Усунення графіків тригонометричних функцій. Перетворення графіків

Паралельне перенесення.

ПЕРЕНОС ВДОЛІ ОСІ ОРДИНАТ

f(x) => f(x) - b
Нехай потрібно збудувати графік функції у = f(х) - b. Неважко помітити, що ординати цього графіка всім значень x на |b| одиниць менше відповідних ординат графіка функцій у = f(х) при b>0 і |b| одиниць більше - при b 0 або нагору при b Для побудови графіка функції y + b = f(x) слід побудувати графік функції y = f(x) і перенести вісь абсцис на | b | одиниць вгору при b>0 чи |b| одиниць вниз у b

ПЕРЕНОС ВДОЛІ ОСІ АБСЦІСС

f(x) => f(x + a)
Нехай потрібно збудувати графік функції у = f(x + a). Розглянемо функцію y = f(x), яка у певній точці x = x1 набуває значення у1 = f(x1). Вочевидь, функція у = f(x + a) прийме таке значення в точці x2, координата якої визначається рівності x2 + a = x1, тобто. x2 = x1 - a, причому розглянута рівність справедливо для сукупності всіх значень з області визначення функції. Отже, графік функції у = f(x + a) може бути отриманий паралельним переміщенням графіка функції y = f(x) вздовж осі абсцис вліво |a| одиниць при a > 0 чи праворуч |a| одиниць при a Для побудови графіка функції y = f(x + a) слід побудувати графік функції y = f(x) і перенести вісь ординат на | одиниць вправо при a>0 чи |a| одиниць ліворуч у a

Приклади:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Відображення.

ПОБУДУВАННЯ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ ВИДУ Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Очевидно, що функції y = f(-x) та y = f(x) приймають рівні значення в точках, абсциси яких рівні за абсолютною величиною, але протилежні за знаком. Інакше висловлюючись, ординати графіка функції y = f(-x) у сфері позитивних (негативних) значень х дорівнюватимуть ординатам графіка функції y = f(x) при відповідних за абсолютною величиною негативних (позитивних) значеннях х. Отже, отримуємо таке правило.
Для побудови графіка функції y = f(-x) слід побудувати графік функції y = f(x) та відобразити його щодо осі ординат. Отриманий графік є графіком функції y = f(-x)

ПОБУДУВАННЯ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ ВИДУ Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ординати графіка функції y = - f(x) при всіх значеннях аргументу дорівнюють абсолютної величини, але протилежні за знаком ординатам графіка функції y = f(x) при тих же значеннях аргументу. Отже, отримуємо таке правило.
Для побудови графіка функції y = f (x) слід побудувати графік функції y = f (x) і відобразити його щодо осі абсцис.

Приклади:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Деформація.

ДЕФОРМАЦІЯ ГРАФІКА ВДОЛІ ОСІ ОРДИНАТ

f(x) => k f(x)
Розглянемо функцію виду y = k f (x), де k > 0. Неважко помітити, що при рівних значенняхаргументу ординати графіка цієї функції будуть у k разів більшими за ординат графіка функції у = f(x) при k > 1 або 1/k разів меншими від ординат графіка функції y = f(x) при k Для побудови графіка функції y = k f(x) слід побудувати графік функції y = f(x) і збільшити його ординати в k разів при k > 1(здійснити розтягнення графіка вздовж осі ординат) або зменшити його ординати в 1/k разів при k
k > 1- Розтяг від осі Ох
0 - стиск до осі OX

ДЕФОРМАЦІЯ ГРАФІКА ВДОЛІ ОСІ АБСЦІСС

f(x) => f(k x)
Нехай потрібно побудувати графік функції y = f(kx), де k>0. Розглянемо функцію y = f(x), яка у довільній точці x = x1 набуває значення y1 = f(x1). Очевидно, що функція y = f(kx) приймає таке ж значення в точці x = x2, координата якої визначається рівністю x1 = kx2, причому ця рівність справедлива для сукупності всіх значень х з області визначення функції. Отже, графік функції y = f(kx) виявляється стислим (при k 1) вздовж осі абсцис щодо графіка функції y = f(x). Отже, отримуємо правило.
Для побудови графіка функції y = f(kx) слід побудувати графік функції y = f(x) і зменшити його абсциси в k раз при k>1 (виконати стиснення графіка вздовж осі абсцис) або збільшити його абсциси в 1/k раз при k
k > 1- Стиснення до осі Оу
0 - розтяг від осі OY

Роботу виконали Чичканов Олександр, Леонов Дмитро під керівництвом Ткач Т.В, В'язова С.М, Островерховий І.В.
©2014

, Конкурс «Презентація до уроку»

Презентація до уроку

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку:

Освітня:дослідити зміщення графіка квадратичної функції, Визначити положення графіка в залежності від значень коефіцієнтів b, c.

Виховна:вміння працювати у групі, організованості.

Розвиваюча: навички дослідницької роботи, уміння висувати гіпотези, аналізувати отримані результати, систематизувати отримані дані.

Структура уроку

Організаційний момент – 3 хвилини.
Дослідницька робота- 20 хвилин.
Закріплення вивченого матеріалу – 15 хвилин.
Рефлексія – 2 хвилини.
Підсумок уроку – 3 хвилини.
Домашнє завдання- 2 хвилини.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Ціль уроку провести дослідницьку роботу. Об'єктом дослідження будуть квадратичні функції різного виду. Ви повинні визначити, як впливають коефіцієнти b, c на графік функцій виду y=x 2 +с, y=(x-b) 2 , y=(x-b) 2 +c.

Для виконання завдання необхідно розділитись на групи (4 групи по 5 осіб, одна група “експерти” найбільш підготовлені учні).

Кожна група отримує план дослідження<Приложение>, аркуш формату А3 для оформлення результатів

2. Дослідницька робота
.

Дві групи (рівень А) досліджують функції виду y= x 2 +с, одна група (рівень В) досліджує функцію виду y=(x-b) 2 одна група (рівень С) досліджує функцію y=(x-b) 2 +c. Група "Експертів" досліджує всі функції.

	Функція	Результат
1 група	у = x 2 +3;	<Рисунок 10>
2 група	у = x 2 -5;	<Рисунок 11>
3 група	у=(х-4) 2;	<Рисунок 12>
4 група	у = (х-2) 2 +3.	<Рисунок 13>

План роботи

Для того, щоб висунути гіпотезу, зробіть припущення, як може виглядати ваша функція.
Побудуйте графік досліджуваних функцій (визначте вершину параболи (х 0 , y 0), задайте таблицею 4 точки).
Порівняйте графік, що вийшов, з контрольним зразком y=x 2 .
Зробіть висновок (як змінилося положення графіка вашої функції щодо контрольного зразка).
Результати оформіть на аркуші формату А3 та уявіть “експертній” групі.

"Експертна" група звіряє свої результати з результатами інших груп, систематизує і узагальнює результати, виступає з висновками. У разі неточностей чи помилок вчитель вносить корекційні зауваження.

Звірка отриманих результатів зі слайдами №2-5.

Будь-яку квадратичну функцію y=ax 2 +bx+c, можна записати у вигляді y=a(x-x 0) 2 +y 0 де x 0 і y 0 виражаються через коефіцієнти a, b, c. Таким чином, ваші коефіцієнти b = x 0 c = y 0 є координатами вершини параболи.

3. Закріплення вивченого матеріалу.

Фронтальна робота із класом.

1. Знайти помилку у графіках функцій (Слайди №6-9).


Коефіцієнт b	Немає помилки
Малюнок 1	Малюнок 2

у=(х+5) 2 -1	у = (х-2) 2 +2
Коефіцієнт b і с	Коефіцієнт b
Малюнок 3	Малюнок 4

, Конкурс «Презентація до уроку»

Презентація до уроку

Назад вперед

Цілі уроку:

Освітня:дослідити усунення графіка квадратичної функції, визначити положення графіка в залежності від значень коефіцієнтів b, c.

Виховна:вміння працювати у групі, організованості.

Структура уроку

Організаційний момент – 3 хвилини.
Дослідницька робота – 20 хвилин.
Закріплення вивченого матеріалу – 15 хвилин.
Рефлексія – 2 хвилини.
Підсумок уроку – 3 хвилини.
Домашнє завдання – 2 хвилини.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Кожна група отримує план дослідження<Приложение>, аркуш формату А3 для оформлення результатів

2. Дослідницька робота
.

	Функція	Результат
1 група	у = x 2 +3;	<Рисунок 10>
2 група	у = x 2 -5;	<Рисунок 11>
3 група	у=(х-4) 2;	<Рисунок 12>
4 група	у = (х-2) 2 +3.	<Рисунок 13>

План роботи

Для того, щоб висунути гіпотезу, зробіть припущення, як може виглядати ваша функція.
Побудуйте графік досліджуваних функцій (визначте вершину параболи (х 0 , y 0), задайте таблицею 4 точки).
Порівняйте графік, що вийшов, з контрольним зразком y=x 2 .
Зробіть висновок (як змінилося положення графіка вашої функції щодо контрольного зразка).
Результати оформіть на аркуші формату А3 та уявіть “експертній” групі.

Звірка отриманих результатів зі слайдами №2-5.

3. Закріплення вивченого матеріалу.

Фронтальна робота із класом.

1. Знайти помилку у графіках функцій (Слайди №6-9).


Коефіцієнт b	Немає помилки
Малюнок 1	Малюнок 2

у=(х+5) 2 -1	у = (х-2) 2 +2
Коефіцієнт b і с	Коефіцієнт b
Малюнок 3	Малюнок 4

Результати

<Рисунок 7>

<Рисунок 2>

<Рисунок 8>

<Рисунок 9>

Який коефіцієнт допоміг вам знайти помилку?

2. Співвіднесіть графіки функцій згідно кольорів (Слайд №10).

Малюнок 5

4. Рефлексія.

Група “Експертів” відповідають на запитання:

– Яких помилок припустилися групи?

– Чи досягнуто мети заняття?

– Чи відповідають отримані результати дослідження гіпотезі?

5. Підсумок уроку (слайд №11)
:

На положення графіка функції y=(x-b) 2 +c впливають коефіцієнти b та c,

"+b" парабола зсунута вправо по осі абсцис на b одиничних відрізків,

“–b” парабола зсунута вліво по осі абсцис на b одиничних відрізків,

"+с" парабола зсунута вгору по осі ординат на одиничних відрізків,

"-с" парабола зсунута вниз по осі ординат на одиничних відрізків.

6. Домашнє завдання

Побудувати графік квадратичної функції, що має вершину в точці А (1; -2), коефіцієнт a = 1.
Подумайте, в якій галузі можна використовувати знання на цю тему (практичне застосування).

Перетворення графіків функцій

У цій статті я познайомлю вас з лінійними перетвореннями графіків функцій і покажу, як за допомогою цих перетворень із графіка функції отримати графік функції

Лінійним перетворенням функції називається перетворення самої функції та/або її аргументу на вигляд , а також перетворення, що містить модуль аргументу та/або функції.

Найбільші труднощі під час побудови графіків з допомогою лінійних перетворень викликають такі действия:

Виокремлення базової функції, власне, графік якої ми і перетворюємо.
Визначення порядку перетворень.

ІСаме на цих моментах ми і зупинимося докладніше.

Розглянемо уважно функцію

У її основі лежить функція. Назвемо її базовою функцією.

При побудові графіка функції ми здійснюємо перетворення графіка базової функції.

Якби ми робили перетворення функції у тому порядку, в якому знаходили її значення при певному значенні аргументу, то

Розглянемо які види лінійних перетворень аргументу та функції існують, та як їх виконувати.

Перетворення аргументу.

1. f(x) f(x+b)

1. Будуємо графік функції

2. Зрушуємо графік функції вздовж осі ОХ на | b | одиниць

вліво, якщо b>0
праворуч, якщо b<0

Побудуємо графік функції

1. Будуємо графік функції

2. Зрушуємо його на 2 одиниці вправо:

2. f(x) f(kx)

1. Будуємо графік функції

2. Абсциси точок графіка ділимо на к, ординати точок залишаємо без змін.

Побудуємо графік функції.

1. Будуємо графік функції

2. Усі абсциси точок графіка ділимо на 2, ординати залишаємо без змін:

3. f(x) f(-x)

1. Будуємо графік функції

2. Відображаємо його симетрично щодо осі OY.

Побудуємо графік функції.

1. Будуємо графік функції

2. Відображаємо його симетрично щодо осі OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Будуємо графік функції

2. Частину графіка, розташовану ліворуч від осі ОY праємо, частину графіка, розташовану правіше від осі ОY Добудовуємо симетрично щодо осі OY:

Графік функції виглядає так:

Побудуємо графік функції

1. Будуємо графік функції (це графік функції, зміщений вздовж осі ОХ на 2 одиниці вліво):

2. Частина графіка, розташовану ліворуч від осі OY (x<0) стираем:

3. Частину графіка, розташовану правіше від осі OY (x>0) добудовуємо симетрично щодо осі OY:

Важливо! Два основні правила перетворення аргументу.

1. Усі перетворення аргументу відбуваються вздовж осі ОХ

2. Усі перетворення аргументу відбуваються "навпаки" і "у зворотному порядку".

Наприклад, функції послідовність перетворень аргументу така:

1. Беремо модуль від х.

2. До модуля х додаємо число 2.

Але побудову графіка ми робили у зворотному порядку:

Спочатку виконали перетворення 2. - Зміст графік на 2 одиниці вліво (тобто абсциси точок зменшили на 2, як би "навпаки")

Потім виконали перетворення f(x) f(|x|).

Коротко послідовність перетворень записується так:

Тепер поговоримо про перетворення функції . Перетворення відбуваються

1. Уздовж осі OY.

2. У тій самій послідовності, в якій виконуються дії.

Ось ці перетворення:

1. f(x)f(x)+D

2. Зміщуємо його вздовж осі OY на | D | одиниць

вгору, якщо D>0
вниз, якщо D<0

Побудуємо графік функції

1. Будуємо графік функції

2. Зміщуємо його вздовж осі OY на 2 одиниці вгору:

2. f(x)Af(x)

1. Будуємо графік функції y = f (x)

2. Ординати всіх точок графіка множимо на А, абсцис залишаємо без змін.

Побудуємо графік функції

1. Побудуємо графік функції

2. Ординати всіх точок графіка помножимо на 2:

3. f(x)-f(x)

1. Будуємо графік функції y = f (x)

Побудуємо графік функції.

1. Будуємо графік функції.

2. Відображаємо його симетрично щодо осі ОХ.

4. f(x)|f(x)|

1. Будуємо графік функції y = f (x)

2. Частину графіка, розташовану вище осі ОХ залишаємо без змін, частину графіка, розташовану нижче осі OX, відображаємо симетрично щодо цієї осі.

Побудуємо графік функції

1. Будуємо графік функції. Він виходить усуненням графіка функції вздовж осі OY на 2 одиниці вниз:

2. Тепер частину графіка, розташовану нижче осі ОХ, відобразимо симетрично щодо цієї осі:

І останнє перетворення, яке, строго кажучи, не можна назвати перетворенням функції, оскільки результат цього перетворення функцією не є:

| y | = f (x)

1. Будуємо графік функції y = f (x)

2. Частину графіка, розташовану нижче осі ОХ стираємо, потім частину графіка, розташовану вище осі ОХ, добудовуємо симетрично щодо цієї осі.

Побудуємо графік рівняння

1. Будуємо графік функції:

2. Частина графіка, розташовану нижче осі ОХ праємо:

3. Частину графіка, розташовану вище за осю ОХ добудовуємо симетрично щодо цієї осі.

І, нарешті, пропоную вам подивитися ВІДЕОУРОК у якому я показую покроковий алгоритм побудови графіка функції

Графік цієї функції виглядає так: