Всі сторони шестикутника. Дивитися що таке "Правильний шестикутник" в інших словниках

математичні властивості

Особливість правильного шестикутника - рівність його боку і радіуса описаного кола, оскільки

Всі кути рівні 120 °.

Радіус вписаного кола дорівнює:

Периметр правильного шестикутника дорівнює:

Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:

Шестикутники замощают площину, тобто можуть заповнювати площину без пробілів і накладень, утворюючи так званий паркет.

Шестикутний паркет (шестикутний паркетаж) - замощення площині рівними правильними шестикутниками, розташованими сторона до сторони.

Шестикутний паркет є двоїстим трикутного паркету: якщо з'єднати центри суміжних шестикутників, то проведені відрізки дадуть трикутний паркетаж. Символ Шлефлі шестикутного паркету - (6,3), що означає, що в кожній вершині паркету сходяться три шестикутника.

Шестикутний паркет є найбільш щільною упаковкою кіл на площині. У двовимірному евклідовому просторі найкращим заповненням є розміщення центрів кіл в вершинах паркету, утвореного правильними шестикутниками, в якому кожен коло оточений шістьма іншими. Щільність даної упаковки дорівнює. У 1940 році було доведено, що дана упаковка є найщільнішою.

Правильний шестикутник зі стороною є універсальною покришкою, тобто будь-яке безліч діаметра можна покрити правильним шестикутником зі стороною (лема Пала).

Правильний шестикутник можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки. Нижче наведено метод побудови, запропонований Евклідом в «Засадах», книга IV, теорема 15.

Правильний шестикутник в природі, техніці та культурі

показують розбиття площини на правильні шестикутники. Шестикутна форма більше за інших дозволяє заощадити на стінках, тобто на стільники з такими осередками піде менше воску.

Деякі складні кристали і молекули, Наприклад графіт, мають гексагональну кристалічну решітку.

Утворюється, коли мікроскопічні краплі води в хмарах притягуються до пилових частинок і замерзають. З'являються при цьому кристали льоду, що не перевищують спочатку 0,1 мм в діаметрі, падають вниз і ростуть в результаті конденсації на них вологи з повітря. При цьому утворюються шестиконечні кристалічні форми. Через структури молекул води між променями кристала можливі кути лише в 60 ° і 120 °. Основний кристал води має в площині форму правильного шестикутника. На вершинах такого шестикутника потім осідають нові кристали, на них - нові, і так виходять різноманітні форми зірочок-сніжинок.

Вчені з Оксфордського університету змогли в лабораторних умовах змоделювати виникнення подібного гексагона. Щоб з'ясувати, як виникає така освіта, дослідники поставили на вертиться стіл 30-літровий балон з водою. Вона моделювала атмосферу Сатурна і її звичайне обертання. Усередині вчені помістили маленькі кільця, що обертаються швидше ємності. Це генерував мініатюрні вихри і струменя, які експериментатори візуалізували за допомогою зеленої фарби. Чим швидше оберталося кільце, тим більше ставали вихори, змушуючи довколишній потік відхилятися від кругової форми. Таким чином авторам досвіду вдалося отримати різні фігури - овали, трикутники, квадрати і, звичайно, шуканий шестикутник.

Пам'ятник природи з приблизно 40 000 з'єднаних між собою базальтових (рідше андезитових) колон, що утворилися в результаті стародавнього виверження вулкана. Розташований на північному сході Північної Ірландії в 3 км на північ від міста Бушмілс.

Верхівки колон утворюють подобу трампліну, який починається біля підніжжя скелі і зникає під поверхнею моря. Більшість колон шестикутні, хоча у деяких чотири, п'ять, сім і вісім кутів. Найвища колона заввишки близько 12 м.

Близько 50-60 мільйонів років тому, під час палеогенового періоду, місце розташування Антрім піддавалося інтенсивній вулканічної активності, коли розплавлений базальт проникав через відкладення, формуючи великі лавові плато. У міру швидкого охолодження відбувалося скорочення обсягу речовини (подібне спостерігається при висиханні бруду). Горизонтальне стиснення призводило до характерній структурі шестигранних стовпів.

Перетин гайки має вигляд правильного шестикутника.

Найвідоміша фігура, у якої більше чотирьох кутів - це правильний шестикутник. В геометрії він часто використовується в задачах. А в житті саме такий вигляд мають стільники на зрізі.

Чим він відрізняється від неправильного?

По-перше, шестикутником є \u200b\u200bфігура з 6 вершинами. По-друге, він може бути опуклим або увігнутим. Перший відрізняється тим, що чотири вершини лежать по одну сторону від прямої, проведеної через дві інші.

По-третє, правильний шестикутник характеризується тим, що всі його сторони рівні. Причому кожен кут фігури теж має однакове значення. Щоб визначити суму всіх його кутів, потрібно скористатися формулою: 180º * (n - 2). Тут n - число вершин фігури, тобто 6. Простий розрахунок дає значення в 720º. Тобто кожен кут дорівнює 120 градусам.

У повсякденній діяльності правильний шестикутник зустрічається в снежинке і гайки. Хіміки бачать її навіть в молекулі бензолу.

Які властивості потрібно знати при вирішенні завдань?

До того, що зазначено вище, слід додати:

• діагоналі фігури, проведені через центр, ділять її на шість трикутників, які є рівносторонніми;
• сторона правильного шестикутника має значення, яке збігається з радіусом описаного навколо нього кола;
• використовуючи таку фігуру, є можливість заповнити площину, причому між ними не вийде пропусків і не буде накладень.

введені позначення

Традиційно сторона правильної геометричної фігури позначається латинською буквою «а». Для вирішення завдань потрібні ще площа і периметр, це S і P відповідно. У правильний шестикутник буває вписане коло або описана біля нього. Тоді вводяться значення для їх радіусів. Позначаються вони відповідно буквами r і R.

У деяких формулах фігурують внутрішній кут, напівпериметр і апофема (що є перпендикуляром до середини будь-якого боку з центру багатокутника). Для них використовуються літери: α, р, m.

Формули, які описують фігуру

Для розрахунку радіуса вписаного кола буде потрібно така: r \u003d (A * √3) / 2, причому r \u003d m. Тобто така ж формула буде і для апофеми.

Оскільки периметр шестикутника - це сума всіх сторін, то він визначиться так: P \u003d 6 * a. З урахуванням того, що сторона дорівнює радіусу описаного кола, для периметра існує така формула правильного шестикутника: P \u003d 6 * R. З тієї, що наведена для радіуса вписаного кола, виводиться залежність між а і r. Тоді формула приймає такий вигляд: Р \u003d 4 r * √3.

Для площі правильного шестикутника може стати в нагоді така: S \u003d p * r \u003d (a 2 * 3 √3) / 2.

завдання

№ 1. Умова. Є правильна шестикутна призма, кожне ребро якої дорівнює 4 см. У неї вписано циліндр, обсяг якого необхідно дізнатися.

Рішення. Обсяг циліндра визначається як добуток площі основи на висоту. Остання збігається з ребром призми. А вона дорівнює стороні правильного шестикутника. Тобто висота циліндра - теж 4 см.

Щоб дізнатися площа його заснування, потрібно обчислити радіус вписаного в шестикутник окружності. Формула для цього вказана вище. Значить, r \u003d 2√3 (см). Тоді площа кола: S \u003d π * r 2 \u003d 3,14 * (2√3) 2 \u003d 37,68 (см2).

відповідь. V \u003d 150,72 см 3.

№ 2. Умова. Обчислити радіус кола, яка вписана в правильний шестикутник. Відомо, що його сторона дорівнює √3 см. Чому буде дорівнює його периметр?

Рішення. Це завдання вимагає використання двох із зазначених формул. Причому їх необхідно застосовувати, навіть не видозмінюючи, просто підставити значення боку і обчислити.

Таким чином, радіус вписаного кола виходить рівним 1,5 см. Для периметра справджується таке значення: 6√3 см.

Відповідь. r \u003d 1,5 см, Р \u003d 6√3 см.

№ 3. Умова. Радіус описаного кола дорівнює 6 см. Яке значення в цьому випадку буде у сторони правильного шестикутника?

Рішення. З формули для радіуса вписаного в шестикутник окружності легко виходить та, по якій потрібно обчислювати сторону. Ясно, що радіус множиться на два і ділиться на корінь з трьох. Необхідно позбутися ірраціональності в знаменнику. Тому результат дій приймає такий вигляд: (12 √3) / (√3 * √3), тобто 4√3.

Відповідь. а \u003d 4√3 см.

Чи знаєте ви, як виглядає правильний шестикутник?
Це питання поставлено не випадково. Більшість учнів 11 класу не знають на нього відповіді.

Правильний шестикутник - такий, у якого всі сторони рівні і всі кути теж рівні.

Залізна гайка. Сніжинка. Осередок сот, в яких живуть бджоли. Молекула бензолу. Що спільного у цих об'єктів? - Те, що всі вони мають правильну шестикутну форму.

Багато школярів губляться, бачачи завдання на правильний шестикутник, і вважають, що для їх вирішення потрібні якісь особливі формули. Чи так це?

Проведемо діагоналі правильного шестикутника. Ми отримали шість рівносторонніх трикутників.

Ми знаємо, що площа правильного трикутника:.

Тоді площа правильного шестикутника - в шість разів більше.

Де - сторона правильного шестикутника.

Зверніть увагу, що в правильному шестикутнику відстань від його центру до будь-якої з вершин однаково одно стороні правильного шестикутник.

Значить, радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника, дорівнює його стороні.
Радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, неважко знайти.
Він дорівнює.
Тепер ви легко вирішите будь-які завдання ЄДІ, в яких фігурує правильний шестикутник.

Знайдіть радіус кола, вписаного в правильний шестикутник зі стороною.

Радіус такої окружності дорівнює.

Відповідь:.

Чому дорівнює сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, радіус якої дорівнює 6?

Ми знаємо, що сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаної навколо нього кола.

Чи є поблизу від Вас олівець? Погляньте-но на його перетин - воно являє собою правильний шестикутник або, як його ще називають, гексагон. Таку форму має також перетин гайки, поле гексагональних шахів, деяких складних молекул вуглецю (наприклад, графіт), сніжинка, бджолині стільники і інші об'єкти. Гігантський правильний шестикутник був недавно виявлений в Чи не здається дивним настільки часте використання природою для своїх творінь конструкцій саме цієї форми? Давайте розглянемо детальніше.

Правильний шестикутник є багатокутник з шістьма однаковими сторонами і рівними кутами. Зі шкільного курсу нам відомо, що він має такі властивості:

• Довжина його сторін відповідає радіусу описаного кола. З усіх це властивість має лише правильний шестикутник.
• Кути рівні між собою, і величина кожного становить 120 °.
• Периметр гексагона можна знайти за формулою Р \u003d 6 * R, якщо відомий радіус описаної навколо нього кола, або Р \u003d 4 * √ (3) * r, якщо окружність в нього вписана. R і r - радіуси описаної і вписаного кола.
• Площа, яку займає правильний шестикутник, визначається наступним чином: S \u003d (3 * √ (3) * R 2) / 2. Якщо радіус невідомий, замість нього підставляємо довжину однієї зі сторін - як відомо, вона відповідає довжині радіуса описаного кола.

У правильного шестикутника є одна цікава особливість, завдяки якій він отримав в природі таке широке поширення, - він здатний заповнити будь-яку поверхню площині без накладень і прогалин. Існує навіть так звана лема Пала, згідно з якою правильний шестикутник, сторона якого дорівнює 1 / √ (3), являє собою універсальну покришку, тобто може покрити будь-яка множина з діаметром в одну одиницю.

Тепер розглянемо побудову правильного шестикутника. Є кілька способів, найпростіший з яких передбачає використання циркуля, олівця і лінійки. Спочатку малюємо циркулем довільну окружність, потім в довільному місці на цій окружності робимо точку. Не змінюючи розчину циркуля, ставимо вістря в цю точку, відзначаємо на окружності наступну насічку, продовжуємо так до тих пір, поки не отримаємо всі 6 точок. Тепер залишається лише з'єднати їх між собою прямими відрізками, і вийде шукана фігура.

На практиці бувають випадки, коли потрібно намалювати шестикутник великого розміру. Наприклад, на дворівневому гіпсокартоном стелі, навколо місця кріплення центральної люстри, потрібно встановити на нижньому рівні шість невеликих світильників. Циркуль таких розмірів знайти буде дуже і дуже складно. Як вчинити в цьому випадку? Як взагалі намалювати велику окружність? Дуже просто. Потрібно взяти міцну нитку потрібної довжини і обв'язати один з її кінців навпаки олівця. Тепер залишилося лише знайти помічника, який би притиснув до стелі в потрібній точці другий кінець нитки. Звичайно, в цьому випадку можливі незначні погрішності, але навряд чи вони взагалі будуть помітні сторонній людині.