб простіше було уявити, про що йдеться. Подивіться уважно на основу АЕ – вершина протилежної основи М проектується на якусь точку на прямій, яка містить АЕ. Відстань від вершини А до точки проекції вершини М та середня лінія рівнобедреної трапеції – рівні.
  3. Кілька слів про властивість діагоналей рівнобедреної трапеції – їх довжини рівні. А також однакові кути нахилу цих діагоналей до основи трапеції.
  4. Тільки біля рівнобедреної трапеції можна описати коло, оскільки сума протилежних кутів чотирикутника 180 0 – обов'язкова умовадля цього.
  5. З попереднього пункту випливає властивість рівнобедреної трапеції – якщо біля трапеції можна описати коло, вона є рівнобедреною.
  6. З особливостей рівнобедреної трапеції випливає властивість висоти трапеції: якщо її діагоналі перетинаються під прямим кутом, то довжина висоти дорівнює половині суми основ: h = (a + b)/2.
  7. Знову проведіть відрізок ТХ через середини основ трапеції – у рівнобедреній трапеції він є перпендикуляром до основ. І водночас ТХ – вісь симетрії рівнобедреної трапеції.
  8. Цього разу опустіть на більшу основу (позначимо його a) висоту з протилежної вершини трапеції. Вийде два відрізки. Довжину одного можна знайти, якщо довжини підстав скласти та розділити навпіл: (a + b)/2. Другий отримаємо, коли з більшої основи віднімемо менше і отриману різницю розділимо на два: (a – b)/2.

Властивості трапеції, вписаної в коло

Раз вже мова зайшла про вписану в коло трапецію, зупинимося на цьому питанні докладніше. Зокрема на тому, де знаходиться центр кола по відношенню до трапеції. Тут теж рекомендується не полінуватися взяти олівець до рук і накреслити те, про що йтиметься нижче. Так і зрозумієте швидше і запам'ятайте краще.

  1. Розташування центру кола визначається кутом нахилу діагоналі трапеції до його боці. Наприклад, діагональ може виходити з вершини трапеції під прямим кутом до бокової сторони. У такому разі більша основа перетинає центр описаного кола точно посередині (R = ½АЕ).
  2. Діагональ та бічна сторона можуть зустрічатися і під гострим кутом– тоді центр кола виявляється усередині трапеції.
  3. Центр описаного кола може виявитися поза межами трапеції, за її основою, якщо між діагоналлю трапеції і бічною стороною – тупий кут.
  4. Кут, утворений діагоналлю і великою основою трапеції АКМЕ (вписаний кут) становить половину центрального кута, який йому відповідає: ТРАВНЕ = ½МОЄ.
  5. Коротко про два способи визначити радіус описаного кола. Спосіб перший: уважно подивіться на своє креслення – що ви бачите? Ви легко помітите, що діагональ розбиває трапецію на два трикутники. Радіус можна знайти через відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута, помноженого на два. Наприклад, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогічно формулу можна розписати для будь-якої зі сторін обох трикутників.
  6. Спосіб другий: знаходимо радіус описаного кола через площу трикутника, утвореного діагоналлю, бічною стороною та основою трапеції: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ.

Властивості трапеції, описаної біля кола

Вписати коло в трапецію можна, якщо дотримується одна умова. Детальніше про нього нижче. І разом ця комбінація фігур має низку цікавих властивостей.

  1. Якщо в трапецію вписано коло, довжину її середньої лінії можна легко знайти, склавши довжини бічних сторін і розділивши отриману суму навпіл: m = (c + d)/2.
  2. У трапеції АКМЕ, описаної біля кола, сума довжин основ дорівнює сумі довжин бічних сторін: АК + МЕ = КМ + АЕ.
  3. З цієї властивості основ трапеції випливає зворотне твердження: коло можна вписати в ту трапецію, сума основ якої дорівнює сумі бічних сторін.
  4. Точка торкання кола з радіусом r, вписаної в трапецію, розбиває бічну сторону на два відрізки, назвемо їх a та b. Радіус кола можна обчислити за такою формулою: r = √ab.
  5. І ще одна властивість. Щоб не заплутатися, цей приклад також накресліть самі. У нас є стара-добра трапеція АКМЕ, описана біля кола. У ній проведені діагоналі, що перетинаються у точці О. Утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трикутники АОК та ЕОМ – прямокутні.
    Висоти цих трикутників, опущені на гіпотенузи (тобто бічні сторони трапеції), збігаються з радіусами вписаного кола. А висота трапеції – збігається з діаметром вписаного кола.

