Нод взаємно прості числа. Взаємно прості числа: визначення, приклади та властивості
Запам'ятайте!
Якщо натуральне число ділиться тільки на 1 і на саме себе, то воно називається простим.
Будь-яке натуральне число завжди ділиться на 1 і на саме себе.
Число 2 - найменше просте число. Це єдине парне просте число, інші прості числа - непарні.
Простих чисел багато, і перше серед них - число 2. Однак немає останнього простого числа. У розділі «Для навчання» ви можете завантажити таблицю простих чисел до 997.
Але багато натуральні числа діляться без остачі ще й на інші натуральні числа.
наприклад:
- число 12 ділиться на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
- число 36 ділиться на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.
Числа, на які число ділиться без остачі (для 12 це 1, 2, 3, 4, 6 і 12) називаються дільниками числа.
Запам'ятайте!
Дільник натурального числа a - це таке натуральне число, яке ділить дане число «a» на всі сто.
Натуральне число, яке має більше двох дільників називається складовим.
Зверніть увагу, що числа 12 і 36 мають спільні дільники. Це числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Найбільший з подільників цих чисел - 12.
Загальний дільник двох даних чисел «a» і «b» - це число, на яке діляться без залишку обидва даних числа «a» і «b».
Запам'ятайте!
Найбільший спільний дільник (НОД) двох даних чисел «a» і «b» - це найбільше число, на яке обидва числа «a» і «b» діляться без залишку.
Коротко найбільший спільний дільник чисел «a» і «b» записують так:
НСД (a; b).
Приклад: НСД (12; 36) \u003d 12.
Подільники чисел в запису рішення позначають великою літерою «Д».
Д (7) \u003d (1, 7)
Д (9) \u003d (1, 9)
НСД (7; 9) \u003d 1
Числа 7 і 9 мають тільки один спільний дільник - число 1. Такі числа називають взаємно простими числами.
Запам'ятайте!
Взаємно прості числа - це натуральні числа, які мають тільки один спільний дільник - число 1. Їх НОД дорівнює 1.
Як знайти найбільший спільний дільник
Щоб знайти НСД двох або більше натуральних чисел потрібно:
- розкласти подільники чисел на прості множники;
Обчислення зручно записувати за допомогою вертикальної риси. Зліва від межі спочатку записуємо ділене, праворуч - дільник. Далі в лівому стовпчику записуємо значення приватних.
Пояснимо відразу на прикладі. Розкладемо на прості множники числа 28 і 64.
- Підкреслюємо однакові прості множники в обох числах.
28 = 2 · 2 · 764 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
- Знаходимо твір однакових простих множників і записати відповідь;
НСД (28; 64) \u003d 2 · 2 \u003d 4Відповідь: НСД (28; 64) \u003d 4
Оформити знаходження НСД можна двома способами: в стовпчик (як робили вище) або «в рядок».
Прості і складені числа
Визначення 1. Спільним дільником декількох натуральних чисел називають число, яке є дільником кожного з цих чисел.
Визначення 2. Найбільший із загальних дільників називають найбільшим спільним дільником (НСД).
Приклад 1. Спільними дільниками чисел 30, 45 і 60 будуть числа 3, 5, 15. Найбільшим спільним дільником цих чисел буде
НСД (30, 45, 10) \u003d 15.
Визначення 3. Якщо найбільший спільний дільник кількох чисел дорівнює 1, то ці числа називають взаємно простими.
Приклад 2. Числа 40 і 3 будуть взаємно простими числами, а числа 56 і 21 не є взаємно простими, оскільки у чисел 56 і 21 є спільний дільник 7, який більше, ніж 1.
Зауваження. Якщо чисельник дробу і знаменник дробу є взаємно простими числами, то така дріб нескоротних.
Алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника
Розглянемо алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника декількох чисел на наступному прикладі.
Приклад 3. Знайти найбільший спільний дільник чисел 100, 750 і 800.
Рішення . Розкладемо ці числа на прості множники:
Простий множник 2 в перший розкладання на множники входить в ступеня 2, в другу розкладання - певною мірою 1, у третю розкладання - певною мірою 5. позначимо найменшу з цих ступенів буквою a. Очевидно, що a = 1 .
Простий множник 3 на початку розкладання на множники входить в ступеня 0 (іншими словами, множник 3 на початку розкладання на множники взагалі не входить), у другу розкладання входить в ступеня 1, у третю розкладання - певною мірою 0. позначимо найменшу з цих ступенів буквою b. Очевидно, що b = 0 .
Простий множник 5 на початку розкладання на множники входить в ступеня 2, в другу розкладання - певною мірою 3, у третю розкладання - певною мірою 2. позначимо найменшу з цих ступенів буквою c. Очевидно, що c = 2 .
09.07.2015 6119 0цілі: формувати навик знаходження найбільшого спільного дільника; ввести поняття взаємно простих чисел; відпрацьовувати вміння розв'язувати задачі на використання НОД чисел; вчити аналізувати, робити висновки.
II. усний рахунок
1. Чи може розкладання на прості множники числа 24 753 містити множник 5? Чому? (Ні, тому що запис даного цифри не закінчується цифрою 0 або 5.)
2. Назвіть число, яке ділиться на всі числа без залишку. (Нуль.)
3. Сума двох цілих чисел непарна. Парне або непарне їх твір? (Якщо сума двох чисел непарна, то одне число парне, друге непарне. Так як один з множників парне число, отже, він ділиться на 2, значить і твір ділиться на 2. Тоді і весь твір парне.)
4. В одній сім'ї у кожного з трьох братів є сестра. Скільки дітей в сім'ї? (4 дітей: троє хлопчиків і одна їхня сестра.)
III . Індивідуальна робота
Розкладіть число 210 усіма можливими способами:
а) на 2 множника; (210 \u003d 21 · 10 \u003d 14 · 15 \u003d 7 · 30 \u003d 70 · 3 \u003d 6 · 35 \u003d 42 · 5 \u003d 105 · 2.)
б) на 3 множника; (210 \u003d 3 · 7 · 10 \u003d 5 · 3 · 14 \u003d 7 · 5 · 6 \u003d 35 · 2 · 3 \u003d 21 · 2 · 5 \u003d 7 · 2 · 15.)
в) на 4 множника. (210 \u003d 3 · 7 · 2 · 5.)
IV. Повідомлення теми уроку
«Числа правлять світом». Ці слова належать давньогрецького математику Піфагору, що жив в V ст. до н.е.
Сьогодні ми познайомимося ще з однією групою чисел, які називаються взаємно простими.
V. Вивчення нового матеріалу
1. Підготовча робота.
№ 146 стр. 25 (на дошці і в зошитах). (Самостійно, в цей час один учень працює на зворотному боці дошки.)
Знайдіть всі дільники кожного числа.
Підкресліть їх загальні дільники.
Запишіть найбільший спільний дільник.
відповідь:
Які числа мають тільки один спільний дільник? (35 і 88.)
2. Робота над новою темою.
(Самостійно, в цей час один учень працює на зворотному боці дошки.)
Знайдіть найбільший спільний дільник чисел: 7 і 21; 25 і 9; 8 і 12; 5 і 3; 15 і 40; 7 і 8.
відповідь:
НСД (7; 21) \u003d 7; НСД (25; 9) \u003d 1; НСД (8; 12) \u003d 4;
НСД (5; 3) \u003d 1; НСД (15; 40) \u003d 5; НСД (7; 8) \u003d 1.
У будь пар чисел однаковий загальний дільник? (25 і 9; 5 і 3; 7 і 8 - загальний дільник 1.)
Такі числа називаються взаємно простими.
Дайте визначення взаємно простих чисел.
Наведіть приклади взаємно простих чисел. (35 і 88, 3 і 7; 12 і 35; 16 і 9.)
VI. історична хвилинка
Стародавні греки придумали чудовий спосіб, що дозволяє шукати найбільший спільний дільник двох натуральних чисел без розкладання на множники. Він носив назву «Алгоритму Евкліда».
Про життя грецького математика Евкліда достовірні дані невідомі. Йому належить видатне наукове твір, зване «Начала». Воно складається з 13 книг і викладає основи всієї давньогрецької математики.
Саме тут описується алгоритм Евкліда, який полягає в тому, що найбільшим спільним дільником двох натуральних чисел є останній, відмінний він нуля, залишок при діленні цих чисел. Під послідовним розподілом мається на увазі розподіл більшого числа на менше, меншого числа на перший залишок, першого залишку на другий залишок і т.д., поки розподіл не закінчиться без залишку. Покладемо, потрібно знайти НСД (455; 312), тоді
455: 312 \u003d 1 (ост. 143), отримуємо 455 \u003d 312 · 1 + 143.
312: 143 \u003d 2 (ост. 26), 312 \u003d 143 · 2 + 26,
143: 26 \u003d 5 (ост. 13), 143 \u003d 26 · 5 + 13,
26: 13 \u003d 2 (ост. 0), 26 \u003d 13 · 2.
Останній дільник або останній, відмінний від нуля залишок 13 і буде шуканим НСД (455; 312) \u003d 13.
VII. Физкультминутка
VIII. Робота над завданням
1. № 152 стр. 26 (з докладним коментуванням біля дошки і в зошитах).
Прочитайте задачу.
Про кого йдеться в задачі?
Про що йдеться в задачі?
Назвіть 1-е питання завдання.
Як дізнатися, скільки хлопців було на ялинці? (Знайти НОД чисел 123 і 82.)
Прочитайте завдання до цього завдання з зошитів. (Кількість апельсинів і яблук має ділитися на один і той же найбільше число.)
Як дізнатися, скільки апельсинів було в кожному подарунку? (Всі кількість апельсинів розділити на кількість присутніх на ялинці дітей.)
Як дізнатися, скільки яблук було в кожному подарунку? (Всі кількість яблук розділити на кількість присутніх на ялинці дітей.)
Запишіть рішення задачі в зошитах на друкованій основі.
Рішення:
НСД (123; 82) \u003d 41, значить, 41 чоловік.
123: 41 \u003d 3 (ап.)
82: 41 \u003d 2 (ябл.)
(Відповідь: хлопців 41, апельсинів 3, яблук 2.)
2. № 164 (2) стор. 27 (після короткого розбору, один учень - на зворотному боці дошки, інші самостійно, потім самоперевірка).
Прочитайте задачу.
Чому дорівнює градусна міра розгорнутого кута?
Якщо один кут в 4 рази менше, то що можна сказати про другий кут? (Він в 4 рази більше.)
Запишіть це в короткий запис.
Яким способом будете вирішувати завдання? (Алгебраїчним.)
Рішення:
1) Нехай х - градусна міра кута СОК,
4х - градусна міра кутаKOD.
Так як сума кутів СОК іKOD дорівнює 180 °, то складемо рівняння:
х + 4х \u003d 180
5х \u003d 180
х \u003d 180: 5
х \u003d 36; 36 ° - градусна міра кута СОК.
2) 36 · 4 \u003d 144 ° - градусна міра кутаKOD.
(Відповідь: 36 °, 144 °.)
Побудуйте ці кути.
Визначте вид кутів СОК іKOD . (Кут СОК - гострий, кутKOD - тупий.)
Чому?
IX. Закріплення вивченого матеріалу
1. № 149 стр. 26 (біля дошки з докладним коментарем).
Що потрібно зробити, щоб визначити, чи є числа взаємно простими? (Знайти їх найбільший спільний дільник, якщо він дорівнює 1, то числа взаємно прості.)
2. № 150 стр. 26 (усно).
Підтвердіть свою відповідь. (9 і 14; 14 і 15; 14 і 27 - пари взаємно простих чисел, так як їх НОД дорівнює 1.)
3. № 151 стр. 26 (один учень біля дошки, інші в зошитах).
(Відповідь: 
.)
Хто не згоден?
4. Усно, з докладним поясненням.
Як знаходять найбільший спільний дільник кількох натуральних чисел? (Знаходять так само, як і двох чисел.)
Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:
а) 18, 14 і 6; б) 26, 15 і 9; в) 12, 24, 48; г) 30, 50, 70.
Рішення:
а) 1. Перевіримо, діляться чи числа 18 і 14 на 6. Ні.
2. Розкладемо на прості множники найменше число 6 \u003d 2 · 3.
3. Перевіримо, діляться чи числа 18 і 14 на 3. Ні.
