Як розкладається різниця кубів. Куб різниці та різниця кубів: правила застосування формул скороченого множення

Формули або правила скороченого множення використовуються в арифметиці, а точніше - в алгебрі, для швидшого процесу обчислення великих алгебраїчних виразів. Самі формули отримані з існуючих в алгебрі правил для множення кількох многочленов.

Використання даних формул забезпечує досить оперативне розв'язання різних математичних завдань, а також допомагає здійснювати спрощення виразів. Правила алгебраїчних перетворень дозволяють виконувати деякі маніпуляції з виразами, дотримуючись яких можна отримати в лівій частині рівності вираз, що стоїть у правій частині, або перетворити праву частину рівності (щоб отримати вираз, що стоїть у лівій частині після знаку рівності).

Зручно знати формули, що застосовуються для скороченого множення, на згадку, тому що вони нерідко використовуються під час вирішення завдань та рівнянь. Нижче перераховані основні формули, що входять до цього списку, та їх найменування.

Квадрат суми

Щоб обчислити квадрат суми, необхідно знайти суму, що складається з квадрата першого доданку, подвоєного добутку першого доданку на друге та квадрата другого. У вигляді виразу це правило записується так: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат різниці

Щоб обчислити квадрат різниці, необхідно обчислити суму, що складається з квадрата першого числа, подвоєного добутку першого числа на друге (взяте з протилежним знаком) та квадрат другого числа. У вигляді виразу дане правило виглядає так: (а - с) ² = а ² - 2ас + с ².

Різниця квадратів

Формула різниці двох чисел, зведених у квадрат, дорівнює добутку суми цих чисел на їх різницю. У вигляді виразу це правило виглядає наступним чином: a² - с² = (a + с) · (a - с).

Куб суми

Щоб обчислити куб суми двох доданків, необхідно обчислити суму, що складається з куба першого доданку, потрійного твору квадрата першого доданку та другого, потрійного добутку першого доданку та другого у квадраті, а також куба другого доданку. У вигляді виразу дане правило виглядає наступним чином: (а + с) ³ = ? + 3а?с + 3ас? + с?.

Сума кубів

Відповідно до формули, дорівнює добутку суми даних доданків з їхньої неповний квадрат різниці. У вигляді виразу дане правило виглядає наступним чином: а + с = (а + с) · (а - ас + с?).

приклад.Необхідно обчислити обсяг фігури, яка утворена додаванням двох кубів. Відомі лише величини їхніх сторін.

Якщо значення сторін невеликі, виконати обчислення просто.

Якщо ж довжини сторін виражаються у громіздких числах, то цьому випадку простіше застосувати формулу "Сума кубів", яка значно спростить обчислення.

Куб різниці

Вираз для кубічної різниці звучить так: як сума третього ступеня першого члена, потрійного негативного добутку квадрата першого члена на другий, потрійного добутку першого члена на квадрат другого та від'ємного куба другого члена. У вигляді математичного вираження куб різниці виглядає наступним чином: (а - с) ³ = а - 3а + + 3ас - с.

Різниця кубів

Формула різниці кубів відрізняється від суми кубів лише одним знаком. Таким чином, різниця кубів - формула, що дорівнює добутку різниці даних чисел на їх неповний квадрат суми. У вигляді різниця кубів виглядає так: а 3 - з 3 = (а - с) (а 2 + ас + с 2).

приклад.Необхідно обчислити об'єм фігури, яка залишиться після вирахування з об'єму синього куба об'ємної фігури жовтого кольору, яка також є кубом. Відома лише величина сторони маленького та великого куба.

Якщо значення сторін невеликі, обчислення досить прості. А якщо довжини сторін виражаються у значних числах, то варто застосувати формулу, під назвою "Різниця кубів" (або "Куб різниці"), яка значно спростить обчислення.

Різниця квадратів

Виведемо формулу різниці квадратів $a^2-b^2$.

Для цього згадаємо таке правило:

Якщо до вислову додати будь-який одночлен і відняти такий самий одночлен, ми отримаємо правильну тотожність.

Додамо до нашого виразу і віднімемо з нього одночлен $ab$:

Отже, отримаємо:

Тобто різниця квадратів двох одночленів дорівнює добутку їх різниці на їх суму.

Приклад 1

Подати у вигляді твору $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

Сума кубів

Виведемо формулу суми кубів $a^3+b^3$.

Винесемо за дужки спільні множники:

Винесемо за дужки $\left(a+b\right)$:

Отже, отримаємо:

Тобто сума кубів двох одночленів дорівнює добутку їх суми на неповний квадрат їх різниці.

Приклад 2

Подати у вигляді твору $(8x)^3+y^3$

Даний вираз можна переписати в такому вигляді:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Використовуючи формулу різниці квадратів, отримаємо:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

Різниця кубів

Виведемо формулу різницю кубів $a^3-b^3$.

Для цього будемо користуватися тим самим правилом, що й вище.

Додамо до нашого виразу і віднімемо з нього одночлени $a^2b\ і (ab)^2$:

Винесемо за дужки спільні множники:

Винесемо за дужки $\left(a-b\right)$:

Отже, отримаємо:

Тобто різниця кубів двох одночленів дорівнює добутку їх різниці на неповний квадрат їх суми.

Приклад 3

Подати у вигляді твору $(8x)^3-y^3$

Даний вираз можна переписати в такому вигляді:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Використовуючи формулу різниці квадратів, отримаємо:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Приклад завдань використання формул різниці квадратів і суми і різниці кубів

Приклад 4

Розкласти на множники.

а) $((a+5))^2-9$

в) $-x^3+\frac(1)(27)$

Рішення:

а) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Застосовуючи формулу різниці квадратів, отримаємо:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Запишемо цей вираз у вигляді:

Застосуємо формулу куми кубів:

в) $-x^3+\frac(1)(27)$

Запишемо цей вираз у вигляді:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Застосуємо формулу куми кубів:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]

У попередніх уроках ми розглянули два способи розкладання багаточлена на множники: винесення загального множника за дужки та спосіб угруповання.

У цьому уроці ми розглянемо ще один спосіб розкладання багаточлену на множники із застосуванням формул скороченого множення.

Рекомендуємо кожну формулу прописати щонайменше 12 разів. Для кращого запам'ятовування випишіть усі формули скороченого множення собі на невелику шпаргалку.

Згадаймо, як виглядає формула різниці кубів.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Формула різниці кубів не дуже проста для запам'ятовування, тому рекомендуємо використовувати спеціальний спосіб її запам'ятовування.

Важливо розуміти, що будь-яка формула скороченого множення діє і в зворотний бік .

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Розглянемо приклад. Необхідно розкласти на множники різницю кубів.

Звернімо увагу, що «27а 3» - це «(3а) 3 », отже, для формули різниці кубів замість «a» ми використовуємо «3a».

Використовуємо формулу різниці кубів. На місці «a3» у нас стоїть «27a3», а на місці «b3», як і у формулі, стоїть «b3».

Застосування різниці кубів у зворотний бік

Розглянемо інший приклад. Потрібно перетворити добуток багаточленів у різницю кубів, використовуючи формулу скороченого множення.

Зверніть увагу, що добуток багаточленів «(x − 1)(x 2 + x + 1)» нагадує праву частину формули різниці кубів «», тільки замість «a» стоїть «x», а на місці «b» стоїть «1» .

Використовуємо для «(x − 1)(x 2 + x + 1)» формулу різниці кубів у зворотний бік.

Розглянемо приклад важче. Потрібно спростити твір багаточленів.

Якщо порівняти «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » з правою частиною формули різниці кубів
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)», то можна зрозуміти, що на місці «a» з першої дужки стоїть «y 2», а на місці «b» стоїть «1».

Формули скороченого множення.

Вивчення формул скороченого множення: квадрата суми та квадрата різниці двох виразів; різниці квадратів двох виразів; куба суми та куба різниці двох виразів; суми та різниці кубів двох виразів.

Застосування формул скороченого множення під час вирішення прикладів.

Для спрощення виразів, розкладання багаточленів на множники, приведення багаточленів до стандартного виглядувикористовуються формули скороченого множення. Формули скороченого множення потрібно знати напам'ять.

Нехай а, b R. Тоді:

1. Квадрат суми двох виразів дорівнюєквадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат різниці двох виразів дорівнюєквадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Різниця квадратівдвох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їх суми.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб сумидвох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб різницідвох виразів дорівнює кубу першого виразу мінус потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Сума кубівдвох виразів дорівнює добутку суми першого та другого виразу на неповний квадрат різниці цих виразів.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Різниця кубівдвох виразів дорівнює добутку різниці першого та другого виразу на неповний квадрат суми цих виразів.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Застосування формул скороченого множення під час вирішення прикладів.

приклад 1.

Обчислити

а) Використовуючи формулу квадрата суми двох виразів, маємо

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Використовуючи формулу квадрата різниці двох виразів, отримаємо

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

приклад 2.

Обчислити

Використовуючи формулу різниці квадратів двох виразів, отримаємо

приклад 3.

Спростити вираз

(х - у) 2 + (х + у) 2

Скористаємося формулами квадрата суми та квадрата різниці двох виразів

(х - у) 2 + (х + у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формули скороченого множення в одній таблиці:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Формули скороченого множення (ФСУ) застосовуються для зведення у ступінь та множення чисел та виразів. Часто ці формули дозволяють зробити обчислення більш компактно і швидко.

У цій статті ми перерахуємо основні формули скороченого множення, згрупуємо їх у таблицю, розглянемо приклади використання цих формул, а також зупинимося на засадах доказів формул скороченого множення.

Вперше тема ФСУ розглядається у рамках курсу "Алгебра" за 7 клас. Наведемо нижче 7 основних формул.

Формули скороченого множення

формула квадрата суми: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
формула квадрата різниці: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
формула куба суми: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
формула куба різниці: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
формула різниці квадратів: a 2 - b 2 = a - b a + b
формула суми кубів: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
формула різниці кубів: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Літерами a, b, c у цих виразах можуть бути будь-які числа, змінні або вирази. Для зручності використання краще вивчити сім основних формул напам'ять. Зведемо в таблицю і наведемо нижче, обвівши рамкою.

Перші чотири формули дозволяють обчислювати відповідно квадрат або куб суми або різниці двох виразів.

П'ята формула обчислює різницю квадратів виразів шляхом добутку їх суми та різниці.

Шоста і сьома формули - відповідно множення суми та різниці виразів на неповний квадрат різниці та неповний квадрат суми.

Формула скороченого множення іноді ще називають тотожністю скороченого множення. У цьому немає нічого дивного, тому що кожна рівність є тотожністю.

При вирішенні практичних прикладів часто використовують формули скороченого множення з переставленими місцями лівими та правими частинами. Це особливо зручно, коли має місце розкладання многочлена на множники.

Додаткові формули скороченого множення

Не обмежуватимемося курсом 7 класу з алгебри і додамо до нашої таблиці ФСУ ще кілька формул.

По-перше, розглянемо формулу бінома Ньютона.

a + b n = C n 0 · an + C n 1 · an - 1 · b + C n 2 · an - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Тут C n k – біноміальні коефіцієнти, які стоять у рядку під номером n у трикутнику паскаля. Біноміальні коефіцієнти обчислюються за такою формулою:

C n k = n! k! · (N - k)! = n (n – 1) (n – 2) . . (n - (k - 1)) k!

Як бачимо, ФСУ для квадрата і куба різниці та суми - це окремий випадок формули бінома Ньютона при n=2 і n=3відповідно.

Але що, якщо доданків у сумі, яку потрібно звести у ступінь, більше ніж два? Корисною буде формула квадрата суми трьох, чотирьох і більше доданків.

a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Ще одна формула, яка може стати в нагоді - формула формула різниці n-их ступенів двох доданків.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Цю формулу зазвичай поділяють на дві формули - відповідно для парних та непарних ступенів.

Для парних показників 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Для непарних показників 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Формули різниці квадратів і різниці кубів, як ви здогадалися, є окремими випадками цієї формули при n = 2 і n = 3 відповідно. Для різниці кубів b також замінюється на - b.

Як читати формули скороченого множення?

Дамо відповідні формулювання кожної формули, але спочатку розберемося з принципом читання формул. Найзручніше робити це на прикладі. Візьмемо найпершу формулу квадрата суми двох чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Кажуть: квадрат суми двох виразів a та b дорівнює суміквадрата першого виразу, подвоєного твору виразів та квадрата другого виразу.

Решта всіх формул читаються аналогічно. Для квадрата різниці a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 запишемо:

квадрат різниці двох виразів a і b дорівнює сумі квадратів цих виразів мінус подвоєний добуток першого і другого виразу.

Прочитаємо формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суми двох виразів a і b дорівнює сумі кубів цих виразів, потрійного добутку квадрата першого виразу на друге та потроєного добутку квадрата другого виразу на перший вираз.

Переходимо до читання формули для різниці кубів a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 . Куб різниці двох виразів a і b дорівнює кубу першого виразу мінус потрійний добуток квадрата першого виразу на друге, плюс потрійний добуток квадрата другого виразу на перше вираз, мінус куб другого виразу.

П'ята формула a 2 - b 2 = a - b a + b (різниця квадратів) читається так: різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці та суми двох виразів.

Вирази типу a 2 + a b + b 2 та a 2 - a b + b 2 для зручності називають відповідно неповним квадратом суми та неповним квадратом різниці.

З урахуванням цього, формули суми та різниці кубів прочитаються так:

Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів на неповний квадрат їхньої різниці.

Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів на неповний квадрат їхньої суми.

Доказ ФСУ

Довести ФСУ досить просто. Ґрунтуючись на властивостях множення, проведемо множення частин формул у дужках.

Наприклад розглянемо формулу квадрата різниці.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Щоб звести вираз на другий ступінь потрібно цей вислів помножити саме на себе.

a - b 2 = a - b a - b.

Розкриємо дужки:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Формулу доведено. Інші ФСУ доводяться аналогічно.

Приклади застосування ФСУ

Мета використання формул скороченого множення - швидке та коротке множення та зведення виразів у ступінь. Однак це не вся сфера застосування ФСУ. Вони широко використовуються при скороченні виразів, скороченні дробів, розкладанні багаточленів на множники. Наведемо приклади.

Приклад 1. ФСУ

Спростимо вираз 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Застосуємо формулу суми квадратів та отримаємо:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Приклад 2. ФСУ

Скоротимо дріб 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Помічаємо, що вираз у чисельнику - різниця кубів, а в знаменнику - різниця квадратів.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Скорочуємо та отримуємо:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Також ФСУ допомагають обчислювати значення виразів. Головне – вміти помітити, де застосувати формулу. Покажемо на прикладі.

Зведемо до квадрата число 79 . Замість громіздких обчислень, запишемо:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Здавалося б, складне обчислення проведено швидко лише з використанням формул скороченого множення та таблиці множення.

Ще один важливий момент – виділення квадрата двочлена. Вираз 4 x 2 + 4 x - 3 можна перетворити на вигляд 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Такі перетворення широко використовують у інтегруванні.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter