Площа трикутника за формулою Герона приклад. Площа трикутника

Герона формула Герона формула

висловлює площа s трикутника через довжини трьох його сторін а, b і з і напівпериметр р = (а + b + з) / 2:. Названа по імені Герона Олександрійського.

Герон ФОРМУЛА

Герон ФОРМУЛА, висловлює площа S трикутника через довжини його сторін a, b і c і напівпериметр P = (a + b + c)/2
Названа по імені Герона Олександрійського.

енциклопедичний словник. 2009 .

Дивитися що таке "Герона формула" в інших словниках:

Висловлює площа S трикутника через довжини його сторін a, b і c і напівпериметр P \u003d (a + b + c) / 2Названа на ім'я Герона Олександрійського ... Великий Енциклопедичний словник

Формула виражає площу трикутника через три його сторони. Саме, якщо а, b, з довжини сторін трикутника, a S його площа, то Г. ф. має вигляд: де через р позначений напівпериметр трикутника Г. ф. ... ...

Формула, що виражає площу трикутника через його боку a, b, с: де Названа по імені Герона (бл. 1 ст. Н. Е.), А. Б. Іванов ... математична енциклопедія

Висловлює площа 5 трикутника через довжини трьох його сторін а, b і с і напівпериметр р \u003d (а + b + с) / 2: s \u003d кв. корінь p (p a) (p b) (p c). Названа по імені Герона Олександрійського ... Природознавство. енциклопедичний словник

- ... Вікіпедія

Дозволяє обчислити площу трикутника (S) по його сторонам a, b, c: де p напівпериметр трикутника:. Доказ, де кут трикутного ... Вікіпедія

Висловлює площа вписаного в коло чотирикутника як функцію довжин його сторін. Якщо вписаний чотирикутник має довжини сторін і напівпериметр, то його площа дорівнює ... Вікіпедія

У цій статті не вистачає посилань на джерела інформації. Інформація повинна бути проверяема, інакше вона може бути поставлена \u200b\u200bпід сумнів і вилучена. Ви можете відредагувати цю статтю, додавши посилання на авторитетні джерела. Ця відмітка ... ... Вікіпедія

- (Heronus Alexandrinus) (рр. Народження і смерті невідомі, ймовірно, 1 ст.), Давньогрецький вчений, який працював в Олександрії. Автор робіт, в яких систематично виклав основні досягнення античного світу в області прикладної механіки, В ... ... Велика Радянська Енциклопедія

Олександрійський (Heronus Alexandrinus) (рр. Народження і смерті невідомі, ймовірно, 1 ст.), Давньогрецький вчений, який працював в Олександрії. Автор робіт, в яких систематично виклав основні досягнення античного світу в області ... ... Велика Радянська Енциклопедія

Уміння мислити математично -одна з найблагородніших здібностей людини.

Ірландський драматург Бернард Шоу

Формула Герона

У шкільній математиці вельми популярною є формула Герона, застосування якої дозволяє обчислювати площу трикутника за трьома його сторонам. У той же час мало хто з учнів знає, що існує аналогічна формула для обчислення площі чотирикутників, вписаних в коло. Така формула називається формулою Брахмагупти. Також є маловідомою формула для обчислення площі трикутника за трьома його висот, висновок якої випливає з формули Герона.

Обчислення площі трикутників

Нехай в трикутнику боку, і . Тоді справедлива наступна теорема (формула Герона).

Теорема 1.

де.

Доведення. При виведенні формули (1) будемо використовувати відомі геома тричних формули

, (2)

. (3)

З формул (2) і (3) отримуємо і. Так як, то

. (4)

Якщо позначити, то з рівності (4) випливає формула (1). Теорема доведена.

Розглянемо тепер питання про обчислення площі трикутниказа умови , що відомі три її висоти, І.

Теорема 2. Площа обчислюється за формулою

. (5)

Доведення. Так як, і, то

В такому випадку з формули (1) отримуємо

або

Звідси випливає формула (5). Теорема доведена.

Обчислення площі чотирикутників

Розглянемо узагальнення формули Герона на випадок обчислення площі чотирикутників. Однак відразу ж необхідно відзначити, що таке узагальнення можливо тільки для чотирикутників, які вписані в коло.

нехай чотирикутник має боку,, і.

якщо є чотирикутником, вписаним в коло, то справедлива теорема 3 (формула Брахмагупти).

Теорема 3. Площа обчислюється за формулою

де.

Доведення. У чотирикутнику проведемо діагональ і отримаємо два трикутника і. Якщо до даних трикутниках застосувати теорему косинусів, яка рівносильна формулою (3), то можна записати

Так як чотирикутник вписаний в окружність, то сума його протилежних кутів дорівнює, тобто .

Оскільки або, то з (7) отримуємо

або

. (8)

Так як, то. Однак і, тому

Оскільки, то з формул (8) і (9) випливає

Якщо покласти, то звідси отримуємо формулу (6). Теорема доведена.

Якщо вписаний чотирикутник є одночасно і описаним, то формула (6) значно спрощується.

Теорема 4. Площа чотирикутника, вписаного в одне коло і описаного навколо іншої, обчислюється за формулою

. (10)

Доведення. Так як в чотирикутник вписане коло, то виконуються рівності

В такому випадку,,, і формула (6) легко перетворюється в формулу (10). Теорема доведена.

Перейдемо до розгляду прикладів задач геометрії, вирішення яких здійснюється на основі застосування доведених теорем.

Приклади розв'язання задач

приклад 1. знайти площу, якщо і .

Рішення. Так як тут, то відповідно до теореми 1 отримуємо

Відповідь:.

Відзначимо, якщо сторони трикутника приймають ірраціональні значення, то обчислення його площі за допомогою використання формули (1), як правило , є неефективним. В такому випадку доцільно застосовувати безпосередньо формули (2) і (3).

Приклад 2. Знайти площу, якщо, і.

Рішення.Беручи до уваги формули (2) і (3), отримуємо

Так як, то чи.

Відповідь:.

Приклад 3. Знайти площу, якщо, і.

Рішення. оскільки,

то з теореми 2 випливає, що.

Відповідь:.

Приклад 4. Трикутник має боку, і. Знайти і, де радіуси описаної і вписаною кіл, відповідно.

Рішення. Спочатку обчислимо площу. Так як, то з формули (1) отримуємо.

Відомо, що і. Тому і.

Приклад 5. Знайти площу чотирикутника, вписаного в коло, якщо,, і.

Рішення. З умови прикладу випливає, що. Тоді, відповідно до теореми 3, отримуємо.

Приклад 6. Знайти площу чотирикутника, вписаного в коло, сторони якого,, і.

Рішення. Так як і, то в чотирикутнику виконується рівність. Однак відомо, що існування такого рівності є необхідною і достатньою умовою того, що в даний чотирикутник можна вписати коло. У зв'язку з цим для обчислення площі можна використовувати формулу (10), з якої випливає.

Для самостійної і якісної підготовки до вступних випробувань в області вирішення завдань шкільної геометрії можна ефективно використовувати навчальні посібники, наведені в списку рекомендованої літератури.

1. Готман Є.Г. Завдання з планіметрії і методи їх вирішення. - М .: Просвещение, 1996. - 240 с.

2. Кулагін Е.Д. , Федін С.Н. Геометрія трикутника в задачах. - М .: КД «Ліброком» / URSS, 2009. - 208 с.

3. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / Под ред. М.І. Сканаві. - М .: Мир і Освіта, 2013. - 608 с.

4. Супрун В.П. Математика для старшокласників: додаткові розділи шкільної програми. - М .: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.

Залишилися питання?

Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

попередні відомості

Для початку введемо відомості і позначення, які будуть необхідні нам надалі.

Будемо розглядати трикутник $ ABC $ з гострими кутами $ A $ і $ C $. Проведемо в ньому висоту $ BH $. Введемо наступні позначення: $ AB \u003d c, \\ BC \u003d a, \\ $$ AC \u003d b, \\ AH \u003d x, \\ BH \u003d h \\ $ (рис. 1).

Малюнок 1.

Введемо без доказів теорему про площу трикутника.

теорема 1

Площа трикутника визначається як половина твори довжини його сторони, на висоту, проведену до неї, тобто

Формула Герона

Введемо і доведемо теорему про знаходження площі трикутника за трьома відомими сторонами. Ця формула носить назву формули Герона.

теорема 2

Нехай нам дано три сторони трикутника $ a, \\ b \\ і \\ c $. Тоді площа цього трикутника виражається в такий спосіб

де $ p $ - напівпериметр даного трикутника.

Доведення.

Будемо користуватися позначеннями, введеними на малюнку 1.

Розглянемо трикутник $ ABH $. По теоремі Піфагора, отримаємо

Очевидно, що $ HC \u003d AC-AH \u003d b-x $

Розглянемо трикутник $ \\ CBH $. По теоремі Піфагора, отримаємо

\ \ \

Прирівняємо значення квадрата висоти з двох отриманих співвідношень

\ \ \

З першої рівності знайдемо висоту

\ \ \ \ \ \

Так як напівпериметр дорівнює $ p \u003d \\ frac (a + b + c) (2) $, тобто $ a + b + c \u003d 2p $, то

\ \ \ \

По теоремі 1, отримаємо

Теорема доведена.

Приклади завдань на використання формули Герона

приклад 1

Знайти площу трикутника, якщо його сторони дорівнюють $ 3 $ см, $ 6 $ см і $ 7 $ см.

Рішення.

Знайдемо спочатку напівпериметр цього трикутника

По теоремі 2, отримаємо

відповідь: $ 4 \\ sqrt (5) $.

теорема. Площа трикутника дорівнює половині твори його боку на проведену до неї висоту:

Доказ проводиться дуже просто. даний трикутник АВС (Рис. 1.15) добудуємо до паралелограма ABDC. трикутники ABC і DCB рівні за трьома сторонам, тому їх площі рівні. Значить площа трикутника АВС дорівнює половині площі паралелограма ABDC, Т. Е.

Але тут виникає наступне питання: чому три можливих полупроізведенія підстави на висоту для всякого трикутника однакові? Це, втім, легко довести з подібності прямокутників із загальним гострим кутом. Розглянемо трикутник АВС (Рис. 1.16):

І, отже,

Однак в шкільних підручниках так не робиться. Навпаки, рівність трьох полупроізведеній встановлюється на основі того, що всі ці полупроізведенія висловлюють площа трикутника. Таким чином, неявно використовується існування єдиної функції. Але ж тут з'являється зручна і повчальна можливість продемонструвати приклад математичного моделювання. Дійсно, за поняттями площі стоїть фізична реальність, але пряма перевірка рівності трьох полупроізведеній показує добротність перекладу цього поняття на мову математики.

Користуючись наведеною вище теоремою про площі трикутника дуже часто буває зручно порівнювати площі двох трикутників. Наведемо нижче деякі очевидні, але важливі наслідки з теореми.

слідство 1. Якщо вершину трикутника пересувати по прямій, паралельної її основи, то його площа при цьому не змінюється.

На рис. 1.17 трикутники АВС і АВD мають загальну підставу АВ і рівні висоти, опущені на це підстава, т. к. пряма а, Яка містить вершини З і D паралельна основі АВ, А тому площі цих трикутників рівні.

Слідство 1 можна переформулювати наступним чином.

Слідство 1?. Нехай дано відрізок АВ. безліч точок М таких, що площа трикутника АМВ дорівнює заданій величині S, Є дві прямі, паралельні відрізку АВ і знаходяться від нього на відстані (рис. 1. 18)

слідство 2. Якщо одну зі сторін трикутника, прилеглих до даного його кутку, збільшити в k раз, то площа його також збільшиться в k раз.

На рис. 1.19 трикутники АВСі ABD мають загальну висоту ВH, Тому ставлення їх площ дорівнює відношенню підстав

З слідства 2 слідують важливі окремі випадки:

1. Медіана ділить трикутник на дві рановелікіе частини.

2. Бісектриса кута трикутника, укладена між його сторонами а і b, Ділить його на два трикутники, площі яких відносяться як a : b.

слідство 3. Якщо два трикутника мають загальний кут, то їх площі відносяться як твори сторін, що укладають цей кут.

Це випливає з того, що (рис. 1.19)

Зокрема, має місце наступне твердження:

Якщо два трикутника подібні і сторона одного з них в k раз більше відповідних сторін іншого, то його площа в k 2 разів більша за площу другого.

Виведемо формулу Герона для площі трикутника наступними двома способами. У першому використовуємо теорему косинусів:

де a, b, c - довжини сторін трикутника, г - кут, протилежний стороні с.

З (1.3) знаходимо.

Помічаючи, що

де - напівпериметр трикутника, отримуємо.

попередні відомості

Для початку введемо відомості і позначення, які будуть необхідні нам надалі.

Будемо розглядати трикутник $ ABC $ з гострими кутами $ A $ і $ C $. Проведемо в ньому висоту $ BH $. Введемо наступні позначення: $ AB \u003d c, \\ BC \u003d a, \\ $$ AC \u003d b, \\ AH \u003d x, \\ BH \u003d h \\ $ (рис. 1).

Малюнок 1.

Введемо без доказів теорему про площу трикутника.

теорема 1

Площа трикутника визначається як половина твори довжини його сторони, на висоту, проведену до неї, тобто

Формула Герона

Введемо і доведемо теорему про знаходження площі трикутника за трьома відомими сторонами. Ця формула носить назву формули Герона.

теорема 2

Нехай нам дано три сторони трикутника $ a, \\ b \\ і \\ c $. Тоді площа цього трикутника виражається в такий спосіб

де $ p $ - напівпериметр даного трикутника.

Доведення.

Будемо користуватися позначеннями, введеними на малюнку 1.

Розглянемо трикутник $ ABH $. По теоремі Піфагора, отримаємо

Очевидно, що $ HC \u003d AC-AH \u003d b-x $

Розглянемо трикутник $ \\ CBH $. По теоремі Піфагора, отримаємо

\ \ \

Прирівняємо значення квадрата висоти з двох отриманих співвідношень

\ \ \

З першої рівності знайдемо висоту

\ \ \ \ \ \

Так як напівпериметр дорівнює $ p \u003d \\ frac (a + b + c) (2) $, тобто $ a + b + c \u003d 2p $, то

\ \ \ \

По теоремі 1, отримаємо

Теорема доведена.

Приклади завдань на використання формули Герона

приклад 1

Знайти площу трикутника, якщо його сторони дорівнюють $ 3 $ см, $ 6 $ см і $ 7 $ см.

Рішення.

Знайдемо спочатку напівпериметр цього трикутника

По теоремі 2, отримаємо

відповідь: $ 4 \\ sqrt (5) $.