Pie kādas parametra a vērtības ir vienādojums ax. Vienādojumi ar parametru
Formas vienādojums f(x; a) = 0 tiek izsaukts vienādojums ar mainīgo X un parametrs A.
Atrisiniet vienādojumu ar parametru A– tas nozīmē katrai vērtībai A atrast vērtības X, kas apmierina šo vienādojumu.
1. piemērs. Ak= 0
2. piemērs. Ak = A
3. piemērs.
x + 2 = ah
x – ah = -2
x(1 – a) = -2
Ja 1- A= 0, t.i. A= 1, tad X 0 = -2 bez saknēm
Ja 1- A 0, t.i. A 1, tad X =
4. piemērs.
(A 2 – 1) X = 2A 2 + A – 3
(A – 1)(A + 1)X = 2(A – 1)(A – 1,5)
(A – 1)(A + 1)X = (1A – 3)(A – 1)
Ja A= 1, tad 0 X = 0
X- jebkurš reāls skaitlis
Ja A= -1, tad 0 X = -2
nav sakņu
Ja A 1, A-1 tad X= (vienīgais risinājums).
Tas nozīmē, ka katrai derīgajai vērtībai A atbilst vienai vērtībai X.
Piemēram:
Ja A= 5, tad X = = ;
Ja A= 0, tad X= 3 utt.
Didaktiskais materiāls
1. Ak = X + 3
2. 4 + Ak = 3X – 1
3. A = +
plkst A= 1 bez saknēm.
plkst A= 3 bez saknēm.
plkst A = 1 X– jebkurš reālais skaitlis, izņemot X = 1
plkst A = -1, A= 0 nav risinājumu.
plkst A = 0, A= 2 nav risinājumu.
plkst A = -3, A = 0, 5, A= -2 nav risinājumu
plkst A = -Ar, Ar= 0 nav risinājumu.
Kvadrātvienādojumi ar parametru
1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu
(A – 1)X 2 = 2(2A + 1)X + 4A + 3 = 0
Plkst A = 1 6X + 7 = 0
Kad A 1, mēs izceļam tās parametru vērtības, pie kurām D iet uz nulli.
D = (2(2 A + 1)) 2 – 4(A – 1)(4A + 30 = 16A 2 + 16A + 4 – 4(4A 2 + 3A – 4A – 3) = 16A 2 + 16A + 4 – 16A 2 + 4A + 12 = 20A + 16
20A + 16 = 0
20A = -16
Ja A < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
Ja A> -4/5 un A 1, tad D > 0,
X = 
Ja A= 4/5, tad D = 0,
2. piemērs. Pie kādām parametra a vērtībām tiek izpildīts vienādojums
x 2 + 2( A + 1)X + 9A– 5 = 0 ir 2 dažādas negatīvās saknes?
D = 4( A + 1) 2 – 4(9A – 5) = 4A 2 – 28A + 24 = 4(A – 1)(A – 6)
4(A – 1)(A – 6) > 0
caur t. Vieta: X 1 + X 2 = -2(A + 1)
X 1 X 2 = 9A – 5
Pēc nosacījuma X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(A + 1) < 0 и 9A – 5 > 0
| Galu galā | 4(A – 1)(A – 6) > 0 - 2(A + 1) < 0 9A – 5 > 0 |
A < 1: а > 6 A > - 1 A > 5/9 |
 (Rīsi. 1) < a < 1, либо a > 6 |
3. piemērs. Atrodiet vērtības A, pie kura dots vienādojums ir risinājums.
x 2-2( A – 1)X + 2A + 1 = 0
D = 4( A – 1) 2 – 4(2A + 10 = 4A 2 – 8A + 4 – 8A – 4 = 4A 2 – 16A
4A 2 – 16 0
4A(A – 4) 0
A( A – 4)) 0
A( A – 4) = 0
a = 0 vai A – 4 = 0
A = 4
(Rīsi. 2)
Atbilde: A 0 un A 4
Didaktiskais materiāls
1. Par kādu vērtību A vienādojums Ak 2 – (A + 1) X + 2A– 1 = 0 ir viena sakne?
2. Par kādu vērtību A vienādojums ( A + 2) X 2 + 2(A + 2)X+ 2 = 0 ir viena sakne?
3. Kurām a vērtībām ir vienādojums ( A 2 – 6A + 8) X 2 + (A 2 – 4) X + (10 – 3A – A 2) = 0 ir vairāk nekā divas saknes?
4. Kurām a vērtībām 2. vienādojums X 2 + X – A= 0 ir vismaz viena kopīga sakne ar vienādojumu 2 X 2 – 7X + 6 = 0?
5. Kādām vienādojuma vērtībām X 2 +Ak+ 1 = 0 un X 2 + X + A= 0 ir vismaz viena kopīga sakne?
1. Kad A = - 1/7, A = 0, A = 1
2. Kad A = 0
3. Kad A = 2
4. Kad A = 10
5. Kad A = - 2
Eksponenciālie vienādojumi ar parametru
1. piemērs.Atrast visas vērtības A, kuram vienādojums
9 x – ( A+ 2)*3 x-1/x +2 A*3 -2/x = 0 (1) ir tieši divas saknes.
