Линейни уравнения с параметър. Примери с параметри и методи за тяхното решаване намерят валидни стойности на параметрите
Изглед уравнение е.(х.; а.) \u003d 0 наречен от променливото уравнение х. и параметър но.
Решаване на уравнение с параметър но - това означава за всяка стойност но Намерете стойностите х.удовлетворяване на това уравнение.
Пример 1. о.= 0
Пример 2. о. = но
Пример 3.
x + 2 \u003d ah
X - AH \u003d -2
X (1 - а) \u003d -2
Ако 1 - но \u003d 0, т.е. но \u003d 1, тогава х.0 \u003d -2 корени не
Ако 1 - но 0, т.е. но 1, Т. х. =
Пример 4.
(но 2 – 1) х. = 2но 2 + но – 3
(но – 1)(но + 1)х. = 2(но – 1)(но – 1,5)
(но – 1)(но + 1)х. = (1но – 3)(но – 1)
Ако но\u003d 1, след това 0 х. = 0
х. - всеки валиден номер
Ако но \u003d -1, след това 0 х. = -2
Няма корени
Ако но 1, но -1, Т. х. \u003d (Едно решение).
Това означава, че всяка валидна стойност но съответства на единствената стойност х..
Например:
ако но \u003d 5, тогава х. = = ;
ако но \u003d 0, тогава х. \u003d 3 и т.н.
Дидактичен материал
1. о. = х. + 3
2. 4 + о. = 3х. – 1
3. но = +
за но \u003d 1 корени не.
за но \u003d 3 корени не.
за но = 1 х. - всеки валиден номер освен х. = 1
за но = -1, но \u003d 0 решения №.
за но = 0, но \u003d 2 решения №.
за но = -3, но = 0, 5, но \u003d -2 решения не
за но = -от, от \u003d 0 решения №.
Квадратни уравнения с параметър
Пример 1. Решаване на уравнение
(но – 1)х. 2 = 2(2но + 1)х. + 4но + 3 = 0
За но = 1 6х. + 7 = 0
Кога но 1 подчертайте стойностите на параметъра, в който Д. Изтеглена до нула.
D \u003d (2 (2 но + 1)) 2 – 4(но – 1)(4но + 30 = 16но 2 + 16но + 4 – 4(4но 2 + 3но – 4но – 3) = 16но 2 + 16но + 4 – 16но 2 + 4но + 12 = 20но + 16
20но + 16 = 0
20но = -16
Ако но < -4/5, то Д. < 0, уравнение имеет действительный корень.
Ако но \u003e -4/5 I. но 1, Т. Д. > 0,
х. = 
Ако но \u003d 4/5, тогава Д. = 0,
Пример 2. При какви стойности на параметъра и уравнението
x 2 + 2 ( но + 1)х. + 9но - 5 \u003d 0 има 2 различни отрицателни корен?
D \u003d 4 ( но + 1) 2 – 4(9но – 5) = 4но 2 – 28но + 24 = 4(но – 1)(но – 6)
4(но – 1)(но – 6) > 0
от t. Vieta: х. 1 + х. 2 = -2(но + 1)
х. 1 х. 2 = 9но – 5
Чрез условие х. 1 < 0, х. 2 < 0 то –2(но + 1) < 0 и 9но – 5 > 0
| В крайна сметка | 4(но – 1)(но – 6) > 0 - 2(но + 1) < 0 9но – 5 > 0 |
но < 1: а > 6 но > - 1 но > 5/9 |
 (Фиг. един) < а. < 1, либо а. > 6 |
Пример 3. Намерете стойностите нопри което това уравнение има решение.
x 2 - 2 ( но – 1)х. + 2но + 1 = 0
D \u003d 4 ( но – 1) 2 – 4(2но + 10 = 4но 2 – 8но + 4 – 8но – 4 = 4но 2 – 16но
4но 2 – 16 0
4но(но – 4) 0
но( но – 4)) 0
но( но – 4) = 0
a \u003d 0 или но – 4 = 0
но = 4
(Фиг. 2.)
Отговор: но 0 I. но 4
Дидактичен материал
1. С каква стойност но уравнението о. 2 – (но + 1) х. + 2но - 1 \u003d 0 има един корен?
