Площа прямокутного трикутника є паралелограма трапеції. «Площа паралелограма, трикутника, трапеції

Багатокутник – частина площини, обмежена замкненою ламаною лінією. Кути у багатокутника позначаються точками вершин ламаною. Вершини кутів багатокутника і вершини багатокутника - це точки, що збігаються.

Визначення. Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні.

Властивості паралелограма

1. Протилежні сторони рівні.
На рис. 11 AB = CD; BC = AD.

2. Протилежні кути рівні (два гострі і два тупі кути).
На рис. 11 ∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Діагоналі (відрізки прямої, що з'єднують дві протилежні вершини) перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

На рис. 11 відрізки AO = OC; BO = OD.

Визначення. Трапеція – це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, а дві інші – ні.

Паралельні сторони називаються її підставами, а дві інші сторони - бічними сторонами.

Види трапецій

1. Трапеція, у якої бічні сторони не рівні,
називається різнобічної(Рис. 12).

2. Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобокий(Рис. 13).

3. Трапеція, у якої одна бічна сторона становить прямий кут із основами, називається прямокутної(Рис. 14).

Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції (рис. 15), називається середньою лінією трапеції ( MN). Середня лініятрапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Трапецію можна назвати усіченим трикутником (рис. 17), тому й назви трапецій подібні до назв трикутників (трикутники бувають різнобічні, рівнобедрені, прямокутні).

Площа паралелограма та трапеції

Правило. Площа паралелограмадорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

1)Привітання

2) Мотивація уроку Вчитель перевіряє готовність класу до уроку; мотивує учнів сформулювати тему.

Прочитайте визначення на дошці (тематичному листі) та вставте поняття, про яке йде мова:

Величина тієї частини площини, що займає багатокутник - …(площа)

Чотирьохкутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні - ….(паралелограм)

Фігура, складена з трьох точок, що не лежать на одній прямій, та трьох відрізків, які їх з'єднують, називається ….(трикутником)

Фігура, у якої дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні, називається … (трапецією)

З слів, що вийшло, спробуйте скласти тему нашого сьогоднішнього уроку.

Отже, тема уроку .... Площа паралелограма, трикутника, трапеції.

Площі, які фігури ми вміємо знаходити і як?

Обчисліть площі фігур на рис.

Чи є інші варіанти розв'язання?

Що сталося?

Якими були спроби знаходження площі?

Хто намагався знайти площу паралелограма? Розкажіть.

Виведення формули площі паралелограма.

Завдання.

Як «перекроїти» паралелограм, щоб отримати прямокутник із такою самою площею?

Паралелограм перекроїли у прямокутник. Значить, його площа дорівнює площі прямокутника.

А чим є довжина і ширина прямокутника для паралелограма?

Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту.

У паралелограмі основою може бути будь-яка сторона. А для того, щоб застосувати формулу знаходження площі, висоту необхідно провести до основи.

Давайте обчислимо площу даного паралелограма.

Виведення формули площі трикутника.

Як можна перекроїти чи добудувати трикутник?

Площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту.

А якщо трикутник прямокутний?

Подивіться на рис.

Його можна "перекроїти" у прямокутник.

А його площу ми знайдемо за формулою

S = a * b. Довжина прямокутника – половина катета, а ширина – це інший катет.

Площа прямокутного трикутникадорівнює половині твору його катетів.

Виведення формули площі трапеції.

Подивіться, як перекрилася треапеція - в трикутник. А площу трикутника ми знайдемо за формулою:

Основа трикутника - це сума довжин верхнього і нижнього вінування, а висота трикутника - це висота трапеції.

Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.

1) Знайти S пар. , якщо а=5, h =4.

2) Знайти S треуг. , якщо а=3,5; h =2.

3) Знайти S трап. , якщо а=4,5; b = 2,5; h =3.

Виконують завдання тесту (див. додаток)

Взаємоперевірка самостійної роботи.

Розв'язання задач з новій темі:

№ 675(а,г), 676(а,б), 677(а,б)

Для слабких та неуспішних учнів підготовлена індивідуальна роботаза картками, що включає завдання, в яких є зразок запису рішення.

Вчитель пропонує відповісти на запитання на нову тему.

Хлопці, давайте підіб'ємо підсумок!

Що сьогодні на уроці ви впізнали?

Що ви навчилися робити?