Властивості прямокутної трапеції

Прямокутною називають трапецію, один із кутів якої є прямим. І її властивості випливають із цієї обставини.

  1. У прямокутної трапеції одна з бічних сторін перпендикулярна до основ.
  2. Висота та бічна сторона трапеції, що прилягає до прямому куту, рівні. Це дозволяє обчислювати площу прямокутної трапеції ( загальна формула S = (a + b) * h/2) не тільки через висоту, а й через бічну сторону, що прилягає до прямого кута.
  3. Для прямокутної трапеції актуальні описані вище загальні властивості діагоналей трапеції.

Докази деяких властивостей трапеції

Рівність кутів на підставі рівнобедреної трапеції:

  • Ви вже напевно і самі здогадалися, що тут нам знову знадобиться трапеція АКМЕ – накресліть рівнобедрену трапецію. Проведіть із вершини М пряму МТ, паралельну бічній стороні АК (МТ || АК).

Отриманий чотирикутник АКМТ - паралелограм (АК | | МТ, КМ | | АТ). Оскільки МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – рівнобедрений та МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, отже МТЕ = КАЄ, МЕТ = МТЕ = КАЄ.

Звідки АКМ = 180 0 - МЕТ = 180 0 - КАЄ = КМЕ.

Що й потрібно було довести.

Тепер на підставі властивості рівнобедреної трапеції (рівності діагоналей) доведемо, що трапеція АКМЕ є рівнобедреною:

  • Спочатку проведемо пряму МХ – МХ || КЕ. Отримаємо паралелограм КМХЕ (підстава – МХ || КЕ та КМ || ЕХ).

∆АМХ - рівнобедрений, оскільки АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, тому МАЄ = МХЕ.

У нас вийшло, що трикутники АКЕ та ЕМА рівні між собою, тому що АМ = КЕ та АЕ – спільна сторонадвох трикутників. А також ТРАВНІ = МХЕ. Можемо дійти невтішного висновку, що АК = МЕ, а звідси випливає і що трапеція АКМЕ – равнобедренная.

Завдання для повторення

Підстави трапеції АКМЕ дорівнюють 9 см і 21 см, бічна сторона КА, що дорівнює 8 см, утворює кут 150 0 з меншою основою. Потрібно знайти площу трапеції.

Рішення: З вершини До опустимо висоту до більшої основи трапеції. І почнемо розглядати кути трапеції.

Кути АЕМ та КАН є односторонніми. А це означає, що в сумі вони дають 180 0 . Тому КАН = 300 (на підставі властивості кутів трапеції).

Розглянемо тепер прямокутний ∆АНК (вважаю, цей момент очевидний читачам без додаткових доказів). З нього знайдемо висоту трапеції КН – у трикутнику вона є катетом, що лежить навпроти кута 30 0 . Тому КН = ½АВ = 4 см.

Площу трапеції знаходимо за формулою: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Післямова

Якщо ви уважно і вдумливо вивчили цю статтю, не полінувалися з олівцем у руках накреслити трапеції для всіх наведених властивостей і розібрати їх на практиці, матеріал повинен був непогано засвоїтися.

Звичайно, інформації тут багато, різноманітної і навіть навіть заплутаної: не так вже й складно переплутати властивості описаної трапеції з властивостями вписаної. Але ви самі переконалися, що різниця величезна.

Тепер у вас є докладний конспект усіх загальних властивостей трапеції. А також специфічних властивостей та ознак трапецій рівнобедреної та прямокутної. Їм дуже зручно користуватися, щоб готуватися до контрольних та іспитів. Спробуйте самі та поділіться посиланням з друзями!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Клас: 8

Цілі уроку:

1) познайомити учнів із поняттям середньої лінії трапеції, розглянути її властивості та довести їх;

2) навчити будувати середню лініютрапеції;

3) розвивати вміння учнів використовувати визначення середньої лінії трапеції та властивості середньої лінії трапеції під час вирішення завдань;

4) продовжувати формувати в учнів вміння говорити грамотно, використовуючи необхідні математичні терміни; доводити свою думку;

5) розвивати логічне мислення, пам'ять, увага.

Хід уроку

1. Перевірка домашнього завдання відбувається протягом уроку. Домашнє завдання було усним, згадати:

а) визначення трапеції; види трапецій;

б) визначення середньої лінії трикутника;

в) властивість середньої лінії трикутника;

г) ознака середньої лінії трикутника.

2. Вивчення нового матеріалу.

а) На дошці зображено трапецію ABCD.

б) Вчитель пропонує згадати визначення трапеції. На кожній парті є схема-підказка, яка допомагає згадати основні поняття теми “Трапеція” (див. Додаток 1). Додаток 1 видається кожну парту.

Учні зображують трапецію ABCD у зошиті.

в) Вчитель пропонує згадати, як і темі зустрічалося поняття середньої лінії (“Середня лінія трикутника”). Учні згадують визначення середньої лінії трикутника та її властивість.

д) Записують визначення середньої лінії трапеції, зображуючи їх у зошити.

Середньою лінієютрапеції називається відрізок, що з'єднує середини її бокових сторін.

Властивість середньої лінії трапеції цьому етапі залишається не доведеним, тому наступний етап уроку передбачає роботу над доказом якості середньої лінії трапеції.

Теорема. Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює їх напівсумі.

Дано: ABCD - трапеція,

MN – середня лінія ABCD

Довести, що:

1. BC || MN | AD.

2. MN = (AD + BC).

Можна виписати деякі наслідки, що випливають із умови теореми:

AM=MB, CN=ND, BC || AD.

На підставі перелічених властивостей довести необхідне неможливо. Система питань та вправ має підвести учнів до бажання пов'язати середню лінію трапеції із середньою лінією якогось трикутника, властивості якої вони знають. Якщо пропозицій не буде, то можна поставити запитання: як побудувати трикутник, для якого відрізок MN був би середньою лінією?

Запишемо додаткову побудову для одного з випадків.

Проведемо пряму BN, яка перетинає продовження сторони AD у точці K.

З'являються додаткові елементи – трикутники: ABD, BNM, DNK, BCN. Якщо доведемо, що BN = NK, це означатиме, що MN – середня лінія ABD, а далі можна буде скористатися властивістю середньої лінії трикутника і довести необхідне.

Доведення:

1. Розглянемо BNC і DNK, у яких:

а) CNB = DNK (властивість вертикальних кутів);

б) BCN = NDK (властивість внутрішніх навхрест лежачих кутів);

в) CN = ND (за наслідком з умови теореми).

Значить BNC = DNK (на стороні та двох прилеглих до неї кутах).

Що й потрібно було довести.

Доказ можна провести на уроці усно, а вдома відновити та записати у зошиті (на розсуд вчителя).

Необхідно сказати і про інші можливі способи доказу цієї теореми:

1. Провести одну з діагоналей трапеції та використовувати ознаку та властивість середньої лінії трикутника.

2. Провести CF || BA і розглянути паралелограм ABCF та DCF.

3. Провести EF || BA і розглянути рівність FND та ENC.

ж) На цьому етапі задається домашнє завдання: п. 84, підручник за ред. Атанасяна Л.С. (Доказ властивості середньої лінії трапеції векторним способом), записати в зошит.

з) Розв'язуємо задачі на використання визначення та властивості середньої лінії трапеції за готовими кресленнями (див. Додаток 2). Додаток 2 видається кожному учню, і розв'язання завдань оформляється на цьому ж аркуші в короткій формі.

  1. Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює половині різниці підстав
  2. Трикутники, утворені основами трапеції та відрізками діагоналей до точки їх перетину - подібні
  3. Трикутники, утворені відрізками діагоналей трапеції, сторони яких лежать на бічних сторонах трапеції – рівновеликі (мають однакову площу)
  4. Якщо продовжити бічні сторони трапеції у бік меншої основи, то вони перетнуться в одній точці з прямої, що з'єднує середини основ
  5. Відрізок, що з'єднує основи трапеції, і проходить через точку перетину діагоналей трапеції, ділиться цією точкою в пропорції, що дорівнює співвідношенню довжин основ трапеції
  6. Відрізок, паралельний основам трапеції, і проведений через точку перетину діагоналей, ділиться цією точкою навпіл, а його довжина дорівнює 2ab/(a + b), де a і b - основи трапеції

Властивості відрізка, що з'єднує середини діагоналей трапеції

З'єднаємо середини діагоналей трапеції ABCD, у результаті з'явиться відрізок LM.
Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, лежить на середній лінії трапеції.

Даний відрізок паралельний основам трапеції.

Довжина відрізка, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює напіврізниці її основ.

LM = (AD – BC)/2
або
LM = (a-b)/2

Властивості трикутників, утворених діагоналями трапеції


Трикутники, які утворені основами трапеції та точкою перетину діагоналей трапеції - є подібними.
Трикутники BOC та AOD є подібними. Оскільки кути BOC та AOD є вертикальними – вони рівні.
Кути OCB і OAD є внутрішніми навхрест лежачими при паралельних прямих AD і BC (підстави трапеції паралельні між собою) і прямій AC, отже, вони рівні.
Кути OBC і ODA рівні з тієї ж причини (внутрішні навхрест лежать).

Оскільки всі три кути одного трикутника дорівнюють відповідним кутам іншого трикутника, то ці трикутники подібні.

Що з цього випливає?

Для вирішення задач з геометрії подібність трикутників використовується так. Якщо нам відомі значення довжин двох відповідних елементів подібних трикутників, то знаходимо коефіцієнт подоби (ділимо одне інше). Звідки довжини всіх інших елементів співвідносяться між собою таким самим значенням.

Властивості трикутників, що лежать на бічній стороні та діагоналях трапеції


Розглянемо два трикутники, що лежать на бічних сторонах трапеції AB та CD. Це – трикутники AOB та COD. Незважаючи на те, що розміри окремих сторін у цих трикутників можуть бути різними, але площі трикутників, утворених бічними сторонами та точкою перетину діагоналей трапеції рівнітобто трикутники є рівновеликими.


Якщо продовжити сторони трапеції у бік меншої основи, то точка перетину сторін буде збігатися з прямою лінією, яка проходить через середини основ.

Таким чином, будь-яка трапеція може бути добудована до трикутника. При цьому:

  • Трикутники, утворені основами трапеції із загальною вершиною в точці перетину продовжених бічних сторін, є подібними.
  • Пряма, що з'єднує середини основ трапеції, є одночасно медіаною побудованого трикутника

Властивості відрізка, що з'єднує основи трапеції


Якщо провести відрізок, кінці якого лежать на підставах трапеції, що лежить на точці перетину діагоналей трапеції (KN), то співвідношення складових його відрізків від сторони основи до точки перетину діагоналей (KO/ON) буде дорівнює співвідношенню основ трапеції(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Ця властивість випливає з відповідності відповідних трикутників (див. вище).

Властивості відрізка, паралельного основам трапеції


Якщо провести відрізок, паралельний основам трапеції і проходить через точку перетину діагоналей трапеції, то він матиме наступні властивості:

  • Заданий відрізок (KM) ділиться точкою перетину діагоналей трапеції навпіл
  • Довжина відрізка, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції та паралельного підстав, дорівнює KM = 2ab/(a + b)

Формули для знаходження діагоналей трапеції


a, b- основи трапеції

c, d- бічні сторони трапеції

d1 d2- діагоналі трапеції

α β - кути при більшій основі трапеції

Формули знаходження діагоналей трапеції через основи, бічні сторони та кути при основі

Перша група формул (1-3) відображає одну з основних властивостей діагоналей трапеції:

1. Сума квадратів діагоналей трапеції дорівнює сумі квадратів бічних сторін плюс подвоєний добуток її підстав. Ця властивість діагоналей трапеції може бути доведена як окрема теорема

2 . Ця формулаотримано шляхом перетворення попередньої формули. Квадрат другої діагоналі перекинутий через знак рівності, після чого з лівої та правої частини виразу витягнуто квадратний корінь.

3 . Ця формула знаходження довжини діагоналі трапеції аналогічна попередньої, з тією різницею, що в лівій частині виразу залишена інша діагональ

Наступна група формул (4-5) аналогічна за змістом та виражає аналогічне співвідношення.

Група формул (6-7) дозволяє знайти діагональ трапеції, якщо відома більша основа трапеції, одна бічна сторона та кут при підставі.

Формули знаходження діагоналей трапеції через висоту

Примітка. У цьому уроці наведено розв'язання задач з геометрії про трапеції. Якщо Ви не знайшли розв'язання задачі з геометрії, що Вас цікавить - задайте питання на форумі.

Завдання.
Діагоналі трапеції ABCD (AD | | ВС) перетинаються в точці О. Знайдіть довжину основи ВС трапеції, якщо основа АD = 24 см, довжина АВ = 9см, довжина ОС = 6 см.

Рішення.
Розв'язання цього завдання з ідеології абсолютно ідентичне попереднім завданням.

Трикутники AOD і BOC є подібними за трьома кутами - AOD і BOC є вертикальними, а інші кути попарно рівні, оскільки утворені перетином однієї прямої і двох паралельних прямих.

Оскільки трикутники подібні, всі їх геометричні розміри ставляться між собою, як геометричні розміри відомих нам за умовою завдання відрізків AO і OC. Тобто

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Відповідь: 16 см

Завдання.
У трапеції ABCD відомо, що AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Знайдіть площу трапеції.

Рішення .
Для знаходження висоти трапеції з вершин меншої основи B і C опустимо на більшу основу дві висоти. Оскільки трапеція нерівнобока - позначимо довжину AM = a, довжину KD = b ( не плутати з позначеннями у формулізнаходження площі трапеції). Оскільки основи трапеції паралельні, а ми опускали дві висоти, перпендикулярні більшій основі, то MBCK - прямокутник.

Значить
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Трикутники DBM і ACK - прямокутні, тому їх прямі кути утворені висотами трапеції. Позначимо висоту трапеції через h. Тоді за теоремою Піфагора

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
і
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Врахуємо, що a = 16 - b тоді в першому рівнянні
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Підставимо значення квадрата висоти у друге рівняння, отримане за Теоремою Піфагора. Отримаємо:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким чином, KD = 12
Звідки
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Знайдемо площу трапеції через її висоту та напівсуму підстав
, де a b - основи трапеції, h - висота трапеції
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 см 2

Відповідь: площа трапеції дорівнює 80 см 2 .

Середня лініяфігур у планіметрії - відрізок, що з'єднує середини двох сторін цієї фігури. Поняття використовується для наступних форм: трикутник, чотирикутник, трапеція.

Енциклопедичний YouTube

    1 / 3

    ✪ 8 клас, 25 урок, Середня лінія трикутника

    ✪ геометрія СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ ТРИКУТНИКА Атанасян 8 клас

    ✪ Середня лінія трикутника | Геометрія 7-9 клас #62 | Інфоурок

    Субтитри

Середня лінія трикутника

Властивості

  • середня лінія трикутника паралельна до основи і дорівнює його половині.
  • при перетині всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівних трикутника, Подібних (навіть гомотетичних) вихідному з коефіцієнтом 1/2.
  • середня лінія відсікає трикутник, який подібний до цього, а його площа дорівнює одній четвертій площі вихідного трикутника.
  • Три середні лінії трикутника розбиває його на 4 рівних (однакових) трикутника, подібних до вихідного трикутника. Усі 4 такі однакові трикутники називають серединними трикутниками. Центральний із цих 4 однакових трикутників називається додатковим трикутником .

Ознаки

  • якщо відрізок паралельний одній зі сторін трикутника і з'єднує середину однієї сторони трикутника з точкою, що лежить з іншого боку трикутника, це середня лінія.

Середня лінія чотирикутника

Середня лінія чотирикутника- Відрізок, що з'єднує середини протилежних сторін чотирикутника.

Властивості

Перша лінія з'єднує дві протилежні сторони. Друга з'єднує 2 інші протилежні сторони. Третя з'єднує центри двох діагоналей (не у всіх чотирикутниках діагоналі пунктом перетину діляться навпіл).

  • Якщо у опуклому чотирикутнику середня лінія утворює рівні кутиз діагоналями чотирикутника, то діагоналі рівні.
  • Довжина середньої лінії чотирикутника менша за півсуму двох інших сторін або дорівнює їй, якщо ці сторони паралельні, і тільки в цьому випадку.
  • Середини сторін довільного чотирикутника – вершини паралелограма. Його площа дорівнює половині площі чотирикутника, яке центр лежить на точці перетину середніх ліній. Цей паралелограм називається паралелограмом Варіньйона;
  • Останній пункт означає наступне: У опуклому чотирикутнику можна провести чотири середні лінії другого роду. Середні лінії другого роду- чотири відрізки всередині чотирикутника, що проходять через середини його суміжних сторінпаралельно діагоналям. Чотири середні лінії другого родуопуклого чотирикутника розрізають його на чотири трикутники та один центральний чотирикутник. Цей центральний чотирикутник є паралелограмом Варіньйона.
  • Точка перетину середніх ліній чотирикутника є їхньою загальною серединою і ділить навпіл відрізок, що з'єднує середини діагоналей. Крім того, вона є