Laboratorijas darbs “Otrās kārtas līknes. Otrās kārtas līknes
1 Uzrakstiet apļa horda vienādojumu NS 2 +plkst 2 = 49, dalot kādā punktā BET(1; 2) uz pusēm.
Atbilde.NS + 2plkst-5 = 0.
2. Nosakiet centru koordinātas un apļu rādiusus:
bet) NS 2 +plkst 2 - 8NS+ 6plkst= 0; b) NS 2 +plkst 2 +10NS- 4plkst+29 = 0;
in) NS 2 +plkst 2 - 4NS+14plkst + 54 = 0.
Atbilde: bet) bet = 4, b=-3,r= 5; b) bet = -5, b = 2, r= 0. Vienādojums nosaka punktu;
in) bet =2, b=-7, r 2 = -1. Vienādojumam nav ģeometriskas nozīmes (iedomāts, aplis).
3. Atrodiet leņķi starp apļa rādiusiem
NS 2 +plkst 2 +4NS-6plkst= 0, novilkts līdz tā krustošanās punktam ar asi OU.
Atbilde: tgφ = -2,4.
4. Izveidojiet apļa vienādojumu, kas iet caur punktiem BET(1; 2), IN(0;-1), AR(-3; 0).
Atbilde: (NS+1) 2 +(plkst -1) 2 =5.
5. Izveidojiet apļa vienādojumu, kas iet caur punktiem BET(7; 7) un IN(-2; 4), zinot, ka tā centrs atrodas taisnā līnijā
2NS- plkst-2=0.
Atbilde: (NS- H) 2 + ( plkst-4) 2 =25.
6. Izveidojiet apļu kopējā akorda vienādojumu NS 2 +plkst 2 = 16 un ( NS -5) 2 + plkst 2 = 9.
Atbilde: NS=3,2.
7. Izveidojiet vienādojumu taisnei, kas iet caur kreiso fokusu un elipses apakšējo virsotni.
Atbilde: 4NS+3plkst+12= 0.
8. Pa taisnu līniju NS+ 5 = 0 atrodiet punktu, kas ir vienlīdz tālu no kreisā fokusa un elipses augšējās virsotnes.
Atbilde: M(-5; 7).
9. Izmantojot elipses definīciju, sastādiet tās vienādojumu, zinot, ka punkti F 1 (0; 0) un F 2 (1; 1) ir elipses fokusa punkti, un galvenās ass garums ir 2.
Atbilde: Z NS 2 + Z plkst 2 - 2hu - 2NS - 2plkst - 1 == 0.
10. Izveidojiet punktu lokusa vienādojumu, kura attālumi no punkta BET(0; 1) ir divas reizes mazāks par attālumu līdz taisnei plkst-4=0.
Atbilde: .
16. nodarbība. Otrās kārtas līknes: hiperbola, parabola
Hiperbola.
Hiperbola ir punktu lokuss, kura absolūtā vērtība starpībai starp attālumiem līdz diviem dotajiem punktiem, ko sauc par perēkļiem, ir nemainīga vērtība (to apzīmē ar 2a), un šī konstante ir mazāka par attālumu starp perēkļiem . Novietojot hiperbolas perēkļus punktos F 1 (c; 0) un F 2 (-с; 0), mēs iegūstam hiperbolas vienādojumu formā,
Kur b 2 =c 2 -a 2 ;
tas ir vienkāršākais (kanoniskais) hiperbolas vienādojums. Hiperbola sastāv no diviem zariem un atrodas simetriski pret koordinātu asīm. Punkti BET 1 (bet; 0) un BET 2 (-bet; 0) sauc par hiperbola virsotnēm.
Līnijas segments BET 1 BET 2 =2bet sauc par hiperbola reālo asi, un segmentu IN 1 IN 2 =2b- iedomāta ass (15. att.).
Taisnu līniju sauc par hiperbola asimptotu, ja hiperbola punkta attālums M (NS;plkst) no šīs taisnes mēdz būt nulle plkst NS→ + ∞ vai NS→ -∞. Hiperbolai ir divi asimptoti, kuru vienādojumi. Lai izveidotu hiperbolas asimptotes, hiperbola aksiālais taisnstūris ar malām NS= a,
NS = -a, y = b, y = -b... Līnijas, kas iet caur šī taisnstūra pretējām virsotnēm, ir hiperbola asimptotes. Zīmējums parāda hiperbolas un tās asimptotu relatīvo stāvokli. Attiecību ε sauc par hiperbola ekscentricitāti.
Ja a = b, tad hiperbolas vienādojums iegūst formu
NS 2 - plkst 2 = a 2 .
Šādu hiperbolu sauc par vienādsānu.
Vienādojums
ir arī hiperbolas vienādojums, bet šīs hiperboles reālā ass ir ass segments OU garums 2 b.
Divas hiperbolas un tām ir vienādas pusases un vienādas asimptotes; bet viena reālā ass kalpo kā otra iedomātā ass un otrādi. Šādas divas hiperbolas sauc par konjugātu.
16.1. Piemērs. Hiperbolas ekscentriskums ir. Izveidojiet vienkāršāko hiperbolas vienādojumu, kas iet caur punktu M (;).
Risinājums. Pēc ekscentriskuma definīcijas mēs varam rakstīt vienlīdzību vai ar 2 =2bet 2. Bet ar 2 = bet 2 + b 2, tāpēc bet 2 + b 2 = 2bet 2, vai bet 2 = b 2, t.i., hiperbola ir vienādsānu.
| |
| |
, vai. Tāpēc ka bet 2 =b 2, mēs iegūstam, t.i. bet 2 =1.
Tādējādi vēlamās hiperbolas vienādojumam ir forma NS 2 - plkst 2 =1.
Parabola.
Parabola ir punktu lokuss, kas atrodas vienādā attālumā no noteiktā punkta, ko sauc par fokusu, un dotā taisne, ko sauc par tiešo. Ja parabolas direkcija ir taisna un fokuss ir punkts (, 0), tad parabolas vienādojumam ir forma
Šī parabola atrodas simetriski attiecībā pret abscisas asi (6. att., Kur R 0).
Vienādojums
ir parabola simetrisks vienādojums ar ordinātu. Plkst p> 0 parabolas (16.1) un (16.2) ir vērstas uz attiecīgās ass pozitīvo pusi, un lpp<
0 - collas negatīvā puse... Parabolas fokusa rādiusa vektora garumu nosaka pēc formulas 
.
16.2. Piemērs. Uzrakstiet parabolas vienādojumu, kas simetrisks ap asi, ar virsotni sākumpunktā, ja šīs parabolas kāda akorda garums ir perpendikulārs asij Ak, ir vienādi ar 16, un šī akorda attālums no virsotnes ir vienāds ar 6.
8.1. Uzrakstiet apļa vienādojumu ar centru AR(-4; 3), rādiuss R= 5 un izveidojiet to. Vai punkti atrodas uz šī apļa BET(-1;-1), IN(3;2), O(0;0)?
Atbilde: BET un O- pa apli, IN- ārpus tās.
8.2. Izveidojiet apļus: 1) NS 2 +plkst 2 -4NS+6plkst-3=0; 2) NS 2 +plkst 2 -8NS=0; 3) NS 2 +plkst 2 +4plkst=0.
8.3. Izveidojiet elipsi NS 2 +4plkst 2 = 16, atrodiet tā fokusus un ekscentriskumu.
8.4. Izveidojiet elipsi 9 NS 2 +25plkst 2 = 225. Atrast: a) pusass; b) fokusa koordinātas; c) ekscentriskums; d) Directrix vienādojums.
Atbilde: a) bet=5, b= 3; b) F 1 (-4;0), F 2 (4; 0); in) e= 4/5; G) D 1 : NS=-25/4; D 2 : NS=25/4.
8.5. Uzrakstiet elipses kanonisko vienādojumu, ja: a) bet=3, b= 2; b) bet=5, ar= 4; in) ar=3, e= 3/5; G) b=5, e= 12/13; e) ar= 2 un attālums starp direktrikām ir 5; e) e= 1/2 un attālums starp direktrikām ir 32.
Atbilde: a); b); in); G); e); e).
8.6. Uzrakstiet elipses kanonisko vienādojumu, zinot, ka: 1) attālums starp perēkļiem ir 8 un daļēji mazākā ass b= 3; 2) pusmajora ass a = 6, un ekscentriskums e = 0,5.
Atbilde: 1) 2)
8.7. Zeme pārvietojas pa elipsi, kuras viens no fokusiem ir Saule. Īsākais attālums no Zemes līdz Saulei ir aptuveni 147,5 miljoni km, bet lielākais - 152,5 miljoni km. Atrodiet Zemes orbītas daļēji lielo asi un ekscentriskumu.
Atbilde: bet= 150 miljoni km,
8.8. Elipse, kas ir simetriska attiecībā pret koordinātu asīm un kuras fokuss ir uz asi Ak, iet cauri punktam M(-4;) un tam ir ekscentriskums e= 3/4. Uzrakstiet elipses vienādojumu un atrodiet punkta fokusa rādiusa vektoru M.
Atbilde: 
8.9. Caur punktiem iet elipse, kuras galvenās asis sakrīt ar koordinātu asīm M 1 (2;) un M 2 (0; 2). Uzrakstiet viņa vienādojumu, atrodiet punkta fokusa rādiusu M 1 un šī punkta attālums līdz directrix.
8.10. Caur punktiem iet elipses simetrija ap koordinātu asīm M(2) un BET(6; 0). Uzrakstiet viņa vienādojumu, atrodiet ekscentriskumu un attālumu no punkta M pirms trikiem.
Atbilde: 
8.11. Uzrakstiet vienkāršāko elipses vienādojumu, kurā attālumi no viena no perēkļiem līdz galvenās ass galiem ir vienādi ar 5 un 1.
Atbilde: vai
8.12. Nosakiet, ka katrs no šiem vienādojumiem definē elipsi, atrodiet tā centru AR, pusasis, ekscentriskums un tiešie vienādojumi:
a) 5 NS 2 +9plkst 2 -30NS+18plkst+9=0;
b) 16 NS 2 +25plkst 2 +32NS-100plkst-284=0;
pulksten 4 NS 2 +3plkst 2 -8NS+12plkst-32=0.
Atbilde: a) AR(3;-1), bet=3; b=,e=2/3, D 1 : 2NS+3=0; D 2 : 2NS-15=0;
b) AR(-1;2), bet=5; b=4, e=3/5, D 1 : 3NS+28=0; D 2 : 3NS-22=0;
in) AR(1;-2), bet=4; b=,e=1/2, D 1 : plkst+10=0; D 2 : plkst-6=0.
8.13. Definējiet punkta trajektoriju M, kas kustības laikā paliek divas reizes tuvāk punktam F(-1; 0) nekā uz taisni NS=-4.
8.14. Uzrakstiet līknes vienādojumu, pa kuru punkts pārvietojas M ja attālumu summa no tās līdz punktiem F 1 (-1; -1) un F 2 (1; 1) paliek nemainīgs un vienāds ar 2.
Atbilde: 2 NS 2 -2hu+2plkst 2 -3=0.
8.15. Uzrakstiet līknes vienādojumu, pa kuru punkts pārvietojas M ja attālums no tā līdz punktam F(3; 0) paliek puse no attāluma līdz taisnei x + y-1=0.
Atbilde: 7 NS 2 -2hu+7plkst 2 -46NS+2plkst+71=0.
8.16. Izveidojiet elipsi, tās direktoru un atrodiet attālumus no elipses punkta ar abscisu NS= -3 uz labo fokusu un labo direktoriju.
Atbilde: r=7,4, d=9,25.
8.17. Hiperbola konstruēšana 16 NS 2 -9plkst 2 = 144. Atrast: a) pusass; b) fokusa koordinātas; c) ekscentriskums; d) asimptotu vienādojumi; e) Directrix vienādojumi.
Atbilde: a) bet=3, b= 4; in) F 1 (-5;0), F 2 (5; 0), c) e= 5/3; G) plkst= ± 4/3 NS; e) NS= ± 9/5.
8.18. Izveidojiet hiperbolu NS 2 -4plkst 2 = 16 un tā asimptotes. Atrodiet perēkļus, ekscentriskumu, leņķi starp asimptotēm.
8.19. Uzrakstiet kanonisko hiperbolas vienādojumu, ja: a) bet=2, b= 3; b) b=4, ar= 5; in) ar=3, e= 3/2; G) bet=8, e= 5/4; e) ar= 10 un asimptotu vienādojumi; e) e= 3/2 un attālums starp direktrikām ir 8/3.
Atbilde: a) b) c); G)
8.20. Hiperbola ir simetriska attiecībā pret koordinātu asīm, iet caur punktu M(6; -2), un tam ir iedomāta pusakse b= 2. Uzrakstiet viņas vienādojumu un atrodiet attālumus no punkta M pirms trikiem.
Atbilde: 
8.21. Pārliecinoties par punktu M(-5; 9/4) atrodas uz hiperbolas, atrodiet šī punkta fokusa rādiusu un tā attālumu līdz direkcijai.
Atbilde: r 1 =9/4; r 2 = 41/4; ( M,D 1 ) = 9/5, ( M,D 2 )=41/5.
8.22. Uzrakstiet hiperbolas vienādojumu ar virsotnēm perēkļos un perēkļiem elipses virsotnēs.
8.23. Atrodiet hiperbolas punktus, kas atrodas 7 attālumā no fokusa F 1 .
Atbilde: (-6;).
8.24. Izveidojiet hiperbolu, tās direktriksu un atrodiet attālumus no hiperbolas punkta ar abscisu NS= 5 uz kreiso fokusu un kreiso tiešo.
Atbilde: Direktore NS=3,2,e=1,25, r=10,25, d=8,2.
8.25. Uzrakstiet hiperboles kanonisko vienādojumu, zinot, ka attālumi no vienas tās virsotnes līdz perēkļiem ir vienādi ar 9 un 1.
Atbilde: vai.
8.26. Atrodiet hiperbolas asimptotu krustošanās punktus NS 2 -3plkst 2 = 12 ar apli, kas centrēts hiperbola labajā fokusā un iet caur sākumpunktu.
Atbilde: (0; 0) un (6;).
8.27. Pārliecinieties, ka katrs no šiem vienādojumiem definē hiperbolu, atrodiet tās centru, puslīnijas, ekscentriskumu, asimptotu un tiešās vienādojumus:
a) 16 NS 2 -9plkst 2 -64NS-54plkst-161=0;
b) 9 NS 2 -16plkst 2 +90NS+32plkst-367=0;
c) 16 NS 2 -9plkst 2 -64NS-18plkst+199=0.
Atbilde: a) AR(2;-3), bet=3, b=4, e= 5/3, asimptotu vienādojumi: 4 NS-3plkst-17 = 0 un 4 NS+3plkst+ 1 = 0; Directrix vienādojumi: 5 NS-1 = 0 un 5 NS-19 = 0; b) AR(-5;1), bet=8, b=6, e= 5/4, asimptotu vienādojumi: 3 x + 4plkst+ 11 = 0 un 3 NS-4plkst+ 19 = 0; Directrix vienādojumi: NS= -11,4 un NS= 1,4; in) AR(2;-1), bet=4, b=3, e= 5/4, asimptotu vienādojumi: 4 NS+3plkst-5 = 0 un 4 NS-3y- 11 = 0; Directrix vienādojumi: y =-4,2 un plkst=2,2.
8.28. Izveidojiet šādas parabolas un atrodiet to parametrus:
bet) plkst 2 =6NS; b) NS 2 =5plkst; in) plkst 2 =-4NS; G) NS 2 =-plkst.
Atbilde: a) R= 3; b) R= 5/2; in) R= 2; G) R=1/2.
8.29. Izveidojiet parabolas, kas dotas ar vienādojumiem: 1) plkst 2 =4NS; 2) plkst 2 =-4NS; 3) NS 2 =4plkst; 4) NS 2 =-4plkst kā arī to fokusus un direktorus un rakstīt tiešos vienādojumus.
8.30. Sastādiet punktu atrašanās vietas vienādojumu, kas ir vienādi tālu no punkta F(0; 2) un no taisnas līnijas plkst= 4. Atrodiet šīs līknes krustošanās punktus ar koordinātu asīm un uzzīmējiet to.
8.31. Uzrakstiet parabolas vienādojumu ar virsotni tās sākumā, ja ir zināms, ka:
a) parabola atrodas kreisajā pusplaknē simetriski ap asi Ak un R=1/2;
b) parabola atrodas simetriski ap asi OU un iet cauri punktam M(4;-8);
c) parabolas fokuss atrodas punktā F(0;-3).
Atbilde: a) plkst 2 =-NS; b) NS 2 =-2plkst; in) NS 2 = -12plkst.
8.32. Uzrakstiet parabolas vienādojumu: 1) kas iet caur punktiem (0; 0) un (-1; 2) un ir simetrisks ap asi Ak; 2) iet caur punktiem (0; 0) un (2; 4) un simetriski ap asi OU.
Atbilde: 1) 2).
8.33. Nosakiet, ka katrs no šiem vienādojumiem definē parabolu, atrodiet tā virsotnes koordinātas BET un parametra vērtību R:
bet) plkst 2 =4NS- astoņi; b) NS 2 =2-plkst; in) y = 4NS 2 -8NS+7; G) y =-1/6NS 2 +2NS-7; e) x = - 1/4plkst 2 +plkst; e) x = 2plkst 2 -12plkst+14.
Atbilde: a) BET(2;0); R= 2; b) BET(0;2); R= 1/2; in) BET(1;3); R= 1/8; G) BET(6;-1); R= 3; e) BET(1;2); R= 2; e) BET(-4;3); R=1/4.
8.34. Aprēķiniet punkta fokusa rādiusu M parabolas plkst 2 =12NS, ja prāts)=6.
8.35. Prožektora spoguļvirsmu (2. att.) Veido paraboles rotācija ap tās simetrijas asi.
y
b
C
B
A
a
x
0
Spoguļa diametrs ir 80 cm, bet tā dziļums - 10 cm.Kādā attālumā no parabolas virsotnes jānovieto gaismas avots, ja tam jāatrodas parabolas fokusā, lai starus atspoguļotu ar paralēlu staru?
Atbilde: 40 cm.
8.36. Nosakiet līknes laukumu. Izveidojiet līkni.
8.37 ... Nosakiet līknes laukumu. Izveidojiet līkni.
8.38. Vienkāršojiet vienādojumus, pārvietojot izcelsmi:
1)
;
2)
;
3) (plkst+2) 2 =4(NS-3); 4) 2plkst=-(NS+2) 2 ;
5) NS 2 +4plkst 2 -6NS+8plkst=3; 6) plkst 2 -8plkst=4NS;
7) NS 2 -4plkst 2 +8NS-24plkst=24; 8) NS 2 +6NS+5=2plkst.
Atbilde: 5) 6) 7) 8)
8.39. Atlasot perfektus kvadrātus un pārvietojot izcelsmi, lai vienkāršotu līniju vienādojumus:
1) 2NS 2 +5plkst 2 -12NS+10plkst+13=0;
2) NS 2 -plkst 2 +6NS+4plkst-4=0;
3) plkst 2 +4plkst=2NS;
4) NS 2 -10NS=4plkst-13.
Konstruējiet vecās un jaunās koordinātu asis un līknes.
Atbilde: 1) 
2)3)4)
8.40.
1) 3NS 2 -2hu+3plkst 2 -4NS-4plkst-12=0; 2) NS 2 -6hu+plkst 2 -4NS-4plkst+12=0.
Atbilde: 1) 2)
8.41. Pārvērst līniju vienādojumus kanoniskā formā:
1) NS 2 +4hu+4plkst 2 -20NS+10plkst-50=0; 2) NS 2 -4hu+4plkst 2 -6NS+12plkst+8=0
un veidot tos.
Atbilde: 1) 2) taisnu līniju pāri NS-2plkst=31.
8.42. Pārveidot vienādojumus kanoniskās formas un diagrammas līknēs:
1) NS 2 -hu+plkst 2 -2NS-2plkst-2=0; 2) 3NS 2 +10hu+3plkst 2 -12NS-12plkst+4=0.
Laboratorijas darbs"Otrās kārtas līknes"
Ļaujiet otrās kārtas līknei norādīt vienādojumu
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
Uzzināsim, kuras līknes atbilst šim vienādojumam.
Ir iespējami šādi gadījumi:
1. АС -https: //pandia.ru/text/79/564/images/image002_14.gif "width =" 83 "height =" 45 src = "> - elipse,
https://pandia.ru/text/79/564/images/image004_9.gif "width =" 91 "height =" 45 src = "> - tukšs punktu kopums (iedomātā elipse).
2. АС - https://pandia.ru/text/79/564/images/image005_6.gif "width =" 92 "height =" 44 src = "> - hiperboles,
https://pandia.ru/text/79/564/images/image001_15.gif "width =" 40 "height =" 49 src = "> = 0 - paraboliskais tips.
Paraboliskā tipa skaitļu kanoniskie vienādojumi:
y2 = 2px (x2 = 2py) (p 0)- parabola;
y2 = a2 (x2 = a2) (a 0)- pāris paralēlu taisnu līniju;
y2 = 0 (x2 = 0)- pāris sakritušu taisnu līniju;
y2 = - a2 (x2 = - a2) (a 0)- tukšs punktu kopums.
Koordinātu asu rotācijas transformācijas pielietošana, izmantojot formulas
x = x΄cosα – y΄sinα
y = x΄sinα + y΄cosα,
ar pareizu α izvēli vajadzētu atbrīvoties no termina ar vienādojuma koordinātu reizinājumu. Mēs apsvērsim turpmākās transformācijas katram līkņu veidam.
1. Elipsveida tips.
Cirvis2 + Sī2 + Dx + Ak + F = 0 (1)
Pabeigsim terminus, kas satur x2 un NS, kā arī y2 un y... Pēc tam vienādojumu var uzrakstīt formā
A(x – x0 )2 + C(y – y0 )2 = F1 (2)
Ja F1 > 0 , tad (2) vienādojums tiek samazināts līdz formai
https://pandia.ru/text/79/564/images/image009_3.gif "width =" 56 "height =" 43 src = ">, DIV_ADBLOCK60">
Ja F1 = 0
A(x – x0 )2 + C(y – y0 )2 = 0
un nosaka punktu M (x0, y0).
Plkst A = C. elipse pārvēršas aplī: (x – x0 )2 + (y – y0 )2 = R2 , kur https://pandia.ru/text/79/564/images/image008_3.gif "width =" 156 "height =" 47 src = ">.
Šīs hiperbolas reālā ass ir paralēla asij OU.
Ja F1 = 0 , tad vienādojums (2) iegūst formu
A(x – x0 )2 + C(y – y0 )2 = 0
Tam atbilst krustojošu līniju pāris. Pierādīsim.
Iepazīstināsim ar apzīmējumu: A = m2 , C = - n2 un uzrakstiet vienādojumu šādā formā:
m2 (x – x0 )2 - n2 (y – y0 )2 = 0 vai
(m(x – x0 ) - n(y – y0 ))(m(x – x0 ) + n(y – y0 )) = 0.
Šis vienādojums ir līdzvērtīgs šādiem diviem:
m (x - x0) - n (y - y0) = 0,
m (x - x0) + n (y - y0) = 0,
katrs no tiem nosaka taisnu līniju, kas iet caur punktu M (x0, y0).
3. Paraboliskais tips.
Cirvis2 + Dx + Ak + F = 0.
Pievienojot dalībniekus, kas satur x2 un NS, līdz pilnam laukumam, mēs iegūstam
A(x – x0 )2 + Ak = F1 .
Ja E ≠ 0 , tad vienādojumu var uzrakstīt kā y – y0 = a(x – x0 )2 ... Šis vienādojums atbilst parabolai ar simetrijas asi paralēli asij OU.
Ja E = 0 un F1 > 0 , tad vienādojums A(x – x0 )2 = = F1 ir vienāds ar vienādojumiem
https://pandia.ru/text/79/564/images/image013_4.gif "width =" 147 "height =" 27 src = ">,
kas nosaka paralēlu līniju pāri.
Ja E = 0 un F1 < 0 , tad arī iegūstam vienādojumu A(x – x0 )2 = F1 kam atbilst tukšais komplekts.
Ja E = 0 un F1 = 0 , tad A(x – x0 )2 = 0. Tas definē sakritīgu līniju pāri
x – x0 = 0.
Pieņemot, ka С ≠ 0, А = 0, tad vienādojumam (1) būs šāda forma:
Sī2 + Dx + Ak + F = 0.
Līdzīgi kā iepriekšējā, var parādīt, ka par D 0 šis vienādojums definē parabolu ar simetrijas asi paralēli asij Ak, un to var samazināt līdz formai
x – x0 = a (y – y0 )2.
Ja D = 0, tad vienādojums definē paralēlu līniju pāri vai tukšu kopu.
Pārvietojot galveno koordinātu sistēmu čau uz jauno x΄O1y΄ koordinātu asu virziens paliek nemainīgs, punkts tiek ņemts par jauno koordinātu izcelsmi О1 (a; b). Attiecības starp plaknes punkta vecajām un jaunajām koordinātām nosaka šādas formulas:
x = x΄ + a, y = y΄ + b;
x΄ = x - a, y΄ = y - b.
Piemērs: x2 - 2xy + y2 - 10x - 6y + 25 = 0.
1) Nosakiet līknes veidu: A = 1, B / 2 = -1, C = 1, AC - (B / 2) 2 = 0- paraboliskā tipa līkne .
2) Samazinām līknes vienādojumu līdz kanoniskajam vienādojumam.
Atbrīvosimies no termina, kas satur hu... Mēs pārveidojam vienādojumu, izmantojot formulas koordinātu asu rotācijai:
(x΄cosα – y΄sinα)2 – 2(x΄cosα – y΄sinα)(x΄sinα + y΄cosα) + (x΄sinα + y΄cosα)2 – 10(x΄cosα – y΄sinα) – 6(x΄sinα + + y΄cosα) + 25 = 0, paplašiniet iekavas un grupējiet terminus ar tiem pašiem mainīgajiem
(cos2 α - 2cosαsinα + grēks2 α) x΄2 + (grēks2 α + 2sinαcosα + + cos2 α) y΄2 + 2(- cos2 α + grēks2 α –
- cosαsinα + cosαsinα) x΄y΄ – (10 cosα + 6 sinα) x΄ + (10 sinα -6 cosα) y΄ + 25 = 0.
Termina, kas satur, faktors pielīdzināt nullei:
grēks2 α - cos2 α = 0,
grēks2 α = cos2 α,
tg2 α = 1,
tgα1 = 1, tgα2 = -1. Ņemam tgα1 = 1 ; α = https://pandia.ru/text/79/564/images/image021_3.gif "width =" 28 "height =" 45 src = ">) 2 = 8 x΄ + 24.
Mēs iegūstam vienādojumu
(y΄+ https://pandia.ru/text/79/564/images/image020_2.gif "width =" 25 height = 23 "height =" 23 "> (x΄- https://pandia.ru/text/79/564/images/image023_3.gif "width =" 91 "height =" 53 src = ">, mēs izsakām jaunās koordinātas veco izteiksmē.
1. Darba mērķis
Apgūt prasmes konstruēt otrās kārtas līknes Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā un sastādīt to kanoniskos vienādojumus.
1) Nosakiet doto līkņu veidu pēc vienādojumu veida (1. tabula). Pierakstiet lēmumu piezīmju grāmatiņā.
2) Pārnesiet otrās kārtas līkņu vienādojumus (2. tabula) kanoniskajā formā un konstruējiet tos. Pierakstiet lēmumu piezīmju grāmatiņā.
3) Pārnes otrās kārtas līkņu vienādojumus (3. tabula) kanoniskajā formā un konstruē tos. Pierakstiet lēmumu piezīmju grāmatiņā.
4) Izveidojiet kanonisko vienādojumu: a) elipse; b) hiperbola; c) parabolas (4. tabula). Aizpildiet lēmumu piezīmju grāmatiņā un iesniedziet to verifikācijai.
3. Galvenā informācija un uzdevumu piemēri
Otrās pakāpes vienādojums ar diviem nezināmiem x un yšāda veida
Cirvis 2 + Bxy + Sī 2 + Dx + Ak + F = 0, (1)
kur vismaz viens no koeficientiem A, B, C bez nulles Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā var norādīt: apli, elipsi, hiperbolu, parabolu, krustojošu līniju pāri, paralēlu līniju pāri, sakritīgu līniju pāri, punktu vai tukšu kopu. Pirmās četras līnijas sauc otrās kārtas līknes .
Ja vienādojumā (1) nav produkta hu un tam ir šāda forma:
Cirvis 2 + Sī 2 + Dx + Ak + F = 0, (2)
tad atkarībā no koeficientu vērtībām BET un AR pēc vienādojuma formas ir viegli noteikt līknes veidu:
un ja BET× AR> 0, tad vienādojums (2) nosaka elipsveida līniju (elipse, aplis, punkts vai tukša kopa);
b) ja BET× AR < 0, то уравнение (2) задает линию гиперболического типа (гиперболу или пару пересекающиеся прямые);
c) ja BET× AR= 0, tad (2) vienādojums definē paraboliskā tipa līniju (parabolu, paralēlu taisnu pāri, sakrītošu taisnu pāri vai tukšu kopu).
1. piemērs. Nosakiet doto līkņu veidu pēc vienādojumu veida:
bet) NS 2 + 5plkst 2 – 3NS – 7plkst- 7 = 0, b) 2 NS 2 – 3plkst 2 + 4NS- 5 = 0, c) 3 plkst 2 – 2NS + 6plkst = 0.
Risinājums. a) Vienādojumā BET = 1, AR= 5, tāpēc BET× AR> 0 un tā nosaka elipsveida līniju.
b) No vienādojuma BET = 2, AR= –3, ti BET× AR < 0, а значит, это уравнение линии гиперболического типа.
c) Vienādojumā BET= 0 un AR= 3, t.i. BET× AR= 0. Mēs secinām, ka ir dots paraboliskā tipa vienādojums.
Otrās kārtas līknes forma nav atkarīga no koordinātu sistēmas, tāpēc katrai līknei var izvēlēties tādu koordinātu sistēmu, kurā tās vienādojums iegūst vienkāršāko formu, ko sauc par kanonisks(vienkāršākais) .
Otrās kārtas līknes.
1. Aplis Vai punktu lokuss plaknē ir vienādā attālumā no noteiktā punkta C(a; b) (apļa centrs) attālumā R (apļa rādiuss) (1. att.). Kanoniskais vienādojums:
(x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 . (3)
Rīsi. viens. Apkārtmērs ( x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2
Konkrētā gadījumā a) ja a= 0 (2. att., A), tad apļa kanoniskajam vienādojumam ir šāda forma:
x 2 + (y – b) 2 = R 2 ; (4)
b) ja b= 0 (2. att., B), tad kanoniskajam vienādojumam ir šāda forma:
(x – a) 2 + y 2 = R 2 ; (5)
c) ja a = b= 0 (2. att., C), tad kanoniskajam vienādojumam ir šāda forma:
x 2 + y 2 = R 2 . (6)