Уравнение бернулли и его физический смысл. Уравнение бернулли для реальной жидкости
Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида
где n≠0,n≠1.
Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки
в линейное уравнение
На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной.
Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения — как и при .
Примеры. Решить уравнения:
1) y’x+y=-xy².
Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии.
1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².
2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: v+v’ux=-xu²v² (I) (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0:
(при нахождении u С берем равным нулю).
3) В уравнение (I) подставляем =0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v²≠0:
(взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1):
(можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│).
2) 2y’+2y=xy².
Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли.
1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².
2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: +2v’u=xu²v² (II). Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем:
3) Подставляем во (II) =0 и
Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные:
Интегрируем:
Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям:
Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем:
А так как
Сделаем С=-С:
4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:
3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.
Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть:
Это — уравнение Бернулли,
1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.
2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем):
v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0:
В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби:
При x=1: 1-2=A·0+B·1, откуда B=-1.
При x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2.
ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1).
3) В равенство (III) подставляем =0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,
v’=dv/dx, подставляем:
вместо С возьмем — С, чтобы, умножив обе части на (-1), избавиться от минусов:
Теперь приведем выражения в правой части к общему знаменателю и найдем v:
4) Так как y=uv, подставляя найденные функции u и v, получаем:
Примеры для самопроверки:
1) Убедимся, что это — уравнение Бернулли. Поделив на x обе части, имеем:
1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в первоначальное условие:
2) Группируем слагаемые с v:
Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю и находим из этого условия u:
Интегрируем обе части уравнения:
3) В уравнение (*) подставляем =0 и u=1/x²:
Интегрируем обе части получившегося уравнения.
При движении реальной жидкости, вследствие её вязкости, действуют гидравлические сопротивления, на преодоление которых затрачивается энергия. Эта энергия превращается в теплоту и рассеивается в дальнейшем движущей жидкостью.
Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости имеет вид
где
─ потери напора на участке длиной
вдоль оси струйки между двумя сечениями.
Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости имеет вид:
(3.9)
где
─ коэффициенты Кориолиса, учитывающие
различие скоростей в разных точках
сечения потока реальной жидкости.
На
практике
:
для ламинарного режима течения жидкости
в круглых трубах
;
для турбулентного режима
.
С
помощью уравнения Бернулли решается
большинство задач практической
гидравлики. Для этого выбирают два
сечения по длине потока, таким образом,
чтобы для одного из них были известны
величины
,
а для другого сечения одна или величины
подлежали определению. При двух
неизвестных для второго сечения
используют уравнение постоянства
расхода жидкостиυ
1
ω
1
= υ
2
ω
2
.
Гидравлические сопротивления
Движущийся поток жидкости на своем пути преодолевает силы трения жидкости о стенки трубы или канала и различные местные сопротивления, вследствие чего возникают потери удельной энергии. Потери напора различают двух видов:
Потери по длине потока
;
Потери на преодоление местных сопротивлений
.
Полные потери напора равны сумме всех потерь
(3.10)
Потери напора по длине
При равномерном движении в трубах потери напора по длине, как при турбулентном, так и при ламинарном движении определяются для круглых труб по формуле Дарси
(3.11)
а для труб любой другой формы сечения по формуле
(3.12)
В некоторых случаях также используют формулу
(3.13)
Потери
давления на трение по длине
,
Па, определяются по формуле
(3.14)
где
─ длина участка трубы или канала, м;
─эквивалентный
диаметр, м;
─средняя
скорость течения, м/с;
─гидравлический
радиус трубы, м;
─коэффициент
гидравлического трения;
─коэффициент
Шези, связанный с коэффициентом
гидравлического трения зависимостями
;
В зависимости от режима движения применяются различные формулы для определения коэффициента гидравлического трения.
При ламинарном движении по трубам круглого сечения коэффициент гидравлического трения определяется по формуле
(3.15)
а для труб любой формы сечения
(3.16)
где А ─ коэффициент, численное значение которого зависит от формы поперечного сечения трубы.
Тогда формула для определения потерь напора по длине при ламинарном режиме принимает вид
(3.17)
Впервые
наиболее исчерпывающие работы по
определению
были даны И.И. Никурадзе, который на
основе опытных данных построил график
зависимости
от
для ряда значений
.
Опыты Никурадзе были проведены на трубах
с искусственно заданной шероховатостью,
полученной путем приклейки песчинок
определенного размера на внутренние
стенки трубопровода. Результаты этих
исследований представлены на рисунке
3.5, где построены зависимости
от
для ряда значений
.
Прямая I соответствует ламинарному режиму движения жидкости в соответствии с выражением (3.15).
При турбулентном режиме различают три области гидравлических сопротивлений, установленных в результате опытов, проведенных Никурадзе (см. рисунок 3.5)
Рисунок 3.5 ─ График Никурадзе
Первая
область ─ область малых
и
,
где коэффициент
не зависит от шероховатости, а определяется
лишь числом
(отмечена на рисунке 3.5 прямой II).
Это
область
гидравлически гладких
труб
.
Если число Рейнольдса лежит в диапазоне
коэффициент
определяется по полуэмпирической
формуле Блазиуса
.
(3.18)
Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики , устанавливающим связь между средней скоростью потока и гидродинамическим давлением в установившемся движении.
Рассмотрим элементарную струйку в установившемся движении идеальной жидкости. Выделим двумя сечениями, перпендикулярными к направлению вектора скоростиu , элемент длиной dl и площадью dF . Выделенный объем будет находиться под действием силы тяжести
и
сил гидродинамического давления
.
Так
как
,
то
.
Учитывая,
что в общем случае скорость выделенного
элемента
,
его ускорение
.
Применив
к выделенному элементу весом
уравнение динамики
в проекции на траекторию его движения,
получим
Учитывая
то, что
и
что при установившемся движении
,
после интегрирования и деления на
получим полный напор потока в
рассматриваемом сечении:
,
где
-
геометрический напор (высота), выражающий
удельную потенциальную энергию положения
частички жидкости над некоторой
плоскостью отсчета, м,
-
пьезометрический напор, выражающий
удельную энергию давления, м,
-
скоростной напор, выражающий удельную
кинетическую энергию, м,
-
статический напор, м.
Это и есть уравнение Бернулли. Трехчлен этого уравнения выражает напор в соответствующем сечении и представляет собой удельную (отнесенную к единице веса) механическую энергию, переносимую элементарной струйкой через это сечение.
В
практике технических измерений уравнение
Бернулли используют для определения
скорости жидкости
.
Уравнение
Бернулли можно получить еще и следующим
образом. Представим себе, что рассматриваемый
нами элемент жидкости является
неподвижным. Тогда на основании основного
уравнения гидростатики
потенциальная энергия жидкости в
сечениях 1 и 2 будет
.
Движение
жидкости характеризуется появлением
кинетической энергии, которая для
единицы веса будет равна для рассматриваемых
сечений
и
.
Полная энергия потока элементарной
струйки будет равна сумме потенциальной
и кинетической энергии, поэтому
.
Таким образом, основное уравнение гидростатики является следствием уравнения Бернулли.
Лекция №7
Уравнение бернулли для реальной жидкости
Уравнение Бернулли в установившемся движении идеальной жидкости имеет вид:
.
где
-
геометрический напор (высота), м,
- пьезометрический напор, м,
-
скоростной напор, м, 
- статический напор, м.
В случае реальной жидкости полный напор для разных струек в одном и том же сечении потока не будет одинаковым, так как неодинаковым будет скоростной напор в разных точках одного и того же сечения потока. Кроме того, в виду рассеяния энергии из-за трения напор от сечения к сечению будет убывать.
Однако для сечений потока, взятых там, где движение на его участках плавно меняющееся, для всех проходящих через сечение элементарных струек будет постоянным статический напор
.
Если уравнение Бернулли для элементарной струйки распространить на весь поток и учесть потери напора на сопротивление движению, то получим
где α – коэффициент кинетической энергии, равный для турбулентного потока 1,13, а для ламинарного – 2; v – средняя скорость потока; h – уменьшение удельной механической энергии потока на участке между сечениями 1 и 2, проходящее в результате сил внутреннего трения.
Расчет дополнительного члена h в уравнении Бернулли является основной задачей инженерной гидравлики.
Графическое представление уравнения Бернулли для нескольких сечений потока реальной жидкости имеет вид:
Л
иния
А, которая проходит по уровням в
пьезометрах, измеряющих в точках
избыточное давление, называетсяпьезометрической
линией
. Она
показывает изменение отсчитанного от
плоскости сравнения статического напора
Н
с
по длине потока. Пьезометрическая линия
отделяет область измерения потенциальной
и кинетической энергии.
Полный напор Н уменьшается по длине потока (линия В – линия полного напора реальной жидкости).
Градиент напора по длине потока называется гидравлическим уклоном и выражается формулой
,
т.е. гидравлический уклон численно равен синусу угла между горизонталью и линией полного напора реальной жидкости.
Расходомер Вентури
Р
асходомер
Вентури представляет собой устройство,
устанавливаемое в трубопроводах и
осуществляющее сужение потока –
дросселирование. Расходомер состоит
из двух участков – плавно сужающегося
(сопла) и постепенно расширяющегося
(диффузора). Скорость потока в суженном
месте возрастает, а давление падает. В
наибольшем и наименьшем сечениях трубы
установлены пьезометры, показания
которых позволяют определить перепад
пьезометрического напора между двумя
сечениями трубы и записать
.
В
этом уравнении неизвестными являются
v
1
и v
2
.
Из уравнения неразрывности следует
,
что позволяет определить скоростьv
2
и расход жидкости через трубу
,
где С – константа расходомера, учитывающая также и потери напора, так как определяется опытом.
Аналогично ведется расчет расходомерной шайбы, обычно выполняемой в виде кольца. Расход определяется по замеренной разности уровней в пьезометрах.
Уравнение Бернулли и уравнение неразрывности потока являются основными при расчете гидравлических систем.
Как закон Всемирного Тяготения Ньютона действовал задолго до самого Ньютона, так и уравнение Бернулли существовало задолго до того, как родился сам Бернулли. Ему удалось лишь облечь это уравнение в наглядную форму, в чем его неоспоримая и огромная заслуга. Зачем мне уравнение Бернулли, спросите Вы, ведь я прекрасно жил и без него. Да, но оно может пригодиться Вам хотя бы на экзамене по гидравлике! Как говорится, «все не так уж плохо, если ты знаешь и можешь сформулировать уравнение Бернулли».
Кто такой Бернулли?
Даниил Бернулли – сын известного ученого Якоба Бернулли, швейцарский математик и физик. Жил с 1700 по 1782 годы, а с 1725 по 1733 трудился в Петербургской Академии наук. Помимо физики и математики Бернулли также изучал медицину наряду с Д’Аламбером и Эйлером считается отцом основателем математической физики. Успехи этого человека позволяют с уверенностью сказать, что это был настоящий «супермозг».
Д. Бернулли (1700-1782)
Идеальная жидкость и течение идеальной жидкости
Помимо известной нам материальной точки и идеального газа существует также идеальная жидкость . Какой-нибудь студент, конечно, может подумать, что эта жидкость – его любимое пиво или кофе, без которого невозможно жить. Но нет, идеальная жидкость – это жидкость, которая абсолютно несжимаема, лишена вязкости и теплопроводности. Тем не менее, такая идеализация дает вполне хорошее описание движения реальных жидкостей в гидродинамике.
Течением жидкости называется движение ее слоев относительно друг друга или относительно всей жидкости.
Помимо того есть разные режимы течения жидкости. Нас интересует тот случай, когда скорость потока в какой-то конкретной точке не меняется со временем. Такой поток называют стационарным. При этом скорость течения в различных точках стационарного потока может различаться.
– совокупность частиц движущейся жидкости.
Вывод уравнения Бернулли
Но как описать движение жидкости? Для этого нам нужно знать вектор скорости частиц, точнее зависимость его от времени. Совокупность скоростей в разных точках потока дает поле вектора скорости.
Рассмотрим стационарное течение жидкости по трубке. В одном месте сечение этой трубки равно S1, а в другой – S2. При стационарном потоке через оба сечения за одинаковый промежуток времени пройдет одинаковое количество жидкости.
Данное уравнение – уравнение неразрывности струи.
Узнав его, Бернулли решил установить связь между давлением и скоростью жидкости в разных сечениях. Полное давление – это сумма статистического (обусловлено потенциальной энергией жидкости) и динамического давлений (обусловлено кинетической энергией). Оказывается, сумма статического и динамического давлений в любом сечении трубы постоянна. Само же уравнение Бернулли имеет вид:
Смысл уравнения Бернулли
Физический смысл уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии. Первый член уравнения Бернулли – это кинетическая энергия, второе слагаемое уравнения Бернулли – потенциальная энергия в поле силы тяжести, третье – работа силы давления при подъеме жидкости на высоту h.
Вот и все, друзья, не так уж и страшно. Совсем немного времени, а Вы уже знаете уравнение Бернулли. Даже если Вы не знаете больше ничего, с этими знаниями идти на экзамен или зачет гораздо лучше, чем просто так. А если Вам необходима помощь в том, как решать задачи на уравнение Бернулли – не стесняйтесь и оформляйте заявку. После того как распишут решение уравнения Бернулли максимально подробно, у Вас не останется пробелов в знаниях.
Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости, его физический смысл.
Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Здесь — плотность жидкости, — скорость потока, — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, — ускорение свободного падения.
В реальных потоках жидкости присутствуют силы вязкого трения. В результате слои жидкости трутся друг об друга в процессе движения. На это трение затрачивается часть энергии потока. По этой причине в процессе движения неизбежны потери энергии. Эта энергия, как и при любом трении, преобразуется в тепловую энергию. Из-за этих потерь энергия потока жидкости по длине потока, и в его направлении постоянно уменьшается.
Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.
Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости
Распределение скоростей:
Что такое трубка Пито и для чего она служит?
Трубка Пито - прибор для измерения скорости в точках потока. для измерения динамического напора текущей жидкости или газа. Представляет собой Г-образную трубку. Установившееся в трубке избыточное давление приближённо равно: , где p — плотность движущейся (набегающей) среды; V?- скорость набегающего потока; ξ — коэффициент.
Напорная трубка Пито подключается к специальным приборам и устройствам. Применяется при определении относительной скорости и объёмного расхода в газоходах и вентиляционных системах в комплекте с дифференциальными манометрами.
Применяется как составная часть трубки Прандтля в авиационных приёмниках воздушного давления для возможности одновременного определения скорости и высоты полёта.
Как перевести уравнение Бернулли из размерности длин в размерность давлений?
Уравнение Бернулли в форме напоров, м
Уравнение Бернулли в форме давлений, Па
Потери давления от первого сечения до второго.
Какие существуют режимы течения и как определяются границы существования этих режимов?
1. Ламинарный режим движения. Особенности - слоистый характер течения жидкости, отсутствие перемешивания, неизменность давления и скорости по времени.
2. Переходный режим.
3. Турбулентный режим течения. Заметны: вихреобразование, вращательное движение жидкости, непрерывные пульсации давления и скорости в потоке воды.
1. Ламинарным называется слоистое течение без перемешивания частиц жидкости и без пульсации скорости и давления. При ламинарном течении жидкости в прямой трубе постоянного сечения все линии тока направлены параллельно оси трубы, при этом отсутствуют поперечные перемещения частиц жидкости.
2. Турбулентным называется течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости с пульсациями скоростей и давлений. Наряду с основным продольным перемещением жидкости наблюдаются поперечные перемещения и вращательные движения отдельных объемов жидкости. 3. Переход от ламинарного режима к турбулентному наблюдается при определенной скорости движения жидкости. Эта скорость называется критической (Vкр=kv/d) .
Значение этой скорости прямо пропорционально кинематической вязкости жидкости v и обратно пропорционально диаметру трубы d .
4. Входящий в эту формулу безразмерный коэффициент k одинаков для всех жидкостей и газов, а также для любых диаметров труб. Этот коэффициент называется критическим числом Рейнольдса Reкр и определяется следующим образом:
Reкр = Vкрd/v = pVкрd/μ ≈ 2300-2320
Как вычисляется число Рейнольдса?
Критерий подобия Рейнольдса (число Рейнольдса) позволяет судить о режиме течения жидкости в трубе. Число (критерий) Рейнольдса Re - мера отношения силы инерции к силе трения
Re = Vd/v = pVd/μ, где μ-динамич.коэф.вязкости, v = μ/p,
При Re < Reкр = 2320 течение является ламинарным;
Re > 3800-4200 течение турбулентное.
Зависимости справедливы только для круглых труб.
При увеличении скорости растут силы инерции . Силы трения при этом больше сил инерции и до некоторых пор выпрямляют траектории струек
При некоторой скорости vкр:
Сила инерции Fи > силы трения Fтр, поток становится турбулентным
Уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной жидкости, его физический смысл.
Приведем уравнения Эйлера к виду, удобному для интегрирования, умножив соответственно на dx, dy,
dz и сложив:
Получаем
С учетом, что
-полный дифференциал давления
Окончательное выражение:
Если жидкость находится только под действием силы тяжести и ее плотность неизменна, то
Окончательно
уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости
Уравнение Бернулли для установившегося движения вязкой жидкости.
Распределение скоростей:
1 - элементарная струйка; идеальная жидкость;
2 - реальная (вязкая) жидкость
При движении реальной вязкой жидкости возникают силы трения и вихри, на преодоление которых жидкость затрачивает энергию.
В результате полная удельная энергия жидкости в сечении 1-1 будет больше полной удельной энергии в сечении 2-2 на величину потерянной энергии
Здесь
V 1,2 - средняя скорость потока в сечениях 1,2;
hW1,2 = hпот 1-2 - потерянный напор потери напора между сечениями 1-2;
α1,2 - безразмерный коэффициент Кориолиса - отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии потока в том же сечении при равномерном распределении скоростей.
Таким образом, уровень первоначальной энергии, которой обладает жидкость в первом сечении, для второго сечения будет складываться из четырех составляющих: геометрической высоты, пьезометрической высоты, скоростной высоты и потерянного напора между сечениями 1-1 и 2-2
Скорость течения вязкой жидкости в длинной трубке
: v = (ΔP / η) · R 2 / (8 · l)
, где ΔP
— разность давлений на концах трубки, η
— вязкость жидкости или газа (сильно зависит от температуры), R
— внутренний радиус трубки, l
— её длина, l
>> R
.
Коэффициенты Кориолиса . Величина коэффициентов для ламинарного и турбулентного режимов течения.
Коэффициент Кориолиса - отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии потока в том же сечении при равномерном распределении скоростей.
Мощность элементарной струйки:
Для потока
Разделив полученное выражение на и учитывая, что (удельная мощность на 1 Н
веса жидкости = средний напор в сечении Нср
) получаем: 
Здесь ? - коэффициент Кориолиса.
При равномерном распределении скоростей α =1 (элементарная струйка/идеальная жидкость),
при неравномерном α>1. V - средняя скорость в живом сечении .
- коэффициент Кориолиса для ламинарного режима.
- коэффициент Кориолиса для турбулентного режима (стремится к 1,0 при увеличении Re)
Рациональный выбор сечений для решения уравнения Бернулли.
Сечения выбираются всегда перпендикулярно направлению движения жидкости и должны располагаться на прямолинейных участках потока
Одно из расчетных сечений необходимо брать там, где нужно определить давление р , высоту z или скорость V , второе, где величины р , z , и V известны
Нумеровать расчетные сечения следует так, чтобы жидкость двигалась от сечения 1-1 к сечению 2-2
Плоскость сравнения 0-0 - любая горизонтальная плоскость. Для удобства её проводят через центр тяжести одного из сечений
Практическое применение уравнения Бернулли: трубка Пито.
Трубка Пито - прибор для измерения скорости в точках потока.
Составив уравнение Бернулли для сечений a-a и b-b , получим
.
Отсюда 
Практическое применение уравнения Бернулли: расходомер Вентури.
а) Пренебрегая потерями напора и считая z1 = z2 , напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2:
б) Из уравнения неразрывности
в) Из уравнения пьезометра
Решая совместно, получаем:
Энергетическое толкование уравнения Бернулли.
Энергетических характеристик жидкости. Суммарной энергетической характеристикой жидкости является её гидродинамический напор.
С физической точки зрения это отношение величины механической энергии к величине веса жидкости, которая этой энергией обладает. Таким образом, гидродинамический напор нужно понимать как энергию единицы веса жидкости. И для идеальной жидкости эта величина постоянна по длине. Таким образом, физический смысл уравнения Бернулли это закон сохранения энергии для движущейся жидкости .
Здесь с энергетической точки зрения (в единицах энергии, Дж/кг) gz — удель-ная потенциальная энергия положения; rР/ — удельная потенциальная энергия давления; gz + rР/ — удельная потенциальная энергия; u 2 /2 — удельная кинети-ческая энергия; и — скорость элементарной струйки идеальной жидкости.
Умножив все члены уравнения на удельный вес жидкости g , получим:
gz - весовое давление, Па; P — гидродинамическое давление, Па; иr 2 /2 — динамическое давление Па; Hg — полное давление, Па
Геометрическое толкование уравнения Бернулли.
Положение любой частицы жидкости относительно некоторой произвольной линии нулевого уровня 0-0 определяется вертикальной координатой Z . Для реальных гидравлических систем это может быть уровень, ниже которого жидкость из данной гидросистемы вытечь не может. Например, уровень пола цеха для станка или уровень подвала дома для домашнего водопровода.
Все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность длины и их можно изобразить графически.
Значения - нивелирную, пьезометрическую и скоростную высоты можно определить для каждого сечения элементарной струйки жидкости. Геометрическое место точек, высоты которых равны , называется пьезометрической линией . Если к этим высотам добавить скоростные высоты, равные , то получится другая линия, которая называется гидродинамической или напорной линией .
Из уравнения Бернулли для струйки невязкой жидкости (и графика) следует, что гидродинамический напор по длине струйки постоянен.
Линия полного напора и ее построение.
Физический смысл уравнения Бернулли.
Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.
Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела почти всегда в точности равна нулю (кроме случаев отрыва струй при некоторых редких условиях).
закон Бернулли объясняет эффект притяжения между телами, находящимися на границе потока движущейся жидкости (газа). Иногда это притяжение может создавать угрозу безопасности. Например, при движении скоростного поезда «Сапсан» (скорость движения более 200 км/час) для людей на платформах возникает опасность сброса под поезд.Аналогично «затягивающая сила» возникает при движении судов параллельным курсом: например, подобные инциденты происходили с лайнером «Олимпик».
Влияние эпюры скоростей в канале на удельную кинетическую энергию потока. Ее учет в уравнении Бернулли.
Кавитация, причины, условия возникновения, меры борьбы с кавитацией. Определение возможности кавитации с помощью уравнения Бернулли.
Кавитация - явление, возникающее в жидкости при высоких скоростях движения жидкости, т.е. при малых давлениях. Кавитация - нарушение сплошности жидкости с образованием паровых и газовых пузырей (каверн), вызванное падением статического давления жидкости ниже давления насыщенных паров этой жидкости при данной температуре.
p2 = pнп = f(t) - условие возникновения кавитации
Меры борьбы с кавитацией:
Снижение скорости жидкости в трубопроводе;
Уменьшение перепадов диаметров трубопровода;
Повышение рабочего давления в гидросистемах (наддув баков сжатым газом);
Установка всасывающего отверстия насоса не выше допускаемой высоты всасывания (из паспорта насоса);
Применение кавитационно-стойких материалов.
Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 потока реальной жидкости:
. Отсюда 
Правила применения уравнения Бернулли.
Выбираем два сечения потока: 1-1 и 2-2, а также горизонтальную плоскость отсчета 0-0 и записываем в общем виде уравнение Бернулли.
Плоскость сравнения 0-0 - любая горизонтальная плоскость. Для удобства её проводят через центр тяжести одного из сечений