Dependencia proporcional directa. Relaciones proporcionales directas e inversas Preguntas de autoevaluación
Lección de matemáticas en sexto grado.
sobre el tema "Relaciones proporcionales directas e inversas"
Desarrollado
profesor de matematicas
Institución educativa municipal "Escuela secundaria Mikhailovskaya que lleva el nombre
Héroe Unión Soviética V.F. Nésterov"
Kleymenova D.M.
Objetivos de la lección :
1. didáctica :
promover la formación y consolidación de habilidades para la resolución de problemas utilizando proporciones;
enseñar a identificar dos cantidades en condiciones problemáticas y establecer el tipo de relación entre ellas;
escribe una nota breve y haz una proporción;
consolidar destrezas y habilidades para resolver ecuaciones que tengan forma de proporciones.
2. Desarrollo :
desarrollar la memoria, la atención, continuar el desarrollo del habla matemática de los estudiantes;
promover el desarrollo de la actividad creativa y el interés de los estudiantes por la asignatura de matemáticas.
3. Educativo :
cultivar la precisión, desarrollar el interés por las matemáticas;
cultivar la capacidad de escuchar atentamente las opiniones de los demás, cultivar la confianza en uno mismo, cultivar una cultura de la comunicación.
Equipo: TSO requerido para la presentación: computadora y proyector, hojas de papel para anotar las respuestas, tarjetas para realizar la etapa de reflexión (tres para cada una), puntero.
Tipo de lección: lección de aplicación del conocimiento.
Formas de organización de lecciones:Trabajo frontal, colectivo, individual.
Estructura de la lección:
Organizar el tiempo, saludos, deseos.
Comprobación del material estudiado.
Mensaje del tema de la lección.
Repetición del material aprendido.
La etapa de control y autocontrol de los conocimientos y métodos de acción.
Etapa de resumir la lección.
Tarea.
Reflexión.
durante las clases
Organizar el tiempo.
(diapositiva 3)
(Saludar, registrar a los ausentes, verificar la preparación de los estudiantes para el proceso educativo, distribuir folletos y tarjetas para la reflexión, verificar la preparación del aula para la lección, organizar la atención del estudiante).
El maestro lee: (diapositiva número 3)
Las matemáticas son la base y reina de todas las ciencias,
Y te aconsejo que te hagas amigo de ella, amigo mío.
Si sigues sus sabias leyes,
Aumentarás tus conocimientos
¿Comenzarás a usarlos?
¿Puedes nadar en el mar?
Puedes volar en el espacio.
Puedes construir una casa para personas:
Permanecerá en pie durante cien años.
No seas perezoso, trabaja, inténtalo,
Comprender la sal de la ciencia.
Intenta probarlo todo.
Pero incansablemente.
2. Comprobación del material estudiado.
(Identifica problemas en el conocimiento y los métodos de actividad de los estudiantes y determina las razones de su aparición, elimina las lagunas identificadas durante la prueba).
Encuesta oral: (diapositiva número 4)
¿Cuál es la razón de dos números?
¿Cómo encontrar una fracción de un número?
¿Qué es la proporción?
¿Qué cantidades se llaman directamente proporcionales?
¿Qué muestra la razón de dos números?
¿Cómo encontrar un número por su fracción?
La principal propiedad de la proporción.
¿Qué cantidades se llaman inversamente proporcionales?
Termina la oración: (diapositiva 5). (Los niños primero completan la tarea de forma independiente, anotando en hojas de papel solo las letras correspondientes a la respuesta correcta. Luego levantan la mano. Después de eso, el maestro lee la pregunta en voz alta y los alumnos responden).
La dependencia proporcional directa es una dependencia de cantidades en la que...
Una dependencia proporcional inversa es una dependencia de cantidades en la que...
Para encontrar el término extremo desconocido de la proporción...
El término medio de la proporción es...
La proporción es correcta si...
CON) …Cuando un valor aumenta varias veces, el otro disminuye en la misma cantidad.
X) ...el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios de la proporción.
A) ... cuando un valor aumenta varias veces, el otro aumenta en la misma cantidad.
P) ... es necesario dividir el producto de los términos medios de la proporción por el término extremo conocido.
U) ...cuando un valor aumenta varias veces, el otro aumenta en la misma cantidad.
E) ...la relación entre el producto de los términos extremos y el promedio conocido.
Respuesta:ÉXITO.(diapositiva 6)
Dictado gráfico(diapositivas 7-10).
No digas "sí" o "no"
Y dibuja un icono.
“Sí” con el signo “+”, no con el signo “-”.
(Los estudiantes trabajan de forma independiente. Las respuestas se escriben en hojas de papel. Realice una autoevaluación utilizando la diapositiva No. Al final de la lección, el maestro mira las hojas de papel)
Si el área de un rectángulo es constante, entonces su largo y ancho son inversamente proporcionales.
La altura y la edad de un niño son directamente proporcionales.
Si el ancho de un rectángulo es constante, su largo y área son directamente proporcionales.
La velocidad de un automóvil y el tiempo que se desplaza son inversamente proporcionales.
La velocidad de un automóvil y la distancia recorrida son inversamente proporcionales.
Los ingresos de taquilla de un cine son directamente proporcionales al número de entradas vendidas, vendidas al mismo precio.
La capacidad de carga de las máquinas y su número son inversamente proporcionales.
El perímetro de un cuadrado y la longitud de su lado son directamente proporcionales.
A precio constante, el costo de un producto y su masa son inversamente proporcionales.
Respuesta: + - + + - + + - -(Diapositiva número 10)
Obtenga una evaluación. (diapositiva No. 11)
8 -9 respuestas correctas - “5”
6-7 respuestas correctas - "4"
4-5 respuestas correctas - "3"
Conteo oral: (diapositivas 12-13)
¡Vamos, deja los lápices a un lado!
¡Sin papeles, sin bolígrafos, sin tiza!
¡Conteo verbal! Estamos haciendo esto
¡Sólo por el poder de la mente y el alma!
Ejercicio: Encuentra el término desconocido de la proporción:
Respuestas: 1) 39; 24; 3; 24; 21.
2)10; 3; 13.
Mensaje del tema de la lección. diapositiva número 14 (Proporciona motivación para que los escolares estudien).
El tema de nuestra lección es "Relaciones proporcionales directas e inversas".
En lecciones anteriores, analizamos la dependencia proporcional directa e inversa de cantidades. Hoy en la lección resolveremos varios problemas usando proporciones, estableciendo el tipo de conexión entre datos. Repitamos la propiedad básica de las proporciones. Y la siguiente lección, que concluye sobre este tema, es decir. lección - prueba.
demostrado diapositiva número 15
La etapa de generalización y sistematización del conocimiento.
1) Tarea1.
Crea proporciones para resolver problemas:(trabajar en cuadernos)
A)Un ciclista recorre 75 km en 3 horas. ¿Cuánto tiempo tardará un ciclista en recorrer 125 km con la misma velocidad?
b) 8 tuberías idénticas llenan una piscina en 25 minutos. ¿Cuántos minutos se necesitarán para llenar una piscina con 10 tuberías de este tipo?
c) Un equipo de 8 trabajadores completa la tarea en 15 días. ¿Cuántos trabajadores pueden completar esta tarea en 10 días trabajando con la misma productividad?
d) De 5,6 kg de tomates se obtienen 2 litros de salsa de tomate. ¿Cuántos litros de salsa se pueden obtener con 54 kg de tomates?
Revisar respuestas. ( Diapositiva No. 16) (autoevaluación: poner + o - con lápizcuadernos; analizar errores)
Respuestas:a) 3:x=75:125c) 8:x=10:15
b) 8:10= X:2 5 d) 5.6:54=2:X
2) Minuta de educación física. (diapositiva nº 17-22)
Nos levantamos rápidamente de nuestros escritorios.
Y caminaron sobre el terreno.
Y luego sonreímos
Se estiraron cada vez más alto.
Se sentó - se levantó, se sentó - se levantó
En un minuto cogimos fuerzas.
Enderezar tus hombros
Subir, bajar,
Gira a la derecha. Gira a la izquierda
Y siéntate de nuevo en tu escritorio.
3) Resuelve el problema (diapositiva número 23)
№788 (pág. 130, libro de texto de Vilenkin)(después de analizarlo usted mismo)
En primavera, durante las obras de paisajismo de la ciudad, se plantaron tilos en la calle. Se aceptó el 95% de todos los tilos plantados. ¿Cuántos tilos se plantaron si se plantaron 57 tilos?
Lee el problema.
¿Qué dos cantidades se analizan en el problema?(sobre el número de tilos y sus porcentajes)
¿Cuál es la relación entre estas cantidades?(directamente proporcional)
Toma nota breve, proporcióna y resuelve el problema.
