Нід взаємно прості числа. Взаємно прості числа: визначення, приклади та властивості

Запам'ятайте!

Якщо натуральне число ділиться тільки на 1 і на себе, воно називається простим.

Будь-яке натуральне число завжди ділиться на 1 і на себе.

Число 2 – найменше просте число. Це єдине парне просте число, інші прості числа непарні.

Простих чисел багато, і серед них — число 2 . Однак немає останнього простого числа. У розділі «Для навчання» можна скачати таблицю простих чисел до 997 .

Але багато натуральних чисел діляться націло ще й на інші натуральні числа.

Наприклад:

число 12 ділиться на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
число 36 ділиться на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, куди число ділиться націло (для 12 це 1, 2, 3, 4, 6 і 12 ) називаються дільниками числа.

Запам'ятайте!

Дільник натурального числа a - це таке натуральне число, яке ділить це число "a" без залишку.

Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складовим.

Зверніть увагу, що числа 12 та 36 мають спільні дільники. Це числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Найбільший із дільників цих чисел - 12 .

Загальний дільник двох даних чисел "a" і "b" - це число, на яке діляться без залишку обидва дані числа "a" і "b".

Запам'ятайте!

Найбільший спільний дільник(НОД) двох даних чисел «a» та «b» — це найбільше число, на яке обидва числа «a» та «b» діляться без залишку.

Коротко найбільший спільний дільник чисел a і b записують так:

НОД (a; b) .

Приклад: НОД (12; 36) = 12 .

Дільники чисел у записі рішення позначають великою літерою "Д".

Д (7) = (1, 7)

Д (9) = (1, 9)

НОД (7; 9) = 1

Числа 7 і 9 мають лише один спільний дільник - число 1. Такі числа називають взаємно простими числами.

Запам'ятайте!

Взаємно прості числа- Це натуральні числа, які мають тільки один спільний дільник - число 1. Їхній НОД дорівнює 1 .

Як знайти найбільший спільний дільник

Щоб знайти НОД двох чи більше натуральних чисел потрібно:

розкласти дільники чисел на прості множники;

Обчислення зручно записувати за допомогою вертикальної межі. Зліва від риси спочатку записуємо ділене, праворуч - дільник. Далі у лівому стовпці записуємо значення приватних.

Пояснимо одразу на прикладі. Розкладемо на прості множники числа 28 та 64 .

Підкреслюємо однакові прості множники в обох числах.
28 = 2 · 2 · 7
64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
Знаходимо добуток однакових простих множників та записати відповідь;
НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4
Відповідь: НОД (28; 64) = 4

Оформити перебування НОД можна двома способами: у стовпчик (як робили вище) або «в рядок».

Прості та складові числа

Визначення 1 . Спільним дільником кількох натуральних чисел називають число, яке є дільником кожного із цих чисел.

Визначення 2 . Найбільший із спільних дільників називають найбільшим спільним дільником (НДД).

приклад 1 . Загальними дільниками чисел 30, 45 та 60 будуть числа 3, 5, 15. Найбільшим спільним дільником цих чисел буде

НОД (30, 45, 10) = 15 .

Визначення 3 . Якщо найбільший спільний дільник кількох чисел дорівнює 1, то ці числа називають взаємно простими.

Приклад 2 . Числа 40 і 3 будуть взаємно простими числами, а числа 56 і 21 не є взаємно простими, оскільки у чисел 56 і 21 є спільний дільник 7 який більший, ніж 1.

Зауваження. Якщо чисельник дробу та знаменник дробу є взаємно простими числами, то такий дріб нескоротний.

Алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника

Розглянемо алгоритм знаходження найбільшого спільного дільникакількох чисел на прикладі.

Приклад 3 . Знайти найбільший спільний дільник чисел 100, 750 та 800 .

Рішення . Розкладемо ці числа на прості множники:

Простий множник 2 у перше розкладання на множники входить до ступеня 2 , до другого розкладання – до ступеня 1 , до третього розкладання – до ступеня 5 . Позначимо найменшу з цих ступенів літерою a. Очевидно, що a = 1 .

Простий множник 3 у перше розкладання на множники входить до ступеня 0 (іншими словами, множник 3 у перше розкладання на множники взагалі не входить), у друге розкладання входить до ступеня 1 , до третього розкладання – до ступеня 0 . Позначимо найменшу з цих ступенів літерою b. Очевидно, що b = 0 .

Простий множник 5 у перше розкладання на множники входить до ступеня 2 , до другого розкладання – до ступеня 3 , до третього розкладання – до ступеня 2 . Позначимо найменшу з цих ступенів літерою c. Очевидно, що c = 2 .

09.07.2015 6119 0

Цілі: формувати навичку знаходження найбільшого спільного дільника; запровадити поняття взаємно простих чисел; відпрацьовувати вміння розв'язувати завдання використання НОД чисел; вивчати аналізувати, робити висновки.

ІІ. Усний рахунок

1. Чи може розкладання на прості множники числа 24753 містити множник 5? Чому? (Ні, оскільки запис цього числа не закінчується цифрою 0 або 5.)

2. Назвіть число, яке ділиться на всі числа без залишку. (Нуль.)

3. Сума двох цілих чисел непарна. Парно чи непарно їхній твір? (Якщо сума двох чисел непарна, то одне число парне, друге непарно. Оскільки один із множників парне число, отже, він ділиться на 2, отже, і твір ділиться на 2. Тоді і весь твір парний.)

4. В одній сім'ї кожен із трьох братів має сестру. Скільки дітей у сім'ї? (4 дітей: троє хлопчиків та одна їхня сестра.)

III . Індивідуальна робота

Розкладіть число 210 усіма можливими способами:

а) на 2 множники; (210 = 21 · 10 = 14 · 15 = 7 · 30 = 70 · 3 = 6 · 35 = 42 · 5 = 105 · 2.)

б) на 3 множники; (210 = 3 · 7 · 10 = 5 · 3 · 14 = 7 · 5 · 6 = 35 · 2 · 3 = 21 · 2 · 5 = 7 · 2 · 15.)

в) на 4 множники. (210 = 3 · 7 · 2 · 5.)

IV. Повідомлення теми уроку

«Числа правлять світом». Ці слова належать давньогрецькому математику Піфагору, який жив у V ст. до н.е.

Сьогодні ми познайомимося ще з однією групою чисел, що називаються взаємно простими.

V. Вивчення нового матеріалу

1. Підготовча робота.

№ 146 стор. 25 (на дошці та у зошитах). (Самостійно, у цей час один учень працює на звороті дошки.)

Знайдіть усі дільники кожного числа.

Наголосіть на їхніх спільних дільниках.

Запишіть спільний дільник.

Відповідь:

Які числа мають лише один спільний дільник? (35 та 88.)

2. Робота над новою темою.

(Самостійно, у цей час один учень працює на звороті дошки.)

Знайдіть найбільший спільний дільник чисел: 7 та 21; 25 та 9; 8 та 12; 5 та 3; 15 та 40; 7 та 8.

Відповідь:

НОД (7; 21) = 7; НОД (25; 9) = 1; НОД (8; 12) = 4;

НОД (5; 3) = 1; НОД (15; 40) = 5; НОД (7; 8) = 1.

Які пари чисел мають однаковий спільний дільник? (25 і 9; 5 і 3; 7 і 8 - спільний дільник 1.)

Такі числа називаються простими.

Дайте визначення взаємно простих чисел.

Наведіть приклади взаємно простих чисел. (35 та 88, 3 та 7; 12 та 35; 16 та 9.)

VI. Історична хвилина

Стародавні греки вигадали чудовий спосіб, що дозволяє шукати найбільший спільний дільник двох натуральних чисел без розкладання на множники. Він звався «Алгоритма Евкліда».

Про життя грецького математика Евкліда достовірні дані невідомі. Йому належить визначний науковий твір, званий «Початки». Воно складається з 13 книг та викладає основи всієї давньогрецької математики.

Саме тут описується алгоритм Евкліда, який у тому, що найбільшим спільним дільником двох натуральних чисел є останній, відмінний він нуля, залишок при послідовному розподілі цих чисел. Під послідовним розподілом мається на увазі розподіл більшого числа на менше, меншого числа на перший залишок, першого залишку на другий залишок і т.д., Поки розподіл не закінчиться без залишку. Припустимо, потрібно знайти НОД (455; 312), тоді

455: 312 = 1 (зуп. 143), отримуємо 455 = 312 · 1 + 143.

