Необхідна і достатня умова монотонності функції, що диференціюється. Проміжки монотонності функції

Який не змінює знака, тобто завжди невід'ємне, або завжди непозитивне. Якщо на додаток збільшення не дорівнює нулю, то функція називається строго монотонної. Монотонна функція - це функція, що змінюється в тому самому напрямку.

Функція зростає, якщо більшого значенняаргумент відповідає більшого значення функції. Функція зменшується, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Визначення

Нехай дана функція Тоді

. . . .

(Строго) зростаюча або спадна функція називається (строго) монотонною.

Інша термінологія

Іноді зростаючі функції називають невпадаючими, а спадні функції незростаючими. Строго зростаючі функції тоді звуть просто зростаючими, а строго спадають просто меншими.

Властивості монотонних функцій

Умови монотонності функції

Назад, взагалі кажучи, неправильно. Похідна строго монотонної функції може звертатися в нуль. Однак, безліч точок, де похідна не дорівнює нулю, має бути щільно на інтервалі.

Аналогічно, суворо зменшується на інтервалі тоді й лише тоді, коли виконані такі дві умови:

Приклади

Див. також

Wikimedia Foundation.

• 2010 .
• Слина

Горьківська залізниця

Дивитись що таке "Монотонна функція" в інших словниках:Монотонна функція

- — функція f(x), яка може бути або зростаючою на деякому проміжку (тобто, чим більше будь-яке значення аргументу на цьому проміжку, тим більше значення функції), або меншою (у протилежному випадку).МОНОТОННА ФУНКЦІЯ - функція, яка при зростанні аргументу або завжди зростає (або хоча б не зменшується), або завжди зменшується (не зростає) …

- — функція f(x), яка може бути або зростаючою на деякому проміжку (тобто, чим більше будь-яке значення аргументу на цьому проміжку, тим більше значення функції), або меншою (у протилежному випадку).Великий Енциклопедичний словник - (monotonie function) Функція, у якій зі зростанням значення аргументу значення функції завжди змінюється у тому напрямі. Отже, якщо у=f(x), або dy/dx 0 всім значень х, й у разі у є зростаючою… …

Дивитись що таке "Монотонна функція" в інших словниках:Економічний словник Велика Радянська Енциклопедія

монотонна функція- функція, яка при зростанні аргументу або завжди зростає (або хоча б не зменшується), або завжди зменшується (не зростає). * * * МОНОТОННА ФУНКЦІЯ МОНОТОННА ФУНКЦІЯ, функція, яка при зростанні аргументу або завжди зростає (або… … Енциклопедичний словник

- — функція f(x), яка може бути або зростаючою на деякому проміжку (тобто, чим більше будь-яке значення аргументу на цьому проміжку, тим більше значення функції), або меншою (у протилежному випадку).- функція одного змінного, визначена на деякому підмножині дійсних чисел, приріст до рій при не змінює знака, тобто або завжди неотрицательно, або завжди непозитивно. Якщо строго більше (менше) нуля, колись М. ​​ф. зв.… … Математична енциклопедія

- — функція f(x), яка може бути або зростаючою на деякому проміжку (тобто, чим більше будь-яке значення аргументу на цьому проміжку, тим більше значення функції), або меншою (у протилежному випадку).- функція, до раю при зростанні аргументу або завжди зростає (або хоча б не зменшується), або завжди зменшується (не зростає) … Природознавство. Енциклопедичний словник

Монотонна послідовність- це послідовність, елементи якої зі збільшенням номера не зменшуються, або, навпаки, не зростають. Подібні послідовності часто зустрічаються при дослідженнях і мають ряд відмінних рисі додаткових властивостей.