4. Перевіримо, діляться чи числа 18 і 14 на 2. Так. Отже, НСД (18; 14; 6) \u003d 2.
б) НОД (26; 15; 9) \u003d 1.
Що можна сказати про ці числа? (Вони взаємно прості.)
в) НОД (12; 24; 48) \u003d 12.
г) НОД (30; 50; 70) \u003d 10.
X. Самостійна робота
Взаимопроверка. (На закривається дошці записані відповіді.)
Варіант I. № 161 (а, б) стор. 27, № 157 (б - 1 і 3 число) стор. 27.
варіант II . № 161 (в, г) стор. 27, № 157 (б - 2 і 3 число) стор. 27.
XI. Підведення підсумків уроку
Які числа називають взаємно простими?
Як можна дізнатися, чи є дані числа взаємно простими?
Як знайти найбільший спільний дільник кількох натуральних чисел?
Домашнє завдання
№ 169 (6), 170 (в, г), 171, 174 стор. 28.
Додаткове завдання:При перестановці цифр простого числа 311 знову вийде просте число (перевірте це по таблиці простих чисел). Знайдіть всі двозначні числа, що володіють таким же властивістю. (113, 131; 13, 31; 17, 71; 37, 73; 79, 97.)
міського округу Тольятті
"Найбільший спільний дільник. Взаємно прості числа.
Учитель Костіна Т.К.
м о. Тольятті
Тема уроку: «Найбільший спільний дільник.
Взаємно прості числа »
Попередня підготовка до уроку: учні повинні знати наступні теми: «Подільники і кратні», «Ознаки подільності на 10, 5, 2, 3, 9», «Прості і складені числа», «Розклад на прості множники» »
Мета уроку:
Освітня: вивчити поняття НСД і взаємно простих чисел; навчити учнів знаходити НСД чисел; створити умови для вироблення вміння узагальнювати вивчений матеріал, аналізувати, зіставляти і робити висновки.
Виховна: формування навичок самоконтролю; виховання почуття відповідальності.
Розвиваюча: розвиток пам'яті, уяви, мислення, уваги, кмітливості.
Хід уроку
Хвилинки логічних задачУстная робота.
1. Бабуся і дідусь принесли з саду для двох своїх онуків по непарному числу абрикос. Чи можна ці абрикоси розділити порівну між онуками? [можна, можливо]
2. Від одного села до іншого 3 км. З цих сіл назустріч один одному з однією і тією ж швидкістю вийшли двоє людей. Зустріч відбулася через півгодини. Знайдіть швидкість кожного.
3.Туріст пройшов 2/5 всього шляху. Після цього йому залишилося пройти на 4 км більше, ніж він пройшов. Знайдіть весь шлях.
4. Число яєць в кошику менше 40. Якщо їх порахувати парами, то залишиться 1 яйце. Якщо ж порахувати їх трійками, то все одно залишиться по одному яйцю. Скільки яєць в кошику? (31)
2. Повторення.
По таблиці повторюємо визначення подільника, кратного, ознаки подільності, визначення простих і складених чисел. На екрані слайди із зображенням тварин, карта Самарської області, фотографії ВАЗа.
3. Вивчення нового матеріалу у формі бесіди.
Назвіть подільники числа 18, 21, 24.
Площа ВАЗа 500 га. На які прості множники можна розкласти це число? 500 \u003d 2 * 5 * 2 * 5 * 5 \u003d 2 2 * 5 3
Назвіть загальні дільники чисел 120 і 80.
Маса ведмедя 525 кг. Маса слона 5025 кг. Назвіть кілька спільних дільників
Бобер важить 24 кг, а його довжина 97 см. Які ці числа прості або складні? Назвіть їх загальні дільники.
56640 т кисню витрачає 1 пасажирський літак за 9 годин роботи. Така кількість кисню виділяється при фотосинтезі 35000 га лісу. Назвіть кілька дільників цього числа.
Які з цих чисел прості, а які складові? 111, 313, 323, 437, 549, 677, 781, 891?
Яке з чисел ділиться на всі числа без залишку?
Яке число є дільником будь-якого натурального числа?
Чи ділиться вираз 34 * 28 + 85 * 20 на 17?
Чи ділиться вираз 4132 * 7008 на 3?