312: 143 = 2 (зуп. 26), 312 = 143 · 2 + 26,

143: 26 = 5 (зуп. 13), 143 = 26 · 5 + 13,

26: 13 = 2 (зуп. 0), 26 = 13 · 2.

Останній дільник або останній, відмінний від нуля залишок 13 і буде шуканим НОД (455; 312) = 13.

VII. Фізкультхвилинка

VIII. Робота над завданням

1. № 152 стор. 26 (з докладним коментуванням біля дошки та у зошитах).

Прочитайте завдання.

Про кого йдеться у завданні?

Про що йдеться у задачі?

Назвіть 1 питання задачі.

Як дізнатися, скільки хлопців було на ялинці? (Знайти НОД чисел 123 і 82.)

Прочитайте завдання з цього зошита. (Кількість апельсинів і яблук має ділитися на те саме найбільше число.)

Як дізнатися, скільки апельсинів було у кожному подарунку? (Усю кількість апельсинів розділити на кількість присутніх на ялинці дітей.)

Як дізнатися скільки яблук було в кожному подарунку? (Усю кількість яблук розділити на кількість присутніх на ялинці дітей.)

Запишіть розв'язання завдання у зошитах на друкованій основі.

Рішення:

НОД (123; 82) = 41, отже, 41 людина.

123: 41 = 3 (ап.)

82: 41 = 2 (ябл.)

(Відповідь: хлопців 41, апельсинів 3, яблук 2)

2. № 164 (2) стор. 27 (після короткого розбору, один учень - на звороті дошки, інші самостійно, потім самоперевірка).

Прочитайте завдання.

Чому дорівнює градусна міра розгорнутого кута?

Якщо один кут у 4 рази менший, то що можна сказати про другий кут? (Він у 4 рази більше.)

Запишіть це у короткий запис.

Яким чином вирішуватимете завдання? (Алгебраїчним.)

Рішення:

1) Нехай х - градусний захід кута СОК,

4х - градусний захід кута KOD.

Оскільки сума кутів СОК і KOD дорівнює 180 °, то складемо рівняння:

х + 4х = 180

5х = 180

х = 180: 5

х = 36; 36° - градусний захід кута СОК.

2) 36 · 4 = 144 ° - градусна міра кута KOD.

(Відповідь: 36 °, 144 °.)

Побудуйте ці кути.

Визначте вид кутів СІК та KOD . (Кут СІК - гострий, кут KOD - тупий.)

Чому?

IX. Закріплення вивченого матеріалу

1. № 149 стор. 26 (біля дошки з докладним коментарем).

Що потрібно зробити, щоб визначити, чи є числа взаємно простими? (Знайти їх найбільший спільний дільник, якщо він дорівнює 1, то взаємно прості числа.)

2. № 150 стор. 26 (усно).

Підтвердьте відповідь. (9 і 14; 14 і 15; 14 і 27 - пари взаємно простих чисел, тому що їх НОД дорівнює 1.)

3. № 151 стор. 26 (один учень біля дошки, інші в зошитах).

(Відповідь: .)

Хто не згоден?

4. Усно, з докладним поясненням.

Як знаходять найбільший спільний дільник кількох натуральних чисел? (Знаходять так само, як і двох чисел.)

Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:

а) 18, 14 та 6; б) 26, 15 та 9; в) 12, 24, 48; г) 30, 50, 70.

Рішення:

а) 1. Перевіримо, чи діляться числа 18 та 14 на 6. Ні.

2. Розкладемо на прості множники найменше число 6 = 2 · 3.

3. Перевіримо, чи діляться числа 18 та 14 на 3. Ні.

4. Перевіримо, чи діляться числа 18 та 14 на 2. Так. Отже, НОД (18; 14; 6) = 2.

б) НОД (26; 15; 9) = 1.

Що можна сказати про ці числа? (Вони взаємно прості.)

в) НОД (12; 24; 48) = 12.

г) НОД (30; 50; 70) = 10.

X. Самостійна робота

Взаємоперевірка. (На дошці, що закривається, записані відповіді.)

Варіант I. № 161 (а, б) стор. 27, № 157 (б - 1 та 3 число) стор. 27.

Варіант ІІ . № 161 (в, г) стор. 27, № 157 (б - 2 та 3 число) стор. 27.

XI. Підбиття підсумків уроку

Які числа називають взаємно простими?

Як можна дізнатися, чи дані числа є взаємно простими?

Як знайти найбільший спільний дільник кількох натуральних чисел?

Домашнє завдання

№ 169 (6), 170 (в, г), 171, 174 стор 28.

Додаткове завдання:При перестановці цифр простого числа 311 знову вийде просте число (перевірте по таблиці простих чисел). Знайдіть усі двоцифрові числа, що мають таку ж властивість. (113, 131; 13, 31; 17, 71; 37, 73; 79, 97.)

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа ліцей № 57

міського округу Тольятті

"Найбільший спільний дільник. Взаємно прості числа.

Вчитель Костіна Т.К.

р. о. Тольятті

Тема уроку: «Найбільший спільний дільник.

Взаємно прості числа»

Попередня підготовка до уроку:учні повинні знати такі теми: «Дільники та кратні», «Ознаки ділимості на 10, 5, 2, 3, 9», «Прості та складові числа», «Розкладання на прості множники»»

Цілі уроку:

Освітня: вивчити поняття НОД та взаємно простих чисел; навчити учнів знаходити НОД чисел; створити умови для вироблення вміння узагальнювати вивчений матеріал, аналізувати, зіставляти та робити висновки.
Виховна: - формування навичок самоконтролю; виховання почуття відповідальності.
Розвиваюча: розвиток пам'яті, уяви, мислення, уваги, кмітливості.

Обладнання уроку:Таблиці НОД, підручники, картки-завдання у 4 варіантах із зразками рішення, слайди із зображенням тварин, карта Самарської області, фотографії ВАЗу.

Хід уроку

Хвилинки логічних задачУсна робота.

1. Бабуся та дідусь принесли з саду для двох своїх онуків за непарним числом абрикос. Чи можна ці абрикоси поділити порівну між онуками? [можна, можливо]

2. Від одного села до іншого 3 км. З цих сіл назустріч один одному з тією самою швидкістю вийшли двоє людей. Зустріч відбулася за півгодини. Знайдіть швидкість кожного.

3.Турист пройшов 2/5 всього шляху. Після цього йому залишилося пройти на 4 км більше, ніж він пройшов. Знайдіть весь шлях.

4. Кількість яєць у кошику менше 40. Якщо їх порахувати парами, то залишиться 1 яйце. Якщо порахувати їх трійками, то все одно залишиться по одному яйцю. Скільки яєць у кошику? (31)

2. Повторення.

По таблиці повторюємо визначення дільника, кратного, ознаки ділимості, визначення простих чи складових чисел. На екрані слайди із зображенням тварин, карта Самарської області, фотографії ВАЗу.

3. Вивчення нового матеріалу у вигляді бесіди.

Назвіть дільники числа 18, 21, 24.
Площа ВАЗу 500 га. На які звичайні множники можна розкласти це число? 500 = 2 * 5 * 2 * 5 * 5 = 2 2 * 5 3
Назвіть спільні дільники чисел 120 та 80.
Маса ведмедя 525 кг. Маса слона 5025 кг. Назвіть кілька спільних дільників
Бобер важить 24 кг, а його довжина 97 см. Які ці числа прості чи складні? Назвіть їх спільні дільники.
56 640 т кисню витрачає 1 пасажирський літак за 9 годин роботи. Така кількість кисню виділяється при фотосинтезі 35 000 га лісу. Назвіть кількох дільників цього числа.
Які із цих чисел прості, а які складові? 111, 313, 323, 437, 549, 677, 781, 891?

Легенда свідчить, що коли один із помічників Магомета – мудрець Хозрат Алі сідав на коня, людина, що підійшла до нього, запитав його: «Яке число ділиться на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без залишку?» Мудрець відповів: «Помнож число днів у тижні на число днів на місяці (30) і на число місяців на рік. Перевірте, чи має рацію Хозрат Алі?

Який із чисел ділиться на всі числа без залишку?
Яке число є дільником будь-якого натурального числа?
Чи ділиться вираз 34*28+85*20 на 17?
Чи ділиться вираз 4132*7008 на 3?
Чому дорівнює приватне (3 * 5 * 2 * 7 * 13) / (5 * 2 * 13) =?
Чому дорівнює твір (2 * 5 * 5 * 5 * 3) * (2 * 2 * 2 * 2 * 3)?
Назвіть кілька простих чисел.

Числа сусіди 2 та 3; 3 та 5; 5 та 7 –близнюки. У першій сотні 25 простих чисел. У першій тисячі – 168 простих чисел. В даний час найбільші числа близнюки: 1000000009649 і 1000000009681. Найбільше просте число, яке відоме в даний час записано 25962 знаками і дорівнює 28643 -1. Це дуже велика кількість. Уявімо, маленький паросток і його зріст за кожен день збільшувався б удвічі. Він зростав би 263 роки і виріс на недосяжну висоту у Всесвіті.

Чим далі ми йдемо натуральним рядом чисел, тим важче знаходити прості числа. Уявімо, що ми летимо літаком, який летить уздовж натурального ряду. Навколо темно і лише прості числа позначені вогниками. На початку шляху вогників багато, а потім все рідше і рідше.

Давньогрецький вчений Евклід 2300 років тому довів, що простих чисел нескінченно багато, і що найбільшого простого числа не існує.

Проблемою простих чисел займалося багато вчених математики, у тому числі давньогрецький вчений Ератосфен. Його метод відшукання найпростіших чисел назвали решетом Ератосфена.

Гольдбах і Ейлер, що жили в 18 столітті і були членами Петербурзької академії наук, займалися проблемою простих чисел. Вони припускали, що будь-яке натуральне число можна у вигляді суми простих чисел, але це не доведено. 1937 року радянський академік Виноградов довів цю пропозицію.

Індійський слон прожив 65 років, крокодил – 51 рік, верблюд – 23, кінь – 19 років. Які з цих чисел прості та складові?
Зайця наздоганяє вовк, йому треба пробратися через лабіринт. Можна пройти, якщо у відповіді просте число [лабіринти у вигляді кіл, на яких по три приклади, а в центрі будиночок]

Наступні приклади хлопці вирішують усно, називають прості числа.

1000-2; 250*2+9; 310/5
24/4, 2 2 +41, 23+140
10-3; 133+12; 28*5

Завдання. Яке найбільше число однакових подарунків можна скласти з 48 цукерок «Ластівка» та 36 цукерок «Чебурашка», якщо треба використовувати всі цукерки.

До завдання на дошці запис:

Дільники 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48

Дільники 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36

НОД (48; 36) = 12  12 подарунків  визначення НОД дільника  правило знаходження НОД

А як знайти НОД великих чисел, коли важко перерахувати усі дільники. За таблицею та підручником виводимо правило. Виділяємо основні слова: розкласти, скласти, перемножити.

Показую приклади знаходження НОД з великих чисел, тут можна сказати, що НОД великих чисел можна знаходити за допомогою алгоритму Евкліда. Детально з цим алгоритмом ми ознайомимося на заняттях математичної школи.

Алгоритм – це правило, яким виконуються дії. У 9 столітті такі правила надав арабський математик Альхваруїмі.

4. Робота у групах по 4 особи.

Кожен отримує один із 4 варіантів завдань, де зазначено наступне:

Учень повинен за підручником вивчити теорію та відповісти на одне запитання
Вивчити приклад знаходження НІД
Виконати завдання самостійної роботи.

Вчитель консультує учнів під час роботи. Після виконання свого завдання хлопці розповідають один одному відповіді на свої запитання. Таким чином, до кінця виконання цієї частини уроку учні повинні знати всі чотири варіанти. Потім проводиться аналіз всієї роботи, вчитель відповідає на питання учнів.

Наприкінці роботи проводиться невелика самостійна робота.

Картки КСВ

Варіант 1

1. Яке число називається простим? Яке число називається складовим?

2. Знайти НОД (96; 36)

Щоб знайти НОД чисел, треба розкласти ці числа на прості множники.

96	2
48	2
24	2
12	2
6	2
3	3
1

36	2
18	2
9	3
3	3
1

36=2 2 *3 2

96=2 5 *3

До розкладання числа, що є НОД чисел 96 і 36, увійдуть загальні прості множники з найменшим показником:

НОД (96; 36) = 2 2 * 3 = 4 * 3 = 12

3. Вирішіть самостійно. НОД(102; 84), НОД(75; 28), НОД(120; 144)

Варіант 2

1. Що означає розкласти натуральне число на прості множники? Яке число називається загальним дільником цих чисел?

2. Зразок НОД (54; 72) = 18

3. Вирішіть самостійно НОД(144; 128), НОД (81; 64), НОД(360; 840)

Варіант 3

1. Які числа називаються взаємно простими? Наведіть приклад.

2. Зразок НОД (72; 96) = 24

3. Вирішіть самостійно НОД(102; 170), НОД(45; 64), НОД(864; 192)

Варіант 4

1. Як знайти спільний дільник чисел?

2. Зразок НОД (360; 432)

3. Вирішіть самостійно НОД (135; 105), НОД (128; 75), НОД (360; 8400)

Самостійна робота

Варіант 1	Варіант 2	Варіант 3	Варіант 4
НОД (180; 120)	НОД (150; 375)	НОД (135; 315; 450)	НОД (250; 125; 375)
НОД (2016; 1320)	НОД (504; 756)	НОД (1575, 6615)	НОД (468; 702)
НОД (3120; 900)	НОД (1028; 1152)	НОД (1512; 1008)	НОД (3375; 2250)

5. Підбиття підсумків уроку. Повідомлення оцінок за самостійну роботу.

У цій статті ми розповімо, що таке взаємно прості числа. У першому пункті сформулюємо визначення двох, трьох і більше взаємно простих чисел, наведемо кілька прикладів і покажемо, у яких випадках два числа вважатимуться простими стосовно друг до друга. Після цього перейдемо до формулювання основних властивостей та їх доказів. В останньому пункті ми поговоримо про пов'язане поняття – попарно прості числа.

Що таке взаємно прості числа

Взаємно простими можуть бути як два цілих числа, так і їхня більша кількість. Для початку введемо визначення для двох чисел, для чого нам знадобиться поняття їхнього найбільшого спільного дільника. Якщо потрібно, повторіть матеріал, присвячений йому.

Визначення 1

Взаємно простими будуть такі числа a і b , найбільший загальний дільник яких дорівнює 1 , тобто . НОД (a, b) = 1 .

З цього визначення можна дійти невтішного висновку, що єдиний позитивний загальний дільник у двох взаємно простих чисел дорівнюватиме 1 . Усього два таких числа мають два спільні дільники – одиницю та мінус одиницю.

Які приклади взаємно простих чисел? Наприклад, такою парою будуть 5 та 11 . Вони мають лише один загальний позитивний дільник, що дорівнює 1 , що є підтвердженням їхньої взаємної простоти.

Якщо ми візьмемо два простих числа, то по відношенню один до одного вони будуть взаємно простими у всіх випадках, однак такі взаємні відносини утворюються також між складовими числами. Можливі випадки, коли одне число в парі взаємно простих є складовим, а друге простим, або складовими є вони обидва.

Це твердження ілюструє наступний приклад: складові числа - 9 та 8 утворюють взаємно просту пару. Доведемо це, вирахувавши їх найбільший спільний дільник. Для цього запишемо усі їхні дільники (рекомендуємо перечитати статтю про знаходження дільників числа). У 8 це будуть числа ±1, ±2, ±4, ±8, а у 9 – ±1, ±3, ±9. Вибираємо з усіх дільників той, що буде загальним та найбільшим – це одиниця. Отже, якщо НОД (8 , − 9) = 1 , то 8 і - 9 будуть взаємно простими один до одного.

Взаємно простими числами не є 500 і 45, оскільки вони мають ще один спільний дільник – 5 (див. статтю про ознаки ділимості на 5). П'ять більше одиниці та є позитивним числом. Іншою подібною парою можуть бути - 201 і 3, оскільки їх обидва можна розділити на 3, на що вказує відповідну ознаку ділимості.

Насправді досить часто доводиться визначати взаємну простоту двох цілих чисел. З'ясування цього можна звести до пошуку найбільшого спільного дільника та порівняння його з одиницею. Також зручно користуватися таблицею простих чисел, щоб не робити зайвих обчислень: якщо одне із заданих чисел є в цій таблиці, значить, воно ділиться тільки на одиницю і саме на себе. Розберемо розв'язання такого завдання.

Приклад 1

Умова:з'ясуйте, чи є взаємно простими числа 275 та 84 .

Рішення

Обидва числа мають більше одного дільника, тому відразу назвати їх взаємно простими ми не можемо.

