Знайти суму чисел від 1 до 15. Цікава математика: правило Гаусса

допоможіть будь ласка!! обчисліть суму натуральних чисел від 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100. і отримав найкращу відповідь

Відповідь від Александр Хейнонен [гуру]
Видатного німецького математика Карла Фрідріха Гаусса (1777-1855) сучасники називали «королем математики».
Ще в ранньому дитинстві він виявляв неабиякі математичні здібності. У віці трьох років Гаусс вже виправляв рахунки батька.
Розповідають, що в початковій школі, Де навчався Гаусс (6 років), учитель, щоб зайняти клас на тривалий час самостійною роботою, Дав завдання учням - обчислити суму всіх натуральних чисел від 1 до 100. Маленький Гаусс відповів на запитання майже миттєво, ніж неймовірно здивував усіх і, перш за все, вчителі.
Давайте спробуємо усно вирішити задачу про знаходження суми зазначених вище чисел. Для початку візьмемо суму чисел від 1 до 10: 1 +2 +3 +4 +5 +6 + +7 +8 +9 +10.
Гаусс виявив, що 1 + 10 \u003d 11, і 2 + 9 \u003d 11, і так далі. Він визначив, що при складань натуральних чисел від 1 до 10 виходить 5 таких пар, і що 5 раз по 11 дорівнює 55.
Гаусс побачив, що додавання чисел за все ряду слід проводити попарно, і склав алгоритм швидкого додавання чисел від 1 до 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. Необхідно підрахувати кількість пар чисел в послідовності від 1 до 100. Отримуємо 50 пар.
2. Складаємо перше і останнє числа всієї послідовності. У нашому випадку це 1 і 100. Отримуємо 101.
3. Множимо кількість пар чисел в послідовності на отриману в пункті 2 суму. Отримуємо 5050.
Таким чином, сума натуральних чисел від 1 до 100 дорівнює 5050.
Проста формула: сума чисел від 1 до n \u003d n * (n + 1): 2. Замість n підставляйте останнє число і обчислюйте.
Перевірте! Це працює!

відповідь від Ђаня Фертікова[Новачок]
5050

відповідь від Михайло Медведєв[Активний]
5050

відповідь від Павло Соломенник[Новачок]
5050

відповідь від Алевтина Башкова[Новачок]
5050

відповідь від Ђігр Тихомирова[Активний]
5050

відповідь від Марія Дубровіна[Новачок]
5050

відповідь від Ѐавіл Бадір[Новачок]
5050

відповідь від Дмитро[Активний]
5050

відповідь від Євген Саяпов[Активний]
5050

відповідь від 2 відповіді[Гуру]

вміст:

Цілі числа - це числа, що не містять дробову або десяткову частину. Якщо в задачі потрібно скласти певну кількість цілих чисел від 1 до заданого значення N, то їх не потрібно складати вручну. Замість цього скористайтеся формулою (N (N + 1)) / 2, де N - найбільше число ряду.

кроки

1. 1 Визначте найбільше ціле число (N). Підсумовуючи цілі числа від 1 до будь-якого заданого числа N, ви повинні визначити значення N (N не може бути десятковим числом або дробом або негативним числом).
   • Приклад. Знайдіть суму всіх цілих чисел від 1 до 100. У цьому випадку N \u003d 100, так як це найбільше (і кінцеве) число даного вам числового ряду.
2. 2 Помножте N на (N +1) і розділіть результат множення на 2. Коли ви визначили ціле значення N, підставте його в формулу (N (N + 1)) / 2 і ви знайдете суму всіх цілих чисел від 1 до N.
   • Приклад. Підставте N \u003d 100 і отримаєте (100 (100 + 1)) / 2.
3. 3 Запишіть відповідь. Відповідь є сума всіх цілих чисел від 1 до даного N.
   • Приклад.
     • (100(100+1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 = 5050
     • Сума всіх цілих чисел від 1 до 100 дорівнює 5050.
4. 4 Висновок формули (N (N + 1)) / 2. Ще раз розглянемо вищеописаний приклад. Подумки розділіть ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 на два ряди - перший від 1 до 50, а другий від 51 до 100. Якщо ви складете перше число (1) першого ряду і останнє число (100 ) другого ряду, то ви отримаєте 101. ви також отримаєте 101, якщо складіть 2 і 99, 3 і 98, 4 і 97, і так далі. Якщо кожне число першої групи скласти з відповідним числом другої групи, то в результаті ми отримаємо 50 чисел, кожне з яких дорівнює 101. Тому 50 * 101 \u003d 5050 - сума чисел від 1 до 100. Зверніть увагу, що 50 \u003d 100/2 та 101 \u003d 100 + 1. насправді це справедливо для суми будь-яких позитивних цілих чисел: їх підсумовування можна розбити на два етапи з двома рядами чисел, причому відповідні числа в кожному ряду можуть бути складені один з одним, а результат додавання буде однаковим.
   • Можна сказати, що сума цілих чисел від 1 до N дорівнює (N / 2) (N + 1). Спрощена запис цієї формули є формула (N (N + 1)) / 2.

Обчислення суми чисел, розташованих між двома числами, за допомогою суми від 1 до N

1. 1 Визначте варіант підсумовування (включно чи ні). Часто в задачах замість того, щоб знайти суму чисел від 1 до заданого числа N, просять знайти суму цілих чисел від N 1 до N 2, де N 2\u003e N 1 і обидва числа\u003e 1. Обчислити таку суму досить просто, але, перш за ніж приступати до обчислень, ви повинні визначити, чи включаються дані числа в N 1 та N 2 в кінцеву суму чи ні.
2. 2 Щоб знайти суму цілих чисел між двома числами N 1 and N 2, окремо знайдіть суму до N 1, окремо знайдіть суму до N 2 і відніміть їх один з одного (відніміть суму до меншого значення N з суми до більшого значення N). При цьому важливо знати, підсумовувати чи включно чи ні. При підсумовуванні включно ви повинні відняти 1 з даного значення N 1; в іншому випадку ви повинні відняти 1 з даного значення N 2.
   • Приклад. Знайдемо суму ( «включно») цілих чисел від N 1 \u003d 75 до N 2 \u003d 100. Іншими словами, ми повинні знайти 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Щоб вирішити задачу, ми повинні знайти суму цілих чисел від 1 до N 1 -1, а потім відняти її від суми чисел від 1 до N 2 (запам'ятайте: при підсумовуванні включно ми віднімаємо 1 з N 1):
     • (N 2 (N 2 + 1)) / 2 - ((N 1 -1) ((N 1 -1) + 1)) / 2 \u003d
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 - 2775 \u003d 2275. Сума чисел від 75 до 100 ( «включно») дорівнює 2275.
   • Тепер знайдемо суму чисел без включення даних чисел (іншими словами, ми повинні знайти 76 + 77 + ... + 99). В цьому випадку ми віднімаємо 1 з N 2:
     • ((N 2 -1) ((N 2 -1) + 1)) / 2 - (N 1 (N 1 + 1)) / 2 \u003d
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 - 5700/2 =
     • 4950 - 2850 \u003d 2100. Сума чисел від 75 до 100 (без включення цих чисел) дорівнює 2100.
3. 3 Усвідомте процес. Уявіть собі суму цілих чисел від 1 до 100 як 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 і суму цілих чисел від 1 до 75 як 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + 75. сума цілих чисел від 75 до 100 ( «включно») мають на увазі обчислення: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. сума чисел від 1 до 75 і сума чисел від 1 до 100 рівні до числа 75, але сума чисел від 1 до 100 після числа 75 триває: ... + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Таким чином, віднімаючи суму чисел від 1 до 75 з суми чисел від 1 до 100 ми «ізолюємо» суму цілих чисел від 75 до 100.
   • Якщо ми підсумовуємо включно, ми повинні використовувати суму від 1 до 74, а не на суму від 1 до 75, щоб включити число 75 в кінцеву суму.
   • Аналогічно, якщо ми підсумовуємо без включення даних чисел, ми повинні використовувати суму від 1 до 99, а не на суму від 1 до 100, щоб виключити число 100 з кінцевої суми. Ми можемо використовувати суму від 1 до 75, так як її віднімання з суми від 1 до 99 виключає число 75 з кінцевої суми.