Risinājums. Reizinot abas vienādojuma (1) puses ar 3 2/x, iegūstam ekvivalento vienādojumu
3 2(x+1/x) – ( A+ 2)*3 x+1/x + 2 A = 0 (2)
Lai 3 x+1/x = plkst, tad vienādojums (2) iegūs formu plkst 2 – (A + 2)plkst + 2A= 0 vai
(plkst – 2)(plkst – A) = 0, no kurienes plkst 1 =2, plkst 2 = A.
Ja plkst= 2, t.i. 3 x+1/x = 2 tad X + 1/X= log 3 2 vai X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.
Šim vienādojumam nav reālu sakņu, jo tā ir D= log 2 3 2 – 4< 0.
Ja plkst = A, t.i. 3 x+1/x = A Tas X + 1/X= žurnāls 3 A, vai X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)
Vienādojumam (3) ir tieši divas saknes tad un tikai tad
D = log 2 3 2 – 4 > 0 vai |log 3 a| > 2.
Ja log 3 a > 2, tad A> 9, un, ja log 3 a< -2, то 0 < A < 1/9.
Atbilde: 0< A < 1/9, A > 9.
2. piemērs. Pie kādām a vērtībām ir vienādojums 2 2x – ( A - 3) 2 x 3 A= 0 ir risinājumi?
Lai dots vienādojums ir risinājumi, ir nepieciešams un pietiekams, ka vienādojums t 2 – (a – 3) t – 3a= 0 bija vismaz viena pozitīva sakne. Atradīsim saknes, izmantojot Vietas teorēmu: X 1 = -3, X 2 = A = >
a ir pozitīvs skaitlis.
Atbilde: kad A > 0
Didaktiskais materiāls
1. Atrodiet visas a vērtības, kurām vienādojums
25 x – (2 A+ 5)*5 x-1/x + 10 A* 5 -2/x = 0 ir tieši 2 risinājumi.
2. Kurām a vērtībām ir vienādojums
2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 ir viena sakne?
3. Kurām parametra a vērtībām tiek piemērots vienādojums
4 x - (5 A-3) 2 x +4 A 2 – 3A= 0 ir unikāls risinājums?
Logaritmiskie vienādojumi ar parametru
1. piemērs. Atrodiet visas vērtības A, kuram vienādojums
žurnāls 4x (1+ Ak) = 1/2 (1)
ir unikāls risinājums.
Risinājums. Vienādojums (1) ir līdzvērtīgs vienādojumam
1 + Ak = 2X plkst X > 0, X 1/4 (3)
X = plkst
ay 2 - plkst + 1 = 0 (4)
Nosacījums (2) no (3) nav izpildīts.
Ļaujiet A 0, tad AU 2 – 2plkst+ 1 = 0 ir reālas saknes tad un tikai tad D = 4 – 4A 0, t.i. plkst A 1. Lai atrisinātu nevienlīdzību (3), uzzīmēsim funkcijas Gaļitskis M.L., Moškovičs M.M., Švartsburds S.I. Padziļināta algebras un matemātiskās analīzes kursa apguve. – M.: Izglītība, 1990.g
Tagad apskatīsim kvadrātvienādojumu
kur ir nezināmais daudzums, ir vienādojuma parametri (koeficienti).
Parametra kritiskajās vērtībās, pirmkārt, jāiekļauj vērtība Pie norādītās parametra vērtības vienādojums (1) iegūst formu
tāpēc vienādojuma secība tiek samazināta par vienu. (2) vienādojums ir lineārais vienādojums un tā risināšanas metode tika apspriesta iepriekš.
Citām parametru kritiskajām vērtībām tās nosaka vienādojuma diskriminants. Ir zināms, ka vienādojumam (1) nav sakņu; kad tam ir viena sakne, kad vienādojumam (1) ir divas dažādas saknes un
1). Atrodiet visas parametru vērtības, kurām ir kvadrātvienādojums
a) ir divas dažādas saknes;
b) nav sakņu;
c) ir divas vienādas saknes.
Risinājums.Šis vienādojums ir kvadrātisks pēc nosacījuma, un tāpēc apskatīsim šī vienādojuma diskriminantu
Kad vienādojumam ir divas dažādas saknes, jo
Kad vienādojumam nav sakņu, jo Šim kvadrātvienādojumam nevar būt divas vienādas saknes, jo kad un tas ir pretrunā ar problēmas nosacījumiem.
Atbilde: Ja vienādojumam ir divas dažādas saknes.
Kad vienādojumam nav sakņu.
2).Atrisiniet vienādojumu. Katrai derīgajai parametra vērtībai atrisiniet vienādojumu
Risinājums. Vispirms apskatīsim gadījumu, kad
(šajā gadījumā sākotnējais vienādojums kļūst par lineāru vienādojumu). Tādējādi parametra vērtība un ir tā kritiskās vērtības. Ir skaidrs, ka šī vienādojuma saknē ir un tā saknē ir
Ja tie. un tad šis vienādojums ir kvadrātisks. Atradīsim tā diskriminējošo faktoru:
Visām vērtībām diskriminants iegūst nenegatīvas vērtības, un tas sasniedz nulli (šīs parametru vērtības ir arī tā kritiskās vērtības).
Tāpēc, ja šim vienādojumam ir viena sakne
Šajā gadījumā parametra vērtība atbilst saknei
un vērtība atbilst saknei
Ja tad vienādojumam ir divas dažādas saknes. Atradīsim šīs saknes.
Atbilde. Ja tad ja tad ja tad
ja tad , .
3).Atrisiniet vienādojumu. Pie kādām parametru vērtībām A vai vienādojumam ir unikāls risinājums?
Risinājums.Šis vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai
Kvadrātvienādojuma klātbūtne un risinājuma unikalitātes nosacījums, protams, novedīs pie diskriminanta sakņu meklēšanas. Tajā pašā laikā nosacījumam x ≠ -3 vajadzētu piesaistīt uzmanību. Un “smalkais punkts” ir tāds, ka sistēmas kvadrātvienādojumam var būt divas saknes! Bet tikai vienam no tiem jābūt vienādam ar -3. Mums ir
D= A 2 - 4, tātad D =0, ja A= ±2; x = -3 - vienādojuma sakne x 2 - A x +1 = 0 plkst
A= -10/3, un ar šo vērtību A kvadrātvienādojuma otrā sakne ir atšķirīga
Atbilde. A= ±2 vai A = -10/3.
4).Atrisiniet vienādojumu. Pie kādām parametru vērtībām A vienādojums
(A- 2)x 2 + (4 - 2A) X Vai +3 = 0 ir unikāls risinājums?
Risinājums. Ir skaidrs, ka jāsāk ar lietu A= 2. Bet kad a = 2 sākotnējam vienādojumam vispār nav atrisinājumu. Ja a ≠ 2, tad šis vienādojums ir kvadrātisks, un šķiet, ka vajadzīgās parametra vērtības ir diskriminanta saknes. Tomēr diskriminants pazūd, kad a = 2 vai a = 5. Kopš esam to konstatējuši a = 2 tad neder
Atbilde, a = 5.
9).Atrisiniet vienādojumu. Pie kādām parametru vērtībām A vienādojums Ak 2 - 4X + A Vai + 3 = 0 ir vairāk nekā viena sakne?
Risinājums. Plkst A= 0 vienādojumam ir viena sakne, kas neatbilst nosacījumam. Plkst A≠ 0 sākotnējam vienādojumam, kas ir kvadrātisks, ir divas saknes, ja tā diskriminants ir 16–4 A 2 – 12A pozitīvs. No šejienes mēs iegūstam -4<A<1.
Tomēr iegūtais intervāls (-4; 1) ietver skaitli 0. Atbilde. -4<A<0 или 0<A<1.
10). Pie kādām parametru vērtībām A vienādojums A(A+3)X 2 + (2A+6)X– 3A– 9 = 0 ir vairāk nekā viena sakne?
Risinājums. Standarta solis ir sākt ar gadījumiem A= 0 un A= -3. Plkst A= 0 vienādojumam ir unikāls risinājums. Interesanti, kad A= -3 vienādojuma risinājums ir jebkurš reāls skaitlis. Plkst A≠ -3 un A≠ 0, dalot abas šī vienādojuma puses ar a + 3, iegūstam kvadrātvienādojumu Ak 2 + 2X- 3 = 0, kura diskriminants ir 4 (1 + 3 A) ir pozitīvs > ⅓. Iepriekšējo piemēru pieredze liecina, ka no intervāla
(-⅓ ;∞) nepieciešams izslēgt punktu A= 0, un neaizmirstiet iekļaut atbildē A = -3.
Atbilde. A= -3 vai - ⅓< а < 0, или а > 0.
11).Atrisiniet vienādojumu :
Risinājums. Pirmkārt, ņemiet vērā, ka šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam, kuram nav atrisinājumu. Ja
1. Uzdevums.
Pie kādām parametru vērtībām a vienādojums ( a - 1)x 2 + 2x + a- Vai 1 = 0 ir tieši viena sakne?
1. Risinājums.
Plkst a= 1, vienādojums ir 2 x= 0 un acīmredzami ir viena sakne x= 0. Ja a 1, tad šis vienādojums ir kvadrātisks un tam ir viena sakne tām parametru vērtībām, pie kurām kvadrātiskā trinoma diskriminants ir vienāds ar nulli. Pielīdzinot diskriminantu nullei, iegūstam parametra vienādojumu a
4a 2 - 8a= 0, no kurienes a= 0 vai a = 2.
1. Atbilde: vienādojumam ir viena sakne pie a O (0; 1; 2).
2. Uzdevums.
Atrodiet visas parametru vērtības a, kuram vienādojumam ir divas dažādas saknes x 2 +4cirvis+8a+3 = 0.
2. Risinājums.
Vienādojums x 2 +4cirvis+8a+3 = 0 ir divas atšķirīgas saknes tad un tikai tad D =
16a 2 -4(8a+3) > 0. Iegūstam (pēc samazināšanas par kopējo koeficientu 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, no kurienes
2. Atbilde:
| a O (-Ґ ; 1 - | Ts 7 2 |
) UN (1 + | Ts 7 2 |
; Ґ ). |
3. Uzdevums.
Ir zināms, ka
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Grafiksējiet funkciju f 1 (x) plkst a = 1.
b) Kādā vērtībā a funkciju grafiki f 1 (x) Un f 2 (x) ir viens kopīgs punkts?
3. Risinājums.
3.a. Pārveidosim f 1 (x) šādā veidā
Šīs funkcijas grafiks plkst a= 1 ir parādīts attēlā pa labi.
3.b. Tūlīt atzīmēsim, ka funkciju grafiki y =
kx+b Un y = cirvis 2 +bx+c
(a Nr. 0) krustojas vienā punktā tad un tikai tad, ja kvadrātvienādojums kx+b =
cirvis 2 +bx+c ir viena sakne. Skata izmantošana f 1 no 3.a, pielīdzināsim vienādojuma diskriminantu a = 6x-x 2-6 līdz nullei. No vienādojuma 36-24-4 a= 0 mēs iegūstam a= 3. Dariet to pašu ar 2. vienādojumu x-a = 6x-x 2 -6 mēs atradīsim a= 2. Ir viegli pārbaudīt, vai šīs parametru vērtības atbilst problēmas nosacījumiem. Atbilde: a= 2 vai a = 3.
4. Uzdevums.
Atrodiet visas vērtības a, kurai nevienādības risinājumu kopa x 2 -2cirvis-3a i 0 satur segmentu .
4. Risinājums.
Parabolas virsotnes pirmā koordināte f(x) =
x 2 -2cirvis-3a vienāds ar x 0 =
a. No kvadrātfunkcijas īpašībām nosacījums f(x) i 0 segmentā ir līdzvērtīgs trīs sistēmu kopai
ir tieši divi risinājumi?
5. Risinājums.
Pārrakstīsim šo vienādojumu formā x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Šis ir kvadrātvienādojums, kuram ir tieši divi atrisinājumi, ja tā diskriminants ir stingri lielāks par nulli. Aprēķinot diskriminantu, mēs atklājam, ka nosacījums tieši divu sakņu klātbūtnei ir nevienlīdzības piepildījums a 2 +a-6 > 0. Atrisinot nevienādību, mēs atrodam a < -3 или a> 2. Acīmredzot pirmajai no nevienādībām nav atrisinājumu naturālajos skaitļos, un otrais mazākais dabiskais risinājums ir skaitlis 3.
5. Atbilde: 3.
6. Problēma (10 taustiņi)
Atrodiet visas vērtības a, kurai funkcijas grafiks vai pēc acīmredzamām transformācijām, a-2 = |
2-a| . Pēdējais vienādojums ir līdzvērtīgs nevienlīdzībai a es 2.
6. Atbilde: a PAR )