Урочна производна на сложна функция. Сложна функция (сборник)

Тема: „Производнасложна функция ”.

Тип на урока: - урок за изучаване на нов материал.

Форма на урока : приложение на информационните технологии.

Мястото на урока в системата от уроци за този раздел: първи урок.

Цели:

да се научи да разпознава сложни функции, да може да прилага правилата за изчисляване на деривати; подобряване на предмета, включително компютърни умения и умения; Компютърни умения;

развиват готовност за информационни и образователни дейности чрез използването на информационни технологии.

възпитават адаптивност към съвременни условияизучаване на.

Оборудване: електронни файлове с печатни материали, индивидуални компютри.

По време на часовете.

И. Организиране на времето(1 минута.).

II. Поставяне на цели. Мотивиране на учениците (1 мин.).

Учебни цели: научете се да разпознавате сложни функции, да знаете правилата за диференциация, да можете да прилагате формулата за производната на сложна функция при решаване на проблеми; подобряване на предмета, включително компютърни умения и умения; Компютърни умения.

Развиващи цели: развиване на познавателни интереси чрез използването на информационни технологии.

Образователни цели: да се възпита адаптивност към съвременните условия на обучение.

III. Актуализиране основни познания(5 минути.).

Какви са правилата за изчисляване на деривата?

3. Устна работа.

Намерете производни на функции.

а) у = 2х 2 + xі;

б) f (x) = 3x 2 - 7x + 5;

в) f (x) =;

г) f (x) = 1 / 2x 2 ;

д) f (x) = (2x - 5) (x + 3).

4. Правила за изчисляване на деривати .

Повторение на формули на компютър със звуков съпровод.

IV. Програмирано управление (5 минути).

Намерете производната.

Разменяйте тетрадки. В диагностичните карти маркирайте правилно изпълнените задачи със знак +, а неправилно изпълнените задачи с „-“.

V. Изучаване на нов материал (5 мин.).

Сложна функция.

Помислете за функцията, дадена с формулата f (x) =

За да се намери производната на дадена функция, първо трябва да се изчисли производната на вътрешната функцияти = v (x) = xІ + 7x + 5 и след това изчислете производната на функциятаg (u) = .

Казва се, че функцията еf (x) - има сложна функция, съставена от функцииg иv , и напишете:

f (x) = g (v (x)) .

Областта на сложна функция е набор от всички тезиNS от домейна на функциитеv за коетоv (x) е в обхвата на функциятаg.

ТЕОРЕМА.

Нека комплексната функция y = f (x) = g (v (x)) бъде такава, че функцията y = v (x) е дефинирана на интервала U, а функцията u = v (x) е определена на интервала X и множеството от всички негови стойности влиза в интервала U. Нека функцията u = v (x) има производна във всяка точка в интервала X, а функцията y = g (u) има производна във всяка точка в интервала U. Тогава функцията y = f (x) има производна във всяка точка в интервала X, изчислена по формулата

y " х = y " ти ти " х .

Формулата се чете по следния начин: производнатаy Нах е равна на производнатаy Нати умножено по производнатати Нах .

Формулата също е написана така:

f "(x) = g" (u) v "(x).

Доказателство.

В точкатаNS NS задайте увеличение на аргумента, (x +NS)NS. След това функциятаu = v (x) ще получи увеличение , и функциятаy = g (u) ще получи увеличение y. трябва да бъде отбелязано че, тъй като функциятаu = v (x) в точкатах има производна, то тя е непрекъсната в този момент ипри . y = (1 + x 2 ) 100 .

Решение.

Пример 2 и Пример 3 от урока (устен анализ на решението).

Решаване на примери № 304, № 305, № 306, последвано от компютърна проверка.

Вии. Примери за независимо решение(8 минути).

На работния плот на компютъра. 5(p - x);

y = грях (2x 2 – 3).

y = (1 + sin3x) cos3x;

y = tg x (tg x - 1).

IX. Обобщение на урока (1 мин.).

Дайте определението на производната на функцията.

Какви са правилата за изчисляване на деривати?

Коя функция е трудна?

Какъв е обхватът на сложна функция?

Каква е формулата за намиране на производната на сложна функция?

X. Назначение у дома (0,5 мин.).

§4. стр. 16. № 224. Индивидуални задачина карти.

Тема: „Производна

сложна функция ”.

Тип урок: - урок за изучаване на нов материал.

Форма на урока: прилагане на информационни технологии.

Мястото на урока в системата от уроци за този раздел: първият урок.

да се научи да разпознава сложни функции, да може да прилага правилата за изчисляване на деривати; подобряване на предмета, включително компютърни умения и умения; Компютърни умения;
развиват готовност за информационни и образователни дейности чрез използването на информационни технологии.
да възпитава адаптивност към съвременните условия на обучение.

Оборудване: електронни файлове с печатни материали, индивидуални компютри.

По време на часовете.

I. Организационен момент (0,5 мин.).

II. Поставяне на цели. Мотивиране на учениците (1 мин.).

Учебни цели: научете се да разпознавате сложни функции, да знаете правилата за диференциация, да можете да прилагате формулата за производната на сложна функция при решаване на проблеми; подобряване на предмета, включително компютърни умения и умения; Компютърни умения.
Развиващи цели: развиване на познавателни интереси чрез използването на информационни технологии.
Образователни цели: да се възпита адаптивност към съвременните условия на обучение.

III. Актуализиране на основните знания
(5 минути.).

Какви са правилата за изчисляване на деривата?

3. Устна работа.

Намерете производни на функции.

а) y = 2x 2 + xі;

б) f (x) = 3x 2 - 7x + 5;

г) f (x) = 1 / 2x 2;

д) f (x) = (2x - 5) (x + 3).

4. Правила за изчисляване на деривати.

Повторение на формули на компютър със звуков съпровод.

IV. Програмирано управление
(5 минути.) .

Намерете производната.
Опция 1.		Вариант 2.


y = tg x + ctg x.		y = tg x - ctg x.

Y = x 2 + 7x + 5		Y = 2x 2 - 5x + 7
Опции за отговор .



1 / cos 2 x + 1 / sin 2 x	1 / cos 2 x - 1 / sin 2 x	1 / sin 2 x - 1 / cos 2 x
1,6х 0,6 + 2,5х 1,5	2,6x 0,6 + 1,5x 1,5	1,5x 0,5 + 4x 3	2.5x 0.5 + 4x3

V. Нов материал
(5 минути.) .

Сложна функция.

Помислете за функцията, дадена с формулата f (x) =

За да се намери производната на дадена функция, първо трябва да се изчисли производната на вътрешната функция ти = v (x) = xІ + 7x + 5 и след това изчислете производната на функцията g (u) = .

Казва се, че функцията е f (x) - има сложна функция, съставена от функции g и v , и напишете:

f (x) = g (v (x)) .

Областта на сложна функция е набор от всички тези NS от домейна на функциите v за което v (x) е в обхвата на функцията g.

Нека комплексната функция y = f (x) = g (v (x)) бъде такава, че функцията y = v (x) е дефинирана на интервала U, а функцията u = v (x) е определена на интервала X и множеството от всички негови стойности е включено в интервала U. Нека функцията u = v (x) има производна във всяка точка в интервала X, а функцията y = g (u) има производна при всяка точка в интервала U. Тогава функцията y = f (x) има производна във всяка точка в интервала X, изчислена по формулата

x = y "u u" x.

Формулата се чете по следния начин: производната y На х е равна на производната y На ти умножено по производната ти На х .

Формулата също е написана така:

f "(x) = g" (u) v "(x).

Доказателство.

В точката NS

X задаваме увеличението на аргумента, (x + x) NS. След това функциятаu = v (x) ще получи увеличение , и функцията y = g (u) ще получи увеличение на Dy. Трябва да се има предвид, че тъй като функцията u = v (x) в точката х има производна, то тя е непрекъсната в този момент ипри .

При условие че

Преглед.

VIII. Индивидуални задачи
(7 минути) .

На работния плот на компютъра.

Папка: „Производна на сложна функция“. Документ: „Индивидуални задания“.

y = 2x + 3.6 sin 5 (p - x);
y = sin (2x 2 - 3).
y = (1 + sin3x) cos3x;
y = tg x (tg x - 1).

IX. Обобщение на урока
(1 минута.) .

Дайте определението на производната на функцията.

Какви са правилата за изчисляване на деривати?

Коя функция е трудна?

Какъв е обхватът на сложна функция?

Каква е формулата за намиране на производната на сложна функция.

X. Домашна работа
(0,5 мин.) .

§4. стр. 16. № 224. Индивидуални задачи на дискети.

Тема на урока: Производна на сложна функция.

Тип на урока: комбинирани

Цели на урока:

образователни:

– формиране на концепцията за сложна функция;

Изучаване на правилото за намиранепроизводна на сложна функция.

Разработване на алгоритъма за прилагане на правилото за намиране на производната на сложна функция при решаване на примери.

развитие:

Развивайте логика, способността да анализирате, планирате своето учебни дейности, логично изразете мислите си

Развивайте познавателен интерес.

образователни:

Образование и развитие на разнообразни интереси на личността;

Възпитаване на отговорно отношение към образователната работа, воля и постоянство за постигане на крайни резултати при намиране на производни на сложни функции;

План на урока:

1. Организационен момент: готовността на групата за урока, проверка на отсъстващите в урока.

2. Проверка домашна работа.

3. Актуализиране на знанията: повторение на преминатия материал.

4. Изучаване на нов материал.

5. Обезопасяване на материала

6. Домашна работа

По време на часовете:

1. Org Moment: Поздрав, проверка на готовността на групата в урока, съобщаване на темата и целта на урока, мотивиране на учебните дейности.

2. Проверка на домашната работа: Учениците показват домашна работа по разглеждана тема.

3. Актуализиране на знанията на учениците:

1. Момчета, нека си припомним каква е производната на функция?

Отговор:производна на функцията в точкатасе нарича граница на съотношението на нарастването на функциятакъм увеличението на аргумента, което го е причинилов този момент в.

2. Геометричното значение на производната, в която е изразено уравнението?

Отговор: Изразено в уравнение за допирателна.

3. В механичен смисъл първото производно на пътя е?

Отговор: Скорост

4. Какво е другото име за точките на екстремума и минимума?

Отговор: Изходни критични точки.

5. Каква е производната на константата?

Отговор: 0

6. Карти с примери:

а) у = 5х+3 х 2 ; б) у = ; в) у =; г) у =; D 2х 7 +; е) у =

7. Постановка на проблемната ситуация: намерете производната на функцията

y = ln ( гряхх).

Тук имаме логаритмична функция, чийто аргумент е независима променливаNS , и функциятас в х тази променлива.

1. Как мислите, че се наричат тези функции?

Отговор: функциите се наричат сложни функции или функции от функции.

2. Можем ли да намерим производни на сложни функции?

Отговор: Не.

3. И така, какво трябва да научим сега?

Отговор: Намиране на производната на сложни функции.

4. Как ще звучи темата на днешната ни сесия?

Отговор: Производна на сложна функция

4. Изучаване на нов материал.

Правилата и формулите за диференциация, които разгледахме в последния урок, са основни при изчисляването на производни. Но ако за прости изрази използването на основните правила не е трудно, то за сложни изрази използването общо правиломоже да бъде много трудно.

Целта на днешния ни урок е да разгледаме концепцията за сложна функция и да овладеем техниката за прилагане на основни формули при диференциране на сложни функции.

Производна на сложна функция

Примерът показва, че сложната функция е функция от функция. Следователно може да се даде следното определение на сложна функция:

Определение : Функция за прегледy = f (g (x)) Нареченсложна функция съставен от функциитее тиg, илисуперпозиция на функции е иg.

Пример: Функцияy = ln ( свх) има сложна функция, съставена от функции

y = ln u иu = свх .

Следователно сложна функция често се записва под формата

y = f (u), къдетоu = g (x)

Външна функция Междинна функция

Освен това аргументътNS са нареченинезависима променлива , ати - междинен аргумент.

Да се върнем на примера ... Можем да изчислим производната на всяка от тези функции, използвайки таблицата с производни.

Как се изчислява производната на сложна функция?

Отговорът на този въпрос е даден от следната теорема.

Теорема: Ако функциятаu = g (x) диференцируем в даден моментNS 0 и функциятаy = f (u) диференцируем в точкатати 0 = g (x 0 ), тогава комплексната функцияy = f (g (x)) диференцируемо в дадена точка x 0 .

Правило:

За да намерите производната на сложна функция, трябва да я прочетете правилно;

Ние четем функцията в обратен ред на действията;

Намираме производната, докато четем функцията.

Нека сега разгледаме това с пример:

Пример 1: Функцияy = ln ( свх) се получава чрез последователно изпълнение на две операции: вземане на синус на ъгълNS и намиране на естествения логаритъм от това число:

Функцията се чете така : логаритмична функция на тригонометрична функция.

Нека разграничим функцията:y = ln ( свx) = ln u, u = s в х.

. Ще използваме разширената таблица с деривати при диференциране.

Тогава получаваме (u) ’ = (s в х) ’ = cosx

Имам ’ = ’== ctg x

Пример 2: Намерете производната на функцияз( х)=(2 х+3) 100 .

Решение: Функциязможе да се представи като сложна функцияз( х) = g( е( х)), къдетоg( y)= y 100 , y= е( х)=2 х+3, защотое Аз ( х)=2, g Аз ( y)=100 y 99 , з Аз ( х)=2*100 y 9 =200(2 х+3) 99 .

5. Осигуряване на материала: (Учениците идват до дъската и решават примери)

№1. Намерете обхвата на функцията.

А) y =; б) y =;

V); г) у =

№2. Намерете производната на функцията:

А) (2 х -7) 14

Б) (3 + 5 х ) 10

В 7 х -1) 3

Г) (8 х +6) 55

Д)

Д) (7 х -1) 5

№3. Зададени функции е ( х ) = 2- х - х 2 ; g ( х ) = ; стр ( х ) = .

Посочете функции, като използвате формули:

А) е ( g ( х )); б) g ( е ( х )); v) е ( стр ( х ))

6. Домашна работа:

Намерете производната на функцията: а) (5 х -7) 17 ; б) (7 х +6) 14 ; V) y =; Ж) y =;