Функции Функции Обратните функции Обратната функционална диаграма. Взаимно обратни функции, основни дефиниции, свойства, графики

Нека има функция y \u003d f (x), x - нейната дефиниционна област, y - обхвата на стойностите. Знаем, че всеки x 0  съответства на единствената стойност в 0 \u003d F (x 0), y 0 yy.

Тя може да се окаже, че всяка U (или нейните части  1) съответства на единствения X от H.

След това казват, че функцията  (или нейните части  ) определя функцията x \u003d y обратна за функцията y \u003d f (x).

Например:

Х. \u003d (); Y \u003d $.

Тъй като тази функция намалява и е непрекъснато на листа от $ x $, след това на $ y \u003d $, което също намалява и е непрекъснато на тази празнина (теорема 1).

Изчислете $ x $:

\ \

Изберете подходящи $ x $:

Отговор: Обратната функция $ y \u003d - sqrt (x) $.

Задачи за намиране на обратни функции

В тази част се помисли обратните функции За някои елементарни функции. Задачите ще бъдат решени съгласно посочената по-горе схема.

Пример 2.

Намерете обратна функция за функцията $ y \u003d x + $ 4

Откриваме $ x $ от уравнение $ y \u003d x + $ 4:

Пример 3.

Намерете обратна функция за функцията $ y \u003d x ^ $ 3

Решение.

Тъй като функцията се увеличава и непрекъснато е цялата дефиниционна област, тогава, според теорема 1, тя има обратна непрекъсната и нарастваща функция върху нея.

Откриваме $ x $ от уравнението $ y \u003d x ^ $ 3:

Ние намираме подходящи стойности от $ x $

Стойността в нашия случай е подходяща (тъй като зоната на дефиниция е всички номера)

Предефинирайте променливите, ние получаваме обратната функция има формата

Пример 4.

Намерете обратна функция за функцията $ y \u003d cosx $ в диапазона $ $

Решение.

Помислете за зададената $ x \u003d остави $ функция $ y \u003d cosx $. Той е непрекъснат и намалява набор от $ x $ и показва зададения $ x \u003d остави $ до зададения $ y \u003d [- 1,1] $, следователно, от теоремата за съществуване в наличието на обратния непрекъснат монотон Функция във функцията $ y \u003d cosx $ в комплекта $ y $ има обратна функция, която също е непрекъсната и се увеличава в зададената $ y \u003d [- 1,1] $ и показва комплекта $ [- 1,1 ] $ до зададената $ л.

Откриваме $ x $ от $ y \u003d cosx уравнение $:

Ние намираме подходящи стойности от $ x $

Предефинирайте променливите, ние получаваме обратната функция има формата

Пример 5.

Намерете обратната функция за функцията $ y \u003d tgx $ в диапазона $ left (- frac (pi) (2), frac (pi) (2) вдясно) $.

Решение.

Помислете за зададената $ x \u003d left (- frac (pi) (2), frac (pi) (2) дясно) $ function $ y \u003d tgx $. Той е непрекъснат и увеличава набор от $ x $ и показва зададения $ x \u003d лява (- frac (pi) (2), frac (pi) (2) вдясно) $ до зададения $ y \u003d r $, следователно, от теорема за съществуването на обратна непрекъсната монотонна функция, функцията $ y \u003d tgx $ в няколко $ я $ съществува обратна функция, която също е непрекъсната и се увеличава в комплекта $ y \u003d r $ и показват комплекта $ r $ до set $ лява (- frac (pi) (2), frac (pi) (2) вдясно) $

Откриваме $ x $ от $ y \u003d tgx $ уравнение:

Ние намираме подходящи стойности от $ x $

Предефинирайте променливите, ние получаваме обратната функция има формата

Дотолкова доколкото тригонометрични функции Периодични, след това обратните функции не са недвусмислени. Така, уравнението y \u003d sIN X.Когато е посочено, има безкрайно много корени. Наистина, поради периодичността на синуса, ако X е такъв корен, тогава x + 2πn. (където n е цяло число) също ще бъде коренът на уравнението. По този начин, обратните тригонометрични функции са смислени. Така че беше по-лесно да се работи с тях, те въвеждат концепцията за основните им ценности. Помислете, например, синус: y \u003d sIN X.. Ако ограничите интервала на аргумента X, тогава тя е функция y \u003d sIN X. Монотонно се увеличава. Следователно, тя има недвусмислена обратна функция, наречена Arxinus: x \u003d arcsin y..

Ако не е специално уточнено, тогава под обратната тригонометрични функции те означават техните основни стойности, които се определят от следните дефиниции.

Arksinus ( y \u003d. arcsin x.) - Това е функция, обратна на синуса ( x \u003d. грех

Arkkosinus ( y \u003d. arccos X.) - Това е функция, обратна на косинус ( x \u003d. уЮТНА.), имайки област на дефиниция и много ценности.

Arctanens ( y \u003d. aRCTG X.) - Това е функция, обратна на допирателна ( x \u003d. y.), имайки област на дефиниция и много ценности.

Arkotanens ( y \u003d. aRCCTG X.) - Това е функция, обратна на kotannce ( x \u003d. cTG Y.), имайки област на дефиниция и много ценности.

Снимки на обратни тригонометрични функции

Графиките на обратните тригонометрични функции се получават от графиките на тригонометрични функции с отражение на огледалото спрямо директен Y \u003d X. Виж раздели Синус, Косинус , Допирателна, котангента.

y \u003d. arcsin x.

y \u003d. arccos X.

y \u003d. aRCTG X.

y \u003d. aRCCTG X.

Основни формули

Тук е необходимо да се обърне внимание на интервалите, за които са валидни формулите.

arcsin (sin x) \u003d x за
sIN (ARCSIN x) \u003d x
arccos (cos x) \u003d x за
cOS (ARCCOS x) \u003d x

aRCTG (tg x) \u003d x за
tg (ARCTG x) \u003d x
aRCCTG (CTG X) \u003d X за
cTG (ARCCTG x) \u003d x

Формули, обвързващи обратни тригонометрични функции

Формули на сумата и разликата

в Or Or

В I.

В I.

за

за

за

за

за

Препратки:
I.N. Bronstein, K.A. Полудиаев, справочник по математика за инженери и студенти от страна на присъстващите, "LAN", 2009.