Тест диференціальні рівняння з змінними, що розділяються. Диференціальні рівняння для "чайників"

Розглянемо приклади розв'язання диференціальних рівнянь з змінними, що розділяються.

1) Проінтегрувати диференціальне рівняння: (1+x²)dy-2xydx=0.

Дане рівняння є рівнянням з змінними, що розділяються, записане у вигляді

Залишаємо доданок з dy в лівій частині рівняння, з dx - переносимо в праву частину:

(1+x²)dy = 2xydx

Розділяємо змінні, тобто в лівій частині залишаємо тільки dy і все, що містить y у правій dx і x. І тому обидві частини рівняння ділимо на (1+x²) і y. Отримуємо

Інтегруємо обидві частини рівняння:

У лівій частині – табличний інтеграл. Інтеграл у правій частині можна знайти, наприклад, зробивши заміну t=1+x², тоді

dt=(1+x²)'dx=2xdx.

У прикладах, де можна провести потенціювання, тобто прибрати логарифми, зручно брати не З, а lnC. Саме так ми і зробимо: ln│y│=ln│t│+ln│C│. Оскільки сума логарифмів дорівнює логарифму твору, то ln│y│=ln│Сt│, звідки y=Ct. Робимо зворотну заміну, і отримуємо загальне рішення: y=C(1+x²).

Ми ділили на 1+x² і на y за умови, що вони не дорівнюють нулю. Але 1+x² не дорівнює нулю за будь-яких x. А y=0 при З=0, в такий спосіб, втрати коріння не сталося.

Відповідь: y=C(1+x²).

2) Знайти загальний інтеграл рівняння

Змінні можна поділити.

Помножуємо обидві частини рівняння на dx і ділимо на

Отримуємо:

Тепер інтегруємо

У лівій частині – табличний інтеграл. Справа - робимо заміну 4-x²=t, тоді dt=(4-x²)'dx=-2xdx. Отримуємо

Якщо замість взяти 1/2 ln│C│, можна відповідь записати більш компактно:

Помножимо обидві частини на 2 і застосуємо властивість логарифму:

Ми ділили на

Вони не дорівнюють нулю: y²+1 — оскільки сума невід'ємних чисел не дорівнює нулю, а підкорене вираз не дорівнює нулю за змістом умови. Значить, втрати коріння не сталося.

3) a) Знайти загальний інтеграл рівняння (xy²+y²)dx+(x²-x²y)dy=0.

б) Знайти приватний інтеграл цього рівняння, що задовольняє початковій умові y(е)=1.

а) Перетворимо ліву частину рівняння: y²(x+1)dx+x²(1-y)dy=0, потім

y²(x+1)dx=-x²(1-y)dy. Ділимо обидві частини на x²y² за умови, що ні x, ні y не дорівнюють нулю. Отримуємо:

Інтегруємо рівняння:

Оскільки різниця логарифмів дорівнює логарифму приватного, маємо:

Це загальний інтеграл рівняння. У процесі рішення ми ставили умову, що добуток x²y² не дорівнює нулю, звідки випливає, що x та y не повинні бути рівними нулю. Підставивши x=0 і y=0 за умови:(0.0²+0²)dx+(0²-0²0)dy=0 отримуємо правильну рівність 0=0. Отже, x=0 і y=0 також є рішеннями цього рівняння. Але в загальний інтеграл вони не входять за жодних С (нулі не можуть стояти під знаком логарифму і в знаменнику дробу), тому ці рішення слід записати додатково до загального інтегралу.

б) Оскільки y(е)=1, підставляємо отримане рішення x=e, y=1 і знаходимо З:

Приклади для самоперевірки:

Диференціальне рівняння з розділеними змінними записується як: (1). У цьому рівнянні один доданок залежить тільки від x, а другий від y.
Проінтегрувавши почленно це рівняння, отримуємо:

- Його загальний інтеграл.приклад
.

: знайти загальний інтеграл рівняння: Рішення:дане рівняння
- Диференційне рівняння з розділеними змінними. Тому
або
Позначимо
. Тоді

- Загальний інтеграл диференціального рівняння. (2). Рівняння з змінними, що розділяються, має вигляд
Рівняння (2) легко зводитися до рівняння (1) шляхом почленного поділу його на

. Отримуємо:

- Загальний інтеграл.Приклад: .

Вирішити рівняння


Рішення: перетворимо ліву частину рівняння: . Ділимо обидві частини рівняння на
Рішенням є вираз:

тобто.

Однорідні диференціальні рівняння. Рівняння Бернуллі. Лінійні диференціальні рівняння першого ладу. Рівняння виду називаєтьсяоднорідним
, якщо
і
- Однорідні функції одного порядку (вимірювання). Функція називається однорідною функцією першого порядку (вимірювання), якщо при множенні кожного її аргументу на довільний множник вся функція помножитися на
=
.

, тобто.
Однорідне рівняння може бути приведене до вигляду
(
. За допомогою підстановки .

)однорідне рівняння приводиться до рівняння з змінними, що розділяються, по відношенню до нової функції Диференціальне рівняння першого порядку називаєтьсялінійним
.

якщо його можна записати у вигляді

Метод Бернуллі
Вирішення рівняння
(
).

- Загальний інтеграл.шукається як твори двох інших функцій, тобто. за допомогою підстановки
.

проінтегрувати рівняння
Вважаємо
=0:


.

. Тоді, тобто. . Спочатку вирішуємо рівняння
Рішенням є вираз:


Тепер вирішуємо рівняння
Рішенням є вираз:

. Отже, загальне рішення даного рівняння є

Рівняння Я. Бернуллі
Рівняння виду , де називається рівнянням Бернуллі.

Це рівняння вирішується за допомогою методу Бернуллі.

Однорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння виду (1) , де , якщо постійні.

Приватні рішення рівняння (1) шукатимемо у вигляді
, де до- Деяке число. Диференціюючи цю функцію двічі і підставляючи вирази
в рівняння (1), отримаємот.
(2) (
).

Рівняння 2 називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння.

При розв'язанні характеристичного рівняння (2) можливі три випадки.

Випадок 1.Коріння , якщо рівняння (2) дійсні та різні:

, якщо

.

Випадок 2Коріння , якщо рівняння (2) дійсні та рівні:
. У цьому випадку частковими рішеннями рівняння (1) є функції
, якщо
. Отже, загальне рішення рівняння (1) має вигляд
.

Випадок 3.Коріння , якщо рівняння (2) комплексні:
,
. У цьому випадку частковими рішеннями рівняння (1) є функції
, якщо
. Отже, загальне рішення рівняння (1) має вигляд

приклад.Вирішити рівняння
.

Рішення:складемо характеристичне рівняння:
Позначимо
. Загальне рішення даного рівняння
.

Екстремум функції кількох змінних. Умовний екстремум.

Екстремум функції кількох змінних

Визначення.Точка М (х о ,у о ) називаєтьсяточкою максимуму (мінімуму) функціїz= f(x, у), якщо існує околиця точки М, така, що для всіх точок (х, у) з цієї околиці виконується нерівність
(
)

На рис. 1 точка А
- є точка мінімуму, а точка У
- точка максимуму.

НеобхіднеУмова екстремуму - багатовимірний аналог теореми Ферма.

Теорема.Нехай крапка
– є точка екстремуму функції, що диференціюєтьсяz= f(x, у). Тоді приватні похідні
і
вцій точці дорівнюють нулю.

Точки, в яких виконані необхідні умови екстремуму функції z= f(x, у),тобто. приватні похідні z" x і z" y рівні нулю, називаються критичнимиабо стаціонарними.

Рівність приватних похідних нулю висловлює лише необхідну, але недостатню умову екстремуму функції кількох змінних.

На рис. зображено так звану сідлова точка М (х о ,у о ). Приватні похідні
і
рівні нулю, але, очевидно, ніякого екстремуму в точці М(х о ,у о ) ні.

Такі сідлові точки є двовимірними аналогами точок перегину функцій однієї змінної. Завдання полягає в тому, щоб відокремити їх від точок екстремуму. Іншими словами, потрібно знати достатняумова екстремуму.

Теорема (достатня умова екстремуму функції двох змінних).Нехай функціяz= f(x, у):а) визначена в деякій околиці критичної точки (х о ,у о ), в якій
=0 і
=0 ;

б) має у цій точці безперервні приватні похідні другого порядку
;

;
Тоді, якщо ∆=АС-В 2 >0, то в точці (х о ,у о ) функціяz= f(x, у) має екстремум, причому якщоА<0 - максимум, якщоА>0 - мінімум. У разі ∆=АС-В 2 <0, функция z= f(x, у) екстремуму немає. Якщо ∆=АС-В 2 =0, то питання наявності екстремуму залишається відкритим.

Дослідження функції двох змінних на екстремумрекомендується проводити за наступною схемою:

Знайти приватні похідні функції z" x і z" y .

Розв'язати систему рівнянь z" x =0, z" y =0 та знайти критичні точки функції.

Знайти приватні похідні другого порядку, обчислити їх значення у кожній критичній точці та за допомогою достатньої умови зробити висновок про наявність екстремумів.

Знайти екстремуми (екстремальні значення) функції.

приклад.Знайти екстремуми функції

Рішення. 1. Знаходимо приватні похідні

2. Критичні точки функції знаходимо із системи рівнянь:

має чотири рішення (1; 1), (1; -1), (-1; 1) та (-1; -1).

3. Знаходимо приватні похідні другого порядку:

;
;
обчислюємо їх значення в кожній критичній точці і перевіряємо в ній виконання достатньої умови екстремуму.

Наприклад, у точці (1; 1) A= z"(1; 1) = -1; =0; З = -1. Так як ∆ =АС-В 2 = (-1) 2 -0=1 >0 та А=-1<0, то точка (1; 1) є точка максимуму.

Аналогічно встановлюємо, що (-1; -1) - точка мінімуму, а в точках (1; -1) та (-1; 1), в яких ∆ =АС-В 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Знаходимо екстремуми функції zmax = z(l; 1) = 2, zmin = z(-l; -1) = -2,

Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.

Розглянемо задачу, специфічну для функцій кількох змінних, коли її екстремум шукається не на всій області визначення, а на множині, що задовольняє певну умову.

Нехай розглядається функція z = f(x, y), аргументи хі уякої задовольняють умові g(х,у)= З,званому рівнянням зв'язку.

Визначення.Крапка
називається точкоюумовного максимуму (мінімуму), якщо існує така околиця цієї точки, що для всіх точок (х,у) з цієї околиці задовольняють умовіg (x, y) = С, виконується нерівність

(
).

На рис. зображено точку умовного максимуму
. Вочевидь, що вона є точкою безумовного екстремуму функції z = f(x, y) (на рис. це точка
).

Найбільш простим способом знаходження умовного екстремуму функції двох змінних є зведення завдання знайти екстремуму функції однієї змінної. Допустимо рівняння зв'язку g (x, y) = Звдалося дозволити щодо однієї із змінних, наприклад, висловити учерез х:
. Підставивши отриманий вираз у функцію двох змінних, отримаємо z = f(x, y) =
, тобто. функцію однієї змінної. Її екстремум і буде умовним екстремумом функції z = f(x, y).

приклад. х 2 + y 2 за умови 3х +2у = 11.

Рішення. Виразимо з рівняння 3х +2у = 11 змінну y через змінну x і підставимо отримане
у функціюz. z= x 2 +2
- Диференційне рівняння з розділеними змінними. Тому z =
. Отримаємо = Ця функція має єдиний мінімум при
3. Відповідне значення функції

Таким чином, (3; 1) – точка умовного екстремуму (мінімуму). g(xУ розглянутому прикладі рівняння зв'язкувиявилося лінійним, тому його легко вдалося дозволити щодо однієї зі змінних. Однак у складніших випадках зробити це не вдається.

Для пошуку умовного екстремуму у випадку використовується метод множників Лагранжа.

Розглянемо функцію трьох змінних

Ця функція називається функцією Лагранжа,а - множником Лагранжа.Вірна наступна теорема.

Теорема.Якщо точка
є точкою умовного екстремуму функціїz = f(x, y) за умовиg (x, y) = С, то існує значення таке, що крапка
є точкою екстремуму функціїL{ x, y, ).

Таким чином, для знаходження умовного екстремуму функції z = f(х,у)за умови g(x, y) = Спотрібно знайти рішення системи

На рис. показано геометричне значення умов Лагранжа. Лінія g(х,у)= З пунктирною, лінія рівня g(x, y) = Q функції z = f(x, y) суцільні.

З рис. випливає, що у точці умовного екстремуму лінія рівня функції z = f(x, y) стосується лініїg(x, y) = З.

приклад.Знайти точки максимуму та мінімуму функції z = х 2 + y 2 за умови 3х +2у = 11, використовуючи метод множників Лагранжа.

Рішення. Складаємо функцію Лагранжа L= х 2 + 2у 2 +

Прирівнюючи до нуля її похідні, отримаємо систему рівнянь

Її єдине рішення (х=3, у=1, =-2). Таким чином, точкою умовного екстремуму може бути лише точка (3; 1). Неважко переконатися, що в цій точці функція z= f(x, y) має умовний мінімум.

Диференційне рівнянняпершого порядку. Приклади розв'язків.
Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються.

Диференціальні рівняння (ДК). Ці два слова зазвичай жахають середньостатистичного обивателя. Диференціальні рівняння здаються чимось позамежним і важким у освоєнні та багатьом студентам. Уууууу… диференціальні рівняння, як би мені це все пережити?!

Така думка і такий настрій докорінно невірний, бо насправді ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ – ЦЕ ПРОСТО І НАВІТЬ ЗАХИБНО. Що потрібно знати та вміти, щоб навчитися вирішувати диференціальні рівняння? Для успішного вивчення дифурів ви повинні добре вміти інтегрувати та диференціювати. Чим якісніше вивчені теми Похідна функції однієї змінноїі Невизначений інтеграл, тим легше розібратися в диференціальних рівняннях. Скажу більше, якщо у вас більш менш пристойні навички інтегрування, то тема практично освоєна! Чим більше інтегралів різних типів ви можете вирішувати – тим краще. Чому? Прийде багато інтегрувати. І диференціювати. Також наполегливо рекомендуюнавчитися знаходити.

У 95% випадків у контрольних роботах зустрічаються 3 типи диференціальних рівнянь першого порядку: рівняння з змінними, що розділяються, які ми розглянемо цьому уроці; однорідні рівнянняі лінійні неоднорідні рівняння. Початківцям вивчати дифури раджу ознайомитися з уроками саме в такій послідовності, причому після вивчення перших двох статей не завадить закріпити свої навички на додатковому практикумі. рівняння, що зводяться до однорідних.

Є ще рідкісні типи диференціальних рівнянь: рівняння у повних диференціалах , рівняння Бернуллі та інших. Найбільш важливими з двох останніх видів є рівняння в повних диференціалах, оскільки, крім даного ДК, я розглядаю новий матеріал – приватне інтегрування.

Якщо у вас у запасі всього день-два, то для надшвидкої підготовкиє бліц-курсу pdf-форматі.

Отже, орієнтири розставлені – поїхали:

Спочатку згадаємо звичайні рівняння алгебри. Вони містять змінні та числа. Найпростіший приклад: . Що означає вирішити нормальне рівняння? Це означає знайти безліч чисел, які задовольняють даному рівнянню. Легко помітити, що дитяче рівняння має єдине коріння: . Для приколу зробимо перевірку, підставимо знайдений корінь у наше рівняння:

– отримано правильну рівність, отже, рішення знайдено правильно.

Дифури влаштовані приблизно так само!

Диференціальне рівняння першого порядкуу загальному випадку містить:
1) незалежну змінну;
2) залежну змінну (функцію);
3) першу похідну функції: .

У деяких рівняннях 1-го порядку може бути відсутнім «ікс» або (і) «гравець», але це не суттєво – важливощоб у ДК булаперша похідна , та не булопохідних вищих порядків - і т.д.

Що значить ?Вирішити диференціальне рівняння – це означає знайти безліч усіх функцій, які задовольняють даному рівнянню. Така безліч функцій часто має вигляд (довільна постійна), який називається загальним рішенням диференціального рівняння.

Приклад 1

Розв'язати диференціальне рівняння

Повний боєкомплект. З чого почати Рішення?

Насамперед потрібно переписати похідну трохи в іншому вигляді. Згадуємо громіздке позначення, яке багатьом з вас, напевно, здавалося безглуздим і непотрібним. У дифурах рулить саме воно!

На другому кроці дивимося, чи не можна розділити змінні?Що означає розділити змінні? Грубо кажучи, у лівій частинінам потрібно залишити тільки «Ігреки», а у правій частиніорганізувати тільки «ікси». Поділ змінних виконується за допомогою «шкільних» маніпуляцій: винесення за дужки, перенесення доданків з частини до частини зі зміною знака, перенесення множників з частини до частини за правилом пропорції тощо.

Диференціали і – це повноправні множники та активні учасники бойових дій. У прикладі змінні легко розділяються перекиданням множників за правилом пропорції:

Змінні розділені. У лівій частині – лише «ігреки», у правій частині – лише «ікси».

Наступний етап - інтегрування диференціального рівняння. Все просто, навішуємо інтеграли на обидві частини:

Зрозуміло, що інтеграли треба взяти. В даному випадку вони табличні:

Як ми пам'ятаємо, до будь-якої первісної приписується константа. Тут два інтеграли, але константу достатньо записати один раз (т.к. константа + константа все одно дорівнює іншій константі). Найчастіше її поміщають у праву частину.

Строго кажучи, після того, як взяті інтеграли, диференціальне рівняння вважається вирішеним. Єдине, що у нас «гравець» не виражений через «ікс», тобто рішення представлене у неявномувигляді. Рішення диференціального рівняння у неявному вигляді називається загальним інтегралом диференціального рівняння. Тобто – це спільний інтеграл.

Відповідь у такій формі цілком прийнятна, але чи немає кращого варіанта? Давайте спробуємо отримати загальне рішення.

Будь ласка, запам'ятайте перший технічний прийом, він дуже поширений і часто застосовується у практичних завданнях: якщо у правій частині після інтегрування з'являється логарифм, то константу у багатьох випадках (але далеко не завжди!) Доцільно записати теж під логарифмом. І записати неодмінно, якщо вийшли одні логарифми (як у прикладі).

Тобто, ЗАМІСТЬзаписи зазвичай пишуть .

Навіщо це потрібно? А для того, щоб легше було висловити «гравець». Використовуємо властивість логарифмів . В даному випадку:

Тепер логарифми та модулі можна прибрати:

Функція представлена ​​у явному вигляді. Це і є спільним рішенням.

Відповідь: загальне рішення: .

Відповіді багатьох диференціальних рівнянь досить легко перевірити. У нашому випадку це робиться дуже просто, беремо знайдене рішення та диференціюємо його:

Після чого підставляємо і похідну у вихідне рівняння:

– отримано правильну рівність, отже, загальне рішення задовольняє рівнянню , що потрібно перевірити.

Надаючи константі різні значення, можна отримати нескінченно багато приватних рішеньдиференціального рівняння. Зрозуміло, кожна з функцій , , і т.д. задовольняє диференційного рівняння.

Іноді загальне рішення називають сімейством функцій. У цьому прикладі загальне рішення - Це сімейство лінійних функцій, а точніше, сімейство прямих пропорційності.

Після ґрунтовного розжовування першого прикладу доречно відповісти на кілька наївних питань щодо диференціальних рівнянь:

1)У цьому прикладі нам удалося розділити змінні. Чи завжди це можна зробити?Ні не завжди. І навіть частіше змінні не можна розділити. Наприклад, в однорідних рівняннях першого порядкунеобхідно спочатку провести заміну. В інших типах рівнянь, наприклад, у лінійному неоднорідному рівнянні першого порядку, потрібно використовувати різні прийоми та методи для знаходження загального рішення. Рівняння з змінними, що розділяються, які ми розглядаємо на першому уроці – найпростіший тип диференціальних рівнянь.

2) Чи можна проінтегрувати диференціальне рівняння?Ні не завжди. Дуже легко придумати «наворочене» рівняння, яке не проінтегрувати, крім того, існують інтеграли, що не беруться. Але такі ДУ можна вирішити приблизно за допомогою спеціальних методів. Даламбер і Коші гарантують... …тьху, lurkmore.to недавно начитався, мало не додав «з того світу».

3) У цьому прикладі ми отримали рішення у вигляді загального інтегралу . Чи завжди можна із загального інтеграла знайти загальне рішення, тобто висловити «гравець» у явному вигляді?Ні не завжди. Наприклад: . Ну і як тут висловити «Ігрек»?! У разі відповідь слід записати як загального інтеграла. Крім того, іноді загальне рішення знайти можна, але воно записується настільки громіздко і кострубато, що краще залишити відповідь у вигляді загального інтеграла

4) ...мабуть, поки що достатньо. У першому прикладі нам зустрівся ще один важливий момент, але щоб не накрити «чайників» лавиною нової інформації, залишу його до наступного уроку.

Поспішати не будемо. Ще одне просте ДК і ще один типовий прийом рішення:

Приклад 2

Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє початкову умову

Рішення: за умовою потрібно знайти приватне рішенняДУ, що задовольняє задану початкову умову. Така постановка питання також називається завданням Коші.

Спочатку знаходимо спільне рішення. У рівнянні немає змінної «ікс», але це не повинно бентежити, головне, в ньому є перша похідна.

Переписуємо похідну у потрібному вигляді:

Очевидно, що змінні можна розділити, хлопчики – ліворуч, дівчатка – праворуч:

Інтегруємо рівняння:

Загальний інтеграл отримано. Тут константу я намалював із надрядковою зірочкою, справа в тому, що дуже скоро вона перетвориться на іншу константу.

Тепер пробуємо загальний інтеграл перетворити на загальне рішення (виразити «гравець» у явному вигляді). Згадуємо старе, добре, шкільне: . В даному випадку:

Константа у показнику виглядає якось некошерно, тому її зазвичай спускають із небес на землю. Якщо докладно, відбувається це так. Використовуючи властивість ступенів, перепишемо функцію так:

Якщо це константа, то теж деяка константа, переозначимо її буквою :
– при цьому модуль прибираємо, після чого константа «це» зможе набувати як позитивних, так і негативних значень.

Запам'ятайте «знос» константи – це другий технічний прийом, який часто використовують під час вирішення диференціальних рівнянь. На чистовику можна одразу перейти від до, але завжди будьте готові пояснити цей перехід.

Отже, загальне рішення: . Така ось симпатична родина експоненційних функцій.

На завершальному етапі потрібно знайти приватне рішення, що задовольняє задану початкову умову. Це також просто.

У чому завдання? Необхідно підібрати такезначення константи, щоб виконувалася умова.

Оформити можна по-різному, але найзрозуміліше, мабуть, буде так. У загальне рішення замість «ікса» підставляємо нуль, а замість «гравця» двійку:



Тобто,

Стандартна версія оформлення:

Тепер у загальне рішення підставляємо знайдене значення константи:
- Це і є потрібне нам приватне рішення.

Відповідь: приватне рішення:

Виконаємо перевірку. Перевірка приватного рішення включає два етапи:

Спочатку необхідно перевірити, а чи справді знайдене приватне рішення задовольняє початкову умову? Замість «ікса» підставляємо нуль і дивимося, що вийде:
– так, дійсно отримано двійку, отже, початкова умова виконується.

Другий етап уже знайомий. Беремо отримане приватне рішення та знаходимо похідну:

Підставляємо і у вихідне рівняння:

- Отримано правильну рівність.

Висновок: приватне рішення знайдено правильно.

Переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 3

Розв'язати диференціальне рівняння

Рішення:Переписуємо похідну у потрібному нам вигляді:

Оцінюємо, чи можна поділити змінні? Можна, можливо. Переносимо другий доданок у праву частину зі зміною знака:

І перекидаємо множники за правилом пропорції:

Змінні розділені, інтегруємо обидві частини:

Повинен попередити, чи наближається судний день. Якщо ви погано вивчили невизначені інтеграли, Вирішували мало прикладів, то діватися нікуди - доведеться їх освоювати зараз.

Інтеграл лівої частини легко знайти , з інтегралом від котангенсу розправляємось стандартним прийомом, який ми розглядали на уроці Інтегрування тригонометричних функційв минулому році:

В результаті у нас вийшли одні логарифми, і, згідно з моєю першою технічною рекомендацією, константу теж визначаємо під логарифм.

Тепер пробуємо спростити загальний інтеграл. Оскільки в нас одні логарифми, то їх цілком можна (і потрібно) позбутися. За допомогою відомих властивостеймаксимально «упаковуємо» логарифми. Розпишу дуже докладно:

Упаковка завершена, щоб бути варварською обдертою:
, і одразу наводимо загальний інтегрална вигляд , якщо це можливо:

Так робити, взагалі кажучи, не обов'язково, але завжди ж вигідно порадувати професора;-)

У принципі цей шедевр можна записати у відповідь, але тут ще доречно звести обидві частини в квадрат і перепозначити константу:

Відповідь:загальний інтеграл:

! Примітка: загальний інтеграл часто можна записати не єдиним способом. Таким чином, якщо ваш результат не збігся із заздалегідь відомою відповіддю, то це ще не означає, що ви неправильно вирішили рівняння.

Чи можна висловити «ігрок»? Можна, можливо. Давайте висловимо загальне рішення:

Само собою, отриманий результат годиться для відповіді, але зверніть увагу, що загальний інтеграл виглядає компактнішим, та й рішення вийшло коротшим.

Третя технічна рада:якщо отримання загального рішення необхідно виконати значну кількість дій, то найчастіше краще утриматися від цих дій і залишити у вигляді загального інтеграла. Це саме стосується і «поганих» дій, коли потрібно висловити зворотну функцію, звести до ступеня, витягти корінь тощо.Справа в тому, що загальне рішення буде виглядати химерно і громіздко - з великим корінням, знаками та іншим математичним трешем.

Як виконати перевірку? Перевірку можна виконати двома способами. Спосіб перший: беремо загальне рішення , знаходимо похідну і підставляємо їх у вихідне рівняння. Спробуйте самостійно!

Другий спосіб полягає у диференціюванні загального інтеграла. Це досить легко, головне, вміти знаходити похідну від функції, заданої неявно:

ділимо кожне доданок на:

і на:

Отримано точно вихідне диференціальне рівняння, отже, загальний інтеграл знайдено правильно.

Приклад 4

Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє початкову умову. Виконати перевірку.

Це приклад самостійного рішення.

Нагадую, що алгоритм складається із двох етапів:
1) знаходження загального рішення;
2) знаходження необхідного приватного рішення.

Перевірка теж проводиться у два кроки (див. зразок у Прикладі № 2), потрібно:
1) переконатися, що знайдене приватне рішення задовольняє початкову умову;
2) перевірити, що окреме рішення взагалі задовольняє диференціальному рівнянню.

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Приклад 5

Знайти окреме рішення диференціального рівняння , що задовольняє початкову умову . Виконати перевірку.

Рішення:Спочатку знайдемо загальне рішення. Дане рівняння вже містить готові диференціали і, отже, рішення спрощується. Розділяємо змінні:

Інтегруємо рівняння:

Інтеграл ліворуч – табличний, інтеграл праворуч – беремо методом підведення функції під знак диференціалу:

Загальний інтеграл отримано, чи вдало висловити загальне рішення? Можна, можливо. Навішуємо логарифми на обидві частини. Оскільки вони позитивні, знаки модуля зайві:

(Сподіваюся, всім зрозуміло перетворення, такі речі треба вже знати)

Отже, загальне рішення:

Знайдемо приватне рішення, що відповідає заданій початковій умові.
У загальне рішення замість "ікса" підставляємо нуль, а замість "гравця" логарифм двох:

Більш звичайне оформлення:

Підставляємо знайдене значення константи у загальне рішення.

Відповідь:приватне рішення:

Перевірка: Спочатку перевіримо, чи виконано початкову умову:
- Все гуд.

Тепер перевіримо, чи задовольняє взагалі знайдене приватне рішення диференційному рівнянню. Знаходимо похідну:

Дивимося на вихідне рівняння: - Воно представлено в диференціалах. Є два способи перевірки. Можна зі знайденої похідної висловити диференціал:

Підставимо знайдене приватне рішення та отриманий диференціал у вихідне рівняння :

Використовуємо основну логарифмічну тотожність:

Отримано правильну рівність, отже, приватне рішення знайдено правильно.

Другий спосіб перевірки дзеркальних і звичніший: із рівняння висловимо похідну, для цього розділимо всі штуки на:

І в перетворене ДК підставимо отримане приватне рішення та знайдену похідну. В результаті спрощень теж має вийти правильна рівність.

Приклад 6

Знайти загальний інтеграл рівняння, відповідь подати у вигляді.

Це приклад для самостійного рішення, повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Які труднощі підстерігають при вирішенні диференціальних рівнянь з змінними, що розділяються?

1) Не завжди очевидно (особливо «чайнику»), що змінні можна розділити. Розглянемо умовний приклад: . Тут необхідно провести винесення множників за дужки: і відокремити коріння: . Як діяти далі – зрозуміло.

2) Складнощі при самому інтегруванні. Інтеграли нерідко виникають не найпростіші, і якщо є вади у навичках знаходження невизначеного інтегралу, то з багатьма диффурами доведеться туго. До того ж у укладачів збірок і методик популярна логіка «якщо диференціальне рівняння є простим, то нехай хоч інтеграли будуть складнішими».

3) Перетворення з константою. Як всі помітили, з константою в диференціальних рівняннях можна поводитися досить вільно, і деякі перетворення не завжди зрозумілі новачкові. Розглянемо ще один умовний приклад: . У ньому доцільно помножити всі складові на 2: . Отримана константа - це теж якась константа, яку можна позначити через: . Так, і оскільки у нас одні логарфими, то константу доцільно переписати у вигляді іншої константи: .

Біда ж полягає в тому, що з індексами часто не морочаться і використовують одну і ту ж літеру. В результаті запис рішення приймає такий вигляд:

Що за справи?! Відразу помилки! Строго кажучи – так. Однак з змістовної точки зору, помилок немає, адже в результаті перетворення константи, що варіюється, виходить рівноцінна змінна константа.

Або інший приклад, припустимо, що в ході вирішення рівняння отримано загальний інтеграл. Така відповідь виглядає негарно, тому у кожного доданка доцільно змінити знак: . Формально тут знову помилка - справа слід було б записати. Але неформально мається на увазі, що «мінус це» – це все одно константа, яка з тим самим успіхом набуває тієї ж безлічі значень, і тому ставити «мінус» не має сенсу.

Я намагатимуся уникати недбалого підходу, і все-таки проставляти у констант різні індекси при їх перетворенні. Чого й вам раджу робити.

Приклад 7

Розв'язати диференціальне рівняння. Виконати перевірку.

Рішення:Це рівняння допускає поділ змінних. Розділяємо змінні:

Інтегруємо:

Константу тут не обов'язково визначати під логарифм, оскільки нічого путнього з цього не вийде.

Відповідь:загальний інтеграл:

І, зрозуміло, тут НЕ ТРЕБА виражати «гравець» у явному вигляді, бо вийде треш (згадуємо третю технічну раду).

Перевірка: Диференціюємо відповідь (неявну функцію):

Позбавляємося дробів, для цього множимо обидва доданки на :

Отримано вихідне диференціальне рівняння, отже, загальний інтеграл знайдено правильно.

Приклад 8

Знайти приватне рішення дистанційного керування.
,

English: Wikipedia is making the site more secure. Ви використовуєте old web browser, який не може бути підключений до Wikipedia в майбутньому. Please update your device or contact your IT administrator.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器、这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备または联络您的IT管理员。 ）.

Español: Wikipedia має в своєму розпорядженні el sitio mas seguro. Ви використовуєте свій navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacto a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en anglès.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipedia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, що не pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: 위키피디아는 사이트의 보안을 강화하고 있습니다.이용 브라우저는 버전이 오래되어, 향후 위키피디아에 접속할 수 없게 될 가능성이 있습니다.디바이스를 갱신하거나 IT 관리자에게 상담해 주세요.기술면의 상세한 갱신 정보는 아래에 영어로 제공됩니다.

Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft нігт мейр на Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerat oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Для favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Hazznalj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alab olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia і framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Використовується для підтримки програмного забезпечення для TLS protocol versions, особливо TLSv1.0 і TLSv1.1, які ваш браузер використовується для підключення до наших мереж. Це зазвичай пов'язано з зареєстрованими браузерами, або за допомогою Android smartphones. Або це може бути interference від корпоративного або індивідуального "Web Security" software, який в даний час підвищує зв'язок безпеки.

Ви повинні upgrade вашого веб-браузера або іншогоwise fix це issue to access our sites. Цей message буде remain until Jan 1, 2020. Після того, як ваш браузер не може бути встановлений для підключення до наших серверів.

У цілому ряді звичайних ДК 1-го порядку існують такі, в яких змінні х і у можна рознести в праву та ліву частини запису рівняння. Змінні можуть бути розділені, як це можна бачити в рівнянні f (y) d y = g (x) d x . Розділити змінні ОДУ f 1 (y) · g 1 (x) d y = f 2 (y) · g 2 (x) d x можна шляхом проведення перетворень. Найчастіше для отримання рівнянь з змінними, що розділяються, застосовується метод введення нових змінних.

У цій темі ми докладно розберемо метод розв'язання рівнянь із розділеними змінними. Розглянемо рівняння з змінними, що розділяються, і ДК, які можна звести до рівнянь з змінними, що розділяються. У розділі ми розібрали велику кількість завдань на тему з детальним розбором рішення.

Для того, щоб полегшити засвоєння теми, рекомендуємо ознайомитися з інформацією, яка розміщена на сторінці «Основні визначення та поняття теорії диференціальних рівнянь».

Диференціальні рівняння з розділеними змінними f(y) d y = g(x) d x

Визначення 1

Рівняннями з розділеними змінними називають ДК виду f (y) d y = g (x) d x. Як випливає з назви, змінні, що входять до складу виразу, по обидва боки від знаку рівності.

Домовимося, що функції f(y) і g(x)ми вважатимемо безперервними.

Для рівнянь із розділеними змінними загальний інтеграл матиме вигляд ∫ f(y) d y = ∫ g (x) d x . Загальне рішення ДК як неявно заданої функції Ф (x , y) = 0 ми можемо одержати за умови, що інтеграли з наведеної рівності виражаються в елементарних функціях. У ряді випадків висловити функцію у виходить і у явному вигляді.

Приклад 1

Знайдіть загальне рішення диференціального рівняння з розділеними змінними y 2 3 d y = sin x d x .

Рішення

Проінтегруємо обидві частини рівності:

∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x

Це, власне, і є загальне рішення даного ДК. Фактично ми звели завдання знаходження загального рішення ДК до завдання знаходження невизначених інтегралів.

Тепер ми можемо використовувати таблицю первісних для того, щоб взяти інтеграли, які виражаються в елементарних функціях:

∫ y 2 3 d y = 3 5 y 5 3 + C 1 ∫ sin x d x = - cos x + C 2 ⇒ ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x ⇔ 3 5 y 3 5 + C 1 = - cos x + C 2
де З 1 і 2 - довільні постійні.

Функція 3 5 y 3 5 + C 1 = - cos x + C 2 неявно задана. Вона є загальним рішенням вихідного диференціального рівняння із розділеними змінними. Ми отримали відповідь та можемо не продовжувати рішення. Однак у прикладі, що розглядається, шукану функцію можна висловити через аргумент х явно.

Отримуємо:

3 5 y 5 3 + C 1 ⇒ y = - 5 3 cos x + C 3 5 де C = 5 3 (C 2 - C 1)

Загальним рішенням цього ДК є функція y = - 5 3 cos x + C 3 5

Відповідь:

Ми можемо записати відповідь кількома способами: ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x або 3 5 y 5 3 + C 1 = - cos x + C 2 , або y = - 5 3 cos x + C 3 5

Завжди варто давати зрозуміти викладачеві, що ви поряд з навичками вирішення диференціальних рівнянь також маєте вміння перетворювати вирази і брати інтеграли. Зробити це легко. Достатньо дати остаточну відповідь у вигляді явної функції або неявно заданої функції Ф(x, y) = 0 .

Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються f 1 (y) · g 1 (x) d y = f 2 (y) · g 2 (x) d x

y " = d y d x у тих випадках, коли у є функцією аргументу х.

У ДУ f 1 (y) · g 1 (x) d y = f 2 (y) · g 2 (x) d x або f 1 (y) · g 1 (x) · y " = f 2 (y) · g 2 (x) d x ми можемо провести перетворення таким чином, щоб розділити змінні. Цей вид ДК носить назву ДК з роздільними змінними. x) g 1 (x) d x .

Розділяючи змінні, необхідно проводити усі перетворення уважно для того, щоб уникнути помилок. Отримане та вихідне рівняння мають бути еквівалентними один одному. Як перевірку можна використовувати умову, за якою f 2 (y) і g 1 (x)не повинні звертатися до нуля на інтервалі інтегрування. Якщо ця умова не виконується, тобто ймовірність, що ми втратимо частину рішень.

Приклад 2

Знайти всі рішення диференціального рівняння y" = y · (x 2 + e x).

Рішення

Ми можемо розділити х і у, отже, ми маємо справу з ДК з змінними, що розділяються.

y " = y · (x 2 + e x) ⇔ d y d x = y · (x 2 + e x) ⇔ d y y = (x 2 + e x) d x п р і y ≠ 0

При у = 0 вихідне рівняння звертається у тотожність: 0 " = 0 · (x 2 + e x) ⇔ 0 ≡ 0. Це дозволять нам стверджувати, що у = 0 є рішенням ДК. Це рішення ми могли не врахувати при проведенні перетворень.

Виконаємо інтегрування ДК з розділеними змінними d y y = (x 2 + e x) d x:
∫ d y y = ∫ (x 2 + e x) d x ∫ d y y = ln y + C 1 ∫ (x 2 + e x) d x = x 3 3 + e x + C 2 ⇒ ln y + C 1 = x 3 3 + e x + C 2 ⇒ ln y = x 3 3 + e x + C

Проводячи перетворення, ми виконали заміну C 2 - C 1на З. Рішення ДК має вигляд неявно заданої функції ln y = x 3 3 + e x + C. Цю функцію ми можемо висловити явно. Для цього проведемо потенціювання здобутої рівності:

ln y = x 3 3 + e x + C ⇔ e ln y = e x 3 3 + e x + C ⇔ y = e x 3 3 + e x + C

Відповідь: y = e x 3 3 + e x + C , y = 0

Диференціальні рівняння, що зводяться до рівнянь з змінними, що розділяються y " = f (a x + b y) , a ≠ 0 , b ≠ 0

А, щоб навести звичайне ДК 1-го порядку y " = f (a x + b y) , a ≠ 0 , b ≠ 0, до рівняння з змінними, що розділяються, необхідно ввести нову змінну z = a x + b y , де z являє собою функцію аргументу x.

Отримуємо:

z = a x + b y ⇔ y = 1 b (z - a x) ⇒ y " = 1 b (z " - a) f (a x + b y) = f (z)

Проводимо підстановку та необхідні перетворення:

y " = f (a x + b y) ⇔ 1 b (z " - a) = f (z) ⇔ z " = b f (z) + a ⇔ d z b f (z) + a = d x , b f (z) + a ≠ 0

Приклад 3

Знайдіть загальне рішення диференціального рівняння y " = 1 ln (2 x + y) - 2 і часткове рішення, що задовольняє початковій умові y (0) = e .

Рішення

Введемо змінну z = 2 x + y, отримуємо:

y = z - 2 x ⇒ y " = z " - 2 ln (2 x + y) = ln z

Результат, який ми отримали, підставляємо у вихідний вираз, проводимо перетворення його в ДУ з змінними, що розділяються:

y " = 1 ln (2 x + y) - 2 ⇔ z " - 2 = 1 ln z - 2 ⇔ d z d x = 1 ln z

Проінтегруємо обидві частини рівняння після поділу змінних:

d z d z = 1 ln z ⇔ ln z d z = d x ⇔ ∫ ln z d z = ∫ d x

Застосуємо метод інтегрування частинами для знаходження інтеграла, розташованого в лівій частині запису рівняння. Інтеграл правої частини подивимося у таблиці.

∫ ln z d z = u = ln z , d v = d z d u = d z z , v = z = z · ln z - ∫ z d z = = z · ln z - z + C 1 = z · (ln z - 1) + C 1 ∫ d x = x + C 2

Ми можемо стверджувати, що z · (ln z - 1) + C1 = x + C2. Тепер, якщо ми приймемо, що C = C 2 - C 1і проведемо зворотну заміну z = 2 x + y, Отримаємо загальне рішення диференціального рівняння у вигляді неявно заданої функції:

(2 x + y) · (ln (2 x + y) - 1) = x + C

Тепер візьмемося за перебування приватного рішення, яке має задовольняти початкову умову y(0) = e. Проведемо підстановку x = 0і y(0) = e у загальне рішення ДК і знайдемо значення константи С.

(2 · 0 + e) ​​· (ln (2 · 0 + e) ​​- 1) = 0 + C e · (ln e - 1) = C C = 0

Отримуємо приватне рішення:

(2 x + y) · (ln (2 x + y) - 1) = x

Оскільки за умови завдання був заданий інтервал, у якому необхідно знайти загальне рішення ДК, ми шукаємо таке рішення, яке підходить всім значень аргументу x, у яких вихідне ДК має сенс.

У нашому випадку ДК має сенс при ln (2 x + y) ≠ 0 , 2 x + y > 0

Диференціальні рівняння, що зводяться до рівнянь з змінними, що розділяються y " = f x y або y " = f y x

Ми можемо звести ДУ виду y " = f x y або y " = f y x до диференціальних рівнянь з змінними, що розділяються шляхом виконання заміни z = x y або z = y x , де z- Функція аргументу x .

Якщо z = x y , то y = x z і за правилом диференціювання дробу:

y " = x y " = x " · z - x · z " z 2 = z - x · z " z 2

У цьому випадку рівняння набудуть вигляду z - x · z "z 2 = f (z) або z - x · z " z 2 = f 1 z

Якщо прийняти z = y x , то y = x ⋅ z і за правилом похідної твору y " = (x z) " = x " z + x z " = z + x z ". У цьому випадку рівняння зведуть до z + x z " = f 1 z або z + x z " = f (z).

Приклад 4

Розв'яжіть диференціальне рівняння y " = 1 e y x - y x + y x

Рішення

Приймемо z = y x , тоді y = x z ⇒ y " = z + x z ". Підставимо у вихідне рівняння:

y " = 1 e y x - y x + y x ⇔ z + x z " = 1 e z - z + z ⇔ x · d z d x = 1 e z - z ⇔ (e z - z) d z = d x x

Проведемо інтегрування рівняння з розділеними змінними, яке ми отримали під час проведення перетворень:

∫ (e z - z) d z = ∫ d x x e z - z 2 2 + C 1 = ln x + C 2 e z - z 2 2 = ln x + C , C = C 2 - C 1

Виконаємо зворотну заміну для того, щоб отримати загальне рішення вихідного дистанційного керування у вигляді функції, заданої неявно:

e y x - 1 2 · y 2 x 2 = ln x + C

А тепер зупинимося на ДК, які мають вигляд:

y " = a 0 y n + a 1 y n - 1 x + a 2 y n - 2 x 2 + . . . + a n x n b 0 y n + b 1 y n - 1 x + b 2 y n - 2 x 2 + .

Розділивши чисельник та знаменник дробу, розташованого у правій частині запису, на y nабо x n, ми можемо навести вихідне ДК на увазі y " = f x y або y " = f y x

Приклад 5

Знайти загальне рішення диференціального рівняння y " = y 2 - x 2 2 x y

Рішення

У цьому рівнянні х і у відмінні від 0. Це дозволяє нам розділити чисельник та знаменник дробу, розташованого у правій частині запису на x 2:

y " = y 2 - x 2 2 x y ⇒ y " = y 2 x 2 - 1 2 y x

Якщо введемо нову змінну z = y x , то отримаємо y = x z ⇒ y " = z + x z " .

Тепер нам необхідно здійснити підстановку у вихідне рівняння:

y " = y 2 x 2 - 1 2 y x ⇔ z " x + z = z 2 - 1 2 z ⇔ z " x = z 2 - 1 2 z - z ⇔ z " x = z 2 - 1 - 2 z 2 2 z ⇔ d z d x x = - z 2 + 1 2 z ⇔ 2 z d z z 2 + 1 = - d x x

Так ми дійшли ДК з розділеними змінними. Знайдемо його рішення:

∫ 2 z d z z 2 + 1 = - ∫ d x x ∫ 2 z d z z 2 + 1 = ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = ln z 2 + 1 + C 1 - ∫ d x x = - ln x + C 2 ⇒ ln z 2 + 1 + C 1 = - ln x + C 2

Для цього рівняння ми можемо отримати рішення у явному вигляді. Для цього приймемо - ln C = C 2 - C 1 і застосуємо властивості логарифму:

ln z 2 + 1 = - ln x + C 2 - C 1 ⇔ ln z 2 + 1 = - ln x - ln C ⇔ ln z 2 + 1 = - ln C x ⇔ ln z 2 + 1 = ln C x - 1 ⇔ e ln z 2 + 1 = e ln 1 C x ⇔ z 2 + 1 = 1 C x ⇔ z ± 1 C x - 1

Тепер виконаємо зворотну заміну y = x ⋅ z та запишемо загальне рішення вихідного ДК:

y = ± x · 1 C x - 1

У разі правильним буде і другий варіант рішення. Ми можемо використовувати заміну z = x y Розглянемо цей варіант докладніше.

Виконаємо поділ чисельника та знаменника дробу, розташованого у правій частині запису рівняння на y 2:

y " = y 2 - x 2 2 x y ⇔ y " = 1 - x 2 y 2 2 x y

Нехай z = x y

Тоді y " = 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z " x z 2 = 1 - z 2 2 z

Проведемо підстановку у вихідне рівняння для того, щоб отримати ДК з змінними, що розділяються:

y " = 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z " x z 2 = 1 - z 2 2 z

Розділивши змінні, ми отримуємо рівність d z z (z 2 + 1) = d x 2 x , яку можемо проінтегрувати:

∫ d z z (z 2 + 1) = ∫ d x 2 x

Якщо ми розкладемо підінтегральну функцію інтеграла ∫ d z z (z 2 + 1) на найпростіші дроби, то отримаємо:

∫ 1 z - z z 2 + 1 d z

Виконаємо інтегрування найпростіших дробів:

∫ 1 z - z z 2 + 1 d z = ∫ z d z z 2 + 1 = ∫ d t z - 1 2 ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = = ln z - 1 2 ln z 2 + 1 + C 1 = ln z z 2 + 1 + C 1

Тепер знайдемо інтеграл ∫ d x 2 x:

∫ d x 2 x = 1 2 ln x + C 2 = ln x + C 2

У результаті отримуємо ln z z 2 + 1 + C 1 = ln x + C 2 або ln z z 2 + 1 = ln C · x, де ln C = C 2 - C 1 .

Виконаємо зворотну заміну z = x y та необхідні перетворення, отримаємо:

y = ± x · 1 C x - 1

Варіант рішення, у якому ми виконували заміну z = x y , виявився більш трудомістким, ніж у разі заміни z = y x . Цей висновок буде справедливим для великої кількості рівнянь виду y = f x y або y = f y x . Якщо вибраний варіант розв'язання подібних рівнянь виявляється трудомістким, можна замість заміни z = x y ввести змінну z = y x . На результат це аж ніяк не вплине.

Диференціальні рівняння, що зводяться до рівнянь з змінними, що розділяються y " = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 , a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ R

Диференціальні рівняння y" = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 можна звести до рівнянь y " = f x y або y " = f y x , отже, до рівнянь з змінними, що розділяються. (x 0 , y 0) - рішення системи двох лінійних однорідних рівнянь a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 і вводяться нові змінні u = x - x 0 v = y - y 0 . Після такої заміни рівняння набуде вигляду d v d u = a 1 u + b 1 v a 2 u + b 2 v .

Приклад 6

Знайти загальне рішення диференціального рівняння y = x + 2 y - 3 x - 1 .

Рішення

Складаємо та вирішуємо систему лінійних рівнянь:

x + 2 y - 3 = 0 x - 1 = 0 ⇔ x = 1 y = 1

Робимо заміну змінних:

u = x - 1 v = y - 1 ⇔ x = u + 1 y = v + 1 ⇒ d x = d u d y = d v

Після підстановки у вихідне рівняння отримуємо d y d x = x + 2 y - 3 x - 1 ⇔ d v d u = u + 2 v u. Після поділу на uчисельника і знаменника правої частини маємо d v d u = 1 + 2 v u.

Вводимо нову змінну z = v u ⇒ v = z · y ⇒ d v d u = d z d u · u + z , тоді

d v d u = 1 + 2 v u ⇔ d z d u · u + z = 1 + 2 z ⇔ d z 1 + z = d u u ⇒ ∫ d z 1 + z = ∫ d u u ⇔ ln 1 + z + C 1 = ln u + C 2 ⇒ + z = ln u + ln C , ln C = C 2 - C 1 ln 1 + z = ln C · u 1 + z = C · u ⇔ z = C · u - 1 ⇔ v u = C · u - 1 ⇔ v = u · (C · u - 1)

Повертаємося до вихідних змінних, роблячи зворотну заміну u = x - 1 v = y - 1:
v = u · (C · u - 1) ⇔ y - 1 = (x - 1) · (C · (x - 1) - 1) ⇔ y = C x 2 - (2 C + 1) · x + C + 2

Це загальне рішення диференціального рівняння.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter