Теоретична механіка 1 курс. Теоретична механіка для інженерів і дослідників

В рамках будь-якого навчального курсу вивчення фізики починається з механіки. Чи не з теоретичної, ні з прикладної і не обчислювальної, а зі старої доброї класичної механіки. Цю механіку ще називають механікою Ньютона. За легендою, вчений гуляв по саду, побачив, як падає яблуко, і саме це явище підштовхнуло його до відкриття закону всесвітнього тяжіння. Звичайно, закон існував завжди, а Ньютон лише надав йому зрозумілу для людей форму, але його заслуга - безцінна. У даній статті ми не будемо розписувати закони ньютонівської механіки максимально докладно, але викладемо основи, базові знання, визначення та формули, які завжди можуть зіграти Вам на руку.

Механіка - розділ фізики, наука, що вивчає рух матеріальних тіл і взаємодії між ними.

Саме слово має грецьке походження і перекладається як «мистецтво побудови машин». Але до побудови машин нам ще як до Місяця, тому підемо по стопах наших предків, і будемо вивчати рух каменів, кинутих під кутом до горизонту, і яблук, падаючих на голови з висоти h.

Чому вивчення фізики починається саме з механіки? Тому що це абсолютно природно, не з термодинамічної ж рівноваги його починати ?!

Механіка - одна з найстаріших наук, і історично вивчення фізики почалося саме з основ механіки. Вміщені в рамки часу і простору, люди, по суті, ніяк не могли почати з чогось іншого, при всьому бажанні. Рухомі тіла - перше, на що ми звертаємо свою увагу.

Що таке рух?

Механічний рух - це зміна положення тіл в просторі відносно один одного з плином часу.

Саме після цього визначення ми цілком природно приходимо до поняття системи відліку. Зміна положення тіл в просторі відносно один одного. Ключові слова тут: відносно один одного . Адже пасажир в машині рухається щодо стоїть на узбіччі людину з певною швидкістю, і покоїться щодо свого сусіда на сидінні поруч, і рухається з якоюсь іншою швидкістю щодо пасажира в машині, яка їх обганяє.

Саме тому, для того, щоб нормально вимірювати параметри об'єктів, що рухаються і не заплутатися, нам потрібна система відліку - жорстко пов'язані між собою тіло відліку, система координат і годинника. Наприклад, земля рухається навколо сонця в геліоцентричної системі відліку. У побуті практично всі свої вимірювання ми проводимо в геоцентричної системі відліку, пов'язаної з Землею. Земля - \u200b\u200bтіло відліку, щодо якого рухаються машини, літаки, люди, тварини.

Механіка, як наука, має свою задачу. Завдання механіки - в будь-який момент часу знати положення тіла в просторі. Іншими словами, механіка будує математичний опис руху і знаходить зв'язку між фізичними величинами, його характеризують.

Для того, щоб рухатися далі, нам знадобиться поняття " матеріальна точка ". Кажуть, фізика - точна наука, але фізикам відомо, скільки наближень і припущень доводиться робити, щоб узгодити цю саму точність. Ніхто ніколи не бачив матеріальної точки і не нюхав ідеального газу, але вони є! З ними просто набагато легше жити.

Матеріальна точка - тіло, розмірами і формою якого в контексті даного завдання можна знехтувати.

Розділи класичної механіки

Механіка складається з декількох розділів

кінематика
динаміка
статика

кінематиказ фізичної точки зору вивчає, як саме тіло рухається. Іншими словами, цей розділ займається кількісними характеристиками руху. Знайти швидкість, шлях - типові задачі кінематики

динаміка вирішує питання, чому воно рухається саме так. Тобто, розглядає сили, що діють на тіло.

статика вивчає рівновагу тіл під дією сил, тобто відповідає на питання: а чому воно взагалі не падає?

Межі застосування класичної механіки

Класична механіка вже не претендує на статус науки, що пояснює все (на початку минулого століття все було зовсім інакше), і має чіткі рамки застосовності. Взагалі, закони класичної механіки справедливі звичному нам за розміром світі (макросвіт). Вони перестають працювати в разі світу частинок, коли на зміну класичній приходить квантова механіка. Також класична механіка непридатна до випадків, коли рух тіл відбувається зі швидкістю, близькою до швидкості світла. У таких випадках яскраво вираженими стають релятивістські ефекти. Грубо кажучи, в рамках квантової і релятивістської механіки - класична механіка, це окремий випадок, коли розміри тіла великі, а швидкість - мала.

Взагалі кажучи, квантові і релятивістські ефекти ніколи нікуди не діваються, вони мають місце бути і при звичайному русі макроскопічних тіл зі швидкістю, багато меншої швидкості світла. Інша справа, що дія цих ефектів так мало, що не виходить за рамки найточніших вимірювань. Класична механіка, таким чином, ніколи не втратить своєї фундаментальної важливості.

Ми продовжимо вивчення фізичних основ механіки в наступних статтях. Для кращого розуміння механіки Ви завжди можете звернутися до нашим авторам, Які в індивідуальному порядку проллють світло на темну пляму найскладнішого завдання.

Статика - це розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються умови рівноваги матеріальних тіл, які перебувають під дією сил, а також методи перетворення сил в еквівалентні системи.

Під станом рівноваги, в статиці, розуміється стан, при якому всі частини механічної системи покояться щодо деякої інерціальної системи координат. Одним з базових об'єктів статики є сили і точки їх застосування.

Сила, що діє на матеріальну точку з радіус-вектором з боку інших точок - це міра впливу інших точок на розглянуту точку, в результаті якої вона отримує прискорення щодо інерціальної системи відліку. величина сили визначається за формулою:
,
де m - маса точки - величина, що залежить від властивостей самої точки. Ця формула називається другим законом Ньютона.

Застосування статики в динаміці

Важливою особливістю рівнянь руху абсолютно твердого тіла є те, що сили можна перетворювати в еквівалентні системи. При такому перетворенні рівняння руху зберігають свій вигляд, але систему сил, що діє на тіло можна перетворити в більш просту систему. Так, точку прикладання сили можна переміщати уздовж лінії її дії; сили можна розкладати по правилом паралелограма; сили, прикладені в одній точці можна замінювати їх геометричній сумою.

Прикладом таких перетворень є сила тяжіння. Вона діє на всі точки твердого тіла. Але закон руху тіла не зміниться, якщо розподілену по всіх точках силу тяжіння замінити одним вектором, прикладеним в центрі мас тіла.

Виявляється, що якщо ми до основної системи сил, що діють на тіло, додамо еквівалентну систему, в якій напрямки сил змінені на протилежні, то тіло, під дією цих систем, буде знаходитися в рівновазі. Таким чином, завдання по визначенню еквівалентних систем сил зводиться до задачі на рівновагу, тобто до задачі статики.

Основним завданням статики є встановлення законів перетворення системи сил в еквівалентні системи. Таким чином, методи статики застосовуються не тільки при вивченні тіл, що знаходяться в рівновазі, але і в динаміці твердого тіла, при перетворенні сил в більш прості еквівалентні системи.

Статика матеріальної точки

Розглянемо матеріальну точку, яка знаходиться в рівновазі. І нехай на неї діють n сил, k \u003d 1, 2, ..., n.

Якщо матеріальна точка знаходиться в рівновазі, то векторна сума діючих на неї сил дорівнює нулю:
(1) .

У рівновазі геометрична сума сил, що діють на точку, дорівнює нулю.

геометрична інтерпретація. Якщо в кінець першого вектора помістити початок другого вектора, а в кінець другого вектора помістити початок третього, і далі продовжувати цей процес, то кінець останнього, n -го вектора виявиться поєднаним з початком першого вектора. Тобто ми отримаємо замкнену геометричну фігуру, довжини сторін якого дорівнюють модулям векторів. Якщо все вектори лежать в одній площині, то ми отримаємо замкнутий багатокутник.

Часто буває зручним вибрати прямокутну систему координат Oxyz. Тоді суми проекцій всіх векторів сил на осі координат дорівнюють нулю:

Якщо вибрати будь-який напрямок, що задається деяким вектором, то сума проекцій векторів сил на цей напрямок дорівнює нулю:
.
Помножимо рівняння (1) скалярно на вектор:
.
Тут - скалярний добуток векторів і.
Зауважимо, що проекція вектора на напрямок вектора визначається за формулою:
.

Статика твердого тіла

Момент сили відносно точки

Визначення моменту сили

моментом сили , Яка додається до тіла в точці A, щодо нерухомого центру O, називається вектор, рівний векторному добутку векторів і:
(2) .

геометрична інтерпретація

Момент сили дорівнює добутку сили F на плече OH.

Нехай вектори і розташовані в площині малюнка. Відповідно до властивості векторного добутку, вектор перпендикулярний векторах і, тобто перпендикулярний площині малюнка. Його напрямок визначається правилом правого гвинта. На малюнку вектор моменту спрямований на нас. Абсолютне значення моменти:
.
Оскільки, то
(3) .

Використовуючи геометрію, можна дати іншу інтерпретацію моменту сили. Для цього проведемо пряму AH через вектор сили. З цента O опустимо перпендикуляр OH на цю пряму. Довжину цього перпендикуляра називають пліч-о-сили. тоді
(4) .
Оскільки, то формули (3) і (4) еквівалентні.

Таким чином, абсолютне значення моменту сили щодо центру O одно добутку сили на плече цієї сили відносно обраного центру O.

При обчисленні моменту часто буває зручним розкласти силу на дві складові:
,
де. Сила проходить через точку O. Тому її момент дорівнює нулю. тоді
.
Абсолютне значення моменти:
.

Компоненти моменту в прямокутній системі координат

Якщо вибрати прямокутну систему координат Oxyz з центром в точці O, то момент сили буде мати наступні компоненти:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Тут - координати точки A в обраній системі координат:
.
Компоненти є значення моменту сили відносно осей, відповідно.

Властивості моменту сили відносно центру

Момент щодо центру O, від сили, що проходить через цей центр, дорівнює нулю.

Якщо точку прикладання сили перемістити уздовж лінії, що проходить через вектор сили, то момент, при такому переміщенні, не зміниться.

Момент від векторної суми сил, прикладених до однієї точки тіла, дорівнює векторній сумі моментів від кожної з сил, прикладених до цієї ж точки:
.

Теж саме відноситься і до сил, чиї лінії продовження перетинаються в одній точці.

Якщо векторна сума сил дорівнює нулю:
,
то сума моментів від цих сил не залежить від положення центру, щодо якого обчислюються моменти:
.

пара сил

пара сил - це дві сили, рівні по абсолютній величині і мають протилежні напрямки, прикладені до різних точок тіла.

Пара сил характеризується моментом, який вони створюють. Оскільки векторна сума сил, що входять в пару дорівнює нулю, то створюваний парою момент не залежить від точки, щодо якої обчислюється момент. З точки зору статичної рівноваги, природа сил, що входять в пару, не має значення. Пару сил використовують для того, щоб вказати, що на тіло діє момент сил, що має певне значення.

Момент сили відносно заданої осі

Часто зустрічаються випадки, коли нам не потрібно знати всі компоненти моменту сили відносно обраної точки, а потрібно знати тільки момент сили відносно вибраної осі.

Моментом сили відносно осі, що проходить через точку O - це проекція вектора моменту сили, щодо точки O, на напрям осі.

Властивості моменту сили відносно осі

Момент відносно осі від сили, що проходить через цю вісь дорівнює нулю.

Момент відносно осі від сили, паралельної цієї осі дорівнює нулю.

Обчислення моменту сили відносно осі

Нехай на тіло, в точці A діє сила. Знайдемо момент цієї сили відносно осі O'O ''.

Побудуємо прямокутну систему координат. Нехай вісь Oz збігається з O'O ''. З точки A опустимо перпендикуляр OH на O'O ''. Через точки O і A проводимо вісь Ox. Перпендикулярно Ox і Oz проводимо вісь Oy. Розкладемо силу на складові уздовж осей системи координат:
.
Сила перетинає вісь O'O ''. Тому її момент дорівнює нулю. Сила паралельна осі O'O ''. Тому її момент також дорівнює нулю. За формулою (5.3) знаходимо:
.

Зауважимо, що компонента спрямована по дотичній до окружності, центром якої є точка O. Напрямок вектора визначається правилом правого гвинта.

Умови рівноваги твердого тіла

У рівновазі векторна сума всіх діючих на тіло сил дорівнює нулю і векторна сума моментів цих сил щодо довільного нерухомого центру дорівнює нулю:
(6.1) ;
(6.2) .

Підкреслимо, що центр O, щодо якого обчислюються моменти сил можна вибирати довільним чином. Точка O може, як належати тілу, так і знаходиться за його межами. Зазвичай центр O вибирають так, щоб зробити обчислення простішими.

Умови рівноваги можна сформулювати і іншим способом.

У рівновазі сума проекцій сил на будь-який напрямок, що задається довільним вектором, дорівнює нулю:
.
Також дорівнює нулю сума моментів сил відносно довільної осі O'O '':
.

Іноді такі умови виявляються більш зручними. Бувають випадки, коли за рахунок вибору осей, можна зробити обчислення простішими.

Центр ваги тіла

Розглянемо одну з найважливіших сил - силу тяжіння. Тут сили не додано в певних точках тіла, а безперервно розподілені за його обсягом. На кожну ділянку тіла з нескінченно малим об'ємом Δ V, Діє сила тяжіння. Тут ρ - щільність речовини тіла, - прискорення вільного падіння.

Нехай - маса нескінченно малого ділянки тіла. І нехай точка A k визначає положення цієї ділянки. Знайдемо величини, що відносяться до сили тяжіння, які входять в рівняння рівноваги (6).

Знайдемо суму сил тяжкості, утворену усіма ділянками тіла:
,
де - маса тіла. Таким чином, суму сил тяжкості окремих нескінченно малих ділянок тіла можна замінити одним вектором сили тяжіння всього тіла:
.

Знайдемо суму моментів сил тяжіння, щодо довільним способом обраного центру O:

.
Тут ми ввели точку C, яка називається центром тяжіння тіла. Положення центра ваги, в системі координат з центром в точці O, визначається за формулою:
(7) .

Отже, при визначенні статичної рівноваги, суму сил тяжкості окремих ділянок тіла можна замінити рівнодіючої
,
прикладеної до центру мас тіла C, положення якого визначається формулою (7).

Положення центра ваги для різних геометричних фігур можна знайти у відповідних довідниках. Якщо тіло має вісь або площина симетрії, то центр ваги розташований на цій осі або площини. Так, центри тяжкості сфери, окружності або кола знаходяться в центрах кіл цих фігур. Центри ваги прямокутного паралелепіпеда, прямокутника або квадрата також розташовані в їх центрах - в точках перетину діагоналей.

Рівномірно (А) і лінійно (Б) розподілене навантаження.

Також зустрічаються подібні силі тяжіння випадки, коли сили не додано в певних точках тіла, а безперервно розподілені по його поверхні або обсягу. Такі сили називають розподіленими силами або.

(Малюнок А). Також, як і в випадку з силою тяжіння, її можна замінити рівнодіючої силою величини, яка додається в центрі ваги епюри. Оскільки на малюнку А епюра є прямокутником, то центр ваги епюри знаходиться в її центрі - точці C: | AC | \u003d | CB |.

(Малюнок В). Її також можна замінити рівнодіючої. Величина рівнодіюча дорівнює площі епюри:
.
Точка прикладання знаходиться в центрі ваги епюри. Центр ваги трикутника, висотою h, знаходиться на відстані від підстави. Тому.

сили тертя

тертя ковзання. Нехай тіло знаходиться на плоскій поверхні. І нехай - сила, перпендикулярна поверхні, з якої поверхня діє на тіло (сила тиску). Тоді сила тертя ковзання паралельна поверхні і спрямована в бік, перешкоджаючи руху тіла. Її найбільша величина дорівнює:
,
де f - коефіцієнт тертя. Коефіцієнт тертя є безрозмірною величиною.

тертя кочення. Нехай тіло округлої форми котиться або може котитися по поверхні. І нехай - сила тиску, перпендикулярна поверхні, з якої поверхня діє на тіло. Тоді на тіло, в точці зіткнення з поверхнею, діє момент сил тертя, що перешкоджає руху тіла. Найбільша величина моменту тертя дорівнює:
,
де δ - коефіцієнт тертя кочення. Він має розмірність довжини.

Використана література:
С. М. Тарг, Короткий курс теоретичної механіки, «Вища школа», 2010.

Перелік екзаменаційних питань

Технічна механіка, її визначення. Механічний рух і механічне взаємодія. Матеріальна точка, механічна система, абсолютно тверде тіло.

Технічна механіка - наука про механічний рух і взаємодію матеріальних тіл.

Механіка є однією з найдавніших наук. Термін «Механіка» введений видатним філософом стародавності Аристотелем.

Досягнення вчених в області механіки дають можливість вирішувати складні практичні проблеми в області техніки і по суті жодне явище природи не може бути зрозуміле без з'ясування його з механічною боку. І жодне творіння техніки можна створити, не беручи до уваги ті чи інші механічні закономірності.

механічний рух - це зміна з плином часу взаємного положення в просторі матеріальних тіл або взаємного положення частин даного тіла.

механічне взаємодія - це дії матеріальних тіл один на одного, в результаті яких відбувається зміна руху цих тіл або зміна їх форми (деформація).

Основні поняття:

Матеріальна точка - це тіло, розмірами якого в даних умовах можна знехтувати. Вона володіє масою і здатністю взаємодіяти з іншими тілами.

механічна система - це сукупність матеріальних точок, положення і рух кожної з яких залежать від положення і руху інших точок системи.

Абсолютно тверде тіло (АТТ) - це тіло, відстань між будь-якими двома точками якого завжди залишається незмінним.

Теоретична механіка і її розділи. Завдання теоретичної механіки.

Теоретична механіка - це розділ механіки, в якому вивчаються закони руху тіл і загальні властивості цих рухів.

Теоретична механіка складається з трьох розділів: статики, кінематики та динаміки.

статика розглядає рівновагу тіл і їх систем під дією сил.

кінематика розглядає загальні геометричні властивості руху тіл.

динаміка вивчає рух тіл під дією сил.

Завдання статики:

1. Перетворення систем сил, що діють на АТТ в системи їм еквівалентні, тобто приведення даної системи сил до найпростішого виду.

2. Визначення умов рівноваги системи сил, що діють на АТТ.

Для вирішення цих завдань використовується два методи графічний і аналітичний.

Рівновага. Сила, система сил. Рівнодіюча сила, зосереджена сила і розподілені сили.

рівновага - це стан спокою тіла по відношенню до інших тіл.

сила - це основна міра механічної взаємодії матеріальних тіл. Є векторною величиною, тобто Сила характеризується трьома елементами:

Точкою;

Лінією дії (напрямком);

Модулем (числовим значенням).

система сил - це сукупність всіх сил діючих на дане абсолютно тверде тіло (АТТ)

Система сил називається сходящейся , Якщо лінії дії всіх сил перетинаються в одній точці.

система називається плоскою , Якщо лінії дії всіх сил лежать в одній площині, в іншому випадку просторової.

Система сил називається паралельної , Якщо лінії дії всіх сил паралельні один одному.

Дві системи сил називаються еквівалентними , Якщо одну систему сил діючих на абсолютно тверде тіло можна замінити іншою системою сил, не змінюючи при цьому стану спокою або руху тіла.

Врівноваженою або еквівалентної нулю називається система сил, під дією якої вільний АТТ може знаходиться в спокої.

рівнодіюча силою називається сила, дія якої на тіло або матеріальну точку еквівалентно дії системи сил на це ж тіло.

зовнішніми силами

Сила, прокладена до тіла в будь-якій одній його точці називається зосередженої .

Сили, що діють на всі точки деякого об'єму або поверхні називаються розподіленими .

Тіло, яким ніякі інші тіла не перешкоджають переміщенню в будь-якому напрямку називається вільним.

Зовнішні та внутрішні сили. Вільний і невільний тіло. Принцип освобождаемості від зв'язків.

зовнішніми силами називаються сили, з якими частини даного тіла діють один на одного.

При вирішенні більшості задач статики потрібно невільний тіло уявити як вільне, що здійснюється за допомогою принципу звільняємо про з т і, який формулюється так:

всяке невільний тіло можна розглядати як вільне, якщо відкинути зв'язку, замінивши їх реакціями.

В результаті застосування цього принципу виходить тіло, вільний від зв'язків і знаходиться під дією деякої системи активних і реактивних сил.

Аксіоми статики.

Умови, при яких тіло може перебувати в одно весіі,виводяться з декількох основних положень, прийнятих без доказів, але підтверджених дослідами , і званих аксіомами статики.Основні аксіоми статики сформульовані англійським вченим Ньютоном (1642-1727), і тому вони названі його ім'ям.

аксіома I (Аксіома інерції або перший закон Ньютона).

Будь-яке тіло зберігає свій стан спокою або прямолінійного рівномірного руху, поки якісь силинЕ виведуть його з цього стану.

Здатність тіла зберігати свій стан спокою або прямолінійного рівномірного руху називається інерцією. На підставі цієї аксіоми станом рівноваги вважаємо такий стан, коли тіло знаходиться в спокої або рухається прямолінійно і рівномірно (т. Е. ПО інерції).

аксіома II (Аксіома взаємодії або третій закон Ньютона).

Якщо одне тіло діє на друге з деякою силою, то друге тіло одночасно діє на перше з силою, рівною за модулем, до протилежної за напрямком.

Сукупність сил, прикладених до даного тіла (або системі тіл), називається системою сил.Сила дії будь-якого тіла на дане тіло і сила протидії даного тіла не представляють собою систему сил, так як вони включені до різних тіл.

Якщо яка-небудь система сил має таку властивість, що після застосування до вільного тіла вона не змінює його стан рівноваги, то така система сил називається врівноваженою.

аксіома III (Умова рівноваги двох сил).

Для рівноваги вільного твердого тіла, що знаходиться під дією двох сил, необхідно і достатньо, щоб ці сили були рівні за модулем і діяли по одній прямій в протилежні сторони.

необхіднимдля рівноваги двох сил. Це означає, що якщо система двох сил знаходиться в рівновазі, то ці сили повинні бути рівні по модулю і діяти по одній прямій в протилежні сторони.

Умова, сформульоване в цій аксіомі, є достатнімдля рівноваги двох сил. Це означає, що справедлива зворотна формулювання аксіоми, а саме: якщо дві сили рівні за модулем і діють по одній прямій в протилежні сторони, то така система сил обов'язково знаходиться в рівновазі.

Надалі ми познайомимося з умовою рівноваги, яке буде необхідно, але не достатньо для рівноваги.

аксіома IV.

Рівновага твердого тіла не порушиться, якщо до нього прикласти або видалити систему врівноважених сил.

Слідство з аксіом IIIі IV.

Рівновага твердого тіла не порушиться від перенесення сили уздовж лінії її дії.

Аксіома паралелограма. Ця аксіома формулюється так:

Рівнодіюча двох сил, прикладенихдо тілу в одній точці, дорівнює по модулю і збігається за напрямком з діагоналлю паралелограма, побудованого на даних силах, і прикладена в тій же точці.

Зв'язки, реакції зв'язків. Приклади зв'язків.

зв'язкаминазиваються тіла, що обмежують переміщення даного тіла в просторі. Сила, з якою тіло діє на зв'язок, називається тиском;сила, з якою зв'язок діє на тіло, називається реакцією.Згідно аксіомі взаємодії реакція і тиск по модулю рівніі діють по одній прямій в протилежні сторони. Реакція і тиск докладено до різних тіл. Зовнішні сили, що діють на тіло, діляться на активніі реактивні.Активні сили прагнуть переміщати тіло, до якого вони включені, а реактивні сілипосредством зв'язків перешкоджають цьому переміщенню. Принципова відмінність активних сил від реактивних полягає в тому, що величина реактивних сил, взагалі кажучи, залежить від величини активних сил, але не навпаки. Активні сили часто називають

Напрямок реакцій залежить від того, в якому напрямку дана зв'язок перешкоджає, переміщенню тіла. Правило для визначення напрямку реакцій можна сформулювати так:

напрямок реакції зв'язку протилежно напрямку переміщення, знищуваного даної зв'язком.

1. Ідеально гладка площина

У цьому випадку реакція Rнаправлена \u200b\u200bперпендикулярно опорної площини в сторону тіла.

2. Ідеально гладка поверхня (рис. 16).

У цьому випадку реакція R спрямована перпендикулярно до дотичної площини t - t, т. Е. По нормалі до опорної поверхні в сторону тіла.

3. Закріплена точка або ребро кута (рис. 17, ребро В).

У цьому випадку реакція R в направлена \u200b\u200bпо нормалі до поверхні ідеально-гладкого тіла в сторону тіла.

4. Гнучка зв'язок (рис. 17).

Реакція Т гнучкого зв'язку спрямована уздовж з в я з і. З рис. 17 видно, що гнучка зв'язок, перекинута через блок, змінює напрямок переданого зусилля.

5. Ідеально гладкий циліндричний шарнір (рис. 17, шарнір А;мал. 18, підшипник D).

У цьому випадку заздалегідь відомо тільки, що реакція R проходить через вісь шарніра і перпендикулярна до цієї осі.

6. Ідеально гладкий подпятник (рис. 18, підп'ятник А).

Підп'ятник можна розглядати як поєднання циліндричного шарніра і опорної площини. Тому будемо

7. Ідеально гладкий кульовий шарнір (рис. 19).

У цьому випадку заздалегідь відомо тільки, що реакція R проходить через центр шарніра.

8. Стрижень, закріплений двома кінцями в ідеально гладких шарнірах і навантажений тільки по кінцях (рис. 18, стрижень ВС).

У цьому випадку реакція стрижня спрямована уздовж стрижня, так як, за аксіомою III, реакції шарнірів В і Спри рівновазі стрижня можуть бути спрямовані тільки по лінії ВС,т. е. вздовж стрижня.

Система сходяться сил. Додавання сил, прикладених в одній точці.

сходятьсяназивають сили, лінії дії яких перетинаються в одній точці.

У цій главі розглядаються системи сходяться сил, лінії дії яких лежать в одній площині (плоскі системи).

Уявімо, що на тіло діє плоска система п'яти сил, лінії дії яких перетинаються в точці О (рис. 10, а). У § 2 було встановлено, що сила- ковзний вектор. Тому всі сили можна з точок їх застосування перенести точку Про перетину ліній їх дії (рис. 10, б).

Таким чином, будь-яку систему сходяться сил, прикладених до різних точок тіла, можна замінити еквівалентною системою сил, прикладених до однієї точки.Таку систему сил часто називають пучком сил.

Кінематика.

1. Предмет теоретичної механіки. Основні абстракції.

Теоретична механіка- це наука, в якій вивчаються загальні закони механічного руху і механічної взаємодії матеріальних тіл

механічним рухом називається переміщення тіла по відношенню до іншого тіла, що відбувається в просторі і в часі.

механічним взаємодією називається така взаємодія матеріальних тіл, яке змінює характер їх механічного руху.

статика - це розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються методи перетворення систем сил в еквівалентні системи і встановлюються умови рівноваги сил, прикладених до твердого тіла.

кінематика - це розділ теоретичної механіки, в якому вивчається рух матеріальних тіл в просторі з геометричної точки зору, незалежно від діючих на них сил.

динаміка - це розділ механіки, в якому вивчається рух матеріальних тіл в просторі в залежності від діючих на них сил.

Об'єкти вивчення в теоретичної механіки:

матеріальна точка,

система матеріальних точок,

Абсолютно тверде тіло.

Абсолютний простір і абсолютний час незалежні одне від іншого. абсолютна простір - тривимірне, однорідне, нерухоме евклидово простір. абсолютна час - тече від минулого до майбутнього безперервно, воно є однорідним, однаково в усіх точках простору і не залежить від руху матерії.

2. Предмет кінематики.

кінематика - це розділ механіки, в якому вивчаються геометричні властивості руху тіл без урахування їх інертності (тобто маси) і діючих на них сил

Для визначення положення тіла, що рухається (або точки) з тим тілом, по відношенню до якого вивчається рух даного тіла, жорстко, пов'язують якусь систему координат, яка разом з тілом утворює систему відліку.

Основне завдання кінематики полягає в тому, щоб, знаючи закон руху даного тіла (точки), визначити всі кінематичні величини, що характеризують його рух (швидкість і прискорення).

3. Способи завдання руху точки

· природний спосіб

Повинно бути відомо:

Траєкторія руху точки;

Початок і напрямок відліку;

Закон руху точки по заданій траєкторії у формі (1.1)

· координатний спосіб

Рівняння (1.2) - рівняння руху точки М.

Рівняння траєкторії точки М можна отримати, виключивши параметр часу « t » з рівнянь (1.2)

· векторний спосіб

(1.3)

Зв'язок між координатним і векторних способами завдання руху точки

(1.4)

Зв'язок між координатним і природним способами завдання руху точки

Визначити траєкторію точки, виключивши час з рівнянь (1.2);

-- знайти закон руху точки по траєкторії (скористатися виразом для диференціала дуги)

Після інтегрування отримаємо закон руху точки по заданій траєкторії:

Зв'язок між координатним і векторних способами завдання руху точки визначається рівнянням (1.4)

4. Визначення швидкості точки при векторному способі завдання руху.

Нехай в момент часуtстановище точки визначається радіусом-вектором, а в момент часуt 1 - радіусом-вектором, тоді за проміжок часу точка зробить переміщення.

(1.5)

середня швидкість точки,

направлений вектор також як і вектор

Швидкість точки в даний момент часу

Щоб отримати швидкість точки в даний момент часу, необхідно зробити граничний перехід

(1.6)

(1.7)

Вектор швидкості точки в даний момент часу дорівнює першої похідної від радіуса-вектора за часом і спрямований по дотичній до траєкторії в даній точці.

(одиниця виміру¾ м / с, км / год)

Вектор середнього прискорення має той же напрямок, що і векторΔ v , Тобто, спрямований в бік угнутості траєкторії.

Вектор прискорення точки в даний момент часу дорівнює першої похідної від вектора швидкості або другій похідній від радіуса-вектора точки по часу.

(одиниця виміру - )

Як розташовується вектор по відношенню до траєкторії точки?

При прямолінійному русі вектор направлений вздовж прямої, по якій рухається точка. Якщо траєкторією точки є плоска крива, то вектор прискорення, також як і вектор ср лежить в площині цієї кривої і спрямований в бік її увігнутості. Якщо траєкторія не є плоскою кривою, то вектор ср буде направлений в сторону угнутості траєкторії і буде лежати в площині, що проходить через дотичну до траєкторії в точціМ і пряму, паралельну дотичній в сусідній точціМ 1 . В межі, коли точкаМ 1 прагнути до М ця площина займає положення так званої дотичної площини. Отже, в загальному випадку вектор прискорення лежить в дотичній площині і спрямований в бік угнутості кривої.

Айзенберг Т.Б., Воронков І.М., Осецкий В.М .. Керівництво вирішення задач з теоретичної механіки (6-е видання). М .: Вища школа, 1968 (djvu)
Айзерман М.А. Класична механіка (2-е изд.). М .: Наука, 1980 (djvu)
Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваєв В.О. Механіка твердого тіла. Лекції. М .: Фізфак МГУ, 1997 (djvu)
Амелькин Н.І. Кінематика і динаміка твердого тіла, МФТІ, 2000 (pdf)
Аппель П. Теоретична механіка. Том 1. Статистика. Динаміка точки. М .: Физматлит, 1960 (djvu)
Аппель П. Теоретична механіка. Том 2. Динаміка системи. Аналітична механіка. М .: Физматлит, 1960 (djvu)
Арнольд В.І. Малі знаменники і проблеми стійкості руху в класичній і небесної механіки. Успіхи математичних наук т. XVIII, вип. 6 (114), с91-192, 1963 (djvu)
Арнольд В.І., Козлов В.В., Нейштадт А.І. Математичні аспекти класичної і небесної механіки. М .: ВІНІТІ, 1985 (djvu)
Баринова М.Ф., Голубєва О.В. Завдання і вправи з класичної механіки. М .: Вища. школа, 1980 (djvu)
Бать М.І., Джанелідзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретична механіка в прикладах і задачах. Том 1: Статика і кінематика (5-е видання). М .: Наука, 1967 (djvu)
Бать М.І., Джанелідзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретична механіка в прикладах і задачах. Том 2: Динаміка (3-е видання). М .: Наука, 1966 (djvu)
Бать М.І., Джанелідзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретична механіка в прикладах і задачах. Том 3: Спеціальні глави мехнікі. М .: Наука, 1973 (djvu)
Бекшаєв С.Я., Фомін В.М. Основи теорії коливань. Одеса: ОДАБА, 2013 (pdf)
Біленький І.М. Введення в аналітичну механіку. М .: Вища. школа, 1964 (djvu)
Березкін Е.Н. Курс теоретичної механіки (2-е изд.). М .: Изд. МГУ, 1974 (djvu)
Березкін Е.Н. Теоретична механіка. Методичні вказівки (3-е изд.). М .: Изд. МГУ, 1970 (djvu)
Березкін Е.Н. Рішення задач з теоретичної механіки, частина 1. М .: Изд. МГУ, 1973 (djvu)
Березкін Е.Н. Рішення задач з теоретичної механіки, частина 2. М .: Изд. МГУ, 1974 (djvu)
Березова О.А., Друшляк Г.Є., Солодовников Р.В. Теоретична механіка. Збірник завдань. Київ: Вища школа, 1980 (djvu)
Бідерман В.Л. Теорія механічних коливань. М .: Вища. школа, 1980 (djvu)
Боголюбов М.М., Митропольский Ю.А., Самойленко А.М. Метод прискореної збіжності в нелінійної механіки. Київ: Наук. думка, 1969 (djvu)
Бражніченко Н.А., Кан В.Л. та ін. Збірник завдань з теоретичної механіки (2-е видання). М .: Вища школа, 1967 (djvu)
Бутенін Н.В. Введення в аналітичну механіку. М .: Наука, 1971 (djvu)
Бутенін Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретичної механіки. Том 1. Статика і кінематика (3-е видання). М .: Наука, 1979 (djvu)
Бутенін Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретичної механіки. Том 2. Динаміка (2-е видання). М .: Наука, 1979 (djvu)
Бухгольц М.М. Основний курс теоретичної механіки. Том 1: Кінематика, статика, динаміка матеріальної точки (6-е видання). М .: Наука, 1965 (djvu)
Бухгольц М.М. Основний курс теоретичної механіки. Том 2: Динаміка системи матеріальних точок (4-е видання). М .: Наука, 1966 (djvu)
Бухгольц М.М., Воронков І.М., Мінаков А.П. Збірник завдань з теоретичної механіки (3-е видання). М.-Л .: ГІТТЛ, 1949 (djvu)
Валле-Пуссен Ш.-Ж. Лекції з теоретичної механіки, тому 1. М .: ГІІЛ, 1948 (djvu)
Валле-Пуссен Ш.-Ж. Лекції з теоретичної механіки, тому 2. М .: ГІІЛ, 1949 (djvu)
Вебстер А.Г. Механіка матеріальних точок твердих, пружних і рідких тіл (лекції з математичної фізики). Л.-М .: ГТТІ, 1933 (djvu)
Веретенников В.Г., Синіцин В.А. Метод змінного дії (2-е видання). М .: Физматлит, 2005 (djvu)
Веселовський И.Н. Динаміка. М.-Л .: ГІТТЛ, 1941 (djvu)
Веселовський И.Н. Збірник завдань з теоретичної механіки. М .: ГІТТЛ, 1955 (djvu)
Віттенбурге Й. Динаміка систем твердих тіл. М .: Мир, 1980 (djvu)
Воронков І.М. Курс теоретичної механіки (11-е видання). М .: Наука, 1964 (djvu)
Ганієв Р.Ф., Кононенко В.О. Коливання твердих тіл. М .: Наука, 1976 (djvu)
Гантмахер Ф.Р. Лекції з аналітичної механіки. М .: Наука, 1966 (2-е видання) (djvu)
Гернет М.М. Курс теоретичної механіки. М .: Висш.школа (3-е видання), 1973 (djvu)
Геронимус Я.Л. Теоретична механіка (нариси про основні положення). М .: Наука, 1973 (djvu)
Герц Г. Принципи механіки, викладені в новій зв'язку. М .: АН СРСР, 1959 (djvu)
Голдстейн Г. Класична механіка. М .: Гостехиздат, 1957 (djvu)
Голубєва О.В. Теоретична механіка. М .: Вища. школа, 1968 (djvu)
Діментберг Ф.М. Гвинтове числення та його застосування в механіці. М .: Наука, 1965 (djvu)
Добронравов В.В. Основи аналітичної механіки. М .: Вища школа, 1976 (djvu)
Жирнов Н.І. Класична механіка. М .: Просвещение, 1980 (djvu)
Жуковський Н.Є. Теоретична механіка (2-е видання). М.-Л .: ГІТТЛ, 1952 (djvu)
Журавльов В.Ф. Підстави механіки. Методичні аспекти. М .: Інститут проблем механіки РАН (препринт N 251), 1985 (djvu)
Журавльов В.Ф. Основи теоретичної механіки (2-е видання). М .: Физматлит, 2001 (djvu)
Журавльов В.Ф., Клімов Д.М. Прикладні методи в теорії коливань. М .: Наука, 1988 (djvu)
Зубов В.І., Ермолин В.С. та ін. Динаміка вільного твердого тіла і визначення його орієнтації в просторі. Л .: ЛДУ, 1968 (djvu)
Зубов В.Г. Механіка. Серія "Почала фізики". М .: Наука, 1978 (djvu)
Історія механіки гіроскопічних систем. М .: Наука, 1975 (djvu)
Ішлінський А.Ю. (Ред.). Теоретична механіка. Буквені позначення величин. Вип. 96. М: Наука, 1980 (djvu)
Ішлінський А.Ю., Борзов В.І., Степаненко Н.П. Збірник завдань і вправ з теорії гіроскопів. М .: Изд-во МГУ, 1979 (djvu)
Кабальский М.М., Кривошей В.Д., Савицький Н.І., Чайковський Г.М. Типові завдання з теоретичної механіки і методи їх вирішення. Київ: Гітл УРСР, 1956 (djvu)
Кільчевський Н.А. Курс теоретичної механіки, т.1: кінематика, статика, динаміка точки, (2-е изд.), М .: Наука, 1977 (djvu)
Кільчевський Н.А. Курс теоретичної механіки, т.2: динаміка системи, аналітична механіка, елементи теорії потенціалу, мехаіікі суцільного середовища, спеціальної та загальної теорії відносності, М .: Наука, 1977 (djvu)
Кирпичов В.Л. Бесіди про механіку. М.-Л .: ГІТТЛ, 1950 (djvu)
Клімов Д.М. (Ред.). Проблеми механіки: Зб. статей. До 90-річчя від дня народження А. Ю. Ішлінського. М .: Физматлит, 2003 (djvu)
Козлов В.В. Методи якісного аналізу в динаміці твердого тіла (2-е изд.). Іжевськ: НДЦ "Регулярна і хаотична динаміка", 2000 (djvu)
Козлов В.В. Симетрії, топологія і резонанси в гамільтонової механіці. Іжевськ: Вид-во Удмуртского держ. університету, 1995 (djvu)
Космодемьянский А.А. Курс теоретичної механіки. Частина I. М .: Просвещение, 1965 (djvu)
Космодемьянский А.А. Курс теоретичної механіки. Частина II. М .: Просвещение, 1966 (djvu)
Коткін Г.Л., Сербо В.Г. Збірник завдань по класичній механіці (2-е изд.). М .: Наука, 1977 (djvu)
Крагельський І.В., Щедров В.С. Розвиток науки про терті. Сухе тертя. М .: АН СРСР, 1956 (djvu)
Лагранж Ж. Аналітична механіка, том 1. М.-Л .: ГІТТЛ, 1950 (djvu)
Лагранж Ж. Аналітична механіка, тому 2. М.-Л .: ГІТТЛ, 1950 (djvu)
Ламб Г. Теоретична механіка. Том 2. Динаміка. М.-Л .: ГТТІ, 1935 (djvu)
Ламб Г. Теоретична механіка. Том 3. Більш складні питання. М.-Л .: ОНТИ, 1936 (djvu)
Леві-Чівіта Т., Амальді У. Курс теоретичної механіки. Том 1, частина 1: Кінематика, принципи механіки. М.-Л .: НКТЛ СРСР, 1935 (djvu)
Леві-Чівіта Т., Амальді У. Курс теоретичної механіки. Том 1, частина 2: Кінематика, принципи механіки, статика. М .: Вид-во іноз. літератури, 1952 (djvu)
Леві-Чівіта Т., Амальді У. Курс теоретичної механіки. Том 2, частина 1: Динаміка систем з кінцевим числом ступенів свободи. М .: Вид-во іноз. літератури, 1951 (djvu)
Леві-Чівіта Т., Амальді У. Курс теоретичної механіки. Том 2, частина 2: Динаміка систем з кінцевим числом ступенів свободи. М .: Вид-во іноз. літератури, 1951 (djvu)
Лич Дж.У. Класична механіка. М .: Иностр. література, 1961 (djvu)
Лунц Я.Л. Введення в теорію гіроскопів. М .: Наука, 1972 (djvu)
Лур'є А.І. Аналітична механіка. М .: ГІФМЛ, 1961 (djvu)
Ляпунов А.М. Загальна задача про стійкість руху. М.-Л .: ГІТТЛ, 1950 (djvu)
Маркєєв А.П. Динаміка тіла, що стикається з твердою поверхнею. М .: Наука, 1992 (djvu)
Маркєєв А.П. Теоретична механіка, 2-е видання. Іжевськ: РГД, 1999. (djvu)
Мартинюк А.А. Стійкість руху складних систем. Київ: Наук. думка, 1975 (djvu)
Меркин Д.Р. Введення в механіку гнучкої нитки. М .: Наука, 1980 (djvu)
Механіка в СРСР за 50 років. Том 1. Загальна та прикладна механіка. М .: Наука, 1968 (djvu)
Метеліцин І.І. Теорія гіроскопа. Теорія стійкості. Вибрані праці. М .: Наука, 1977 (djvu)
Мещерский І.В. Збірник завдань з теоретичної механіки (34-е видання). М .: Наука, 1975 (djvu)
Місюра М.А. Методика рішення задач з теоретичної механіки. М .: Вища школа, 1963 (djvu)
Моїсеєв Н.Н. Асимптотичні методи нелінійної механіки. М .: Наука, 1969 (djvu)
Неймарк Ю.І., Фуфаев Н.А. Динаміка неголономних систем. М .: Наука, 1967 (djvu)
Некрасов А.І. Курс теоретичної механіки. Том 1. Статика і кінематика (6-е изд.) М .: ГІТТЛ, 1956 (djvu)
Некрасов А.І. Курс теоретичної механіки. Том 2. Динаміка (2-е изд.) М .: ГІТТЛ, 1953 (djvu)
Ніколаї Е.Л. Гіроскоп і деякі його технічні застосування в загальнодоступному викладі. М.-Л .: ГІТТЛ, 1947 (djvu)
Ніколаї Е.Л. Теорія гіроскопів. Л.-М .: ГІТТЛ, 1948 (djvu)
Ніколаї Е.Л. Теоретична механіка. Частина I. Статика. Кінематика (видання двадцятого). М .: ГІФМЛ, 1962 (djvu)
Ніколаї Е.Л. Теоретична механіка. Частина II. Динаміка (видання тринадцятою). М .: ГІФМЛ, 1958 (djvu)
Новосьолов В.С. Варіаційні методи в механіці. Л .: Вид-во ЛДУ, 1966 (djvu)
Ольховський І.І. Курс теоретичної механіки для фізиків. М .: МГУ, 1978 (djvu)
Ольховський І.І., Павленко Ю.Г., Кузьменков Л.С. Завдання з теоретичної механіки для фізиків. М .: МГУ, 1977 (djvu)
Парс Л.А. Аналітична динаміка. М .: Наука, 1971 (djvu)
Перельман Я. І. Цікава механіка (4-е видання). М.-Л .: ОНТИ, 1937 (djvu)
Планк М. Введення в теоретичну фізику. Частина перша. Загальна механіка (2-е видання). М.-Л .: ГТТІ, 1932 (djvu)
Полак Л. С. (Ред.) Варіаційні принципи механіки. Збірник статей класиків науки. М .: Физматгиз, 1959 (djvu)
Пуанкаре А. Лекції з небесної механіки. М .: Наука, 1965 (djvu)
Пуанкаре А. Нова механіка. Еволюція законів. М .: Сучасні проблеми: 1913 (djvu)
Розі Н.В. (Ред.) Теоретична механіка. Частина 1. Механіка матеріальної точки. Л.-М .: ГТТІ, 1932 (djvu)
Розі Н.В. (Ред.) Теоретична механіка. Частина 2. Механіка матеріальної системи і твердого тіла. Л.-М .: ГТТІ, 1933 (djvu)
Розенблат Г.М. Сухе тертя в задачах та рішеннях. М.-Іжевськ: РГД 2009 (pdf)
Рубанівський В.Н., Самсонов В.А. Стійкість стаціонарних рухів в прикладах і задачах. М.-Іжевськ: РГД, 2003 (pdf)
Самсонов В.А. Конспект лекцій з механіки. М .: МГУ, 2015 (pdf)
Цукровий Н.Ф. Курс теоретичної механіки. М .: Вища. школа, 1964 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 1. М .: Вища. школа, 1968 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 2. М .: Вища. школа, 1971 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 3. М .: Вища. школа, 1972 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 4. М .: Вища. школа, 1974 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 5. М .: Вища. школа, 1975 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 6. М .: Вища. школа, 1976 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 7. М .: Вища. школа, 1976 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 8. М .: Вища. школа, 1977 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 9. М .: Вища. школа, 1979 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 10. М .: Вища. школа, 1980 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 11. М .: Вища. школа, 1981 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 12. М .: Вища. школа, 1982 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 13. М .: Вища. школа, 1983 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 14. М .: Вища. школа, 1983 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 15. М .: Вища. школа, 1984 (djvu)
Збірник науково-методичних статей з теоретичної механіки. Випуск 16. М .: Вища. школа, 1986