функція- Команда або група людей, а також інструментарій або інші ресурси, які вони використовують для виконання одного чи кількох процесів чи діяльності. Наприклад, служба підтримки користувачів. Цей термін також має інше значення: … Довідник технічного перекладача

Функція- 1. Залежна змінна величина; 2. Відповідність y=f(x) між змінними величинами, в силу якого кожному значенню, що розглядається, деякої величини x (аргументу або незалежної змінної) відповідає певне значення… … Економіко-математичний словник

Монотонна функція- це функція, прирістякої не змінює знака, тобто завжди невід'ємне, або завжди непозитивне. Якщо на додаток збільшення не дорівнює нулю, то функція називається строго монотонної. Монотонна функція - це функція, що змінюється в тому самому напрямку.

Функція зростає, якщо більше значення аргументу відповідає більше значення функції. Функція зменшується, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Нехай дана функція Тоді

(Строго) зростаюча або спадна функція називається (строго) монотонною.

Визначення екстремуму

Функція y = f(x) називається зростаючою (зменшує) в деякому інтервалі, якщо при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

Якщо функція, що диференціюється, y = f(x) на відрізку зростає (зменшується), то її похідна на цьому відрізку f "(x) > 0

(f "(x)< 0).

Точка xо називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f(x), якщо існує околиця точки xо, для всіх точок якої правильна нерівність f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)).

Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції у цих точках - її екстремумами.

Крапки екстремуму

Необхідні умови екстремуму. Якщо точка xо є точкою екстремуму функції f(x), то або f "(xо) = 0, або f(xо) не існує. Такі точки називають критичними, причому сама функція в критичній точці визначена. Екстремуми функції слід шукати серед її критичних точок.

Перша достатня умова. Нехай xо – критична точка. Якщо f " (x) при переході через точку xо змінює знак плюс на мінус, то в точці xо функція має максимум, в іншому випадку - мінімум. Якщо при переході через критичну точку похідна не змінює знак, то в точці xо екстремуму немає.

Друга достатня умова. Нехай функція f(x) має похідну f"(x) в околиці точки xо і другу похідну в самій точці xо. Якщо f"(xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На відрізку функція y = f(x) може досягати найменшого чи найбільшого значення або критичних точках, або кінцях відрізка .

7. Інтервали опуклості, увігнутості функції .Точки перегину.

Графік функції y=f(x)називається опуклимна інтервалі (a; b), якщо він розташований нижче за будь-яку свою дотичну на цьому інтервалі. Графік функції y=f(x)називається увігнутимна інтервалі (a; b)якщо він розташований вище будь-якої своєї дотичної на цьому інтервалі. На малюнку показана крива, опукла на (a; b)і увігнута на (b; c). приклади. Розглянемо достатню ознаку, що дозволяє встановити, чи графік функції у цьому інтервалі опуклим чи увігнутим. Теорема. y=f(x)Нехай (a; b)диференційована на (a; b). y = f(x)Якщо у всіх точках інтервалу друга похідна функції""(негативна, тобто.) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же друга похідна функції""(негативна, тобто. f x) > 0 – увігнутий. друга похідна функції""(негативна, тобто.) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Доведення .Припустимо для певності, що Візьмемо на графіку функції 0 y = f(x) негативна, тобто. 0  (довільну точку; Mз абсцисою Візьмемо на графіку функції 0 a (a; b) b негативна, тобто.) і проведемо через точку .дотичну.

Її рівняння.

Ми повинні показати, що графік функції на лежить нижче від цієї дотичної, тобто. при тому самому значенні.

ордината кривої буде менше ординату дотичної., Така що безперервна в цій точці, існує кінцева або певного знака нескінченна похідна в цій точці, і є одночасно кінцем інтервалу суворої опуклості вгору і початком інтервалу суворої опуклості вниз, або навпаки.

Неофіційне

У цьому випадку точка є точкою перегинуграфіка функції, тобто графік функції у точці «перегинається» через дотичнудо нього в цій точці: при дотична лежить під графіком, а над графіком (або навпаки)

Умови існування

Необхідна умова існування точки перегину: якщо функція f(x), двічі диференційована в околиці точки, має вточку перегину, то.