• В результаті обчислення суми завжди виходить ціле число, тому що або N, або N +1 - парне число, яке ділиться на 2 без залишку.
• Сума \u003d сума - сума.
• Іншими словами: Сума \u003d n (n + 1) / 2

попередження

• Хоча поширити цей метод на негативні числа не дуже складно, в даній статті розглядаються тільки будь-які позитивні цілі числа N, де N більше або дорівнює 1.

цикл « Цікава математика»Присвячений діткам захоплюються математикою і батькам, які приділяють час розвитку своїх дітей,« підкидаючи »їм цікаві і цікаві завдання, головоломки.

Перша стаття з цього циклу присвячена правилом Гауса.

Трохи історії

Відомий німецький математик Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) з раннього дитинства відрізнявся від своїх однолітків. Незважаючи на те, що він був з небагатої сім'ї, він досить рано навчився читати, писати, рахувати. У його біографії є \u200b\u200bнавіть згадка того, що у віці 4-5 років він зміг скоригувати помилку в невірних підрахунках батька, просто спостерігаючи за ним.

Одне з перших його відкриттів було зроблено в віці 6 років на уроці математики. Вчителю було необхідно захопити дітей на тривалий час і він запропонував таку завдання:

Знайти суму всіх натуральних чисел від 1 до 100.

Юний Гаус впорався з цим завданням досить швидко, знайшовши цікаву закономірність, яка набула великого поширення і застосовується до цього дня при усному рахунку.

Давайте спробуємо вирішити це завдання усно. Але для початку візьмемо числа від 1 до 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Подивіться уважно на цю суму і спробуйте здогадатися, що ж незвичайного зміг розгледіти Гаусс? Для відповіді необхідно добре уявляти собі склад чисел.

Гаусс згрупував числа наступним чином:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Таким чином маленький Карл отримав 5 пар чисел, кожна з яких окремо в сумі дає 11. Тоді, щоб обчислити суму натуральних чисел від 1 до 10 необхідно

Повернемося до початкової задачі. Гаусс помітив, що перед підсумовуванням необхідно групувати числа в пари і тим самим винайшов алгоритм, завдяки якому можна швидко скласти числа від 1 до 100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Знаходимо кількість пар в ряді натуральних чисел. В даному випадку їх 50.

Підсумовуємо перше і останнє числа даного ряду. У нашому прикладі - це 1 і 100. Отримуємо 101.

Множимо отриману суму першого і останнього члена ряду на кількість пар цього ряду. Отримуємо 101 * 50 \u003d 5050

Отже, сума натуральних чисел від 1 до 100 дорівнює 5050.

Завдання на використання правила Гаусса

А зараз вашій увазі пропонуються завдання, в яких в тій чи іншій мірі використовується правило Гаусса. Ці завдання цілком здатний зрозуміти і вирішити четвертокласник.

Можна дати можливість дитині поміркувати самому, щоб він сам «винайшов» це правило. А можна розібрати разом і подивитися як він зможе його застосувати. Серед нижче наведених завдань є приклади, в яких потрібно зрозуміти як модифікувати правило Гаусса, щоб його застосувати до цієї послідовності.

У будь-якому випадку, щоб дитина могла оперувати цим в своїх обчисленнях необхідно розуміння алгоритму Гаусса, тобто вміння розбити правильно по парам і порахувати.

Важливо! Якщо буде заучена формула без розуміння, то це дуже швидко забудеться.

завдання 1

Знайти суму чисел:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Рішення.

Спочатку можна дати можливість дитині самій вирішити перший приклад і запропонувати знайти спосіб, при якому це зробити легко в розумі. Далі розібрати цей приклад разом з дитиною і показати як це зробив Гаус. Найкраще для наочності записати ряд і з'єднати лініями пари чисел, що дають в сумі однакове число. Важливо, щоб дитина зрозуміла як утворюються пари - беремо найменше і найбільше з решти чисел за умови, що кількість чисел в ряду парне.

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

завдання2

Є 9 гир вагою 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Чи можна розкласти ці гирі на три купки з рівним вагою?

Рішення.

За допомогою правила Гаусса знаходимо суму всіх ваг:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 \u003d (1 + 8) * 4 + 9 \u003d 45 (г)

Значить, якщо ми зможемо згрупувати гирі так, щоб в кожній купці були гирі сумарною вагою 15г, то задача вирішена.

Один із варіантів:

• 9г, 6г
• 8г, 7г
• 5г, 4г, 3г, 2г, 1г

інші можливі варіанти знайдіть самі з дитиною.

Зверніть увагу дитини на те, що коли вирішуються подібні завдання краще завжди починати групувати з більшої ваги (числа).

завдання 3

Чи можна розділити циферблат годинника прямою лінією на дві частини так, щоб суми чисел в кожній частині були рівні?

Рішення.

Для початку до ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 застосуємо правило Гаусса: знайдемо суму і подивимося, чи ділиться вона на 2:

Значить розділити можна. Тепер подивимося як.

Отже, треба провести лінію на циферблаті так, щоб 3 пари потрапили в одну половину, а три в іншу.

Відповідь: лінія пройде між числами 3 і 4, а потім між числами 9 і 10.

завдання4

Чи можна провести на циферблаті годинника дві прямі лінією так, щоб в кожній частині сума чисел була однаковою?

Рішення.

Для початку до ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 застосуємо правило Гаусса: знайдемо суму і подивимося ділитися вона на 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 ділитися на 3 без залишку, значить розділити можна. Тепер подивимося як.

За правилом Гауса у нас виходить 6 пар чисел, кожна з яких в сумі дає 13:

1 і 12, 2 і 11, 3 і 10, 4 і 9, 5 і 8, 6 і 7.

Отже, треба провести лінії на циферблаті так, щоб в кожну частину потрапили по 2 пари.

Відповідь: перша лінія пройде між числами 2 і 3, а потім між числами 10 і 11; друга лінія - між числами 4 і 5, а потім між 8 і 9.

завдання 5

Летять зграї птахів. Попереду одна птах (ватажок), за нею дві, потім три, чотири і т. Д. Скільки птахів у зграї, якщо в останньому ряду їх 20?

Рішення.

Отримуємо, що нам необхідно скласти числа від 1 до 20. А до обчислення такої суми можна застосувати правило Гаусса:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

завдання 6

Як розсадити 45 кроликів в 9 клітин так, щоб у всіх клітинах було різну кількість кроликів?

Рішення.

Якщо дитина вирішила і з розумінням розібрав приклади із завдання 1, то тут же згадується, що 45 це сума чисел від 1 до 9. Отже, садимо кроликів так:

• перша клітина - 1,
• друга - 2,
• третя - 3,
• восьма - 8,
• дев'ята - 9.

Але якщо дитина відразу не може збагнути, то спробуйте наштовхнути його на думку про те, що подібні завдання можна вирішити перебором і треба починати з мінімального числа.

завдання 7

Обчислити суму, використовуючи прийом Гаусса:

• 31 + 32 + 33 + … + 40;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Рішення.

• 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

завдання 8

Є набір з 12 гирьок масою 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г, 10г, 11г, 12г. З набору прибрали 4 гирьки, загальна маса яких дорівнює третині загальної маси всього набору гирьок. Чи можна залишилися гирьки розташувати на двох чашках ваг по 4 штуки на кожній чашці так, щоб вони виявилися в рівновазі?

Рішення.

Застосовуємо правило Гаусса, щоб знайти загальну масу гирьок:

1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 \u003d (1 + 12) * 6 \u003d 78 (г)

Обчислюємо масу гирьок, які прибрали:

Отже, що залишилися гирьки ( загальною масою 78-26 \u003d 52г) треба розташувати по 26 г на кожну чашу терезів, щоб вони виявилися в рівновазі.

Нам не відомо які гирьки були прибрані, значить ми повинні розглянути всі можливі варіанти.

Застосовуючи правило Гаусса можна розбити гирьки на 6 пар з рівним вагою (по 13г):

1г і 12г, 2г і 11г, 3г і 10, 4г і 9г, 5г і 8г, 6г і 7г.

тоді кращий варіант, Коли при прибиранні 4 гирьок заберуться дві пари з наведених вище. В цьому випадку у нас залишаться 4 пари: 2 пари на одну чашу терезів і 2 пари на іншу.

Найгірший варіант - це коли 4 прибрані гирьки розіб'ють 4 пари. У нас залишаться 2 неразбітие пари загальною вагою 26г, значить їх поміщаємо на одну чашу терезів, а що залишилися гирьки можна помістити на іншу чашу ваг і вони теж будуть 26г.

Удачі в розвитку Ваших дітей.