Похідна з логарифма формула приклад. Формули і приклади похідною логарифма

Вам здається, що до іспиту ще багато часу? Це місяць? Два? Рік? Практика показує, що учень найкраще справляється з іспитом в тому випадку, якщо почав готуватися до нього завчасно. В ЄДІ чимало складних завдань, Який стоять на шляху школяра і майбутнього абітурієнта до вищих балів. Ці перешкоди потрібно навчитися долати, до того ж, робити це нескладно. Вам необхідно зрозуміти принцип роботи з різними завданнями з квитків. Тоді і з новими не виникне проблем.

Логарифми на перший погляд здаються неймовірно складними, але при детальному розборі ситуація значно спрощується. Якщо ви хочете здати ЄДІ на вищий бал, Вам варто розібратися в даному понятті, що ми і пропонуємо зробити в цій статті.

Для початку розділимо ці визначення. Що таке логарифм (log)? Це показник ступеня, в яку треба звести підстава, щоб отримати вказану кількість. Якщо незрозуміло, розберемо елементарний приклад.

У цьому випадку підстава, що стоїть внизу, необхідно звести до другого степеня, щоб отримати число 4.

Тепер розберемося з другим поняттям. Похідна функції в будь-якому вигляді називається поняття, що характеризує зміну функції в наведеній точці. Втім, це шкільна програма, І якщо ви відчуваєте проблеми з даними поняттями окремо, варто повторити тему.

похідна логарифма

В завдання ЄДІпо цій темі можна навести кілька завдань в якості прикладу. Для початку найпростіша логарифмічна похідна. Необхідно знайти похідну наступної функції.

Нам потрібно знайти наступну похідну

Існує спеціальна формула.

У цьому випадку x = u, log3x = v. Підставляємо значення з нашої функції в формулу.

Похідна x буде дорівнювати одиниці. З логарифмом трохи важче. Але принцип ви зрозумієте, якщо просто підставите значення. Нагадаємо, що похідною lg x називається похідна десяткового логарифма, а похідна ln х - це похідна від натурального логоріфма (по підставі e).

Тепер просто підставте отримані значення в формулу. Спробуйте самі, далі звіримо відповідь.

У чому тут може бути проблема для деяких? Ми ввели поняття натурального логарифма. Розповімо про нього, а заодно розберемося, як вирішувати завдання з ним. Нічого складного ви не побачите, особливо, коли зрозумієте принцип його роботи. До нього вам варто звикнути, так як він нерідко використовується в математиці (в вищих навчальних закладахтим більше).

Похідна натурального логарифма

За своєю суттю, це похідна логарифма за основою e (це ірраціональне число, яке дорівнює приблизно 2,7). На ділі ln дуже простий, тому часто використовується в математиці в цілому. Власне, рішення задачі з ним теж не стане проблемою. Варто запам'ятати, що похідна від натурального логарифма за основою е дорівнюватиме одиниці поділеної на x. Найпоказовішим буде рішення наступного прикладу.

Уявімо її як складну функцію, що складається з двох простих.

досить перетворити

Шукаємо похідну від u по x

Продовжимо з другої

Використовуємо спосіб вирішення похідною складної функції, Підставляючи u = nx.

Що вийшло в результаті?

А тепер давайте згадаємо, що в цьому прикладі означало n? Це будь-яке число, яке може зустрітися в натуральний логарифм перед x. Вам важливо зрозуміти, що від неї не залежить відповідь. Підставляйте, що завгодно, відповідь все одно буде 1 / x.

Як бачите, нічого складного тут немає, достатньо лише зрозуміти принцип, щоб швидко і ефективно вирішувати завдання по цій темі. Тепер ви знаєте теорію, залишилося закріпити на практиці. Тренуйтеся у вирішенні завдань, щоб надовго запам'ятати принцип їх вирішення. Бути може, вам і не знадобиться це знання після закінчення школи, але на іспиті воно буде як ніколи актуальним. Удачі вам!

Запам'ятати дуже легко.

Ну і не будемо далеко ходити, відразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показовою функції? логарифм:

У нашому випадку підставою служить число:

Такий логарифм (тобто логарифм з основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливу позначення: замість пишемо.

Чому дорівнює? Звичайно ж, .

Похідна від натурального логарифма теж дуже проста:

приклади:

1. Знайди похідну функції.
2. Чому дорівнює похідна функції?

відповіді: Експонента і натуральний логарифм - функції унікально прості з точки зору похідною. Показові і логарифмічні функції з будь-яким іншим підставою матимуть іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того як пройдемо правила диференціювання.

Правила диференціювання

Правила чого? Знову новий термін, знову?! ...

диференціювання- це процес знаходження похідної.

Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Чи не проізводнованіе ж ... Диференціалом математики називають те саме приріст функції при. Відбувається цей термін від латинського differentia - різниця. Ось.

При виведенні всіх цих правил будемо використовувати дві функції, наприклад, і. Нам знадобляться також формули їх збільшень:

Всього є 5 правил.

Константа виноситься за знак похідної.

Якщо - якесь постійне число (константа), тоді.

Очевидно, це правило працює і для різниці:.

Доведемо. Нехай, або простіше.

Приклади.

Знайдіть похідні функцій:

1. в точці;
2. в точці;
3. в точці;
4. в точці.

рішення:

1. (Похідна однакова у всіх точках, так як це лінійна функція, Пам'ятаєш?);

похідна твори

Тут все аналогічно: введемо нову функціюі знайдемо її приріст:

похідна:

приклади:

1. Знайдіть похідні функцій і;
2. Знайдіть похідну функції в точці.

рішення:

Похідна показовою функції

Тепер твоїх знань досить, щоб навчитися знаходити похідну будь-показовою функції, а не тільки експоненти (не забув ще, що це таке?).

Отже, де - це якесь число.

Ми вже знаємо похідну функції, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нового основи:

Для цього скористаємося простим правилом:. тоді:

Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція - складна.

Вийшло?

Ось, перевір себе:

Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився тільки множник, який є просто числом, але не змінною.

приклади:
Знайди похідні функцій:

відповіді:

Це просто число, яке неможливо порахувати без калькулятора, то існує не записати в більш простому вигляді. Тому у відповіді його в такому вигляді і залишаємо.

Зауважимо, що тут частка двох функцій, тому застосуємо відповідне правило диференціювання:

У цьому прикладі твір двох функцій:

Похідна логарифмічної функції

Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифма:

Тому, щоб знайти довільну від логарифма з іншою підставою, наприклад,:

Потрібно привести цей логарифм до основи. А як поміняти підставу логарифма? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:

Тільки тепер замість писатимемо:

У знаменнику вийшла просто константа (постійне число, без змінної). Похідна виходить дуже просто:

Похідні показовою і логарифмічною функцій майже не зустрічаються в ЄДІ, але не буде зайвим знати їх.

Похідна складної функції.

Що таке «складна функція»? Ні, це не логарифм, і не арктангенс. Дані функції може бути складні для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з точки зору математики слово «складна» не означає «важка».

Уяви собі маленький конвеєр: сидять двоє людей і проробляють якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складений об'єкт: шоколадка, загорнута і обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно виконати зворотні дії в зворотному порядку.

Давай створимо подібний математичний конвеєр: спершу будемо знаходити косинус числа, а потім отримане число зводити в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що у мене вийшло, в квадрат (обв'язують стрічкою). Що вийшло? Функція. Це і є приклад складної функції: коли для знаходження її значення ми проробляємо перша дія безпосередньо зі змінною, а потім ще друга дія з тим, що вийшло в результаті першого.

Іншими словами, складна функція - це функція, аргументом якої є інша функція: .

Для нашого прикладу,.

Ми цілком можемо проробляти ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш в квадрат, а я потім шукаю косинус отриманого числа:. Нескладно здогадатися, що результат буде майже завжди різний. Важлива особливість складних функцій: при зміні порядку дій функція змінюється.

Другий приклад: (те ж саме). .

Дія, яке робимо останнім будемо називати «Зовнішньої» функцією, А дія, що здійснюється першим - відповідно «Внутрішньої» функцією(Це неформальні назви, я їх вживаю тільки для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).

Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньої:

відповіді:Поділ внутрішньої і зовнішньої функцій дуже схоже на заміну змінних: наприклад, в функції

1. Першим будемо виконувати яку дію? Спершу порахуємо синус, а тільки потім зведемо в куб. Значить, внутрішня функція, а зовнішня.
   А початкова функція є їх композицією:.
2. Внутрішня:; зовнішня:.
   Перевірка:.
3. Внутрішня:; зовнішня:.
   Перевірка:.
4. Внутрішня:; зовнішня:.
   Перевірка:.
5. Внутрішня:; зовнішня:.
   Перевірка:.

виробляємо заміну змінних і отримуємо функцію.

Ну що ж, тепер будемо отримувати нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного наприклад це виглядає так:

Інший приклад:

Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:

Алгоритм знаходження похідної складної функції:

Начебто все просто, так?

Перевіримо на прикладах:

рішення:

1) Внутрішня:;

Зовнішня:;

2) Внутрішня:;

(Тільки не думай тепер скоротити на! З під косинуса нічого не виноситься, пам'ятаєш?)

3) Внутрішня:;

Зовнішня:;

Відразу видно, що тут трирівнева складна функція: адже - це вже сама по собі складна функція, а з неї ще витягаємо корінь, тобто виконуємо третя дія (шоколадку в обгортці і з стрічкою кладемо в портфель). Але лякатися нема причин: все-одно «розпаковувати» цю функцію будемо в тому ж порядку, що і завжди: з кінця.

Тобто спершу продифференцируем корінь, потім косинус, і тільки потім вираз в дужках. А потім все це перемножимо.

У таких випадках зручно пронумерувати дії. Тобто, уявімо, що нам відомий. У якому порядку будемо здійснювати дії, щоб обчислити значення цього виразу? Розберемо на прикладі:

Чим пізніше відбувається дія, тим більше «зовнішньої» буде відповідна функція. Послідовність дій - як і раніше:

Тут вкладеність взагалі 4-рівнева. Давай визначимо порядок дій.

1. подкоренного вираз. .

2. Корінь. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Збираємо все в купу:

ПОХІДНА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Похідна функції- відношення приросту функції до приросту аргументу при нескінченно малому збільшенні аргументу:

Базові похідні:

Правила диференціювання:

Константа виноситься за знак похідної:

Похідна суми:

Похідна твори:

Похідна приватного:

Похідна складної функції:

Алгоритм знаходження похідної від складної функції:

1. Визначаємо «внутрішню» функцію, знаходимо її похідну.
2. Визначаємо «зовнішню» функцію, знаходимо її похідну.
3. Множимо результати першого і другого пунктів.

Складні похідні. Логарифмічна похідна.
Похідна статечно-показовою функції

Продовжуємо підвищувати свою техніку диференціювання. На даному уроці ми закріпимо пройдений матеріал, розглянемо більш складні похідні, а також познайомимося з новими прийомами і хитрощами знаходження похідної, зокрема, з логарифмічною похідною.

Тим читачам, у кого низький рівеньпідготовки, слід звернутися до статті Як знайти похідну? приклади рішень, Яка дозволить підняти свої навички практично з нуля. Далі необхідно уважно вивчити сторінку Похідна складної функції, Зрозуміти і прорешать всінаведені мною приклади. Даний урок логічно третій за рахунком, і після його освоєння Ви будете впевнено диференціювати досить складні функції. Небажано дотримуватися позиції «Куди ще? Та й так вистачить! », Оскільки всі приклади і прийоми рішення взяті з реальних контрольних робіті часто зустрічаються на практиці.

Почнемо з повторення. На уроці Похідна складної функціїми розглянули ряд прикладів з докладними коментарями. В ході вивчення диференціального обчислення і інших розділів математичного аналізу - диференціювати доведеться дуже часто, і не завжди буває зручно (та й не завжди потрібно) розписувати приклади дуже докладно. Тому ми потренуємося в усному знаходженні похідних. Самим придатними «кандидатами» для цього є похідні найпростіших зі складних функцій, наприклад:

За правилом диференціювання складної функції :

При вивченні інших тем мату в майбутньому така докладна запис найчастіше не потрібно, передбачається, що студент вміє знаходити подібні похідні на автопілоті автоматі. Уявімо, що о 3 годині ночі пролунав телефонний дзвінок, і приємний голос запитав: «Чому дорівнює похідна тангенса двох ікс?». На це повинен послідувати майже миттєвий і ввічливий відповідь: .