Чому дорівнює приватне (3 * 5 * 2 * 7 * 13) / (5 * 2 * 13) \u003d?
Чому дорівнює добуток (2 * 5 * 5 * 5 * 3) * (2 * 2 * 2 * 2 * 3)?
Назвіть кілька простих чисел.
Чим далі ми йдемо по натуральному ряду чисел, тим важче знаходити прості числа. Уявімо собі, що ми летимо на літаку, який летить уздовж натурального ряду. Кругом темно і тільки прості числа позначені вогниками. На початку шляху вогників багато, а потім все рідше і рідше.
Давньогрецький вчений Евклід 2300 років тому довів, що простих чисел нескінченно багато і що найбільшого простого числа не існує.
Проблемою простих чисел займалися багато вчених математики, в тому числі давньогрецький вчений Ератосфен. Його спосіб відшукання простих чисел назвали решетом Ератосфена.
Гольдбах і Ейлер, що жили в 18 столітті і колишні членами Петербурзької академії наук займалися проблемою простих чисел. Вони припускали, що будь-яке натуральне число можна представити у вигляді суми простих чисел, але це не доведено. У 1937 році радянський академік Виноградов довів цю пропозицію.
Індійський слон прожив 65 років, крокодил - 51 рік, верблюд - 23, кінь - 19 років. Які з цих чисел прості і складові?
Зайця наздоганяє вовк, йому треба пробратися через лабіринт. Можна пройти, якщо у відповіді просте число [лабіринти у вигляді кіл, на яких по три приклади, а в центрі будиночок]
1000-2; 250*2+9; 310/5
24/4, 2 2 +41, 23+140
10-3; 133+12; 28*5
До задачі на дошці запис:
Подільники 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48
Подільники 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36
НСД (48; 36) \u003d 12 12 подарунків визначення НОД подільника правило знаходження НСД
А як знайти НСД великих чисел, коли важко перерахувати всі подільники. По таблиці і підручником виводимо правило. Виділяємо головні слова: розкласти, скласти, помножити.
Показую приклади знаходження НСД з великих чисел, тут можна сказати, що НОД великих чисел можна знаходити за допомогою алгоритму Евкліда. Докладно з цим алгоритмом ми познайомимося на заняттях математичної школи.
Алгоритм - це правило, за яким виконуються дії. В 9 столітті такі правила дав арабський математик Альхваруімі.
4. Робота в групах по 4 людини.
Кожен отримує один з 4 варіантів завдань, де вказано наступне:
Учень повинен за підручником вивчити теорію і відповісти на одне питання
Вивчити приклад знаходження НСД
Виконати завдання для самостійної роботи.
В кінці роботи проводиться невелика самостійна робота.
картки КСВ
Варіант 1
1. Яке число називається простим? Яке число називається складовим?
2. Знайти НСД (96; 36)
Щоб знайти НСД чисел, треба розкласти ці цифри на прості множники.
| 96 | 2 |
| 48 | 2 |
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 | |
36=2 2 *3 2
96=2 5 *3
У розкладання числа, що є НОД чисел 96 і 36, увійдуть загальні прості множники з найменшим показником:
НСД (96; 36) \u003d 2 + 2 * 3 \u003d 4 * 3 \u003d 12
3. Вирішіть самостійно. НСД (102; 84), НСД (75; 28), НСД (120; 144)
Варіант 2
1. Що означає розкласти натуральне число на прості множники? Яке число називається загальним дільником даних чисел?
2. Зразок НСД (54; 72) \u003d 18
3. Вирішіть самостійно НСД (144; 128), НСД (81; 64), НСД (360; 840)
варіант 3
1. Які числа називаються взаємно простими? Наведіть приклад.
2. Зразок НСД (72; 96) \u003d 24
3. Вирішіть самостійно НСД (102; 170), НСД (45; 64), НСД (864; 192)
варіант 4
1. Як знайти спільний дільник чисел?
2. Зразок НСД (360; 432)
3. Вирішіть самостійно НСД (135; 105), НСД (128; 75), НСД (360; 8400)
Самостійна робота
| Варіант 1 | Варіант 2 | варіант 3 | варіант 4 |
| НСД (180; 120) | НСД (150; 375) | НСД (135; 315; 450) | НСД (250; 125; 375) |
| НСД (2016 року; 1320) | НСД (504; 756) | НСД (+1575, 6615) | НСД (468; 702) |
| НСД (3120; 900) | НСД (1028; тисячі сто п'ятьдесят два) | НСД (1512; 1008) | НСД (3375; 2250) |
5. Підведення підсумків уроку. Повідомлення оцінок за самостійну роботу.
У цьому статті ми розповімо про те, що таке взаємно прості числа. У першому пункті сформулюємо визначення для двох, трьох і більше взаємно простих чисел, наведемо кілька прикладів і покажемо, в яких випадках два числа можна вважати простими по відношенню один до одного. Після цього перейдемо до формулювання основних властивостей і їх доказам. В останньому пункті ми поговоримо про пов'язаному понятті - попарно простих числах.
Що таке взаємно прості числа
Взаємно простими можуть бути як два цілих числа, так і їх більшу кількість. Для початку введемо визначення для двох чисел, для чого нам знадобиться поняття їх найбільшого загального дільника. Якщо потрібно, повторіть матеріал, присвячений йому.
визначення 1
Взаємно простими будуть два таких числа a і b, найбільший спільний дільник яких дорівнює 1, тобто НСД (a, b) \u003d 1.
З даного визначення можна зробити висновок, що єдиний позитивний загальний дільник у двох взаємно простих чисел буде дорівнює 1. Всього два таких числа мають два загальних подільника - одиницю і мінус одиницю.
Які можна навести приклади взаємно простих чисел? Наприклад, такою парою будуть 5 і 11. Вони мають тільки один загальний позитивний дільник, рівний 1, що є підтвердженням їх взаємної простоти.
Якщо ми візьмемо два простих числа, то по відношенню один до одного вони будуть взаємно простими у всіх випадках, однак такі взаємні відносини утворюються також і між складовими числами. Можливі випадки, коли одне число в парі взаємно простих є складовим, а друге простим, або ж складовими є вони обидва.
Це твердження ілюструє наступний приклад: складові числа - 9 і 8 утворюють взаємно просту пару. Доведемо це, обчисливши їх найбільший спільний дільник. Для цього запишемо все їх подільники (рекомендуємо перечитати статтю про знаходження дільників числа). У 8 це будуть числа ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, а у 9 - ± 1, ± 3, ± 9. Вибираємо з усіх дільників той, що буде спільним і найбільшим - це одиниця. Отже, якщо НСД (8, - 9) \u003d 1, то 8 і - 9 будуть взаємно простими по відношенню один до одного.
Взаємно простими числами не є 500 і 45, оскільки у них є ще один спільний дільник - 5 (див. Статтю про ознаки подільності на 5). П'ять більше одиниці і є позитивним числом. Інший подібної парою можуть бути - 201 і 3, оскільки їх обидва можна розділити на 3, на що вказує відповідний ознака подільності.
На практиці досить часто доводиться визначати взаємну простоту двох цілих чисел. З'ясування цього можна звести до пошуку найбільшого загального дільника і порівняно його з одиницею. Також зручно користуватися таблицею простих чисел, щоб не робити зайвих обчислень: якщо одне з заданих чисел є в цій таблиці, значить, воно ділиться тільки на одиницю і саме на себе. Розберемо рішення такого завдання.
приклад 1
Умова: з'ясуйте, чи є взаємно простими числа 275 і 84.
Рішення
Обидва числа явно мають більше одного подільника, тому відразу назвати їх взаємно простими ми не можемо.
Обчислюємо найбільший спільний дільник, використовуючи алгоритм Евкліда: 275 \u003d 84 · 3 + 23, 84 \u003d 23 · 3 + 15, 23 \u003d 15 · 1 + 8, 15 \u003d 8 · 1 + 7, 8 \u003d 7 · 1 + 1, 7 \u003d 7 · 1.
відповідь: оскільки НСД (84, 275) \u003d 1, то дані числа будуть взаємно простими.
Як ми вже говорили раніше, визначення таких чисел можна поширити і на випадки, коли у нас є не два числа, а більше.
визначення 2
Взаємно простими цілі числа a 1, a 2, ..., a k, k\u003e 2 будуть тоді, коли вони мають найбільший спільний дільник, рівний 1.
Іншими словами, якщо у нас є набір деяких чисел з найбільшим позитивним дільником, великим 1, то всі ці числа не є по відношенню один до одного взаємно зворотними.
Візьмемо кілька прикладів. Так, цілі числа - 99, 17 і - 27 - взаємно прості. Будь-яка кількість простих чисел буде взаємно простим по відношенню до всіх членів сукупності, як, наприклад, в послідовності 2, 3, 11, 19, 151, 293 і 667. А ось числа 12, - 9, 900 та − 72 взаємно простими не будуть, тому що крім одиниці у них буде ще один позитивний дільник, рівний 3. Те ж саме відноситься до чисел 17, 85 і 187: крім одиниці, їх все можна розділити на 17.
Зазвичай взаємна простота чисел не є очевидною з першого погляду, цей факт потребує доведення. Щоб з'ясувати, чи будуть деякі числа взаємно простими, потрібно знайти їх найбільший спільний дільник і зробити висновок на підставі його порівняння з одиницею.
приклад 2
Умова: визначте, чи є числа 331, 463 і 733 взаємно простими.
Рішення
Звіримося з таблицею простих чисел і визначимо, що всі три цих числа в ній є. Тоді їх спільним дільником може бути тільки одиниця.
відповідь: всі ці числа будуть взаємно простими по відношенню один до одного.
приклад 3
Умова: приведіть доказ того, що числа - 14, 105, - 2 107 і - 91 не є взаємно простими.
Рішення
Почнемо з виявлення їх найбільшого загального дільника, після чого переконаємося, що він не дорівнює 1. Оскільки у негативних чисел ті ж подільники, що і у відповідних позитивних, то НСД (- 14, 105, 2 107, - 91) \u003d НСД (14, 105, 2 107, 91). Згідно з правилами, які ми привели в статті про знаходження найбільшого загального дільника, в даному випадку НСД буде дорівнює семи.
відповідь: сім більше одиниці, значить, взаємно простими ці числа не є.
Основні властивості взаємно простих чисел
Такі числа мають деякі практично важливі властивості. Перерахуємо їх по порядку і доведемо.
визначення 3
Якщо розділити цілі числа a і b на число, відповідне їх найбільшою загальною делителю, ми отримаємо взаємно прості числа. Інакше кажучи, a: НСД (a, b) і b: НСД (a, b) будуть взаємно простими.
Це властивість ми вже доводили. Доказ можна подивитися в статті про властивості найбільшого спільного дільника. Завдяки йому ми можемо визначати пари взаємно простих чисел: досить лише взяти два будь-яких цілих числа і виконати поділ на НОД. У підсумку ми повинні отримати взаємно прості числа.
визначення 4
Необхідною і достатньою умовою взаємної простоти чисел a і b є існування таких цілих чисел u 0 і v 0, При яких рівність a · u 0 + b · v 0 \u003d 1 буде вірним.
доказ 1
Почнемо з докази необхідності цього умови. Припустимо, у нас є два взаємно простих числа, позначених a і b. Тоді за визначенням цього поняття їх найбільший спільний дільник буде дорівнювати одиниці. З властивостей НСД нам відомо, що для цілих a і b існує співвідношення Безу a · u 0 + b · v 0 \u003d НСД (a, b). З нього отримаємо, що a · u 0 + b · v 0 \u003d 1. Після цього нам треба довести достатність умови. нехай рівність a · u 0 + b · v 0 \u003d 1 буде вірним, в такому випадку, якщо НСД (a, b) ділить і a , і b, то він буде ділити і суму a · u 0 + b · v 0, І одиницю відповідно (це можна стверджувати, виходячи з властивостей подільності). А таке можливо тільки в тому випадку, якщо НСД (a, b) \u003d 1, Що доводить взаємну простоту a і b.
Справді, якщо a і b є взаємно простими, то згідно з попереднім властивості, буде вірним рівність a · u 0 + b · v 0 \u003d 1. Множимо обидві його частини на c і \u200b\u200bотримуємо, що a · c · u 0 + b · c · v 0 \u003d c. Ми можемо розділити перший доданок a · c · u 0 + b · c · v 0 на b, тому що це можливо для a · c, і другий доданок також ділиться на b, адже один з множників у нас дорівнює b. З цього робимо висновок, що всю суму можна розділити на b, а оскільки ця сума дорівнює c, то c можна розділити на b.