Що було важко вирішити?

Вчитель коментує домашнє завдання.

п.23 № № 675(б,в), 676(в,г), 677(в,г)

Усі молодці!

Урок завершено. До побачення!

Площа паралелограма

Теорема 1

Площа паралелограма визначається як добуток довжини його боку на висоту, проведену до неї.

де $a$ сторона паралелограма $h$ - висота, проведена до цієї сторони.

Доведення.

Нехай нам надано паралелограм $ABCD$, у якого $AD=BC=a$. Проведемо висоти $DF$ та $AE$ (рис. 1).

Малюнок 1.

Очевидно, що фігура $ FDAE $ - Прямокутник.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 = (90) ^ 0- \ angle A = \ angle BAE \]

Отже, так як $ CD = AB, DF = AE = h $, за $ I $ ознакою рівності трикутників $ triangle BAE = triangle CDF $. Тоді

Значить по теоремі про площу прямокутника:

Теорему доведено.

Теорема 2

Площа паралелограма визначається як добуток довжини його суміжних сторін, на синус кута між цими сторонами.

Математично це можна записати в такий спосіб

де $a, \ b $ сторони паралелограма, $ \ alpha $ - Кут між ними.

Доведення.

Нехай нам дано паралелограм $ABCD$, у якого $BC = a, CD = b, angle C = alpha $. Проведемо висоту $DF=h$ (рис. 2).

Малюнок 2.

За визначенням синуса, отримаємо

Отже

Отже, за теоремою $1$:

Теорему доведено.

Площа трикутника

Теорема 3

Площа трикутника окреслюється половина добутку довжини його боку, на висоту, проведену до неї.

Математично це можна записати в такий спосіб

де $a$ сторона трикутника $h$ - висота, проведена до цієї сторони.

Доведення.

Малюнок 3.

Значить за теоремою $1$:

Теорему доведено.

Теорема 4

Площа трикутника окреслюється половина добутку довжини його суміжних сторін, на синус кута між цими сторонами.

Математично це можна записати в такий спосіб

де $a,\b$ сторони трикутника, $\alpha$ - кут між ними.

Доведення.

Нехай нам дано трикутник $ABC$, який має $AB=a$. Проведемо висоту $CH=h$. Добудуємо його до паралелограма $ABCD$ (рис. 3).

Вочевидь, що за $I$ ознакою рівності трикутників $triangle ACB=triangle CDB$. Тоді

Значить за теоремою $1$:

Теорему доведено.

Площа трапеції

Теорема 5

Площа трапеції визначається як половина добутку суми довжин його основ, на його висоту.

Математично це можна записати в такий спосіб

Доведення.

Нехай нам дана трапеція $ABCK$, де $AK=a,\BC=b$. Проведемо у ній висоти $BM=h$ і $KP=h$, і навіть діагональ $BK$ (рис. 4).

Малюнок 4.

За теоремою $3$, отримаємо

Теорему доведено.

Приклад завдання

Приклад 1

Знайти площу рівностороннього трикутника, якщо довжина його сторони дорівнює $a.$

Рішення.

Оскільки трикутник рівносторонній, всі його кути дорівнюють $(60)^0$.

Тоді, за теоремою $4$, маємо

Відповідь:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Зауважимо, що результат цього завдання можна застосовувати під час знаходження площі будь-якого рівностороннього трикутника з даною стороною.

Площа геометричної фігури - чисельна характеристика геометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром цієї фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць.

Формули площі трикутника

1. Формула площі трикутника по стороні та висоті
   Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти
   
2. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
   
3. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
   Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.
   
де S - площа трикутника,
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,

Формули площі квадрата

1. Формула площі квадрата по довжині сторони
   Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони.
2. Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
   Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.
   

   S =	1	2
   	2

де S - Площа квадрата,
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.

Формула площі прямокутника

Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін

де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника.

Формули площі паралелограма

1. Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
   Площа паралелограма
2. Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
   Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.
   

   a · b · sin α

де S - Площа паралелограма,
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.

Формули площі ромба

1. Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
   Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти.
2. Формула площі ромба по довжині сторони та куту
   Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба.
3. Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
   Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей.
де S - Площа ромба,
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.

Формули площі трапеції

1. Формула Герону для трапеції

   Де S - Площа трапеції,
   - Довжини основ трапеції,
   - Довжини бічних сторін трапеції,