Перший приклад буде одразу призначений для самостійного рішення.

приклад 1

Знайти такі похідні усно, в одну дію, наприклад:. Для виконання завдання потрібно використовувати тільки таблицю похідних елементарних функцій(Якщо вона ще не запам'яталася). Якщо виникнуть труднощі, рекомендую перечитати урок Похідна складної функції.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Відповіді в кінці уроку

складні похідні

Після попередньої артпідготовки будуть менш страшні приклади, з 3-4-5 вкладеннями функцій. Можливо, такі два приклади здадуться деяким складними, але якщо їх зрозуміти (хтось і помучиться), то майже все інше в диференціальному обчисленні буде здаватися дитячої жартом.

приклад 2

Знайти похідну функції

Як вже зазначалося, при знаходженні похідної складної функції, перш за все, необхідно правильноРОЗІБРАТИСЯ у вкладеннях. У тих випадках, коли є сумніви, нагадую корисний прийом: беремо піддослідна значення «ікс», наприклад, і пробуємо (подумки або на чернетці) підставити це значення в «страшне вираз».

1) Спочатку нам потрібно обчислити вираз, значить, сума - найглибше вкладення.

2) Потім необхідно обчислити логарифм:

4) Потім косинус звести в куб:

5) На п'ятому кроці різниця:

6) І, нарешті, сама зовнішня функція - це квадратний корінь:

Формула диференціювання складної функції застосуються в зворотному порядку, від самої зовнішньої функції, до самої внутрішньої. вирішуємо:

Начебто без помилок ....

(1) Беремо похідну від квадратного кореня.

(2) Беремо похідну від різниці, використовуючи правило

(3) Похідна трійки дорівнює нулю. У другому доданку беремо похідну від ступеня (куба).

(4) Беремо похідну від косинуса.

(5) Беремо похідну від логарифма.

(6) І, нарешті, беремо похідну від найглибшого вкладення.

Може здатися занадто важко, але це ще не самий звірячий приклад. Візьміть, наприклад, збірник Кузнєцова і ви оціните всю красу і простоту розібраної похідною. Я помітив, що схожу штуку люблять давати на іспиті, щоб перевірити, розуміє студент, як знаходити похідну складеної функції, або не розуміє.

Наступний приклад для самостійного рішення.

приклад 3

Знайти похідну функції

Підказка: Спочатку застосовуємо правила лінійності і правило диференціювання твори

повне рішенняі відповідь в кінці уроку.

Настав час перейти до чого-небудь більш компактному і симпатичному.
Чи не рідкісна ситуація, коли в прикладі дано твір не двох, а трьох функцій. Як знайти похідну від твору трьох множників?

приклад 4

Знайти похідну функції

Спочатку дивимося, а чи не можна твір трьох функцій перетворити на витвір двох функцій? Наприклад, якби у нас в творі було два многочлена, то можна було б розкрити дужки. Але в розглянутому прикладі всі функції різні: ступінь, експонента і логарифм.

У таких випадках необхідно послідовнозастосувати правило диференціювання твори два рази

Фокус полягає в тому, що за «у» ми позначимо твір двох функцій:, а за «ве» - логарифм:. Чому так можна зробити? А хіба - це не твір двох множників і правило не працює ?! Нічого складного немає:

Тепер залишилося вдруге застосувати правило до дужки:

Можна ще поізвращаться і винести що-небудь за дужки, але в даному випадкувідповідь краще залишити саме в такому вигляді - легше буде перевіряти.

Розглянутий приклад можна вирішити другим способом:

Обидва способи вирішення абсолютно рівноцінні.

приклад 5

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення, в зразку воно вирішено першим способом.

Розглянемо аналогічні приклади з дробом.

приклад 6

Знайти похідну функції

Тут можна піти декількома шляхами:

Або так:

Але рішення запишеться більш компактно, якщо в першу чергу керуватися правилом диференціювання приватного , Прийнявши за весь чисельник:

В принципі, приклад вирішене, і якщо його залишити в такому вигляді, то це не буде помилкою. Але при наявності часу завжди бажано перевірити на чернетці, а чи не можна відповідь спростити? Наведемо вираз чисельника до спільного знаменника і позбудемося триповерховий дроби:

Мінус додаткових спрощень полягає в тому, що є ризик припуститися помилки вже не при знаходженні похідної, а при банальних шкільних перетвореннях. З іншого боку, викладачі нерідко бракують завдання і просять «довести до розуму» похідну.