2. с каква стойност но уравнението ( но + 2) х. 2 + 2(но + 2)х. + 2 \u003d 0 има един корен?
3. При какви стойности и уравнението ( но 2 – 6но + 8) х. 2 + (но 2 – 4) х. + (10 – 3но – но 2) \u003d 0 има повече от два корена?
4. При какви стойности и уравнение 2 х. 2 + х. – но \u003d 0 има поне един общ корен с уравнение 2 х. 2 – 7х. + 6 = 0?
5. При какви стойности и уравненията х. 2 +о. + 1 \u003d 0 и х. 2 + х. + но \u003d 0 Имате поне един общ корен?
1. Ply. но = - 1/7, но = 0, но = 1
2. Ply. но = 0
3. Ply. но = 2
4. Ply. но = 10
5. Ply но = - 2
Индикативни уравнения с параметър
Пример 1., Вижте всички ценности нов което уравнение
9 x - ( но + 2) * 3 x-1 / x +2 но* 3 -2 / x \u003d 0 (1) Има точно два корена.
Решение. Умножаване на двете части на уравнение (1) с 3 2 / х, ние получаваме еквивалентно уравнение
3 2 (x + 1 / x) - ( но + 2) * 3 x + 1 / x + 2 но = 0 (2)
Нека 3 x + 1 / x \u003d w., тогава уравнението (2) ще бъде изглед w. 2 – (но + 2)w. + 2но \u003d 0, или
(w. – 2)(w. – но) \u003d 0, откъде w. 1 =2, w. 2 = но.
Ако w. \u003d 2, т.е. 3 x + 1 / x \u003d 2 х. + 1/х. \u003d log 3 2, или х. 2 – х.log 3 2 + 1 \u003d 0.
Това уравнение няма валидни корени, тъй като то Д. \u003d log 2 3 2 - 4< 0.
Ако w. = но. 3 x + 1 / x \u003d но че х. + 1/х. \u003d log 3. но, или х. 2 – Х.log 3 a + 1 \u003d 0. (3)
Уравнение (3) има точно два корена, ако и само когато
D \u003d log 2 3 2 - 4\u003e 0, или | log 3 A | \u003e 2.
Ако регистрирате 3 A\u003e 2, тогава но \u003e 9 и ако дневник 3 a< -2, то 0 < но < 1/9.
Отговор: 0.< но < 1/9, но > 9.
Пример 2.. При какви стойности и уравнение 2 2x - ( но -3) 2 x - 3 но \u003d 0 има решения?
За да може дадено уравнение да има решения, е необходимо и достатъчно за уравнението t. 2 – (а -3) t. – 3а. \u003d 0 имаше поне един положителен корен. Ще намерим корените на теоремата на Виета: х. 1 = -3, х. 2 = но = >
а е положително число.
Отговор: Ply. но > 0
Дидактичен материал
1. Намерете всички стойности на А, при което уравнението
25 x - (2 но + 5) * 5 x-1 / x + 10 но * 5 -2 / x \u003d 0 има точно 2 решения.
2. При какви стойности и уравнението
2 (A-1) X +2 (A + 3) X + A \u003d 1/4 има единствения корен?
3. При какви стойности на параметъра и уравнението
4 x - (5 но-3) 2 x +4 но 2 – 3но \u003d 0 има едно решение?
Логаритмични уравнения с параметър
Пример 1. Намерете всички стойности нов което уравнение
log 4x (1 + о.) = 1/2 (1)
той има едно решение.
Решение. Уравнение (1) е еквивалентно на уравнение
1 + о. = 2х. за х. > 0, х. 1/4 (3)
х. = w.
aU 2 - w. + 1 = 0 (4)
Не (2) условие от (3).
Нека бъде но 0, Т. aU 2. – 2w. + 1 \u003d 0 има валидни корени, ако и само когато Д. = 4 – 4но 0, т.е. за но 1. за решаване на неравенството (3), ние изграждаме графики на функции Галица М.л., Мошков.М., Шварцбург с.И.Задълбочено проучване на алгебрата и математическия анализ. - m.: Просвещение, 1990
В последните години на входни изпити, при окончателното тестване в униформа Предложени задачи с параметри. Тези задачи позволяват да се диагностицира нивото на математическо и най-важното, логично мислене на кандидатите, способността за осъществяване на изследователски дейности, както и само познания за основните участъци на училищния курс на математиката.
Поглед към параметъра като еднаква променлива намира отражението си в графични методи. Всъщност, тъй като параметърът е "равен на" с променлива, то е естествено да се "разпределя" и координатната си ос. Така възниква координатна равнина. . Отказ на традиционната селекция от букви и за обозначаване на осите, определя един от най-ефективните методи за решаване на проблеми с параметрите - "Метод на регионите". Заедно с други методи, използвани в решаването на задачите с параметри, аз представях моите ученици и с графични техники, обръщайки внимание на това как да разпознават "такива" задачи и как изглежда проблемът за решаването на проблема.
Себе си общи знациТова ще помогне за учене, подходящи за разглеждания метод:
Задача 1. "При всички стойности на неравенството в параметрите изобщо се извършва?"
Решение. 1).
Ще разкрием модулите, като вземете предвид знака на експресията на подножието: 
2). Записваме всички системи на получените неравенства:
но) 
б) 
в) 
д) 
3). Да покажем много точки, които отговарят на всяка система на неравенство (Фигура 1а).
четири). Чрез комбиниране на всички зони, показани в чертежа на люпенето, може да се отбележи, че неравенството не отговаря на точките, лежащи в парабола.
Фигурата показва, че с всяка стойност на параметъра можете да намерите областта, в която точките на които отговарят на първоначалното неравенство. Изобщо се извършва неравенство, ако. Отговор: кога
Считаният пример е "отворена задача" - може да се вземе предвид решаването на цял клас задачи, без да се променя изразът, разглеждан в примера 
, в които техническите трудности при изграждането на графики вече са преодолени.
Задача. При какви стойности на уравнението на параметрите нямат решения? Отговор: кога
Задача. Под какви стойности на уравнението на параметрите има два решения? Запишете двете намерени решения.
Отговор: след това 
, 
;
Тогава 
Шпакловка , тогава 
, .
Задача. Под какви стойности на уравнението на параметрите има един корен? Намерете този корен. Отговор: кога
Задача. Решете неравенството.
("Работа" точки, лежащи вътре в Парабола).
Шпакловка , няма решения;
Задача 2. Включете всички стойности на параметрите но, с всяка от които неравенството система 
Форми на числова директна дължина 1.
Решение. Пренапишете системата за източника в този формуляр 
Всички решения на тази система (двойки на формата) образуват някаква площ, ограничена от Parabolami 
и 
(Фигура 1).
Очевидно решението на системата за неравенство ще бъде сегмент с дължина 1 с и на. Отговор:; .
Задача 3. Включете всички стойности на параметъра, в който много решения на неравенство 
Съдържа число, както и съдържа две дължини с дължина, която няма общи точки.
Решение. По смисъла на неравенството; Пренаписваме неравенството, умножаваме двете части на него (), получаваме неравенство:
, ,
(1)
Неравенството (1) е еквивалентно на съвкупността от две системи:
(Фиг. 2).
Очевидно интервалът не може да съдържа дължина на дължината. Така че в интервала се съдържат две несифлени дължини на дължина. Това е възможно кога, т.е. в. Отговор:.
Задача 4. Подпишете всички стойности на параметрите, като всеки от които много решения на неравенство 
Съдържа дължина 4 и в същото време се съдържа в определен период от дължина 7.
Решение. Провеждане на еквивалентни трансформации, като се има предвид това.
, ,
Шпакловка Последното неравенство е еквивалентно на съвкупността от две системи:
Показване на области, които съответстват на тези системи (Фиг. 3).
1) с различни разтвори - това е дължина, по-малка от 4. с множество разтвори, това е комбиниране на два интервала. Дължината на рязане 4 може да интервала само. Но тогава, асоциацията вече не се съдържа във всяка дължина на сегмента 7. Така че такъв не отговарят на състоянието.
2) Много решения са интервалът. Той съдържа сегмент 4, само ако дължината му е по-голяма от 4, т.е. в. Съдържа се в дължината на сегмента 7, само ако дължината му не е по-голяма от 7, т.е. тогава. Отговор:.
Задача 5. Намерете всички стойности на параметрите, в които много решения за неравенство 
Съдържа номер 4, а също така съдържа два некликлични сегмента от 4 всяка дължина.
Решение. Чрез условие. Двете части на неравенството в (). Ще получим еквивалентно неравенство, в което всички членове са групирани от лявата страна и го превръщат в работата:
, ,
, 
.
От последното неравенство следва:
1) 
2)
Показване на области, които съответстват на тези системи (Фиг. 4).
а) Когато получаваме интервал, който не съдържа номер 4. Когато получаваме интервал, също не съдържаме числа 4.
б) когато получим комбинация от два интервала. Обитаемите дължини от 4 могат да бъдат разположени само в интервала. Това е възможно само ако дължината на интервала е по-голяма от 8, т.е. ако. С такова условие:. Отговор:.
Задача 6. Намерете всички стойности на параметрите, на които много решения на неравенство 
съдържа някаква дължина на сегмента 2, но не съдържа
няма срязана дължина 3.
Решение. В смисъл на задачата ще умножите двете части на неравенството, групирали всички членове от лявата страна на неравенството и да го превърне в работа:
, 
. От последното неравенство следва:
1) 
2) 
Покажете областта, която съответства на първата система (Фиг. 5).
Очевидно, състоянието на задачата се извършва, ако 
. Отговор:.
Задача 7. Намерете всички стойности на параметрите, на които е набор от 1+ решения за неравенство 
Тя се съдържа в определена дължина на сегмента 1 и в същото време съдържа някакъв сегмент от 0.5 дълъг.
Решение. един). Ние определяме ODR на променливата и параметъра: 
2). Пренапишете неравенството във формата
, 
,
(един). Неравенството (1) е еквивалентно на съвкупността от две системи:
1) 
2) 
Като се вземат предвид решенията на OTZ на системите изглеждат така:
но) 
б) 
(Фиг. 6).
но) 
б)
Покажете областта, съответстваща на системата А) (Фиг. 7).Отговор:.
Задача 8. Шест номера образуват нарастваща аритметична прогресия. Първият, вторият и четвъртият членове на тази прогресия са решенията за неравенство. 
, и останалото
не са решения на това неравенство. Намерете много възможни стойности на първия член на такива прогресии.
Решение. I. Ще намерим всички решения на неравенството
но). Otz: 
.
(Установен при решаването, че функцията се увеличава).
б). За нечетно неравенство 
еквивалент на неравенството 
. 
, Какво дава:
1). 
2). 
Очевидно решението за неравенство Обслужва много ценности 
.
II. Илюстрираме втората част от задачата на нарастващата аритметична прогресия на чертежа ( фиг. Осем , Къде е първият термин, вторият и т.н.). Забележи това:
Или имат линейна система за неравенство:
Като го вземете по графичен начин. Ние изграждаме право и, както и директно
След това .. Първият, втори и шести членове на тази прогресия са решения за неравенство 
А останалите не са решения за това неравенство. Намерете много възможни разлики в тази разлика в прогресията.
1. Задача.
При какви стойности на параметъра а. уравнението ( а. - 1)х. 2 + 2х. + а. - 1 \u003d 0 има точно един корен?
1. Решение.
За а. \u003d 1 уравнение има форма 2 х. \u003d 0 и очевидно има единствения корен х. \u003d 0. Ако е а. № 1, това уравнение е квадрат и има единствения корен с стойностите на параметрите, при които квадратът е нулев дискриминация. Приравняването на дискриминацията до нула, ние получаваме уравнение по отношение на параметъра а.
4а. 2 - 8а. \u003d 0, откъде а. \u003d 0 или а. = 2.
1. Отговор:уравнението има единствения корен, когато а. O (0; 1; 2).
2. Задача.
Намерете всички стойности на параметрите а.който има две различни уравнения на корените х. 2 +4брадва.+8а.+3 = 0.
2. Решение.
Уравнението х. 2 +4брадва.+8а.+3 \u003d 0 има два различни корена и само когато Д. =
16а. 2 -4(8а.+3)\u003e 0. Получаваме (след намаляване на общия мултипликатор 4) 4 а. 2 -8а.-3\u003e 0, откъде
2. Отговор:
| а. O (-ґ; 1 - | C 7 2. |
) И (1 + | C 7 2. |
; Ґ ). |
3. Задача.
Известно е, че
е. 2 (х.) = 6х.-х. 2 -6.
а) изграждане на функционален график е. 1 (х.) Като а. = 1.
б) с каква стойност а. Функции Графика е. 1 (х.) I. е. 2 (х.) Имате една обща точка?
3. Решение.
3.a. Трансформация е. 1 (х.) по следния начин
Графика на тази функция, когато а. \u003d 1 е изобразен на фигурата вдясно.
3.б. Незабавно имайте предвид, че графиките на функциите y. =
kX.+б. и y. = брадва. 2 +bX.+° С.
(а. № 0) се пресичат в една точка тогава и само ако квадратното уравнение kX.+б. =
брадва. 2 +bX.+° С. Той има единствения корен. Използване на изглед е. 1 3.a.дали уравнението изравнява дискриминацията а. = 6х.-х. 2 -6 до нула. От уравнение 36-24-4. а. \u003d 0 получаване а. \u003d 3. Направете същото с уравнението 2 х.-а. = 6х.-х. 2 -6 находки а. \u003d 2. Лесно е да се уверите, че тези стойности на параметрите отговарят на условията на задачата. Отговор: а. \u003d 2 Or а. = 3.
4. Задача.
Намерете всички стойности а.в кои много решения на неравенство х. 2 -2брадва.-3а. І 0 съдържа сегмент.
4. Решение.
Първата координатна на върха Parabola е.(х.) =
х. 2 -2брадва.-3а. равен х. 0 =
а.. От свойствата на квадратичното функционално състояние е.(х.) І 0 на сегмента е еквивалентно на съвкупността от три системи
Има точно две решения?
5. Решение.
Пренапишете това уравнение във формата х. 2 + (2а.-2)х. - 3а.+7 \u003d 0. Това е квадратно уравнение, то има точно два решения, ако нейният дискриминант е строго по-голям от нула. Изчисляването на дискриминацията, ние получаваме, че състоянието на наличието на точно две корени е изпълнението на неравенството а. 2 +а.-6\u003e 0. Разрешаване на неравенство, откриваме а. < -3 или а. \u003e 2. Първото от неравенствата, очевидно, няма решения в естествени числа, а най-малкото естествено решение на втория е номер 3.
5. Отговор: 3.
6. Задача (10 cl.)
Намерете всички стойности а.в която е графика на функция или след очевидни трансформации, а.-2 = |
2-а.| . Последното уравнение е еквивалентно на неравенството а. І 2.
6. Отговор: а. O където - променливи, параметър;
[y \u003d kx + b,] където - променливи, параметър;
[Ax ^ 2 + bx + c \u003d 0,] където е променливата, [a, b, c] - параметърът.
Решаването на уравнението с параметъра означава като правило за решаване на безкрайния набор от уравнения.
Въпреки това, придържайки се към определен алгоритъм, такива уравнения могат лесно да бъдат решени:
1. Определете стойностите на "контрола" на параметъра.
2. Решете първоначалното уравнение спрямо [x] със стойностите на параметъра, определен в първия параграф.
3. Решете първоначалното уравнение спрямо [x], като стойностите на параметъра се различават от избрания в първия параграф.
Да предположим, че подобно уравнение се дава:
[Средата 6 - x mid \u003d a. \\ T
След анализ на изходните данни, може да се види, че [ge 0. \\ t
Според правилото на модула
Отговор:
Къде мога да реша уравнение с онлайн параметър?
Можете да разрешите уравнението на нашия уебсайт HTTPS: // сайт. Безплатен онлайн решаване ще реши онлайн уравнението на всяка сложност за секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаването. Можете също да гледате видеоустройството и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако имате някакви въпроси, можете да ги попитате в нашата група VKontakte http://vk.com/pocketter. Присъединете се към нашата група, ние винаги сме щастливи да ви помогнем.