Четни и нечетни линейни функции. Четни и нечетни функции

- (мат.) Функция y = f (x) се извиква дори и да не се променя, когато независимата променлива променя само знака, тоест ако f (x) = f (x). Ако f (x) = f (x), тогава функцията f (x) се нарича нечетна. Например, y = cosx, y = x2 ... ...

F (x) = x е пример за нечетна функция. f (x) = x2 е пример за четна функция. f (x) = x3 ... Уикипедия

Функция, отговаряща на равенството f (x) = f (x). Вижте четни и нечетни функции... Голяма съветска енциклопедия

F (x) = x е пример за нечетна функция. f (x) = x2 е пример за четна функция. f (x) = x3 ... Уикипедия

Специални функции, въведени от френския математик Е. Матийо през 1868 г. при решаване на задачи за трептене на елипсовидна мембрана. М. е. се използват и при изследване на разпространението електромагнитни вълнив елипсовиден цилиндър... Голяма съветска енциклопедия

Искането за "грях" е пренасочено тук; вижте и други значения. Заявката "sec" е пренасочена тук; вижте и други значения. Заявката за Sinus се пренасочва тук; вижте и други значения ... Уикипедия

Функцията се нарича четна (нечетна), ако за всяко и равенството

Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста
.

Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.

Пример 6.2.Изследвайте за четност или нечетност на функция

1)
; 2)
; 3)
.

Решение.

1) Функцията е дефинирана в
... намирам
.

Тези.
... Това означава, че тази функция е четна.

2) Функцията е дефинирана в

Тези.
... Следователно тази функция е странна.

3) функцията е дефинирана за, т.е. за

,
... Следователно функцията не е нито четна, нито нечетна. Нека го наречем обща функция.

3. Изследване на функцията за монотонност.

Функция
се нарича нарастващ (намаляващ) на някакъв интервал, ако в този интервал всяка по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма (по-малка) стойност на функцията.

Функциите, които се увеличават (намаляват) на определен интервал се наричат монотонни.

Ако функцията
диференцируеми на интервала
и има положителна (отрицателна) производна
, след това функцията
нараства (намалява) в този интервал.

Пример 6.3... Намерете интервали на монотонност на функциите

1)
; 3)
.

Решение.

1) Тази функция е дефинирана по цялата числова ос. Да намерим производната.

Производната е нула, ако
и
... Област на дефиниция - числова ос, разделена с точки
,
на интервали. Нека определим знака на производната във всеки интервал.

В интервала
производната е отрицателна, функцията намалява на този интервал.

В интервала
производната е положителна, следователно, функцията нараства на този интервал.

2) Тази функция е дефинирана, ако
или

Определете знака на квадратния трином във всеки интервал.

По този начин, домейнът на функцията

Намерете производната
,
, ако
, т.е.
, но
... Нека определим знака на производната в интервалите
.

В интервала
производната е отрицателна, следователно функцията намалява на интервала
... В интервала
производната е положителна, функцията нараства на интервала
.

4. Изследване на функцията за екстремум.

Точка
се нарича максимална (минимална) точка на функцията
ако има такова съседство на точката това за всички
от тази махала неравенството

.

Максималните и минималните точки на функция се наричат крайни точки.

Ако функцията
в точката има екстремум, то производната на функцията в тази точка е нула или не съществува (необходимо условие за съществуването на екстремум).

Точките, в които производната е нула или не съществува, се наричат критични.

5. Достатъчни условия за съществуване на екстремум.

Правило 1... Ако при преминаване (отляво надясно) през критичната точка производно
променя знака от "+" на "-", след това в точката функция
има максимум; ако от "-" до "+", тогава минимумът; ако
не променя знака, значи няма екстремум.

Правило 2... Нека в точката
първа производна на функция
е нула
, а втората производна съществува и е различна от нула. Ако
, тогава Това е максималната точка, ако
, тогава Това е минималната точка на функцията.

Пример 6.4 ... Разгледайте максималните и минималните функции:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Решение.

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на интервала
.

Намерете производната
и решете уравнението
, т.е.
.Оттук
- критични точки.

Нека определим знака на производната в интервалите,
.

При пресичане на точки
и
производната променя знака от "-" на "+", следователно, съгласно правило 1
- точки минимум.

При пресичане на точка
следователно производната променя знака от "+" на "-".
Това е максималната точка.

,
.

2) Функцията е дефинирана и непрекъсната в интервала
... Намерете производната
.

Решаване на уравнението
, намирам
и
- критични точки. Ако знаменателят
, т.е.
, то производната не съществува. Така,
Това е третата критична точка. Нека определим знака на производната в интервалите.

Следователно функцията има минимум в точката
, максимум в точки
и
.

3) Функцията е дефинирана и непрекъсната, ако
, т.е. при
.

Намерете производната

Нека открием критичните точки:

Точков квартал
не принадлежат към областта на дефиницията, така че не са толкова крайни. Така че, нека разгледаме критичните точки
и
.

4) Функцията е дефинирана и непрекъсната на интервала
... Използваме правило 2. Намерете производната
.

Нека намерим критичните точки:

Намерете втората производна
и определете неговия знак в точките

В точки
функцията има минимум.

В точки
функцията има максимум.

дориако за всички \ (x \) от неговата област на дефиниция е вярно: \ (f (-x) = f (x) \).

Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста \ (y \):

Пример: функцията \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) е четна, защото \ (f (-x) = (- x) ^ 2 + \ cos ((- x)) = x ^ 2 + \ cos x = f (x) \).

\ (\ blacktriangleright \) Извиква се функцията \ (f (x) \). странноако за всички \ (x \) от неговата област на дефиниция е вярно: \ (f (-x) = - f (x) \).

Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото:

Пример: функцията \ (f (x) = x ^ 3 + x \) е нечетна, защото \ (f (-x) = (- x) ^ 3 + (- x) = - x ^ 3-x = - (x ^ 3 + x) = - f (x) \).

\ (\ blacktriangleright \) Функции, които не са нито четни, нито нечетни, се наричат общи функции. Такава функция винаги може да бъде еднозначно представена като сума от четна и нечетна функция.

Например, функцията \ (f (x) = x ^ 2-x \) е сумата от четна функция \ (f_1 = x ^ 2 \) и нечетна \ (f_2 = -x \).

\ (\ черен триъгълник вдясно \) Някои свойства:

1) Произведението и частното на две функции с една и съща четност е четна функция.

2) Произведението и частното на две функции с различна четност е нечетна функция.

3) Сумата и разликата на четните функции е четна функция.

4) Сумата и разликата на нечетните функции е нечетна функция.

5) Ако \ (f (x) \) е четна функция, тогава уравнението \ (f (x) = c \ (c \ in \ mathbb (R) \)) има уникален корен, ако и само ако \ ( x = 0 \).

6) Ако \ (f (x) \) е четна или нечетна функция и уравнението \ (f (x) = 0 \) има корен \ (x = b \), тогава това уравнение задължително ще има втора корен \ (x = -b \).

\ (\ blacktriangleright \) Функция \ (f (x) \) се нарича периодична на \ (X \), ако \ (f (x) = f (x + T) \), където \ (x, x + T \ в X \). Най-малкият \ (T \), за който важи това равенство, се нарича основен (главен) период на функцията.

Периодичната функция има произволно число от вида \ (nT \), където \ (n \ в \ mathbb (Z) \) също ще бъде период.

Пример: всеки тригонометрична функцияе периодичен;
за функциите \ (f (x) = \ sin x \) и \ (f (x) = \ cos x \), главният период е \ (2 \ pi \), за функциите \ (f (x) = \ mathrm ( tg) \, x \) и \ (f (x) = \ mathrm (ctg) \, x \) главният период е \ (\ pi \).

За да построите графика на периодична функция, можете да построите нейната графика върху всеки сегмент с дължина \ (T \) (главен период); тогава графиката на цялата функция се завършва чрез изместване на конструираната част с цял брой периоди надясно и наляво:

\ (\ blacktriangleright \) Домейнът \ (D (f) \) на функция \ (f (x) \) е набор, състоящ се от всички стойности \ (x \), за които функцията е значима (дефинирана) .

Пример: функцията \ (f (x) = \ sqrt x + 1 \) има обхват: \ (x \ in

Задача 1 # 6364

Ниво на задачата: Равно на изпита

За какви стойности на параметъра \ (a \) уравнението

има единственото решение?

Обърнете внимание, че тъй като \ (x ^ 2 \) и \ (\ cos x \) са четни функции, тогава ако уравнението има корен \ (x_0 \), то също ще има корен \ (- x_0 \).
Наистина, нека \ (x_0 \) е корен, тоест равенството \ (2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \)надясно. Замяна \ (- x_0 \): \ (2 (-x_0) ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos (-x_0)) + a ^ 2 = 2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \).

По този начин, ако \ (x_0 \ ne 0 \), тогава уравнението вече ще има поне два корена. Следователно, \ (x_0 = 0 \). Тогава:

Получихме две стойности за параметъра \ (a \). Имайте предвид, че използвахме факта, че \ (x = 0 \) е точно коренът на оригиналното уравнение. Но никога не сме използвали факта, че той е единственият. Следователно е необходимо да се заменят получените стойности на параметъра \ (a \) в оригиналното уравнение и да се провери за кой конкретен \ (a \) коренът \ (x = 0 \) наистина ще бъде уникален.

1) Ако \ (a = 0 \), тогава уравнението приема формата \ (2x ^ 2 = 0 \). Очевидно това уравнение има само един корен \ (x = 0 \). Следователно стойността \ (a = 0 \) ни подхожда.

2) Ако \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \), тогава уравнението приема формата \ Пренаписваме уравнението като \ Защото \ (- 1 \ leqslant \ cos x \ leqslant 1 \), тогава \ (- \ mathrm (tg) \, 1 \ leqslant \ mathrm (tg) \, (\ cos x) \ leqslant \ mathrm (tg) \, 1 \)... Следователно стойностите на дясната страна на уравнението (*) принадлежат на сегмента \ ([- \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1; \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1] \).

Тъй като \ (x ^ 2 \ geqslant 0 \), лявата страна на уравнението (*) е по-голяма или равна на \ (0+ \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \).

По този начин равенството (*) може да бъде валидно само когато двете страни на уравнението са \ (\ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \). Това означава, че \ [\ начало (случаи) 2x ^ 2 + \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \\ \ mathrm (tg) \, 1 \ cdot \ mathrm (tg) \ , (\ cos x) = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \ край (случаи) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ начало (случаи) x = 0 \\ \ mathrm (tg) \, (\ cos x) = \ mathrm (tg) \, 1 \ край (случаи) \ quad \ лява стрелка надясно \ quad x = 0 \]Следователно стойността \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \) ни подхожда.

Отговор:

\ (a \ in \ (- \ mathrm (tg) \, 1; 0 \) \)

Мисия 2 # 3923

Ниво на задачата: Равно на изпита

Намерете всички стойности на параметъра \ (a \), за всяка от които графиката на функцията \

симетрични по отношение на произхода.

Ако графиката на функция е симетрична спрямо началото, тогава такава функция е нечетна, тоест \ (f (-x) = - f (x) \) важи за всяко \ (x \) от областта на функция. По този начин е необходимо да се намерят онези стойности на параметъра, за които \ (f (-x) = - f (x). \)

\ [\ начало (подравнено) & 3 \ mathrm (tg) \, \ наляво ( - \ dfrac (ax) 5 \ надясно) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ наляво (3 \ mathrm (tg) \, \ наляво (\ dfrac (ax) 5 \ надясно) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ надясно) \ quad \ Rightarrow \ quad -3 \ mathrm (tg) \ , \ dfrac (ax) 5 + 2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \ mathrm (tg) \, \ left (\ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ надясно) \ quad \ Rightarrow \\ \ Rightarrow \ quad & \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ sin \ dfrac (8 \ pi a - 3x) 4 = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad2 \ sin \ dfrac12 \ наляво (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ надясно) \ cdot \ cos \ dfrac12 \ left (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4- \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin (2 \ pi a) \ cdot \ cos \ frac34 x = 0 \ край (подравнен) \]

Последното уравнение трябва да бъде изпълнено за всички \ (x \) от областта \ (f (x) \), следователно, \ (\ sin (2 \ pi a) = 0 \ Стрелка надясно a = \ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \).

Отговор:

\ (\ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \)

Мисия 3 # 3069

Ниво на задачата: Равно на изпита

Намерете всички стойности на параметъра \ (a \), за всяко от които уравнението \ има 4 решения, където \ (f \) е четна периодична функция с период \ (T = \ dfrac (16) 3 \ ) дефинирана върху цялата числова права и \ (f (x) = ax ^ 2 \) за \ (0 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83. \)

(Задача от абонати)

Тъй като \ (f (x) \) е четна функция, нейната графика е симетрична спрямо оста на ординатите, следователно за \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant 0 \)\ (f (x) = ax ^ 2 \). По този начин, за \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83 \), и това е отсечка с дължина \ (\ dfrac (16) 3 \), функция \ (f (x) = ax ^ 2 \).

1) Нека \ (a> 0 \). Тогава графиката на функцията \ (f (x) \) ще изглежда така:

След това, за да може уравнението да има 4 решения, е необходимо графиката \ (g (x) = | a + 2 | \ cdot \ sqrtx \) да премине през точката \ (A \):

Следователно, \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt8 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ start (събрано) \ start (подравнено) & 9 (a + 2) = 32a \\ & 9 (a +2) = - 32a \ край (подравнен) \ край (събран) \ дясно. \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ начало (събран) \ начало (подравнен) & a = \ dfrac (18) (23) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ край (подравнен) \ край (събран) \ вдясно \]Тъй като \ (a> 0 \), то \ (a = \ dfrac (18) (23) \) е подходящ.

2) Нека \ (a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Необходимо е графиката \ (g (x) \) да минава през точка \ (B \): \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt (-8) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ start (събрано) \ begin (подравнено) & a = \ dfrac (18) ( 23 ) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ край (подравнен) \ край (събран) \ вдясно. \]Тъй като \ (а<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Случаят, когато \ (a = 0 \) не се вписва, оттогава \ (f (x) = 0 \) за всички \ (x \), \ (g (x) = 2 \ sqrtx \) и уравнението ще има само 1 корен.

Отговор:

\ (a \ в \ ляв \ (- \ dfrac (18) (41); \ dfrac (18) (23) \ вдясно \) \)

Мисия 4 # 3072

Ниво на задачата: Равно на изпита

Намерете всички стойности \ (a \), за всяка от които уравнението \

има поне един корен.

(Задача от абонати)

Пренаписваме уравнението като \ и помислете за две функции: \ (g (x) = 7 \ sqrt (2x ^ 2 + 49) \) и \ (f (x) = 3 | x -7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \ ).
Функцията \ (g (x) \) е четна, има минимална точка \ (x = 0 \) (освен това \ (g (0) = 49 \)).
Функцията \ (f (x) \) за \ (x> 0 \) е намаляваща, а за \ (x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Всъщност за \ (x> 0 \) вторият модул ще се разшири положително (\ (| x | = x \)), следователно, независимо от това как ще бъде разширен първият модул, \ (f (x) \) ще бъде равно на \ (kx + A \), където \ (A \) е израз от \ (a \), а \ (k \) е или \ (- 9 \), или \ (- 3 \). За \ (x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Намерете стойността \ (f \) в максималната точка: \

За да може уравнението да има поне едно решение, графиките на функциите \ (f \) и \ (g \) трябва да имат поне една пресечна точка. Следователно, имате нужда от: \ \\]

Отговор:

\ (a \ в \ (- 7 \) \ чаша \)

Задача 5 # 3912

Ниво на задачата: Равно на изпита

Намерете всички стойности на параметъра \ (a \), за всяка от които уравнението \

има шест различни решения.

Нека направим замяната \ ((\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t \), \ (t> 0 \). Тогава уравнението приема формата \ Постепенно ще запишем условията, при които първоначалното уравнение ще има шест решения.
Имайте предвид, че квадратното уравнение \ ((*) \) може да има най-много две решения. Всяко кубично уравнение \ (Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D = 0 \) може да има най-много три решения. Следователно, ако уравнението \ ((*) \) има две различни решения (положително !, тъй като \ (t \) трябва да е по-голямо от нула) \ (t_1 \) и \ (t_2 \), тогава, след като направите обратното промяна, получаваме: \ [\ наляво [\ начало (събран) \ начало (подравнен) & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t_1 \\ & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 +4) = t_2 \ край (подравнен) \ край (събран) \ вдясно. \]Тъй като всяко положително число може да бъде представено като \ (\ sqrt2 \) до известна степен, напр. \ (t_1 = (\ sqrt2) ^ (\ log _ (\ sqrt2) t_1) \), тогава първото уравнение от множеството ще бъде пренаписано като \ Както вече казахме, всяко кубично уравнение има най -много три решения, следователно всяко уравнение от множеството ще има най -много три решения. Това означава, че целият набор ще има не повече от шест решения.
Това означава, че за да има шест решения на оригиналното уравнение, квадратното уравнение \ ((*) \) трябва да има две различни решения и всяко получено кубично уравнение (от набора) трябва да има три различни решения (и да няма решение на едно уравнение трябва да съвпада с кой - или с решението на втория!)
Очевидно, ако квадратното уравнение \ ((*) \) има едно решение, тогава няма да получим шест решения на оригиналното уравнение.

Така планът за решение става ясен. Нека запишем условията, които трябва да бъдат изпълнени, точка по точка.

1) За да има уравнението \ ((*) \) две различни решения, неговият дискриминант трябва да бъде положителен: \

2) Също така трябва и двата корена да са положителни (тъй като \ (t> 0 \)). Ако произведението на два корена е положително и тяхната сума е положителна, тогава самите корени ще бъдат положителни. Следователно, имате нужда: \ [\ начало (случаи) 12-a> 0 \\ - (a-10)> 0 \ край (случаи) \ quad \ Leftrightarrow \ quad a<10\]

По този начин вече сме си осигурили два различни положителни корена \ (t_1 \) и \ (t_2 \).

3) Нека да разгледаме едно такова уравнение \ За кое \ (t \) ще има три различни решения?
Помислете за функцията \ (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \).
Може да се факторизира: \ Следователно, неговите нули са \ (x = -1; 2 \).
Ако намерим производната \ (f "(x) = 3x ^ 2-6x \), тогава получаваме две точки на екстремум \ (x_ (max) = 0, x_ (min) = 2 \).
Следователно графиката изглежда така:

Виждаме, че всяка хоризонтална линия \ (y = k \), където \ (0 \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t \)има три различни решения, е необходимо \ (0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
По този начин имате нужда от: \ [\ начало (случаи) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Нека също веднага забележим, че ако числата \ (t_1 \) и \ (t_2 \) са различни, тогава числата \ (\ log _ (\ sqrt2) t_1 \) и \ (\ log _ (\ sqrt2) t_2 \) ще бъдат различни, следователно, уравненията \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_1 \)и \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_2 \)ще има несъответстващи корени.
Системата \ ((**) \) може да бъде пренаписана, както следва: \ [\ начало (случаи) 1

По този начин ние определихме, че и двата корена на уравнението \ ((*) \) трябва да лежат в интервала \ ((1; 4) \). Как пишеш това условие?
Няма да изписваме корените изрично.
Да разгледаме функцията \ (g (t) = t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \). Неговата графика е парабола с клони нагоре, която има две пресечни точки с оста на абсцисата (записахме това условие в точка 1)). Как трябва да изглежда неговата графика, така че точките на пресичане с оста на абсцисата да са в интервала \ ((1; 4) \)? Така:

Първо, стойностите \ (g (1) \) и \ (g (4) \) на функцията в точките \ (1 \) и \ (4 \) трябва да са положителни, и второ, върхът на параболата \ (t_0 \ ) също трябва да е в диапазона \ ((1; 4) \). Следователно можем да напишем системата: \ [\ начало (случаи) 1 + a-10 + 12-a> 0 \\ 4 ^ 2 + (a-10) \ cdot 4 + 12-a> 0 \\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\ (a \) винаги има поне един корен \ (x = 0 \). Следователно, за да се изпълни условието на задачата, е необходимо уравнението \

имаше четири различни корена, различни от нула, представляващи, заедно с \ (x = 0 \), аритметична прогресия.

Обърнете внимание, че функцията \ (y = 25x ^ 4 + 25 (a-1) x ^ 2-4 (a-7) \) е четна, така че ако \ (x_0 \) е коренът на уравнението \ ((* ) \ ), тогава \ (- x_0 \) също ще бъде негов корен. Тогава е необходимо корените на това уравнение да са числа, подредени във възходящ ред: \ (- 2d, -d, d, 2d \) (след това \ (d> 0 \)). Тогава тези пет числа ще образуват аритметична прогресия (с разликата \ (d \)).

За да бъдат тези корени числата \ (- 2d, -d, d, 2d \), е необходимо числата \ (d ^ (\, 2), 4d ^ (\, 2) \) да бъдат корените на уравнението \ (25t ^ 2 +25 (a-1) t-4 (a-7) = 0 \). Тогава по теоремата на Виета:

Пренаписваме уравнението като \ и разгледайте две функции: \ (g (x) = 20a-a ^ 2-2 ^ (x ^ 2 + 2) \) и \ (f (x) = 13 | x | -2 | 5x + 12a | \) ...
Функцията \ (g (x) \) има максимална точка \ (x = 0 \) (освен това, \ (g _ (\ text (vert)) = g (0) = - a ^ 2 + 20a -4 \)):
\ (g "(x) = - 2 ^ (x ^ 2 + 2) \ cdot \ ln 2 \ cdot 2x \)... Производна нула: \ (x = 0 \). За \ (x<0\) имеем: \(g">0 \), за \ (x> 0 \): \ (g "<0\) .
Функцията \ (f (x) \) за \ (x> 0 \) се увеличава, а за \ (x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Всъщност, за \ (x> 0 \) първият модул ще се отвори положително (\ (| x | = x \)), следователно, независимо от начина на отваряне на втория модул, \ (f (x) \) ще бъде равно към \ (kx + A \), където \ (A \) е израз от \ (a \), а \ (k \) е равно на или (13-10 = 3 \), или \ (13 + 10 = 23 \). За \ (x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Намерете стойността \ (f \) в минималната точка: \

За да може уравнението да има поне едно решение, графиките на функциите \ (f \) и \ (g \) трябва да имат поне една пресечна точка. Следователно, имате нужда от: \ Решавайки този набор от системи, получаваме отговора: \\]

Отговор:

\ (a \ в \ (- 2 \) \ чаша \)

Скриване Покажи

Начини за задаване на функция

Нека функцията се дава по формулата: y = 2x ^ (2) -3. Като присвоите всякакви стойности на независимата променлива x, можете да изчислите съответните стойности на зависимата променлива y, като използвате тази формула. Например, ако x = -0,5, тогава използвайки формулата, откриваме, че съответната стойност на y е y = 2 \ cdot (-0,5) ^ (2) -3 = -2,5.

Като вземете всяка стойност, приета от аргумента x във формулата y = 2x ^ (2) -3, можете да изчислите само една стойност на функцията, която й съответства. Функцията може да бъде представена като таблица:

х	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Използвайки тази таблица, можете да разберете, че за стойността на аргумента −1 ще съответства стойността на функцията −3; и стойността x = 2 ще съответства на y = 0 и т.н. Също така е важно да знаете, че само една стойност на функцията съответства на всяка стойност на аргумента в таблицата.

Възможно е също да се дефинират функции с помощта на графики. С помощта на графиката се установява коя стойност на функцията отговаря на определена стойност на x. Най-често това ще бъде приблизителната стойност на функцията.

Четна и нечетна функция

Функцията е равномерна функциякогато f (-x) = f (x) за всяко x от областта. Такава функция ще бъде симетрична спрямо оста Oy.

Функцията е странна функциякогато f (-x) = - f (x) за всяко x от областта. Такава функция ще бъде симетрична спрямо началото на O (0; 0).

Функцията е не дори, нито страннои се обади обща функциякогато не е симетричен спрямо ос или начало.

Нека разгледаме функцията по-долу за паритет:

f (x) = 3x ^ (3) -7x ^ (7)

D (f) = (- \ infty; + \ infty) със симетрична област около началото. f (-x) = 3 \ cdot (-x) ^ (3) -7 \ cdot (-x) ^ (7) = -3x ^ (3) + 7x ^ (7) = - (3x ^ (3) -7x ^ (7)) = -f (x).

Следователно функцията f (x) = 3x ^ (3) -7x ^ (7) е нечетна.

Периодична функция

Функцията y = f (x), в чиято област важи равенството f (x + T) = f (x-T) = f (x) за всяко x, се нарича периодична функцияс период T \ neq 0.

Повторение на графиката на функция върху всеки сегмент от оста на абсцисата, който има дължина T.

Интервалите, където функцията е положителна, тоест f (x)> 0, са сегментите на оста на абсцисата, които съответстват на точките от графиката на функцията, които лежат над оста на абсцисата.

f (x)> 0 включено (x_ (1); x_ (2)) \ чаша (x_ (3); + \ infty)

Пропуски, където функцията е отрицателна, т.е. f (x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f (x)< 0 на (- \ infty; x_ (1)) \ чаша (x_ (2); x_ (3))

Ограничена функция

Ограничено отдолуобичайно е да се извиква функция y = f (x), x \ в X, когато има число A, за което неравенството f (x) \ geq A важи за всяко x \ в X.

Пример за функция, ограничена отдолу: y = \ sqrt (1 + x ^ (2)), тъй като y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) \ geq 1 за всяко x.

Ограничен отгорефункцията y = f (x), x \ в X се извиква, ако съществува число B, за което е изпълнено неравенството f (x) \ neq B за всяко x \ в X.

Пример за функция, ограничена отдолу: y = \ sqrt (1-x ^ (2)), x \ in [-1; 1]тъй като y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) \ neq 1 за всяко x \ в [-1; 1].

Ограниченобичайно е да се извиква функция y = f (x), x \ in X, когато има число K> 0, за което неравенството \ наляво | f (x) \ вдясно | \ neq K за всяко x \ в X.

Пример за ограничена функция: y = \ sin x е ограничена по цялата числова ос, тъй като \ вляво | \ sin x \ дясно | \ neq 1.

Увеличаваща и намаляваща функция

Обичайно е да се говори за функция, която се увеличава през разглеждания интервал като увеличаваща се функциятогава, когато по-голяма стойност на x ще съответства на по-голяма стойност на функцията y = f (x). Оттук следва, че вземайки от разглеждания интервал две произволни стойности на аргумента x_ (1) и x_ (2) и x_ (1)> x_ (2), ще бъде y (x_ (1))> y ( x_ (2)).

Извиква се функцията, която намалява на разглеждания интервал намаляваща функциятогава, когато по-голямата стойност на x ще съответства на по-малката стойност на функцията y (x). Оттук следва, че вземайки от разглеждания интервал две произволни стойности на аргумента x_ (1) и x_ (2) и x_ (1)> x_ (2), ще бъде y (x_ (1))< y(x_{2}) .

Вкоренена функцияобичайно е да се наричат точките, в които функцията F = y (x) пресича оста на абсцисата (те се получават в резултат на решаването на уравнението y (x) = 0).

а) Ако една четна функция се увеличава за x> 0, тогава тя намалява за x< 0

б) Когато четна функция намалява за x> 0, тя се увеличава за x< 0

в) Когато нечетна функция се увеличи за x> 0, тя също се увеличава за x< 0

г) Когато една нечетна функция намалява за x> 0, тогава тя намалява за x< 0

Функционални екстремуми

Минималната точка на функцията y = f (x) е обичайно да се нарича такава точка x = x_ (0), в която съседството й ще има други точки (с изключение на точката x = x_ (0)), а за тях тогава неравенството f ( x)> f (x_ (0)). y_ (min) - обозначение на функцията в точката min.

Максималната точка на функцията y = f (x) е обичайно да наричаме такава точка x = x_ (0), в която съседството й ще има други точки (с изключение на точка x = x_ (0)), а за тях тогава неравенството f ( х)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Необходимо условие

Съгласно теоремата на Ферма: f "(x) = 0, когато функцията f (x), която е диференцируема в точката x_ (0), има екстремум в тази точка.

Достатъчно състояние

Когато знакът на производната се промени от плюс на минус, тогава x_ (0) ще бъде минималната точка;
x_ (0) - ще бъде максимална точка само когато производната смени знака от минус на плюс при преминаване през неподвижната точка x_ (0).

Най-голямата и най-малката стойност на функцията в интервала

Стъпки на изчисление:

Производната f "(x);
Стационарните и критичните точки на функцията се намират и се избират тези, принадлежащи към сегмента;
Стойностите на функцията f (x) се намират в стационарни и критични точки и краища на сегмента. По-малкият от получените резултати ще бъде най-малката стойност на функцията, и още - най-великия.

Функционално изследване.

1) D (y) - Домейн: наборът от всички тези стойности на променливата x. за които алгебричните изрази f (x) и g (x) имат смисъл.

Ако функция е дадена с формула, тогава домейнът се състои от всички стойности на независимата променлива, за която формулата има смисъл.

2) Свойства на функцията: четни / нечетни, периодичност:

страннои дорисе извикват функции, чиито графики имат симетрия по отношение на промяната на знака на аргумента.

Странна функция- функция, която променя стойността си на противоположна, когато знакът на независимата променлива се промени (симетричен около центъра на координатите).

Дори функция- функция, която не променя стойността си при промяна на знака на независимата променлива (симетрична спрямо ординатата).

Нито четна, нито нечетна функция (обща функция)- функция, която няма симетрия. Тази категория включва функции, които не се вписват в предишните 2 категории.

Извикват се функции, които не принадлежат към нито една от горните категории нито четно, нито нечетно(или общи функции).

Странни функции

Нечетна степен където е произволно цяло число.

Дори функции

Дори степен, където е произволно цяло число.

Периодична функция- функция, която повтаря своите стойности на някакъв редовен интервал от аргумента, тоест не променя стойността си, когато към аргумента се добави някакво фиксирано число, различно от нула ( месечен цикълфункции) в цялата област на дефиниция.

3) Нулите (корените) на функцията са точките, където тя изчезва.

Намиране на пресечната точка на графика с ос Ой... За да направите това, трябва да изчислите стойността е(0). Намерете също точките на пресичане на графиката с оста Вол, защо да намерите корените на уравнението е(х) = 0 (или се уверете, че няма корени).

Точките, в които графиката пресича оста, се наричат нули на функции... За да намерите нулите на функция, трябва да решите уравнението, тоест да намерите тези "x" стойностипри което функцията изчезва.

4) Интервали за постоянство на знаците, знаци в тях.

Пропуски, където f (x) запазва знака.

Интервалът на постоянството е интервалът във всяка точка от коитофункцията е положителна или отрицателна.

НАД абсцисата.

ПОД оста.

5) Непрекъснатост (точки на прекъсване, символ на прекъсване, асимптоти).

Непрекъсната функция- функция без "скокове", тоест такава, при която малки промени в аргумента водят до малки промени в стойността на функцията.

Подвижни точки на прекъсване

Ако границата на функцията съществува, но функцията не е дефинирана в този момент или ограничението не съвпада със стойността на функцията в тази точка:

тогава точката се извиква точка на премахване на прекъсванефункции (при сложен анализ, подвижна единична точка).

Ако "коригираме" функцията в точката на премахване на прекъсване и поставяме , тогава получавате функция, която е непрекъсната в този момент. Такава операция върху функция се нарича чрез разширяване на дефиницията на функция до непрекъснатаили чрез разширяване на дефиницията на функция чрез непрекъснатост, което оправдава името на точката, като точка разполагаемпрекъсване.

Точки на прекъсване от първи и втори вид

Ако дадена функция има прекъсване в дадена точка (тоест границата на функция в дадена точка отсъства или не съвпада със стойността на функция в дадена точка), тогава за числовите функции има две възможни опции свързани със съществуването на числови функции едностранни граници:

ако и двете едностранни граници съществуват и са крайни, тогава такава точка се нарича точка на прекъсване от първия вид... Подвижните точки на прекъсване са точки на прекъсване от първия вид;

ако поне една от едностранните граници не съществува или не е крайна стойност, тогава такава точка се нарича точка на прекъсване от втори вид.

Асимптота - правсъс свойството, че разстоянието от точката на кривата до това правклони към нула, когато точката се отдалечава по клона до безкрайност.

Вертикална

Вертикална асимптота - гранична линия .

По правило при определяне на вертикалните асимптоти те търсят не една граница, а две едностранни (ляво и дясно). Това се прави, за да се определи как се държи функцията, когато се приближава към вертикалната асимптота от различни страни. Например:

Хоризонтална

Хоризонтална асимптота - праввидове, предмет на съществуването лимит

Наклонена

Наклонена асимптота - праввидове, предмет на съществуването граници

Забележка: Функцията може да има най -много две наклонени (хоризонтални) асимптоти.

Забележка: ако поне една от горните две граници не съществува (или е равна на), тогава наклонената асимптота в (или) не съществува.

ако в т. 2.), тогава и границата се намира по формулата на хоризонталната асимптота, .

6) Намиране на интервали на монотонност.Намерете интервалите на монотонност на функция е(х) (тоест интервалите на увеличаване и намаляване). Това става чрез изследване на знака на производната е(х). За да направите това, намерете производната е(х) и решете неравенството е(х) 0. На интервалите, където това неравенство е изпълнено, функцията е(х) се увеличава. Където важи обратното неравенство е(х) 0, функция е(х) намалява.

Намиране на локален екстремум.След като открием интервалите на монотонност, можем веднага да определим точките на локалния екстремум, където увеличението се заменя с намаление, локализирани са локални максимуми и където намалението се заменя с увеличение - локални минимуми. Изчислете стойността на функцията в тези точки. Ако функцията има критични точки, които не са локални точки на екстремум, тогава е полезно да се изчисли стойността на функцията и в тези точки.

Намирането на най-великите и най-малките стойностифункция y = f (x) на отсечката(продължение)

1. Намерете производната на функция: е(х).

2. Намерете точките, в които производната е нула: е(х)=0х 1, х 2 ,...

3. Определете кои точки принадлежат NS 1 ,NS 2 , … сегмент [ а; б]: нека бъде х 1а;б, а х 2а;б .

4. Намерете стойностите на функцията в избраните точки и в краищата на сегмента: е(х 1), е(х 2),..., е(х а),е(х б),

5. Избор на най-големите и най-малките стойности на намерената функция.

Коментирайте. Ако на сегмента [ а; б] има точки на прекъсване, в тях е необходимо да се изчислят едностранни граници и след това да се вземат предвид техните стойности при избора на най-големите и най-малките стойности на функцията.

7) Намиране на интервалите на изпъкналост и вдлъбване... Това става чрез изследване на знака на втората производна е(х). Намерете точките на огъване на кръстовището на изпъкналите и вдлъбнати интервали. Изчислете стойността на функцията в точките на прегъване. Ако функцията има други точки на непрекъснатост (с изключение на точките на прегъване), в които втората производна е равна на 0 или не съществува, тогава в тези точки също е полезно да се изчисли стойността на функцията. След като намери е(х), решаваме неравенството е(х) 0. На всеки от интервалите на решение функцията ще бъде изпъкнала надолу. Решаване на обратното неравенство е(х) 0, намираме интервалите, на които функцията е изпъкнала нагоре (т.е. вдлъбната). Определяме точките на огъване като тези точки, в които функцията променя посоката на изпъкналостта (и е непрекъсната).

Точка на прегъване на функциятае точката, в която функцията е непрекъсната и при преминаване през която тя променя посоката на изпъкналост.

Условия за съществуване

Необходимо условие за съществуването на точка на прегъване:ако функцията е два пъти диференцируема в някаква пробита околност на точката, тогава или .