визначення 5
Якщо два цілих числа a і b є взаємно простими, то НСД (a · c, b) \u003d НСД (c, b).
доказ 2
Доведемо, що НОД (a · c, b) буде ділити НСД (c, b), а після цього - що НОД (c, b) ділить НСД (a · c, b), що і буде доказом вірності рівності НСД (a · c, b) \u003d НСД (c, b).
Оскільки НОД (a · c, b) ділить і a · c і b, а НОД (a · c, b) ділить b, то він також буде ділити і b · c. Значить, НСД (a · c, b) ділить і a · c і b · c, отже, в силу властивостей НСД він ділить і НСД (a · c, b · c), який буде дорівнює c · НСД (a, b ) \u003d c. Отже, НСД (a · c, b) ділить і b і c, отже, ділить і НСД (c, b).
Також можна сказати, що оскільки НСД (c, b) ділить і c, і b, то він буде ділити і c, і a · c. Значить, НОД (c, b) ділить і a · c і b, отже, ділить і НСД (a · c, b).
Таким чином, НСД (a · c, b) і НСД (c, b) взаємно ділять один одного, значить, вони є рівними.
визначення 6
Якщо числа з послідовності a 1, a 2, ..., a k будуть взаємно простими по відношенню до чисел послідовності b 1, b 2, ..., b m (При натуральних значеннях k і m), то їх твори a 1 · a 2 · ... · a k і b 1 · b 2 · ... · b m також є взаємно простими, зокрема, a 1 \u003d a 2 \u003d ... \u003d a k \u003d a і b 1 \u003d b 2 \u003d ... \u003d b m \u003d b, то a k і b m - взаємно прості.
доказ 3
Згідно з попереднім властивості, ми можемо записати рівності такого вигляду: НОД (a 1 · a 2 · ... · a k, b m) \u003d НСД (a 2 · ... · a k, b m) \u003d ... \u003d НСД (a k, b m) \u003d 1. Можливість останнього переходу забезпечується тим, що a k і b m взаємно прості за умовою. Значить, НСД (a 1 · a 2 · ... · a k, b m) \u003d 1.
Позначимо a 1 · a 2 · ... · ak \u003d A і отримаємо, що НОД (b 1 · b 2 · ... · bm, a 1 · a 2 · ... · ak) \u003d НСД (b 1 · b 2 · ... · bm , A) \u003d НСД (b 2 · ... · b · bm, A) \u003d ... \u003d НСД (bm, A) \u003d 1. Це буде справедливим в силу останнього рівності з ланцюжка, побудованої вище. Таким чином, у нас вийшло рівність НОД (b 1 · b 2 · ... · b m, a 1 · a 2 · ... · a k) \u003d 1, за допомогою якого можна довести взаємну простоту творів a 1 · a 2 · ... · a k і b 1 · b 2 · ... · b m
Це все властивості взаємно простих чисел, про які б ми хотіли вам розповісти.
Поняття попарно простих чисел
Знаючи, що з себе представляють взаємно прості числа, ми можемо сформулювати визначення попарно простих чисел.
визначення 7
Попарно прості числа - це послідовність цілих чисел a 1, a 2, ..., a k, де кожне число буде взаємно простим по відношенню до решти.
Прикладом послідовності попарно простих чисел може бути 14, 9, 17, і - 25. Тут все пари (14 і 9, 14 і 17, 14 і - 25, 9 і 17, 9 і - 25, 17 і - 25) взаємно прості. Відзначимо, що умова взаємної простоти є обов'язковим для попарно простих чисел, але взаємно прості числа будуть попарно простими далеко не у всіх випадках. Наприклад, в послідовності 8, 16, 5 і 15 числа не є такими, оскільки 8 і 16 Не будуть взаємно простими.
Також слід зупинитися на понятті сукупності певної кількості простих чисел. Вони завжди будуть і взаємно, і попарно простими. Прикладом може бути послідовність 71, 443, 857, 991. У випадку з простими числами поняття взаємної і попарной простоти будуть збігатися.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter