Усі сторони шестикутника. Дивитись що таке "Правильний шестикутник" в інших словниках

Математичні властивості

Особливість правильного шестикутника - рівність його боку і радіусу описаного кола, оскільки

Усі кути дорівнюють 120°.

Радіус вписаного кола дорівнює:

Периметр правильного шестикутника дорівнює:

Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:

Шестикутники замощують площину, тобто можуть заповнювати площину без пробілів та накладень, утворюючи так званий паркет.

Шестикутний паркет.- Замощення площини рівними правильними шестикутниками, розташованими сторона до сторони.

Шестикутний паркет є двояким трикутним паркетом: якщо з'єднати центри суміжних шестикутників, то проведені відрізки дадуть трикутний паркетаж. Символ Шлефлі шестикутного паркету - (6,3), що означає, що в кожній вершині паркету сходяться три шестикутники.

Шестикутний паркет є найбільш щільною упаковкою кіл на площині. У двовимірному евклідовому просторі найкращим заповненням є розміщення центрів кіл у вершинах паркету, утвореного правильними шестикутниками, у якому кожне коло оточене шістьма іншими. Щільність цієї упаковки дорівнює.

У 1940 році було доведено, що ця упаковка є найбільш щільною.

Правильний шестикутник зі стороною є універсальною покришкою, тобто будь-яку множину діаметра можна покрити правильним шестикутником зі стороною (лема Пала).

Правильний шестикутник можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Нижче наведено метод побудови, запропонований Евклідом у «Початках», книга IV, теорема 15.

Правильний шестикутник у природі, техніці та культурі

показують розбиття площини на правильні шестикутники. Шестикутна форма більше за інших дозволяє заощадити на стінках, тобто на стільники з такими осередками піде менше воску.Деякі складні кристали та молекули

Утворюється, коли мікроскопічні краплі води у хмарах притягуються до пилових частинок і замерзають. Кристали льоду, що з'являються при цьому, не перевищують спочатку 0,1 мм в діаметрі, падають вниз і ростуть в результаті конденсації на них вологи з повітря. При цьому утворюються шестикінцеві кристалічні форми. Через структуру молекул води між променями кристала можливі кути лише 60° і 120°. Основний кристал води має форму правильного шестикутника. На вершинах такого шестикутника потім осідають нові кристали, на них - нові, і так виходять різноманітні форми зірочок-сніжинок.

Вчені з Оксфордського університету змогли в лабораторних умовзмоделювати виникнення такого гексагону. Щоб з'ясувати, як виникає така освіта, дослідники поставили на стіл, що обертається, 30-літровий балон з водою. Вона моделювала атмосферу Сатурна та її звичайне обертання. Усередині вчені помістили маленькі кільця, що обертаються швидше за ємність. Це генерувало мініатюрні вихори та струмені, які експериментатори візуалізували за допомогою зеленої фарби. Чим швидше оберталося кільце, тим більше вихори ставали, змушуючи прилеглий потік відхилятися від кругової форми. Таким чином, авторам досвіду вдалося отримати різні фігури - овали, трикутники, квадрати і, звичайно, шуканий шестикутник.

Пам'ятник природи приблизно з 40 000 з'єднаних між собою базальтових (рідше андезитових) колон, що утворилися в результаті древнього виверження вулкана. Розташований на північному сході Північної Ірландіїза 3 км на північ від міста Бушмілса.

Верхівки колон утворюють подобу трампліну, який починається біля підніжжя скелі та зникає під поверхнею моря. Більшість колон шестикутні, хоча в деяких чотири, п'ять, сім та вісім кутів. Найвища колона заввишки близько 12 м-коду.

Близько 50-60 мільйонів років тому, під час палеогенового періоду, місце розташування Антрім зазнавало інтенсивної вулканічної активності, коли розплавлений базальт проникав через відкладення, формуючи великі лавові плато. У міру швидкого охолодження відбувалося скорочення обсягу речовини (подібне спостерігається при висиханні бруду). Горизонтальне стиск приводило до характерної структури шестигранних стовпів.

Перетин гайки має вигляд правильного шестикутника.

Найвідоміша фігура, у якої більше чотирьох кутів – це правильний шестикутник. У геометрії він часто використовується у завданнях. А в житті саме такий вид мають стільники на зрізі.

Чим він відрізняється від неправильного?

По-перше, шестикутником є фігура із 6 вершинами. По-друге, він може бути опуклим або увігнутим. Перший відрізняється тим, що чотири вершини лежать по одну сторону від прямої, проведеної через дві інші.

По-третє, правильний шестикутник характеризується тим, що його сторони рівні. Причому кожен кут фігури також має однакове значення. Щоб визначити суму всіх його кутів, потрібно скористатися формулою: 180º * (n - 2). Тут n – число вершин фігури, тобто 6. Простий розрахунок дає значення 720º. Тобто кожен кут дорівнює 120 градусів.

У повсякденній діяльності правильний шестикутник зустрічається у сніжинці та гайці. Хіміки бачать її навіть у молекулі бензолу.

Які властивості потрібно знати під час вирішення завдань?

До того, що зазначено вище, слід додати:

діагоналі фігури, проведені через центр, поділяють на шість трикутників, які є рівносторонніми;
сторона правильного шестикутника має значення, яке збігається з радіусом описаного біля нього кола;
використовуючи таку фігуру, є можливість заповнити площину, причому між ними не вийде перепусток та не буде накладень.

Введені позначення

Зазвичай сторона правильної геометричної постаті позначається латинської літерою «а». Для вирішення завдань потрібні ще площа та периметр, це S та P відповідно. У правильний шестикутник буває вписане коло або описане біля нього. Тоді вводяться значення їх радіусів. Позначаються вони відповідно літерами r та R.

У деяких формулах фігурують внутрішній кут, напівпериметр і апофема (перпендикуляр, що є до середини будь-якої сторони з центру багатокутника). Їх використовуються букви: α, р, m.

Формули, що описують фігуру

Для розрахунку радіуса вписаного кола буде потрібно таке: r = (a * √3) / 2, причому r = m. Тобто така сама формула буде і для апофеми.

Оскільки периметр шестикутника — це сума всіх сторін, він визначиться так: P = 6 * a. З урахуванням того, що сторона дорівнює радіусу описаного кола, для периметра існує така формула правильного шестикутника: P = 6 * R. З тієї, що наведена для радіусу вписаного кола, виводиться залежність між а і r. Тоді формула набуває такого вигляду: Р = 4 r * √3.

Для площі правильного шестикутника може стати в нагоді така: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Завдання

№1. Умова.Є правильна шестикутна призма, кожне ребро якої дорівнює 4 см. У неї вписаний циліндр, обсяг якого необхідно впізнати.

Рішення.Об'єм циліндра визначається як добуток площі основи на висоту. Остання збігається з ребром призми. А вона дорівнює стороні правильного шестикутника. Тобто висота циліндра – теж 4 см.

Щоб дізнатися площу його основи, потрібно обчислити радіус вписаного в шестикутник кола. Формула при цьому вказана вище. Значить, r = 2?3 (см). Тоді площа кола: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3) 2 = 37,68 (см 2).

Відповідь. V = 150,72 см 3 .

№2. Умова.Обчислити радіус кола, яке вписано у правильний шестикутник. Відомо, що його сторона дорівнює √3 см. Чому дорівнюватиме його периметр?

Рішення.Це завдання вимагає використання двох із зазначених формул. Причому їх необхідно застосовувати, навіть не видозмінюючи, просто підставити значення сторони та обчислити.

Таким чином, радіус вписаного кола виходить рівним 1,5 см. Для периметра виявляється вірним таке значення: 63 см.

Відповідь. r = 1,5 см, Р = 6√3 см.

№3. Умова.Радіус описаного кола дорівнює 6 см. Яке значення у цьому випадку буде у сторони правильного шестикутника?

Рішення.З формули для радіусу вписаного в шестикутник кола легко виходить та, за якою потрібно обчислювати сторону. Зрозуміло, що радіус множиться на два і ділиться на корінь із трьох. Необхідно позбутися ірраціональності у знаменнику. Тому результат дій набуває такого вигляду: (12 √3) / (√3 * √3), тобто 4√3.

Відповідь.а = 4√3 см.

Чи знаєте ви, як виглядає правильний шестикутник?
Це питання не випадково. Більшість учнів 11 класу не знають на нього відповіді.

Правильний шестикутник - такий, у якого всі сторони рівні та всі кути теж рівні.

Залізна гайка. Сніжинка. Осередок сот, в яких живуть бджоли. Молекули бензолу. Що спільного у цих об'єктів? - Те, що всі вони мають правильну шестикутну форму.

Багато школярів губляться, бачачи завдання на правильний шестикутник, і вважають, що їх вирішення потрібні якісь особливі формули. Чи так це?

Проведемо діагоналі правильного шестикутника. Ми отримали шість рівносторонніх трикутників.

Ми знаємо, що площа правильного трикутника: .

Тоді площа правильного шестикутника – у шість разів більша.

Де – сторона правильного шестикутника.

Зверніть увагу, що у правильному шестикутнику відстань від його центру до будь-якої з вершин однакова і дорівнює стороні правильного шестикутника.

Значить, радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника, дорівнює його стороні.
Радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, неважко знайти.
Він дорівнює.
Тепер ви легко вирішите будь-які завдання ЄДІ, у яких фігурує правильний шестикутник.

Знайдіть радіус кола, вписаного в правильний шестикутник зі стороною .

Радіус такого кола дорівнює.

Відповідь: .

Чому дорівнює сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, радіус якого дорівнює 6?

Ми знаємо, що сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаного навколо нього кола.

Чи є поблизу Вас олівець? Погляньте на його перетин - воно є правильним шестикутником або, як його ще називають, гексагоном. Таку форму має також переріз гайки, поле гексагональних шахів, деяких складних молекул вуглецю (наприклад, графіт), сніжинка, бджолині стільники та інші об'єкти. Гігантський правильний шестикутник був нещодавно виявлений у Чи не здається дивним часте використанняприродою для своїх витворів конструкцій саме цієї форми? Давайте розглянемо докладніше.

Правильний шестикутник є багатокутником з шістьма однаковими сторонами і рівними кутами. З шкільного курсунам відомо, що він має такі властивості:

Довжина його сторін відповідає радіусу описаного кола. З усіх це властивість має лише правильний шестикутник.
Кути рівні між собою, і величина кожного становить 120 °.
Периметр гексагону можна знайти за формулою Р=6*R, якщо відомий радіус описаного навколо нього кола, або Р=4*√(3)*r, якщо коло вписано. R і r - радіуси описаного та вписаного кола.
Площа, яку займає правильний шестикутник, визначається так: S=(3*√(3)*R 2)/2. Якщо радіус невідомий, замість нього підставляємо довжину однієї зі сторін - як відомо, вона відповідає довжині радіусу описаного кола.

У правильного шестикутника є одна цікава особливість, Завдяки якій він отримав у природі таке широке поширення, - він здатний заповнити будь-яку поверхню площини без накладень та пробілів. Існує навіть так звана лема Пала, згідно з якою правильний гексагон, сторона якого дорівнює 1/√(3), є універсальною покришкою, тобто може покрити будь-яку множину з діаметром в одну одиницю.

Тепер розглянемо побудову правильного шестикутника. Є кілька способів, найпростіший з яких передбачає використання циркуля, олівця та лінійки. Спочатку малюємо циркулем довільне коло, потім у довільному місці на цьому колі робимо крапку. Не змінюючи розчину циркуля, ставимо вістря в цю точку, відзначаємо на колі наступне насічення, продовжуємо так доти, поки не отримаємо всі 6 точок. Тепер залишається лише з'єднати їх між собою прямими відрізками і вийде шукана фігура.

Насправді бувають випадки, коли потрібно намалювати шестикутник великого розміру. Наприклад, на дворівневій стелі гіпсокартону, навколо місця кріплення центральної люстри, потрібно встановити на нижньому рівні шість невеликих світильників. Циркуль таких розмірів знайти буде дуже складно. Як вчинити у цьому випадку? Як взагалі намалювати велике коло? Дуже просто. Потрібно взяти міцну нитку потрібної довжини та обв'язати один із її кінців навпроти олівця. Тепер залишилося лише знайти помічника, який притиснув би до стелі в потрібній точці другий кінець нитки. Звісно, у разі можливі незначні похибки, але навряд вони взагалі будуть помітні сторонній людині.