Solución:
| Tilos (uds.) | Interés % |
|
| ellos encarcelaron | ||
| Aceptado |
; 
; x=60.
Respuesta: Se plantaron 60 tilos.
4) Resuelve el problema: (diapositiva No. 24-25) (después del análisis, decida usted mismo; verificación mutua, luego se muestra la solución en la pantalla, diapositiva No. 23)
Para calentar el edificio de la escuela, se almacenó carbón durante 180 días a un ritmo de consumo de 0,6 toneladas de carbón por día. ¿Cuántos días durará este suministro si se gastan 0,5t diarias?
Solución:
Breve entrada:
| Peso (t) en 1 dia | Cantidad días |
|
| Según la norma | ||
Hagamos una proporción:
; 
; 
días
Respuesta: 216 días.
5) Núm. 793 (pág. 131)(análisis del campo de forma independiente; autocontrol.
(Diapositiva n.° 26)
En el mineral de hierro, por cada 7 partes de hierro hay 3 partes de impurezas. ¿Cuántas toneladas de impurezas hay en el mineral que contiene 73,5 toneladas de hierro?
Solución: (diapositiva número 27)
| Cantidad partes | Peso |
|
| Hierro | 73,5 |
|
| Impurezas |
; 
; 
Respuesta: 31,5 kg de impurezas.
6) Resumir los resultados de la etapa. (diapositiva número 28)
Entonces, formulemos un algoritmo para resolver problemas usando proporciones.
Algoritmo para resolver problemas directos.
y relaciones inversamente proporcionales:
Un número desconocido se denota con la letra x.
La condición está escrita en forma de tabla.
Se establece el tipo de relación entre cantidades.
Directamente dependencia proporcional se indica con flechas de dirección idéntica y una relación inversamente proporcional se indica con flechas de dirección opuesta.
Se registra la proporción.
Se localiza su miembro desconocido.
5. Repetición del material estudiado. (diapositiva número 29)
№763(s)(página 125)(con comentarios en la pizarra)
6. Etapa de control y autocontrol de los conocimientos y métodos de actuación.
(diapositiva número 30-32)
Trabajo independiente (10 - 15 min) (Verificación mutua: los estudiantes se revisan entre sí usando diapositivas ya preparadas Trabajo independiente, mientras configura + o -. Al final de la lección, el profesor recoge los cuadernos para su revisión).
Resolver problemas haciendo proporciones.
№1. El ciclista tardó 0,7 horas en viajar de un pueblo a otro a una velocidad de 12,5 km/h. ¿A qué velocidad tuvo que viajar para recorrer este camino en 0,5 horas?
Solución:
Breve entrada:
| Velocidad (km/h) | Tiempo (horas) |
|
| 12,5 | ||
Hagamos una proporción:
; 
; 
kilómetros por hora
Respuesta: 17,5 km/h
№2. De 5 kg de ciruelas frescas se obtienen 1,5 kg de ciruelas pasas. ¿Cuántas ciruelas producirán 17,5 kg de ciruelas frescas?
Solución:
Breve entrada:
| Ciruelas (kg) | Ciruelas pasas (kg) |
|
| 17,5 |
Hagamos una proporción:
; 
; 
kg
Respuesta: 5,25 kg
№3. El coche recorrió 500 km con 35 litros de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina se necesitarán para recorrer 420 km?
Solución:
Breve entrada:
| Distancia (km) | Gasolina (litros) |
|
2. Sistema proporcional.
La evidente injusticia hacia los partidos políticos que participan en las elecciones, que a menudo conlleva el sistema mayoritario, ha dado lugar a un sistema de representación proporcional de partidos y movimientos, abreviado como sistema proporcional. Su idea principal es que cada partido reciba un número de mandatos en el parlamento u otro organismo representativo proporcional al número de votos emitidos por sus candidatos en las elecciones.
Los sistemas de representación proporcional son los más comunes en los países. América Latina Y de Europa del Este, y también constituyen un tercio de los sistemas electorales de África.
La mayoría de los sistemas proporcionales se caracterizan por la votación por lista de partidos, lo que supone que cada partido estará listo para proponer una lista de candidatos para la consideración de los votantes. Los votantes votan por partidos y reciben su parte de escaños en el parlamento en proporción al número de votos recibidos.
Este sistema tiene su propio ventajas:
1. No conduce a resultados anormales característicos de un sistema mayoritario y proporciona un cuerpo legislativo más representativo.
2. Garantiza una proporción justa entre votos recibidos y escaños en el parlamento y, por lo tanto, permite evitar resultados desestabilizadores e “injustos”.
4. Permite que los partidos pequeños obtengan representación en el parlamento. Cualquier partido político, incluso con un pequeño porcentaje de los votos, puede estar representado en el parlamento, a menos, por supuesto, que la barrera de entrada sea demasiado alta o el tamaño del electorado demasiado pequeño.
5. Alienta a los partidos a incluir en sus listas candidatos que representen diferentes estratos sociales.
6. Brinda a los miembros de minorías culturales y de otro tipo una mejor oportunidad de ser elegidos.
7. Dar a las mujeres más oportunidades de ser elegidas al parlamento.
8. El sistema limita la división regional. Porque Con la representación proporcional, los partidos pequeños reciben una pequeña cantidad de escaños, lo que prácticamente elimina la situación en la que un partido recibe todos los mandatos de una provincia o distrito.
9. Proporciona una división de poder más visible entre partidos y grupos de interés. En la mayoría de los nuevos países democráticos Es imposible evitar la necesidad de dividir el poder entre la mayoría del pueblo, cuyos representantes tienen en sus manos. poder politico y un pequeño número de quienes ostentan el poder económico.
Sistemas de representación proporcional criticado por dos razones principales:
en primer lugar, por su tendencia a formar gobiernos de coalición con todas sus carencias;
en segundo lugar, por el fracaso de algunos de estos sistemas a la hora de proporcionar una fuerte conexión geográfica entre el parlamentario y sus electores. Los argumentos más comunes en contra de los sistemas de representación proporcional son:
1. La formación de un gobierno de coalición conduce al estupor legislativo y a una mayor incapacidad para aplicar una política coherente respecto de los problemas más importantes.
2. Fragmentación desestabilizadora. El pluralismo polarizado puede brindar a los partidos pequeños la oportunidad de ganarse a los grandes y entablar negociaciones con ellos para crear coaliciones. En este aspecto se cita como desventaja la amplia representación.
3. La base de las actividades de los partidos extremistas.
4. Creación de una coalición gobernante en la que no hay suficiente comprensión sobre el rumbo político necesario y que no goza del apoyo de la población.
5. La imposibilidad de eliminar al partido del poder.
6. Debilitar la conexión entre votantes y diputados.
7. Pone demasiado poder en manos del centro del partido y de los altos dirigentes del partido. El lugar de un candidato en la lista del partido y, por tanto, la probabilidad de que pueda llegar al parlamento, depende del favor de los jefes del partido, y las relaciones con los votantes pasan a un segundo plano.
8. El sistema es poco conocido por la mayoría de los países que tienen una historia de conquista colonial inglesa o francesa.
Capítulo 3 RELACIONES Y PROPORCIONES
Usando proporciones puedes resolver problemas.
Sabes, por ejemplo, que el coste de un producto depende de su cantidad: cuanto mayor es la cantidad de un producto que se compra, mayor es su coste. Estas cantidades se denominan directamente proporcionales.
¡Recordar!
Dos cantidades se llaman directamente proporcionales si, cuando una cantidad aumenta (disminuye) varias veces, la otra cantidad aumenta (disminuye) el mismo número de veces.
Problema 1. Por 2 kg de dulces pagamos 72 UAH. ¿Cuánto costarán 4,5 kg de estos dulces?
Soluciones.
Nota:
Si dos cantidades son directamente proporcionales, entonces la proporción está formada por la relación de los valores correspondientes de estas cantidades.
En la práctica, además de la dependencia proporcional directa de las cantidades, también existe una dependencia proporcional inversa. Por ejemplo, de camino al colegio, cuando hay poco tiempo, aumentas la velocidad para no llegar tarde a clase. Por tanto, la velocidad de tu movimiento depende de la hora del movimiento: cuanto más corto sea el tiempo de movimiento, mayor será tu velocidad. Estas cantidades se denominan inversamente proporcionales.
¡Recordar!
Dos cantidades se llaman inversamente proporcionales si, cuando una cantidad aumenta (disminuye) varias veces, la otra cantidad disminuye (aumenta) el mismo número de veces.
Problema 2. Un automóvil, que se movía a una velocidad de 90 km/h, recorrió la distancia de Cherkassy a Kiev en 2 h 3 ¿A qué velocidad se movió en la dirección opuesta si cubrió la distancia de Kiev a Cherkasy en 2,5? h?
Soluciones.
Nota:
Si dos cantidades son inversamente proporcionales, entonces la proporción está formada por las razones mutuamente inversas de los valores correspondientes de estas cantidades.
¿Dos cantidades son siempre directamente proporcionales o inversamente proporcionales? Especulemos. Por ejemplo, durante una enfermedad, la temperatura de un niño puede subir y bajar en el transcurso de varios días. Y aquí no hay dependencia, lo que significa que no puede haber proporcionalidad. Pero la altura de un niño aumenta constantemente a medida que aumenta su edad. En consecuencia, existe una relación entre las cantidades, lo que significa que hay motivos para analizar los datos proporcionales de las cantidades. Está claro que aquí no existe dependencia proporcional, por lo que no es necesario saber exactamente en qué medida estas cantidades proporcionales son directas o inversas. Si dos cantidades son proporcionales, entonces sólo son posibles dos opciones que se excluyen mutuamente: la proporcionalidad directa o la proporcionalidad inversa.
Saber más
El nombre del monje matemático italiano está indirectamente relacionado con la historia de la proporción áurea. Leonardo de Pisa (1180-1240 págs.), más conocido como Fibonacci (hijo de Bonacci).
Viajó mucho por Oriente, introdujo en Europa los números indios (árabes). En 1202 se publicó su obra matemática “Libro de los Abaci” (tablas de contar), que recogía todos los problemas conocidos en aquel momento. Una de las tareas era: “¿Cuántas parejas de conejos nacerán de una pareja en un año?” Argumentando sobre este tema, Fibonacci construyó la siguiente serie de números:
0, 1, 1,2, 3, 5, 8, 13,21, 34,55, ... .
Esta secuencia de números ahora se conoce como serie de Fibonacci. La peculiaridad de esta secuencia de números es que cada uno de sus miembros, comenzando por el tercero, igual a la suma dos anteriores:
0 + 1 = 1; 1+1 = 2; 1+2 = 3; 2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8; 5 + 8=13; 8 + 13 = 21; 13 + 21=34
similares, y la proporción de números vecinos en una serie se acerca a la proporción de la proporción áurea. Por ejemplo:
21: 34 = 0,617, a34: 55 = 0,618.
RECUERDA LO IMPORTANTE
1. ¿Qué cantidades se llaman directamente proporcionales? Dar ejemplos.
2. ¿Cómo resuelven problemas de proporcionalidad directa?
3. ¿Qué cantidades se llaman inversamente proporcionales? Dar ejemplos.
4. ¿Resuelvo problemas de proporcionalidad inversa?
5. ¿Dos cantidades son siempre proporcionales?
589". Dos cantidades son directamente proporcionales. ¿Cómo cambiará una cantidad si la otra: a) aumenta 5 veces; b) disminuye 2 veces?
Explica tu respuesta.
590". Según las condiciones del problema, hicimos una entrada abreviada:
1)3-36, 2) 70-3, 3) 2-100,
4-48; 60-2; 4-50.
¿Son estas cantidades directamente proporcionales?
591". Dos cantidades son inversamente proporcionales. ¿Cómo cambiará una cantidad si la otra:
a) aumentará 4 veces; b) ¿disminuirá 6 veces?
Explica tu respuesta.
592". Según las condiciones del problema, hicimos una entrada abreviada:
1) 80-4, 2)3-18, 3)10-8,
160 - 2; 5 - 30; 4 - 20.
¿Son estas cantidades inversamente proporcionales?
593°. Determina si esta dependencia de las cantidades es directamente proporcional:
1) el costo de los bienes adquiridos al mismo precio y la cantidad de bienes;
2) la masa de una caja de bombones y el número de bombones idénticos en la caja;
3) la distancia recorrida por el automóvil a velocidad constante y el tiempo de movimiento;
4) velocidad de movimiento y tiempo de movimiento para recorrer una determinada distancia;
5) el peso y la altura de una persona;
b) la masa de frutos rojos y la masa de azúcar para hacer mermelada;
7) el perímetro del rectángulo y la longitud de uno de sus lados;
8) la longitud del lado del cuadrado y su perímetro.
594°. Usando la forma abreviada del problema, encuentre x si las cantidades son directamente proporcionales.
1) 3 kg de dulces - 36 UAH, 2) 15 partes - 3 horas,
6 kg de dulces x; x-2 horas.
595°. ¿Cuánto cuestan 10 kg de dulces si pagaste 128 UAH por 4 kg de esos dulces?
596°. Por 3 kg de manzanas pagamos 24 grivnas. ¿Cuánto cuestan 7 kg de esas manzanas?
597°. En 4 horas el barco recorrió 80 km. ¿Qué distancia recorrerá el barco en 2 horas moviéndose a la misma velocidad?
598°. Un turista caminó 20 km en 5 horas. ¿Cuántas horas tardará un turista en recorrer una distancia de 28 km, desplazándose a la misma velocidad?
599°. Al hornear pan con 1 kg de harina de centeno se obtienen 1,4 kg de pan. ¿Cuánta harina se necesita para hacer 42 quintales de pan?
600°. De 3 kg de granos de café crudos se obtienen 2,5 kg de granos tostados. ¿Cuántos kilogramos de granos de café crudos se deben tomar para obtener 10 kg de granos de café tostados?
601°. El coche recorrió una distancia de 210 km en 3 horas. ¿Cuál es la distancia recorrida por un auto en 2 horas, moviéndose a la misma velocidad?
602°. El mono gibón sin cola, saltando de árbol en árbol, recorre una distancia de 32 km en 2 horas. ¿Qué distancia recorrerá el gibón en 3 horas?
603°. Determine si esta dependencia de cantidades es inversamente proporcional:
1) el precio del producto y el precio de compra;
2) la masa de la caja de bombones y su coste;
3) velocidad de movimiento y tiempo de movimiento para recorrer una determinada distancia;
4) la velocidad del automóvil y la distancia que recorrió a velocidad constante;
5) la cantidad de trabajo realizado y el tiempo necesario para completarlo;
6) productividad laboral y el tiempo necesario para completar una determinada cantidad de trabajo;
7) la cantidad de automóviles y la carga que transportarán en un tiempo determinado;
8) la longitud del lado del cuadrado y su área.
604°. Usando la forma abreviada del problema, encuentre x si las cantidades son inversamente proporcionales.
1) 3 h - 80 km/h, 2) 5 -8 días laborables,
4 h - x; x-10 días.
605°. 3 carpinteros completaron el pedido de producción de muebles en 12 días. ¿En cuántos días podrán completar un pedido 6 carpinteros si su productividad laboral es la misma?
606°, ¿cuántos días tardarán 6 trabajadores en completar la tarea si 2 trabajadores pueden completarla en 9 días?
607°. El canguro rojo se movió durante 3 horas a una velocidad de 55 km/h. ¿Cuál debe ser la velocidad del canguro para que pueda recorrer esta distancia en 2,5 horas?
608°. ¿Cuál debe ser la velocidad del tren según el nuevo horario para recorrer la distancia entre dos estaciones en 4 horas, si según el antiguo horario, moviéndose a una velocidad de 100 km/h la recorrió en 5 horas?
609. Por 4 kg de galletas pagamos 56 grivnas. ¿Cuánto costarán 3 kg de dulces, cuyo precio es 2 UAH más que el precio de las galletas?
610. 5 kg de manzanas cuestan 40 grivnas. Encuentre el costo de 2 kg de peras, cuyo precio es 4 UAH más que el precio de las manzanas.
611. El péndulo de un reloj de pared realiza 730 oscilaciones en 15 minutos. ¿Cuántas oscilaciones hará en 1 hora? ¿Cuánto tiempo le tomará al péndulo realizar 2190 oscilaciones?
612. Natalia pagó 60 grivnas por 24 cuadernos. ¿Cuánto cuestan 20 de estos cuadernos? ¿Cuántos cuadernos de este tipo puedes comprar por 45 UAH?
613. En una lata hay 12 litros de leche. Se vertió en partes iguales en 6 latas. ¿Cuántos litros de leche hay en cada lata? ¿Cuántos frascos de tres litros se pueden llenar con leche de esta lata?
614. Por un grifo fluyen 6 litros de agua en un minuto. ¿Cuánta agua saldrá del grifo en media hora? ¿Cuánto tiempo tardarán en salir del grifo 27 litros de agua?
615. La distancia entre estaciones es de 360 km. ¿Cuánto tiempo tardará un tren en recorrer esta distancia si recorre 90 km en una hora? ¿Cuál debe ser la velocidad del tren para que pueda recorrer esta distancia en 4 horas 30 minutos?
616. La distancia entre pueblos es de 18 km. ¿Cuánto tiempo le toma a un ciclista cuya velocidad es de 12 km/h completar esta distancia? ¿A qué velocidad debe moverse un peatón para recorrer esta distancia en 6 horas?
617. Dos tractores araron un campo en 6 días. ¿Cuántos días tardarán 4 tractores en limpiar este campo si trabajan con la misma productividad laboral? ¿Cuántos tractores se necesitan para arar este campo en 2 días?
618. Ocho camiones pueden transportar carga en 3 días. ¿Cuántos días tardarán 6 camiones de este tipo en transportar carga? ¿Cuántos camiones se necesitarán para transportar esta carga en 2 días?
619. Redactar y resolver un problema sobre:
1) proporcionalidad directa, para resolver la cual es necesario crear una proporción
2) proporcionalidad inversa, para resolver la cual es necesario calcular la proporción x: 4 = 120: 160.
620. Redactar y resolver un problema sobre: 1) proporcionalidad directa, para cuya solución es necesario crear una proporción
2) proporcionalidad inversa, para resolver la cual es necesario hacer la proporción 3: x = 90: 60.
621*. Tarasik puede caminar desde la estación de tren hasta el pueblo en 20 minutos. ¿Cuánto tiempo le tomará andar en bicicleta desde la estación hasta el pueblo si su velocidad en bicicleta es 2 veces más rápida que su velocidad a pie?
622*. Un maestro, que trabaja de forma independiente, completa el trabajo en 3 días y, junto con un estudiante, en 2 días. ¿En cuántos días puede un estudiante completar este trabajo de forma independiente?
623*. Dima corre 4 vueltas en la cinta al mismo tiempo que Katya corre 3 vueltas. Katya corrió 12 vueltas. ¿Cuántas vueltas da Dima durante este tiempo?
624*. Se puede bombear agua de una piscina en 1 hora y 15 minutos. ¿Cuánto tiempo después de comenzar a trabajar quedará en la piscina el 0,2 del agua que había al principio?
PONLO EN PRÁCTICA
625. Para imprimir el libro se planeó colocar 28 líneas en cada página, con 40 letras en cada línea. Sin embargo, resultó que tiene más sentido colocar 35 líneas en cada página. ¿Cuántas letras se colocarán en cada línea durante la impresión de este libro, si el número de letras en la página no cambia?
626. Para preparar 12 bizcochos es necesario coger la clara de un huevo y 3 cucharadas de azúcar. ¿Cuántos de estos productos necesitas tomar para preparar 24 de estas piezas? ¿Cuántos de estos pasteles obtendrás si tienes 3 huevos?
PROBLEMAS DE REVISIÓN
627. ¿Qué número se debe ingresar en la última celda de la cadena?
628. Resuelve la ecuación:
Resolución de problemas del libro de problemas Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Shvartsburd para sexto grado de matemáticas sobre el tema:
§ 4. Relaciones y proporciones:
22. Relaciones proporcionales directas e inversas
1 Por 3,2 kg de mercancías pagaron 115,2 rublos. ¿Cuánto debería pagar por 1,5 kg de este producto?
SOLUCIÓN
2 Dos rectángulos tienen la misma área. La longitud del primer rectángulo es de 3,6 m y el ancho es de 2,4 m. La longitud del segundo es de 4,8 m.
SOLUCIÓN
782 Determinar si la relación entre las cantidades es directa, inversa o no proporcional: la distancia recorrida por el automóvil a velocidad constante y el tiempo de su movimiento; el costo de los bienes adquiridos al mismo precio y su cantidad; el área del cuadrado y la longitud de su lado; la masa de la barra de acero y su volumen; el número de trabajadores que realizan algún trabajo con la misma productividad laboral y el tiempo de finalización; el costo del producto y su cantidad comprada por una determinada cantidad de dinero; la edad de la persona y la talla de sus zapatos; el volumen del cubo y la longitud de su arista; el perímetro del cuadrado y la longitud de su lado; una fracción y su denominador si el numerador no cambia; una fracción y su numerador si el denominador no cambia.
SOLUCIÓN
783 Una bola de acero con un volumen de 6 cm3 tiene una masa de 46,8 g ¿Cuál es la masa de una bola hecha del mismo acero si su volumen es de 2,5 cm3?
SOLUCIÓN
784 De 21 kg de semilla de algodón se obtuvieron 5,1 kg de aceite. ¿Cuánto aceite se obtendrá con 7 kg de semilla de algodón?
SOLUCIÓN
785 Para la construcción del estadio, 5 excavadoras limpiaron el lugar en 210 minutos. ¿Cuánto tiempo tardarán 7 excavadoras en limpiar este sitio?
SOLUCIÓN
786 Para transportar la carga se necesitaron 24 vehículos con una capacidad de carga de 7,5 toneladas. ¿Cuántos vehículos con una capacidad de carga de 4,5 toneladas se necesitan para transportar la misma carga?
SOLUCIÓN
787 Para determinar la germinación de las semillas, se sembraron guisantes. De los 200 guisantes sembrados, 170 brotaron. ¿Qué porcentaje de los guisantes brotaron (germinaron)?
SOLUCIÓN
788 Durante el domingo de reverdecimiento de la ciudad se plantaron tilos en la calle. Se aceptó el 95% de todos los tilos plantados. ¿Cuántos de ellos se plantaron si se plantaron 57 tilos?
SOLUCIÓN
789 Hay 80 estudiantes en la sección de esquí. Entre ellos se encuentran 32 niñas. ¿Qué porcentaje de los participantes de la sección son niñas y niños?
SOLUCIÓN
790 Según el plan, la planta debía fundir 980 toneladas de acero en un mes. Pero el plan se cumplió en un 115%. ¿Cuántas toneladas de acero produjo la planta?
SOLUCIÓN
791 En 8 meses, el trabajador completó el 96% del plan anual. ¿Qué porcentaje del plan anual completará el trabajador en 12 meses si trabaja con la misma productividad?
SOLUCIÓN
792 En tres días se cosechó el 16,5% de toda la remolacha. ¿Cuántos días se necesitan para cosechar el 60,5% de la remolacha si se trabaja con la misma productividad?
SOLUCIÓN
793 En el mineral de hierro, por cada 7 partes de hierro hay 3 partes de impurezas. ¿Cuántas toneladas de impurezas hay en el mineral que contiene 73,5 toneladas de hierro?
SOLUCIÓN
794 Para preparar borscht, por cada 100 g de carne es necesario tomar 60 g de remolacha. ¿Cuántas remolachas debes tomar por 650 g de carne?
SOLUCIÓN
796 Expresa cada una de las siguientes fracciones como la suma de dos fracciones con numerador 1.
SOLUCIÓN
797 A partir de los números 3, 7, 9 y 21, forma dos proporciones correctas.
SOLUCIÓN
798 Los términos medios de la proporción son 6 y 10. ¿Cuáles pueden ser los términos extremos? Dar ejemplos.
SOLUCIÓN
799 ¿A qué valor de x es correcta la proporción?
SOLUCIÓN
800 Encuentre la proporción de 2 min a 10 s; 0,3 m2 a 0,1 dm2; 0,1 kg a 0,1 g; 4 horas a 1 día; 3 dm3 a 0,6 m3
SOLUCIÓN
801 En qué lugar del rayo de coordenadas debe ubicarse el número c para que la proporción sea correcta.
SOLUCIÓN
802 Cubre la mesa con una hoja de papel. Abre la primera línea durante unos segundos y luego, cerrándola, intenta repetir o anotar los tres números de esa línea. Si ha reproducido todos los números correctamente, pase a la segunda fila de la tabla. Si hay un error en alguna línea, escriba usted mismo varios conjuntos del mismo número números de dos dígitos y practicar la memorización. Si puedes reproducir al menos cinco números de dos dígitos sin errores, tienes buena memoria.
SOLUCIÓN
804 ¿Es posible formular la proporción correcta a partir de los siguientes números?
SOLUCIÓN
805 A partir de la igualdad de los productos 3 · 24 = 8 · 9, forma tres proporciones correctas.
SOLUCIÓN
806 La longitud del segmento AB es 8 dm y la longitud del segmento CD es 2 cm Encuentre la razón entre las longitudes AB y CD. ¿Qué parte de AB es la longitud de CD?
SOLUCIÓN
807 Un viaje al sanatorio cuesta 460 rublos. El sindicato paga el 70% del coste del viaje. ¿Cuánto pagará un turista por un viaje?
SOLUCIÓN
808 Encuentra el significado de la expresión.
SOLUCIÓN
809 1) Al procesar una pieza de fundición que pesa 40 kg, se desperdiciaron 3,2 kg. ¿Qué porcentaje es la masa de la pieza de fundición? 2) Al clasificar grano de 1750 kg, se desperdiciaron 105 kg. ¿Qué porcentaje de grano queda?