Властивості функції зворотні функції графік зворотної функції. Взаємно зворотні функції, основні визначення, властивості, графіки
Нехай є функція у = f (x), Х - її область визначення Y - область значень. Ми знаємо, що кожному х 0 відповідає єдине значення 0 =f(х 0), 0 Y.
Може виявитися, що кожному у (або її частини 1) відповідає також єдине х із Х.
Тоді кажуть, що на області (або її частини ) визначено функцію x=y зворотну для функції у=f(x).
Наприклад:
X 
=(); Y=$
Так як ця функція зменшується і безперервна на проміжку $X$, то на проміжку $Y=$, яка також зменшується і безперервна на цьому проміжку (теорема 1).
Обчислимо $x$:
\ \
Вибираємо відповідні $x$:
Відповідь:обернена функція $y=-\sqrt(x)$.
Завдання на перебування зворотних функцій
У цій частині розглянемо зворотні функціїдля деяких функцій. Завдання вирішуватимемо за схемою, даною вище.
Приклад 2
Знайти обернену функцію для функції $y=x+4$
Знайдемо $x$ із рівняння $y=x+4$:
Приклад 3
Знайти обернену функцію для функції $y=x^3$
Рішення.
Так як функція зростає і безперервна по всій області визначення, то, за теоремою 1, вона має на ній зворотну безперервну і функцію, що зростає.
Знайдемо $x$ із рівняння $y=x^3$:
Знаходимо відповідні значення $x$
Значення у разі підходить (оскільки область визначення -- все числа)
Перевизначимо змінні, отримаємо, що зворотна функція має вигляд
Приклад 4
Знайти обернену функцію для функції $y=cosx$ на проміжку $$
Рішення.
Розглянемо на множині $X=\left$ функцію $y=cosx$. Вона безперервна і убуває на безлічі $X$ і відображає безліч $X=\left$ на безліч $Y=[-1,1]$, тому теорема про існування зворотної безперервної монотонної функції у функції $y=cosx$ в безлічі $ Y$ існує зворотна функція, яка також безперервна і зростає у множині $Y=[-1,1]$ і відображає безліч $[-1,1]$ на безліч $\left$.
Знайдемо $x$ із рівняння $y=cosx$:
Знаходимо відповідні значення $x$
Перевизначимо змінні, отримаємо, що зворотна функція має вигляд
Приклад 5
Знайти зворотну функцію для функції $y=tgx$ на проміжку $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.
Рішення.
Розглянемо на безлічі $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ функцію $y=tgx$. Вона безперервна і зростає на безлічі $X$ і відображає безліч $X=\left(-\frac(\pi)(2),\frac(\pi)(2)\right)$ на безліч $Y=R$, тому за теоремою про існування зворотної безперервної монотонної функції у функції $y=tgx$ у множині $Y$ існує зворотна функція, яка також безперервна і зростає у множині $Y=R$ і відображає безліч $R$ на безліч $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$
Знайдемо $x$ із рівняння $y=tgx$:
Знаходимо відповідні значення $x$
Перевизначимо змінні, отримаємо, що зворотна функція має вигляд
Оскільки тригонометричні функціїперіодичні, то зворотні до них функції однозначні. Так, рівняння y = sin xпри заданому , має нескінченно багато коренів. Справді, через періодичність синуса, якщо x такий корінь, то й x + 2πn(де n ціле) теж буде коренем рівняння. Таким чином, зворотні тригонометричні функції багатозначні. Щоб з ними було простіше працювати, запроваджують поняття їхніх головних значень. Розглянемо, наприклад, синус: y = sin x. sin xЯкщо обмежити аргумент x інтервалом, то на ньому функція y = монотонно зростає. Тому вона має однозначну зворотну функцію, яку називають арксинусом: x =.
arcsin y
Якщо особливо не обумовлено, то під зворотними тригонометричними функціями мають на увазі головні значення, які визначаються такими визначеннями. Арксинус ( y =) arcsin x - це функція, зворотна до синуса ( x =
sin y Арксинус ( Арккосинус () arccos x - це функція, зворотна до синуса ( - це функція, зворотна до косинусу ( cos y
), що має область визначення та безліч значень . Арксинус ( Арктангенс () arctg x - це функція, зворотна до синуса ( - це функція, зворотна до тангенсу ( cos y
tg y Арксинус ( Арккотангенс () arcctg x - це функція, зворотна до синуса ( - це функція, зворотна до котангенсу ( cos y
ctg y
Графіки зворотних тригонометричних функцій Графіки зворотних тригонометричних функцій виходять із графіків тригонометричних функцій дзеркальним відображенням щодо прямої y = x. , розділи.
Арксинус ( y =
Арксинус ( Арккосинус (
Арксинус ( Арктангенс (
Арксинус ( Арккотангенс (
Синус, косинус
Тангенс, котангенс
Основні формулиТут слід особливо звернути увагу до інтервали, котрим справедливі формули.
arcsin(sin x) = x
приТут слід особливо звернути увагу до інтервали, котрим справедливі формули.
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xТут слід особливо звернути увагу до інтервали, котрим справедливі формули.
cos(arccos x) = x
arctg(tg x) = xТут слід особливо звернути увагу до інтервали, котрим справедливі формули.
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x
ctg(arcctg x) = x
Формули, що зв'язують зворотні тригонометричні функції
Формули суми та різниці
при або
Формули, що зв'язують зворотні тригонометричні функції
Формули суми та різниці
при або
при і
при і
при і
при і
при і
при і
при і
при і
при і
при і
при
при