Обсяг піраміди. Обсяг піраміди Знайти об'єм піраміди без висоти
пірамідою називають багатогранник, підставою якого є довільний багатокутник, а всі грані являють собою трикутники із загальною вершиною, що є вершиною піраміди.
Піраміда - це об'ємна фігура. Саме тому досить часто потрібно знайти не тільки її площа, а й обсяг. Формула обсягу піраміди дуже проста:
де S - площа підстави, а h - висота піраміди.
висотою піраміди називається пряма, опущена з її вершини до основи під прямим кутом. Відповідно, щоб знайти об'єм піраміди, треба визначитися, який багатокутник лежить в основі, розрахувати його площу, дізнатися висоту піраміди і знайти її обсяг. Розглянемо приклад розрахунку обсягу піраміди.
Завдання: дана правильна чотирикутна піраміда. 
Сторони підстави a \u003d 3 см, всі бічні ребра b \u003d 4 см. Знайдіть об'єм піраміди.
Для початку згадаємо, що для розрахунку обсягу потрібно висота піраміди. Ми можемо знайти її по теоремі Піфагора. Для цього нам буде потрібно довжина діагоналі, а точніше - її половина. Тоді знаючи дві з боків прямокутного трикутника, ми зможемо знайти висоту. Для початку знаходимо діагональ: 
Підставимо значення в формулу: 
Висоту h ми знайдемо за допомогою d і ребра b: 
тепер знайдемо
Теорема. Обсяг піраміди дорівнює добутку площі її oснованія на третину її висоти.
Спочатку доведемо цю теорему для піраміди трикутної, а потім і багатокутної.
1) На підставі трикутної піраміди SABC (рис. 102) побудуємо таку призму SABCDE, у якій висота дорівнює висоті піраміди, а одне бічне ребро збігається з ребром SB. Доведемо, що обсяг піраміди складає третю частину обсягу цієї призми. Відділимо від призми дану піраміду. Тоді залишиться чотирикутна піраміда SADEC (яка для ясності зображена окремо). Проведемо в ній січну площину через вершину S і діагональ підстави DC. Утворені від цього дві трикутні піраміди мають загальну вершину S і рівні підстави DEC і DAC, що лежать в одній площині; отже, відповідно до доведеної вище лемме піраміди ці рівновеликі. Порівняємо одну з них, саме SDEC, з даної пірамідою. За основу піраміди SDEC можна взяти \\ (\\ Delta \\) SDE; тоді вершина її буде в точці С і висота дорівнює висоті даної піраміди. Так як \\ (\\ Delta \\) SDE \u003d \\ (\\ Delta \\) АВС, то згідно з тією ж лемме піраміди SDEC і SABC рівновеликі.
Призма ABCDES нами розбита на три рівновеликі піраміди: SABC, SDEC і SDAC. (Такому розбиття, очевидно, можна піддати будь-яку трикутну призму. Це є одним з важливих властивостей трикутної призми.) Таким чином, сума обсягів трьох пірамід, рівновеликих даної, становить обсяг призми; отже,
$$ V_ (SABC) \u003d \\ frac (1) (3) V_ (SDEABC) \u003d \\ frac (S_ (ABC) \\ cdot H) (3) \u003d S_ (ABC) \\ frac (H) (3) $$
де Н є висота піраміди.
2) Через якусь вершину Е (рис. 103) підстави багатокутної піраміди SABCDE проведемо діагоналі ЕВ та ЄС.
Потім через ребро SE і кожну з цих діагоналей проведемо січні площині. Тоді багатокутна піраміда розіб'ється на кілька трикутних, що мають висоту, спільну з даної пірамідою. Позначивши площі підстав трикутних пірамід через b 1 , b 2 , b 3 і висоту через Н, матимемо:
обсяг SABCDE \u003d 1/3 b 1 H + 1/3 b 2 H + 1/3 b 3 H \u003d ( b 1 + b 2 + b 3) H / 3 \u003d
\u003d (Площі ABCDE) H / 3.
Слідство. Якщо V, В і Н означають числа, які виражають в одиницях обсяг, площа підстави і висоту будь-якій піраміди, то
Теорема. Обсяг усіченої піраміди дорівнює сумі обсягів трьох пірамід, що мають висоту, однакову з висотою усіченої піраміди, а підставами: одна - нижня частина даної піраміди, інша - верхнє підставу, а площа підстави третьої піраміди дорівнює середньому геометричному площ верхнього і нижнього підстав.
Нехай площі підстав усіченою піраміди (рис. 104) будуть В і b, Висота Н і обсяг V (усічена піраміда може бути трикутна або багатокутна - все одно).
Потрібно довести, що
V \u003d 1/3 BH + 1/3 bH + 1/3 H √B b \u003d 1/3 H (B + b + √B b ),
де √B b є середнє геометричне між B і b.
Для доказу на меншому підставі помістимо малу піраміду, доповнює дану усічену піраміду до повної. Тоді обсяг усіченої піраміди V ми можемо розглядати як різницю двох обсягів - повної піраміди і верхньої додаткової.
Позначивши, висоту додаткової піраміди буквою х, Ми знайдемо, що
V \u003d 1/3 B (Н + х) - 1 / 3 b х \u003d 1/3 (BH + B х - bх) \u003d 1/3 [ВH + (В - b)х].
Для знаходження висоти х скористаємося теоремою з, згідно з якою ми можемо написати рівняння:
$$ \\ frac (B) (b) \u003d \\ frac ((H + x) ^ 3) (x ^ 2) $$
Для спрощення цього рівняння ізвлечём з обох частин його арифметичний квадратний корінь:
$$ \\ frac (\\ sqrt (B)) (\\ sqrt (b)) \u003d \\ frac (H + x) (x) $$
З цього рівняння (яке можна розглядати як пропорцію) отримаємо:
$$ x \\ sqrt (B) \u003d H \\ sqrt (b) + x \\ sqrt (b) $$
$$ (\\ sqrt (B) - \\ sqrt (b)) x \u003d H \\ sqrt (b) $$
і, отже,
$$ x \u003d \\ frac (H \\ sqrt (b)) (\\ sqrt (B) - \\ sqrt (b)) $$
Підставивши цей вираз в формулу, виведену нами для обсягу V, знайдемо:
$$ V \u003d \\ frac (1) (3) \\ left $$
Так як В - b \u003d (√B + √ b ) (√B - √ b ), То по скороченні дробу на різницю √B - √ b отримаємо:
$$ V \u003d \\ frac (1) (3) BH + (\\ sqrt (B) + \\ sqrt (b)) H \\ sqrt (b) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (1) (3) (BH + H \\ т. е. отримаємо ту формулу, яку потрібно було довести.
інші матеріали
Головною характеристикою будь-якої геометричної фігури в просторі є її обсяг. У цій статті розглянемо, що собою являє піраміда з трикутником в підставі, а також покажемо, як знаходити обсяг трикутної піраміди - правильної повної і усіченої.Що це - трикутна піраміда?
Кожен чув про древніх єгипетських пірамідах, проте вони є чотирикутними правильними, а не трикутними. Пояснимо, як отримати трикутну піраміду.
Візьмемо довільний трикутник і з'єднаємо всі його вершини з деякою однією точкою, розташованої поза площиною цього трикутника. Освічена фігура буде називатися трикутної пірамідою. Вона показана на малюнку нижче.
Як видно, розглянута фігура утворена чотирма трикутниками, які в загальному випадку є різними. Кожен трикутник - це сторони піраміди або її грань. Цю піраміду часто називають тетраедром, тобто чотиригранної об'ємної фігурою.
Крім сторін, піраміда також володіє ребрами (їх у неї 6) і вершинами (їх 4).
з трикутним підставою
Фігура, яка отримана з використанням довільного трикутника і точки в просторі, буде неправильною похилій пірамідою в загальному випадку. Тепер уявімо, що вихідний трикутник має однакові боку, а точка простору розташована точно над його геометричним центром на відстані h від площини трикутника. Побудована з використанням цих вихідних даних піраміда буде правильною.
Очевидно, що число ребер, сторін і вершин у правильної трикутної піраміди буде таким же, як у піраміди, побудованої з довільного трикутника.
Однак правильна фігура володіє деякими особливостями:
- її висота, проведена з вершини, точно перетне підставу в геометричному центрі (точка перетину медіан);
- бокова поверхня такої піраміди утворена трьома однаковими трикутниками, які є рівнобокими або рівносторонніми.
Правильна трикутна піраміда є не тільки чисто теоретичним геометричним об'єктом. Деякі структури в природі мають її форму, наприклад кристалічна решітка алмаза, де атом вуглецю сполучений з чотирма такими ж атомами ковалентними зв'язками, або молекула метану, де вершини піраміди утворені атомами водню.
трикутної піраміди
Визначити обсяг абсолютно будь-який піраміди з довільним n-кутником в підставі можна за допомогою наступного виразу:
Тут символ S o позначає площа підстави, h - це висота фігури, проведена до зазначеного підстави з вершини піраміди.
Оскільки площа довільного трикутника дорівнює половині твори довжини його сторони a на апофему h a, опущену на цю сторону, то формула обсягу трикутної піраміди може бути записана в наступному вигляді:
V \u003d 1/6 × a × h a × h
Для загального типу визначення висоти є непростим завданням. Для її вирішення найпростіше скористатися формулою відстані між точкою (вершиною) і площиною (трикутним підставою), представленої рівнянням загального вигляду.
Для правильної має конкретний вид. Площа підстави (рівностороннього трикутника) для неї дорівнює:
Підставляємо її в загальний вираз для V, отримуємо:
V \u003d √3 / 12 × a 2 × h
Окремим випадком є \u200b\u200bситуація, коли у тетраедра всі сторони виявляються однаковими рівносторонніми трикутниками. В цьому випадку визначити його обсяг можна, тільки виходячи з знання параметра його ребра a. Відповідне вираз має вигляд:
усічена піраміда
Якщо верхню частину, яка містить вершину, відсікти у правильної трикутної піраміди, то вийде усічена фігура. На відміну від вихідної вона буде складатися з двох рівносторонніх трикутних підстав і трьох рівнобедрених трапецій.
Нижче на фото показано, як виглядає правильна усічена піраміда трикутна, виготовлена \u200b\u200bз паперу.
Для визначення обсягу трикутної піраміди усіченої необхідно знати три її лінійних характеристики: кожну зі сторін підстав і висоту фігури, рівну відстані між верхнім і нижнім підставами. Відповідна формула для об'єму записується так:
V \u003d √3 / 12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Тут h - висота фігури, A і a - довжини сторін великого (нижнього) і малого (верхнього) рівносторонніх трикутників відповідно.
Рішення задачі
Щоб наведена інформація в статті була зрозуміліше для читача, покажемо на наочному прикладі, як користуватися деякими з записаних формул.
Нехай обсяг трикутної піраміди дорівнює 15 см 3. Відомо, що фігура є правильною. Слід знайти апофему a b бічного ребра, якщо відомо, що висота піраміди складає 4 см.
Оскільки відомі обсяг і висота фігури, то можна скористатися відповідною формулою для обчислення довжини сторони її підстави. маємо:
V \u003d √3 / 12 × a 2 × h \u003d\u003e
a \u003d 12 × V / (√3 × h) \u003d 12 × 15 / (√3 × 4) \u003d 25,98 см
a b \u003d √ (h 2 + a 2/12) \u003d √ (16 + 25,98 2/12) \u003d 8,5 см
Розрахована довжина апофеми фігури вийшла більше її висоти, що справедливо для піраміди будь-якого типу.
Піраміда - це багатогранник, в основі якого лежить багатокутник. Всі грані в свою чергу утворюють трикутники, які сходяться в одній вершині. Піраміди бувають трикутними, чотирикутними і так далі. Для того щоб визначити, яка піраміда перед вами, досить порахувати кількість кутів в її підставі. Визначення "висота піраміди" дуже часто зустрічається в завданнях по геометрії в шкільній програмі. У статті спробуємо розглянути різні способи її знаходження.
частини піраміди
Кожна піраміда складається з наступних елементів:
- бічні грані, які мають по три кути і сходяться у вершині;
- апофема є висоту, яка опускається з її вершини;
- вершина піраміди - це точка, яка з'єднує бічні ребра, але при цьому не лежить в площині основи;
- підстава - це багатокутник, на якому не лежить вершина;
- висота піраміди являє собою відрізок, який перетинає вершину піраміди і утворює з її основою прямий кут.
Як знайти висоту піраміди, якщо відомий її обсяг
Через формулу V \u003d (S * h) / 3 (у формулі V - об'єм, S - площа підстави, h - висота піраміди) знаходимо, що h \u003d (3 * V) / S. Для закріплення матеріалу давайте відразу ж вирішимо завдання. У трикутної основи дорівнює 50 см 2, тоді як її об'єм становить 125 см 3. Невідома висота трикутної піраміди, яку нам і необхідно знайти. Тут все просто: вставляємо дані в нашу формулу. Отримуємо h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 см.
Як знайти висоту піраміди, якщо відома довжина діагоналі і її ребра
Як ми пам'ятаємо, висота піраміди утворює з її основою прямий кут. А це значить що висота, ребро і половина діагоналі разом утворюють Багато, звичайно ж, пам'ятають теорему Піфагора. Знаючи два виміри, третю величину знайти буде нескладно. Згадаймо відому теорему a² \u003d b² + c², де а - гіпотенуза, а в нашому випадку ребро піраміди; b - перший катет або половина діагоналі і з - відповідно, другий катет, або висота піраміди. З цієї формули c² \u003d a² - b².
Тепер завдання: в правильній піраміді діагональ дорівнює 20 см, коли як довжина ребра - 30 см. Необхідно знайти висоту. Вирішуємо: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Звідси з \u003d √ 500 \u003d близько 22,4.
Як знайти висоту усіченої піраміди
Вона являє собою багатокутник, який має перетин паралельно її основи. Висота усіченої піраміди - це відрізок, який з'єднує два її заснування. Висоту можна знайти у правильної піраміди, якщо будуть відомі довжини діагоналей обох підстав, а також ребро піраміди. Нехай діагональ більшого підстави дорівнює d1, в той час як діагональ меншого підстави - d2, а ребро має довжину - l. Щоб знайти висоту, можна з двох верхніх протилежних точок діаграми опустити висоти на її підставу. Ми бачимо, що у нас вийшли два прямокутних трикутника, залишається знайти довжини їх катетів. Для цього з більшою діагоналі віднімаємо меншу і ділимо на 2. Так ми знайдемо один катет: а \u003d (d1-d2) / 2. Після чого по теоремі Піфагора нам залишається лише знайти другий катет, який і є висотою піраміди.
Тепер розглянемо все це справа на практиці. Перед нами завдання. Усічена піраміда має в підставі квадрат, довжина діагоналі більшого підстави дорівнює 10 см, в той час як меншого - 6 см, а ребро дорівнює 4 см. Потрібно знайти висоту. Для початку знаходимо один катет: а \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 см. Один катет дорівнює 2 см, а гіпотенуза - 4 см. Виходить, що другий катет або висота буде дорівнює 16-4 \u003d 12, тобто h \u003d √12 \u003d близько 3,5 см.
Теорема.
Обсяг піраміди дорівнює однієї третини твори площі підстави на висоту.
Доведення:
Спочатку доведемо теорему для трикутної піраміди, потім для довільної.1. Розглянемо трикутну пірамідуОАВСз об'ємом V, площею підставиSі висотою h. проведемо вісь ох (ОМ2- висота), розглянемо перетинА1 В1 С1піраміди площиною, перпендикулярної до осіохі, отже, паралельній площині підстави. позначимо черезх абсциссу точки М1 перетину цієї площини з віссю ох, а черезS (x)- площа перерізу. висловимо S (x)через S, hі х . Зауважимо, що трикутники А1 В1 З1 і АВС подібні. Справді А1 В1 II AB, тому трикутникОА 1 В 1 подібний трикутнику ОАВ. Зледовательно, А1 В1 : АВ \u003dОА 1: ОА .
прямокутні трикутникиОА 1 В 1 і ОАВ теж подібні (вони мають загальний гострий кут з вершиною О). Тому, ОА 1: ОА \u003d О 1 М1 : ОМ \u003d х: h. Таким чиномА 1 В 1 : А В \u003d х: h.Аналогічно доводиться, щоВ1 С1:ВС = х: hі А1 С1:АС \u003dх: h.Отже, трикутникА1 В1 С1і АВСподібні з коефіцієнтом подібностіх: h.Отже, S (x):S \u003d (х: h)², абоS (x) \u003d S х ² / h².
Застосуємо тепер основну формулу для обчислення обсягів тіл приa= 0, b \u003dh отримуємо
Таким чином, обсяг вихідної піраміди дорівнює 1 / 3Sh. Теорема доведена.
слідство:
Обсяг V усіченої піраміди, висота якої дорівнює h, а площі підстави рівні S і S1 , Обчислюються за формулою
h - висота піраміди
S верх. - площа верхнього підстави
S ниж. - площа нижньої основи