Nepārtrauktu izlases vērtību nosaka izplatīšanas blīvuma piemēri. Matemātika un informātika

9. Nepārtraukta izlases vērtība, tās ciparu īpašības

Nepārtrauktu nejaušu mainīgo var iestatīt, izmantojot divas funkcijas. Nejauša mainīgās X varbūtības sadalījuma neatņemama funkcija To sauc par funkciju, kas definēta ar vienlīdzību
.

Neatņemama funkcija dod vispārējs veids Uzdevumi gan diskrētiem un nepārtrauktiem izlases mainīgajiem. Nepārtraukta nejauša mainīgā gadījumā. Visi notikumi: ir tāda pati varbūtība, kas ir vienāda ar integrētās funkcijas pieaugumu šajā plaisā, t.i. Piemēram, attiecībā uz 26. piemērā norādīto diskrēto mainīgo lielumu, mums ir:

Tādējādi, grafika neatņemama funkcijas funkcijas aplūkot ir kombinācija divu staru un trīs segmenti paralēli asij oh.

27. piemērs.. Nepārtraukta izlases x ir iestatīta ar integrētu varbūtības sadalījuma funkciju

.

Veidot grafiku neatņemama funkciju un atrast varbūtību, ka, kā rezultātā testa, izlases vērtība ņems vērtību intervālā (0,5; 1.5).

Lēmums. Pēc intervāla
Grafiks ir taisni y \u003d 0. uz plaisu no 0 līdz 2 - parabola, ko sniedz vienādojums
. Pēc intervāla
Grafiks ir taisns y \u003d 1.

Iespēja, ka izlases mainīgais x kā rezultātā testa veiks vērtību intervālā (0,5; 1.5), mēs atrodamies ar formulu.

Pa šo ceļu, .

Integrētā varbūtības sadalījuma funkcijas īpašības:

Nepārtraukta izlases mainīgā likums ir ērts, lai iestatītu citu funkciju, proti, blīvuma varbūtības funkcijas
.

Varbūtība, ka vērtība, ko veic izlases mainīgais H ietilpst intervālā
nosaka vienlīdzība
.

Funkcijas grafiku sauc par līknes izplatīšana. Ģeometriski iespējamā nejaušā novirzes iespējamība plaisa ir vienāda ar attiecīgās līkumainās trapecveida, ierobežotu sadales līkni, asi oh un taisni
.

Varbūtības blīvuma funkcijas īpašības:

9.1. Nepārtrauktu nejaušo mainīgo skaitliskās īpašības

Paredzamā vērtība(vidēja vērtība) nepārtrauktu izlases mainīgo x nosaka vienlīdzība
.

M (x) apzīmē cauri bet. Nepārtraukta izlases mainīgā matemātiskā cerība ir līdzīga, kā arī diskrēta vērtība, īpašības:

Dispersijadiskrētā nejaušā mainīgā lieluma sauc par matemātisko cerību kvadrātu novirze izlases mainīgo no tās matemātiskās cerības, t.e. . Par nepārtrauktu nejaušā mainīgo, dispersiju nosaka ar formulu
.

Dispersijas ir īpašības:

Pēdējais īpašums ir ļoti ērts, lai atrastu nepārtraukta izlases mainīgā izkliedi.

Tiek ieviesta arī vidējās kvadrātiskās novirzes jēdziens. Vidēja kvadrātiskā novirze nepārtrauktārandom mainīgo sauc par sakņu laukumu no dispersijas, t.e.
.

28. piemērs.. Nepārtraukta impulsa x komplekts varbūtības blīvuma funkcija
Intervālā (10; 12), no šīs intervāla, funkciju vērtība ir 0. Atrast 1) Parametra vērtība bet, 2) Matemātiskā cerība m (x), dispersija
, vidējā kvadrātiskā novirze, 3) neatņemama funkcija
un veidot integrālās un diferenciālo funkciju grafikus.

viens). Lai atrastu parametru bet Mēs izmantojam formulu
. Mēs saņemam. Pa šo ceļu,
.

2). Lai atrastu matemātisku cerību, mēs izmantojam formulu:, no kurām tas izriet, ka
.

Dispersija atradīsies ar formulu:
. .

Atrast vidējo kvadrātisko novirzi pēc formulas: kur mēs to saņemam
.

3). Integrālā funkcija ir izteikta, izmantojot funkciju varbūtības blīvuma šādi:
. Līdz ar to
priekš
, \u003d 0, kad
un \u003d 1 ar
.

Šo funkciju grafiki ir attēloti attēlā. 4. un att. pieci.

4. att. 5. att.

9.2. Nepārtraukta nejauša mainīgā varbūtību izplatīšana

Nepārtraukta mainīgā lieluma X varbūtību izplatīšana X vienmērīgi uz intervālu, ja tās varbūtības blīvums ir nemainīgs šajā intervālā, ir nulle ārpus šī intervāla, t.i. . Viegli parādīt, ka šajā gadījumā
.

Ja intervāls
Toreizējā intervālā
.

29. piemērs. Notikumam, kas sastāv no tūlītējas signāla, jānotiek no stundas līdz piecām stundām. Signāla gaidīšanas laiks Ir nejauša X summa. Atrodiet iespējamību, ka signāls tiks ierakstīts starp divām un trīs stundām dienā.

Lēmums. Nejaušajai vērtībai X ir vienota izplatīšana, un, atrodot formulu, ka varbūtība, ka signāls būs no 2 līdz 3 stundām dienā, ir vienāda ar
.

Izglītības un citā literatūrā bieži tiek apzīmēta literatūrā
.

9.3. Nepārtraukta mainīgā varbūtību normāla izplatīšana

Nepārtraukta izlases mainīgā varbūtību sadalījums tiek saukts parasts, ja tās varbūtības sadales likumu nosaka varbūtības blīvums
. Šādām vērtībām bet - paredzamā vērtība, \\ t
- vidējā kvadrātiskā novirze.

Teorēma. Iespējamība sazināties ar normāli izplatītu nepārtrauktu nejaušo mainīgo uz norādīto intervālu
Nosaka formula
kur
- Laplasa funkcija.

Šī teorēma sekas ir trīs sigma, t.s. Tas ir praktiski ticami, ka parastais sadalījums, nepārtraukta izlases vērtība X ņem savas vērtības intervālā
. Šis noteikums tiek izvadīts no formulas
kas ir konkrēts formulēta teorēma.

30. piemērs.Televizora termiņš ir nejaušs X, kas ir pakļauts parastajam sadales likumam, ar garantijas periodu 15 gadus un vidējā kvadrātiskā novirze ir vienāda ar 3 gadiem. Atrodiet iespēju, ka televizors darbosies no 10 līdz 20 gadiem.

Lēmums. Saskaņā ar matemātiskās cerības uzdevumu bet \u003d 15, vidējā kvadrātiskā novirze.

Atraisīt . Tādējādi TV varbūtība ir no 10 līdz 20 gadiem vairāk nekā 0,9.

9.4. Eirems Chebyshev

Notiek lemma Chebyshev. Ja nejaušā summa X aizņem tikai negatīvas vērtības, un tam ir matemātiska cerība, tad jebkuram pozitīvam iebildums
.

Ņemot vērā, ka kā pretēju notikumu varbūtības summa mēs to saņemam
.

Chebyshev teorēma. Ja izlases vērtība x ir gala dispersija
un matemātiskā gaidīšana m (x), tad jebkuram pozitīvam diezgan nevienlīdzība
.

No kurienes no tā izriet, ka
.

31. piemērs.Veica partijas informāciju. Garuma garuma vidējā vērtība ir 100 cm., Un vidējā kvadrātiskā novirze ir 0,4 cm. Novērtēt no zemākas iespējamības, ka hipotēkas ilgums būs vismaz 99 cm. un ne vairāk kā 101 cm.

Lēmums. Dispersija. Matemātiskā cerība ir 100 Tāpēc, lai novērtētu izskatāmā notikuma varbūtības apakšējo daļu.
Piemērot Chebyshev nevienlīdzību, kurā
tad
.

10. Matemātiskās statistikas elementi

Statistiskais kopējaiszvaniet daudziem viendabīgiem objektiem vai parādībām. Numurs p Šā kopuma elementus sauc par kopējo summu. Novērotās vērtības Zīme x sauc opcijas. Ja iespējas atrodas pieaugošā secībā, tad saņemta diskrēti variācijas. Grupas gadījumā tiek iegūta iespēja pēc intervāliem interval variācijas sērija. Zem t. frekvencezīmju vērtības saprot kombinācijas locekļu skaitu ar šo iespēju.

Frekvenču koeficients tilpumam statistiskais kopējais Piezvanīt relatīvā frekvence Parakstīt:
.

Sauc attiecības starp variācijas variācijas variantiem un to frekvencēm parauga statistiskais sadalījums. Statistikas izplatīšanas grafiskais attēlojums var kalpot daudzstūrisbiežums.

32. piemērs.Aptaujas 25 pirmā gada studenti saņēma šādus datus savā vecumā:
. Izveidojiet studentu statistisko sadalījumu pēc vecuma, lai atrastu dažādu, izveidotu frekvences daudzstūru un apkopotu vairākus relatīvās frekvences.

Lēmums. Izmantojot aptaujā iegūtos datus, būs statistisks paraugu ņemšanas statistiskais sadalījums

Variācijas paraugu ņemšanas joma ir 23 - 17 \u003d 6. Lai izveidotu daudzstūra frekvenci, veidot punktus ar koordinātām
Un tie ir savienoti konsekventi.

Relatīvais frekvenču sadales diapazons ir:

10.1. Variācijas sērijas raksturojums

Ļaujiet paraugam noteikt vairāku frekvenču sadalījumu zīmi x:

Visu frekvenču summa ir vienāda p.

Vidējais aritmētiskais paraugs Zvaniet uz daudzumu
.

Dispersija vai izkābju vērtības zīmi X attiecībā uz tās vidējo aritmētiku sauc par lielumu
. Vidējo kvadrātisko novirzi sauc par kvadrātsakni no dispersijas, t.i. .

Vidējā kvadrātiskā novirzes attiecība pret vidējo aritmētisko paraugu, kas izteikts procentos, tiek saukts par koeficienta variācija:
.

Empīriskā funkcija relatīvo frekvenču izplatīšanasskatiet funkciju, kas nosaka katras vērtības relatīvo biežumu
.
kur - mazākās opcijas skaits h., bet p - Paraugu ņemšana.

33. piemērs.Saskaņā ar 32. piemēru, atrast ciparu īpašības
.

Lēmums. Pēc tam mēs atradīsim vidējo aritmētisko paraugu pēc tam.

Zīmes X dispersija ir ar formulu:, i.e .. Vidējā kvadrātiskā izlases novirze ir
. Variācijas koeficients ir vienāds
.

10.2. Relatīvās frekvences varbūtības novērtējums. Uzticības intervāls

Ļaujiet jāveic p neatkarīgi testi, katrā no kuriem notikuma izskata varbūtība ir nemainīga un vienāda r. Šajā gadījumā varbūtība, ka relatīvā frekvence atšķirsies no notikuma izskata varbūtības, un katrā testā absolūtā vērtībā nav vairāk nekā ieslēgts, ir aptuveni vienāds ar Laplasa neatņemamas funkcijas dubultu vērtību:
.

Intervālu aprēķinszvaniet šādu aplēsi, ko nosaka divi skaitļi, kas ir intervāla galiņi, kas aptver statistikas kopuma aplēsto parametru.

Konfidenciāls intervāls sauc par intervālu, kas ar konkrētu uzticības varbūtību Attiecas uz statistikas kopējā aplēsto parametru. Ņemot vērā formulu, kurā tiks aizstāta nezināmā vērtība r par tās aptuveno nozīmi iegūst saskaņā ar izlases datiem, mēs saņemam:
. Šī formula tiek izmantota, lai novērtētu relatīvās frekvences varbūtību. Skaitļi
un
Zvaniet apakšā un attiecīgi top uzticības robežas- Limit kļūda šai uzticības varbūtībai
.

34. piemērs.. Rūpnīcas darbnīca ražo spuldzes. Pārbaudot 625 lampas izrādījās 40 bojāti. Atrast ar uzticības varbūtību 0,95 robežas, kurā procentuālais laulības spuldzes, ko ražo rūpnīcas darbnīca.

Lēmums. Saskaņā ar uzdevuma stāvokli. Mēs izmantojam formulu
. 2. tabula Lietojumprogrammas Mēs atrodam argumenta vērtību, kas var vērtību neatņemamas funkcijas Laplasa ir 0,475. Mēs to saņemam
. Pa šo ceļu, . Tāpēc var teikt ar varbūtību 0,95, ka daļa no laulības, ko ražo seminārs, ir augsta, proti, svārstās robežās no 6,2% līdz 6,6%.

10.3. Statistikas parametru novērtējums

Ļaujiet visa kopējā kopējā kopuma (vispārējā kopējā) kvantitatīvajai pazīmei ir normāla izplatīšana.

Ja vidējā kvadrātiskā novirze ir zināma, ticamības intervāls, kas aptver matemātisko cerību bet

kur p - parauga tilpums, \\ t - selektīva vidējā aritmētika, \\ t t. - arguments par Laplasa neatņemamu funkciju, kurā
. Tajā pašā laikā
Zvanu vērtēšanas precizitāte.

Ja vidējā kvadrātiskā novirze nav zināma, pēc tam saskaņā ar izlases datiem jūs varat izveidot izlases vērtību, kam ir studenta sadalījums p - 1 Brīvības pakāpe, ko nosaka tikai viens parametrs pun nav atkarīgs no nezināma betun. Studentu izplatīšana pat maziem paraugiem
Dod diezgan apmierinošus novērtējumus. Tad uzticams intervāls, kas aptver matemātisko cerību bet Šī funkcija ar konkrētu uzticības varbūtību ir no stāvokļa

kur s ir labots vidējais kvadrāts, - studentu koeficients, atrodas saskaņā ar
No 3. tabulas pieteikumiem.

Ticamības intervāls, kas aptver šīs iezīmes vidējo kvadrātisko novirzi ar uzticības varbūtību ir formulas: un, kur
ir uz vērtību tabulā q. saskaņā ar.

10.4. Statistikas metodes atkarību izpētei starp izlases vērtībām

Korelācijas atkarība X sauc par funkcionālo atkarību no nosacītā vidējā no x. Vienādojums
atspoguļo regresijas vienādojumu ar x, un
- regresijas vienādojums par W.

Korelācijas atkarība var būt lineāra un izliekta. Attiecībā uz lineāru korelācijas atkarību, vienādojumu tiešās regresijas līnijas ir veidlapa:
kur stūra koeficients bettaisnā līnija regresijas y pie x sauc par selektīvu regresijas koeficientu X un ir norādīts
.

Ar maziem paraugiem dati nav grupēti, parametri
atrodas saskaņā ar mazāko kvadrātu metodi no normālu vienādojumu sistēmas:

kur p - savstarpējo vērtību pāru vērtību novērojumu skaits.

Selektīvs lineārais korelācijas koeficients Parāda komunikācijas u un X toni. Korelācijas koeficients ir uz formulas
Turklāt
, proti:

Selektīvais vienādojums taisnās līnijas regresijas y ar X ir veidlapa:

.

Priekš liels skaits Zīmju novērojumi X un Y zīmē korelācijas tabulu ar divām ieejām ar tādu pašu vērtību h. novērotā Reiz, tāda pati nozīme w. novērotā Vienreiz, tas pats pāris
novērotā laiks.

35. piemērs. Dana tabulas pazīmju novērošana X un W.

Atrodiet selektīvu vienādojumu taisnās līnijas regresijas H.

Lēmums. Attiecības starp pētītajām funkcijām var izteikt ar vienādojumu taisnā līnijas regresijas X:. Lai aprēķinātu vienādojuma koeficientus, veiciet aprēķinātu tabulu:

Novērošanas numurs

Matemātiskās cerības jēdzieni M.(H.) un dispersija D.(X.), kas tika ieviesta agrāk par diskrētu nejaušo mainīgo, var attiecināt uz nepārtrauktiem izlases mainīgajiem lielumiem.

· Matemātiskās cerības M.(H.) Nepārtrauktu nejaušo mainīgo nosaka vienlīdzība:

ar nosacījumu, ka šī integrālā konverģence.

· Dispersija D.(X.) Nepārtraukta izlases mainīgais H. Nosaka vienlīdzība:

· Vidējā kvadrātiskā novirzeσ( H.) nepārtrauktu nejaušo mainīgo nosaka vienlīdzība:

Visas īpašības matemātiskās cerības un dispersijas, kas apspriesti agrāk par diskrētiem izlases mainīgajiem ir derīgi nepārtrauktu.

5.3. Uzdevums.Nejauša vērtība H. Noteiktā diferenciālā funkcija f.(x.):

Atrast M.(X.), D.(X.), σ( H.), kā arī P.(1 < h.< 5).

Lēmums:

M.(X.)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D.(X.)=

= = /

P. 1 =

Uzdevumi

5.1. H.

f.(x.), kā arī

R(‒1/2 < H.< 1/2).

5.2. Nepārtraukta nejauša summa H. Iestatiet izplatīšanas funkciju:

Atrodiet diferenciālo sadales funkciju f.(x.), kā arī

R(2π / 9< H.< π /2).

5.3. Nepārtraukta nejauša summa H.

Atrast: a) numurs no; b) M.(H.), D.(X.).

5.4. Nepārtraukta nejauša summa H. Izplatīšanas blīvums:

Atrast: a) numurs no; b) M.(H.), D.(X.).

5.5. H.:

Atrodi) F.(h.) un veidot to grafiku; b) M.(X.), D.(X.), σ( H.); c) varbūtība, ka četros neatkarīgos testos H. Norāda tieši 2 reizes lielāku vērtību, kas pieder pie intervāla (1; 4).

5.6. Nepārtraukta izlases mainīgā varbūtību izplatīšanas blīvums H.:

Atrodi) F.(h.) un veidot to grafiku; b) M.(X.), D.(X.), σ( H.); c) iespējamība, ka trīs neatkarīgajos testos H. Norāda tieši 2 reizes lielāku vērtību segmentā.

5.7. Funkcija f.(h.) Sekojošais:

no H.; b) izplatīšanas funkcija F.(x.).

5.8. Funkcija f.(x.) Sekojošais:

Atrast: a) Vērtība nemainīga nokurā funkcija būs dažu nejaušības mainīgā varbūtības blīvums H.; b) izplatīšanas funkcija F.(x.).

5.9. Nejauša vērtība H., kas vērsta uz intervālu (3; 7), nosaka izplatīšanas funkcija F.(h.)= H. Veikt vērtību: a) mazāk nekā 5, b) ne mazāk kā 7.

5.10. Nejauša vērtība H.koncentrējas uz intervālu (-1; 4), nosaka sadales funkcija F.(h.)= . Atrast varbūtību, ka izlases vērtība H. Ievērojiet vērtību: a) mazāk nekā 2, b) mazāk nekā 4.

5.11.

Atrast: a) numurs no; b) M.(H.); c) varbūtība R(X\u003e M.(H.)).

5.12. Nejauša vērtība tiek noteikta ar diferenciālo sadales funkciju:

Atrodi) M.(H.); b) varbūtība R(X ≤ M.(H.)).

5.13. Pieteikuma sadalījumu nosaka varbūtības blīvums:

Pierādīt to f.(x.) Tas patiešām ir varbūtības sadalījuma blīvums.

5.14. Nepārtraukta izlases mainīgā varbūtību izplatīšanas blīvums H.:

Atrast numurus no.

5.15. Nejauša vērtība H. Izplatīts saskaņā ar Simpsona likumu (līdzsvarots trīsstūris) uz segmenta [-2; 2] (5.4. Att.). Atrodiet analītisku izteiksmi varbūtības blīvumam f.(x.) Uz visa ciparu ass.

Fig. 5.4. 5.5.

5.16. Nejauša vērtība H. izplatīts ar likumu " taisnstūra trijstūris"Intervālā (0; 4) (5.5. Att.). Atrodiet analītisku izteiksmi varbūtības blīvumam f.(x.) Uz visa ciparu ass.

Atbildes

P. (-1/2<X.<1/2)=2/3.

P. (2π / 9<H.< π /2)=1/2.

5.3. bet) no \u003d 1/6, b) M.(H.) \u003d 3, c) D.(X.)=26/81.

5.4. bet) no\u003d 3/2, b) M.(H.) \u003d 3/5, c) D.(X.)=12/175.

b) M.(X.)= 3 , D.(X.)= 2/9, Σ ( H.)= /3.

b) M.(X.)=2 , D.(X.)= 3, Σ ( H.)= 1,893.

5.7. a) c \u003d; b)

5.8. bet) no \u003d 1/2; b)

5.9. a) 1/4; b) 0.

5.10. a) 3/5; b) 1.

5.11. bet) no\u003d 2; b) M.(H.)= 2; 1- ln. 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. bet) M.(H.)= π / 2; b) 1/2.

6. nodaļa. Nepārtraukti nejauši mainīgie.

§ 1. nepārtrauktas izlases mainīgā sadalījuma blīvums un funkcija.

Nepārtrauktās nejaušās izlases mainīgā nepārtrauktās izlases vērtības ir bezgalīgi un parasti ir noteikta galīgā vai bezgalīgā intervāla.

Random vērtība X (W), kas norādīta varbūtības telpā (W, S, P) tiek saukts nepārtraukts (Absolūti nepārtraukti) w Ja ir nedroša funkcija, kas ar jebkuru X funkciju, FX (X) izplatīšanu var pārstāvēt kā neatņemamu

Funkciju sauc par funkciju varbūtības sadalījuma blīvums.

Izplatīšanas blīvuma funkcijas ieplūdes īpašības no definīcijas:

1..gif "platums \u003d" 97 "augstums \u003d" 51 "\u003e

3. Nepārtrauktības punktos sadales blīvums ir vienāds ar izplatīšanas funkcijas atvasinājumu :. \\ T

4. Izplatīšanas blīvums nosaka izlases vērtības sadalījuma likumu, jo tas nosaka nejaušības lieluma iespējamību intervālā: \\ t

5. Tematisms ir tāda, ka nepārtraukta izlases vērtība veiks īpašu vērtību, kas vienāda ar nulli :. Tāpēc šādas vienlīdzības ir taisnība:

Sadales blīvuma funkcijas grafiku sauc par līknes izplatīšanaun platība, ierobežota sadales līkne un abscisa ass ir vienāds ar vienu. Tad FX (X) sadales funkcijas ģeometriski vērtība X0 punktā ir apgabals, ierobežots sadales līkne un abscisa ass un kreisais x0 punkts.

1. uzdevums. Nepārtraukta mainīgā blīvuma funkcija ir veidlapa:

Nosakiet C konstantu, izveidojiet FX (X) izplatīšanas funkciju un aprēķiniet varbūtību.

Lēmums. Constant C ir no nosacījuma, kas mums ir:

No kur c \u003d 3/8.

Lai izveidotu FX (X) izplatīšanas funkciju, mēs atzīmējam, ka intervāls sadala argumenta X (ciparu ass) vērtības trīs daļās: https://pandia.ru/text/78/107 /mages/image017_17.gif "Platums \u003d" 264 "augstums \u003d" 49 "\u003e

tā kā X blīvums uz pusceļa ir nulle. Otrajā gadījumā

Visbeidzot, pēdējā gadījumā, kad x\u003e 2,

Tā kā blīvums ir vērsts uz nulli uz pusi ass. Tātad, tika iegūta izplatīšanas funkcija

Varbūtība Aprēķināt pēc formulas. Pa šo ceļu,

§ 2. Ciparu īpašības nepārtraukta izlases mainīgā

Paredzamā vērtība Nepārtraukti sadalāmiem izlases mainīgajiem lielumiem to nosaka formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif "platums \u003d" 205 "augstums \u003d" 56 src \u003d "\u003e,

ja neatņemama stāvība pa labi ir absolūti saplūst.

Dispersija X var aprēķināt pēc formulas , kā arī kā diskrētajā gadījumā, izmantojot formulu https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif "platums \u003d" 123 "augstums \u003d" 49 SRC \u003d "\u003e.

Visas matemātiskās cerības un dispersijas īpašības, kas norādītas 5. nodaļā par diskrētu izlases mainīgajiem lielumiem, ir spēkā arī nepārtrauktiem izlases mainīgajiem.

2. uzdevums.. Par nejaušu mainīgo x no 1. problēmas aprēķināt matemātisko cerību un dispersiju .

Lēmums.

Un tad

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif "platums \u003d" 184 "augstums \u003d" 69 src \u003d "\u003e

Skatiet vienotā izplatīšanas blīvumu, skatiet 1. att. .

6.2. Izplatīšanas funkcija un izplatīšanas blīvums. Vienoti likumi

Sadales FX (X) funkcija ir vienmērīgi sadalīts nejaušs mainīgais

Fx (x) \u003d

Matemātiskā cerība un dispersija; .

Indikatīvs (eksponenciālais) sadalījums.Nepārtrauktā izlases x, kas saņem negatīvas vērtības, ir demonstratīvs sadalījums ar parametru L\u003e 0, ja nejaušības lieluma varbūtības sadalījuma blīvums ir vienāds

px (x) \u003d

Fig. 6.3. Izplatīšanas funkcija un izplatīšanas blīvums indikatīvo likumu.

Indikatīvās izplatīšanas izplatīšanas funkcija ir

Fx (x) \u003d https: //pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif "platums \u003d" 17 "augstums \u003d" 41 "\u003e. GIF" platums \u003d "13" augstums \u003d "15"\u003e Un ja tā izplatīšanas blīvums ir vienāds

.

Izmantojot visu izlases mainīgo lielumu kopumu saskaņā ar parasto likumu ar parametru parametriem un.

Parasti sadalītā nejaušā mainīgā sadalījuma funkcija ir vienāda ar

.

Fig. 6.4. Parastā likuma izplatīšanas funkcija un izplatīšanas blīvums

Parastā sadalījuma būtības parametri matemātiskās cerības https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif "platums \u003d" 64 augstums \u003d 24 "augstums \u003d" 24 "\u003e

Konkrētā gadījumā, kad https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif "Platums \u003d" 44 "Augstums \u003d" 21 SRC \u003d "\u003e Parasto sadalījumu sauc standarts, un šādu sadalījumu klase ir norādīta https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif "platums \u003d" 119 "augstums \u003d" 49 "\u003e,

izplatīšanas funkcija

Šāds neatņemams nav aprēķināms analītiski (nav ņemts "kvadrātu"), un tāpēc tabula sastāv no funkcijas. Funkcija ir saistīta ar Laplasa funkciju, kas ievadīta 4. nodaļā

,

Šādu attiecību . Patvaļīgu parametru vērtību gadījumā https://pandia.ru/text/78/107/images/Image043_5.gif "Platums \u003d" 21 "augstums \u003d" 21 SRC \u003d "\u003e Izlases funkcija izlases mainīgā ir saistīta ar Laplasa funkciju ar attiecība:

.

Tāpēc varbūtība ievadot normāli izplatītu nejaušā mainīgā intervālam, var aprēķināt pēc formulas

.

Nenovirze nejaušo vērtību X sauc logaritmiski parasti izplatīts, ja tā logaritms H \u003d LNX ir pakļauts parastajam likumam. Logaritmiski parasti sadalītā nejaušā mainīgā matemātiskā cerība un dispersija ir vienāda ar mx \u003d un dx \u003d.

3. uzdevums. Ļaujiet nejaušai vērtībai https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif "platums \u003d" 81 "augstums \u003d" 23 "\u003e.

Lēmums. Šeit un https://pandia.ru/text/78/107/images/Image068_5.gif "Platums \u003d" 573 "augstums \u003d" 45 "\u003e

Laplasa izplatīšana Funkcija FX (x) \u003d https: //pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif "platums \u003d" 23 "augstums \u003d" 41 "\u003e un pārmērība ir GX \u003d 3.

6.5. Laplasa izplatīšanas blīvuma funkcija.

Nejauša vērtība x tiek izplatīta waibulla likumsJa tā ir izplatīšanas blīvuma funkcija, kas ir vienāda ar https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif "platums \u003d" 189 "augstums \u003d" 53 "\u003e

Weibulla izplatīšana ir pakļauta laikiem bez problēmām darboties daudzās tehniskās ierīces. Šajā profila uzdevumos svarīga raksturīga ir neveiksmes intensitāte (mirstības līmenis) L (t) pētītajos vecuma vecuma elementos, ko nosaka saistība l (t) \u003d. Ja a \u003d 1, tad Weibulta sadalījums pārvēršas par eksponenciālu sadalījumu, un, ja a \u003d 2 - tā sauktajā izplatīšanā Rayleigh.

Matemātiskā gaidīšana Waibulla Distribution: -HTTPS: //pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif "platums \u003d" 219 "augstums \u003d" 45 src \u003d "\u003e, kur g (a) ir Euler funkcija ..

Iebildums dažādi uzdevumi Lietišķā statistika bieži ir atzīta tā sauktie "atdalītie" sadalījumi. Piemēram, nodokļu iestādes ir ieinteresētas to personu ienākumu sadali, kuru gada ienākumi ir pārāka par dažu C0 slieksni, ko nosaka nodokļu likumi. Šie sadalījumi ir aptuveni sakrīt ar Pareto izplatīšanu. Pareto izplatīšana Iestatiet funkcijas

Fx (x) \u003d p (x .gif "Platums \u003d" 44 "augstums \u003d" 25 "\u003e Nejauša mainīga X un monotona diferencējama funkcija. Gif" platums \u003d "200" augstums \u003d "51"\u003e

Šeit https://pandia.ru/text/78/107/images/Image081_4.gif "Platums \u003d" 60 "augstums \u003d" 21 SRC \u003d "\u003e.

4. uzdevums. Nejauša vērtība ir vienmērīgi sadalīta segmentā. Atrodiet nejaušā mainīgā blīvumu.

Lēmums. No uzdevuma noteikumiem tas izriet, ka

Tālāk, funkcija ir monotons un diferencējams funkcija uz segmenta un ir apgrieztā funkcija , tādēļ atvasinājums ir tāpēc ir

§ 5. Pāris nepārtrauktas izlases mainīgos

Ļaujiet diviem nepārtrauktiem izlases mainīgajiem X un H. Tad pāris (x, h) definē plaknes "izlases" punktu. Pāris (x, h) sauc izlases vektors vai divdimensiju izlases mainīgais.

Kopīga izplatīšanas funkcija Random mainīgie X un H un saukta funkcija f (x, y) \u003d phttps: //pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif "platums \u003d" 173 "augstums \u003d" 25 "\u003e. Kopīgs blīvums Random mainīgo X un H dibināšanas varbūtības sadalījums, ko sauc par to, ka .

Šīs kopīgās sadales blīvuma definīcijas nozīme ir šāda. Varbūtība, ka "izlases punkts" (x, h) nonāks plaknes laukumā, tiek aprēķināta kā trīsdimensiju skaitļa tilpums - "Curvilinear" cilindrs, kas ierobežots ar virsmas HTTPS: // Pandia. RU / TEXT / 78/107 / Attēli / image098_3. GIF "Platums \u003d" 211 "Augstums \u003d" 39 SRC \u003d "\u003e

Vienkāršākais divdimensiju divdimensiju kopīgā sadalījuma piemērs ir divdimensiju vienota sadalījums uz komplektuA.. Ļaujiet ierobežotam iestatīt m ar platību definē kā pāris sadalījumu (x, h), kas norādīts, izmantojot šādu kopīgo blīvumu:

5. uzdevums. Ļaujiet divdimensiju izlases vektoram (x, h), kas vienmērīgi sadalīts trīsstūrī. Aprēķināt iespējamību X\u003e H.

Lēmums. Norādītā trijstūra platība ir vienāda ar (sk. Nr. Nē). Nosakot divdimensiju vienotu sadalījumu, nejaušo mainīgo lielumu kopīgo blīvumu ir vienāds

Notikums atbilst iestatītajam uz plaknes, t.e. pusplakne. Tad varbūtība

Uz pusplaknes b, kopīgā blīvums ir nulle ārpus komplekta https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif "platums \u003d" 15 "augstums \u003d" 17 "\u003e. Tādējādi pusplakne b ir sadalīta divās komplektos un https://pandia.ru/text/78/107/images/Image110_1.gif "platums \u003d" 17 "augstums \u003d" 23 "\u003e un, turklāt otrais integrālis ir nulle , Tā kā ir kopīgs blīvums nulle. tāpēc

Ja ir norādīts kopīgs sadalījuma blīvums pārim (x, h), tad tiek saukta X un H blīvums un sastāvdaļas privāts blīvums un aprēķina ar formulām:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif "platums \u003d" 224 "augstums \u003d" 23 src \u003d "\u003e

Par nepārtraukti sadalāmiem izlases mainīgajiem lielumiem ar blīvumu PX (X), pH (Y) neatkarība nozīmē, ka

6. uzdevums. Saskaņā ar iepriekšējā uzdevuma nosacījumiem nosaka, vai nejaušā vektora X un H sastāvdaļas ir neatkarīgas?

Lēmums. Aprēķiniet privātus blīvumus un. Mums ir:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif "Platums \u003d" 283 "augstums \u003d" 61 SRC \u003d "\u003e

Acīmredzot mūsu gadījumā https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif "Platums \u003d" 64 "augstums \u003d" 25 "\u003e - X un H kopīga blīvums un J (x, y ) - divu argumentu funkcija

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif "platums \u003d" 184 "augstums \u003d" 152 src \u003d "\u003e

7. uzdevums. Saskaņā ar iepriekšējā uzdevuma nosacījumiem, aprēķināt.

Lēmums. Saskaņā ar iepriekš minēto formulu mums ir:

.

Prezentējot trīsstūri formā

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif "platums \u003d" 479 "augstums \u003d" 59 "\u003e

5.§ Divu nepārtrauktu nejaušo mainīgo summas blīvums

Ļaujiet x un h ir neatkarīgi izlases mainīgie ar blīvumu https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif "platums \u003d" 43 "augstums \u003d" 25 "\u003e. Nejauša vērtības blīvums x + H aprēķina pēc formulas Ķemme

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif "platums \u003d" 39 "augstums \u003d" 19 src \u003d ". Aprēķiniet summas blīvumu.

Lēmums. Tā kā X un H tiek izplatīti attiecībā uz indikatīvo likumu ar parametru, to blīvums ir vienāds

Līdz ar to

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif "platums \u003d" 339 augstums \u003d 51 "augstums \u003d" 51 "\u003e

Ja X.<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">negatīvs, un tāpēc. Tāpēc, ja https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif "platums \u003d" 359 augstums \u003d 101 "augstums \u003d" 101 "\u003e

Tāpēc mēs saņēmām atbildi:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif "Platums \u003d" 40 "augstums \u003d" 41 "\u003e Parasti sadalīts ar parametriem 0 un 1. Random mainīgie X1 un X2 ir neatkarīgi un ir normāli sadalījumi Ar parametriem A1 un A2, attiecīgi. Pierādiet, ka X1 + X2 ir normāla izplatīšana. Random mainīgie X1, X2, ... XN tiek izplatīti un neatkarīgi, un tiem ir tāda pati sadales blīvuma funkcija

.

Atrodiet daudzumu izplatīšanas funkciju un izplatīšanas blīvumu:

a) h1 \u003d min (x1, x2, ... xn); b) h (2) \u003d max (x1, x2, ... xn)

Nejauša mainīgie X1, X2, ... XN ir neatkarīgi un vienmērīgi sadalīti uz segmenta [A, B]. Atrodiet vērtību izplatīšanas un blīvuma funkciju funkciju

x (1) \u003d min (x1, x2, ... xn) un x (2) \u003d max (x1, x2, ... xn).

Pierādīt, ka MHTPS: //pandia.ru/text/78/107/images/Image147_0.gif "Platums \u003d" 176 "augstums \u003d" 47 "\u003e.

Nejauša vērtība tiek izplatīta ar Cauchy likumu, lai atrastu: a) koeficientu a; b) izplatīšanas funkcija; c) intervāla (-1, 1) ievadīšanas varbūtība. Parādiet, ka matemātiskā cerība x nepastāv. Nejauša vērtība ir pakļauta Laplasa likumam ar parametru L (L\u003e 0): atrast koeficientu A; Izveidojiet sadales blīvuma un izplatīšanas funkcijas grafikus; Atrast MX un DX; Atrodiet notikumu varbūtības (| X |< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Uzrakstiet formulu izplatīšanas blīvumam, atrast MX un DX.

Skaitļošanas uzdevumi.

Random Point A ir vienota izplatīšana rādiusa apļa. Atrast matemātisku cerību un dispersiju attāluma r punktu uz centru apļa. Parādiet, ka R2 vērtība ir vienmērīgi sadalīta segmentā.

Izlases blīvums izlases mainīgā ir veidlapa:

Aprēķiniet C konstantu, sadales funkciju f (x) un varbūtība Izlases blīvums izlases mainīgā ir veidlapa:

Aprēķiniet C konstantu, sadales funkciju f (x) un varbūtība Izlases blīvums izlases mainīgā ir veidlapa:
Aprēķiniet C konstantu, izplatīšanas funkciju f (x), dispersija un nejaušības vērtības iespējamībai ir izplatīšanas funkcija

Aprēķiniet nejaušās mainīgās lieluma, matemātiskās cerības, dispersijas un varbūtības blīvumu, pārbaudiet, vai funkcija \u003d
tas var būt nejauša mainīgā sadalījuma funkcija. Atrodiet šīs vērtības skaitliskās īpašības: MX un DX. Nejauša vērtība ir vienmērīgi sadalīta nevis segmentā. Pierakstiet sadales blīvumu. Atrodiet izplatīšanas funkciju. Atrodiet ienākošo nejaušo dispersijas iespējamību segmentā un segmentā. Distribution X ir vienāds

.

Atrodiet pastāvīgu C, sadales blīvums h \u003d un varbūtība

P (0,25.

Datora bezrūpīgo darbības laiks tiek izplatīts indikatīvā likuma ziņā ar parametru L \u003d 0,05 (atteikums stundā), tai ir blīvuma funkcija

p (x) \u003d .

Konkrētā uzdevuma risinājumam 15 minūtes ir nepieciešama bezrūpīga mašīnas darbība. Ja uzdevuma atrisināšanas laikā ir notikusi neveiksme, tad kļūda tiek atklāta tikai risinājuma beigās, un uzdevums tiek atrisināts vēlreiz. Atrast: a) iespējamība, ka problēmas risināšanas laikā nenotiks nekādas neveiksmes; b) vidējais laiks, par kuru uzdevums tiks atrisināts.

24 cm garuma stienis ielauzties divās daļās; Mēs pieņemam, ka blondīne ir vienmērīgi sadalīts pa visu stieņa garumu. Kāds ir vidējais garums lielāko daļu stieņa? Cut garums 12 cm nejauši sagriež divās daļās. Griezuma punkts ir vienmērīgi sadalīts visā segmenta garumā. Kāds ir segmenta nelielās daļas vidējais garums? Nejauša vērtība ir vienmērīgi sadalīta segmentā. Atrast blīvumu sadalījuma izlases mainīgo a) h1 \u003d 2x + 1; b) H2 \u003d -ln (1-x); c) h3 \u003d.

Parādiet, ka, ja X ir nepārtraukta izplatīšanas funkcija

F (x) \u003d p (x

Atrodiet blīvuma funkciju un divu neatkarīgu vērtību X un H sadalījuma funkciju ar vienādiem izplatīšanas likumiem segmentos un attiecīgi. Random mainīgie X un H ir neatkarīgi un vienmērīgi sadalīti segmentos un attiecīgi. Aprēķiniet X + H summas blīvumu. Random mainīgie X un H ir neatkarīgi un vienmērīgi sadalīti segmentos un attiecīgi. Aprēķiniet X + H summas blīvumu. Random mainīgie X un H ir neatkarīgi un vienmērīgi sadalīti segmentos un attiecīgi. Aprēķiniet X + H summas blīvumu. Random mainīgie ir neatkarīgi un ir indikatīvs sadalījums ar blīvumu . Atrast savu summas izplatīšanas blīvumu. Atrodiet neatkarīgo izlases mainīgo lielumu summas sadalījumu X un H, kur X ir vienāds sadalījums uz segmenta, un H ir demonstratīvs sadalījums ar parametru L. Atrast R. Ja x ir: a) normālu sadalījumu ar A un S2 parametriem; b) indikatīvo sadalījumu ar parametru L; c) Vienota sadalījums uz segmenta [-1; 1]. Kopīgā sadale X, H ir vienāds laukumā
K \u003d (x, y): | x | + | y \u200b\u200b| £ 2). Atrast varbūtību . Ir x un h neatkarīga? Random mainīgo X un H pāris ir vienmērīgi sadalīts trīsstūrī k \u003d. Aprēķiniet blīvumu x un h. Vai šie izlases mainīgie ir neatkarīgi? Atrast varbūtību. Random mainīgie X un H ir neatkarīgi un vienmērīgi sadalīti segmentos un [-1,1]. Atrast varbūtību. Divdimensiju izlases vērtība (x, h) ir vienmērīgi sadalīta laukumā ar virsotnēm (2.0), (0,10), (-2, 0), (0, -2). Atrodiet kopīgās sadales funkcijas vērtību punktā (1, -1). Random vektors (x, h) ir vienmērīgi sadalīts rādiusa apļa 3 ar centru koordinātu sākumā. Uzrakstiet kopīgu sadales blīvumu. Nosakiet, vai šie izlases mainīgie ir atkarīgi. Aprēķināt varbūtību. Pāris izlases mainīgo X un H ir vienmērīgi sadalīts trapenzijā ar virsotnēm punktos (-6,0), (-3,4), (3.4), (6.0). Atrodiet kopīgu sadales blīvumu šim izlases mainīgo un blīvuma komponentu pārim. Ir x un h atkarīgs? Nejauša pāra (x, h) ir vienmērīgi sadalīts pusapļa iekšpusē. Atrodiet X un H blīvumu, lai izpētītu jautājumu par viņu atkarību. Divu nejaušu mainīgo X un H kopīgā blīvums ir vienāds .
Atrodiet X, H blīvumu. Izpētiet X un H atkarības atkarību. Nejauša pāra (x, h) ir vienmērīgi sadalīts komplektā. Atrodiet X un H blīvumu, lai izpētītu jautājumu par viņu atkarību. Atrast m (xh). Random mainīgie X un H ir neatkarīgi un izplatīti saskaņā ar indikatīvo likumu ar atrast

Nepārtraukti izlases mainīgie - Tās ir vērtības, kuru iespējamās vērtības veido dažus ierobežotus vai bezgalīgus intervālu.

Integrālā sadales funkcija ir izlases mainīgā sadalījuma likums, ar kuru jūs varat norādīt gan diskrētu, gan nepārtrauktu nejaušu dispersiju.

Integrālā izplatīšanas funkcija To sauc par funkciju f (x), kas nosaka katrai vērtībai x, varbūtība, ka nejaušā vērtība X ņems vērtību mazāk x, t.e. .

Ģeometriski, tas nozīmē: F (x) Pastāv iespēja, ka nejaušā vērtība X ņems vērtību, kas attēlota uz punkta skaitliskās ass, kas atrodas pa kreisi no punkta X.

Nejauša vērtībato sauc par nepārtrauktu, ja tā neatņemama funkcija f (x) ir nepārtraukti diferencējama.

Neatņemamas funkcijas īpašības.

10. Integrētā funkcijas vērtības pieder segmentam no 0 līdz 1, tas ir.

divdesmit. Integrālā funkcija ir funkcija, kas ir nenozīmīga, tas ir, ja tad .

Koroldrija:

1. Varbūtība, ka SV ņems vērtību, kas noslēgta intervālā (A; b) ir vienāds ar integrētās funkcijas pieaugumu šajā intervālā: \\ t

2. Varbūtība, ka NSV veiks vienu konkrētu vērtību, kas vienāda ar 0.

3. Ja iespējams, NSV vērtības atrodas visa ciparu līnijas, tad šādas robežvērtības ir spēkā:

un

Integrētās funkcijas grafiks.

Integrētā funkcijas grafiks ir veidots, pamatojoties uz tās īpašībām. Saskaņā ar pirmo īpašumu grafiks atrodas starp taisni y \u003d 0 un y \u003d 1. No otrā īpašuma izriet, ka - pieaugošā funkcija, kas nozīmē, ka tā grafiks intervālam (A, B) palielinās pa labi un uz augšu. 3 0 īpašības ar , un tad, kad (5. att.).

5. attēls. INTERNAL funkcijas grafiks.

31. piemērs.DSV sniedz izplatīšanas likums

	0,2	0,5	0,3

Atrodiet neatņemamu izplatīšanas funkciju un izveidojiet savu grafiku.

1. Ja, tad 3 0.

2. Ja ,. \\ t

3. Ja ,. \\ t

4. Ja, tad 3 0.

Mēs izveidojam DSV (H) neatņemamas funkcijas grafiku (6. att.).

6. attēls. Integrētās funkcijas grafiks diskrētam nejaušajam mainīgajam.

Diferenciālo funkciju no izplatīšanas NSV.

Ir vēl viens veids, kā norādīt NWS, izmantojot diferenciālo sadales funkciju.

Starpībaizplatīšanas funkcija ir vienāda ar pirmo atvasinājumu par neatņemamu funkciju, tas ir.

Diferenciālā sadalījuma funkcija ir atšķirīga, ko sauc par varbūtības sadalījuma blīvumu.

Thorem 17.Varbūtība, ka NSV X ņems vērtību, kas pieder pie intervāla (A, B) ir vienāds ar īpašu neatņemamu no diferenciālo funkciju, kas ņemts no B.

32. piemērs.NSV nosaka integrēto sadales funkciju

Atrodiet diferenciālo izplatīšanas funkciju un NSV iespējamību intervālā.

Lēmums.

Diferenciālās izplatīšanas funkcijas īpašības.

10. Diferenciālā funkcija ir ne-negatīva funkcija :.

divdesmit. (Normalizācijas stāvoklis.) Iesaistīts neatņemams no diferencētas funkcijas diapazonā no -∞ līdz + ∞ ir 1, kas ir:

Jo īpaši, ja visas iespējamās NSV vērtības pieder intervālam (A, B), \\ t

33. piemērs.

Atrodiet parametra vērtību bet.

Ņemiet vērā, ka zinot diferenciālo izplatīšanas funkciju, jūs varat atrast neatņemamu funkciju pēc formulas:

.

34. piemērs. NSW nosaka diferenciālā sadalījuma funkcija:

atrodiet neatņemamu izplatīšanas funkciju.

Lēmums.

1.

3.

NIZAL īpašības NSV.

Izlases mainīgais sauc par mainīgo, kas var veikt noteiktas vērtības atkarībā no dažādiem apstākļiem, un nejaušu vērtību sauc par nepārtrauktu Ja tas var veikt jebkuru vērtību no ierobežota vai neierobežota intervāla. Par nepārtrauktu nejaušā mainīgo, nav iespējams norādīt visas iespējamās vērtības, tāpēc tās apzīmē šo vērtību intervāli, kas saistīti ar noteiktām varbūtībām.

Nepārtrauktu nejaušo mainīgo piemēri var būt: daļas diametrs ir izlādējies uz konkrētu izmēru, cilvēka augšanu, shell lidojuma diapazonu utt.

Attiecībā uz nepārtrauktiem izlases mainīgajiem funkcijām F.(x.), Atšķirībā no diskrēti izlases mainīgie Nekur nav nekādas lēcienu, varbūtība jebkura konkrēta vērtība nepārtraukta izlases mainīgā ir nulle.

Tas nozīmē, ka nepārtraukta izlases vērtība ir bezjēdzīga runāt par varbūtību sadalījumu starp tās vērtībām: katrai no tām ir nulles varbūtība. Tomēr tādā ziņā starp nepārtrauktās nejaušības mainīgā vērtībām ir "vairāk un mazāk ticams". Piemēram, ir maz ticams, ka ikvienam būs šaubas, ka izlases mainīgā vērtība - Goned personas atmosfēras pieaugums - 170 cm, visticamāk nekā 220 cm, lai gan viens, un otra vērtība var tikties praksē .

Nepārtraukta izlases mainīgā un varbūtības blīvuma sadalījuma funkcija

Kā izplatīšanas likums, kas ir jēga tikai par nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem lielumiem, tiek ieviesta izplatīšanas blīvuma vai varbūtības blīvuma jēdziens. Mēs nāksim pie tā, salīdzinot izplatīšanas funkcijas nozīmi nepārtrauktu izlases mainīgo un diskrētu izlases mainīgo.

Tātad, izlases mainīgā sadalījuma funkcija (gan diskrēta un nepārtraukta) vai integrālā funkcija To sauc par funkciju, kas nosaka varbūtību, ka izlases mainīgā vērtība X. mazāk vai vienāds ar robežu vērtību h..

Par diskrētu nejaušu mainīgo tās vērtību punktos x.1 , x.2 , ..., x.i, ... Mēs koncentrējam varbūtību masas p.1 , p.2 , ..., p.i, ...Turklāt visu masu summa ir 1. Šīs interpretācijas nodošana nepārtraukta izlases mainīgā gadījumā. Iedomājieties, ka masa ir vienāda ar 1 nav vērsta uz atsevišķiem punktiem, un nepārtraukti "smeared" gar abscisa asi Vērsis Ar kādu nevienmērīgu blīvumu. Randomas dispersijas iespējamība jebkurā sadaļā Δ x. Tas tiks interpretēts kā masa attiecināma uz šo jomu, un vidējais blīvums šajā sadaļā ir masveida attiecība pret garumu. Tikai mēs ieviesām svarīgu varbūtības teorijas koncepciju: izplatīšanas blīvums.

Varbūtības blīvums f.(x.) Nepārtrauktu nejaušo mainīgo sauc par tā izplatīšanas funkcijas atvasinājumu:

.

Zinot blīvuma funkciju, var atrast varbūtību, ka nepārtrauktas izlases mainīgā vērtība pieder slēgtajam intervālam [ a.; b.]:

iespējamība, ka nepārtraukta izlases vērtība X. ņems jebkuru vērtību no intervāla [ a.; b.] ir vienāds ar noteiktu neatņemamu no tās varbūtības blīvuma, sākot no a. agrāk b.:

.

Tajā pašā laikā, vispārējā formulas funkcija F.(x.) Nepārtraukta izlases mainīgā varbūtības sadalījums, ko var izmantot, ja ir zināms blīvuma funkcija f.(x.) :

.

Nepārtraukta nejauša mainīgā varbūtības blīvuma diagramma tiek saukta par tā izplatīšanas līkni (zemāk).

Attēla platība (zīmējumā ir ēnots), ierobežota līkne, tieša, pavadīta no punktiem a. un b. Perpendikulāri abscisa un ass ass Oh, grafiski parāda varbūtību, ka nepārtraukta izlases mainīgā vērtība H. Atrodas no a. agrāk b..

Nepārtraukta mainīgā varbūtības blīvuma funkcijas īpašības

1. Iespēja, ka nejauša vērtība veiks jebkādu vērtību no intervāla (un skaitļa skaitlis, kas attiecas tikai uz funkciju grafiku f.(x.) Un ass Oh) ir vienāds ar vienu:

2. Varbūtības blīvuma funkcija nevar veikt negatīvas vērtības:

un ārpus izplatīšanas pastāvēšanas tā vērtība ir nulle

Izplatīšanas blīvums f.(x.), kā arī izplatīšanas funkcija F.(x.) ir viens no izplatīšanas likuma veidiem, bet pretstatā izplatīšanas funkcijai, tas nav universāls: izplatīšanas blīvums pastāv tikai nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem lielumiem.

Mēs pieminēt divus svarīgākos nepārtrauktās izlases dispersijas veidus.

Ja sadalījuma blīvuma funkcija f.(x.) nepārtraukta izlases mainīgais dažos pēdējos intervālos [ a.; b.] Pastāvīga vērtība C.un ārpus intervāla, tad vērtība ir vienāda ar nulli, tad izplatīšanu sauc par vienotu .

Ja sadales blīvuma funkcijas grafiks ir simetrisks salīdzinājumā ar centru, vidējās vērtības ir vērstas pie centra un attāluma no centra, atšķiras no vidējā rādītāja (funkcijas grafiks atgādina griezumu zvanu), tad izplatīšanu sauc par normālu .

1. piemērs. Ir zināms, ka pastāvīga izlases mainīgā varbūtības sadalījuma funkcija:

Atrodiet funkciju f.(x.) Nepārtraukta nejauša mainīgā varbūtības blīvums. Veidot abu funkciju grafikus. Atrast varbūtību, ka nepārtraukta izlases vērtība būs jebkura vērtība diapazonā no 4 līdz 8 :.

Lēmums. Varbūtības blīvuma funkcija tiek iegūta, atrodot atvasinājumu varbūtības sadalījuma funkciju:

Grafika funkcija F.(x.) - Parabola:

Grafika funkcija f.(x.) - Direct:

Mēs atradīsim varbūtību, ka nepārtraukta izlases vērtība pieņems jebkuru vērtību diapazonā no 4 līdz 8:

2. piemērs. Nepārtraukta nejauša mainīgā varbūtības blīvuma funkcija tiek dota kā:

Aprēķināt koeficientu C. . Atrodiet funkciju F.(x.) Nepārtraukta izlases mainīgā varbūtību sadalījums. Veidot abu funkciju grafikus. Atrast varbūtību, ka nepārtraukta izlases vērtība būs jebkura vērtība diapazonā no 0 līdz 5 :.

Lēmums. Koeficients C. Mēs atradīsim varbūtības blīvuma funkcijas īpašumu:

Tādējādi varbūtības blīvuma funkcija nepārtraukta izlases mainīgā:

Integrēšana, atrast funkciju F.(x.) Varbūtības sadalījums. Ja x. < 0 , то F.(x.) \u003d 0. Ja 0< x. < 10 , то

.

x. \u003e 10, tad F.(x.) = 1 .

Tādējādi pilnu varbūtības sadalījuma funkciju ierakstu:

Grafika funkcija f.(x.) :

Grafika funkcija F.(x.) :

Mēs atradīsim varbūtību, ka nepārtraukta izlases vērtība pieņems jebkuru vērtību diapazonā no 0 līdz 5:

3. piemērs.Nepārtraukta izlases mainīgā varbūtības blīvums X. noteikt vienlīdzību, bet. Atrast koeficientu Betvarbūtība, ka nepārtraukta izlases vērtība X. Norādiet jebkuru vērtību no intervāla] 0, 5 [, nepārtraukta nejauša mainīgā sadalījuma funkcija X..

Lēmums. Zem stāvokļa mēs nonākam līdz vienlīdzībai

Tāpēc, no kurienes. Tā,

.

Tagad mēs atrodam varbūtību, ka nepārtraukta izlases vērtība X. būs jebkura vērtība no intervāla] 0, 5 [:

Tagad mēs saņemam šī izlases mainīgā izplatīšanas funkciju:

4. piemērs.Atrodiet nepārtraukta izlases mainīgā varbūtības blīvumu X.kas aizņem tikai negatīvas vērtības, un tā izplatīšanas funkciju .