Необходимо и достатъчно състояние на монотонността на диференцируемата функция. Функция на интервали от монотонност

Което не променя знака, т.е. или винаги не отрицателни, или винаги неизискват. Ако в допълнение нарастването не е нула, функцията се нарича строго монотонен. Монотоновата функция е функция, която варира в същата посока.

Функцията се увеличава, ако по-голямата стойност на аргумента съответства на по-голямата стойност на функцията. Функцията намалява, ако по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малката стойност на функцията.

Дефиниции

Нека функцията да бъде дадена тогава

. . . .

(Стриктно) увеличаване или намаляване на функцията се нарича (строго) монотонност.

Друга терминология

Понякога увеличаване на функциите се обаждат неправомернои низходящи функции не-белодробни. След това строго нарастващите функции се наричат \u200b\u200bпросто увеличаване и стриктно намаляват просто намаляването.

Свойства на монононови функции

Условия за монотонност функция

Обратно, общо казано, неправилно. Производството на строго монотонна функция може да се прилага за нула. Въпреки това, различни точки, където производно не е равна на нула, тя трябва да бъде стегната на интервала по-точно се осъществява

По подобен начин, стриктно намалява интервала, ако и само ако са изпълнени следните две условия:

Примери

Вижте също

Фондация Wikimedia. 2010.

Слюнка
Железопътна линия на Горки

Гледайте какво е "монотонна функция" в други речници:

Монотонна функция - - Функция F (x), която може да бъде увеличаващ се на някакъв интервал (т.е. колкото по-голяма е всяка стойност на довода за тази празнина, толкова по-голяма е стойността на функцията) или намаляването (в противоположния случай)., .. ...

Монотонна функция - функцията, която с увеличаване на аргумента, винаги се увеличава (или поне не намалява) или винаги намалява (не се увеличава) ... Голям енциклопедичен речник

Монотонна функция - (Monotonie функция) функция, в която като стойността на аргумента расте, стойността на функцията винаги се променя в една и съща посока. Следователно, ако y \u003d f (x), тогава или dy / dx 0 за всички стойности x, и в този случай, е увеличаване ... ... Икономически речник

Монотонна функция - (от гръцки. Моностонос е монотонна) функция, увеличението на което ΔF (x) \u003d f (x ') f (x) при δx \u003d x' x\u003e 0 не променя знака, т.е. или винаги не-отрицателен или винаги не е положително. Не съм точно точно, M. F. Това са функции, които се променят в ... ... Велика съветска енциклопедия

монотонна функция - функция, която с увеличаване на аргумента, винаги се увеличава (или поне не намалява) или винаги намалява (не се увеличава). * * * Монотолна функция монотонна функция, функция, която с увеличаване на аргумента, или винаги се увеличава (или ... ... ... Енциклопедичен речник

Монотонна функция - Функцията на една променлива, дефинирана на подгрупата на NAK RUS на реални числа, увеличаване на рояка с не променя знака, т.е. или винаги неотрицателен, или винаги неспособност. Ако е строго по-голямо (по-малко) нула, когато M. F. На име ... ... ... Математическа енциклопедия

Монотонна функция - функцията, рая, с увеличаване на аргумента или винаги се увеличава (или поне не намалява) или винаги намалява (не се увеличава) ... Естествени науки. Енциклопедичен речник

Монотонна последователност - Това е последователност, чиито елементи с увеличаване на помещението не намаляват, или, напротив, не се увеличават. Такива последователности често се срещат по време на изследване и имат номер отличителни черти и допълнителни свойства. ... ... wikipedia

функция - екип или група хора, както и инструменти или други ресурси, които използват за извършване на един или повече процеси или дейности. Например услуга за поддръжка на потребителя. Този термин също има различно значение: ... ... Директория за технически преводач

Функция - 1. зависима променлива стойност; 2. кореспонденцията y \u003d f (x) между променливите, по силата на които всяка считана стойност на определена стойност на x (аргумент или независима променлива) съответства на определена стойност ... ... Икономика и математически речник

Монотонна функция - това е функция, увеличение Което не променя знака, т.е. или винаги не отрицателни, или винаги неизискват. Ако в допълнение нарастването не е нула, функцията се нарича строго монотонен. Монотоновата функция е функция, която варира в същата посока.

Нека функцията да бъде дадена тогава

(Стриктно) увеличаване или намаляване на функцията се нарича (строго) монотонност.

Определяне на екстремум

Функцията Y \u003d F (X) се нарича увеличаване (намаляването) в някакъв интервал, ако при X1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) > F (x2)).

Ако диференцираната функция Y \u003d F (X) върху сегмента се увеличава (намалява), след това производно на този сегмент F "(x)\u003e 0

(F "(x)< 0).

Точката xo се нарича локална максимална точка (минимална) функция f (x), ако има квартал от точката xo, за всички точки, от които неравенството f (x) ≤ f (xo) (F (x) ≥ f (Xo)) е вярно.

Максималните и минималните точки се наричат \u200b\u200bекстремум точки и стойностите на функцията в тези точки - неговите крайности.

Точки на екстремум

Необходими екстремум условия. Ако точката XO е екстремулна точка F (x), след това или F (XO) \u003d 0, или F (XO) не съществува. Такива точки се наричат \u200b\u200bкритични и самият функция е дефиниран в критична точка. Крайности Функцията трябва да се търси сред критичните му точки.

Първото достатъчно условие. Нека Xo - критична точка. Ако f "(x), когато превключвате точката xo променя знака плюс на минус, след това в точката XO функция има максимален, в противен случай, поне по време на прехода, производно не променя знака, тогава няма значение, тогава няма екстремум в точката на XO.

Второто достатъчно условие. Да предположим, че функцията f (x) има производно f (x) в квартала на точката XO и второто производно в точката xo. Ако f "(xo) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На сегмента функцията y \u003d f (x) може да достигне най-малката или най-голяма стойност или в критични точки или в края на сегмента.

7. Интервал на преобразуване, функция за съоръжения .Точки на инфлексия.

Функция за график y.=f (x) Наречен изпъкнал На интервала (a; b)Ако се намира под някой от неговите тангенциални на този интервал.

Функция за график y.=f (x) Наречен вдлъбнатина На интервала (a; b)Ако се намира над всеки от тангенциалните на този интервал.

Фигурата показва кривата, изпъкнала (a; b) И вдлъбнати (B; ° С).

Примери.

Помислете за достатъчна функция, която ви позволява да установите дали функционалната графика ще бъде изпъкнала или вдлъбната в този интервал.

Теорема. Нека бъде y.=f (x) Диференциал от. \\ T (a; b). Ако във всички точки на интервала (a; b) Втора деривативна функция y. = f (x) Отрицателен, т.е. е.""(х.) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же е.""(х.)\u003e 0 - вдлъбнати.

Доказателства. Предполагам, че това е сигурно е.""(х.) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Вземете функцията за график y \u003d f (x) Произволна точка М. 0 С абсциса х. 0  (а.; б.) и прекарват по въпроса М. 0 допирателна. Нейното уравнение. Трябва да покажем, че графикът на функцията (a; b) Се намира по-долу с тази допирателна, т.е. На една и съща стойност х.организирана Кривой y \u003d f (x) Ще има по-малко подредена допирателна.

Точка на инфлексия

Този термин има други стойности, виж Точка на инфлексия.

Точкови инфлексични функции Вътрешна точка определени области Такъв самостоятелен контейнер в този момент има ограничен или определен знак за безкрайно производно в този момент, той е едновременно край на стриктния интервал на изпъкналост нагоре и началото на стриктния интервал на изпъкналост или обратно.

Неофициален

В този случай точката е точка на инфлексия Функции графики, т.е. функционалния график в точката "шофиране" чрез допирателна На този етап: с допирателна лъжа под графика и когато графикът (или обратно)

Условия за съществуване

Необходимото условие за съществуването на точката на инфлексия: Ако функцията f (x), два пъти диференцирана в някакъв квартал на точката, тогава има шастър от инфлексия.

Достатъчно условие за съществуването на точката на инфлексията: ако функцията в някои съседство с леко разлика, и и, ipri, и след това функцията на функцията за инфлексия CC.

ODA: Функцията се нарича увеличаване на някой интервал, ако в тази празнина към всяка по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията.

ODR.: Функцията се нарича намаляване на някой интервал, ако в тази празнина към всяка по-голяма стойност на аргумента съответства на по-малката стойност на функцията.

Като увеличаване . Така че намаляващите функции се наричат \u200b\u200bмонотонни.

Ако функцията не е монотонна, тогава площта на нейното определяне може да бъде разделена на краен брой монотонически пропуски, които могат да бъдат алтернативни с интервали от функцията.

Монотонността на функцията y \u003d F (x) се характеризира със знака на първото му производно f ¤ (x), а именно, ако в някаква междина f ¤ (x)\u003e 0, тогава функцията се увеличава в тази празнина, ако в a определен период от време f ¤ (x)< 0, то функция убывает в этом промежутке.

Въвеждането на интервалите на монотонността на функцията Y \u003d F (X) се свежда до намиране на пропуските на редуването на първото му производно F ¤ (x).

От тук получаваме правилото за намиране на интервалите на монотонността на функцията Y \u003d F (X)

1. Намерете сорос и точки на разкъсване F ¤ (x).

2. Определете метода на пробата F ¤ (x) в интервалите, за които точките, получени в параграф 1, разделят функцията за определяне на функцията F (x).

Пример:

Намерете интервалите на монотонността на функцията y \u003d - x 2 + 10x + 7

Намерете F ¤ (x). Y ¢ \u003d -2x +10

Точката, в която y ¢ \u003d 0 е една и разделя функцията за определяне на функцията в следващите интервали: (- ∞, 5) и (5, + ∞), във всеки от които Y ¢ записва постоянен знак. Ние заменим специфичните стойности на функцията на тези интервали и определяме знака Y ¢ на посочените интервали, след това:

на интервала (- ∞, 5] Y ¢\u003e 0,

на интервала функцията се увеличава и на пропастта и (3, + ∞), във всеки от които Y ¢ запазва постоянен знак. Ние заменим специфичните стойности на функцията на тези интервали и определяме знака Y ¢ на посочените интервали, след това.

повишаване на На интервала (x), ако за всеки (x_1, x_2 в x), такъв, че (x_1

Функцията се нарича неправомерно

(Blacktriangleright) Функцията (F (x)) се нарича низходящ На интервала (x), ако за всеки (x_1, x_2 в x), такъв, че (x_1 f (x_2)).

Функцията се нарича без глава На интервала (x), ако за всеки (x_1, x_2 в x), такъв, че (x_1

(BlackTryngreright) Нарастващи се и намаляващи функции се наричат строго монотонени не-внимателни и незаконни - просто монотонен.

(BlackTryngleright) Основни свойства:

I. Ако функцията (F (x)) е строго монотон (x), след това от равенството (x_1 \u003d x_2) (x_1, x_2 в x)) следва x_1) \u003d F (x_2)) и обратно.

Пример: Функцията (F (x) \u003d sqrt x) е строго увеличаваща се изобщо (x в), така че уравнението (x ^ 2 \u003d 9) има повече от едно решение при тази празнина или по-скоро един: (x \u003d -3).

функцията (F (x) \u003d - DFRAC 1 (x + 1) е стриктно увеличаваща се изобщо (x в (-1; + infly), така че уравнението (- dfrac 1 (x +1) \u003d 0) има повече от едно решение при тази празнина, или не е така, защото Ляв страничен числа никога не може да бъде нула.

III. Ако функцията (F (x)) е неравномерна (непременна) и непрекъснато на сегмента (), и в края на сегмента, това отнема стойностите (f (a) \u003d a, f ( b) \u003d b), тогава, когато (c в) (в)), уравнението (F (x) \u003d c) винаги има поне едно решение.

Пример: Функцията (F (x) \u003d x ^ 3) е стриктно нараства (т.е. стриктно монотон) и непрекъснато изобщо (x в mathbb (R), така че във всеки (C \\ t in - infly; + infly)) уравнението (x ^ 3 \u003d c) има точно едно решение: (x \u003d sqrt (c)).

Задача 1 # 3153

Ниво на задача: по-лесно за EGE

той има точно два корена.

Обърнете се към уравнението във формата: [(3x ^ 2) ^ 3 + 3x ^ 2 \u003d (x-a) ^ 3 + (x-a)] Помислете за функцията (F (t) \u003d t ^ 3 + t). След това уравнението пренаписва във формата: Ние проучваме функцията (F (t)). Следователно функцията (F (t)) увеличава изобщо (t). Това означава, че всяка стойност на функцията (F (t)) съответства на точно една стойност на аргументато (t). Затова, за да може уравнението да има корени, трябва: \ За да може полученото уравнение да има два корена, е необходимо неговият дискриминант да е положителен: \

Отговор:

(лява (- infly; dfrac1 (12) дясно) \\ t

Задача 2 # 2653

Ниво на задача: равно на EGE

Намерете всички стойности на параметрите (a), в което уравнението \

има два корена.

(Задача от абонатите.)

(AX ^ 2-2x \u003d t), \\ t (x ^ 2-1 \u003d u). Тогава уравнението ще бъде под формата: \ Помислете за функцията (F (W) \u003d 7 ^ W + SQRTW). Тогава нашето уравнение ще бъде под формата: \\ t

Намерете дериват \ Обърнете внимание на това, производно (F "(W)\u003e 0), защото (7 ^ W\u003e 0), (W ^ 6\u003e 0). Ние също Обърнете внимание, че функцията (F (W)) е дефинирана изобщо (W). Тъй като (F (W) е непрекъснато, тогава можем да заключим, че (F (W)) увеличава всичко (MATHBB (R)).
Това означава, че равенството (f (t) \u003d f (u) е възможно, ако и само ако (t \u003d u). Нека се върнем към първоначалните променливи и да разрешим полученото уравнение:

\ За да може това уравнение да има два корена, тя трябва да бъде квадрат и нейният дискриминант трябва да бъде положителен:

[начало (случаи) А-1) 0-4 (A-1)\u003e 0 Край (случаи) Quad Leftradtarrow Quad (случаи) a \\ t<2\end{cases}\]

Отговор:

((- infly; 1) чаша (1; 2) \\ t

Задача 3 # 3921

Ниво на задача: равно на EGE

Намерете всички положителни стойности на параметъра (a), в който уравнението

той има най-малко (2) решения.

Ние прехвърляме всички термини, съдържащи (брад) наляво, и съдържащи (x ^ 2) - надясно, и помислете за функцията
\

След това първоначалното уравнение ще бъде под формата:
\

Намерете дериват:
\

Като ((T-2) ^ 2 geqslant 0, e ^ t\u003e 0, 1+ cos (2t) geqslant 0), след това (f "(t) geqslant 0) за всеки (t] mathbb (r)).

Освен това, (F "(t) \u003d 0), ако ((t-2) ^ 2 \u003d 0) и (1 + cos (2t) \u003d 0) в същото време, което не е доволен от всеки (t). Следователно, (F "(t)\u003e 0) за всеки (t] mathbb (r)).

По този начин функцията (f (t)) стриктно се увеличава изобщо (t \\ t на matbb (r)).

Това означава, че уравнението (F (AX) \u003d F (x ^ 2)) е еквивалентно на уравнението (AX \u003d X ^ 2).

Уравнение (x ^ 2-ash \u003d 0) с (a \u003d 0) има един корен (x \u003d 0) и с 0 0) има две различни корени (x_1 \u003d 0 и (x_2 \u003d a).
Трябва да намерим ценности (a), в който уравнението ще има най-малко два корена, като се вземе предвид факта, че (A\u003e 0).
Следователно отговорът: (0; + infly).

Отговор:

((0; + infly)).

Задача 4 # 1232

Ниво на задача: равно на EGE

Намерете всички стойности на параметрите (A), всеки от вас \

той има едно решение.

Вътрешна и лявата част на уравнението на (2 ^ (sqrt (x + 1)) (защото (2 ^ (sqrt (x + 1))\u003e 0)) и пренапишете уравнението във формата . \\ T \

Помислете за функция (y \u003d 2 ^ t cdot log _ (frac (1) (9)) ((t + 2)) \\ t Когато (taqslant 0) (защото (sqrt (x + 1) geqslant 0)).

Дериватив (y "\u003d ляво (-2 ^ t cdot log_9 ((t + 2)) вдясно)" \u003d - dfrac (2 ^ t) (ln9) cdot ляво (ln 2 ccot) \\ t ((t + 2)) + dfrac (1) (t + 2) дясно) \\ t.

Като (2 ^ t\u003e 0, dfrac (1) (t + 2)\u003e 0, ln (t + 2))\u003e 0) С All (t] Geqslant 0), след това (Y "<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Следователно, когато (t], функцията (y) монотонно намалява.

Уравнението може да се счита за (y (t) \u003d y (z)), където (z \u003d ax, t \u003d sqrt (x + 1)). От монотонността на функцията следва, че равенството е възможно само ако (t \u003d z).

Това означава, че уравнението е еквивалентно на уравнението: (AX \u003d SQRT (X + 1)), което от своя страна е еквивалентно на системата: [Начало (случаи) a ^ 2x ^ 2-x - 1 \u003d 0 axa geqslant 0 край (случаи) \\ t

Когато (a \u003d 0), системата има едно решение (x \u003d -1), което отговаря на състоянието (axe geqslant 0).

Помислете за случая (не 0). Дискриминант на първото уравнение на системата (D \u003d 1 + 4A ^ 2\u003e 0) с всички (a). Следователно уравнението винаги има две корени (x_1) и (x_2), и те са различни знаци (защото теоремата на Виета (x_1 cdot x_2 \u003d - dfrac (1) (a ^ 2)<0\) ).

Това означава, че когато (a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0) Състоянието е подходящо за положителен корен. Следователно, системата винаги има едно решение.

Така, (a matbb (r)).

Отговор:

(A MathBB (R)).

Задача 5 # 1234

Ниво на задача: равно на EGE

Намерете всички стойности на параметрите (A), всеки от вас \

има поне един корен на сегмента ([- 1; 0]).

Помислете за функция (F (x) \u003d 2x ^ 3-3x (ax + x-a ^ 2-1) -3a-a ^ 3) С някои фиксирани (a). Ще открием нейното дериват: (F "(x) \u003d 6x ^ 2-6ax-6x + 3a ^ 2 + 3 \u003d 3 (x ^ 2-2AX + a ^ 2 + x ^ 2-2x + 1) \u003d 3 ((xa) ^ 2 + (x-1) ^ 2) \\ t.

Обърнете внимание, че (F "(x) geqslant 0) при всички стойности (x) и (a) и равно на (0) само с (x \u003d a \u003d 1) , Но с (a \u003d 1):
(F "(x) \u003d 6 (x-1) ^ 2 дясно f (x) \u003d 2 (x-1) ^ 3 дясно) Уравнението (2 (x-1) ^ 3 \u003d 0) има единствения корен (x \u003d 1), който не отговаря на състоянието. Следователно, (a) не може да бъде равен на (1).

Така че с всички (a ne 1), функцията (F (x)) е стриктно нараства, следователно уравнението (F (x) \u003d 0) може да има не повече от един корен. Като се имат предвид свойствата на кубичната функция, графиката (F (x)) с някои фиксирани (a) ще изглежда така:

Следователно, за да може уравнението да има корен на сегмент ([- 1; 0], е необходимо: [начало (случаи) f (0) geqslant 0 f (-1) leqslant 0 край (случаи) дясно начало (случаи) a (a ^ 2 + 3) leqslant 0 \\ t (A + 2) (a ^ 2 + a + 4) geqslant 0 край (случаи) дясното начало (случаи) a leqslant 0 a geqslant -2 край (случаи) дясно прът -2 Leqslant a leqslant 0]

По този начин, (а в [-2; 0]).

Отговор:

(В [-2; 0].

Задача 6 # 2949

Ниво на задача: равно на EGE

Намерете всички стойности на параметрите (A), всеки от вас [(порно ^ 2x-5 sin x-2a (sin x-3) +6) cdot (sqrt2a + 8x sqrt (2x-2x ^ 2)) \u003d 0]

има корени.

(Задача от абонатите)

OST уравнения: (2x-2x ^ 2 geqslant 0 quad leftradtarrow quad x \\ t. Следователно, за да може уравнението да има корени, е необходимо поне едно от уравненията [sin ^ 2x-5 sin x-2a (sin sin x-3) + 6 \u003d 0 quad (малък (или)) quads sqrt2a + 8x sqrt (2x-2x ^ 2 ) \u003d 0] се занимават с otz.

1) Разгледайте първото уравнение [SIN ^ 2x-5 SIN X-2A (SIN X-3) + 6 \u003d 0 Quad Leftradtarrow Quad остави [започнете (събраното) начало (подравнено) sin x \u003d 2A + 2 End x \u003d 3 край (подравнен) край (събрана) право. QUAD LEFTRADDARROW QUAD SIN X \u003d 2A + 2 \\ t Това уравнение трябва да има корени в / (). Помислете за кръг:

Така виждаме това за всеки (2A + 2 в [sin 0; sin 1]) уравнението ще има едно решение и за всички останали - няма да има решения. Следователно (а вляво [-1; -1+ греха 1 право] Уравнението има решение.

2) Разгледайте второто уравнение [SQRT2A + 8X SQRT (2x-2x ^ 2) \u003d 0 quad leftradtarrow Quad 8x sqrt (x - x ^ 2) \u003d - a \\ t

Помислете за функцията (F (x) \u003d 8x sqrt (x - x ^ 2)). Ще открием нейното дериват: \ На OTZ, производно има една нула: (x \u003d frac34), което също е точката на максималната функция (f (x)).
Обърнете внимание, че (F (0) \u003d F (1) \u003d 0). Така, схематично графики (F (x)) изглежда така:

Следователно, за да се реши уравнението, е необходимо графиката (F (x)) да се пресича с права (y \u003d -a) (една от подходящите опции е изобразена на фигурата). Това е, трябва \ . С тези (x):

Функцията (Y_1 \u003d SQRT (X-1)) е стриктно нараства. Графиката на функцията (Y_2 \u003d 5x ^ 2-9x) е парабола, чийто връх е в точка (x \u003d dfrac (9) (10)). Следователно, с всички (x geqslant 1) функцията (Y_2) също се увеличава строго (десния клон на парабола). Като Сумата от строго нарастващите функции е стриктно увеличаваща се, след това (F_A (x)) - стриктно се увеличава (константа (3A + 8) не засяга монотонността на функцията).

(G_a (x) \u003d dfrac (a ^ 2) (x)) с всички (x geqslant 1) е част от десния клон на хипербола и стриктно намалява.

Решете уравнението (f_a (x) \u003d g_a (x)) означава да намерите точките на пресичане на функциите (F) и (g). От тяхното противоположно монотонност следва, че уравнението може да има не повече от един корен.

С (x geqslant 1) (F_a (x) geqslant 3a + 4, \\ t . Следователно уравнението ще има едно решение, ако:

Купа

Отговор:

(A, infly; -1] чаша)