Більш простий приклад для самостійного рішення:

приклад 7

Знайти похідну функції

Продовжуємо освоювати прийоми знаходження похідної, і зараз ми розглянемо типовий випадок, коли для диференціювання запропонований «страшний» логарифм

приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна піти довгим шляхом, використовуючи правило диференціювання складної функції:

Але перший же крок відразу засмучує - належить узяти неприємну похідну від дробу ступеня, а потім ще й від дробу.

Тому перед тимяк брати похідну від «крутого» логарифма, його попередньо спрощують, використовуючи відомі шкільні властивості:

! Якщо під рукою є зошит з практикою, перепишіть ці формули прямо туди. Якщо зошити немає, перемалюють їх на листочок, оскільки залишилися приклади уроку буду обертатися навколо цих формул.

Саме рішення можна оформити приблизно так:

Перетворимо функцію:

Знаходимо похідну:

Попереднє перетворення самої функції значно спростило рішення. Таким чином, коли для диференціювання запропонований подібний логарифм, то його завжди доцільно «розвалити».

А зараз пара нескладних прикладів для самостійного рішення:

приклад 9

Знайти похідну функції

приклад 10

Знайти похідну функції

Всі перетворення і відповіді в кінці уроку.

логарифмічна похідна

Якщо похідна від логарифмів - це така солодка музика, то виникає питання, а чи не можна в деяких випадках організувати логарифм штучно? Можна, можливо! І навіть потрібно.

приклад 11

Знайти похідну функції

Схожі приклади ми недавно розглянули. Що робити? Можна послідовно застосувати правило диференціювання приватного, а потім правило диференціювання твори. Недолік методу полягає в тому, що вийде величезна триповерхова дріб, з якої зовсім не хочеться мати справи.

Але в теорії і практиці є така чудова річ, як логарифмічна похідна. Логарифми можна організувати штучно, «навісивши» їх на обидві частини:

Примітка : Тому що функція може приймати негативні значення, то, взагалі кажучи, потрібно використовувати модулі: , Які зникнуть в результаті диференціювання. Однак припустимо і поточне оформлення, де за замовчуванням беруться до уваги комплекснізначення. Але якщо з усією строгістю, то і в тому і в іншому випадку слід зробити застереження, що.

Тепер потрібно максимально «розвалити» логарифм правій частині (формули перед очима?). Я розпишу цей процес дуже докладно:

Власне приступаємо до диференціювання.
Укладаємо під штрих обидві частини:

Похідна правій частині досить проста, її я коментувати не буду, оскільки якщо ви читаєте цей текст, то повинні впевнено впоратися з цим завданням.

Як бути з лівою частиною?

У лівій частині у нас складна функція. Передбачаю запитання: «Чому, там же одна буква« ігрек »під логарифмом?».

Справа в тому, що ця «одна буква ігрек» - САМА ПО СОБІ Є ФУНКЦІЄЮ(Якщо не дуже зрозуміло, зверніться до статті Похідна від функції, заданої неявно). Тому логарифм - це зовнішня функція, а «ігрек» - внутрішня функція. І ми використовуємо правило диференціювання складної функції :

У лівій частині як за помахом чарівної палички у нас «намалювалася» похідна. Далі за правилом пропорції перекидаємо «ігрек» з знаменника лівій частині наверх правій частині:

А тепер згадуємо, про який такий «ігрек» -функції ми міркували при диференціюванні? Дивимося на умова:

Остаточна відповідь:

приклад 12

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення. Зразок оформлення прикладу даного типу в кінці уроку.

За допомогою логарифмічною похідною можна було вирішити будь-яке із прикладів № 4-7, інша справа, що там функції простіше, і, може бути, використання логарифмічною похідною не дуже-то і виправдано.

Похідна статечно-показовою функції

Дану функцію ми ще не розглядали. Статечно-показова функція - це функція, у якій і ступінь і підстава залежать від «ікс». Класичний приклад, який вам приведуть в будь-якому підручнику або на будь-який лекції:

Як знайти похідну від статечно-показовою функції?

Необхідно використовувати тільки що розглянутий прийом - логарифмічну похідну. Навішуємо логарифми на обидві частини:

Як правило, в правій частині з-під логарифма виноситься ступінь:

В результаті в правій частині у нас вийшло твір двох функцій, яке буде диференціюватися за стандартною формулою .

Знаходимо похідну, для цього робимо висновок обидві частини під штрихи:

Подальші дії нескладні:

остаточно:

Якщо якесь перетворення не зовсім зрозуміло, будь ласка, уважно перечитайте пояснення Прімера № 11.

В практичних завданняхстатечно-показова функція завжди буде складніше, ніж розглянутий лекційний приклад.

приклад 13

Знайти похідну функції

Використовуємо логарифмічну похідну.

У правій частині у нас константа і твір двох множників - «ікси» і «логарифма логарифма ікс» (під логарифм вкладений ще один логарифм). При диференціюванні константу, як ми пам'ятаємо, краще відразу винести за знак похідної, щоб вона не заважала під ногами; і, звичайно, застосовуємо знайоме правило :

Доказ і висновок формул похідною натурального логарифма і логарифма за основою a. Приклади обчислення похідних від ln 2x, ln 3x і ln nx. Доведення формули похідної логарифма n-го порядку методом математичної індукції.

зміст

Див. також: Логарифм - властивості, формули, графік
Натуральний логарифм - властивості, формули, графік

Висновок формул похідних натурального логарифма і логарифма за основою a

Похідна натурального логарифма від x дорівнює одиниці, поділеній на x:
(1) (Ln x) '=.

Похідна логарифма за основою a дорівнює одиниці, поділеній на змінну x, помножену на натуральний логарифм від a:
(2) (Log a x) '=.

Доведення

Нехай є деяке позитивне число, не рівне одиниці. Розглянемо функцію, залежну від змінної x, яка є логарифмом по підставі:
.
Ця функція визначена при. Знайдемо її похідну по змінній x. За визначенням, похідна є наступним межею:
(3) .

Перетворимо цей вираз, щоб звести його до відомим математичним властивостям і правилам. Для цього нам потрібно знати наступні факти:
А)Властивості логарифма. Нам знадобляться наступні формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Безперервність логарифма і властивість меж для неперервної функції:
(7) .
Тут - деяка функція, у якій існує межа і ця межа позитивний.
В)Значення другого чудового краю:
(8) .

Застосовуємо ці факти до нашого межі. Спочатку перетворимо вираження алгебри
.
Для цього застосуємо властивості (4) і (5).

.

Скористаємося властивістю (7) і другим чудовим межею (8):
.

І, нарешті, можна застосувати властивість (6):
.
Логарифм по підставі eназивається натуральним логарифмом. Він позначається так:
.
тоді;
.

Тим самим ми отримали формулу (2) похідною логарифма.

Похідна натурального логарифма

Ще раз випишемо формулу похідної логарифма за основою a:
.
Ця формула має найбільш простий вигляд для натурального логарифма, для якого,. тоді
(1) .

Через таку простоти, натуральний логарифм дуже широко використовується в математичному аналізіі в інших розділах математики, пов'язаних з диференціальним численням. Логарифмічні функції з іншими підставами можна виразити через натуральний логарифм, використовуючи властивість (6):
.

Похідну логарифма за основою можна знайти з формули (1), якщо винести постійну за знак диференціювання:
.

Інші способи доказ похідною логарифма

Тут ми припускаємо, що нам відома формула похідною експоненти:
(9) .
Тоді ми можемо вивести формулу похідної натурального логарифма, враховуючи, що логарифм є зворотною функцією до експоненті.

Доведемо формулу похідної натурального логарифма, застосувавши формулу похідної зворотної функції:
.
У нашому випадку . зворотною функцієюдо натурального логарифму є експонента:
.
Її похідна визначається за формулою (9). Змінні можна позначити будь-якою літерою. У формулі (9), замінимо змінну x на y:
.
Оскільки, то
.
тоді
.
Формула доведена.

Тепер доведемо формулу похідної натурального логарифма за допомогою правила диференціювання складної функції. Оскільки функції і є зворотними один до одного, то
.
Диференціюючи це рівняння по змінній x:
(10) .
Похідна від ікси дорівнює одиниці:
.
Застосовуємо правило диференціювання складної функції:
.
Тут. Підставами в (10):
.
Звідси
.

приклад

Знайти похідні від ln 2x, ln 3xі ln nx.

Вихідні функції мають схожий вигляд. Тому ми знайдемо похідну від функції y = ln nx. Потім підставимо n = 2 і n = 3. І, тим самим, отримаємо формули для похідних від ln 2xі ln 3x .

Отже, шукаємо похідну від функції
y = ln nx .
Уявімо цю функцію як складну функцію, що складається з двох функцій:
1) Функції, що залежить від змінної:;
2) Функції, що залежить від змінної:.
Тоді вихідна функція складена з функцій і:
.

Знайдемо похідну від функції по змінній x:
.
Знайдемо похідну від функції по змінній:
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції.
.
Тут ми підставили.

Отже, ми знайшли:
(11) .
Ми бачимо, що похідна не залежить від n. Цей результат цілком природний, якщо перетворити вихідну функцію, застосовуючи формулу логарифма від твору:
.
- це постійна. Її похідна дорівнює нулю. Тоді за правилом диференціювання суми маємо:
.

; ; .

Похідна логарифма модуля x

Знайдемо похідну від ще однієї дуже важливої ​​функції - натурального логарифма від модуля x:
(12) .

Розглянемо випадок. Тоді і функція має вигляд:
.
Її похідна визначається за формулою (1):
.

Тепер розглянемо випадок. Тоді і функція має вигляд:
,
де.
Але похідну цієї функції ми також знайшли в наведеному вище прикладі. Вона не залежить від n і дорівнює
.
тоді
.

Об'єднуємо ці два випадки в одну формулу:
.

Відповідно, для логарифма за основою a, маємо:
.

Похідні вищих порядків натурального логарифма

Розглянемо функцію
.
Ми знайшли її похідну першого порядку:
(13) .

Знайдемо похідну другого порядку:
.
Знайдемо похідну третього порядку:
.
Знайдемо похідну четвертого порядку:
.

Можна помітити, що похідна n-го порядку має вигляд:
(14) .
Доведемо це методом математичної індукції.

Доведення

Підставами в формулу (14) значення n = 1:
.
Оскільки, то при n = 1 , Формула (14) справедлива.

Припустимо, що формула (14) виконується при n = k. Доведемо, що з цього випливає, що формула справедлива при n = k + 1 .

Дійсно, при n = k маємо:
.
Диференціюючи по змінної x:

.
Отже, ми отримали:
.
Ця формула збігається з формулою (14) при n = k + 1 . Таким чином, з припущення, що формула (14) справедлива при n = k випливає, що формула (14) справедлива при n = k + 1 .

Тому формула (14), для похідної n-го порядку, справедлива для будь-яких n.

Похідні вищих порядків логарифма за основою a

Щоб знайти похідну n-го порядку від логарифма за основою a, потрібно висловити його через натуральний логарифм:
.
Застосовуючи формулу (14), знаходимо n-ю похідну:
.

Див. також:

Операція відшукання похідної називається диференціюванням.

В результаті рішення задач про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій по визначенню похідною як межі відношення приросту до приросту аргументу з'явилися таблиця похідних і точно певні правила диференціювання. Першими на ниві знаходження похідних потрудилися Ісаак Ньютон (1643-1727) і Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).

Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згаданий вище границя відношення приросту функції до приросту аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних і правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.

Щоб знайти похідну, Треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функціїі визначити, якими діями (Твір, сума, приватне)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо в таблиці похідних, а формули похідних твори, суми і приватного - в правилах диференціювання. Таблиця похідних і правила диференціювання дані після перших двох прикладів.

Приклад 1.Знайти похідну функції

Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, т. Е.

З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікси" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косинусу. Підставляємо ці значення в суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:

Приклад 2.Знайти похідну функції

Рішення. Диференціюючи як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:

Якщо поки виникають питання, звідки що береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних і найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо прямо зараз.

Таблиця похідних простих функцій

1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є в вираженні функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, так як потрібно дуже часто
2. Похідна незалежної змінної. Найчастіше "ікси". Завжди дорівнює одиниці. Це теж важливо запам'ятати надовго
3. Похідна ступеня. В ступінь при вирішенні задач потрібно перетворювати неквадратні коріння.
4. Похідна змінної в ступені -1
5. Похідна квадратного кореня
6. Похідна синуса
7. Похідна косинуса
8. Похідна тангенса
9. Похідна котангенс
10. Похідна арксинуса
11. Похідна арккосинуса
12. Похідна арктангенса
13. Похідна арккотангенса
14. Похідна натурального логарифма
15. Похідна логарифмічної функції
16. Похідна експоненти
17. Похідна показовою функції

Правила диференціювання

1. Похідна суми або різниці
2. Похідна твори
2a. Похідна вираження, помноженого на постійний множник
3. Похідна приватного
4. Похідна складної функції

Правило 1.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці, то в тій же точці мають похідні і функції

причому

тобто похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій.

Слідство. Якщо дві диференціюються відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, Тобто

Правило 2.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці, то в той же точці дифференцируемого і їх твір

причому

тобто похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший.

Слідство 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Слідство 2. Похідна твори кількох диференціюються дорівнює сумі творів похідною кожного із співмножників на всі інші.

Наприклад, для трьох множників:

Правило 3.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці і , то в цій точці дифференцируемого і їхня приватнаu / v, причому

тобто похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.

Де що шукати на інших сторінках

При знаходженні похідної добутку і частки в реальних задачах завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладів на ці похідні - в статті"Похідна добутку і частки функцій".

Зауваження.Слід не плутати константу (тобто, число) як доданок в сумі і як постійний множник! У разі доданка її похідна дорівнює нулю, а в разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. це типова помилка, Яка зустрічається на початковому етапі вивчення похідних, але в міру рішення вже декількох одно- двоскладові прикладів середній студент цієї помилки вже не робить.

А якщо при диференціюванні твори або приватного у вас з'явилося доданок u"v, в котрому u- число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа буде дорівнює нулю і, отже, все доданок дорівнюватиме нулю (такий випадок розібраний в прикладі 10).

інша часта помилка- механічне рішення похідною складної функції як похідною простої функції. Тому похідною складної функціїприсвячена окрема стаття. Але спочатку будемо вчитися знаходити похідні простих функцій.

По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити в нових вікнах посібники Дії зі ступенями і коріннямі Дії з дробами .

Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями і корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто , То йдіть на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями і корінням".

Якщо ж перед Вами завдання на зразок , То Вам на заняття "Похідні простих тригонометричних функцій".

Покрокові приклади - як знайти похідну

Приклад 3.Знайти похідну функції

Рішення. Визначаємо частини виразу функції: все вираз являє твір, а його співмножники - суми, в другій з яких одна з складових містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твори: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:

Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється в одиницю, а мінус 5 - в нуль. У другому вираженні "ікс" помножений на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікси". Отримуємо наступні значення похідних:

Підставляємо знайдені похідні в суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:

А перевірити рішення задачі на похідну можна на.

Приклад 4.Знайти похідну функції

Рішення. Від нас вимагається знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання приватного: похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. отримуємо:

Похідну сомножителей в чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником в чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:

Якщо Ви шукаєте рішення таких задач, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів і ступенів, як, наприклад, , То ласкаво просимо на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями і корінням" .

Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синусів, косинусів, тангенсів і інших тригонометричних функцій, Тобто, коли функція має вигляд начебто , То Вам на урок "Похідні простих тригонометричних функцій" .

Приклад 5.Знайти похідну функції

Рішення. У даній функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь з незалежною змінною, з похідною якого ми ознайомилися в таблиці похідних. За правилом диференціювання твори і табличному значенню похідної квадратного кореня отримуємо:

Перевірити рішення задачі на похідну можна на калькуляторі похідних онлайн .

Приклад 6.Знайти похідну функції

Рішення. У даній функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь з незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, і табличному значенню похідної квадратного кореня отримуємо:

Щоб позбутися від дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на.