Наклонена равнина на натиска. Тялото на наклонената равнина

Нека малко тяло е върху наклонената равнина с ъгъл на наклон А (фиг. 14.3, но). Разберете: 1) каква е силата на триене, ако тялото се плъзга на наклонената равнина; 2) каква е силата на триене, ако тялото лежи неподвижно; 3) с която минималната стойност на ъгъла на наклона А, тялото започва да извайва от наклонената равнина.

но) б)

Силата на триенето ще бъде покъснение Следователно движението ще бъде насочено нагоре по наклонената равнина (фиг. 14.3, б.). В допълнение към силата на триене, все още има силата на гравитацията и силата на нормална реакция. Ние въвеждаме координатната система HOU.Както е показано на фигурата и намират проекцията на всички тези сили върху координатните оси:

Х.: Е. TR. Х. = –Е. Tr, N X. = 0, mg x \u003d mgсина;

Y.: Е. TR. Y. = 0, N y \u003d n, mg y \u003d -mgкОСА.

Тъй като тялото може да ускори само върху наклонената равнина, т.е. по оста Х.очевидно е, че проекцията на вектора на ускорението на оста Y. Винаги ще бъде нула: и Y. \u003d 0, което означава, че количеството на прогнозите за всички сили на оста Y. Също трябва да бъде нула:

Е. TR. Y. + N y + mg y\u003d 0 þ 0 + N- mg.cosa \u003d 0

N \u003d mg.кОСА. (14.4)

След това силата на триене на ръцете съгласно формула (14.3) е равна на:

Е. TR.SK \u003d M. N \u003d. М. mg.кОСА. (14.5)

Ако тялото почивка, след това количеството на прогнозите на всички сили, действащи върху тялото на оста Х. трябва да бъде нула:

Е. TR. Х. + N X + mg x= 0 Þ – Е. TR + 0. + Mg.sina \u003d 0 þ

Е. Tr.p. \u003d Mg.сина. (14.6)

Ако постепенно увеличаваме ъгъла на наклона, тогава стойността mg.сина постепенно ще се увеличи, което означава, че силата на триенето на останалите ще се увеличи, която винаги е "автоматично коригирана" при външното въздействие и компенсира това.

Но, както знаем, "възможностите" на силите на триене не са неограничени. С някакъв ъгъл 0, целият "ресурс" на силата на триене на почивка ще бъде изчерпан: той ще достигне максималната си стойност, равна на силата на триене на плъзгането. Тогава равенството ще бъде справедливо:

Е. Т.СК. \u003d Mg.сина 0.

Заместване в това равенство Е. T.sk от формула (14.5), получаваме: m mg.cosa 0 \u003d. mg.сина 0.

Споделяне на двете части на последното равенство mg.cosa 0, получаваме:

Þ 0 \u003d ARCTGM.

Така че, ъгълът А, в който тялото на тялото започва на наклонената равнина, се дава по формулата:

0 \u003d ARCTGM. (14.7)

Обърнете внимание, че ако a \u003d a 0, тогава тялото може или лежи неподвижно (ако не го докоснете), или плъзнете с постоянна скорост надолу върху наклонената равнина (ако е малко, за да го натиснете). Ако.< a 0 , то тело «стабильно» неподвижно, и легкий толчок не произведет на него никакого «впечатления». А если a > А 0, тялото ще извади от наклонена равнина със ускорение и без никакви сътресения.

Задача 14.1. Човекът е късметлия от две свързани шейни (фиг. 14.4, но), прилагане на власт Е. Под ъгъл А към хоризонта. Масовата шейна са еднакви и равни t.. Коефициент на триене на Ползов в снега m. Намерете слънчево ускорение и напрежение T. Въже между Саня, както и сила Е. 1, с което въжето трябва да дръпне човека, за да се движи равномерно.

Е. М. м.	но)	б) Фиг. 14.4.
но = ? T. = ? Е. 1 = ?

Решение. Пишем втория закон на Нютон за всеки шейк в прогнозите на оста х. и w. (Фиг. 14.4, б.):

I. w.: Н. 1 + Е.сина - mg. = 0, (1)

х.: Е.кОСА - T. - M. Н. 1 = ма.; (2)

II. w.: Н. 2 – mg. = 0, (3)

х.: T. - M. Н. 2 = ма.. (4)

От (1) откриваме Н. 1 = mg - F.сина, от (3) и (4) T \u003d.м. mg + + mA. Заместване на тези стойности Н. 1 I. T. в (2)

Заместващ но в (4), получаваме

T. \u003d М. Н. 2 + ма.\u003d М. mg. + tA. =

М. mg. + t. .

Да намеря Е. 1, ние приравняваме изразяването но до нула:

Отговор: ; ;

СПРИ СЕ! Решете сами: B1, B6, C3.

Задача 14.2. Две тела маси t. и М. Свързана нишка, както е показано на фиг. 14.5, но. Какво ускорение тялото се движи М.Ако коефициентът на триене е около повърхността на масата m. Какво е напрежението на конеца T.? Каква е силата на натиска върху оста на блока?

t. М. М.	Решение. Пишем втория закон на Нютон в прогнозите на оста х. 1 I. х. 2 (фиг. 14.5, б.), като се има предвид, че: х. 1: T - М. Mg. = Ма., (1) х. 2: mg - t \u003d mA. (2) решаване на системата на уравнения (1) и (2), ние намираме:
но = ? T. = ? R. = ?

Ако това не се движи, тогава не се движат.

Отговор: 1) ако t. < mМ.T. но = 0, T. = mg.Шпакловка 2) ако T. ³ M. М.тогава , .

СПРИ СЕ! Решете сами: B9-B11, C5.

Задача 15.3. Две тела маси t. 1 I. t. 2 са свързани с резбата, кацнала през блока (фиг. 14.6). Тяло t. 1 е разположен на наклонена равнина с ъгъл на наклона a. Коефициентът на триене на равнината m. Телесна маса t. 2 виси на конеца. Намерете ускоряването на телата, силата на напрежението на конеца и мощността на блоковия натиск върху оста, при условие че t. 2 < t. един. Прочетете TGA\u003e m.

Фиг. 14.7.

Пишем втория закон на Нютон в прогнозите на оста х. 1 I. х. 2, като се има предвид това и:

х. 1: t. 1 г.сина - T - М. м. 1 г. Cosa \u003d. м. 1 а.,

х. 2: T - M. 2 g \u003d m. 2 а..

, .

Като но \u003e 0, тогава

Ако неравенството (1) не се изпълнява, товарът t. 2 Точно не се движи нагоре! След това са възможни още две опции: 1) системата е фиксирана; 2) товар t. 2 се движи надолу (и товар t. 1, съответно нагоре).

Да предположим, че тази кола t. 2 се движи надолу (фиг. 14.8).

Фиг. 14.8.

Тогава уравненията на втория закон на Нютон на оста х. 1 I. х. 2 ще изглежда:

х. 1: T - T. 1 г.сина. – М. м. 1 г.cosa \u003d. м. 1 а.,

х. 2: м. 2 g - t \u003d m 2 а..

Решаване на тази система на уравнения, ние намираме:

, .

Като но \u003e 0, тогава

Така че, ако неравенството се извършва (1), тогава товарът t. 2 отива нагоре и ако се извърши неравенство (2), след това надолу. Следователно, ако не се извършва нито едно от тези условия, т.е.

системата е фиксирана.

Остава да се намери силата на натиск върху оста на блока (фиг. 14.9). Сила на налягане върху оста на блока R. в този случай може да бъде намерен като диагонал ромб Assd.. Като

Ð ADC. \u003d 180 ° - 2,

където b \u003d 90 ° - а, тогава на косинус теоремата

R. 2 = .

Оттук .

Отговор:

1) ако T. , ;

2) ако T. , ;

3) ако T. но = 0; T. = t. 2 г..

Във всички случаи .

СПРИ СЕ! Решете сами: B13, B15.

Задача 14.4. На камионска маса М. Хоризонтални захранващи действия Е. (Фиг. 14.10, но). Коефициент на триене между товарго t. и количката е m. Определя ускорението на стоките. Какво трябва да бъде минималната сила Е. 0 до товар t. Започна да се плъзга в количката?

М., t. Е. М.	но)	б) Фиг. 14.10.
но 1 = ? но 2 = ? Е. 0 = ?

Решение. Първо, ние отбелязваме, че силата води товар t. В движение това е силата на триене на почивка, с която количката действа върху товара. Максималната възможна стойност на тази сила е m mg..

Съгласно третия закон на Нютон, товарът действа върху количката със същата най-голяма сила - (фиг. 14.10, \\ t б.). Строчът започва в момента, когато вече е достигнал максималната си стойност, но системата все още се движи като една телесна маса t.+М. с ускорение. Тогава според втория закон на Нютон

В нашия случай F h \u003d m · gкато Повърхност хоризонтално. Но нормалната сила не винаги съвпада със силата на гравитацията.

Нормалната сила е силата на взаимодействието на повърхностите на контактните тела, отколкото е по-силно, толкова по-силно е триенето.

Нормалната сила и силата на триене са пропорционални един на друг:

F tr \u003d μf n

0 < μ < 1 - коефициентът на триене, който характеризира грапавостта на повърхностите.

Когато μ \u003d 0 липсва триене (идеализиран случай)

С μ \u003d 1, максималната триене сила е равна на нормалната.

Силата на триене не зависи от областта на контакта на двете повърхности (ако техните маси не се променят).

Моля, обърнете внимание: уравнение F tr \u003d μf n Това не е връзка между векторите, тъй като те са насочени в различни посоки: нормалната сила е перпендикулярна на повърхността и силата на триене е успоредна.

1. Прецизност на триенето

Триене е два вида: статик и кинетик.

Статично триене (триене на почивка) действа между контактни органи, разположени в мир спрямо един друг. Статичното триене се проявява на микроскопично ниво.

Кинетично триене. (плъзгане на триене.) действа между контакт и се движат помежду си с тела. Кинетичното триене се проявява на макроскопско ниво.

Статичното триене е по-голямо от кинетичната за същите тела или коефициентът на триене на мира е по-голям от коефициента на приплъзване.

Със сигурност знаете това от личния опит: гардеробът е много трудно да се оттегли от мястото, но движението на кабинета е много по-лесно. Това се дължи на факта, че когато повърхността се движи тялото, "нямате време да" забранят контакта на микроскопското ниво.

Номер 1: каква сила ще бъде необходима за повдигане на топка с тегло 1 кг по наклонената равнина, разположена под ъгъл α \u003d 30 ° към хоризонта. Коефициент на триене μ \u003d 0.1

Изчислете компонента на гравитацията. За да започнем, трябва да знаем ъгъла между наклонената равнина и вектора на гравитацията. Вече направихме подобна процедура, като се има предвид гравитацията. Но повторението е майката на упражнението :)

Гравитацията е насочена вертикално надолу. Сумата от ъглите на всеки триъгълник е 180 °. Помислете за триъгълник, образуван от три сили: вектор на гравитацията; наклонена равнина; Основата на равнината (на фигурата, която е маркирана в червено).

Ъгълът между вектора на тежестта и базовата равнина е 90 °.
Ъгълът между наклонената равнина и неговата база е α

Следователно, оставащият ъгъл е ъгълът между наклонената равнина и вектора на тежестта:

180 ° - 90 ° - α \u003d 90 ° - α

Компонентите на тежестта по наклонената равнина:

F g none \u003d f g cos (90 ° - α) \u003d mgsinα

Необходимата сила за повишаване на топката:

F \u003d f g слот + f триене \u003d mgsinα + f триене

Необходимо е да се определи силата на триене F TR.. Като се вземат предвид коефициента на триене на мира:

F триене \u003d μf норми

Изчислете нормалната власт F Нормикоето е равно на гравитационния компонент, перпендикулярно на равнината на посоката. Вече знаем, че ъгълът между гравитационния вектор и наклонената равнина е 90 ° - α.

F норми \u003d mgsin (90 ° - α) \u003d mgcosa
F \u003d mgsinα + μmgcosα

F \u003d 1 · 9.8 · SIN30 ° + 0.1 · 1 · 9.8 · COS30 ° \u003d 4,9 + 0.85 \u003d 5.75

Ще трябва да приложим топката в топката в 5.75 n, за да я преобърнете на върха на наклонената равнина.

Номер на задача 2: определете колко далеч се търкаля с точката m \u003d 1 кг По хоризонталната равнина, като се е повишила върху наклонената дължина на равнината 10 метра с коефициента на плъзгане μ \u003d 0.05.

В картината са показани сили, действащи върху подвижната топка.

Гравитационен компонент по наклонената равнина:

F g cos (90 ° - α) \u003d mgsinα

Нормална сила:

F h \u003d mgsin (90 ° - α) \u003d mgcos (90 ° - α)

Сила на триене:

F триене \u003d μf h \u003d μmgsin (90 ° - α) \u003d μmgcosa

Препаративна сила:

F \u003d f g - f триене \u003d mgsinα - μmgcosa

F \u003d 1 · 9.8 · SIN30 ° - 0.05 · 1 · 9.8 · 0.87 \u003d 4.5

F \u003d mA; a \u003d F / m \u003d 4.5 / 1 \u003d 4.5 m / s 2

Определете скоростта на топката в края на наклонената равнина:

V 2 \u003d 2а; V \u003d 2AS \u003d 2 · 4,5 · 10 \u003d 9,5 m / s

Топката свършва движението по наклонената равнина и започва движението по хоризонталното директно със скорост 9.5 m / s. Сега в хоризонталната посока на топката само фрикционната сила е валидна и компонентът на гравитацията е нула.

Обща сила:

F \u003d μf h \u003d μf g \u003d μmg \u003d 0.05 · 1 · 9.8 \u003d -0.49

Знакът минус означава, че силата е насочена в обратна посока от движението. Определя ускорението на забавянето на топката:

a \u003d f / m \u003d -0.49 / 1 \u003d -0.49 m / s 2

Път на спирачката на купа:

V 1 2 - V 0 2 \u003d 2а; S \u003d (V 1 2 - V 0 2) / 2А

Тъй като ние определяме пътя на топката до пълната спирка, V 1 \u003d 0:

s \u003d (-V 02) / 2a \u003d (-9.5 2) / 2 · (-0.49) \u003d 92 m

Нашата топка се търкаля в права линия 92 метра!

Предстоящи сили. Движение на наклонената равнина

Задачи за динамиката.

I и II закон Нютон.

Въведете и осите на посоката.

Неолинии.

Прожектиране на силите на оста.

Решаване на системи на уравнения.

Най-типа задачи за динамиката

Нека започнем с законите за I и II на Нютон.

Нека отворим учебника по физика и прочетете. Правото на Нютон: Има такива инерционни системи справка, в която ...Затворете такъв учебник, аз също не разбирам. Добре, шегувам, разбирам, но ще обясня по-лесно.

Законът на Нютон: Ако тялото е на място или се движи равномерно (без ускорение), сумата на силите, действащи върху нея, е нула.

Заключение: Ако тялото се движи с постоянна скорост или стои на място, векторното количество сила ще бъде нула.

II Нютон Право: Ако тялото се движи еднакво или уравнено (с ускорение), сумата на силите, действащи върху него, е равна на масата на масата за ускорение.

Заключение: ако тялото се движи с променяща се скорост, тогава векторната сума на силите, която по някакъв начин засяга това тяло (силата на тягата, силата на триене, силата на съпротивлението на въздуха) е равна на масата на това тяло се размножава за ускорение.

В същото време, същото тяло най-често се движи по различен начин (равномерно или със ускорение) в различни оси. Разгледайте такъв пример.

Задача 1. Определете коефициента на триене на автомобилите с маса от 600 кг, ако двигателят на двигателя е 4500 h ускорява 5 m / s².

Не забравяйте да направите рисунка в такива задачи и да покажете силите, които се измерват с кола:

На останието: движение с ускорение

На оста y: няма движение (тук координатата, както е нула и остава, колата не се вдига в планините или се спуска надолу)

Тези сили, чиято посока съвпадат с посоката на осите, ще бъдат плюс, в противоположния случай - с минус.

Съгласно ос X: Силата на тягата е насочена къмдясно, както и ос X, ускорението също е насочено къмдясно.

FTR \u003d μN, където п е мощността на реакцията за поддръжка. На оста y: n \u003d mg, след това в тази задача ftr \u003d μmg.

Получаваме това:

Коефициентът на триене е безразмерна стойност. Следователно няма звена на измерване.

Отговор: 0.25.

Задача 2. Карго тегло 5кг, обвързан с безтегловната нерентабилна нишка, повишаване с ускорение от 3m / c². Определя силата на напрежението на конеца.

Нека да направим чертеж, да покажем силите, които са луди за товарното

T - сила на напрежението на конеца

На останието: няма сила

Ще се справим с посоката на силите на ос Y:

Express t (напрежение) и заместващи цифрови стойности:

Отговор: 65 n

Най-важното е да не се бърка с посоката на силите (на оста или срещу), всичко останало Направете калкулатор или цялата любима колона.

Не винаги всички сили, действащи върху тялото, са насочени по осите.

Прост пример: момчето дърпа шега

Ако също така изградим оси X и Y, тогава силата на напрежението (сцепление) няма да лежи на нито една от осите.

За да предскажете силата на тягата върху оста, помнете правоъгълния триъгълник.

Отношението на противоположната категория за хипотенуза е синус.

Съотношението на съседната категория за хипотенуза е косинус.

Сила на тягата на y оста на y (вектор) bc.

Натиснете Силата на ос на X AX (вектор) AC.

Ако не е ясно, погледнете задачата номер 4.

Колкото по-дълго от версията и съответно, по-малко от ъгъла α, толкова по-лесно ще дръпне шега. Перфектен вариантКогато въжето е успоредно на земятаВ крайна сметка, силата, която действа върху ос X е FNCOSa. С кой ъгъл на косинуса е максимален? Колкото повече такъв ще бъде, толкова по-силна ще има хоризонталната сила.

Задача 3. Барът е окачен на две нишки. Силата на напрежението е първата до 34 N, втората- 21n, θ1 \u003d 45 °, θ2 \u003d 60 °. Намерете много бар.

Ние въвеждаме оста и правилната сила:

Получаваме две правоъгълни триъгълници. AB и KL хипотензи - напрежение. LM и BC - прогнози на ос X, AC и KM - на оста y.

Отговор: 4.22 кг

Задача 4. Малко от 5 кг (тегло в този проблем не е необходимо, но така че всичко да е известно в уравненията, ние приемаме специфична стойност) слайдове от равнината, която се накланя под ъгъл от 45 °, с коефициента на триене μ \u003d 0.1. Намерете ускорението на брушното движение?

Когато има наклонена равнина, оста (X и Y) е най-добре да се изпращат по посока на движението на тялото. Някои сили в този случай (тук е mg) няма да лежат на нито една от осите. Тази сила трябва да бъде повишена, за да има една и съща посока като взетата ос.
Винаги Δabc е подобен на Δkom в такива задачи (от прав ъгъл и ъгъл на наклона на равнината).

По-подробно разгледайте:

Ние получаваме, че Ko Lies на y оста, а проекцията на mg на оста y ще бъде със косинус. Вектор MK Colineaire (паралелен) X ос, mg проекция на оста X ще бъде със синус, а MK векторът е насочен срещу ос от х (т.е. ще бъде с минус).

Не забравяйте, че ако указанията на оста и силите не съвпадат, тя трябва да бъде взета с минус!

От оста y, ние изразяваме n и заменяме уравнението x ос, откриваме ускорение:

Отговор: 6.36 m / s²

Както може да се види, масата в числителя може да бъде извадена от скоби и да се намали с банера. Тогава не е необходимо да го знаете, да получите отговор наистина без него.
Да да,в идеални условия (когато няма сила на въздушната устойчивост и т.н.), писалката е, че теглото ще бъде точна (есен) в същото време.

Задача 5. Автобусът се премества от пързалка под наклона от 60 ° с ускорението на 8 m / s² и със сила 8 kN. Коефициентът на триене на гуми на асфалт е 0.4. Намерете много автобуси.

Нека направим рисунка със сили:

Въвеждаме X и Y оси. Sprogit mg на оста:

Пишем втория закон на Нютон на X и Y:

Отговор: 6000 кг

Задача 6. Влакът се движи към радиуса 800 m със скорост от 72 км / ч. Определете колко външната релса трябва да бъде по-висока от вътрешната. Разстояние между релсите 1.5 m.

Най-трудното е да се разбере какви силни страни, където те действат и как ъгълът ги засяга.

Помнете, когато отидете в кръг на колата или в автобуса, къде ви тласкате? За да направите това, имате нужда от наклон, така че влакът да не падне супата!

Ъгъл α поставя съотношението на разликата във височината на релсите до разстоянието между тях (ако релсите са хоризонтално)

Ние пишем какви сили действат на оста:

Ускорение в тази задача Centripetal!

Разделяме едно уравнение на друго:

Допирателната е отношението на противоположна категория до съседство:

Отговор: 7.5 cm

Както установихме, решението на такива задачи се свежда до поставянето на указанията на силите, като ги проектира на оста и за решаване на системите на уравнения, почти единствената дреболия.

Като консолидация на материала решават няколко подобни задачи с подкани и отговори.

На повърхността на земята земно притегляне (gravitis.) е постоянен и равен на продукта на масата на инцидента, за да се ускори свободното падане: F g \u003d mg

Трябва да се отбележи, че ускорението на свободното разпространение е постоянно: g \u003d 9.8 m / s 2 и е насочено към центъра на земята. Въз основа на това можем да кажем, че телата с различна маса ще паднат на земята еднакво бързо. Как така? Ако хвърлите парче памучна вълна и тухла от една и съща височина, последната ще направи пътя си по-бързо. Не забравяйте за съпротивлението на въздуха! За памук ще бъде от съществено значение, защото плътността му е много малка. При безвъздушно пространство тухла и вълна ще падне едновременно.

Топката се движи по наклонената равнина с дължина 10 метра, ъгълът на наклона на равнината е 30 °. Каква ще бъде скоростта на топката в края на самолета?

Само силата на гравитацията f g действа върху топката, насочена перпендикулярна на базата на равнината. Под действието на тази сила (компонент, насочен по повърхността на равнината), топката ще се движи. Какво ще бъде компонентът на гравитацията, действайки по наклонената равнина?

За да се определи компонента, е необходимо да се знае ъгъла между енергийния вектор F G и наклонената равнина.

Определете ъгъла е съвсем прост:

сумата от ъглите на всеки триъгълник е 180 °;
ъгълът между енергийния вектор F g и основата на наклонената равнина е 90 °;
ъгълът между наклонената равнина и неговата база е α

Въз основа на гореизложеното, желаният ъгъл ще бъде равен на: 180 ° - 90 ° - α \u003d 90 ° - α

От тригонометрия:

F g none \u003d f g · cos (90 ° -α)

Sinα \u003d cos (90 ° -α)

F g none \u003d f g · sinα

Това е вярно:

при α \u003d 90 ° (вертикална равнина) F g totted \u003d f g
при α \u003d 0 ° (хоризонтална равнина) F g none \u003d 0

Ние определяме ускоряването на топката от известната формула:

F g · sinα \u003d m · a

A \u003d f g · sinα / m

A \u003d m · g · sinα / m \u003d g · sinα

Ускоряването на топката по наклонената равнина не зависи от масата на топката, но само на ъгъла на равнината.

Определете скоростта на топката в края на самолета:

V 1 2 - V 0 2 \u003d 2 · a · s

(V 0 \u003d 0) - топката започва да се движи от мястото

V 1 2 \u003d √2 · a · s

V \u003d 2 · g · sina · s \u003d √2 · 9.8 · 0.5 · 10 \u003d √98 \u003d 10 m / s

Обърнете внимание на формулата! Скоростта на тялото в края на наклонената равнина ще зависи само от ъгъла на самолета и неговата дължина.

В нашия случай скоростта на 10 m / s в края на равнината ще има билярдна топка и леки автомобили, и самосвал, и ученик на шейни. Разбира се, ние не разглеждаме триенето.