Рішення задач по теорії ймовірностей в ЄДІ. Теорія ймовірностей Теорія ймовірності базовий рівень
Цей розділ містить першу частину завдань по теорії ймовірностей, які досить прості для того, щоб їх могли помістити не тільки в варіант іспиту ЄДІ з математики профільного рівня, але і в варіант ЄДІ базового рівня або в варіант ОГЕ для 9-го класу.
У демонстраційних варіантах ЄДІ 2020 року завдання на перевірку знань елементів теорії ймовірностей можуть зустрітися під номером 10 для базового рівня і під номером 4 для профільного рівня, а також під номером 10 у варіанті ОГЕ для 9 класу.
Вчитися вирішувати такі завдання краще поетапно.
Завдання тільки на визначення ймовірності
Для вирішення більшості наступних завдань досить повторити класичне визначення ймовірності події:Ймовірністю події А називається дріб
P (A) \u003d __, m n
У чисельнику якого стоїть число m елементарних подій, сприяють події А, а в знаменнику n - число всіх елементарних подій.
Таким чином, щоб вирішити задачу потрібно підрахувати число сприятливих і число всіх можливих елементарних подій.
Згадаймо - елементарні події (результати випробування) попарно несумісні і рівноможливими. Іноді це очевидно, а іноді варто задуматися. "Попарно несумісні" означає, наприклад, що одна людина не може одночасно їхати в двох автобусах. Чи не є "рівно можливими", наприклад, зустрічі на вулиці з динозавром і собакою.
Зверніть увагу на виділені формулювання. Часто буває, що умови двох завдань відрізняються тільки одним словом, а рішення можуть бути прямо протилежними. І навпаки, здавалося б різні питання, але фактично про одне й те ж. Будьте уважні!
Не забудьте, що сприяють подій не може бути більше, ніж взагалі всіх можливих, а значить чисельник дробу ніколи не перевищить знаменник. У відповіді на питання про ймовірність події повинно бути число, яке задовольняє умові 0 ≤ P ≤ 1 . Якщо ви отримали іншу відповідь, він свідомо невірний.
приклад 1
На борту літака 12 місць поруч з запасними виходами і 18 місць за перегородками, що розділяють салони. Решта місць незручні для пасажира високого зросту. Пасажир В. високого зросту. Знайдіть ймовірність того, що на реєстрації при випадковому виборі місця пасажиру В. дістанеться зручне місце, якщо все в літаку 300 місць.
Рішення
Якщо "інші місця незручні", то зручні саме згадані 12 + 18 \u003d 30 місць.
Пасажиру В. може дістатися одне будь-яке місце з 300 місць в літаку, значить все можливих подій n \u003d 300. Але "придатними" будуть тільки ті з них, коли пасажир В. потрапив на зручне місце, таких подій, як і місць, m = 30.
P (A) \u003d ___ 30 300 = 0,1.
відповідь: 0,1
У прикладі, який представлений вище, реалізується найпростіше поняття елементарної події. Так як одна людина здатна зайняти лише одне місце, події незалежні. А так як в умови спеціально обумовлено, що при реєстрації місце вибиралося випадково, то рівноможливими. Тому, фактично, ми вважали не події, а місця в літаку.
приклад 2
У групі туристів 30 осіб. Їх вертольотом в кілька прийомів закидають у важкодоступний район по 6 чоловік за рейс. Порядок, в якому вертоліт перевозить туристів, випадковий. Знайдіть ймовірність того, що турист П. полетить першим рейсом вертольота.
Рішення
Визначимо, скільки всього рейсів повинен зробити вертоліт
30: 6 \u003d 5 (рейсів).
Турист П. може полетіти будь-яким, але "сприятливим" буде тільки один з них - перший. отже n = 5, m = 1.
P (A) \u003d 1/5 \u003d 0,2.
відповідь: 0,2
У цьому прикладі, вже слід задуматися про те, що являє собою елементарне подія. Тут це сформований рейс вертольота. Одна людина може потрапити тільки на один рейс, тобто тільки в одну групу з 6-ти чоловік, - події незалежні. За умовою завдання порядок рейсів випадковий, тобто всі рейси для кожної групи рівноможливими. Вважаємо рейси.
приклад 3
З безлічі натуральних чисел від 10 до 19 навмання вибирають одне число. Яка ймовірність того, що воно ділиться на 3?
Рішення
Випишемо в ряд задані числа і відзначимо ті з них, які діляться на 3.
10, 11, 12 , 13, 14, 15 , 16, 17, 18 , 19
Виходить, що з 10 заданих чисел на 3 діляться 3 числа.
Знаходимо відповідь по загальній формулі
P (A) \u003d 3/10 \u003d 0,3.
відповідь: 0,3
Зауваження. Цей спосіб вирішення відноситься до найпростішого нагоди, коли відрізок ряду короткий, і його легко виписати явно. Що буде, якщо завдання змінити, наприклад, так:З безлічі натуральних чисел від 107 до 198 навмання вибирають одне число. Яка ймовірність того, що воно ділиться на 3?
Тоді доведеться згадати, що "на 3 ділиться кожне третє число в натуральному ряду" (на 4 - кожне четверте, на 5 кожне п'яте ...) і визначити кількість груп з трьох чисел на ділянці ряду від 107 до 198.
1, 2, ..., 105, 106, 107, 108, ..., 197, 198
, 199, ...
На цій ділянці всього 92 числа: 198 - 106 \u003d 92.
Вони складають 30 повних груп і одну неповну (92/3 \u003d 30 цілих і 2 в залишку). У кожній повній групі є одне число, яке ділиться на 3. У неповній групі, яку складають два останніх числа, 197 не ділиться 3, а 198 ділиться. Разом у нас 30 + 1 \u003d 31 "що сприяє" число з "всього" 92-ох.
P (A) \u003d 31/92 ≈ 0,337
Тепер перевірте себе.
Увага: Для посилення навчального ефекту відповіді і рішення завантажуються окремо для кожного завдання послідовним натисканням кнопок на жовтому тлі. (Коли завдань багато, кнопки можуть з'явитися з затримкою. Якщо кнопок не видно зовсім, перевірте, чи дозволений у вашому браузері JavaScript.)завдання 1
У збірнику квитків по біології всього 55 квитків, в 11 з них зустрічається питання з ботаніки. Знайдіть ймовірність того, що в випадково обраному на іспиті квитку школяреві дістанеться питання з ботаніки.
Подія A - "вибір квитка з питанням з ботаніки". Вибрати можна тільки один квиток (події попарно несумісні), всі квитки однакові (події рівноможливими) і всі квитки доступні школяреві (повна група). Значить подія "вибір квитка" є елементарним. Всього таких подій стільки ж, скільки квитків, тобто n \u003d 55. сприяють події стільки ж, скільки квитків з питанням з ботаніки, тобто m \u003d 11. За формулою P (A) \u003d 11/55 \u003d 1/5 \u003d 0,2.
відповідь: 0,2
зауваження: Справді "побутова" ситуація настільки знайома і проста, що інтуїтивно зрозуміло, які події є елементарними, і які придатними. Далі я не буду детально описувати цю частину рішення, якщо в цьому не буде потреби.
Завдання 2.
У збірнику квитків з математики всього 25 квитків, в 10 з них зустрічається питання по нерівностям. Знайдіть ймовірність того, що в випадково обраному на іспиті квитку школяреві не дістанеться питання по нерівностям.
Спосіб I.
Подія A - "вибір квитка без питання по нерівностям". Всього 25 квитків, якщо в 10 квитках є питання по нерівностям, то в 25 - 10 \u003d 15 квитках його немає. Таким чином, загальне число можливих результатів n \u003d 25, число випадків, що сприяють події А, m \u003d 15. За формулою P (A) \u003d 15/25 \u003d 3/5 \u003d 0,6.
Спосіб II.
Подія A - "вибір квитка c питанням по нерівностям". Також, як в завданні 1, отримуємо P (A) \u003d 10/25 \u003d 2/5 \u003d 0,4. Але питання цього завдання протилежний питання завдання 1, тобто нам потрібна ймовірність протилежної події В - "вибір квитка без питання по нерівностям". Імовірність протилежної події обчислюємо за формулою P (B) \u003d 1 - P (A) \u003d 1 - 0,4 \u003d 0,6.
відповідь: 0,6
завдання 3
У чемпіонаті з гімнастики беруть участь 20 спортсменок: 8 з Росії, 7 з США, решта - з Китаю. Порядок, в якому виступають гімнастки, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсменка, яка виступає першою, виявиться з Китаю.
Подія A - "першої виступає гімнастка з Китаю".
Щоб визначити число випадків, давайте спочатку задумаємося, що таке результат жеребкування? Що будемо приймати за елементарне подія? Якщо будемо уявляти собі процедуру, коли одна спортсменка вже витягла кульку з номером виступу, а друга повинна щось витягнути з решти, то буде складне рішення з використанням умовної ймовірності. Відповідь отримати можна (див., Наприклад, спосіб II в завданні 6). Але навіщо залучати складну математику, якщо можна розглянути "побутову" ситуацію під іншим кутом зору?
Уявімо собі, що жеребкування завершена, і кожна гімнастка вже тримає кульку з номером в руці. У кожної тільки одну кульку, на всіх кульках різні номери, кулька з номером "1" тільки в однієї зі спортсменок. У який? Організатори жеребкування зобов'язані зробити так, щоб всі спортсменки мали рівні можливості отримати цю кульку, інакше вона буде несправедливою. Значить подія - "кулька з номером" 1 "у спортсменки" - є елементарним.
Всього спортсменок n \u003d 20, що сприяє подія - кулька з номером "1" у китаянки, всього спортсменок з Китаю m \u003d 20 - 8 - 7 \u003d 5. За формулою P (A) \u003d 5/20 \u003d 1/4 \u003d 0,25 .
відповідь: 0,25
завдання 4
У змаганнях зі штовхання ядра беруть участь 4 спортсмени з Фінляндії, 7 спортсменів з Данії, 9 спортсменів зі Швеції і 5 - з Норвегії. Порядок, в якому виступають спортсмени, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсмен, який виступає останнім, виявиться зі Швеції.
Аналогічно попередній задачі.
Подія A - "останнім виступає спортсмен зі Швеції". Елементарне подія - "останній номер дістався конкретному спортсмену". Всього спортсменів n \u003d 4 + 7 + 9 + 5 \u003d 25. сприяють події - спортсмен, якому дістався останній номер, зі Швеції. Всього спортсменів зі Швеції m \u003d 9.
За формулою P (A) \u003d 5/20 \u003d 9/25 \u003d 0,36.
відповідь: 0,36
завдання 5
На чемпіонаті зі стрибків у воду виступають 25 спортсменів, серед них 8 стрибунів з Росії і 9 стрибунів з Парагваю. Порядок виступів визначається жеребкуванням. Знайдіть ймовірність того, що шостим виступатиме стрибун з Парагваю.
Аналогічно 2-розум попереднім завданням.
Подія A - "шостим виступає стрибун з Парагваю". Елементарне подія - "номер шість у конкретного спортсмена". Всього спортсменів n \u003d 25. сприяють події - спортсмен, у якого номер "6", з Парагваю. Всього спортсменів з Парагваю m \u003d 9.
За формулою P (A) \u003d 9/25 \u003d 0,36.
відповідь: 0,36
зауваження: Останні три завдання, по суті, абсолютно однакові, але з першого погляду їх питання здаються різними. Навіщо? Щоб заплутати школяра? Ні, в укладачів інше завдання: на іспиті має бути багато різних варіантів однаковою мірою труднощі. Отже, не треба лякатися "каверзні питання", треба розглядати ситуацію, яка описується в задачі, з усіх боків.
завдання 6
Конкурс виконавців проводиться в 5 днів. Всього заявлено 80 виступів - по одному від кожної країни. У перший день 8 виступів, інші розподілені порівну між рештою днями. Порядок виступів визначається жеребкуванням. Яка ймовірність, що виступ представника Росії відбудеться в третій день конкурсу?
Спосіб I.
Подія A - "виступ представника Росії відбудеться в третій день". Одне виступ можна вважати елементарним подією, так як представники від всіх країн рівноправні (по одному від кожної країни). Всього n \u003d 80 виступів. У перший день 8 виступів, в решту 5 - 1 \u003d 4 дня по (80 - 8) / 4 \u003d 18 виступів. Значить в третій день відбудеться 18 виступів - це сприятливі для росіянина події, m \u003d 18.
За формулою P (A) \u003d 18/80 \u003d 9/40 \u003d 0,225.
Спосіб II.
Нехай подія A - "виступ представника Росії відбудеться в третій день", подія B - "виступ представника Росії нЕвідбудеться в перший день ", подія С -" виступ представника Росії відбудеться в третій день за умови, Що він не виступав в перший день ".
За визначенням умовної ймовірності P (A) \u003d P (B) · P (C).
Чи не виступлять в перший день 80 - 8 \u003d 72 людини. За формулою P (B) \u003d 72/80 \u003d 9/10 \u003d 0,9.
Якщо виступ представника Росії не потрапить на перший день, то він має однакові шанси виступити в будь-який з наступних 4-ох днів (інші виступи розподілені рівномірно, а значить дні рівноможливими). За формулою P (C) \u003d 1/4 \u003d 0,25.
Отже P (A) \u003d 0,9 · 0,25 \u003d 0,225.
відповідь: 0,225
зауваження: Завдання теорії ймовірностей часто вирішуються різними способами. Вибирайте для себе той, який зрозуміліше саме вам.
завдання 7
В середньому з 1000 садових насосів, які надійшли в продаж, 5 підтікають. Знайдіть ймовірність того, що один випадково обраний для контролю насос чи не підтікає.
Подія A - "вибраний насос чи не підтікає".
Всього насосів n \u003d 1000. З них 5 підтікають, значить не підтікають m \u003d 1000 - 5 \u003d 995.
За формулою P (А) \u003d 995/1000 \u003d 0,995.
відповідь: 0,995
завдання 8
Фабрика випускає сумки. В середньому на 100 якісних сумок доводиться вісім сумок з прихованими дефектами. Знайдіть ймовірність того, що куплена сумка виявиться якісною. Результат округлите до сотих.
Подія A - "куплена сумка якісна".
Всього n \u003d 100 + 8 \u003d 108 сумок (100 якісних і 8 з дефектами). Якісних m \u003d 100 сумок.
За формулою P (А) \u003d 100/108 \u003d 0,9259259 ≈ 0,93.
відповідь: 0,93
Зауваження 1:
Порівняйте цю і попередню завдання. Як важливо уважно ставитися до кожного слова в умови!
Зауваження 2:
Правила округлення ми повторювали при вирішенні текстових завдань.
завдання 9
Перед початком першого туру чемпіонату з бадмінтону учасників розбивають на ігрові пари випадковим чином за допомогою жереба. Всього в чемпіонаті бере участь 26 бадмінтоністів, серед яких 10 учасників з Росії, в тому числі Руслан Орлов. Знайдіть ймовірність того, що в першому турі Руслан Орлов буде грати з будь-яким бадмінтоністи з Росії?
Подія A - "Руслан Орлов буде грати з бадмінтоністи з Росії".
Змагання з бадмінтону, зазвичай, проводяться з вибуванням, і тільки в першому турі беруть участь всі 26 бадмінтоністів. Але число всіх можливих результатів не дорівнює 26, n \u003d 26 - 1 \u003d 25, тому що Руслан Орлов не може грати з самим собою. З тієї ж причини m \u003d 10 - 1 \u003d 9, адже Руслан Орлов входить в число 10 учасників з Росії.
За формулою P (А) \u003d 9/25 \u003d 0,36.
відповідь: 0,36
Завдання з використанням елементів комбінаторики
У цих завданнях відповідь також визначається за формулою P (A) \u003d m / n , Але підрахунок числа n всіх можливих подій і числа m сприяють подій помітно важче, ніж в попередніх випадках. Для цього використовують різні методи перебору варіантів і допоміжні малюнки, таблиці, графи ( "дерево можливостей"). Полегшити ситуацію можуть правила додавання і множення варіантів, а також готових рецептів комбінаторики: формули для числа перестановок, сполучень, розміщень.Правило складання: якщо деякий об'єкт A можна вибрати k способами, а об'єкт B - l способами ( не такими як А), То об'єкт "або А або В "можна вибрати m + lспособами.
Правило множення: якщо об'єкт А можна вибрати k способами, а після кожного такого вибору інший об'єкт В можна вибрати ( незалежно від об'єкта А) l способами, то пари об'єктів А і B можна вибрати m · l способами.
Правило множення ще називають "І-правилом", а правило складання "АБО-правилом". Не забувайте перевірити незалежність способів для "І" і несумісність (не такими) для "АБО".
Наступні завдання можна вирішувати як перебором варіантів, так і за допомогою. Я даю кілька способів вирішення для кожного завдання, тому що одним способом її можна вирішити швидко, а іншим довго, і тому що комусь зрозуміліше один підхід, а кому-то інший. Але це не означає, що обов'язково потрібно розбирати всі способи. Краще добре засвоїти один улюблений. Вибір за вами.
приклад 4
У випадковому експерименті симетричну монету кидають п'ять разів. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде двічі.
Це завдання можна вирішити кількома способами. Розглянемо той, який соответствунт заголовку розділу, а саме тільки застосуванням формул комбінаторики.
Рішення
У кожному з п'яти бросаний монети може реалізуватися один з результатів - орел чи решка - для стислості "про" чи "р". Таким чином, результатом серії випробувань буде група з п'яти букв, складена з двох вихідних, а значить з повтореннями. Наприклад, "оорор" означає, що два рази поспіль випав орел, потім решка, знову орел і знову решка. Отже, щоб обчислити число всіх можливих результатів, потрібно підрахувати число розміщень з n \u003d 2 по k \u003d 5 з повтореннями, яке визначається за формулою
A — n k = n k ; A — 2 5 = 2 5 = 32.
Сприятливі результати - орел випаде рівно два рази - представляють собою пятібуквенние "слова", складені з трьох букв "р" і двох "про", які можуть стояти на різних позиціях, наприклад, "opppo" або "poopp", тобто це перестановки з повтореннями. Їх число визначається за формулою
P — n = ______ n! n o! · n p! = ____ 5 !2! · 3! = _______ 1 · 2 · 3 · 4 · 5 1 · 2 · 1 · 2 · 3 = 10,
де n \u003d 5 кількість переставляються букв, n o \u003d 2 і n p \u003d 3 - число повторень букв "о" і "р", відповідно.
За формулою класичної ймовірності отримаємо P \u003d __ 10 32 = 0,3125
відповідь: 0,3125
Однак, якщо Ви не знаєте цих формул, шкільних іспитів з математики не бійтеся. Не тільки на ОГЕ і базовому ЄДІ, а й на ЄДІ профільного рівня, зазвичай пропонують розглянути короткі серії випробувань. У таких випадках Ви зможете виписати і розглянути результати явно. Пробуйте.
завдання 10
У випадковому експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел чи не випаде ні разу.
Спосіб I.
Можна виписати і розглянути всі можливі результати 3-ох бросаний монети: (ооо, ооp, оро, Орр, Роо, рор, рро, ррр), де про - скорочення від "орел", р - скорочення від "решка". З перерахування видно, що n \u003d 8, m \u003d 1. (котрий сприяє тільки ррр).
За формулою P (А) \u003d 1/8 \u003d 0,125.
Спосіб II.
Можна помітити, що умови випробування задовольняють схемою Бернуллі з p \u003d 1/2 і q \u003d 1/2 і скористатися формулою
P (0) \u003d C 0 3 · (1/2) 0 (1/2) (3-0) \u003d 1 · (1/2) 3 \u003d 1/8 \u003d 0,125.
відповідь: 0,125
завдання 11
У випадковому експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно один раз.
Спосіб I.
Випробування той же і результати ті ж, що в попередньому випадку: (ооо, ооp, оро, Орр, Роо, рор, рро, ррр). З перерахування видно, що n \u003d 8, m \u003d 3. (Сприятливі: (Орр, рор, рро)).
За формулою P (А) \u003d 3/8 \u003d 0,375.
Спосіб II.
Умови випробування задовольняють схемою Бернуллі з p \u003d 1/2 і q \u003d 1/2, значить за формулою
P (1) \u003d C 1 3 · (1/2) 1 (1/2) (3-1) \u003d 3 · (1/2) 1 · (1/2) 2 \u003d 3/8 \u003d 0,375.
відповідь: 0,375
завдання 12
У випадковому експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде хоча б одного разу.
Спосіб I.
Випробування той же і результати ті ж, що в попередніх випадках: (ооо, ооp, оро, Орр, Роо, рор, рро, ррр). З перерахування видно, що n \u003d 8, m \u003d 7. (Сприятливі все, крім ооо).
За формулою P (А) \u003d 7/8 \u003d 0,875.
Спосіб II.
За формулою Бернуллі з урахуванням правила складання (хоча б 1 з 3-х \u003d або 1, або 2, або 3)
P (А) \u003d P (1) + P (2) + P (3) \u003d C 1 3 · (1/2) 1 (1/2) (3-1) + C 2 3 · (1/2) 2 (1/2) (3-2) + C 3 3 · (1/2) 3 (1/2) (3-3) \u003d (3 + 3 + 1) · (1/2) 3 \u003d 7 / 8 \u003d 0,875.
Спосіб III.
Подія "орел випаде хоча б один раз" протилежно події "орел чи не випаде ні разу." Імовірність останнього дорівнює 0,125. Ми визначили її в завданні 10.
Значить P (A) \u003d 1 - 0,125 \u003d 0,875 за формулою для ймовірності протилежної події.
відповідь: 0,875
завдання 13
У випадковому експерименті симетричну монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел чи не випаде ні разу.
Скористаємося правилом множення для незалежних випробувань.
При кожному киданні можливі 2 результату, значить при 4-ох киданнях можливі 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 16 результатів.
При кожному киданні орел чи не випаде одним способом, значить при 4-ох киданнях він не випаде 1 · 1 · 1 · 1 \u003d 1 одним способом.
За формулою P (А) \u003d 1/16 \u003d 0,0625.
відповідь: 0,0625
зауваження: Звичайно, це завдання можна було б вирішити будь-яким із способів, розглянутих раніше. Але чим більше число можливих результатів, тим довше і безглуздіше вирішувати перебором варіантів.
Для тих, хто інакше не вміє або хоче перевірити коротший рішення довшим, все ж напишу: (oооо, oооp, oоро, oорр, oроо, oрор, oрро, oррр, pооо, pооp, pоро, pорр, pроо, pрор, pрро , pррр). Але, щоб переконатися, що дійсно виписані усе можливі результати, все одно варто підрахувати число розміщень з 2 по 4 з повтореннями: A — n k \u003d n k; A — 2 3 = 2 4 = 16.
Cамий кращий спосіб при великому числі кидання - формула Бернуллі. Спробуйте застосувати її в цьому завданні самостійно.
завдання 14
У випадковому експерименті кидають дві гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що в сумі випаде 8 очок. Результат округлите до сотих.
Спосіб I.
Для однієї кістки може бути 6 різних результатів випробування (випадання очок 1,2, ..., 6) і
для іншого - 6 випадків незалежних від першої. Загальна кількість можливих результатів при киданні двох кісток визначимо за правилом множення n \u003d 6 × 6 \u003d 36.
Щоб визначити число сприятливих результатів, подивимося з яких доданків виходить сума 8:
1 + 7 = 8; 2 + 6 = 8; 3 + 5 = 8; 4 + 4 = 8; 5 + 3 = 8; 6 + 2 = 8; 7 + 1 = 8.
Перший і останній варіанти є в нашому випадку неможливими подіями, числа 7 немає на звичайних гральних кістках. Решта реалізуються, якщо на одній кістки випадає перший доданок, а на інший кістки - друге. Сприятливі результати ( "2; 6", "3; 5", "4; 4", "5; 3", "6; 2"), всього їх m
Для однієї кістки може бути 6 різних результатів випробування (випадання очок 1,2, ..., 6), і
для іншого - 6 випадків, і
для третьої - 6 випадків, незалежних один від одного. Загальна кількість можливих результатів при киданні трьох кісток визначимо за правилом множення n \u003d 6 × 6 × 6 \u003d 216.
Щоб визначити число сприятливих результатів, подивимося, з яких 3-х доданків можна отримати число 7. Згадаймо, що від перестановки місць доданків сума не змінюється.
або 7 \u003d 1 + 1 + 5 (3 перестановки) або 1 + 2 + 4 (6 перестановок) або 1 + 3 + 3 (3 перестановки) або 2 + 2 + 3 (3 перестановки).
Таким чином, за правилом додавання m \u003d 3 + 6 + 3 + 3 \u003d 15 способів отримати 7, як суму очок на 3-х кістках.
За формулою P (A) \u003d 15/216 \u003d 0,069444444 ≈ 0,07.
(Детальніше про розрахунок m: Спочатку визначаємо з яких доданків може складатися число 7, наприклад, за схемою 
,
і маємо в своєму розпорядженні складові по зростанню (щоб виключити помилки із зайвими або відсутніми перестановками). А потім акуратно вважаємо перестановки або за формулами P k \u003d k!
- перестановки без повторень, P k 1, k 2, ..., k n \u003d k! / (K 1! · K 2! · ... · k n!)
- перестановки з повтореннями, або міркуванням.
За формулами: P 3 \u003d 3!
\u003d 1 · 2 · 3 \u003d 6 і P 1,2 \u003d 3! / (1! · 2!)
\u003d 1 · 2 · 3 / (1 · 1 · 2) \u003d 3.
Міркуванням: якщо 2 числа однакові, а 3-е відрізняється, то воно може стояти на 1-му, 2-му чи 3-му місцях, вийде 3 перестановки, якщо все 3 числа різні, то кожне з них може стояти на 1 му місці, а решту два займати 2-е і 3-е або 3-е і 2-е місця, відповідно, тоді 3 · 2 \u003d 6 перестановок.
Спосіб II.
Для цього завдання теж можна порахувати варіанти за допомогою таблички, але вже 3-D!
Детальний рішення краще подивитися в анімації.
відповідь: 0,07
Рішення задач з застосуванням таблиць
Якщо ваш браузер підтримує Flash, То ви можете подивитися анімовані графічні рішення
завдання 14 і завдання 15способом II - перебором варіантів з використанням таблиць. ( Для перегляду натисніть на її зображення.)
Постарайтеся розглянути ці приклади не тільки як рішення конкретного завдання, але і як ілюстрацію до правил додавання і множення результатів випробувань, а також для того, щоб остаточно визначитися з вибором методу рішення для іспиту. Як краще - перебором варіантів або за формулами?
висновок: завдання з теорії ймовірності цього завдання можна вирішувати за єдиною формулою в одну дію, якщо зумієте підрахувати числа можливих і сприяють подій "на пальцях", схемах, таблицях ... Однак, чим складніше експеримент ( "... монету кидають чотири рази ... "," ... кидають три гральні кістки ... "), тим більше громіздко" просте "рішення і тим коротше" складне "- з використанням формул, правил і теорем.
Але, якщо Ви все ще допускаєте помилки при вирішенні задач на класичне визначення ймовірності, то, можливо, вони мають таке ж походження, як у відомому анекдоті про динозавра. В такому випадку перейдіть за посиланням
Завдання на правила додавання і множення ймовірностей
Увага: на сайті з'явився розділ Щоб подивитися ці завдання, перейдіть за посиланням.- Лютікас В.С. Школяру про теорію ймовірностей. - М. "Просвіта", 1976.
- Мостеллер Ф. П'ятдесят цікавих імовірнісних завдань з рішеннями. Пер. з англ. - М. "Наука", 1985.
Теорія ймовірностей на ЄДІ з математики може бути представлена \u200b\u200bяк у вигляді простих завдань на класичне визначення ймовірності, так і у вигляді досить складних, на застосування відповідних теорем.
У цій частині розглянемо завдання, для вирішення яких достатньо застосування визначення ймовірності. Іноді тут ми будемо застосовувати також формулу для обчислення ймовірності протилежної події. Хоча без цієї формули тут можна обійтися, вона все одно знадобиться при вирішенні наступних завдань.
Теоретична частина
Випадковим називають подія, яке може відбутися або не відбутися (заздалегідь передбачити неможливо) під час спостереження або випробування.
Нехай при проведенні випробування (кидання монети або кубика, витягування екзаменаційного білета та т. Д.) Можливі рівно можливих випадків. Наприклад, при підкиданні монети число всіх результатів дорівнює 2, так як крім випадання «решки» або «орла» інших результатів бути не може. При кидку грального кубика можливі 6 випадків, так як на верхній грані кубика рівно можливих поява будь-якого з чисел від 1 до 6. Нехай також деякому події А сприяють результатів.
Ймовірністю події А називається відношення числа сприятливих для цієї події результатів до загального числа рівно можливих випадків (це класичне визначення ймовірності). пишемо
Наприклад, нехай подія А полягає в випаданні непарного числа очок при киданні кубика. Всього можливі 6 результатів: випадання на верхній грані кубика 1, 2, 3, 4, 5, 6. При цьому сприятливими для події А є результати з випаданням 1, 3, 5. Таким чином, 
.
Зауважимо, що завжди виконується подвійне нерівність, тому ймовірність будь-якої події А лежить на відрізку, тобто 
. Якщо у вас у відповіді ймовірність виходить більше одиниці, значить, ви десь помилилися і рішення потрібно перевірити ще раз.
Події А і В називаються протилежними один одному, якщо будь-який результат сприятливий рівно для одного з них.
Наприклад, при киданні кубика подія «випало непарне число» є протилежним події «випало парне число».
Подія, протилежне події А, позначають. З визначення протилежних подій слід 
, Значить, 
.
Завдання про вибір об'єктів з набору
Завдання 1. У чемпіонаті світу беруть участь 24 команди. За допомогою жереба їх потрібно розділити на чотири групи по шість команд в кожній. В ящику упереміш лежать картки з номерами груп:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.
Капітани команд тягнуть по одній картці. Яка ймовірність того, що команда Росії виявиться в третій групі?
Загальна кількість випадків дорівнює числу карток - їх 24. Сприятливих результатів 6 (так як номер 3 написаний на шести картках). Шукана ймовірність дорівнює 
.
Відповідь: 0,25.
Завдання 2. В урні 14 червоних, 9 жовтих і 7 зелених куль. З урни навмання дістають один шар. Яка ймовірність того, що ця куля виявиться жовтим?
Загальна кількість випадків дорівнює числу куль: 14 + 9 + 7 \u003d 30. Число випадків, що сприяють даної події, так само 9. Шукана ймовірність дорівнює дорівнює 
.
Завдання 3. На клавіатурі телефону 10 цифр, від 0 до 9. Яка ймовірність того, що випадково натиснута цифра буде парною і більше 5?
Результатом тут є натискання певної клавіші, тому все мається 10 рівно можливих випадків. Вказаної події сприяють результати, які означають натискання клавіші 6 або 8. Таких результатів два. Шукана ймовірність дорівнює.
Відповідь: 0,2.
завдання 4. Яка ймовірність того, що випадково обраний натуральне число від 4 до 23 ділиться на три?
На відрізку від 4 до 23 є 23 - 4 + 1 \u003d 20 натуральних чисел, значить, все можливі 20 випадків. На цьому відрізку кратні трьом наступні числа: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Всього таких чисел 6, тому він розглядався події сприяють 6 випадків. Шукана ймовірність дорівнює 
.
Відповідь: 0,3.
Завдання 5. З 20 квитків, пропонованих на іспиті, школяр може відповісти тільки на 17. Яка ймовірність того, що школяр не зможе відповісти на вибраний навмання квиток?
1 -й спосіб.
Так як школяр може відповісти на 17 квитків, то на 3 квитка він відповісти не може. Імовірність отримати один з цих квитків за визначенням дорівнює.
2-й спосіб.
Позначимо через А подію «школяр може відповісти на квиток». Тоді. Імовірність протилежної події дорівнює \u003d 1 - 0,85 \u003d 0,15.
Відповідь: 0,15.
завдання 6. У чемпіонаті з художньої гімнастики беруть участь 20 спортсменок: 6 з Росії, 5 з Німеччини, решта - з Франції. Порядок, в якому виступають гімнастки, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсменка, яка виступає сьомий, виявиться з Франції.
Всього 20 спортсменок, у всіх рівні шанси виступати сьомий. Тому є 20 рівноймовірно результатів. З Франції 20 - 6 - 5 \u003d 9 спортсменок, тому є 9 сприятливих для вказаної події результатів. Шукана ймовірність дорівнює.
Відповідь: 0,45.
Завдання 7. Наукова конференція проводиться в 5 днів. Всього заплановано 50 доповідей - перші три дні по 12 доповідей, інші розподілені порівну між четвертим і п'ятим днями. Порядок доповідей визначається жеребкуванням. Яка ймовірність, що доповідь професора Н. виявиться запланованим на останній день конференції?
Спочатку знайдемо, скільки доповідей заплановано на останній день. На перші три дні заплановано доповідей. Залишаються ще 50 - 36 \u003d 14 доповідей, які розподіляються порівну між двома іншими днями, тому в останній день заплановано доповідей.
Будемо вважати результатом порядковий номер доповіді професора Н. Всього таких рівно можливих випадків 50. Сприяють вказаної події 7 випадків (останні 7 номерів в списку доповідей). Шукана ймовірність дорівнює.
Відповідь: 0,14.
завдання 8. На борту літака 10 місць поруч з запасними виходами і 15 місць за перегородками, що розділяють салони. Решта місць незручні для пасажирів високого зросту. Пасажир К. високого зросту. Знайдіть ймовірність того, що на реєстрації при випадковому виборі місця пасажиру К. дістанеться зручне місце, якщо все в літаку 200 місць.
Результат в цьому завданні - вибір місця. Усього є 200 рівно можливих випадків. Сприяють події «вибране місце зручне» 15 + 10 \u003d 25 результатів. Шукана ймовірність дорівнює.
Відповідь: 0,125.
завдання 9. З 1000 зібраних на заводі кавомолок 7 штук бракованих. Експерт перевіряє одну навмання обрану кавомолку з цієї 1000. Знайдіть ймовірність того, що перевіряється кавомолка виявиться бракованою.
При виборі кавомолки навмання можливі 1000 випадків, події А «обрана кавомолка бракована» сприятливі 7 результатів. За визначенням ймовірності.
Відповідь: 0,007.
Завдання 10. Завод виробляє холодильники. В середньому на 100 якісних холодильників припадає 15 холодильників з прихованими дефектами. Знайдіть ймовірність того, що куплений холодильник виявиться якісним. Результат округлите до сотих.
Це завдання схожа на попередню. Однак формулювання «на 100 якісних холодильників припадає 15 з дефектами» вказує нам, що дефектні 15 штук не входять до 100 якісних. Тому загальне число випадків дорівнює 100 + 15 \u003d 115 (дорівнює загальній кількості холодильників), сприятливих результатів 100. Шукана ймовірність дорівнює. Для підрахунку наближеного значення дробу зручно скористатися поділом куточком. Отримуємо 0,869 ..., що 0,87.
Відповідь: 0,87.
завдання 11. Перед початком першого туру чемпіонату з тенісу учасників розбивають на ігрові пари випадковим чином за допомогою жереба. Всього в чемпіонаті бере участь 16 тенісистів, серед яких 7 учасників з Росії, в тому числі Максим Зайцев. Знайдіть ймовірність того, що в першому турі Максим Зайцев буде грати з будь-яким тенісистом з Росії.
Як і в попередній задачі, необхідно уважно прочитати умову і зрозуміти, що є результатом, а що - успішним результатом (так, неосмислене застосування формули ймовірності призводить до неправильного відповіді).
Тут результат - це суперник Максима Зайцева. Так як все тенісистів 16, а сам з собою Максим грати не може, то є 16 - 1 \u003d 15 рівноймовірно результатів. Успішний результат - суперник з Росії. Таких сприятливих результатів 7 - 1 \u003d 6 (з числа росіян виключаємо самого Максима). Шукана ймовірність дорівнює.
Відповідь: 0,4.
Завдання 12. Футбольну секцію відвідують 33 людини, серед них двоє братів - Антон і Дмитро. Які відвідують секцію випадковим чином ділять на три команди по 11 чоловік у кожній. Знайдіть ймовірність того, що Антон і Дмитро опиняться в одній команді.
Сформуємо команди, послідовно поміщаючи футболістів на вільні місця, при цьому почнемо з Антона і Дмитра. Спочатку помістимо Антона на випадково вибране місце з вільних 33. Тепер поміщаємо на вільне місце Дмитра (результатом будемо вважати вибір місця для нього). Усього є 32 вільних місця (одне вже зайняв Антон), тому все можливі 32 результату. В одній команді з Антоном залишається 10 вільних місць, тому події «Антон і Дмитро в одній команді» сприяють 10 випадків. Така ймовірність події дорівнює 
.
Відповідь: 0,3125.
завдання 13. Механічний годинник з дванадцятигодинним циферблатом в якийсь момент зламалися і перестали ходити. Знайдіть ймовірність того, що годинна стрілка завмерла, досягнувши позначки 11, але не дійшовши до позначки 2 години.
Умовно циферблат можна розділити на 12 секторів, що розташовуються між відмітками сусідніх чисел (між 12 і 1, 1 і 2, 2 і 3, ..., 11 і 12). Результатом ми будемо вважати зупинку годинникової стрілки в одному із зазначених секторів. Всього є 12 рівно можливих випадків. Вказаної події сприяють три результати (сектора між 11 і 12, 12 і 1, 1 і 2). Шукана ймовірність дорівнює 
.
Відповідь: 0,25.
Підведемо підсумок
Після вивчення матеріалу за рішенням простих завдань з теорії ймовірностей рекомендую виконати завдання для самостійного рішення, які ми публікуємо на нашому каналі Telegram. Ви також можете перевірити правильність їх виконання, внісши свої відповіді в пропоновану форму.
Спасибі, що поділилися статтею в соціальних мережах
Джерело "Підготовка до ЗНО. Математіка.Теорія ймовірностей ". Під редакцією Ф.Ф. Лисенко, С.Ю. Кулабухова
На заводі керамічної плитки 5% вироблених плиток мають дефект. При контролі якості продукції виявляється лише 40% дефектних плиток. Решта плитки відправляються на продаж. Знайдіть ймовірність того, що обрана випадковим чином при покупці плитка не матиме дефектів. Відповідь округлите до сотих.
Показати рішенняРішення
При контролі якості продукції виявляється 40% дефектних плиток, які становлять 5% від вироблених плиток, і вони не надходять у продаж. Значить, не надходить у продаж 0,4 · 5% \u003d 2% від вироблених плиток. Інша частина вироблених плиток - 100% - 2% \u003d 98% надходить у продаж.
Не має дефектів 100% - 95% вироблених плиток. Імовірність того, що куплена плитка не має дефекту, дорівнює 95%: 98% \u003d \\ Frac (95) (98) \\ approx 0,97
відповідь
Умова
Імовірність того, що акумулятор не заряджений, дорівнює 0,15. Покупець в магазині набуває випадкову упаковку, яка містить два таких акумулятора. Знайдіть ймовірність того, що обидва акумулятора в цій упаковці виявляться заряджені.
Показати рішенняРішення
Імовірність того, що акумулятор заряджених, дорівнює 1-0,15 \u003d 0,85. Знайдемо ймовірність події «обидва акумулятора заряджені». Позначимо через A і B події «перший акумулятор заряджених» і «другий акумулятор заряджених». Отримали P (A) \u003d P (B) \u003d 0,85. Подія «обидва акумулятора заряджені» - це перетин подій A \\ cap B, його ймовірність дорівнює P (A \\ cap B) \u003d P (A) \\ cdot P (B) \u003d 0,85 \\ cdot 0,85 \u003d 0,7225.
відповідь
Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень ». Під ред. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.
Умова
Імовірність того, що нова пральна машина протягом року надійде в гарантійний ремонт, дорівнює 0,065. У деякому місті протягом року було продано 1200 пральних машин, з яких 72 штуки було передано в гарантійну майстерню. Визначте, наскільки відрізняється відносна частота настання події «гарантійний ремонт» від його ймовірності в цьому місті?
Показати рішенняРішення
Частота події «пральна машина протягом року надійде в гарантійний ремонт» дорівнює \\ Frac (72) (1200) \u003d 0,06. Від ймовірності вона відрізняється на 0,065-0,06 \u003d 0,005.
відповідь
Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень ». Під ред. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.
Умова
Імовірність того, що ручка бракована, дорівнює 0,05. Покупець в магазині набуває випадкову упаковку, яка містить дві ручки. Знайдіть ймовірність того, що обидві ручки в цій упаковці виявляться справними.
Показати рішенняРішення
Імовірність того, що ручка справна, дорівнює 1-0,05 \u003d 0,95. Знайдемо ймовірність події «обидві ручки справні». Позначимо через A і B події «перша ручка справна» і «друга ручка справна». Отримали P (A) \u003d P (B) \u003d 0,95. Подія «обидві ручки справні» - це перетин подій A \\ cap B, його ймовірність дорівнює P (A \\ cap B) \u003d P (A) \\ cdot P (B) \u003d 0,95 \\ cdot 0,95 \u003d 0,9025.
відповідь
Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень ». Під ред. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.
Умова
На малюнку зображений лабіринт. Жук заповзає в лабіринт в точці «Вхід». Розвернутися і повзти в зворотному напрямку жук не може, тому на кожній розвилці він вибирає один з шляхів, в якому ще не був. З якою ймовірністю жук прийде до виходу Д, якщо вибір подальшого шляху є випадковим.
Показати рішенняРішення
Розставимо на перехрестях стрілки в напрямках, за якими може рухатися жук (див. Рис.).
Виберемо на кожному з перехресть один напрямок з двох можливих і будемо вважати, що при попаданні на перехрестя жук буде рухатися по обраному нами напрямку.
Щоб жук досяг виходу Д, потрібно, щоб на кожному перехресті було вибрано напрямок, позначене суцільною червоною лінією. Всього вибір напрямку робиться 4 рази, кожен раз незалежно від попереднього вибору. Імовірність того, що кожен раз обрана суцільна червона стрілка, дорівнює \\ Frac12 \\ cdot \\ frac12 \\ cdot \\ frac12 \\ cdot \\ frac12 \u003d 0,5^4= 0,0625.
відповідь
Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень ». Під ред. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.
Умова
У секції 16 спортсменок, серед них дві подруги - Оля і Маша. Спортсменок випадковим чином розподіляють по 4 рівним групам. Знайдіть ймовірність того, що Оля і Маша потраплять в одну групу.
План проведення семінару-практикуму для вчителів математики ОУ міста Тули по темі «Рішення завдань ЄДІ з математики з розділів: комбінаторика, теорія ймовірностей. Методика навчання »
Час проведення: 12 00 ; 15 00
Місце проведення: МБОУ «Ліцей № 1», каб. № 8
I. Рішення задач на ймовірність
1. Рішення задач на класичне визначення ймовірності
Ми, як вчителі, вже знаємо, що основні типи завдань в ЄДІ з теорії ймовірностей засновані на класичному визначенні ймовірності. Згадаймо, що називається ймовірністю події?
ймовірністю подіїназивається відношення числа випадків, що сприяють даної події, до загальної кількості випадків.
У нашому науково-методичне об'єднання вчителів математики вироблена загальна схема рішення задач на ймовірність. Вашій увазі я її хочу представити. До речі, ми поділилися своїм досвідом роботи, і у вас в матеріалах, які ми вашій увазі дали для спільного обговорення рішення задач, ми цю схему дали. Проте, я хочу її озвучити.
На наш погляд ця схема допомагає швидше логічно розкласти все по поличках, і після цього завдання піддається вирішенню набагато легше і для вчителя, і для учнів.
Так, я хочу розібрати докладно завдання такого змісту.
Мені хотілося спільно з вами поговорити, щоб пояснити методику, як до хлопців донести таке рішення, в процесі якого хлопці б зрозуміли цю типову задачу, і надалі вони б самі в цих завданнях розбиралися.
Що в цьому завданню є випадковим експериментом? Тепер нам необхідно виокремити елементарна подія в цьому експерименті. Що є цим елементарним подією? Перерахуємо їх.
Питання по завданню?
Шановні колеги, ви теж, очевидно, розглядали завдання на ймовірність з гральними кубиками. Думаю, нам треба розібрати її, тому як є свої нюанси. Давайте будемо розбирати це завдання згідно з тією схемою, яку ми вам запропонували. Так як на кожній грані кубика є число від 1 до 6, то елементарними події являють собою числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ми знайшли, що загальне число елементарних подій дорівнює 6. Визначимо, які елементарні події сприяють події. Сприяють цій події всього дві події - 5 і 6 (так як з умови випливає, що має випасти 5 і 6 очок).
Пояснити, що всі елементарні події рівноможливими. Які будуть питання по завданню?
Як ви розумієте, що монета симетрична? Давайте розберемося в цьому, іноді певні фрази викликають нерозуміння. Давайте в понятійному режимі розберемося в цьому завданні. Давайте розберемося з вами в тому експерименті, який описаний, які можуть бути елементарні результати. Ви все уявляєте, де орел, де решка? Які можуть бути варіанти випадання? Є інші події? Скільки загальне число подій? За завданню відомо, що орел випав рівно один раз. Значить, даної події сприяють елементарні події з цих чотирьох ОР і РВ, два рази вже такого бути не може. Використовуємо формулу, по якій знаходиться ймовірність події. Нагадаємо, що відповіді в частині В повинні бути або ціле число, або десяткову дріб.
Показуємо на інтерактивній дошці. Читаємо завдання. Що є елементарним результатом в цьому досвіді? Уточнити, що пара впорядкована - тобто число випало на першому кубику, і на другому кубику. У будь-якому завданні є такі моменти, коли потрібно вибирати раціональні методи, форми і представляти рішення в вигляді таблиць, схем і т.д. У цьому завданню зручно використовувати таку таблицю. Я вам даю вже готове рішення, але в ході рішення з'ясовується, що в даній задачі раціонально використовувати рішення у вигляді таблиці. Пояснюємо, що позначає таблиця. Вам зрозуміло, чому в шпальтах написано 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Накреслимо квадрат. Рядки відповідають результатам першого кидка - їх шість, тому що у кубика шість граней. Як і стовпці. У кожній клітині напишемо суму очок, що випали. Показуємо заповнену таблицю. Закрасимо клітини, де сума дорівнює восьми (так як це потрібно в умови).
Я вважаю, що таку задачу, після розбору попередніх, можна дати хлопцям вирішити самостійно.
У таких завданнях немає потреби виписувати всі елементарні результати. Досить просто підрахувати їх кількість.
(Без рішення) Таке завдання я давав вирішити хлопцям самостійно. Алгоритм рішення задачі
1. Визначаємо, в чому полягає випадковий експеримент і що є випадковою подією.
2. Знаходимо загальне число елементарних подій.
3. Знаходимо число подій, що сприяють події, вказаною в умові завдання.
4. Знаходимо ймовірність події з використанням формули.
Учням можна задати питання, якщо 1000 акумуляторів надійшло в продаж, а серед них 6 несправних, то обраний акумулятор визначається як? Чим він є в нашій задачі? Далі я задаю питання про знаходження, що тут використовується в якості числа і пропоную знайти цечисло. Далі питаю, що є тут подією? Скільки акумуляторів сприяє виконанню події? Далі, використовуючи формулу, обчислюємо дану ймовірність.
Тут хлопцям можна запропонувати другий спосіб вирішення. Давайте обговоримо, який може бути цей спосіб?
1. Яка подія можна розглянути тепер?
2. Як знайти ймовірність даної події?
Хлопцям потрібно сказати про ці формулах. вони такі
Восьму завдання можна запропонувати хлопцям самостійно, так як вона аналогічно шостий задачі. Її їм можна запропонувати в якості самостійної роботи, або на картці біля дошки.
Дану задачу можна вирішити стосовно олімпіаді, яка зараз проходить. Незважаючи на те, що в задачах беруть участь різні події, проте ж завдання є типовими.
2. Найпростіші правила і формули обчислення ймовірностей (протилежні події, сума подій, твір подій)
Це завдання зі збірки ЄДІ. Рішення виводимо на дошку. Які ми питання повинні поставити перед учнями, щоб розібрати цю задачу.
1. Скільки було автоматів? Раз два автомата, то подій вже два. Ставлю запитання дітям - яке буде подія? Яке буде друга подія?
2. - це ймовірність події. Нам її обчислювати не потрібно, так як вона дана в умови. За умовою завдання ймовірність того, що «кава закінчиться в обох автоматах», дорівнює 0,12. Було подія А, була подія В. І з'являється нове подія? Я дітям задаю питання - яке? Ця подія, коли в обох автоматах закінчується кави. В даному випадку, в теорії ймовірності це нова подія, що називається перетином двох подій А і В і позначається це таким чином.
Скористаємося формулою складання ймовірності. Формула наступна
Ми її даємо вам в довідковому матеріалі і хлопцям можна давати цю формулу. Вона дозволяє знаходити ймовірність суми подій. У нас питалася ймовірність протилежної події, ймовірність якого знаходиться за формулою.
У задачі 13 використовується поняття твори подій, формула для знаходження ймовірності якого наведена в додатку.
3. Завдання на застосування дерева можливих варіантів
За умовою завдання легко скласти схему і знайти зазначені ймовірності.
За допомогою якого теоретичного матеріалу ви розбирали з учнями рішення задач такого роду? Чи використовували ви дерево можливих варіантів або використовували інші методи вирішення таких завдань? Чи давали ви поняття графів? У п'ятому чи шостому класі у хлопців є такі завдання, розбір яких дає поняття графів.
Я б хотів вас запитати, розглядали ви з учнями використання дерева можливих варіантів при вирішенні завдань на ймовірність? Справа в тому, що мало того, що в ЄДІ є такі завдання, але з'явилися завдання досить складні, які ми зараз будемо вирішувати.
Давайте обговоримо з вами методику рішення таких задач - якщо вона співпаде з моєю методикою, як я пояснюю хлопцям, то мені буде легше з вами працювати, якщо немає, то я допоможу вам розібратися з цим завданням.
Давайте ми з вами обговоримо події. Які події в завданні 17 можна виокремити?
При побудові дерева на площині позначається точка, яка називається коренем дерева. Далі ми починаємо розглядати події і. Ми побудуємо відрізок (в теорії ймовірностей він називається гілка). За умовою сказано, що перша фабрика випускає 30% мобільних телефонів цієї марки (який? Тієї, яку вони випускають), значить, в даний момент я учнів питаю, чому дорівнює ймовірність випуску першою фабрикою телефонів цієї марки, тих, які вони випускають? Так як подія є випуск телефону на першій фабриці, то ймовірність цієї події є 30% або 0,3. Решта телефони випущені на другий фабриці - ми будуємо другий відрізок, і ймовірність цієї події дорівнює 0,7.
Учням задається питання - якого типу може бути телефон, випущений першою фабрикою? З дефектом або без дефекту. Якого ймовірність того, що телефон, випущений першою фабрикою, має дефект? За умовою сказано, що вона дорівнює 0,01. Питання: наскільки ймовірним є те, що телефон, випущений першою фабрикою, не має дефекту? Так як ця подія протилежно цьому, то його ймовірність дорівнює.
Потрібно знайти ймовірність того, що телефон з дефектом. Він може бути з першої фабрики, а може бути і з другої. Тоді скористаємося формулою складання ймовірностей і отримаємо, що вся ймовірність це є сума ймовірностей того, що телефон з дефектом з першої фабрики, і що телефон з дефектом з другої фабрики. Імовірність того, що телефон має дефект і випущений на першій фабриці знайдемо за формулою твори ймовірностей, яка приведена в додатку.
4. Одна з найскладніших завдань з банку ЄДІ на ймовірність
Розберемо, наприклад, № 320199 з Банку завдань ФІПІ. Це одна з найскладніших завдань В6.
Щоб вступити до інституту на спеціальність «Лінгвістика», абітурієнт З. повинен набрати на ЄДІ не менше 70 балів з кожного з трьох предметів - математика, російська мова та іноземна мова. Щоб вступити на спеціальність «Комерція», потрібно набрати не менше 70 балів з кожного з трьох предметів - математика, російська мова і суспільствознавство.
Імовірність того, що абітурієнт З. отримає не менше 70 балів з математики, дорівнює 0,6, з російської мови - 0,8, з іноземної мови - 0,7 і з суспільствознавства - 0,5.
Знайдіть ймовірність того, що З. зможе вступити хоча б на одну з двох згаданих спеціальностей.
Зауважимо, що в задачі не питається, чи буде абітурієнт на прізвище З. вчитися і лінгвістиці, і комерції відразу і отримувати два дипломи. Тут треба знайти ймовірність того, що З. зможе вступити хоча б на одну з двох даних спеціальностей - тобто набере необхідну кількість балів.
Для того щоб вступити хоча б на одну з двох спеціальностей, З. повинен набрати не менше 70 балів з математики. І з російської. І ще - суспільствознавства або іноземний.
Імовірність набрати 70 балів з математики для нього дорівнює 0,6.
Імовірність набрати бали з математики та російської дорівнює.
Розберемося з іноземним і суспільствознавство. Нам підходять варіанти, коли абітурієнт набрав бали з суспільствознавства, з іноземної або по обом. Не підходить варіант, коли ні за мовою, ні за «суспільству» він не набрав балів. Значить, ймовірність здати суспільствознавство або іноземний не нижче ніж на 70 балів дорівнює. В результаті ймовірність здати математику, російську і суспільствознавство або іноземний дорівнює
Це відповідь.
II . Рішення комбінаторних задач
1. Число сполучень і факторіали
Давайте коротко розберемо теоретичний матеріал.
виразn ! читається як «ен-факторіал» і позначає твір всіх натуральних чисел від 1 доn включно:n ! \u003d 1 · 2 · 3 · ... ·n .
Крім того, в математиці за визначенням вважають, що 0! \u003d 1. Такий вираз буває рідко, але все ж зустрічається в завданнях з теорії ймовірностей.
визначення
Нехай є об'єктів (олівців, цукерок, чого завгодно), у тому числі потрібно вибрати рівно різних об'єктів. Тоді кількість варіантів такого вибору називаєтьсячислом сполучень з елементів по. Це число позначається і вважається за спеціальною формулою.
позначення
Що дає нам ця формула? Насправді, без неї не вирішується практично жодна серйозна задача.
Для кращого розуміння розберемо кілька найпростіших комбінаторних задач:
завдання
У бармена є 6 сортів зеленого чаю. Для проведення чайної церемонії потрібно подати зелений чай рівно 3 різних сортів. Скількома способами бармен може виконати замовлення?
Рішення
Тут все просто: єn \u003d 6 сортів, з яких треба вибратиk \u003d 3 сорти. Число сполучень можна знайти за формулою:
відповідь
Підставляємо в формулу. Ми всі завдання вирішити не можемо, але типові завдання ми виписали, вони представлені вашій увазі.
завдання
У групі з 20 студентів треба вибрати 2 представників для виступу на конференції. Скількома способами можна це зробити?
Рішення
Знову ж таки, все у нас єn \u003d 20 студентів, а вибрати требаk \u003d 2 студента. Знаходимо число поєднань:
Зверніть увагу: червоним кольором відзначені множники, що входять в різні факторіали. Ці множники можна безболісно скоротити і тим самим значно зменшити загальний обсяг обчислень.
відповідь
190
завдання
На склад завезли 17 серверів з різними дефектами, які стоять в 2 рази дешевше нормальних серверів. Директор купив в школу 14 таких серверів, а зекономлені гроші в кількості 200 000 рублів направив на придбання іншого обладнання. Скількома способами директор може вибрати браковані сервери?
Рішення
У задачі досить багато зайвих даних, які можуть збити з пантелику. Найбільш важливі факти: всього єn \u003d 17 серверів, а директору требаk \u003d 14 серверів. Вважаємо число поєднань:
Червоним кольором знову позначені множники, які скорочуються. Разом, вийшло 680 комбінацій. Загалом, директору є з чого вибрати.
відповідь
680
Це завдання примхлива, так як в цьому завданні є зайві дані. Багатьох учнів вони збивають з правильного рішення. Всього серверів було 17, а директору необхідно вибрати 14. Підставляючи в формулу, отримуємо 680 комбінацій.
2. Закон множення
визначення
закон множення в комбінаториці: число поєднань (способів, комбінацій) в незалежних наборах множиться.
Іншими словами, нехай єA способів виконати одну дію іB способів виконати деякі інші дії. Шлях також ці дії незалежні, тобто ніяк не пов'язані між собою. Тоді можна знайти число способів виконати перше і друге дію за формулою:C = A · B .
завдання
У Петі є 4 монети по 1 рублю і 2 монети по 10 рублів. Петя, не дивлячись, дістав з кишені 1 монету номіналом 1 рубль і ще 1 монету номіналом 10 рублів, щоб купити ручку за 11 рублів. Скількома способами він може вибрати ці монети?
Рішення
Отже, спочатку Петя дістаєk \u003d 1 монету зn \u003d 4 наявних монет номіналом 1 рубль. Число способів зробити це так самоC 4 1 = ... = 4.
Потім Петя знову лізе в кишеню і дістаєk \u003d 1 монету зn \u003d 2 наявних монет номіналом 10 рублів. Тут число поєднань одноC 2 1 = ... = 2.
Оскільки ці дії незалежні, загальне число варіантів одноC \u003d 4 · 2 \u003d 8.
відповідь
завдання
У кошику лежать 8 білих куль та 12 чорних. Скількома способами можна дістати з цього кошика 2 білих кулі і 2 чорних?
Рішення
Всього в кошикуn \u003d 8 білих куль, з яких треба вибратиk \u003d 2 кулі. Це можна зробитиC 8 2 \u003d ... \u003d 28 різними способами.
Крім того, в кошикаn \u003d 12 чорних куль, з яких треба вибрати знову жk \u003d 2 кулі. Число способів зробити це так самоC 12 2 = ... = 66.
Оскільки вибір білого кулі і вибір чорного - події незалежні, загальне число комбінацій вважається за законом множення:C \u003d 28 · 66 \u003d 1848. Як бачимо, варіантів може бути досить багато.
відповідь
1848
Закон множення показує, скількома способами можна виконати складне дію, яке складається з двох і більше простих - за умови, що всі вони незалежні.
3. Закон складання
Якщо закон множення оперує «ізольованими» подіями, які не залежать одне від одного, то в законі складання все навпаки. Тут розглядаються взаємовиключні події, які ніколи не трапляються одночасно.
Наприклад, «Петя вийняв з кишені 1 монету» і «Петя не вийняв з кишені жодної монети» - це взаємовиключні події, оскільки вийняти одну монету і при цьому не вийняти жодної неможливо.
Аналогічно, події «Обраний навмання куля - білий» і «Обраний навмання куля - чорний» також є взаємовиключними.
визначення
закон додавання в комбінаториці: якщо два взаємовиключних дії можна виконатиA іB способами відповідно, то ці події можна об'єднати. При цьому виникне нова подія, що можна виконатиX = A + B способами.
Іншими словами, при об'єднанні взаємовиключних дій (подій, варіантів) число їх комбінацій складається.
Можна сказати, що закон складання - це логічне «АБО» в комбінаториці, коли нас влаштовує будь-який з взаємовиключних варіантів. І навпаки, закон множення - це логічне «І», при якому нас цікавить одночасне виконання і першого, і другого дії.
завдання
У кошику лежать 9 чорних куль і 7 червоних. Хлопчик дістає 2 кулі однакового кольору. Скількома способами він може це зробити?
Рішення
Якщо кулі однакового кольору, то варіантів небагато: обидва вони або чорні, або червоні. Очевидно, що ці варіанти - взаємовиключні.
У першому випадку хлопчикові належить вибиратиk \u003d 2 чорних кулі зn \u003d 9 наявних. Число способів зробити це так самоC 9 2 = ... = 36.
Аналогічно, у другому випадку вибираємоk \u003d 2 червоних кулі зn \u003d 7 можливих. Число способів дорівнюєC 7 2 = ... = 21.
Залишилося знайти загальну кількість способів. Оскільки варіанти з чорними і червоними кулями - взаємовиключні, згідно із законом додавання маємо:X = 36 + 21 = 57.
відповідь57
завдання
У кіоску продаються 15 троянд і 18 тюльпанів. Учень 9-го класу хоче купити 3 квітки для своєї однокласниці, причому всі квіти повинні бути однаковими. Скількома способами він може скласти такий букет?
Рішення
За умовою, все квіти повинні бути однаковими. Значить, будемо купувати або 3 троянди, або 3 тюльпана. В будь-якому випадку,k = 3.
У випадку з трояндами доведеться вибирати зn \u003d 15 варіантів, тому число поєднань одноC 15 3 \u003d ... \u003d 455. Для тюльпанів жn \u003d 18, а число поєднань -C 18 3 = ... = 816.
Оскільки троянди і тюльпани - це взаємовиключні варіанти, працюємо за законом складання. Отримуємо загальне число варіантівX \u003d 455 + 816 \u003d 1271. Це і є відповідь.
відповідь
1271
Додаткові умови та обмеження
Дуже часто в тексті завдання присутні додаткові умови, що накладають суттєві обмеження на питання, що цікавлять нас поєднання. Порівняйте дві пропозиції:
Є набір з 5 ручок різних кольорів. Скількома способами можна вибрати 3 ручки для обведення креслення?
Є набір з 5 ручок різних кольорів. Скількома способами можна вибрати 3 ручки для обведення креслення, якщо серед них обов'язково повинен бути червоний колір?
У першому випадку ми маємо право брати будь-які кольори, які нам подобаються - додаткових обмежень немає. У другому випадку все складніше, оскільки ми зобов'язані вибрати ручку червоного кольору (передбачається, що вона є в вихідному наборі).
Очевидно, що будь-які обмеження різко скорочують підсумкове кількість варіантів. Ну і як в цьому випадку знайти число поєднань? Просто запам'ятайте наступне правило:
Нехай є набір зn елементів, серед яких треба вибратиk елементів. При введенні додаткових обмежень числаn іk зменшуються на однакову величину.
Іншими словами, якщо з 5 ручок треба вибрати 3, при цьому одна з них повинна бути червоною, то вибирати доведеться зn \u003d 5 - 1 \u003d 4 елементів поk \u003d 3 - 1 \u003d 2 елементи. Таким чином, замістьC 5 3 треба вважатиC 4 2 .
Тепер подивимося, як це правило працює на конкретних прикладах:
завдання
У групі з 20 студентів, серед яких 2 відмінника, треба вибрати 4 людини для участі в конференції. Скількома способами можна вибрати цих чотирьох, якщо відмінники обов'язково повинні потрапити на конференцію?
Рішення
Отже, є група зn \u003d 20 студентів. Але вибрати треба лишеk \u003d 4 з них. Якби не було додаткових обмежень, то кількість варіантів дорівнювало числу сполученьC 20 4 .
Однак нам поставили додаткову умову: 2 відмінника повинні бути серед цих чотирьох. Таким чином, згідно з наведеним вище правилом, ми зменшуємо числаn іk на 2. Маємо:
відповідь
153
завдання
У Петі в кишені є 8 монет, з яких 6 монет по рублю і 2 монети по 10 рублів. Петя перекладає якісь три монети в іншу кишеню. Скількома способами Петя може це зробити, якщо відомо, що обидві монети по 10 рублів виявилися в іншій кишені?
Рішення
Отже, єn \u003d 8 монет. Петя перекладаєk \u003d 3 монети, з яких 2 - десятикарбованцеві. Виходить, що з 3 монет, які будуть перекладені, 2 вже зафіксовані, тому числаn іk треба зменшити на 2. Маємо:
відповідь
III . Рішення комбінованих завдань на застосування формул комбінаторики і теорії ймовірностей
завдання
В кишені у Петі було 4 монети по рублю і 2 монети по 2 рубля. Петя, не дивлячись, переклав якісь три монети в іншу кишеню. Знайдіть ймовірність того, що обидві двухрублевие монети лежать в одній кишені.
Рішення
Припустимо, що обидві двухрублевие монети дійсно виявилися в одній кишені, тоді можливі 2 варіанти: або Петя їх взагалі не перекладав, або переклав відразу обидві.
У першому випадку, коли двухрублевие монети не перекладалися, доведеться перекласти 3 монети по рублю. Оскільки всього таких монет 4, число способів це зробити дорівнює числу сполучень з 4 по 3:C 4 3 .
У другому випадку, коли обидві двухрублевие монети були перекладені, доведеться перекласти ще одну рублеву монету. Її треба вибрати з 4 існуючих, і число способів так вчинити дорівнює числу сполучень з 4 по 1:C 4 1 .
Тепер знайдемо загальне число способів перекласти монети. Оскільки всього монет 4 + 2 \u003d 6, а вибрати треба лише 3 з них, загальне число варіантів дорівнює числу сполучень з 6 по 3:C 6 3 .
Залишилося знайти ймовірність:
відповідь
0,4
Показати на інтерактивній дошці. Приділити увагу на те, що за умовою задачі Петя, не дивлячись, переклав три монети в одну кишеню. Ми, відповідаючи на це питання, можемо припустити, що дві двухрублевие монети дійсно залишилися в одній кишені. Послатися на формулу додавання ймовірностей. Показати ще раз формулу.
завдання
В кишені у Петі було 2 монети по 5 рублів і 4 монети по 10 рублів. Петя, не дивлячись, переклав якісь 3 монети в іншу кишеню. Знайдіть ймовірність того, що п'ятирубльових монети лежать тепер в різних кишенях.
Рішення
Щоб п'ятирубльових монети лежали в різних кишенях, треба перекласти тільки одну з них. Кількість способів це зробити дорівнює числу сполучень з 2 по 1:C 2 1 .
Оскільки всього Петя переклав 3 монети, доведеться перекласти ще 2 монети по 10 рублів. Таких монет у Петі 4, тому кількість способів дорівнює числу сполучень з 4 по 2:C 4 2 .
Залишилося знайти, скільки всього є варіантів перекласти 3 монети з 6 наявних. Ця кількість, як і в попередній задачі, дорівнює числу сполучень з 6 по 3:C 6 3 .
Знаходимо ймовірність:
В останньому кроці ми множили число способів вибрати двухрублевие монети і число способів вибрати десятикарбованцеві, оскільки дані події незалежні.
відповідь
0,6
Отже, в задачах з монетами є власна формула ймовірності. Вона настільки проста і важлива, що її можна оформити її у вигляді теореми.
теорема
Нехай монету кидаютьn раз. Тоді ймовірність того, що орел випаде рівноk раз, можна знайти за формулою:
деC n k - число сполучень ізn елементів поk , Яке обчислюється за формулою:
Таким чином, для вирішення завдання з монетами потрібні два числа: число кидків і число орлів. Найчастіше ці числа дані прямо в тексті завдання. Більш того, не має значення, що саме вважати: решки або орли. Відповідь вийде один і той же.
На перший погляд, теорема здається занадто громіздкою. Але варто трохи потренуватися - і вам вже не захочеться повертатися до стандартного алгоритму, описаного вище.
Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно три рази.
Рішення
За умовою завдання, всього кидків булоn \u003d 4. Необхідну кількість орлів:k \u003d 3. Підставляємоn іk в формулу:
З тим же успіхом можна вважати число решек:k \u003d 4 - 3 \u003d 1. Відповідь буде таким же.
відповідь
0,25
Завдання [Робочий зошит «ЄДІ 2012 з математики. Завдання B6 »]
Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що решка чи не випаде ні разу.
Рішення
Знову виписуємо числаn іk . Оскільки монету кидають 3 рази,n \u003d 3. А оскільки решек бути не повинно,k \u003d 0. Залишилося підставити числаn іk в формулу:
Нагадаю, що 0! \u003d 1 по визначенню. ТомуC 3 0 = 1.
відповідь
0,125
Завдання [Пробний ЄДІ з математики 2012. Іркутськ]
У випадковому експерименті симетричну монету кидають 4 рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде більше разів, ніж решка.
Рішення
Щоб орлів було більше, ніж решек, вони повинні випасти або 3 рази (тоді решек буде 1), або 4 (тоді решек взагалі не буде). Знайдемо ймовірність кожного з цих подій.
нехайp 1 - ймовірність того, що орел випаде 3 рази. тодіn = 4, k \u003d 3. Маємо:
тепер знайдемоp 2 - ймовірність того, що орел випаде все 4 рази. В цьому випадкуn = 4, k \u003d 4. Маємо:
Щоб отримати відповідь, залишилося скласти ймовірностіp 1 іp 2 . Пам'ятайте: складати ймовірності можна тільки для взаємовиключних подій. маємо:
p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125
відповідь
0,3125
З метою економії вашого часу при підготовці з хлопцями до ЄДІ і ДПА, ми представили рішення ще багатьох завдань, які ви можете вибирати і вирішувати з хлопцями.
Матеріали ДПА, ЗНО різних років, підручники та сайти.
IV. довідковий матеріал
ЄДІ 2016. Математика. Теорія імовірності. Робочий зошит.
М .: 2016. - 64 с.
Робочий зошит з математики серії «ЄДІ 2016. Математика» орієнтована на підготовку учнів старшої школи до успішної здачі єдиного державного іспиту з математики в 2016 році за базовим і профільному рівнях. У робочому зошиті представлені завдання по одній позиції контрольних вимірювальних матеріалів ЄДІ-2016. На різних етапах навчання посібник допоможе забезпечити рівневий підхід до організації повторення, здійснити контроль і самоконтроль знань по темі «Теорія ймовірностей». Робочий зошит орієнтована на один навчальний рік, однак при необхідності дозволить в найкоротші терміни заповнити прогалини в знаннях випускника. Зошит призначений для учнів старшої школи, вчителів математики, батьків.
формат: pdf
Розмір: 3,1 Мб
Дивитися, скачати:drive.google
ЗМІСТ
Від редактора серії 3
введення 4
Діагностична робота 1 6
Рішення задач діагностичної роботи 1 10
Тренувальна робота 1 (до задачі Д1.1) 22
Тренувальна робота 2 (до завдань Д1.2, Д.1.4) 24
Тренувальна робота 3 (до завдань Д1.3, Д1.5) 26
Тренувальна робота 4 (до завдань Д1.1-Д1.5) 28
Тренувальна робота 5 (до завдань Д1.6-Д1.9) 30
Тренувальна робота 6 (до завдань Д1.6-Д1.9) 32
Тренувальна робота 7 (до завдань Д1.6-Д1.9) 34
Тренувальна робота 8 (до завдань Д1.10-Д1.14) 36
Тренувальна робота 9 (до завдань Д1.10-Д1.14) 39
Тренувальна робота 10 (до завдань Д1.10-Д1.14) 41
Тренувальна робота 11 (до завдань Д1.15-буд.18) 43
Тренувальна робота 12 (до завдань Д1.15-буд.18) 45
Діагностична робота 2 47
Діагностична робота 3 51
Діагностична робота 4 54
Довідкові матеріали 57
відповіді 58
Цей посібник призначений для підготовки до виконання завдання з теорії ймовірностей єдиного державного іспиту (завдання 4 профільного рівня і завдання 10 базового рівня в варіанті 2016 року).
Посібник складається з діагностичної роботи Д1 з розбором рішень, десяти тренувальних робіт і трьох додаткових діагностичних робіт Д2-Д4, призначених для проміжного контролю. В кінці збірника дані відповіді до всіх завдань.
Завдяки тому що завдання першої частини ЄДІ з математики формуються з використанням відкритого банку, завдання по ймовірності також не сюрпризом для учасників іспиту.
Теорія ймовірностей - один з найбільш важливих прикладних розділів математики. Багато явища оточуючого нас світу піддаються опису тільки за допомогою теорії ймовірностей. Її викладають в школах багатьох країн, а в Росії вона була повернута до школи стандартом 2004 року і поки залишається новим розділом.
Учні та вчителі ще зазнають певних труднощів при вивченні теорії ймовірностей і статистики, пов'язані з відсутністю глибоких традицій викладання і нечисленністю навчальних матеріалів. Тому в 2016 році в ЄДІ увійдуть тільки найпростіші завдання з теорії ймовірностей.