Достатня умова існування точки перегину: якщо функція в околиці точки раз безперервно диференційована, причому непарно і, і при, а, то функція має вточку перегину.

Опр.: Функція називається зростаючою на певному проміжку, якщо у цьому проміжку кожному більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

Опр.: Функція називається спадною на певному проміжку, якщо у цьому проміжку кожному більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Як зростають . так і спадні функції називаються монотонними.

Якщо функція не є монотонною, область її визначення можна розбити на кінцеве число проміжків монотонності, які можуть чергуватись з проміжками сталості функції.

Монотонність функції y = f(x) характеризується знаком її першої похідної f ¤ (x), а саме якщо в деякому проміжку f ¤ (x) > 0, то функція зростає в цьому проміжку, якщо в деякому проміжку f ¤ (x)< 0, то функция убывает в этом промежутке.

Знаходження проміжків монотонності функції y = f(x) зводиться до знаходження проміжків знаковості її першої похідної f ¤ (x).

Звідси отримуємо правило знаходження проміжків монотонності функції y = f(x)

1. Знайти нулі та точки розриву f ¤ (x).

2. Визначити методом проб знак f ¤ (x) у проміжках, куди отримані у п.1 точки ділять область визначення функції f(x).

Приклад:

Знайти проміжки монотонності функції у = - х 2 + 10х + 7

Знайдемо f¤(x). y¢ = -2х +10

Точка, в якій y¢ = 0 одна і вона ділить область визначення функції на такі проміжки: (– ∞,5) І (5 ,+ ∞), у кожному з яких y¢ зберігає постійний знак. Підставимо у ці проміжки конкретні значення функції та визначимо знак y¢ на зазначених проміжках, тоді:

на проміжку (– ∞,5] y¢ > 0,

на проміжку функція зростає, а на проміжку І (3 ,+ ∞), у кожному з яких y¢ зберігає постійний знак. Підставимо у ці проміжки конкретні значення функції та визначимо знак y¢ на зазначених проміжках, тоді.

зростаючоюна проміжку \(X\) , якщо для будь-яких \(x_1, x_2\in X\) , таких що \(x_1

Функція називається невпадаючою

\(\blacktriangleright\) Функція \(f(x)\) називається спадаючоюна проміжку \(X\) , якщо для будь-яких \(x_1, x_2\in X\) , таких що \(x_1 f(x_2)\) .

Функція називається незростаючоюна проміжку \(X\) , якщо для будь-яких \(x_1, x_2\in X\) , таких що \(x_1

\(\blacktriangleright\) Зростаючі та спадні функції називають суворо монотонними, а незростаючі та невтратні - просто монотонними.

\(\blacktriangleright\) Основні властивості:

I.Якщо функція \(f(x)\) - строго монотонна на \(X\) , то з рівності \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) слід \(f(x_1)= f(x_2)\), і навпаки.

Приклад: функція \(f(x)=\sqrt x\) є строго зростаючою при всіх \(x\in \), тому рівняння \(x^2=9\) має на цьому проміжку не більше одного рішення, а точніше одне: \ (x = -3 \).

функція \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) є строго зростаючою при всіх \(x\in (-1;+\infty)\) , тому рівняння \(-\dfrac 1(x +1)=0\) має у цьому проміжку трохи більше рішення, а точніше жодного, т.к. чисельник лівої частини ніколи не може дорівнювати нулю.

ІІІ.Якщо функція \(f(x)\) - не убуває (незростає) і безперервна на відрізку \(\) , причому на кінцях відрізка вона набуває значення \(f(a)=A, f(b)=B\) , то при \(C\in \) (\(C\in \) ) рівняння \(f(x)=C\) завжди має хоча б одне рішення.

Приклад: функція \(f(x)=x^3\) є строго зростаючою (тобто строго монотонною) і безперервною при всіх (x\in\mathbb(R)\) , тому при будь-якому \(C\in ( -\infty;+\infty)\) рівняння \(x^3=C\) має рівно одне рішення: \(x=\sqrt(C)\) .

Завдання 1 #3153

Рівень завдання: Легше ЄДІ

має рівно два корені.

Перепишемо рівняння у вигляді: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]Розглянемо функцію \(f(t)=t^3+t\). Тоді рівняння перепишеться як: \ Досліджуємо функцію \(f(t)\) . \ Отже, функція \(f(t)\) зростає за всіх \(t\) . Отже, кожному значенню функції \(f(t)\) відповідає одно значення аргументу \(t\) . Отже, для того, щоб рівняння мало коріння, потрібно: \ Щоб отримане рівняння мало два корені, потрібно, щоб його дискримінант був позитивним: \

Відповідь:

\(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\)

Завдання 2 #2653

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при яких рівняння \

має два корені.

(Завдання від передплатників.)

Зробимо заміну: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Тоді рівняння набуде вигляду: \ Розглянемо функцію \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Тоді наше рівняння набуде вигляду: \

Знайдемо похідну \ Зауважимо, що з усіх \(w\ne 0\) похідна \(f"(w)>0\) , тому що \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Зауважимо також, що сама функція \(f(w)\) визначена при всіх \(w\) . (w)\) зростає на всьому \(\mathbb(R)\).
Отже, рівність \(f(t)=f(u)\) можлива тоді і лише тоді, коли \(t=u\) . Повернемося до початкових змінних і розв'яжемо отримане рівняння:

\ Для того, щоб дане рівняння мало два корені, воно має бути квадратним і його дискримінант має бути позитивним:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Відповідь:

\((-\infty;1)\cup(1;2)\)

Завдання 3 #3921

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі позитивні значення параметра \(a\) , при яких рівняння

має як мінімум (2) рішення.

Перенесемо всі доданки, що містять \(ax\) , вліво, а що містять \(x^2\) - вправо, і розглянемо функцію
\

Тоді вихідне рівняння набуде вигляду:
\

Знайдемо похідну:
\

Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos(2t) \geqslant 0\), то \(f"(t)\geqslant 0\) за будь-яких \(t\in \mathbb(R)\) .

Причому \(f"(t)=0\) , якщо \((t-2)^2=0\) і \(1+\cos(2t)=0\) одночасно, що не виконується за жодних \ (t\) .Отже, \(f"(t)> 0\) при будь-яких \(t\in \mathbb(R)\) .

Таким чином, функція \(f(t)\) строго зростає при всіх \(t\in \mathbb(R)\).

Отже, рівняння \(f(ax)=f(x^2)\) рівносильне рівнянню \(ax=x^2\) .

Рівняння \(x^2-ax=0\) при \(a=0\) має один корінь \(x=0\) , а при \(a\ne 0\) має два різні корені \(x_1=0 \) та \(x_2=a\) .
Нам потрібно знайти значення \(a\) , при яких рівняння матиме не менше двох коренів, враховуючи також те, що \(a>0\) .
Отже, відповідь: (a in (0; + infty)) .

Відповідь:

\((0;+\infty)\) .

Завдання 4 #1232

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння \

має єдине рішення.

Домножимо праву та ліву частини рівняння на \(2^(\sqrt(x+1))\) (т.к. \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) і перепишемо рівняння у вигляді : \

Розглянемо функцію \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)при \(t\geqslant 0\) (бо \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Похідна \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\).

Т.к. \(2^t>0, \ dfrac(1)(t+2)>0, \ ln((t+2))>0\)за всіх \(t\geqslant 0\) , то \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Отже, при \(t\geqslant 0\) функція \(y\) монотонно зменшується.

Рівняння можна розглядати у вигляді \(y(t)=y(z)\) , де \(z=ax, t=sqrt(x+1)\) . З монотонності функції випливає, що рівність можлива тільки в тому випадку, якщо (t = z).

Отже, рівняння рівносильне рівнянню: \(ax=\sqrt(x+1)\) , яке у свою чергу рівносильне системі: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

При \(a=0\) система має одне рішення \(x=-1\), яке задовольняє умову \(ax\geqslant 0\).

Розглянемо випадок \(a\ne 0\) . Дискримінант першого рівняння системи \(D=1+4a^2>0\) за всіх \(a\) . Отже, рівняння завжди має два корені \(x_1\) і \(x_2\), причому вони різних знаків (т.к. за теоремою Вієта) \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

Це означає, що за \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) умові підходить позитивний корінь. Отже система завжди має єдине рішення.

Значить, \(a\in \mathbb(R)\) .

Відповідь:

\(a\in \mathbb(R)\) .

Завдання 5 #1234

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння \

має хоча б один корінь із відрізка \([-1;0]\) .

Розглянемо функцію \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)при деякому фіксованому (a) . Знайдемо її похідну: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Зауважимо, що \(f"(x)\geqslant 0\) при всіх значеннях \(x\) і \(a\) , причому дорівнює \(0\) тільки при \(x=a=1\). при \(a=1\):
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\)рівняння \(2(x-1)^3=0\) має єдиний корінь \(x=1\), що не задовольняє умові. Отже, \(a\) не може дорівнювати \(1\) .

Отже, за всіх \(a\ne 1\) функція \(f(x)\) є строго зростаючою, отже, рівняння \(f(x)=0\) може мати не більше одного кореня. Враховуючи властивості кубічної функції, графік \(f(x)\) при деякому фіксованому \(a\) виглядатиме таким чином:

Отже, щоб рівняння мало корінь з відрізка \([-1;0]\) , необхідно: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Отже, \(a\in [-2;0]\) .

Відповідь:

\ (a \ in [-2; 0] \) .

Завдання 6 #2949

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

має коріння.

(Завдання від передплатників)

ОДЗ рівняння: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Отже, для того, щоб рівняння мало коріння, потрібно щоб хоча б одне з рівнянь \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(або)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2) = 0 \]мало рішення на ОДЗ.

1) Розглянемо перше рівняння \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &sin x=2a+ 2 \\\x=3\ \end(aligned) \end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]Дане рівняння повинно мати коріння на \(\). Розглянемо коло:

Таким чином, ми бачимо, що для будь-яких \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) рівняння матиме одне рішення, а для всіх інших - не матиме рішень. Отже, при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\)рівняння має розв'язки.

2) Розглянемо друге рівняння \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Розглянемо функцію \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\). Знайдемо її похідну: \ На ОДЗ похідна має один нуль: \(x=\frac34\) , який є точкою максимуму функції \(f(x)\) .
Зауважимо, що \(f(0)=f(1)=0\) . Отже, схематично графік (f(x)) виглядає так:

Отже, щоб рівняння мало розв'язання, потрібно, щоб графік \(f(x)\) перетинався з прямою \(y=-a\) (на малюнку зображено один з відповідних варіантів). Тобто потрібно, щоб \ . При цих (x) :

Функція \(y_1=sqrt(x-1)\) є строго зростаючою. Графіком функції \(y_2=5x^2-9x\) є парабола, вершина якої знаходиться в точці \(x=\dfrac(9)(10)\). Отже, за всіх \(x\geqslant 1\) функція \(y_2\) також строго зростає (права гілка параболи). Т.к. сума строго зростаючих функцій є строго зростаюча, то (f_a(x)) - строго зростає (константа (3a + 8) не впливає на монотонність функції).

Функція \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) при всіх \(x\geqslant 1\) є частиною правої гілки гіперболи і є строго спадаючою.

Вирішити рівняння \(f_a(x)=g_a(x)\) - означає знайти точки перетину функцій \(f\) і \(g\). З їхньої протилежної монотонності випливає, що рівняння може мати не більше одного кореня.

При \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Отже, рівняння матиме єдине рішення у тому випадку, якщо:

\\cup

Відповідь:

\(a\in (-\infty;-1]\cup)