Обчислюємо найбільший спільний дільник, використовуючи алгоритм Евкліда: 275 = 84 · 3 + 23, 84 = 23 · 3 + 15, 23 = 15 · 1 + 8, 15 = 8 · 1 + 7, 8 = 7 · 1 + 1, = 7 · 1.

Відповідь:оскільки НОД (84, 275) = 1, то дані числа будуть взаємно простими.

Як ми вже говорили раніше, визначення таких чисел можна поширити і на випадки, коли ми маємо не два числа, а більше.

Визначення 2

Взаємно простими цілі числа a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 будуть тоді, коли вони мають найбільший спільний дільник, що дорівнює 1 .

Іншими словами, якщо ми маємо набір деяких чисел з найбільшим позитивним дільником, більшим 1 , то всі ці числа не по відношенню один до одного взаємно зворотні.

Візьмемо кілька прикладів. Так, цілі числа − 99 , 17 та − 27 – взаємно прості. Будь-яка кількість простих чисел буде взаємно простою по відношенню до всіх членів сукупності, як, наприклад, у послідовності 2, 3, 11, 19, 151, 293 і 667. А ось числа 12, − 9, 900 і − 72 взаємно простими не будуть, тому що, крім одиниці, у них буде ще один позитивний дільник, рівний 3 . Те саме стосується числа 17 , 85 і 187: крім одиниці, їх можна розділити на 17 .

Зазвичай взаємна простота чисел не є очевидною з першого погляду, цей факт потребує доказу. Щоб з'ясувати, чи будуть деякі числа взаємно простими, потрібно знайти їх найбільший спільний дільник і зробити висновок на підставі порівняння з одиницею.

Приклад 2

Умова: визначте, чи є числа 331, 463 та 733 взаємно простими.

Рішення

Звіримося з таблицею простих чисел і визначимо, що всі ці числа в ній є. Тоді їх спільним дільником може бути лише одиниця.

Відповідь:всі ці числа будуть взаємно простими стосовно один одного.

Приклад 3

Умова:наведіть доказ того, що числа − 14 , 105 , − 2 107 та − 91 не є взаємно простими.

Рішення

Почнемо з виявлення їхнього найбільшого спільного дільника, після чого переконаємося, що він не дорівнює 1 . Оскільки у негативних чисел ті ж дільники, що й у відповідних позитивних, то НОД (− 14 , 105 , 2 107 , − 91) = НОД (14 , 105 , 2 107 , 91) . Згідно з правилами, які ми привели в статті про знаходження найбільшого спільного дільника, в даному випадку НОД дорівнюватиме семи.

Відповідь:сім більше одиниці, отже, взаємно простими ці числа не є.

Основні властивості взаємно простих чисел

Такі числа мають деякі практично важливі властивості. Перерахуємо їх по порядку та доведемо.

Визначення 3

Якщо поділити цілі числа a і b на число, що відповідає їхньому найбільшому загальному дільнику, ми отримаємо взаємно прості числа. Інакше кажучи, a: НОД (a, b) і b: НОД (a, b) будуть взаємно простими.

Цю властивість ми вже доводили. Доказ можна переглянути у статті про властивості найбільшого спільного дільника. Завдяки йому ми можемо визначати пари взаємно простих чисел: достатньо взяти два будь-яких цілих числа і виконати розподіл на НОД. У результаті ми маємо отримати взаємно прості числа.

Визначення 4

Необхідною та достатньою умовою взаємної простоти чисел a та b є існування таких цілих чисел u 0і v 0, за яких рівність a · u 0 + b · v 0 = 1буде вірним.

Доказ 1

Почнемо з доказу необхідності цієї умови. Припустимо, у нас є два взаємно прості числа, позначені a і b . Тоді за визначенням цього поняття їх найбільший спільний дільник дорівнюватиме одиниці. З властивостей НОД нам відомо, що для цілих a і b існує співвідношення Безу a · u 0 + b · v 0 = НОД (a, b). З нього отримаємо, що a · u 0 + b · v 0 = 1. Після цього нам треба довести достатність умов. Нехай рівність a · u 0 + b · v 0 = 1буде вірним, у разі, якщо НОД (a, b)ділить і a , і b , то він ділитиме і суму a · u 0 + b · v 0, і одиницю відповідно (це можна стверджувати, з властивостей ділимості). А таке можливе лише в тому випадку, якщо НОД (a, b) = 1, що доводить взаємну простоту a і b.

Справді, якщо a і b є взаємно простими, то згідно з попередньою властивістю буде вірною рівність a · u 0 + b · v 0 = 1. Примножуємо обидві його частини на c і отримуємо, що a · c · u 0 + b · c · v 0 = c. Ми можемо розділити перший доданок a · c · u 0 + b · c · v 0на b, тому що це можливо для a · c, і другий доданок також поділяється на b, адже один із множників у нас дорівнює b. З цього укладаємо, що всю суму можна розділити на b, а оскільки ця сума дорівнює c, то можна розділити на b.

Визначення 5

Якщо два цілих числа a і b є взаємно простими, то НОД (a · c, b) = НОД (c, b).

Доказ 2

Доведемо, що НОД (a · c , b) ділитиме НОД (c , b) , а потім – що НОД (c , b) ділить НОД (a · c , b) , що буде доказом вірності рівності НОД (a · c, b) = НОД (c, b).

Оскільки НОД (a · c, b) ділить і a · c і b, а НОД (a · c, b) ділить b, то він також буде ділити і b · c. Отже, НОД (a · c , b) ділить і a · c і b · c , отже, в силу властивостей НОД він ділить і НОД (a · c , b · c) , який дорівнює c · НОД (a , b ) = c. Отже, НОД (a · c, b) ділить і b і c, отже, ділить і НОД (c, b).

Також можна сказати, що оскільки НОД (c, b) ділить і c, і b, то він ділитиме і c, і a · c. Значить, НОД (c, b) ділить і a · c і b, отже, ділить і НОД (a · c, b).

Таким чином, НОД (a · c, b) і НОД (c, b) взаємно ділять один одного, отже, вони є рівними.

Визначення 6

Якщо числа з послідовності a 1 , a 2 , … , a kбудуть взаємно простими щодо числа послідовності b 1 , b 2 , … , b m(при натуральних значеннях k і m), їх твори a 1 · a 2 · … · a kі b 1 · b 2 · … · b mтакож є взаємно простими, зокрема, a 1 = a 2 = … = a k = aі b 1 = b 2 = … = b m = b, то a kі b m- Взаємно прості.

Доказ 3

Згідно з попередньою властивістю, ми можемо записати рівності наступного виду: НОД (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = НОД (a 2 · … · a k , b m) = … = НОД (a k , b m) = 1 . Можливість останнього переходу забезпечується тим, що k і b m взаємно прості за умовою. Отже, НОД (a 1 · a 2 · … · ak, b m) = 1 .

Позначимо a 1 · a 2 · … · ak = A і отримаємо, що НОД (b 1 · b 2 · … · bm , a 1 · a 2 · … · ak) = НОД (b 1 · b 2 · … · bm , A) = НОД (b 2 · … · b · bm , A) = … = НОД (bm , A) = 1 . Це буде справедливим через останню рівність з ланцюжка, побудованого вище. Таким чином, у нас вийшла рівність НОД (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = 1 , за допомогою якої можна довести взаємну простоту творів a 1 · a 2 · … · a kі b 1 · b 2 · … · b m

Це все властивості взаємно простих чисел, про які ми хотіли б вам розповісти.

Поняття попарно простих чисел

Знаючи, що являють собою взаємно прості числа, ми можемо сформулювати визначення попарно простих чисел.

Визначення 7

Попарно прості числа– це послідовність цілих чисел a 1 , a 2 , … , a k , де кожне число буде взаємно простим щодо інших.

Прикладом послідовності попарно простих чисел може бути 14, 9, 17 та − 25 . Тут всі пари (14 і 9, 14 і 17, 14 і 25, 9 і 17, 9 і 25, 17 і 25) взаємно прості. Зазначимо, що умова взаємної простоти є обов'язковою для попарно простих чисел, але взаємно прості числа будуть попарно простими далеко не у всіх випадках. Наприклад, у послідовності 8 , 16 , 5 та 15 числа не є такими, оскільки 8 та 16 не будуть взаємно простими.

Також слід зупинитись на понятті сукупності деякої кількості простих чисел. Вони завжди будуть і взаємно, і попарно простими. Прикладом може бути послідовність 71, 443, 857, 991. У випадку з простими числами поняття взаємної та попарної простоти збігатимуться.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter