Отместване на графики на тригонометрични функции. Преобразуване на диаграми
Ако знаете как изглеждат графиките на най-простите елементарни функции или ако знаете как бързо да ги изградите с помощта на характерни точки, вие също така ще можете бързо да изграждате графики на по-сложни функции от същия клас на тяхна основа. За това има правила за трансформиране на графики от функции. Те са лесни за запомняне, но ако все още не сте сигурни в резултата, проверете го за една или две добри точки. Тези правила, разбира се, са общи за всички функции, а следователно не само за изучаваните в училище известен графикпо-нататък ще го наричаме дадено.
Нека е дадена графиката на функцията г = е(х) ... За начертаване на функция
- г = mf(х) , където м> 0 и м≠ 1, трябва да умножите ординатите на точките от дадената графика по м... Тази трансформация се нарича разтяганеизвън оста хс коефициент м, ако м > 1, и компресиякъм оста хако 0< м < 1.
- г = −е(х) е(х) трансформация на симетрияоколо оста х... (Преобразуването на симетрия е огледален образ на права линия.)
- г = е(х) + н , се получава от графиката на функцията е(х) паралелен трансферпоследният по ординатата от нединици нагоре, ако н> 0 и съответно на | н| единици надолу, ако н
- г = е(kx) , където к> 0 и к≠ 1. Необходимата графика на функцията се получава от дадено притисканес фактор ккъм оста г(ако 0< к < 1 указанное "сжатие" фактически является разтяганес коефициент 1/ к)
- г = е(−х) се получава от графиката на функцията е(х) трансформация на симетрияоколо оста г
- г = е(x + l) се получава от графиката на функцията е(х) паралелен трансферпоследно лединици вляво, ако л> 0 и съответно на | л| единици вдясно, ако м < 0.
Например, нека бъде дадена функционалната графика г = √х_ .
За да начертаете други функции, които съдържат аргумент ( х) под знака корен квадратен, ще използваме изброените по-горе правила. Ще повторим дадената графика в новоизчертаните оси "с слаб молив", ще направим по-интензивна необходимата графика, която ще се получи след трансформациите. В бележника излишъкът може да бъде премахнат с гумичка, остава само резултатът от задачата.
| Пример 1а.Функция Plot г = 2√х_
Разтегнат 2 пъти от оста х... Ординатата на всяка точка се е удвоила. |
Пример 1b.Функция Plot г = √х_
/
2
Компресиран наполовина към оста х... Ординатата на всяка точка е намаляла 2 пъти. |
| Пример 3а.Функция Plot г = √х_
+ 2
Паралелно преместени 2 единици нагоре по оста г... Ординатата на всяка точка се е увеличила с 2. |
Пример 3b.Функция Plot г = √х_
− 2
Успоредно се премести с 2 единици надолу по оста г... Ординатата на всяка точка е намаляла с 2 единици. |
| Пример 4а.Функция Plot г = √2х__
Компресиран наполовина към оста г... Абсцисата на всяка точка е намаляла 2 пъти. |
Пример 4b.Функция Plot г = √х/
2___
Разтегнат 2 пъти от оста г... Абсцисата на всяка точка се е удвоила. |
| Пример 6а.Функция Plot г = √х + 2____
Успоредно, преместени 2 единици наляво по оста х... Абсцисата на всяка точка е намаляла с 2 единици. | Пример 6б.Функция Plot г = √х − 2____
Паралелно преместени 2 единици вдясно по оста х... Абсцисата на всяка точка се е увеличила с 2 единици. |
| Пример 2.Функция Plot г = −√х_
х. | Пример 5.Функция Plot г = √−х__
Приложете трансформация на симетрия - обърна се около оста г. |
Имайте предвид, че паралелното преместване на графиката спрямо една от осите във всяка посока е еквивалентно на транслацията на тази ос спрямо графиката в обратна посока. Следователно 3-то и 6-то правило могат да бъдат комбинирани по следния начин: да се начертае функцията
г = е(х − м) + н
трябва да извършите паралелна транслация на цялата координатна равнина, така че началото на новата координатна система х"
г"
имаше смисъл О"
(м;н). Очевидно, вместо да преначертавате графиката два пъти, е по-лесно да преначертаете осите.
В такъв случай м = −3, н= −1. Ако има трудности при идентифицирането на признаците ми н, след това напишете формулата на функцията, така че да съвпада с правилото
г = е(х − м) + н
; г = √х − м _____ + н ; г = √х − (−3)_______ + (−1)Извършваме конструкцията по следния начин. Начертаваме осите на желаната координатна система. Намерете точка с координати (−3; −1). Начертайте през него прави линии, успоредни на главните оси с "блед молив". то спомагателна системакоординати. В тази координатна система (молив) изграждаме графика г = √х_ ... По отношение на основната координатна система това е графиката на функцията г = √х + 3____ − 1. Тоест, ако премахнете молива с гумичка, тогава графиката, която трябваше да бъде построена, ще остане.
Ако трябва да комбинирате само паралелни преводи, за да изградите графика на функция, тогава няма значение в кой ред да ги изпълните и няма значение дали транслацията е оси или криви. Но ако трябва да изградите графика сложна функциякато се използват както трансфер, така и разтягане-компресия и отражения, редът на операциите трябва да се спазва внимателно.
Последователността на трансформациите при изграждане на графики.
Нека е дадена графиката на функцията г = е(х) и трябва да начертаете функцията г = m е(kx + л) + н , където k, l, m, n- числа.
- Записваме формулата на функцията във формата г = m е(k (x + л/ к)) , т.е. изваждаме коефициента при NSв аргумента на функцията.
- Компресираме с фактор кпо оста охкъм оста Ой... (Ако кОй.)
- Ако кОй
- л/ кединици отляво или отдясно (в зависимост от знака, за положително число вляво).
- Разтягаме се с фактор мизвън оста ох(по оста Ой). (Ако мОх.)
- Ако мвол
- Извършваме паралелно прехвърляне (изместване) на получената графика по нединици нагоре или надолу (в зависимост от знака, кога н> 0 нагоре).
Пример 8.Графиката на функциите е зададена г = √х_ ... Функция Plot г = −0,5√3х − 12______ + 2.
1. Записваме формулата на функцията във формата г= −0,5 √3 ( х − 4)_______
+ 2
,
тези. изваждаме коефициента при NSпод знака за корен квадратен, като се има предвид, че 12/3 = 4.
2. Изградете добре позната графика на функцията. ——
3. Правим компресия 3 пъти към оста Ой. ——
4.- (трансформация на симетрия спрямо оста Ойне се изисква, защото к = 3 > 0).
5. Изместете получената диаграма с 4 единици надясно. ——
6. Правим компресия 2 пъти (разтягане с коефициент 0,5) към оста ох. ——
7. Отразете симетрично графиката около оста вол. ——
8. Преместете последните 2 единици нагоре. Имаме необходимия график. ——
Нека проверим резултата по "удобните" точки. Например, х 1 = 4 и х 2 = 16.
г 1 = −0,5√3 4 - 12 _____
+ 2 = 2.
г 2 = −0,5√3 16 - 12 _____
+ 2 = −1.
Точки с координати (4; 2) и (16; −1) наистина принадлежат на последния график.
Паралелен трансфер.
ПРЕХВЪРЛЯНЕ ПО ОРДИНАТНАТА ОС
f (x) => f (x) - b
Нека се изисква да се начертае функцията y = f (x) - b. Лесно е да се види, че ординатите на тази графика за всички стойности на x на | b | единици са по-малки от съответните ординати на графиката на функциите y = f (x) за b> 0 и от | b | повече единици - при b 0 или нагоре при b За да начертаете функцията y + b = f (x), трябва да начертаете функцията y = f (x) и да преместите оста на абсцисата на | b | единици нагоре за b> 0 или за | b | единици надолу при b
ПРЕХВЪРЛЯНЕ ПО ОС АБСЦИСА
f (x) => f (x + a)
Да предположим, че е необходимо да се начертае функцията y = f (x + a). Да разгледаме функцията y = f (x), която в някаква точка x = x1 приема стойността у1 = f (x1). Очевидно функцията y = f (x + a) ще приеме същата стойност в точката x2, чиято координата се определя от равенството x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 - a, като разглежданото равенство е валидно за множеството от всички стойности от областта на функцията. Следователно графиката на функцията y = f (x + a) може да се получи чрез успоредно преместване на графиката на функцията y = f (x) по оста на абсцисата наляво с | a | единици за a> 0 или вдясно с | a | единици за a За да начертаете функцията y = f (x + a), трябва да начертаете функцията y = f (x) и да преместите оста на ординатата на | a | единици вдясно за a> 0 или по | a | единици вляво за a
Примери:
1.y = f (x + a)
2.y = f (x) + b
Отражение.
ИЗГРАЖДАНЕ НА ГРАФИЧЕСКИТЕ ФУНКЦИИ НА ИЗГЛЕДА Y = F (-X)
f (x) => f (-x)
Очевидно функциите y = f (-x) и y = f (x) приемат еднакви стойности в точките, чиито абциси са равни по абсолютна стойност, но противоположни по знак. С други думи, ординатите на графиката на функцията y = f (-x) в областта на положителни (отрицателни) стойности на x ще бъдат равни на ординатите на графиката на функцията y = f ( x) при съответната абсолютна стойност на отрицателните (положителни) стойности на x. Така получаваме следното правило.
За да начертаете функцията y = f (-x), трябва да начертаете функцията y = f (x) и да я отразите около оста на ординатата. Получената графика е графиката на функцията y = f (-x)
ИЗГРАЖДАНЕ НА ГРАФИЧЕСКИТЕ ФУНКЦИИ НА ИЗГЛЕДА Y = - F (X)
f (x) => - f (x)
Ординатите на графиката на функцията y = - f (x) за всички стойности на аргумента са равни по абсолютна стойност, но противоположни по знак на ординатите на графиката на функцията y = f (x) за същите стойности на аргумента. Така получаваме следното правило.
За да начертаете функцията y = - f (x), трябва да начертаете функцията y = f (x) и да я отразите спрямо оста на абсцисата.
Примери:
1.y = -f (x)
2.y = f (-x)
3.y = -f (-x)
Деформация.
ДЕФОРМАЦИЯ НА ГРАФИКАТА ПО ОРДИНАТНАТА ОС
f (x) => k f (x)
Да разгледаме функция от вида y = k f (x), където k> 0. Лесно е да се види, че за равни стойностиаргументът на ординатите на графиката на тази функция ще бъде k пъти по-голям от ординатите на графиката на функцията y = f (x) за k> 1 или 1 / k пъти по-малък от ординатите на графиката на функцията y = f (x) за k За да начертаете функцията y = kf (x) е необходимо да начертаете графиката на функцията y = f (x) и да увеличите нейните ординати с коефициент k за k> 1 (разтегнете графика по ординатата) или намалете нейните ординати с коефициент 1 / k при k
k> 1- разтягане от оста на Ox
0 - компресия към оста OX
ДЕФОРМАЦИЯ НА ГРАФИКАТА ПО ОС АБСЦИСА
f (x) => f (k x)
Нека се изисква да се начертае функцията y = f (kx), където k> 0. Да разгледаме функцията y = f (x), която в произволна точка x = x1 приема стойността y1 = f (x1). Очевидно функцията y = f (kx) приема една и съща стойност в точката x = x2, чиято координата се определя от равенството x1 = kx2 и това равенство е валидно за съвкупността от всички стойности на x от домейнът на функцията. Следователно графиката на функцията y = f (kx) се оказва компресирана (за k 1) по оста на абсцисата спрямо графиката на функцията y = f (x). Така получаваме правилото.
За да начертаете функцията y = f (kx), трябва да начертаете функцията y = f (x) и да намалите абсцисата й с коефициент k за k> 1 (компресирайте графиката по оста на абсцисата) или да увеличите абсцисата й с коефициент 1 / k при k
k> 1- компресия към оста Oy
0 - разтягане от оста OY
Работата е извършена от Александър Чичканов, Дмитрий Леонов под ръководството на T.V. Tkach, S.M. Вязовов, I.V.
© 2014
, Конкурс "Презентация за урока"
Представяне на урока
Назад напред
Внимание! Прегледите на слайдове са само за информационни цели и може да не представляват всички опции за презентация. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
Цели на урока:
Образователни:изследват изместването на графиката на квадратичната функция, определят позицията на графиката в зависимост от стойностите на коефициентите b, c.
Образователни:способност за работа в група, организация.
Развиващи се: умения за изследователска работа, способност за излагане на хипотези, анализиране на получените резултати, систематизиране на получените данни.
Структура на урока
- Организационен момент – 3 минути.
- Изследвания- 20 минути.
- Затвърдяване на изучавания материал – 15 минути.
- Рефлексия - 2 минути.
- Обобщение на урока - 3 минути.
- Домашна работа- 2 минути.
По време на занятията
1. Организационен момент.
Целта на урока е провеждане на изследователска работа. Обект на изследване ще бъдат квадратни функции различен вид... Трябва да определите как коефициентите b, c влияят на графиката на функциите от вида y = x 2 + c, y = (x-b) 2, y = (x-b) 2 + c.
За да изпълните задачата, е необходимо да се разделите на групи (4 групи по 5 души всяка, една група „експерти“, най-подготвените студенти).
Всяка група получава изследователски план<Приложение>, лист формат А3 за регистриране на резултатите.
2. Изследователска работа
.Две групи (ниво A) изследват функции от вида y = x 2 + c, една група (ниво B) изследва функция от вида y = (xb) 2, една група (ниво C) изследва функция y = (xb) 2 + c. Група „Експерти“ разглежда всички функции.
| Функция | Резултат | ||
| 1-ва група | y = x 2 +3; | <Рисунок 10> |  |
| 2-ра група | у = х 2 -5; | <Рисунок 11> |  |
| Група 3 | у = (х-4) 2; | <Рисунок 12> |  |
| 4 група | y = (x-2) 2 +3. | <Рисунок 13> |  |
Работен план
- За да поставите хипотеза, направете предположение как може да изглежда вашата функция.
- Начертайте графиката на изследваните функции (определете върха на параболата (x 0, y 0), задайте 4 точки в таблицата).
- Сравнете получената графика с контролната проба y = x 2.
- Направете заключение (как се е променила позицията на графиката на вашата функция спрямо контролната извадка).
- Попълнете резултатите на лист А3 и ги представете на „експертната“ група.
„Експертната” група сравнява своите резултати с резултатите на други групи, систематизира и обобщава резултатите и прави заключения. При неточности или грешки учителят прави коригиращи коментари.
Съгласуване на резултатите, получени с слайдове номер 2-5.
Всяка квадратична функция y = ax 2 + bx + c може да бъде записана като y = a (x-x 0) 2 + y 0, където x 0 и y 0 се изразяват чрез коефициентите a, b, c. Значи вашите коефициенти b = x 0, c = y 0 са координатите на върха на параболата.
3. Затвърдяване на изучавания материал.
Фронтална работа с класа.
1. Намерете грешка във функционалните графики (Слайдове номер 6-9).
Коефициент b |
Няма грешка |
Снимка 1 |
Снимка 2 |
 |
 |
| y = (x + 5) 2 -1 | y = (x-2) 2 +2 |
| Коефициент b и c | Коефициент b |
| Фигура 3 | Фигура 4 |
 |
 |
, Конкурс "Презентация за урока"
Представяне на урока
Назад напред
Внимание! Прегледите на слайдове са само за информационни цели и може да не представляват всички опции за презентация. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
Цели на урока:
Образователни:изследват изместването на графиката на квадратичната функция, определят позицията на графиката в зависимост от стойностите на коефициентите b, c.
Образователни:способност за работа в група, организация.
Развиващи се: умения за изследователска работа, способност за излагане на хипотези, анализиране на получените резултати, систематизиране на получените данни.
Структура на урока
- Организационен момент – 3 минути.
- Изследователска работа – 20 минути.
- Затвърдяване на изучавания материал – 15 минути.
- Рефлексия - 2 минути.
- Обобщение на урока - 3 минути.
- Домашна работа - 2 минути.
По време на занятията
1. Организационен момент.
Целта на урока е провеждане на изследователска работа. Обект на изследване ще бъдат квадратни функции от различни типове. Трябва да определите как коефициентите b, c влияят на графиката на функциите от вида y = x 2 + c, y = (x-b) 2, y = (x-b) 2 + c.
За да изпълните задачата, е необходимо да се разделите на групи (4 групи по 5 души всяка, една група „експерти“, най-подготвените студенти).
Всяка група получава изследователски план<Приложение>, лист формат А3 за регистриране на резултатите.
2. Изследователска работа
.Две групи (ниво A) изследват функции от вида y = x 2 + c, една група (ниво B) изследва функция от вида y = (xb) 2, една група (ниво C) изследва функция y = (xb) 2 + c. Група „Експерти“ разглежда всички функции.
| Функция | Резултат | ||
| 1-ва група | y = x 2 +3; | <Рисунок 10> |  |
| 2-ра група | у = х 2 -5; | <Рисунок 11> |  |
| Група 3 | у = (х-4) 2; | <Рисунок 12> |  |
| 4 група | y = (x-2) 2 +3. | <Рисунок 13> |  |
Работен план
- За да поставите хипотеза, направете предположение как може да изглежда вашата функция.
- Начертайте графиката на изследваните функции (определете върха на параболата (x 0, y 0), задайте 4 точки в таблицата).
- Сравнете получената графика с контролната проба y = x 2.
- Направете заключение (как се е променила позицията на графиката на вашата функция спрямо контролната извадка).
- Попълнете резултатите на лист А3 и ги представете на „експертната“ група.
„Експертната” група сравнява своите резултати с резултатите на други групи, систематизира и обобщава резултатите и прави заключения. При неточности или грешки учителят прави коригиращи коментари.
Съгласуване на резултатите, получени с слайдове номер 2-5.
Всяка квадратична функция y = ax 2 + bx + c може да бъде записана като y = a (x-x 0) 2 + y 0, където x 0 и y 0 се изразяват чрез коефициентите a, b, c. Значи вашите коефициенти b = x 0, c = y 0 са координатите на върха на параболата.
3. Затвърдяване на изучавания материал.
Фронтална работа с класа.
1. Намерете грешка във функционалните графики (Слайдове номер 6-9).
Коефициент b |
Няма грешка |
Снимка 1 |
Снимка 2 |
 |
 |
| y = (x + 5) 2 -1 | y = (x-2) 2 +2 |
| Коефициент b и c | Коефициент b |
| Фигура 3 | Фигура 4 |
 |
 |
резултати
<Рисунок 7>
<Рисунок 2>
<Рисунок 8>
<Рисунок 9>
Какво съотношение ви помогна да намерите грешката?
2. Съпоставете графиките на функциите според цветовете (слайд номер 10).
Фигура 5
4. Отражение.
Група от „експерти“ отговаря на въпросите:
- Какви грешки допуснаха групите?
- Постигната ли е целта на урока?
- Получените резултати от изследването отговарят ли на хипотезата?
5. Резюме на урока (слайд номер 11)
:Позицията на графиката на функцията y = (x-b) 2 + c се влияе от коефициентите b и c,
Параболата „+ B“ се измества надясно по оста на абсцисата с b единични сегменти,
Параболата „–B“ се измества наляво по оста на абсцисата с b единични сегменти,
Параболата „+ S“ се измества нагоре по оста на ординатата с от единични сегменти,
Параболата "-c" е изместена надолу по ординатата с единични сегменти c.
6. Домашна работа
- Построете графика на квадратична функция с връх в точка A (1; -2), коефициент a = 1.
- Помислете за областта, в която знанията по темата могат да бъдат използвани (практическо приложение).
Преобразуване на функционални графики
В тази статия ще ви запозная с линейните трансформации на графики на функции и ще ви покажа как да използвате тези трансформации от графиката на функция, за да получите графика на функция. 
Линейната трансформация на функция е трансформирането на самата функция и/или нейния аргумент във формата 
както и трансформация, съдържаща аргумента и/или функционалния модул.
Най-големите трудности при конструирането на графики с помощта на линейни трансформации са причинени от следните действия:
- Изолиране на основната функция, всъщност графиката, която трансформираме.
- Определяне на реда на трансформациите.
ИИменно на тези точки ще се спрем по-подробно.
Нека разгледаме по-подробно функцията
Тя се основава на функция. Да го наречем основна функция.
При начертаване на функцията правим трансформацията на графиката на основната функция.
Ако трябваше да извършим трансформации на функцията в същия ред, в който намерихме неговата стойност за определена стойност на аргумента, тогава
Нека разгледаме какви видове линейни трансформации на аргумента и функциите съществуват и как да ги изпълним.
Преобразуване на аргументи.
1.f (x) f (x + b)
1. Изградете графика на функцията
2. Изместете графиката на функцията по оста OX с |b | единици
- ляво, ако b> 0
- вдясно, ако b<0
Нека начертаем функцията
1. Изграждаме графика на функцията
2. Преместете го с 2 единици надясно:
2.f (x) f (kx)
1. Изградете графика на функцията
2. Разделете абсцисите на точките от графиката на k, оставете ординатите на точките непроменени.
Нека начертаем функцията.
1. Изграждаме графика на функцията
2. Всички абциси на точките на графиката се делят на 2, ординатите се оставят непроменени:
3.f (x) f (-x)
1. Изградете графика на функцията
2. Покажете го симетрично около оста OY.
Нека начертаем функцията.
1. Изграждаме графика на функцията
2. Показваме го симетрично около оста OY:
4. f (x) f (| x |)
1. Изграждаме графика на функцията
2. Частта от графиката, разположена вляво от оста OY, се изтрива, частта от графиката, разположена вдясно от оста OY. Завършваме изграждането симетрично около оста OY:
Графиката на функциите изглежда така:
Нека начертаем функцията
1. Изграждаме графика на функция (това е графика на функция, изместена по оста OX с 2 единици наляво):
2. Частта от графиката, разположена вляво от оста OY (x<0) стираем:
3. Частта от графиката, разположена вдясно от оста OY (x> 0), е завършена симетрично спрямо оста OY:
Важно! Две основни правила за преобразуване на аргументи.
1. Всички преобразувания на аргумента се извършват по оста OX
2. Всички преобразувания на аргумента се извършват "в обратен" и "в обратен ред".
Например, във функция, последователността от трансформации на аргументи е както следва:
1. Вземете модула от x.
2. Добавете числото 2 към модула x.
Но ние изградихме графиката в обратен ред:
Първо извършихме трансформация 2. - изместихме графиката с 2 единици наляво (тоест абсцисите на точките бяха намалени с 2, сякаш "обратно")
След това извършихме трансформацията f (x) f (| x |).
Накратко последователността на трансформациите се записва, както следва:
Сега да поговорим за преобразуване на функции ... Правят се трансформации
1. По оста OY.
2. В същата последователност, в която се извършват действията.
Тези трансформации са:
1.f (x) f (x) + D
2. Преместете го по оста OY с |D | единици
- нагоре, ако D> 0
- надолу, ако D<0
Нека начертаем функцията
1. Изграждаме графика на функцията
2. Преместете го по оста OY с 2 единици нагоре:
2.f (x) Af (x)
1. Изградете графика на функцията y = f (x)
2. Ординатите на всички точки от графиката се умножават по A, абсцисите се оставят непроменени.
Нека начертаем функцията
1. Нека начертаем графика на функцията
2. Умножаваме ординатите на всички точки от графиката по 2:
3.f (x) -f (x)
1. Изградете графика на функцията y = f (x)
Нека начертаем функцията.
1. Изградете графика на функцията.
2. Показваме го симетрично около оста OX.
4.f (x) | f (x) |
1. Изградете графика на функцията y = f (x)
2. Частта от графиката, разположена над оста OX, се оставя непроменена, частта от графиката, разположена под оста OX, се показва симетрично около тази ос.
Нека начертаем функцията
1. Изградете графика на функцията. Получава се чрез изместване на функционалната графика по оста OY с 2 единици надолу:
2. Сега частта от графиката, разположена под оста OX, ще бъде показана симетрично около тази ос:
И последната трансформация, която, строго погледнато, не може да се нарече трансформация на функция, тъй като резултатът от тази трансформация вече не е функция:
| y | = f (x)
1. Изградете графика на функцията y = f (x)
2. Частта от графиката, разположена под оста OX, се изтрива, след което частта от графиката, разположена над оста OX, се завършва симетрично около тази ос.
Нека начертаем уравнението
1. Изграждаме графика на функцията:
2. Изтриваме частта от графиката, разположена под оста OX:
3. Частта от графиката, разположена над оста OX, е завършена симетрично около тази ос.
И накрая, предлагам ви да гледате ВИДЕО ИНСТРУКЦИЯ, в която показвам стъпка по стъпка алгоритъм за начертаване на функционална графика
Графиката на тази функция изглежда така:
